DIŞBÜKEY FONKSİYONLAR H. Turgy Kptnoğlu A. Dışbükey Kümeler Geometri derslerinden eğer ort öğrenimde hâlâ geometri dersi klmışs düzlemdeki dışbükey şekillerin nsıl şeyler olduklrı hkkınd bir fikrimiz vrdır. Üçgen, kre, dire, ymuk, düzgün beşgen, ltıgen, vb. dışbükey şekillerdir, fkt yıldız değildir, çünkü yıldızın dışındkı bölge yıldız doğru girintiler ypr. Bunun mtemtiğe dh uygun ifdesi şudur: Yıldızın içinde frklı kollrınd öyle iki nokt bulbiliriz ki bu noktlrı birleştiren doğru prçsı mutlk yıldızın dışın tşr. A, B düzlemde iki nokt ve t, 0 t sğlyn gerçel syı ise, ta+tb noktlrının kümesi A ile B yi birleştiren doğru prçsını verir. t sıfırdn bire doğru rtrken, A dn B ye gideriz; t = iken A ile B nin tm ortsındyızdır. t > vey t < 0 olmsı noktlrdn birinin öbür trfın geçmiş olduğumuzu gösterir. Koordint kullnırsk, A =,, B = b, b yzrız ve ta + tb = t + tb, t + b olur. A ve B nin n boyutlu gerçel uzyd R n de noktlr olmsı durumund d benzer kvrmlr ve ilişkiler geçerlidir. Tnım. D R n olsun. Eğer her A, B D ve 0 t sğlyn her gerçel t için ta + tb D ise, D ye dışbükey küme deriz. R n de A ve B noktlrı rsındki uzklığı A B = b + + n b n ile gösteririz. Uzklığın üç temel özelliği şunlrdır. A A = 0 dir ve A B ise A B > 0 olur. t bir gerçel syı ise, ta tb = ta B = t A B sğlnır. t = hlinde ise bu A B = B A verir; bu simetri özelliğidir. 3 A B A C + C B ; bu üçgen eşitsizliği dir., frklı iki noktnın, birbirine ne kdr ykın olurlrs olsunlr, rlrındki uzklığın sıfır olmyğını söyler., A nın B ye oln uzklığı, B nin A y oln uzklığıyl ynıdır demekle eşdeğerdir. 3, bir üçgende en uzun kenrın uzunluğu diğer iki kenrın uzunluklrı toplmındn kısdır demekten bşk bir şey değildir. Aynı zmnd iki nokt rsındki en kıs yolun bir doğru olmsı nlmın d gelir. Her direnin dışbükey olduğunu gösterelim. Direnin merkezi M ve yrıçpı r > 0 ise, bir X noktsının direde olmsı demek, direnin sınırı oln çemberi içerip içermediğine göre, X M r vey X M < r eşitsizliklerinden birini sğlmsı demektir. Diyelim ikinisidir. Şimdi direde A ve B diye iki nokt llım ve 0 t llım. C = ta + tb dersek, C M = ta + tb tm tm t A M + t B M < tr + tr = r eşitsizlikleri sğlnır; t ve t, pozitif olduklrındn dışın olduğu gibi çıkrlr. Sonuç olrk C = ta + tb nin de 0 t iken direde olduğu nlşılır. Bu ise direnin dışbükey olmsı demektir. B. Dışbükey Fonksiyonlr Tnım. A R bir rlık ve f : A R bir fonksiyon olsun. Eğer her, b A ve 0 t sğlyn her gerçel t için f t + tb tf + tfb sğlnıyors, f ye dışbükey fonksiyon denir. ODTÜ Mtemtik Bölümü öğretim üyesi
