ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ Orku COŞKUNTUNCEL KARMA DENEMELERDE VE MODELLERDE ROBUST İSTATİSTİKSEL ANALİZLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 005
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KARMA DENEMELERDE VE MODELLERDE ROBUST İSTATİSTİKSEL ANALİZLER Orku COŞKUNTUNCEL DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez 06 / 07 / 005 Tarhde Aşağıdak Jür Üyeler Tarafıda Oybrlğ le Kabul Edlmştr. İmza... İmza... İmza... Prof.Dr. Olcay ARSLAN SAKALLIOĞLU Doç.Dr. Rızva EROL Prof.Dr. Sadullah DANIŞMAN ÜYE ÜYE İmza... İmza... Prof.Dr. Name EKİCİ Yrd.Doç.Dr. Gökha ÇUVALCIOĞLU ÜYE ÜYE Bu tez Esttümüz Matematk Aablm Dalıda hazırlamıştır. Kod No: Prof.Dr Azz ERTUNÇ Esttü Müdürü İmza ve Mühür Bu çalışma Çukurova Üverstes Araştırma Projes Brm tarafıda desteklemştr. Proje No: FBE004D3 Not: Bu tezde kullaıla özgü ve başka kayakta yapıla bldrşler, çzelge, şekl ve fotoğrafları kayak gösterlmede kullaımı, 5846 sayılı Fkr ve Saat Eserler Kauudak hükümlere tabdr.
İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZ.. I ABSTRACT. II TEŞEKKÜR III TABLO DİZİNİ.. IV ŞEKİL DİZİNİ.. VII SİMGE VE KISALTMALAR. VIII. GİRİŞ.... Karma Demelere Br Bakış..... Robust İstatstğe Grş...... Taım ve Özellkler 3.3. Karma Deemelerde Smpleks Lats Tasarımı ve Kaok Polom 5.3..{q, m} Smpleks Lats Tasarım Noktalarıda Amaç (Yaıt) Foksyou Olarak Kaok Polom Katsayıları ve Parametreler Tahm... 7.3.. {3, } Smpleks Lats Tasarımıa Br Örek...4. Koum ve Ölçek Parametreler ç M Tahm Edcs.4.4.. M tahm Edcs İç Br Örek 30. ROBUST REGRESYON VE KATSAYI TAHMİNİ... 34.. Robust M Regresyo Tahm Edcler. 35... Hataları Dağılım Formuu Blmemes Durumu.. 37... Hataları Dağılım Formuu Blmes Durumu 4...Hataları t Dağılımıda Geldğ Varsayılması.. 43...Hataları GT Dağılımıda Geldğ Varsayılması.. 46...3.Hataları SGT Dağılımıda Geldğ Varsayılması 48.. Örekler. 5 3. ROBUST RIDGE VE ROBUST LIU TAHMİN EDİCİLERİ. 6 3.. Kötü Koşulluluğu Belrleme Yötemler ve Stadartlaştırma... 63 3.. Alışılmış Rdge ve Alışılmış Lu Tahm Edcler... 68 3.3. Robust Rdge ve Robust Lu Tahm Edcler.. 7
3.4. Şddetl Çoklu İç İlşk ve Sapa Değer Problemler Brlkte Olması Durumu ç Br Örek: Motor Yağı Karışımı Vers... 79 4. GENELLEŞTİRİLMİŞ M (GM) TAHMİN EDİCİLERİ. 90 4.. X Yöüdek Sapa Değerler Taımlama Yötemler.... 90 4.. Geelleştrlmş M (GM) Tahm Edc... 99 4.3. GM Tahme Dayalı Rdge ve Lu Tahm Edcler... 09 5. KARMA DENEMELERDE PSUDOBİLEŞEN DÖNÜŞÜMÜ VE ROBUST TAHMİN EDİCİLER. 4 5.. Sıırları Tutarlılığı ve Psudobleşe Döüşümü... 4 5.. Robust Tahm Edcler Psüdobleşe Döüşümü Yapılmış Karma Verye Etkler İcelemes.. 8 5.3. Motor Yağı Karışımı Vers. 9 6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER 4 KAYNAKLAR. 44 ÖZGEÇMİŞ...5
ÖZ DOKTORA TEZİ KARMA DENEMELERDE VE MODELLERDE ROBUST İSTATİSTİKSEL ANALİZLER Orku COŞKUNTUNCEL ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Daışma: Prof.Dr. Olcay ARSLAN Yıl: 005, Sayfa: 65 Jür : Prof.Dr. Olcay ARSLAN Prof.Dr. Sadullah SAKALLIOĞLU Doç.Dr. Rızva EROL Prof.Dr. Name EKİCİ Yrd.DoçDr. Gökha ÇUVALCIOĞLU Karma deemeler kaok polom olarak adladırıla polom model özel br hale gereksm duyarlar. Geellkle, karma deemelerde bleşeler üzerde, fzksel, kmyasal ve ekoomk edelerde kayaklaa, alt ve üst sıırlar şeklde ek kısıtlamalar vardır. Bu ek kısıtlamalar çoğu zama kötü koşulluluk problem oluşmasıa ede olur. Buu yaı sıra karma verde x ve/veya y yöüde sapa değer problem de buluablr. Bu durumda e sık kullaıla e küçük kareler tahm edcs güvelr souçlar vermeyecektr. Bu çalışmaı amacı karma ver kötü koşullulukla brlkte sapa değere sahp olması durumuda e küçük karelere alteratf daha güvelr regresyo katsayı tahm elde edeblmektr. Bu tp karma verler ç sapa değerlere karşı dayaıklı ola robust tahm edcler le Rdge ve Lu tahm edcler brlkte kullaılarak elde edle robust Rdge ve robust Lu tahm edcler performasları celemştr. Aahtar Kelmeler: Karma deemeler, Lu tahm edcs, Rdge regresyo, M tahm edc, GM tah edc. I
