DEÜ MÜHENDİSİK FAKÜTESİ FEN ve MÜHENDİSİK DERGİSİ Clt: 7 Sayı: s. 7-85 Oca 5 ÜÇ BOYUTU BİR ÇERÇEVENİN UZAYSA VE DÜZEMSE STATİK YAPISA DAVRANIŞARININ KIYASANMASI (THE COMPARISON BETWEEN THE SPACE AND PANAR STATIC STRUCTURA BEHAVIOUR OF A SPACE FRAME ) Yusuf YEŞİCE* ÖZET/ABSTRACT Yapı Mühendslğnde, taşıyıcı sstem çubu elemanlardan meydana gelen düzlem ya da uzaysal çerçevelern est tesrlernn ve deplasmanlarının hesaplanmasında ullanılan pe ço paet programın hesap algortması matrs deplasman yöntem üzerne urulmuştur. Bu çalışmada üç boyutlu uzaysal çerçevelern matrs deplasman yöntem le çözümü çn br hesap algortması ve sayısal örne sunulmuştur. Uzaysal çerçevenn ç uvvetler matrs deplasman yöntem ullanılara hesaplanmış, uzaysal çerçeve eş değer düzlem çerçeveye dönüştürülere modellenmş ve SAP paet programı ullanılara ç uvvetler hesaplanmıştır. Uzaysal ve düzlem çerçevenn ç uvvetler ıyaslanmış ve sonuçlar graf ve çzelgeler halnde sunulmuştur. In structural engneerng, the pacets program of, calculaton nternal forces and dsplacements of plane or space frame, are usng matrx dsplacement method. In ths study, a calculaton algorthm and a numercal example are presented for statc analyss of space frames by matrx- dsplacement method. The nternal forces of the space frame has been obtaned by usng matrx- dsplacement method, the space frame has been modeled as plane frame and the nternal forces are obtaned by usng SAP pacet program. The nternal forces of the space and the plane frame are compared and the results are presented n graphs and tables. ANAHTAR KEİMEER/KEYWORDS Uzaysal çerçeve, Düzlem çerçeve, Matrs deplasman yöntem Space frame, Plane frame, Matrx- dsplacement method *Douz Eylül Ünverstes Mühendsl Faültes İnşaat Müh. Bölümü, Buca, İZMİR
Sayfa No: 74 Y.YEŞİCE. GİRİŞ Taşıyıcı sstem ço atlı, ço açılılı çerçevelerden oluşan yapılarda, taşıyıcı ssteme etyen yüler, global esenler doğrultusunda yönlere ndrgendğnde; üç boyutlu uzaysal çerçeve davranışı, gerçe davranışa yaındır. Bu çalışmada, stat yüler altında uzaysal çerçevelern ç tesrlernn matrs deplasman yöntem le hesaplanması ve bu ç tesrlern uzaysal çerçevelern, düzlem çerçeve gb çözülmes le elde edlen ç tesrler le arşılaştırılması amaçlanmıştır.. YAPIAN KABUER Çalışmada hesap olaylığı sağlayan aşağıda abuller yapılmıştır:. Uzaysal çerçevey oluşturan çubuların malzeme davranışı doğrusal elasttr.. Çubular doğru esenldr.. İnc mertebe tesrler hmal edlmştr.. MATRİS DEPASMAN YÖNTEMİ Matrs deplasman yöntemnde, çubu uç deplasmanlarından, çubu uç uvvetlerne geçş sağlayan rjtl matrsnn urulması öneml yer tutmatadır. Taşıyıcı sstemn tüm çubularının, düğüm notalarının onumu, global oordnat taımı le; çubuların bağımsız olara te te onumları, loal oordnat taımı le tanımlanablr. Uzaysal çerçeve elemanın global ve loal doğrultularda uç uvvetler Şel de sunulmuştur (Armenaas, 99; Çaıroğlu vd., 97; Çaıroğlu vd., 99; Çatal, ). x y M y P y P x M x M jy P z M y P jy M z P y M jx (a) P jx j P jz M jz z M jz M jy P jy P jz P jx j M jx M z P z z P x y (b) x M x Şel. a: oal doğrultularda uç uvvetlernn vetörel gösterm b: Global doğrultularda uç uvvetlernn vetörel gösterm
Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 7 Sayı : Sayfa No: 75 P jx, P jy, P jz, M jx, M jy, M jz, P x, P y, P z, M x, M y, M z loal doğrultularda; P jx, P jy,p jz, M jx, M jy, M jz, P x, P y, P z, M x, M y, M z global doğrultularda çubu uç uvvetlern göstermetedr. Global doğrultularda çubu uç uvvetler le, global doğrultularda çubu uç deplasmanları arasında matrs bağıntı aşağıda gb yazılır (Çaıroğlu vd., 97; Çaıroğlu vd., 99; Çatal, ; vesley, 964; Tezcan, 97). A { P } [ K ]{ D} + { P } = () S Burada; {P}, taşıyıcı sstemn düğüm notalarına global serbestl dereceler doğrultusunda etyen dış yüler vetörünü; [K S ], eleman global rjtl matrsler ullanılara odlama yöntem le urulan global doğrultularda sstem rjtl matrsn; {D}, elemanları; global doğrultuda sstemn düğüm notalarında oluşan deplasman vetörü; {P A }, elemanları; taşıyıcı sstemn elemanları üzernde dış yülern, global doğrultularda düğüm notalarında oluşturduları anastrel uvvet ve momentlernden oluşan vetörü göstermetedr (Çatal ve Yazıcı, 994)... Eleman Global Rjtl Matrs Taşıyıcı sstem oluşturan çubuların global doğrultularda eleman rjtl matrs, meante blnen enerj yöntemler, Castglano Teoremler gb yöntemler ullanılara aşağıda gb elde edlr (Armenaas, 99; Çaıroğlu vd., 97; Çaıroğlu vd., 99; Çatal, ; Tezcan, 97). [ ] el = Smetr 4 4 4 44 5 5 5 45 55 6 6 6 46 56 66 - - 47 57 67-48 58 68-49 59 69 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 5 5 5 4 5 5 5 5 5 45 55 6 6 6 4 5 6 6 6 6 46 56 66 () Burada; [ el ], global doğrultularda eleman rjtl matrsn göstermete olup, j termler aşağıda sunulmuştur (Çatal, ). AE EI EI AE EI EI = + ; = cxcy xcy x c y cx x c x AE EI EI 6EI 6EI = + ; 4 = c xcx xcx cxcz xcz c x c z 6EI 6EI = + ; 6 = c xcx xcz 5 cxc y c xcy
Sayfa No: 76 Y.YEŞİCE AE EI EI AE EI EI = + ; = cycz ycz y c z cy y c y 6EI 6EI = + ; 5 = c ycy ycy 4 cyc x c ycx = + ; 6 cyc z c ycz 4 czc x c zcx AE EI EI + = cz z c z 6EI 6EI = + ; 5 = c zcy zcy = + ; 6 czc z c zcz 45 cxcy xcy cxcy GI 4EI 4EI + 44 = cx x cx GI 4EI 4EI GI 4EI 4EI = + ; 46 = cxcz xcz xcz 6EI 6EI = + ; 48 = c xcy xcy 47 cxc x c xcx = + ; 49 cxc z c xcz GI EI EI = + ; 4 cxcy xcy cxcy GI EI EI = + ; 4 cxcz xcz cxcz GI 4EI 4EI + GI EI EI + 4 = cx x cx 55 = cy y cy 56 cycz ycz ycz + GI 4EI 4EI = ; = ; 57 = c ycx c ycx 58 cycy ycy + 59 = c ycz c ycz GI EI EI + 5 = cycz ycz cycz + GI EI EI = + ; 5 cy y cy GI 4EI 4EI = + ; 66 cz z cz = ; 67 = c zcx c zcx 68 czcy zcy + 69 = c zcz c zcz GI EI EI + 6 = cz z cz
Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 7 Sayı : Sayfa No: 77 Burada;, çubu boyunu; E, elastste modülünü; G, ayma modülünü; A, çubu en est alanını; c x =cosα x ; c y =cosα y ; c z =cosα z ; c x =cosα x ; c y =cosα y ; c z =cosα z ; c x =cosα x ; c y =cosα y ; c z =cosα z ; I, I, I, loal esenlere göre atalet momentlern göstermetedr. Global eleman rjtl matrsnde yer alan (α j ) açısı, loal esenler le global esenler arasında açıyı tanımlamatadır. (α) açısının () nds, loal (,, ) esenlern; (j) nds, (x,y,z) global esenlern göstermetedr. Örne olara α x, α z, α x açıları Şel de sunulmuştur. y j.. α z α x x α x z Şel. Global ve loal esenler arasında açılar.. Kodlama