Örneğin fx = x fonksiyonunun A =, rlığınd dışbükey olduğunu görelim., b R ise öne b + b doğrudur, çünkü bu + b b 0, bu d b 0 denktir. = t + tb olsun. 0 t için = t + t b + ttb t + t b + tt + b = t + tt + t + ttb = t + tb buluruz ki bu Tnım nin f için gerçeklenmesidir. 0 t olduğunu nerede kullndık? Eğer t > vey t < 0 olsydı, yukrıd ilk denklemdeki t t negtif olurdu ve ikini stırdki eşitsizlik tersine dönerdi. Aynı yoll, gx = x + d şeklindeki her fonksiyonun, yni doğrulrın d dışbükey olduğunu görürüz. x = t + tb yzrsk, t = b x b ve olur ve Tnım deki eşitsizlik hlini lır. t = x b fx b x b f + x b fb fb f = x + f b y = fb f x + f, b f nin grfiğinde bulunn, f ile b, fb noktlrındn geçen doğrunun denklemidir. O hlde Tnım deki eşitsizlik, f fonksiyonunun x = ile x = b rsındki grfiğinin, f ile b, fb noktlrını birleştiren doğru prçsının ltınd vey on değiyor olduğunun ifdesidir. Ve bu A rlığındki her, b nokt çifti trfındn sğlnmlıdır. Tnım de eşitliğin ylnız doğrulr trfındn sğlndığını d burdn görürüz. Bu geometrik özellikten yrrlnrk, üstel fonksiyon hx = e x in bütün gerçel syılr kümesi üzerinde dışbükey olduğunu görürüz; tbii bu bir ispt değildir; isptı şğıd vereeğiz. Gene ynı yoll lx = ln x hiçbir rlıkt dışbükey değildir; kx = x 3 ise sdee [0, rlığı vey onun lt rlıklrınd dışbükeydir. İki çeşit dışbükeylik tnımldık. İlk kl gelen soru rlrınd bir ilişki olup olmdığı. Vr, hem de çok ykındn. f, bir A rlığınd dışbükey oln bir fonksiyon olsun. E f ile f nin A dki grfiğinin üzerinde kln bölgeyi gösterelim; yni olsun. E f = { x, y R : x A, y fx } Teorem 3. f nin A d dışbükey olmsı için gerek ve yeter şrt E f nin dışbükey olmsıdır. İspt. f dışbükey olsun ve,, b, d E f llım. Bu iki noktyı birleştiren doğru prçsinin denklemini y = b x b + x d x b b şeklinde yzbileeğimizi gördük., b A ile f ve d fb gerçeklenir. Bunlr ve f nin dışbükeyliği syesinde x b için fx b x b f + x b fb b x b + x b d = y elde ederiz. Bu ise doğru prçsının tmmının E f de kldiğini, yni E f nin dışbükey olduğunu söyler. Tersine f dışbükey değilse, öyle, b A ve rlrınd bir x 0 A vrdır ki fx 0 > b x 0 b f + x 0 b fb gerçeklenir. Bu eşitsizliğin sğ trfın s diyelim. = f + fx 0 s ve d = fb + fx 0 s tnımlylım. Açıkç > f ve d > fb dir; yni, ve b, d noktlrı E f dedir., ve b, d noktlrındn geçen doğruyu g fonksiyonu ile gösterelim. x 0 ne olurs olsun b x 0 b + x 0 b = b b = sğlndığındn, s nin tnımını kullnrk gx 0 = b x 0 b + x 0 b d = b x 0 b f + x 0 b fb + fx 0 s = s + fx 0 s = fx 0 + s < fx 0 buluruz. Bu ise, ve b, d noktlrını birleştiren doğru prçsının x = x 0 d, f nin grfiğinde oln x 0, fx 0 noktsının ltınd olduğunu ve dolyısıyl bu doğru prçsının tmmının E f de klmdiğını söyler; yni E f dışbükey değildir.