ABSTRACT PhD. THESIS ROBUST STATISTICAL ANALYSIS FOR MIXTURE EXPERIMENT AND MODELS Orku COŞKUNTUNCEL DEPARTMENT OF MATHEMATICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervsor: Prof.Dr. Olcay ARSLAN Year: 005, Pages: 65 Jury : Prof.Dr. Olcay ARSLAN Prof.Dr. Sadullah SAKALLIOĞLU Doç.Dr. Rızva EROL Prof.Dr. Name EKİCİ Yrd.Doç.Dr. Gökha ÇUVALCIOĞLU Expermets wth mxtures requre a specal form of polyomal model called caocal polyomal model. I geeral, addtoal costrats the form of lower ad upper bouds are placed o the compoet because of physcal, chemcal ad ecoomc reasos. These addtoal costrats ofte cause multcollearty. Oe of the estmators that are used to estmate the regresso parameters for the mxture data s the ordary least square estmator. Whe the mxture data have outlers ad/or multcollearty problem the performace of the LS estmator wll be poor. The am of ths study s to propose estmators for the model parameter of a mxture models that ca combat wth the multcollearty ad the outlers smultaeously. We wll combe the robust M ad GM estmators wth a based estmator such as Rdge. Sce the combed estmator (the resultg hybrd estmator) wll be robust agast the outler y ad/or x drecto ad wll deal wth the multcollearty the desg matrx X t wll be more stable estmator the the OLS. Examples are gve to show the performace of combed estmator whe the outlers ad multcollearty are preset for expermet wth mxture data. Key Words: Expermets wth mxtures, Lu estmator, Rdge regresso, M estmator, GM estmator II
TEŞEKKÜR Bu çalışmaı hazırlamasıda değerl blgler le baa ışık tuta, maev desteğ hçbr koşulda esrgemeye çok değerl hocam Prof.Dr. Olcay ARSLAN a teşekkürlerm br borç blrm. Çalışmalarım sırasıda maev destekler eksk etmeye saygıdeğer hocalarım Prof.Dr. Name EKİCİ ye ve Yrd.Doç.Dr. Zerr ESMERLİĞİL e ve tüm çalışma arkadaşlarıma teşekkürler. İşlerm yoğu olduğu gülerde baa büyük br sabır göstere, her sabah uykusuu bölerek be şme öperek uğurlaya caım oğlum Spderma Sabt e ve Ülkü me, her kouda baa destek vere Babama, Aeme ve kardeşlerme, mck yüreklerde bem ç büyük br yer ayıra Ersoy ve İlayda ya, be her zama bağırlarıa basa Matematk Bölümü öğreclere ve herkese teşekkürer. III
TABLO DİZİNİ Sayfa Tablo.. Beş karma deeme souda elde edle souçlar 3 Tablo.. Meyve suyu karışımı verler. Tablo.3. Meyve suyu karışımı vers. Verlere ye eklee gözlemler.. Tablo.4. Ye verler ç robust tahm edcler le elde edle souçlar... 30 Tablo.5. Bazı dağılımlar ve ρ foksyoları ç etk ve ağırlık foksyoları 3 Tablo.. 0 gözleml karma ver set 5 Tablo.. σ verlerde hesapladığıda katsayı tahmler... 54 Tablo.3. σ verlerde hesapladığıda elde edle ağırlıklar.. 55 Tablo.4. β ve σ eşalı olarak tahm edlyorke katsayı tahmler.. 56 Tablo.5. σ eşalı hesaplaıyorke elde edle ağırlıklar. 56 Tablo.6. 0 gözlemlk karma ver set. 58 Tablo.7. SGT ç katsayı ve parametre tahmler. 60 Tablo 3.. Tablo. de verle karma ver stadartlaştırılmış şekl. 67 Tablo 3.. 0 gözleml orjal verler ç souçlar.. 68 Tablo 3.3. sapa değer çıkarılmış 8 gözleml ver ç elde edle souçlar. 70 Tablo 3.4. 