EM302 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI 2. YARIYILİÇİ SINAVI Y.Doç.Dr. Özgür Kabak 28.12.2012 SORULAR VE LAR 1. Ayşe kırmızı başlığı ile şirin ve yardımsever bir kızdır. Her gün annesinin pişirdiği yemekleri babaannesine göürmekedir. Küçük kızın babaannesinin evine gimesi için ormanın içinden geçmesi gerekmekedir. Aşağıdaki şekilde A annesinin evini, B Babaannesinin evini ve aradaki yollar ise ormandaki paikaları göserir. Köü kalpli kur Ayşe nin her gün ormanın içinde geçiğini bilmeke ve kızın babaannesine göürdüğü yemekleri araklamak için ormandaki yollardan birinde pusu kurmakadır. Endüsri Mühendisli eğiimi alan Ayşe, kurdun hangi yolda pusu kurduğu ile ilgili veri oplamış ve her yol için pusu kurma olasılığını çıkarmışır (p ij : kurdun (i,j) bağlanısında pusu kurma olasılığı). Şekil üzerinde p ij değerleri verilmişir (Dikka! Kur her gün sadece bir yolda pusu kurmakadır, o yüzden yollardaki olasılıkların oplamı 1 dir). Küçük kızın kendi evinden babaannesinin evine kurda yakalanma olasılığını en küçükleyecek şekilde varması için izlemesi gereken roayı Dinamik Programlama ile bulunuz. Yapığınız hesaplamaları ayrınılı olarak göseriniz. % 6 1 % 8 2 % 21 p ij A % 7 % 19 % 8 B % 11 3 % 10 4 % 10 f i : i nokasından B nokasına en kısa mesayeyi gösermek üzere; f B = 0 f 4 = f B + 0,10 = 0,10 f 2 = Min { f B + 0,21 ; f 4 + 0,08 } = Min {0,21 ; 0,18} = 0,18 f 3 = Min { f 2 + 0,19 ; f 4 + 0,10 } = Min {0,37 ; 0,20} = 0,20 f 1 = Min { f 2 + 0,08 ; f 3 + 0,07 } = Min {0,26 ; 0,27} = 0,26 f A = Min { f 1 + 0,06 ; f 3 + 0,11 } = Min {0,32 ; 0,31} = 0,31 ( 4 üzerinden) ( 4 üzerinden) ( 2 üzerinden) ( 3 üzerinden) Ayşe nin izlemesi gereken roa: A-3-4-B, bu roada giderse yakalanma olasılığı %31 olacakır.
2. ATK-San küçük çaplı bir ersanede sandal üreimi yapan bir firmadır. Firmanın önümüzdeki dör sezondaki sandal alepleri abloda verilmişir. Sezonluk işçi bulunabilirliği ve hammadde maliyelerindeki değişimden öürü sezonluk üreim maliyeleri farklılık gösermekedir ve abloda her sezon için üreim maliyei verilmişir. Bir sezonda sabi üreim maliyeinin 80.000TL dir. Bir sandalı bir sezon soka bulundurma maliyei ise 10.000 TL dir. ATK-San ın en küçük maliyele alepleri karşılayabilmesi için uygulaması gereken üreim planını Wagner-Whiin yönemi kullanarak bulunuz. Sezon Üreim maliyei Talep (ade) (1.000TL/ade) 1 25 4 2 30 7 3 25 3 4 20 2 f =. sezonda üreim yapılması durumunda, +1, 4. sezonlardaki alebi karşılamanın en küçük maliyei f min c f c j j 0,1,2,... T K c ( d j d 1 j 1... d j ) h( d 1 2* d 2... j * d j ) f 5 = 0 f 4 = 80 + 20 (2) + f 5 = 120 { sadece 4. Sezon için üre} f 3 = Min 80 + 25 (3) + f 4 = 275 { sadece 3. sezon için üre } 80 + 25 (3+2) + 10 (2) + f 5 = 225* { 3 ve 4. sezonlar için üre } ** 80 + 30 (7) + f 3 = 515 { sadece 2. sezon için üre } f 2 = Min 80 + 30 (7+3) + 10 (3) + f 4 = 530 { 2 ve 3. sezonlar için üre } 80 + 30 (7+3+2) + 10 (3 + 2*2) + f 5 = 510* { 2,3 ve 4. sezonlar için üre } ** 80 + 25 (4) + f 2 = 690 { sadece 1. sezon için üre } f 1 = Min 80 + 25 (4+7) + 10 (7) + f 3 = 650* { 1 ve 2. sezonlar için üre }** 80 + 25 (4+7+3) + 10 (7 + 2*3) + f 4 = 680 { 1,2 ve 3. sezonlar için üre } 80 + 25 (4+7+3+2) + 10 (7 + 2*3 + 3*2) + f 5 = 670 { 1,2,3 ve 4. sezonlar için üre } Sonuç: 1. sezonda 1 ve 2. sezonlar için 11 ade; 3. sezonda 3 ve 4. sezonlar için 5 ade üreim yapılmalıdır. 2. ve 4. Sezonlarda üreim yapılmamalıdır. Verilen üreim planının maliyei 650 bin TL dir.