α, β 0 ise ve f, g dışbükey fonksiyonlrs, αf + βg de dışbükey olur. Dolyısıyl dışbükey iki fonksiyonun toplmı ile dışbükey bir fonksiyonun pozitif ktlrı d dışbükeydir. Am çrpımlr ve negtif ktlr için ynı şeyi söyleyemeyiz. Önerme 4. A R bir rlık, f : A R dışbükey bir fonksiyon ve < < b, A d noktlr olsun. O zmn f f eşitsizlikleri gerçeklenir. fb f b fb f b Bu önermenin geometrik nlmı şudur: A =, f, B = b, fb, C =, f dersek, [AC] nin eğimi [AB] nin eğiminden küçük vey on eşit, o d [BC] nin eğiminden küçüktür vey on eşittir. İspt. f dışbükey ve olduğundn, = b b + b b f f b b f + b fb b b f b f = b f + b fb = fb f b elde ederiz. Burdn ilk eşitsizlik çıkr. İkinisi de bun benzer. Şimdi A çık bir rlık, < < b, A d noktlr ve f : A R dışbükey olsun. gx = fx f x x [,, b] fonksiyonunu tnımlylım. Önerme 4 ü x < < b üçlüsü ile kullnırsk, g nin [, de fb f b syısı ile üstten sınırlı olduğunu, Önerme 4 ü bir kez de x < y < üçlüsü ile kullnırsk, g nin [, de rtn olduğunu görürüz. Bu son iki gözlem bize fx f lim gx = eküs = f x x [, x limitinin vrlığini söyler. Aynı şekilde fx f lim gx = ebs = f x + x,b] x + limiti de vrdır. Burd eküs ve ebs sıryl en küçük üst sınır ve en büyük lt sınır demektir. Yukrıdki iki limit birbirine eşit olmybilir. Örneğin gx = x fonksiyonu A =, d dışbükeydir, m g +0 = + ve g 0 = verir. Bu fonksiyon yrı dışbükey bir fonksiyonun türevli olmsının gerekmediğine de bir örnektir. Şimdi bir kez dh Önerme 4 ü h < < + h üçlüsü ile kullnırsk f f h h f + h f h h f + h f h buluruz. Ortdki ifdeyi görmezlikten gelir ve h 0 iken limit lırsk, f f + elde ederiz. Tekrr Önerme 4 ten ve f + nin tnımındn f + f f fb f b yzrız. Şimdi sğ trfın b + iken limitini lırsk f + buluruz ve eşitsizlikler korunur; yni < için f + f + dir. f için de ynı şey geçerlidir. Sğ ve sol türevin elimizdeki özelliklerinden şunlrı d çıkrtırız: f fx f x f + x < fx f f x + x > birlikte x A ve x için fx f + f +x verir ki bu x = için de doğrudur. Benzer bir sonuç f ile de vrdır. Şimdi toprlylım: Teorem 5. A çık bir rlık ve f : A R dışbükey olsun. O zmn f nin A nin her noktsınd sğ ve sol türevi vrdır, bu türevler rtn fonksiyonlrdır ve bir noktdki sğ türev ynı 3
noktdki sol türevden küçük değildir. A ve f m f + ise, geçerlidir. fx f + mx x A Ayrı Son eşitsizliğin geometrik nlmı şudur: Açık bir rlıktki dışbükey bir f fonksiyonunun grfiği, grfiğin bir noktsındn geçen ve eğimi, fonksiyonun o noktdki sğ y d sol türevi oln doğrunun üst trfınd klır. Eğer rlığın bir noktsınd f türevli ise, f nin bütün rlıktki grfiği, f nin türevli olduğu noktd f nin grfiğine çizilen teğetin üst trfınddır. Teorem 5 i isptlmktki mçlrımızdn biri de şuydu: Teorem 6. A çık bir rlık ve f : A R dışbükey ise, f süreklidir. İspt. A d x < y b noktlrını llım. Sğ ve sol türevin tnımlrındn ve özelliklerinden f + f +x fx fy x y f y f b elde ederiz. f + ile f b nin büyüğüne M diyelim. f o zmn [, b] rlığındn Lipshitz şrtı dediğimiz fy fx M y x