8 ve 0 gözleml verler ç Rdge ve Lu Tahmler 7 Tablo 3.5. 0 gözleml ver ç robust M regresyo tahm edcler 77 Tablo 3.6. Robust tahmler katsayıları ç stadart hatalar.. 78 Tablo 3.7. 0 gözleml ver ç robust Rdge ve robust Lu tahmler. 78 Tablo 3.8. See(975) motor yağı karışımı vers.. 80 Tablo 3.9. Motor yağı karışımı vers souçları.. 8 Tablo 3.0. Bozulmuş gözlemler ç elde edle souçlar 8 Tablo 3.. sapa değer atılmış 7 gözlemlk verler ç e küçük kareler.. 83 Tablo 3.. 8 gözlemlk bozulmuş verler ç M tahm edcler.. 83 Tablo 3.3. Robust tahm edcler ç stadart hatalar... 84 Tablo 3.4. Orjal verler ç EKK ve Rdge regresyo souçları. 85 Tablo 3.5. 7 ve 8 gözleml verler ç Rdge regresyo souçları... 86 Tablo 3.6. 8 gözleml verler ç robust Rdge regresyo souçları.. 87 Tablo 3.7. Orjal verler ç EKK ve Lu regresyo souçları. 88 IV
Tablo 3.8. 7 ve 8 gözleml verler ç Lu regresyo souçları... 88 Tablo 3.9. 8 gözleml verler ç robust Lu regresyo souçları.. 89 Tablo 4.. Motor yağı karışımı vers ç teşhs souçları... 98 Tablo 4.. 6 gözleml motor yağı karışımı vers e küçük kareler souçları.. 99 Tablo 4.3. Motor yağı karışımı vers ç M tahm edcler.. 05 Tablo 4.4. M tahm edcler ç katsayıları stadart hataları.. 06 Tablo 4.5. Robust tahm edcler ç ağırlıklar.. 07 Tablo 4.6. Robust M tahm edcler ç MAD le stadartlaştırılmış hatalar 07 Tablo 4.7. Mallows tp GM tahm ç elde edle souçlar 08 Tablo 4.8. Schweppe tp GM tahm ç elde edle souçlar.. 09 Tablo 4.9. Motor yağı karışımı vers ç e küçük kareler ve alışılmış Rdge tahm edcs le elde edle souçlar 0 Tablo 4.0. Huber M tahme dayalı robust Rdge tahm souçlar Tablo 4.. Motor yağı karışımı vers ç GM tahmlere dayalı robust Rdge tahm edcs souçları Tablo 4.. Motor yağı karışımı vers ç e küçük kareler ve alışılmış Lu tahm edcs le elde edle souçlar Tablo 4.3. Huber M tahme dayalı robust Lu tahm souçları... Tablo 4.4. Motor yağı karışımı vers ç GM tahmlere dayalı robust Lu tahm edcs souçları... 3 Tablo 5.. Parlayarak yama vers... 9 Tablo 5.. Stadartlaştırılmış orjal parlayarak yama vers ç e küçük kareler souçları. 0 Tablo 5.3. Psudobleşe döüşümü ve stadartlaştırma şlem uygulamış parlayarak yama vers ç e küçük kareler souçları 0 Tablo 5.4. Parlayarak yama vers ç teşhs souçları.. Tablo 5.5. 4 gözleml parlayarak yama vers souçları 3 Tablo 5.6. Parlayarak yama vers ç robust M tahmler 4 Tablo 5.7. Parlayarak yama vers katsayıları stadart hataları ve  değerler 5 Tablo 5.8. Robust M tahm edcler ç ağırlıklar ve hatalar 5 Tablo 5.9. Parlayarak yama vers ç GM tahm edcler.. 6 V
Tablo 5.0. Parlayarak yama vers ç Rdge tahm edcs souçları 7 Tablo 5.. Parlayarak yama vers ç robust Lu tahm edcs souçları. 8 Tablo 5.. Parlayarak yama vers ç GM tahme dayalı Rdge ve Lu.9 Tablo 5.3. Psüdobleşe döüşüm uygulamış motor yağı karışımı vers.30 Tablo 5.4. Psudobleşe döüşümü ve stadartlaştırma şlem uygulamış motor yağı karışımı vers ç e küçük kareler souçları 30 Tablo 5.5. Motor yağı karışımı vers ç teşhs souçları. 3 Tablo 5.6. Motor yağı karışımı vers ç robust M tahm edcler. 3 Tablo 5.7. Katsayıları stadart hataları ve  değerler... 3 Tablo 5.8. Robust M tahm edcler ç hatalar ve ağırlıklar.. 33 Tablo 5.9. Motor yağı karışımı vers ç GM tahm edcler. 34 Tablo 5.0. Motor yağı karışımı vers ç alışılmış Rdge ve Lu tahmler.35 Tablo 5.. Motor yağı karışımı vers ç robust Rdge ve Lu tahmler 35 Tablo 5.. Mallows tp GM tahme dayalı robust Rdge ve Lu tahmler..36 Tablo 5.3. Schweppe tp GM tahme dayalı robust Rdge ve Lu tahmler... 36 Tablo 6.. Psüdobleşe döüşümü yapılmış yakıt karışımı vers.. 40 Tablo 6.. Yakıt karışımı vers ç ANOVA ve Model uyguluğu test 4 Tablo 6.3. Özel kübk ve karesel modeller ç e küçük kareler souçları. 4 VI
ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekl.. %50A-%50B bez karışımıı yol grafğ 4 Şekl.. q =, x + x = ç faktör uzayı br boyutlu smplekstr. Tüm deeysel oktalar doğru üzerde olmalıdır.. 5 Şekl.3. q = 3, x + x +x3 = ç faktör uzayı k boyutlu smplekstr. Tüm deeysel oktalar eşkear üçge sıırları üstüde veya çde olmalıdır... 6 Şekl.4. Karma deemelerde üçgesel koordatlar...6 Şekl.5. Üçgesel koordatlarda doğru ve oktaı gösterlmes.7 Şekl.6. E küçük kareler ve robust yötemlerle uydurula doğru.. 3 Şekl.7. {3, } ve {3, 3} smpleks latslerdek tasarım oktalarıda amaç termolojs. 8 Şekl.8. Uydurula modeller ç yüzey ve kotur grafkler.. 8 Şekl.9. Huber, Tukey ve Welsch ρ, ψ ve ağırlık foksyolarıı grafkler. 33 Şekl.. Serbestlk dereces v = 3 ve v = ç t dağılımı 44 Şekl.. Şekl parametreler p ve q u değşk değerler ç GT dağılımı.46 Şekl.3. Çeştl parametre değerler ç SGT dağılımı 48 Şekl.4. Tablo.5 tek tasarım oktalarıı tekrar sayısı, üçgesel koordatlardak yerleşm ve y gözlemler ç hstogram.5 Şekl.5. (.5) dek model ç ormal olasılık grafğ (Desg Expert 6).. 53 Şekl.6. Stadartlaştırılmış rezdüler ç deks grafğ.. 54 Şekl.7. Yüzey Grafkler (a) 0 gözlem (b) 8 gözlem (c) GT... 57 Şekl.8. Tablo.6 dak tasarım oktalarıı tekrar sayısı, üçgesel koordatlardak yerleşm ve y gözlemler ç hstogram.58 Şekl.9. (.54) dek model ç ormal olasılık grafğ (Desg Expert 6). 59 Şekl.0. Stadartlaştırılmış rezdüler ç deks grafğ 59 Şekl.. Yüzey Grafkler (a) e küçük kareler (b) GT (c) SGT 6 Şekl 4.. a) y leverage okta b) dkey sapa değer c) kötü leverage okta. 9 Şekl 4.. M ve GM tahm edcler aykırı gözlemlere karşı davraışları (Hampel, F.R. ve ark., 986). 03 Şekl 5.. Üç bleşel karma sstem ç deeysel bölge 6 Şekl 6.. Tasarım oktalarıı üçgesel koordatlardak yerleşmler.. 4 VII
SİMGE VE KISALTMALAR ˆβ LS β regresyo parametres e küçük kareler tahm ˆβ R ˆβ L ˆβ M Rdge regresyo tahm Lu tahm edcs β regresyo parametres M tahm edc ˆβ GMM β regresyo parametres Mallows tp GM tahm edc ˆβ GMS β regresyo parametres Schweppe tp GM tahm edc ˆβ RM M tahme dayalı Rdge tahm ˆβ LM M tahme dayalı Lu tahm ˆβ RGMM Mallows tp GM tahme dayalı Rdge tahm ˆβ RGMS Schweppe tp GM tahme dayalı Rdge tahm ˆβ LGMM Mallows tp GM tahme dayalı Lu tahm ˆβ LGMS Schweppe tp GM tahme dayalı Lu tahm MD RMD Huber Tukey t GT SGT ˆσ Mahalaobs Uzaklığı Robust Mahalaobs Uzaklığı β regresyo parametres Huber M tahm edcs β regresyo parametres Tukey M tahm edcs β regresyo parametres t dağılımıa dayalı M tahm edcs β regresyo parametres GT dağılımıa dayalı M tahm edcs β regresyo parametres SGT dağılımıa dayalı M tahm edcs σ ölçek parametres tahm VIII
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL. BÖLÜM. GİRİŞ.. Karma Demelere Br Bakış Karma deemeler le lgl statstksel araştırmalar Queoulle 953 yılıda çıka The Desg a Aalyss of Expermet adlı ktabıdak kısa öer otu le başlamıştır. Ardıda 955 yılıda Clargbold Use of the smplex desg the study of the jot acto of related hormoes adlı makalesde karma deemeler ele almıştır. Acak karma deemelerle lgl olarak yapıla lk kapsamlı çalışma 958 yılıda Hery Scheffé Expermets wth mxtures adlı makalesdr. Bu çalışmada Scheffé, smpleks lats tasarımıı ve bu tasarıma uygu polom model vermştr. Bu makale le brlkte karma deemelerdek araştırmalar hızl br gelşm sürece grmştr. Buu takbe 963 yılıda Scheffé, smpleks setrod tasarım ve uygu polom model vermştr. Bu tasarımlar