BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee değer.7. Kovaryas.8. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı varyası.9. Değşm katsayısı Kayak : Temel Örekleme Yötemler, Taro Yamae Çevre : A.Es, M.A. Bakır,. Aydı, E. Gürbüzsel
İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler Örek seçm temel olarak k şeklde yapılır. 1. Yere koyarak seçm adel. Yere koymada seçm adesz Yere koyarak örekleme : hacml br populasyoda yere koyarak adel olarak br örek seçme farklı yolu vardır. Öreğ =3 öğrecde A,B, oluşa br populasyoda = öğrec seçme =9 tae mümkü yolu vardır. AB AA AB A BA BB B A B İkc çeklş Brc çeklş Yukarıdak örek alteratfler k boyutlu br örek uzayıdır ve her br okta = hacml br öreğ göstermektedr. Yere koymada örekleme : hacml br populasyoda sıra dkkate alımada ve yere! koymaksızı adesz olarak br örek seçme tae mümkü yolu!! vardır. Bu formülü açıklarsak, örekleme yere koymaksızı yapıldığıda, brc çeklşte =3 seçm, kc çeklşte -1= seçm yapılablr. Dolayısıyla -1=6 tae mümkü örek vardır:... AB A BA... B A B... Sıralama dkkate alımadığı ç, AB, BA ve A,A ve B,B gb bezer örekler vardır. = elemaı sıralamaı!= tae mümkü yolu vardır. Bu sebeple sıralama dkkate alımadığıda -1/!=3 tae mümkü örek vardır.... AB A...... B......... Hacml Br Öreğ Seçme Olasılığı hacml br populasyoda hacml mümkü örekler sayısı buludukta sora 3 tae soruyu cevapladırmak öemldr:
1. hacml br öreğ seçme olasılığı edr?. Populasyou belrl elemalarıı örekte yer alma olasılığı edr? 3. Populasyou belrl br elemaıı m c çeklşte seçlme olasılığı edr? 1. hacml br öreğ adesz seçme olasılığı edr? =5 ola br populasyoda = hacml br öreğ seçme olasılığı şu şeklde açıklaablr. Populasyo brmler A,B,,D,E şeklde olsu. Çeklşler tesadüf olduğu ç öreğ lk öce A yı daha sora B y 1 1 seçme olasılığı * dr. 1 Sıra dkkate alımadığıda A le B y sıralamaı!=! yolu vardır. 1 1 1 1 1 1 * *!= * *!= = 1 5 4 10 hacml br populasyoda hacml br öreğ seçme tae farklı yolu vardır ve böylece 1 hacml br öreğ seçme olasılığı dır. OT: sayıdak örekler her br seçlme şası eşt olacak bçmde brmde brm seçme yöteme bast tesadüf örekleme der ve bu şeklde seçle örek bast tesadüf örek olarak adladırılır. Tesadüf örekleme her br brm her br çeklşte eşt seçlme şasıa sahp olacak bçmde, brmde taes seçme yötem olduğu söyleeblr. Brc brm seçlme olasılığı 1/, kc brm seçlme olasılığı 1/-1 olur. Yere koyarak örekleme yapıldığı zama olasılık her çeklş ç 1/ olur. Populasyou belrl elemalarıı adesz örekte yer alma olasılığı edr? Öreğ, A harf =5 harfte A,B,,D,E seçle =3 hacml br örekte buluma olasılığı edr? A harf brc çeklşte gelme olasılığı =1/ A harf kc çeklşte gelme olasılığı = Brc çeklşte gelmeme olasılığı * İkc çeklşte gelme olasılığı =1-1/ * 1/-1 = -1/ * 1/-1 A harf üçücü çeklşte gelme olasılığı = Brc çeklşte gelmeme olasılığı * kc çeklşte gelmeme olasılığı * üçücü çeklşte gelme olasılığı = -1/ * 1-1/-1 * 1/- = -1/ * -/-1 * 1/- Üç olay ayı ada gerçekleşemez olduğuda A ı =3 hacml örekte buluma olasılığı 1/ + -1/*1/-1 + -1/*-/-1*1/- = /=3/ şekldedr.