eşitsizliğini sğlr. Burdn y x iken fy fx olur ve bu f nin sürekliliği demektir. Bu teoremin geçerliliği A nın çık olmsın bğlıdır. Örneğin, A = [0, ] ise ve f yi f0 = ve x 0, ] iken fx = 0 diye tnımlrsk, f dışbükeydir fkt sürekli değildir. Teorem 7. A çık bir rlık ve f : A R türevli olsun. f nin A d dışbükey olmsı için gerek ve yeter şrt f nün A d rtn olmsıdır. İspt. f dışbükey ise sğ ve sol türevlerin rtn olduğunu Teorem 5 te söyledik. f nin türevli olmsı hlinde sğ ve sol türevin ikisi birden türeve eşittir. Tersine f rtn olsun. f dışbükey olms A d öyle < < b noktlrı buluruz ki f > b b f + b fb sğlnır. Bu eşitsizlik ise Önerme 4 ün isptınd olduğu gibi f f > fb f b eşitsizliğine denktir. Her iki trf Ortlm Değer Teoremi ni [] uygulrsk, öyle < x < < y < b buluruz ki f x > f y olur. Bu ise vrsyımımızın ksine f zlıyor demektir. Çelişki f yi dışbükey olmy zorlr. Sonuç 8. A çık bir rlık ve f : A R iki kere türevlenebilir olsun. f nin A d dışbükey olmsı için gerek ve yeter şrt A d f 0 olmsıdır. İspt. f dışbükey ise, f rtndır; dolyısıyl f > 0 dır. Tersine A d f 0 olsun. < b A ve t 0, llım ve = t + tb diyelim. Ortlm Değer Teoremi nden < x < < y < b olk şekilde öyle x, y A ve x < y olduğundn ikisi rsınd öyle bir z vrdır ki f f = f x fb f = f yb f y f x = f zy x yzbiliriz. u = tf tfb diyelim. Bunlrdn ve nin tnımındn çıkn f u = tf f tfb f = tf x tf yb = ttb f x ttb f y = ttb f zx y 0 eşitsizliği f nin dışbükey olduğunu söyler. Teorem 7 ve Sonuç 8 yrdımıyl birçok tnıdık fonksiyonun dışbükey olup olmdığını gösterebiliriz. Örneğin hx = e x ise, her gerçel x için h x = e x > 0 dır ve dolyısıyl h, R de dışbükeydir. Bun krşıt olrk f nin tersi oln ve 0, rlığınd tnımlnn lx = ln x fonksiyonu tnımlndığı hiçbir yerde dışbükey değildir, çünkü x > 0 iken l x = /x < 0 dır. p > iken fx = x p fonksiyonu A = 0, rlığınd dışbükeydir, çünkü bu rlıkt f x = pp x p > 0 dır. Benzer şekilde polinomlr ve trigonometrik fonksiyonlr için de dışbükeylik rlıklrı bulbiliriz. C. Ort Nokt Dışbükeyliği Tnım 9. A bir rlık ve f : A R bir fonksiyon olsun. Eğer her, b A için + b f + fb f sğlnıyors, f ye ort noktd dışbükey denir. 4
Tnım nin ksine t syısı burd sdee / değerini lbilmektedir; dolyısıyl ort noktd dışbükeylik, dışbükeylikten dh zyıf bir kvrmdır. Teorem 0 d göreeğimiz gibi bu zyıflık süreklilikle kptılbilir. Geometrik olrk nlmı, fonksiyonun grfiğinde lınn herhngi iki noktyı birleştiren doğru prçsının ort noktsının, fonksiyonun grfiğinin ynı düşey doğrultudki noktsındn şğıd klmmsıdır. Teorem 0. A bir rlık, f : A R ort noktd dışbükey ve sürekli ise, f dışbükeydir. İspt. { k } k =,,..., A d bir dizi olsun. b = + + 3 + 4 diyelim. Tnım 9 dn b f 4 f + + f 3 + 4 4 f + f + f 3 + f 4 çıkr. Böylee tümevrıml, k şeklindeki her n için, + + n f n n f + + n olduğunu gösterebiliriz. Şimdi in doğru olduğu bir n = N llım. N = N + + N diye yeniden tnımlrsk, sıryl N = N + + N + + N f N = f N N f + + f N + N f N elde ederiz. Bunu f N için çözerek f N N f + + f N buluruz. Bu ise in n = N için de doğru olduğunu söyler. Dolyısıyl, her pozitif tmsyı n için geçerlidir. Son olrk 0 k n tmsyılr ve, b A olsun. d ilk n k noktyı, kln k noktyı d b olrk lırsk, n k f n + k n b n kf + kfb n yzbiliriz. Bu ise 0 < s < sğlyn her rsyonel syı s için f s + sb sf + sfb olmsı demektir. 