güümüzde hale sıkça kullaılmaktadır. Karma deemeler amaç yüzey (respose surface) deemeler özel br haldr. Amaç yüzey çalışmalarıda deeysel tasarımdak herhag br faktör ç seçle düzey, dğer faktörlerde bağımsızdır. Öreğ, karışma oraı, reaksyo zamaı ve sıcaklık değşkelerde oluşa üç bleşel br kmyasal deey düşüelm. Bu deeydek sıcaklık düzey reaksyo zamaı ve karışma oraıda bağımsız olarak seçleblr. Karma deemelerde se faktörler karışımı oluştura bleşeler oralarıdır ve amaç bleşeler mktarlarıı değl, her br oraıı foksyoudur. Gülük hayatımızda kulladığımız brçok ürü k veya daha fazla malzeme ya da madde değşk oralarda karıştırılmasıyla elde edlr. Öreğ, U, yağ, şeker, kabartma tozu ve su kullaılarak yapıla kek karışımı. Kum, su ve br ya da daha fazla çeşt çmetou karıştırılmasıyla yapıla beto. Portakal, lmo ve havuç sularıı karıştırılmasıyla elde edle meyve suyu. Gümüş tozu, bağlayıcı, çözücü ve degeleyc maddeler karıştırılmasıyla elde edle fotoğraf flm tabakası. Tat ve koku vere katkı maddeler buluduğu tütü karışımı. Verdğmz öreklerde karışımı oluşturulmasıda her ürüü e az br ya da daha fazla
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL özellğyle lglelmektedr. Bütü öreklerde oluşturula ürüü ölçülecek özellğ formülde görüle bleşeler oraıa veya yüzdese bağlıdır. Karma deemelerde k veya daha fazla madde değşk oralarda karıştırılmasıı ede, elde edle ürüü karışımı oluştura maddeler tek tek kullaılmasıda daha y souçlar vereblmesdr. Öreğ, A, B ve C olarak adladırıla 3 farklı raferde alıa bez stokumuz olsu ve buları tek tek veya çeştl oralardak karışımlarıyla lgleelm. Bu durumda; %50A-%50B veya %50B-%50C veya %50A-%50C, %33A-%33B-%33C veya %5A-%75B veya %5B-%75C veya %5A-%75C gb çeştl oralardak karışımlarıı tek başıa A, B ve C bezlerde daha y souç verp vermedğ araştırılmaktadır. Araştırma souda e y soucu vere karışım belrler. Ayrıca bu belrleme ya da seçm yapılırke malyet, kullaılablrlk gb etmeler de göz öüde buludurulur. Burada yaıtlaması gereke soru: Eğer A, B ve C bezler farklı oralardak karışımları, fzksel, kmyasal ve ekoomk şartlar göz öüde buludurularak, sadece A, B ve C bezler kullaılmasıda daha y souç vereblr m? (Corell, 990). Karma deemelerde bleşeler oraları değştrlerek ürüü lglele özellğ değştrleblr. Deeysel bakımda, geellkle, ölçüleblr özellk veya ölçüleblr amaç (beto karışımıı sertlğ gb) le kotrol edleblr değşkeler (beto karışımıda bulua kum, su, çmeto bleşeler oraları gb) arasıdak foksyoel lşk celer. Bu celeme k ede vardır. Bular, ) Karışımı oluştura maddeler hag oralardak karışımlarıı e y olduğuu belrlemektr. ) Karışımı oluştura bleşe oralarıı değştrerek tüm sstem ç e y ya da optmum durumu belrlemektr. Karma deemelerle lgl söyledklermz matematksel olarak fade etmek ç verdğmz bez karışımı deey tekrar ele alalım. A ve B olarak adladırıla k farklı raferde alıa bez stokumuzu olduğuu düşüelm. Burada lgleeceğmz özellk ayı test aracı le ayı mktar A veya B veya buları
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL değşk oralardak karışımlarıı yaptıkları yol mktarıdır. A bez galou ( galo = 3,79 ltre) le ortalama 3 ml ( ml =,6 klometre) yol yapıldığı ve B bez galou le ortalama 7 ml yol yapıldığı blmektedr. Test aracıı deposua galo A ve galo B bez koyulduğuda 3 + 7 = 0 ml yol yapılableceğ umarız. Ya, %50A-%50B bez karışımıı galou le ortalama 0/ = 0 ml yol yapılacağıı beklerz. Yaıtlaması gereke soru, A ve B bezler %50A-%50B veya %33A-%67B gb değşk oralardak karışımlarıı kullaarak elde ettğmz ortalama yol mktarıı, A ve B bezler tek tek