3 Populasyou belrl br elemaıı m c çeklşte adesz seçlme olasılığı edr? Örekleme yere koymada yapıldığıda A ı lk çeklşte gelme olasılığı 1/ A ı kc çeklşte gelme olasılığı -1/ * 1/-1=1/ A ı üçücü çeklşte gelme olasılığı -1/*-/-1*1/-=1/ şekldedr. m c çeklşte de A yı seçme olasılığı dama 1/ olmaktadır. Örekleme yere koyarak yapıldığıda olasılıklar tüm çeklşler ç dama 1/ dr. BEKLEE DEĞER alableceğ tüm mümkü değerler 1,,..., k ve olasılıkları sırasıyla p 1,p,...,p k ola br tesadüf değşke olsu. Bu durumda beklee değer: E = k p şeklde taımlaır. örek hacm olmak üzere 1 k şeklde fade edle örek ortalamasıı beklee değer bulmak stedğmzde ı tüm mümkü değerler buluması gerekr. ı mümkü bütü değerler bulablmek ç hacml br populasyoda seçleblecek hacml tüm mümkü örekler buluması gerekr. Bu durumda beklee değer: E = k p şeklde taımlaır. ÖREK: Her br 1=1$, =$ ve 3=3$ a sahp =3 öğrec bulumaktadır. Her br öğrec seçlme şasıı eşt olduğu varsayılırsa beklee değer edr? E = k p = 1p 1+ p + 3p 3=11/3+1/3+31/3=$=populasyo ortalaması Yere koyarak = hacml örekler seçelm.3 =9 tae mümkü örek vardır. boyutlu uzayda 9 mümkü örek oktası vardır ve herbr örek ortalamasıa 1/9 olasılığı verleblr. Bua göre örek ortalamasıı beklee değer k E = 9 p Örekler Toplam 1,1 1 1, 3 1,5 1,3 4,1 3 1,5, 4,3 5,5 3,1 4 3, 5,5 3,3 6 3 E =11/9+1,51/9+1/9+1,51/9+1/9+,51/9+1/9+,51/9+31/9 = 1 3 1 3
populasyo ortalaması le ayı olduğu görülür. Beklee Değer Bazı Özellkler beklee değer a: sabt Ea = a p = a p = ae E +a ı beklee değer a : sabt E +a = +ap = p + ap =E +a p =E +a Br sabt beklee değer a: sabt 1= =...= k=a gb br sabt ve olasılık p olsu. Bu durumda p =1 olduğu ç =a ı beklee değer, E=Ea= ap a p a Br Örek Değer Beklee Değer hacml br populasyoda hacml br örek seçtğmz varsayalım. Örek 1,,..., le gösterls ve c çeklşte gele brm olsu. beklee değer E p, tüm mümkü değerler sayısıdır. c çeklşte bell br y seçme olasılığıı 1/ olduğu blmektedr. Dolayısıyla p =1/ ve E populasyo ortalaması Varyas tesadüf değşke varyası 1 1 = = V =E -E Beklee değer taımıda V = -E p tüm mümkü değerler 1,,..., olup bu mümkü değerlerle lgl olasılıklar p 1,p,...p dr.
