OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre objektif bir şekilde değerledire bir bilim dalıdır. Temel Kavramlar İşlememiş veri: Sayılabile yada ölçülebile icelikleri gözlemler soucu elde edildiği hali ile derlediği bilgiler. Rastgele deey: Deey koşulları değişmemek şartı ile souçları öcede kesilikle kestirilemeyeceği deeyler. Örek uzayı: Gözlem souçlarıı tümüü oluşturduğu küme. Örek: Örek uzayıda alıa bir very yada very grubu Ortalama Değer (Beklee değer): ölçüm soucu içere ve her birii frekası (tekrarlama sayısı) f i ile verile bir örek uzayı içi x = f 1 x 1 + f 2 x 2 + f x = ( 1 ) f i x i Varyas ve Stadart Sapma: Bir örek uzayıdaki verileri beklee değer etrafıda dağılımıı bir ölçüsü. i=1 (1.) Var(X) = ( 1 ) (x i x ) 2 i=1 (2.) S x = [Var(X)] 1 2 (3.) Stadart Hata: S e,x = S x (4.) Bu durumda gözlem souçları X = x ± S e,x olarak rapor edilir.
Bilgileri Düzelemesi ve Suumu: Gözlem souçlarıı verileri değişim aralığı ve takrarlamalarıı grafik olarak suulmasıdır. Bu diyagramlar Histogram olarak adladırılır. Frekas: Bir verii kaç kez tekrarladığıı belirtir. Bağıl frekas: bir sııf aralığıa düşe veri sayısıı toplam veri sayısıa oraıdır. Frekas yoğuluğu: Bağıl frekası aralık uzuluğua bölümesiyle elde edile ora. Birikimli frekas: Bağıl frekasları ardışık toplaması ile elde edile değerdir. Histogramlar, yukarıda belirtile tüm frekas terimleri içi hazırlaabilir. Verdiği bilgiler ayı olmakla birlikte suuş şekli ve alatılması değişim gösterir.
OLASILIK TEORISI Taimlar ve Teoremler Olasılık Teorisi: Matematiği belirsizlik taşıya olaylar ile ilgilee bilim dalıdır. Rastgele Değişke: Gözlem soucu öcede biliemeye değişkelerdir. Rastgele olay: Rastgele değişkeleri her hagi bir değer alması. Küme: Tüm olayları oluşturduğu grup. Bir X rastgele değişkeii x i değerii alma olasılığı P(X = x i ) = p i olarak taımlaır. Ayrık olaylar: İki olayı birleşimide her hagi bir olayı bulumaması Ayrıık olmaya olayları bileşkesi P(A B) = P(A) + P(B) (5.) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (6.) İki boyutlı örek uzayı: X ve Y gibi iki değişkei birlikte ölçülmesi durumuu ifade eder. Souçta (x i, y j ) gözlem çifti elde edilir. Koşullu örek uzayı: X = x i olayıı meydaa gelmesii acak ve acak Y = y i olayıı meyada gelmesi ile mümkü olduğu durumları ifade eder ve (X = x i Y = y i ) olarak ifade edilir. Koşullu bir olayı olasılığı P(A B) = P(A B)/P(B) ile verilir. Ve buu bir soucu olarak ta P(A B) = P(A B). P(B) olarak ifade edilebilir. Toplam olasılık teoremi: Bir A olayı eğer acak ve acak başka olayları ortaya çıkması koşulu ile meydaa geliyor ise, A olayıı toplam olasılığı P(A) = P(A B i ). P(B i ) i=1 (7.) ile belirleebilir.
RASTGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIMLARI Kesikli rastgele değişkeler: Örek uzayıda elema sayısı solu ola ve belirli aralıklarla tekrar ede değişkelerdir. Sürekli Değişkeler: Örek uzayıdaki eleme sayısı sosuz ola değişkelerdir. Olasılık yoğuluk foksiyou: Sürekli değişkeleri icelediği bir durumda herhagi bir X değerii x ile x+dx arasıda alma olasılığıı ifade ede bir fosiyoduır. P(x < X < x + dx) = f(x). dx (8.) Burada f(x) foksiyou kesikli değerleri aalizide taımlaa bağıl frekas kavramıı ormalize edilmiş durumua karşılık gelir. x ise değişkei ölçülme aralığıı ifade eder.