kulladığımızda ulaştığımız ortalama yol mktarıda daha fazla olup olmadığıdır. Bu soruyu yaıtlamak ç test aracıı deposua %50A-%50B oralarıda bez karışımıda oluşa galo bez koyulmuş ve bez btee kadar gdlmştr. Bu şeklde 5 deeme yapılmıştır, deey 5 kez tekrarlamıştır. Deemelerde elde edle souçlar Tablo. de verlmştr. Beş deeme soucuda yapıla ortalama yol, mldr. Tablo.. Beş karma deeme souda elde edle souçlar. Deeme %50-%50 bez karışımıı galou le yapıla yol (ml) galo karışım ç ortalama yol (ml) 4,6,30 3,3,65 3 4,3,5 4 3,,55 5 4,7,35 Ortalama yol =.00 Elde edle mllk ortalama yol k bez çeşd bast ortalamasıda elde edle 0 mlde daha yüksektr. Böylece A ve B bezlerde br karışım yapıldığıda brbrler tamamladıklarıı söyleyeblrz. Eğer A ve B bezler her karışımı ç elde edle ortalama yol mktarı bast ortalamada daha büyükse bu durum Şekl. dek düz çzg le gösterle eğr le verlr. Eğer elde ettğmz ortalama yol mktarı le bast ortalama eşt se, ya %50A-%50B bez karışımıda 0 mllk br ortalama, %33A-%67B bez karışımıda [(3 x %33) + (7 x %67)]/00 = 9 mllk br ortalama elde edlyorsa bu durum Şekl. dek doğru le 3
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL verlr. Eğer ortalama yol bast ortalamada küçükse bu durum Şekl. de oktalı çzg le gösterle eğr le verlr (Corell, 990). galo başıa yapıla yol 3 0 5 ml %00A-%0B %50A-%50B %0A-%00B Şekl.. %50A-%50B bez karışımıı yol grafğ. Geel olarak karma problemde, ölçüleblr amaç sadece karışımı oluştura bleşeler oraıa bağlıdır, karışımı mktarıa bağlı değldr. Bez öreğde ölçüleblr amaç her galo bez ç yapıla yol mktarıdır. Deeyde yapıla yol mktarı k bez çeşd oraıa bağlıdır, kullaıla yakıtı mktarıa bağlı değldr. Karma problem öeml br özellğ, bağımsız veya kotrol edleblr faktörler (A ve B bezler gb), hacm, ağırlık veya mol sayısı gb kotrol edlemeye oralar olmamasıdır. Çalışıla sstemdek mümkü bleşeler sayısıı q olarak alırsak ve karmadak -c bleşe oraıı da x le gösterrsek yukarıda alattıklarımızı ışığıda, ve 0 x, =,,..., q (.) q = x = x + x +... + x q =.0 (.) koşulları ortaya çıkar. (.) dek koşula göre egatf olamaya x bleşe oralarıı toplamı verecektr. (.) dek koşul, karma deemelerde oralar üzerdek temel kısıtlamadır. (.) ve (.) le verle koşullara karma deemeler doğal koşulları (doğal kısıtlamaları) der (Croser, 984). 4
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL Buda sora x, =,,..., q ye karmaı bleşeler dyeceğz. Karmaı bleşeler (.) ve (.) dek koşulları sağlar. Br karmada mümkü bleşeler sayısı se (öreğ x =, x = 0, x 3 = 0 gb) böyle karmaya saf karma ya da tek bleşel karma der. Tek bleşel karmalar geel olarak çok bleşel karmalara karşı br ölçüt olarak kullaılır. x, =,,..., q u değerler ç kullaıla koordat ssteme, smpleks koordat sstem der. x, =,,..., q karma bleşeler üzerdek (.) ve (.) dek doğal kısıtlamalar edeyle q bleşel ve smpleks sıırları üzerdek veya çdek oktalarda oluşa faktör uzayıı geometrk taımı (q ) boyutlu smplekstr. İk bleşe (q=) ç faktör uzayı br doğrudur ve Şekl. de gösterlmştr. Bu doğru parçası üzerdek tüm oktalar (.) ve (.) dek doğal koşullarda ötürü (x, -x ) veya (-x, x ) formudadır. Eğer x ve x br bez karışımıdak sırasıyla A ve B maddeler oraları se tüm olaaklı A ve B maddeler karışımı bu doğru parçası üzerdedr. Bleşe (x ), x + x = Bleşe (x ) Şekl.. q =, x + x = ç faktör uzayı br boyutlu smplekstr.tüm deeysel oktalar doğru üzerde olmalıdır. Üç bleşe (q = 3) ç faktör uzayı br eşkear üçgedr ve Şekl.3 te gösterlmştr. Şekl.3 tek eşkear üçge köşe oktaları tek bleşel karmaları gösterrler ve x =, j olmak üzere x j = 0,, j =,, 3 şeklde fade edlr. Üçge merkez oktası üç bleşede eşt oraa sahp olduğu (/3, /3, /3) karışımıı temsl eder. Şekl.4 te üç bleşel br sstemdek koordatları çzlebleceğ üçgesel koordatlar verlmştr. 5