Yöntem le Global Rjtl Matrsnn Elde Edlmes Uzaysal çerçeve elemanın global rjtl matrsnn () nc satır, (j) nc sütununda j term, elemanın (j) nc serbestl dereces doğrultusunda brm deplasmanı neden le, elemanın () nc serbestl dereces doğrultusunda oluşan uvvet göstermetedr. Böylece aynı serbestl derecesne sahp eleman global rjtl matrsnde j termlernn cebr olara toplanması le uzaysal çerçevenn global doğrultularda rjtl matrs elde edlr. Kodlama yöntem olara blnen bu yöntem le elde edlen global sstem rjtl matrsnn [K S ] boyutu, serbestl dereceler adar olup, br are matrstr ve smetrtr (Çatal, )... Eleman Uç Kuvvetlernn Hesabı Üç boyutlu taşıyıcı sstemn düğüm notalarının serbestl dereceler doğrultusunda deplasmanları Eştl ullanılara aşağıda gb hesaplanır. A { D} = [ K ] { P} { P } S Sürell şartı ullanılara, aynı düğüm notasında brleşen elemanların global doğrultuda uç deplasmanlarının, o düğüm notasının global doğrultuda deplasmanlarına ()
Sayfa No: 78 Y.YEŞİCE eşt olacağı düşünülür se, global doğrultularda eleman uç deplasmanları vetörü {δ}, Eştl ullanılara elde edlen {D}vetörünün lgl termler alınara oluşturulur. Global doğrultuda uç uvvetler aşağıda bağıntı le hesaplanır. A { P } [ ]{ δ} + { P } el = (4) el el Burada; {P el }, global doğrultularda eleman uç uvvetler vetörlern {δ}, global A doğrultularda eleman uç deplasmanları vetörünü, { P el },eleman üzernde yülerden oluşan, global doğrultularda anastrel uç uvvet ve moment vetörünü göstermetedr. 4. SAYISA UYGUAMA Açılıları ve yüleme durumu Şel te verlen uzaysal betonarme çerçevenn; elastste modülü, E=8 t/m ; ayma modülü, G=5 t/m alınara l olara matrs deplasman yöntem le ve uzaysal çerçeve, Şel 4 te görüldüğü gb (x-y) ve (z-y) doğrultusunda düzlem çerçevelere ayrılara SAP paet programı ullanılara çubu uç uvvetler hesaplanmış, ç tesr dyagramları sunulmuştur. Tüm olonlar /7 cm; tüm rşler /6 cm boyutundadır. y.5 t/m.8 t/m 8 t 7 7 6 8 7,8,9,4,4,4.8 t/m.5 t/m 8 4 m 4,44,45,46,47,48 t 6 5,6,7,8,9, 5 5 4,,,4,5,6 9,,,,,4 7,8,9,,,,,,4,5,6 5 m z 7 cm cm 4 m,4,5,6,7,8 x Şel. Uzaysal Betonarme Çerçeve
Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 7 Sayı : Sayfa No: 79 +8=8 ton.5 t/m.5 t/m. m 5. m. m 5. m (a).8 t/m.8 t/m. m 4. m. m 4. m (b) Şel 4. a: (x-y) doğrultusunda düzlem çerçeve b: (z-y) doğrultusunda düzlem çerçeve Uzaysal çerçeve elemanların global rjtl matrsler Eştl ullanılara hesaplanmıştır.,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4 numaralı serbestl dereceler end doğrultularında mesnetler le ısıtlanmıştır. Bu serbestl dereceler doğrultularına, uzama rjtller sonsuz olan ftf çubular yerleştrlmştr. Sstemn global rjtl matrsnde bu serbestl derecelerne arşılı gelen öşegen termlern sayısal değer sonsuzu temsl etme üzere büyü br sayısal değer alınmıştır. Kodlama yöntem le uzaysal çerçevenn sstem rjtl matrs [K S ] elde edlmştr. Uzaysal çerçeve sstemn düğüm notalarına serbestl dereceler doğrultusunda etyen dış uvvetler vetörü aşağıda sunulmuştur. P T = 8 > 5 numaralı elemanın açılığı üzerne et eden,5 ton/m yayılı yü neden le 5 numaralı eleman uçlarında oluşan global doğrultularda anastrel uvvet ve momentler aşağıda hesaplanmıştır.