Bast tesadüf örekleme ç E = dır, br dğer değşle populasyo ortalamasıa eşttr. mümkü değerde herhag br seçme olasılığı 1/ dr. Bu durumda bast tesadüf örekleme ç V, şeklde fade edleblr. Varyası Özellkler 1 V +a=e +a-e +a =E +a-a-e =E --E =V Va =Ea --Ea =a E --E =a V İKİ DEĞİŞKEİ ORTAK DAĞILIMI İk tesadüf değşke arasıdak kovaryas yapısıı ortaya koulması ç öcelkle ve Y j gb k tesadüf değşke arasıdak ortak olasılık dağılımıı ve buula lgl olarak statstksel bağımsızlık ve ortak frekas foksyoları gb kavramları ortaya koulması gerekmektedr. Ortak Olasılık Dağılımı Okulda herhag br derste başarılı ola br öğrec dğer br derste de başarılı olduğu gözlemleeblr. İstatstk ve örekleme dersler ele alıdığıda geelde statstk dersde y br ot ala öğrec örekleme dersde de y ot alması bekler. Bu k değşke eşalı ay öğrecler ç dkkate alıır. Gözlee k değşke ve Y j ayı yada ters yölü br lşk göstereblrler, acak burada ayı yölü br lşk söz kousudur. İstatstk otu ve örekleme otu Y j olsu ve alıa otlar da A, B,, D, E olsu, 0 öğrecye lşk otları frekas dağılımı aşağıdak gb olsu A=5, B=4, =3, D=, F=1 A B D F Y j Y 1 Y Y 3 Y 4 Y 5 A 1 1 0 0 0 0 1 B 1 3 0 0 0 4 3 0 1 5 0 0 6 D 4 0 0 1 4 1 6 F 5 0 0 0 1 3 4 6 5 3 0 Tablo celedğde statstkte yüksek ot ala br öğrec öreklemede de yüksek ot alma veya öreklemede düşük ot ala br öğrec dğerde de düşük ot alma eğlmde olduğu görülmektedr.
Yukarıdak tablo görel frekaslar csde yazıldığıda Y j Y 1 Y Y 3 Y 4 Y 5 = 1 0.05 0 0 0 0 0.05 0.05 0.15 0 0 0 0.0 3 0 0.05 0.5 0 0 0.30 4 0 0 0.05 0.0 0.05 0.30 5 0 0 0 0.05 0.10 0.15 Y=Y j 0.10 0.0 0.30 0.5 0.15 1.00 Öreğ br öğrec 1=A ve Y 1=A otlarıı alma olasılığı 0.05 dr. Bu şu şeklde fade edleblr: = 1,Y=Y 1= 1,Y 1=0.05. burada toplam 5*5=5 ot çft ve 5 olasılık vere 5 deklem vardır. Bu olasılıklar ot çftler olasılık dağılımıı verr. 5 tae,y j ot çft olasılık dağılımıı vere bu 5 deklem ssteme,y j Ortak Olasılık Dağılımı der. Tüm ortak olasılıkları toplamı 1 e eşt olur. = =B=,Y 1+,Y +,Y 3+,Y 4+,Y 5=0.0 öğrec statstkte =B otuu elde etme olasılığıı gösterr. Tablou e sağdak sütuu statstkte otuu almaı olasılık dağılımıı gösterrke, tablou e alt satırıdak olasılıklar örekleme otu Y j ler dağılımıı gösterr. ve Y j olasılık dağılımları baze marjal olasılık dağılımları olarak da adladırılırlar. İstatstksel Bağımsızlık A ve B gb k olay varolduğuda, B verlmşke A ı gerçekleşmes olasılığı B>0 olduğuda A B = A B B verle br B olayı ç A ı koşullu olasılığıdır. A B A B ve A B = A ve B A= B se A ve B gb k olayı statstksel olarak bağımsız olduğu söyleeblr. Üç olaya geşletldğde bağımsızlık koşulu: A B A B ve A B = A ve B A= B A A ve A = A ve A = B B ve B = B ve B = A B A B ve A B = A ve B A = B ve A B = se A, B, bağımsız üç olaydır. Bu souç olay ç geelleeblr.