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL Bleşe (, 0, 0) x + x + x 3 = x = (, 0, 0) Bleşe 3 (0, 0, ) Bleşe (0,, 0) x = (0,, 0) x 3 = (0, 0, ) Şekl.3. q = 3, x + x +x 3 = ç faktör uzayı k boyutlu smplekstr.tüm deeysel oktalar eşkear üçge sıırları üstüde veya çde olmalıdır. (, 0, 0) x =,,0,0, (0,, 0) x = 0,, Şekl.4. Karma deemelerde üçgesel koordatlar. (0, 0, ) x 3 = Şekl.5 te q =3, x + x + x 3 = faktör uzayıdak (k boyutlu smplekstek) x = 0, x = 0, ve x 3 = 0,8 doğruları ve (0; 0,; 0,8) oktası; ayrıca (0,35; 0,45; 0,0) oktası ve x = 0,35, x = 0,45 doğruları gösterlmştr. Burada x + x + x 3 = ve x 3 = - x - x olduğu uutulmamalıdır. 6
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL (, 0, 0) x (, 0, 0) x x = 0, doğrusu x = 0,45 doğrusu x 3 = 0,8 doğrusu x = 0,35 doğrusu (0,35; 0,45; 0,0) oktası (0,, 0) x x = 0 doğrusu (0; 0,; 0,8) oktası (0, 0, ) x 3 (0,, 0) x x 3 = 0,0 doğrusu (0, 0, ) x 3 Şekl.5. Üçgesel koordatlarda doğru ve oktaı gösterlmes. E y karışımlar, ürüü kaltes azaltmaya ve ayı zamada malyet arttırıcı etks olmaya karışımlardır. Çoğu zama karmadak bleşeler e az brde veya tümüde, bleşe değşm aralığı 0 le arasıda olmayablr. Bazı veya tüm bleşeler üzerde alt ve üst sıırlar şeklde kısıtlamalar olablr. -c bleşe üzerde böyle br kısıtlama söz kousu se, q bleşel br sstemde, L, -c bleşe üzerdek alt sıır ve U, -c bleşe üzerdek üst sıır olmak üzere koşul (ek kısıtlamalar), 0 L x U (.3) şeklde yazılablr. Bu kısıtlamalar ayrıca sstem oluştura bleşeler leer kombasyoları üzerde de olablr. c j, leer kombasyolar üzerdek kısıtlamaı alt sıırı ve d j üst sıırı olmak üzere, c j A j x + A j x +... + A qj x q d j (.4) şeklde yazılablr (Pepel, 983). Teorde amaç yüzey verecek br foksyoel lşk vardır. Bu lşk 7
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL η = φ(x, x,..., x q ) (.5) olduğuu düşüelm. η, bleşeler x, x,..., x q oralarıa bağlı amaç değerler göstermektedr. φ foksyou le gösterle amaç yüzey x, =,..., q de sürekl br foksyo olduğu kabul edlecektr. Geelde φ(x, x,..., x q ) göstermek ç polom foksyolar kullaılır. Normal olarak, düşük derecel polomlar, öreğ brc derecede polom, q η = β 0 + β x (.6) = ve kc derecede polom, q η = β 0 + β = q q x + j β j x x (.7) j dr. İk polomda da q bleşe vardır. Küçük derecel (brc ve kc derecede) polomlar, büyük derecel (üçücü ve daha yüksek derecede) polomlara göre daha az term çerrler. Bu edele deklemdek parametreler kestrm ç daha az gözlem değere htyaç duyarlar. Ayrıca çoğu zama kc derecede polomlar amaç foksyou oluşturmak ç yeterl olmaktadır. deemede oluşa br karma deeyde η amacı gözlerke, -c deemedek y, =,,..., le gösterle gözlee amaç değerler ç η ortalamalı ve σ ortak varyaslı olduğu varsayımı yapılır. ε deeysel hatalarıı çere gözlee amaç foksyo değerler, y = η + ε (.8) şekldedr. ε deeysel hatalarıı brbrleryle lşksz olduğu ve sıfır ortalamalı, σ ortak varyaslı dağıldığı varsayılır. Ya, =,,..., ve ç E(ε ) = 0, 8