Sayfa No: 8 Y.YEŞİCE 5*,5 P5 x = P6 x = ; P5 y = P6 y = =, 75 ton ; P5 z = P6 z = ;,5*5 M5 x = M6x = M5y = M6y = ; M5 z = M6z = =, 5 tm. A T P =,75,5,75, 5 5 6 numaralı elemanın açılığı üzerne et eden,5 ton/m yayılı yü neden le 6 numaralı eleman uçlarında oluşan global doğrultularda anastrel uvvet ve momentler aşağıda hesaplanmıştır. 5*,5 P7 x = P8 x = ; P7 y = P8 y = =, 75 ton ; P7 z = P8 z = ;,5*5 M 7 x = M8x = M 7y = M8y = ; M7 z = M8z = =, 5 tm. A T P =,75,5,75, 5 6 7 numaralı elemanın açılığı üzerne et eden,8 ton/m yayılı yü neden le 7 numaralı eleman uçlarında oluşan global doğrultularda anastrel uvvet ve momentler aşağıda hesaplanmıştır. 4*,8 P5 x = P7 x = ; P5 y = P7 y = =, 6 ton ; P5 z = P7 z = ;,8* 4 M5 y = M7y = M5z = M7z = ; M5 x = M 7x = =, 67 tm. A T P =,6,67,6,67 7 8 numaralı elemanın açılığı üzerne et eden,8 ton/m yayılı yü neden le 8 numaralı eleman uçlarında oluşan global doğrultularda anastrel uvvet ve momentler aşağıda hesaplanmıştır. 4*,8 P6 x = P8 x = ; P6 y = P8 y = =, 6 ton ; P6 z = P8 z = ;,8* 4 M6 y = M8y = M6z = M8z = ; M 6 x = M8x = =, 67 tm. A T P =,6,67,6,67 8 5, 6, 7, 8 numaralı uzaysal elemanların açılıları üzernde yayılı yülern, global doğrultularda düğüm notalarında oluşturduları anastrel uvvet ve momentlernn vetörü aşağıda sunulmuştur. P A T = 5,5,67,5 5,5,67,5 5,5,67,5 5,5,67,5 >
Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 7 Sayı : Sayfa No: 8 Eştl ullanılara hesaplanan düğüm notalarının serbestl derecelerne göre global deplasmanlarından, uzaysal çerçeve sstem elemanlarının global uç deplasmanları elde edlmş ve Çzelge de sunulmuştur. Eştl 4 ullanılara hesaplanan uzaysal çerçeve sstemn elemanlarının global uç uvvetler Çzelge de sunulmuştur. Uzaysal betonarme çerçeve le uzaysal çerçeve modellemes yerne, brbrne sonsuz uzama rjtll pandül ayalar le bağlanara elde edlen (x-y) ve (z-y) doğrultusunda eşdeğer düzlem çerçevelern esenel uvvet dyagramları Şel 5 te, esme uvvet dyagramları Şel 6 da ve eğlme moment dyagramları Şel 7 de sunulmuştur. Eleman Numarası δ x ( -4 ) (m.) Çzelge. Uzaysal çerçeve sstem elemanlarının global uç deplasmanları () ucu (j) ucu δ y ( -4 ) (m.) δ z ( -4 ) (m.) θ x ( -4 ) (rad.) θ y ( -4 ) (rad.) θ z ( -4 ) (rad.) δ x ( -4 ) (m.) δ y ( -4 ) (m.) δ z ( -4 ) (m.) θ x ( -4 ) (rad.) θ y ( -4 ) (rad.) θ z ( -4 ) (rad.) 8,9 -,5,98 -,69,5 -, 6,7 -,6,,7,5 -,9 7,54 -, -, -,7,4 -,66 4 6,7 -, -,98,69,4 -,8 5 8,9 -,5,98 -,69,5 -, 7,54 -, -, -,7,4 -,66 6 6,7 -,6,,7,5 -,9 6,7 -, -,98,69,4 -,8 7 8,9 -,5,98 -,69,5 -, 6,7 -,6,,7,5 -,9 8 7,54 -, -, -,7,4 -,66 8,9 -,5,98 -,69,5 -, Eleman Numarası P x (ton) Çzelge. Uzaysal çerçeve sstem elemanlarının global uç uvvetler () ucu (j) ucu P y (ton) P z (ton) M x (tm.) M y (tm.) M z (tm.) P x (ton) P y (ton) P z (ton) M x (tm.) M y (tm.) M z (tm.) -,4,75 -,5,7,6-8,65 -,4,75 -,5,7 -,5,6 -,6,85,,7 -, -6,9 -,6,85,,7,4,6-7,6 6, -,,6, -,7-7,6 6, -,,6 -,4 7,69 4-7,7 5,7,5,6 -,6-9,7-7,7 5,7,5,6,5 6,74 5-6,9,7 -,,5,5-6,9-5,77 -, -,5-7,6 6-5,,4 -,,5,7-5, -5,46 -, -,5-6,8 7 -,,6,6 -,9 -, -,49 -, -,59,6 -,9, -,44 8 -,,59,6 -,8 -, -,44 -, -,6,6 -,8, -,49
Sayfa No: 8 Y.YEŞİCE -6.9 -.4-7.6 -.6-7.7-5. -.4-7.6 -.6-7.7 (a) -4. -8.5-8.5-5. -.8-5.69 -. -5.5 (b) -6.9-5. -.4 -.6 -. -. -6.9-5. -.4 -.6 (c) -.9 -. -. -.9 -.6 -.6 (d) Şel 5. a: (x-y) doğrultusunda uzaysal çerçevenn esenel uvvet dyagramı b: (x-y) doğrultusunda düzlem çerçevelern esenel uvvet dyagramı c: (z-y) doğrultusunda uzaysal çerçevenn esenel uvvet dyagramı d: (z-y) doğrultusunda düzlem çerçevelern esenel uvvet dyagramı -.6 -.6 N (ton)
Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 7 Sayı : Sayfa No: 8.7.4-5.77-5.46 -.5. (a) -..5.8..77 5.7. 5.4-5.69-5.49.77 5.7 (b). 5.4.59.6..5 -. -.6 -.59..5 -.5 -. (c).6.6 -.6 -.6 -.9.4 -.4 (d).9 T (ton) Şel 6. a: (x-y) doğrultusunda uzaysal çerçevenn esme uvvet dyagramı b: (x-y) doğrultusunda düzlem çerçevelern esme uvvet dyagramı c: (z-y) doğrultusunda uzaysal çerçevenn esme uvvet dyagramı d: (z-y) doğrultusunda düzlem çerçevelern esme uvvet dyagramı
Sayfa No: 84 Y.YEŞİCE -7.6-6.8 -.5.5.5.4 -.4.7..5.6 -.. (a) -.6-7.7-6.87 -.44-7.7 -.84-6.87.44.84.6.7 8.86 9.9 7.5 9. (b) -.44 -.49 -.49 -.44.4.5 -.5 -.4.. -. -.6 (c).6. -.8 -.85 -.85 -.8.8.85 -.85 -.8.76.76 -.4 -.8.8.74 (d) M (tm) Şel 7. a: (x-y) doğrultusunda uzaysal çerçevenn eğlme moment dyagramı b: (x-y) doğrultusunda düzlem çerçevelern eğlme moment dyagramı c: (z-y) doğrultusunda uzaysal çerçevenn eğlme moment dyagramı d: (z-y) doğrultusunda düzlem çerçevelern eğlme moment dyagramı