0 t bir gerçel syı ise, on ykınsyn {s k } rsyonel syı dizisini bulbiliriz, ve son eşitsizliğin sğ trfı çıkç tf + tfb ye ykınsr. f sürekli olduğundn, lim k f s k+s k b = f lim k s k+s k b = f t + tb tf + tfb yzbiliriz. Bu ise Tnım deki eşitsizlikten bşk bir şey değildir. D. Jensen Eşitsizliği Mtemtikte çok bilinen ve kullnıln eşitsizliklerin birçoğu slınd Jensen eşitsizliği nin değişik dışbükey fonksiyonlrl kullnılmsındn elde edilir. Bu, dışbükeylik kvrmının ne kdr temel bir kvrm olduğun işrettir. Aşğıd şşırtıı birkç örnek vereeğiz. Öneminden dolyı Jensen eşitsizliğinin iki yrı şeklini veriyoruz. Bu iki şekil slınd birbirinden çıkrılbilir. Teorem. A çık bir rlık ve f : A R dışbükey olsun. t + + t n = olk şekilde pozitif syılr ve x x n A llım. O zmn n f t k x k t k fx k sğlnır. Eşitliğin sğlnmsı için gerek ve yeter şrt f nin [x, x n ] rlığınd bir doğru olmsıdır. İspt. p = t x + t x + + t n x n dersek, p t x n + t x n + + t n x n = t + + t n x n = x n ve benzer şekilde p x buluruz. Yni p A dır. Teorem 5 ten her x k için fx k f +px k p + fp olduğunu biliyoruz. Bu eşitsizliğin her iki trfını t k ile çrpr ve sonr k = den k = n ye kdr toplrsk, t k fx k f +p t k x k pf +p t k 5
+ fp t k = pf +p pf +p + fp n = f t k x k elde ederiz. n üzerinde tümevrım kullnrk değişik bir ispt verebilirdik. Eşitlik hli ile ilgili iddiyı d dışbükeyliğin tnımındn sonr verdiğimiz geometrik çıklmdn rhtç görürüz. Teorem. g : [, d], b sürekli ve f :, b R dışbükey olsun. O zmn f d sğlnır. gx dx d fgx dx İspt. Teorem in isptın benzer şekilde p = d gx dx dersek, gene < p < b olur. Teorem 5 ten her y, b için fy fp + f +py p olduğunu biliyoruz. y = gx lırsk fgx fp + f +pgx p buluruz. Şimdi bu eşitsizliğin her iki trfının den d ye integrlini lırsk, fgx dx fp pf +p dx + f +p dx gx dx = fpd + f +ppd pf +pd = d f d gx dx elde ederiz. Artık her iki trfı d ye bölmek yeteektir. Bu ve bundn sonrki integrlle ilgili sonuçlrd slınd integrli lınn fonksiyonun sürekli olmsı, tnım kümesinin bir rlık, htt gerçel syılrın bir ltkümesi bile olmsı bile gerekmez. Üzerinde integrl lınbileek bir küme ve integrli tnımlnbileek bir fonksiyon yeter. Şimdi Teorem de fx = e x = exp x lırsk, [0, ] rlığınd tnımlı sürekli bir g fonksiyonu için exp y d hx = e gx olğındn, exp 0 gx dx ln hx dx 0 e gx dx, yzrsk gx = ln hx 0 hx dx buluruz. t = t = = t n = n lır ve fx = ex i Teorem de kullnırsk exp n x + + x n n ex + + e xn, y d y k = e x 4 yzrsk x k = ln y k olğındn, y y n /n = exp lny y n /n = exp n lny y n = exp n ln y + + ln y n n y + + y n elde ederiz. Bu ise ritmetik-geometrik ortlm eşitsizliği dir. n = ldığımızd iyi bildiğimiz y y y + y şekline girer. Teorem de bütün t k leri eşit lmk yerine her birini pozitif ve toplmlrı olk şekilde seçersek, ritmetik-geometrik ortlm eşitsizliğinin dh genel hli oln y t y t n n t y + + t n y n eşitsizliğini de buluruz [4]. Teorem i bu kez fx = e x dışbükey fonksiyonu ile kullnk olursk, yukrıdkilere benzer işlemlerden sonr t y + + tn y n y t y t n n eşitsizliğini buluruz. Bu, n = ve eşit t k ler ile y + y y y biçimine girer. Son iki eşitsizliğin sol trfın hrmonik ortlm denir [4]. 6
Hrmonik, geometrik ve ritmetik ortlmlrın rsındki bğıntılrd eşitlik olmsı için Teorem de söylendiği gibi fx = e x ve fx = e x fonksiyonlrının [x, x n ] rlığınd doğru vermesi şrttır. Bu d nk x = x = = x n iken mümkündür. Dolyısıyl verdiğimiz üç çeşit ortlmnın birbirine eşitliği nk bütün syılr birbirine eşitse oluşur. Bu dergide bşk yzılrdki [,3,6] bzı eşitsizlikler de Jensen eşitsizliğinde uygun dışbükey fonksiyonlr seçilerek elde edilebilir. E. Hölder, Cuhy-Shwrz ve Minkovski Eşitsizlikleri Dışbükey fonksiyonlrdn söz ederken çoğu kez toplmlrı oln iki pozitif syı kullndık. Bu iki syıyı birz dh özel seçebiliriz: p ve q, toplmlrı ve çrpımlrı ynı, yni p + q = pq oln pozitif iki gerçel syı olsun. Bu şrt p + q = olmsı demektir. Böyle seçilen p ve q y birbirinin eşleniği denir. p ve q eşlenik iseler, < p, q < olğı çıktır; öbür türlü birinin negtif olmsı gerekirdi. Eşlenik iki syıdn birinin sınırsız rtmsı diğerinin e yklşmsını gerektirir. Fkt bir gerçel syı olmdığındn dolyi p = y d q = lmyğiz. Önemli bir özel durum, p = q = simetrik hlidir. Aşğıdki teoremlerde seçeeğimiz syılr ve fonksiyonlr gerçel vey krmşik değerli olbilir. Durum göre, mutlk değer vey modülü gösterir. Pozitif syılr vey fonksiyonlr için tbii ki kullnmy gerek klmz. Teorem 3. < p < ve q, p nin eşleniği olsun.,..., n ve b,..., b n syılrı n /p n /q k b k k p b k q eşitsizliğini sğlr. Bun Hölder eşitsizliği denir. İspt. Syılrdn sıfır olnlrı toplmlr ktkılrı olmdıklrındn tılmış kbul edelim. Göstereeğimiz eşitsizliğin sğındki iki çrpn sıryl A ve B diyelim. Açıkç 0 < A, B < dur. O zmn k = k /A ve d k = b k /B tnımlmmızd sorun çıkmz; k ve d k ler de 0 dn frklıdır. Üstelik k p = d k q = sğlnır. Üstel fonksiyon 0, rlığındki her değeri ldığındn, her k ye krşılık k = e s k/p ve d k = e t k/q gerçekleyen s k ve t k pozitif syılrını bulbiliriz. p ve q eşlenik olduklrındn üstel fonksiyonun dışbükeyliği exp verir. Bu ise sk p + t k q p es k + q et k k d k p k p + q d k q demektir. Bu işlemi her k =,..., n için ypıp toplrsk k d k p k p + q = p + q = d k q elde ederiz. k ve d k nin tnımını htırlrsk ispt biter. Hölder eşitsizliğinin de integrl hli vrdır. İsptını, Teorem 3 ünküne çok benzer olduğundn vermiyoruz. Teorem 4. < p < ve q, p nin eşleniği olsun. Bir [, b] rlığınd tnımlı f, g sürekli fonksiyonlrı b fxgx dx, b eşitliğini sğlr. /p b /q fx p dx gx q dx p = q = hlinde Hölder eşitsizliği Cuhy-Shwrz eşitsizliği dını lır. Mutlk değerin temel özellikleri oln b k b k k b k b fxgx dx fxgx dx eşitsizlikleri ile birleştirildiğinde, iki vektörün iç çrpımının mutlk değeri en fzl vektörlerin boylrının çrpımı kdrdır nlmın d gelir. İsptını inelersek, Teorem 3 te eşitliğin sğlnbilmesi için d her k için eşitlik olmsı gerektiğini görürüz. Ortlmlrdki eşitlik 7