Ortak Frekas Foksyou Hlesz br para atma deeyde turat ve yazıy gelme olasılığı şöyledr: T=1/, Y=1/ Bu foksyolara olasılık foksyoları der. Bu k mümkü souç T ve Y 0 = 1 1 tura yazı Şeklde fade edleblr ve tesadüf değşke alableceğ değerler 1 ve dr ve şu şeklde gösterleblr: T=f 1=1/ Y=f =1/ f foksyolarıa frekas foksyoları ya da yoğuluk foksyoları der. f 0 f=1 olmalıdır. f, j ye ortak frekas foksyou der. f, j f f j Tesadüf Değşkeler Doğrusal Kombasyolarıı Beklee Değer ve Y j k tesadüf değşke olmak üzere E +Y j= j = j = j +Y j f,y j f,y j+ j f,y j+ j Y j f,y j Y j f,y j f,y j, marjal olasılık foksyoudur ve g le gösterleblr. olasılık foksyoudur ve hy j le gösterleblr. Bu sebeple f,y j, Y j marjal eştlğ = j = şeklde fade edleblr. f,y j+ j g + j Y j hy j Y j f,y j
j g =E Y j hy j= EY j olduğuda dolayı E +Y j= E + EY j şekldedr. KOVARYAS İk tesadüf değşke ve Y j arasıdak kovaryas ov,y j=e -E Y j-ey j ve Y j de sırasıyla E ve EY y çıkarma şlem, başlagıç oktasıı 0,0 da E, EY ye kaydırmaktır. E = ve EY =Y olduğuda dolayı ov,y j=e - Y j-y şeklde fade edleblr. E - Y j-y = - Y j-y f,y j j Kovaryas, k değşke arasıdak brlkte değşeblrlğ br ölçüsüdür. ve Y j ayı yöde değşrse kovaryası değer poztf olacaktır. ve Y j ters yöde değşrse kovaryası değer egatf olacaktır. ve Y j her ks de brlkte ayı yöde değştğde, ortalamalarda sapmalara lşk çarpımlar poztf olacak ve bu sapmalar dğerlerde daha fazla olacağıda, kovaryas da büyük ve poztf olacaktır. Bu durumda meyada gele,y j ortak olayları y eksede1. ve 3. çeyrekte yer alır. Y oktalar br doğru üzere düşerse, dek herhag br değşme Y j de ayı mktarda br değşme meydaa getreblecek şeklde kuvvetl br değşeblrlk söz kousu olablr.
ve Y j ters yöde değştğde ve brlkte değşeblrlk olduğuda oktalar aşağıdak gb y eksede. ve 4. çeyrekte yer alır. Y ÖREK: =İstatstk, Y j=örekleme otları gösters,aşağıdak tabloya göre ov,y j y elde edz. 1=5, =4, 3=3, 4=, 5=1 Y j Y 1 Y Y 3 Y 4 Y 5 = 1 0.05 0 0 0 0 0.05 0.05 0.15 0 0 0 0.0 3 0 0.05 0.5 0 0 0.30 4 0 0 0.05 0.0 0.05 0.30 5 0 0 0 0.05 0.10 0.15 Y=Y j 0.10 0.0 0.30 0.5 0.15 1.00 ov,y j= j - Y j-y f,y j = 1- Y 1-Y f 1,Y 1+ 1- Y -Y f 1,Y +...+ 5- Y 5-Y f 5,Y 5 E = = EY = Y = j ov,y j = j f = 50.05+40.0+30.30+0.30+0.15=.7 Y jgy j=50.1+40.+30.30+0.5+10.15=.85 - Y j-y f,y j - Y j-y - Y j-y f,y j - Y j-y f,y j 5-.7=.3 5-.85=.15 4.945 0.05 0.475 4-.7=1.3 5-.85=.15.795 0.05 0.13975 4-.7=1.3 4-.85=1.15 1.495 0.15 0.45 3-.7=0.3 4-.85=1.15 0.345 0.05 0.0175 3-.7=0.3 3-.85=0.15 0.045 0.5 0.0115 -.7=-0.7 3-.85=0.15-0.105 0.05-0.0055 -.7=-0.7 1-.85=-1.85 1.95 0.0 0.119 1-.7=-1.7 -.85=-0.85 1.445 0.05 0.075 1-.7=-1.7 1-.85=-1.85 3.145 0.10 0.3145