Fen ve Mühendsl Dergs Clt : 7 Sayı : Sayfa No: 85 4. SONUÇAR Şel te verlen uzaysal betonarme çerçevenn matrs deplasman yöntem le, Şel 4 te verlen eşdeğer düzlem çerçevelern SAP paet programı le çözülmes netcesnde 5 ve 6 numaralı yatay çerçeve elemanlarının açılı ve uç eğlme momentler olduça yaın sonuçlar vermesne rağmen, 7 ve 8 numaralı yatay çerçeve elemanlarının açılı ve uç eğlme momentler arasında cdd farlılılar görülmüştür. Benzer şelde; düşey taşıyıcı elemanların tamamının açılı ve uç eğlme momentlernde farlı değerler görülmüştür. 5 ve 6 numaralı çerçeve elemanlarının eğlme moment değerlernde benzerl esme uvvet değerlernde de endsn göstermştr. 7 ve 8 numaralı çerçeve elemanlarının esme uvvetler olduça yaın sonuçlar vermesne rağmen düşey taşıyıcı elemanların tamamında farlı esme uvvet değerlerne rastlanılmıştır. Eğlme moment ve esme uvvet değerler çn bazı çerçeve elemanlarında gözlenen yaın sonuçlar, esenel uvvet değerlernde gözlenmemştr. Tüm çubu elemanları çn esenel uvvet değerlernde cdd farlılılar söz onusudur. Bu çalışma sonucunda, uzaysal çerçevelern; çözümü olaylaştırma amacıyla düzlem çerçevelere ayrılara çözülmes le özellle düşey taşıyıcı elemanlarda elde edlen ç tesrler uzaysal çerçeve çözümü le elde edlen ç tesrlerden olduça farlı değerlere ulaşmatadır. Dış yüler altında çerçevenn gerçe davranış bçmne daha uygun olan uzaysal çerçeve modellemes yerne; brbrne, sonsuz uzama rjtll pandül ayalar le bağlanara elde edlen düzlemsel eşdeğer çerçeve ullanılması, olonlarda daha büyü ç tesrlere göre boyutlama getrmele brlte, eonom çözüm olmatan uzalaşmatadır. Bu nedenle taşıyıcı sstem ço atlı, ço açılılı çerçevelerden oluşan yapıların; hesap algortması matrs deplasman yöntemne dayanan paet programlarla üç boyutlu analz, düzlem analze oranla terch edlmeldr. KAYNAKAR Armenaas A.E. (99): Modern Structural Analyss, Sngapore, McGraw-Hll Inc. Çaıroğlu A., Özden E., Özmen G. (97): Yapı Sstemlernn Hesabı İçn Matrs Metotları ve Eletron Hesap Manası Programları, İstanbul, C.I. Çaıroğlu A., Özden E., Özmen G. (99): Yapı Sstemlernn Hesabı İçn Matrs Metotları ve Eletron Hesap Manası Programları, İstanbul, C.II. Çatal H.H. (): Yapı ve Deprem Mühendslğnde Matrs Yöntemler, İzmr, Douz Eylül Ünverstes Mühendsl Faültes Yayınları, N.94. Çatal H.H., Yazıcı Ş. (994): Üç Boyutlu Taşıyıcı Çubu Sstemlern Rjtl Matrsnn Kodlama Yöntem le Kurulması ve Çubu Uç Kuvvetlernn Hesaplanması İçn Br Blgsayar Programı, İstanbul, İnşaat Mühendslğnde Blgsayar Kullanımı IV. Sempozyumu. vesley R.K. (964): Matrx Methods of Structural Analyss, New Yor, Pergamon Press. Tezcan S. (97): Çubu Sstemlern Eletron Hesap Manaları le Çözümü, İstanbul, Arı Ktabev.