hlleri ile ilgili çıklmlrdn, bunun nk her k için s k = t k olmsı ile mümkün olduğu orty çıkr. Bu ise her k için k p = d k q olmsı demektir. Sonuç olrk Hölder şitsizliğinde eşitliğin vr olbilmesi için gerek ve yeter şrt her k için k p / b k q = C gerçekleyen sıfırdn frklı bir C syısının vrlığıdır. İntegrlli durumd ise eşitlik için gerek ve yeter şrt her x [, b] için fx p / gx q = C gerçekleyen ve sıfır olmyn bir C syısının vrlığıdır. Cuhy- Shwrz eşitsizliklerinde eşitlik için sğlnmsı gerekenler k / b k = C vey fx / gx = C şeklinde yzılbilir. Teorem 5. < p < olsun.,..., n ve b,..., b n syılrı n k + b k /p p n /p n /p k p + b k p eşitsizliğini sğlr. denir. Bun Minkovski eşitsizliği İspt. Gene öne 0 lrı tmkl işe bşlylım. O zmn bütün toplmlr 0 ile rsınddır. k + b k p = k k + b k p + b k k + b k p yzıp toplr ve sğdki terimlere yrı yrı Hölder eşitsizliğini uygulrsk, k k + b k p n /p n k p k + b k /q p q ve bunun k ile b k nin yeri değiştirilmiş hlini elde ederiz. Burd q, p nin eşleniğidir ve bu yüzden p q = p olur. Elimizdekileri toplrsk k + b k p n k + b k /q p [ n /p n /p ] k p + b k p buluruz. Şimdi her iki trfı sğdki ilk çrpn böler ve /q = /p olduğunu kullnırsk istediğimizi elde ederiz. Teorem 6. < p < olsun. Bir [, b] rlığınd tnımlı f, g sürekli fonksiyonlrı b /p p fx + gx dx b eşitsizliğini sğlr. /p b /p fx dx p + gx p dx Minkovski eşitsizliği de mutlk değerin temel özellikleri oln k + b k p k + b k p fx + gx p fx + gx p eşitsizlikleri ile birleştirilebilir. p = q = hlinde üçgen eşitsizliği ni elde ederiz. Yzının bşındki üçgen eşitsizliğiyle ilişkiyi kurmk için, b k leri b k ler ile değiştirmek yeter. Minkovski eşitsizliğinde eşitlik hlini inelemek için, isptınd kullnıln Hölder eşitsizliklerinde eşitliğin hngi durumlrd olğın bkrız. Burdn elde edilen gerek ve yeter şrt her k için vey her x [, b] için k / b k = C vey fx / gx = C gerçekleyen sıfırdn frklı bir C syısının vrlığıdır. Yukrıdki eşitsizliklerden bir kısmı bu dergide dh öne de yyımlnmıştı [5]. Am burd dh genel hllerini verdik ve dyndıklrı temel noktnın dışbükeylik olduğunu gösterdik. KAYNAKÇA [] E. Alkn, Bir Eşitsizlik Üzerine, Mtemtik Dünysı, 5, syı 4, 7 8 995. [] Ş. Alpy, Rolle ve Ortlm Değer Teoremleri, Mtemtik Dünysı,, syı 5, 6 8 99. [3] Y. Avı & N. Ergun, Alkn ın Eşitsizliğine Ek, Mtemtik Dünysı, 6, syı, 9 996. [4] H. Demir, Bzı Ortlmlr, Mtemtik Dünysı,, syı, 7 99. [5] A. K. Erkip, Bzı Temel Eşitsizlikler, Mtemtik Dünysı,, syı 4, 0 3 99. [6] A. K. Erkip, Emre Alkn ın Eşitsizliği Üzerine, Mtemtik Dünysı, 6, syı, 0 996. [7] J. vn Tiel, Convex Anlysis, Wiley, Chiester, 984. 8