ov,y j= j Teork amaçlar ç kovaryas geellkle - Y j-y f,y j=1.05 şeklde hesaplaır. ov,y j= E - Y j-y =E Y j- EY j- Y E + Y = E Y j- Y - Y + Y = E Y j- Y = j Y j Y j f,y j Y j f,y j 5 5 5 0.05 1.5 4 5 0 0.05 1 4 4 16 0.15.4 3 4 1 0.05 0.6 3 3 9 0.5.5 3 6 0.05 0.3 4 0.0 0.8 1 0.05 0.1 1 0.05 0.1 1 1 1 0.10 0.1 8.9 ov,y j= Y j f,y j- Y =8.9-.7.85=1.05 j Tesadüf Değşkeler Doğrusal Kombasyolarıı Varyası Y j f,y j- Y E +Y j=e +EY jv +Y j=? V +Y j=e +Y j-e +Y j = E +Y j-e +EY j =E - E +Y j- EY j = E - E + EY j- EY j + E - E Y j- EY j =V +VY j+ ov,y j,y j brbrde bağımsızlarsa ov,y j=0 V +Y j= V +VY j olur. Bu souçlar tesadüf değşke olduğu durum ç geelleştrleblr. Öreğ 1,, 3 gb üç değşke olduğuda V 1+ + 3=V 1+V +V 3+ov 1, +ov 1, 3+ov, 3 olur değşkeler brbrde bağımsız oldukları varsayıldığıda V 1+ + 3=V 1+V +V 3 şekldedr. Değşm Katsayısı Varyas populasyo ortalamalarıda sapmaları, - farklarıı br dağılım ölçüsüdür. Bu sapmalar mutlak fark olarak göz öüüe alıır. Brçok durumda özellkle karşılaştırılma yapılmak stedğde bu sapmalar görel olarak fade edlmek ster. Öreğ statstk sııfıdak öğrecler ortalama otu =70 pua ve br öğrec puaı =80 pua olsu. Bu durumda ortalamada mutlak sapma: - =10 puadır. varyası olarak taımlaır ve mutlak sapmaları dağılım ölçüsüdür. Görel sapmalar ç br dağılım ölçüsü elde edlmek
stedğde da orasal sapması ele alıa örek ç 80 70 = % 14 olur. 70 Görel sapmalar ç dağılım ölçüsü mutlak sapmalar yere görel sapmalar kullaılarak elde edlr. dağılımı görel varyasıdır. = = = DEĞİŞİM KATSAYISI ÖREK: 1=1$, =$, 3=3$ olsu. 1 varyası = 3 3 3 görel frekası = 0.80$ br stadart sapma0.80$ cvarıdadır. 3 =0.4=%40 DEĞİŞİM KATSAYISIDIR. 1 3 = 0. 166 3 =%40, 1 stadart sapma =0.80$ a karşılık gelr. Öreğ, 1=1$ ke =1-/0.80=-1.5 dır. 1=1$ =$ ı soluda 1.5 stadart sapmaya karşılık gele değerdr. Görel olarak 1 da sapması =1-/=-0.50=-%50 dr. =%40 olduğu ç, sözkoudu %50 lk sapma ye değşke ç stadart sapma alamıda rdeledğde 50/40=-1.5 olur. %50 görel sapmaı 1.5 stadart sapmaya dek olduğuu verr. Değşm katsayısıı kullaım alaı geşletldğde örek ortalaması ya da toplamı tahm ˆ gb dğer statstklere de uygulaablr. İstatstk Y le taımlaırsa, y değşm katsayısı y= V y E y E y y şekldedr.
y, olduğu zama = olarak taımlaa değşm katsayısı elde edlr. y statstğ örek ortalaması olduğuda = E V dır. V = ve E dır. Bu durumda = E V = y= ˆ olduğuda ˆ ˆ ˆ E V V ˆ =V = V = E ˆ = = / şekldedr. = ˆ = ˆ elde edlr.