3. Aşağıdaki doğrusal olmayan programlama modelini uç nokalarını analiz ederek çözünüz. DURUM 1. a < x < b içerisindeki f (x) = 0 olan nokalar: f (x) = ( ) olan nokalar x = 0 ve x = 2 dir. Bu nokaların yerel min veya maks olduğunu anlayabilmek için ikinci ürevine bakılır. f (x) = 6x-6 f (0)= -6 yerel maksimum f (2)= 6 yerel minimum Aday uç noka (x = 2) DURUM 2. f (x) in anımlı olmadığı nokalar: Verilen problemde f (x) in anımlı olmadığı noka yokur DURUM 3. [a,b] aralığının a ve b nokaları x = -2 ve x = 4 nokalarının yerel min veya maks olduğunu anlayabilmek için bu nokalardaki birinci ürevlere bakılır. f (x) = f (-2) = 24 yerel minimum aday uç noka (x = -2) f (4) = 24 yerel maksimum sonuç olarak (x = 2) ve (x = -2) olmak üzere iki yerel miminum belirlenmişir. f (2 ) = -5 ; f (-2 ) = -21 olduğu için çözüm x = -2, f = -21
4. Aşağıda bir projenin kriik yolunu bulabilmek için kurulmuş DP nin Lindo kodları ve çözüm raporu verilmişir. Buna göre soruları cevaplayınız. a) Proje ağını çiziniz ve faaliye sürelerini ağ üzerinde göseriniz. b) Proje faaliyelerini ve öncelik ilişkilerini bir abloda göseriniz. c) Proje kriik yolunu belirleyiniz. Proje en kısa ne kadar sürede biirilebilir? d) Tüm faaliyeler için en olası (m), en iyimser (a) ve en köümser (b) faaliye sürelerini; m = önceki aşamada bulunan faaliye süresi, a = 0,8m ve b = 1,2m kabul ederek projenin 30 günden önce biirilme olasılığını hesaplayınız. Lindo kodu min x8-x1 s A) x2-x1 > 3 B) x3-x2 > 3 C) x5-x2 > 4 D) x4-x2 > 2 E) x5-x4 > 3 F) x5-x3 > 4 G) x6-x3 > 5 H) x7-x6 > 6 I) x6-x5 > 5 J) x7-x5 > 4 K) x7-x4 > 2 L) x8-x7 > 6 End Sonuç Raporu LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 27.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X8 X1 27.000000 X2 3.000000 X3 X5 6.000000 1 X4 5.000000 X6 X7 15.000000 21.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES A) -1.000000 B) -1.000000 C) 3.000000 D) E) 2.000000 F) -1.000000 G) 4.000000 H) -1.000000 I) -1.000000 J) 7.000000 K) L) 14.000000-1.000000 NO. ITERATIONS= 6
a) b) Faaliye Öncül Faaliye Süre A - 3 B A 3 C A 4 D A 2 E D 3 F B 4 G B 5 H G, I 6 I C, E, F 5 J C, E, F 4 K D 2 L H, J, K 6 c) Projenin kriik yolunu Lindo çıkısında gölge fiyaı -1 olan kısılarla ilgili faaliyeler oluşurur: Kriik faaliyeler: A, B, F, H, I, L Kriik yol: 1-2-3-5-6-7-8 Toplam süre: 27 d) Kriik faaliyelerin a, b ve m değerleri ile beklenen değerleri ve varyansları aşağıdaki ablodaki gibi hesaplanır: Faaliye a b m E(Tij) Var(Tij) A 2,4 3,6 3 3 0,04 B 2,4 3,6 3 3 0,04 F 3,2 4,8 4 4 0,071111 H 4,8 7,2 6 6 0,16 I 4 6 5 5 0,111111 L 4,8 7,2 6 6 0,16 Proje 27 0,582222 Projenin amamlanma süresi beklenen değeri 27, varyansı 0,58 (veya sandar sapması 0,76.) olan normal dağılıma uyar. P(CP 30) = P[(CP-27)/0,76 (30-27)/0,76)] = P(Z 3,93) = 0.9990