Rastgele değişkeleri dağılımıı karakterize ede parametreler Ortalama değer: Ortalama değer ifadesi, x, bir kaç farklı adladırma ile de suulmaktadır. Bular: Beklee değer, E(X), birici merkezsel momet, m x, ağırlıklı ortalama değer, μ x, yada μ. x = μ = m x = E(X) = x. f(x). dx (9.) Medya, x m,: Altidaki üstüdeki değerleri olasılıklarıı eşit olduğu değerdir. x m f(x). dx Mod, x, Olasılığı e yüksek olduğu değerdir. = 0.5 = f(x). dx (10.) x m Varyas, Var(X), ve Stadart Sapma, σ x, :Sürekli bir dağılımı ortalama civarıda yayılımı ölçüsüdür, ve ikici merkezsel momet ile verilir. Var(X) = (x m x ) 2. f(x). dx (11.) σ x = [Var(X)] 1 2 (12.) Dağılımı Çarpıklığı, θ,: Bir dağılımı asitrisii bir ölçüsüdür. Üçücü merkezsel momet ile verilir. Burada üçücü momet E(X m x ) 3 θ = E(X m x) 3 σ x 3 (13.) E(X m x ) 3 = (x m x ) 3. f(x). dx (14.) θ > 0 pozitif çarpıklığı, saga uzaya kuyruğu, θ < 0 egatif çarpıklığı, saga uzaya kuyruğu, ve θ = 0 dağılımı simetrik olduğuu ifade eder. Kurtosis katsayısı: Dağılımı sivriliğii bir ölçüsüdür ve dördücü momet hesabıda belirleir.
k x = E(X m x) 4 σ x 4 (15.) Buradadördücü momet E(X m x ) 4 E(X m x ) 4 = (x m x ) 4. f(x). dx (16.) Çok Değişkeli Dağılımlar: X ve Y gibi iki rastgele değişkei birlikte ölçüldüğü durumlarda, her bir değişkei dağılımlarıa ait parametreleri belirlemesii yaıda, iki değişkei dağılımları arasıdaki ilişkii belirlemeside kullaıla merkezsel çarpım mometii belirlemesi de öemlidir ve bu çarpım kovaryas olarak adladırılır. Cov(X, Y) = E[(X m x )(Y m y )] (17.) Cov(X, Y) = (x m x )(y m y ). f(x, y). dxdy (18.) Kovaryası boyutsuzlaştırılması ile elde edilecek korelasyo(uyumluluk) kaysayısı da 0 ile 1 arasıda bir değer ile uyumluluğu, doğrusal bağımlılığı, ölçüsüü özet olarak belirler ve şu şekilde verilir. ρ x,y = Cov(X, Y) σ x. σ y (19.)
OLASILIK DAĞILIM MODELLERİ Normal Dağılım (Gaussia Dağılımı, Ça Eğrisi) Dağılımı ifade ede olasılık yoğuluk foksiyou f(x) = 1 σ 2π exp [ 1 μ 2 (x 2 σ ) ] (20.) Normal dağılımı temel özellikleri: Normalizedir. f(x). dx = 1 (21.) Ortalamaya göre simetriktir, ve ortalama değer ayı zamada mod ve medyadır. μ f(x). dx = f(x). dx μ (22.) Çarpıklığı yoktur, θ = 0, ve sivrilik katsayısı, k x, 3 e eşittir. Değerleri %68.26 sı μ ± σ, %95.4 ü μ ± 2σ, ve %99.74 ü μ ± 3σ aralığıda yer alır. Stadart Normal Dağılım Normal dağılımda μ = 0 ve σ = 1 e karşılık gele dağılımdır. Dağılım foksiyou Deklem 23 e idirgeir. f(x) = 1 2π Stadart ormal dağılımda bir değişkei olasılıkları A = satadart ormal dağılım tablosuda belirleebilir. exp [ x2 2 ] (23.) Z f(z)dz itegrali ile belirlemiş Buu yaıda her ormal dağılım souçları (X μ) σ döüştürmesi ile stadart ormal dağılıma döüştürülebilir.