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL E( ε ) = σ ve E(ε ε ) = 0 dır. Böylece y ç beklee değer =,,..., olmak üzere E(y ) = η dr. η = φ(x, x,.., x q ) le polom bçmdek model oluşturmak amacıyla deklem foksyoel lşks yaklaşık olarak değerledrmek ç q bleşe değşk oralarıyla ve belrlemş sayıda deemeler yapılır. Değşk oraları kümes oluşturmak deeysel tasarımları lk adımıdır. Daha sora modeldek parametreler tahm edlr. Amaç foksyou ç; y, =,, -c gözlem değer, x, sütularıda bleşe oralarıı çarpımıı çere p tpdek X matrs -c satırıı (otasyoları sadeleştrmek ç buda sora x yere x kullaacağız), β, p tpde blmeye parametre vektörüü ve ε, sıfır ortalamalı σ (σ < ) varyaslı ormal dağılımda gele -c gözlem hatasıı göstermek üzere gözlem ve p parametrel y = x β + ε, =,, (.9) model düşüelm. E geel halde regresyo tahm edcs verye uyguladığımız zama β ç regresyo katsayıları dedğmz βˆ elde edlr ve y ler tahm edle (uydurulmuş) değerler ŷ = E( ŷ ) = x βˆ dr. Ayrıca rezdüler e = y ŷ olarak verlr. (.9) de verdğmz model ç e çok ble klaskleşmş tahm edc e küçük kareler tahm edcsdr. σ ı sabt olduğuu düşüelm. Bu durumda β ı e küçük kareler tahm, S(β) = ( y x β ) (.0) = foksyouu mmze eder. X, p (p q) tpde ve -c satırı, -c gözleme karşılık gele sütularıda p tae x değşke değerler çere p tam raklı katsayı matrs ve y, tpde amaç değşke üzerde gözlemler br sütu vektörü olmak üzere β ı e küçük kareler çözümü matrs formuda, 9
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL βˆ = (X X) - X y (.) dr ve ŷ uydurulmuş değerler, ŷ = X(X X) - X y (.) şekldedr. E küçük kareler yötem bu kadar popüler ve klaskleşmş olmasıı temel ede hesaplamasıı kolaylığıdır. Tahm verler yardımıyla herhag br teratf yöteme htyaç olmaksızı drek ve kolaylıkla hesaplamaktadır. Ayrıca dğer tüm yasız tahm edcler çde e y leer yasız tahm edcdr ve eğer hatalar ormal dağılıyorsa, Maksmum Lkelhood tahm edcse bezedğ gb bu durumda dğer yasız tahm edclere göre mmum varyaslı tahm verr. Regresyo aalzde karşılaşıla e öeml k problem kötü koşulluluk yada ç lşk ve sapa değer problemdr. Karma deemelerde geellkle karışımı oluştura bleşeler üzerde fzksel, kmyasal ve ekoomk edelerde kayaklaa (.3) te verle formda alt ve üst sıırlar şeklde ve/veya (.4) te verle formda bleşeler leer kombasyoları üzerde ek kısıtlamalar buluur. Dolayısıyla bleşe değşm aralıkları 0 le aralığıda değldr ve buda kötü koşulluluk yada ç lşk problem ortaya çıkmasıa ede olur. Ayrıca y gözlem değerler sapa değerlere sahp olablrler ve böylece ε deeysel hataları ormal dağılmıyor olablrler. Bu durumda e küçük kareler le elde edle statstkler tutarlı olmaz. Ayrıca Motgomery ve Voth (994) Şekl. ve Şekl.3 te verdğmz kötü koşulluluk problem olmaya Smpleks Lats Tasarımı olarak ble stadart tasarımları, e küçük kareler tahm tutarlılığıı etkleye x yöüde sapa değer probleme sahp olduklarıı göstermşlerdr. Kötü koşulluluk problem ç çeştl tekkler öerlmştr fakat bular arasıda e sık kullaılaları Rdge ve Lu regresyo tahm edclerdr (Hoerl ve Keard, 970; Lu, 993). Rdge tahm edc, ˆβ EKK, β ı e küçük kareler tahm edcs ve k, (k > 0) yalılık çarpaı olmak üzere, 0
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL ˆβ R = (X X + ki) - X X ˆβ EKK (.3) ve Lu tahm edc, 0 < d < olmak üzere, ˆβ L = (X X + I) - (X X + di) ˆβ EKK (.4) dr. Lu tahm edcs Rdge tahm edcse göre br avatajı, Lu tahm edcs d parametres br leer foksyoudur ve Rdge tahm edcsdek k yalılık çarpaıa göre seçm daha kolaydır. Dkkat edlrse her k tahm edc β ı e küçük kareler tahm edcs kullamaktadır ve bu tahm edc y yöüdek sapa değerlere karşı hassastır. Bu problem ortada kaldırmaı yolu, bu tahm edcler Robust şekller taımlamasıdır. Eğer y yöüde sapa değerlere sahp br ver set le çalışıyorsak, bu yödek sapa değerlere karşı hassas ola klask yötemler (e küçük kareler, Rdge, Lu) tutarlı tahmler vermeyecektr. (.9) da verle modelde y gözlemler ormal dağılıyorsa e küçük kareler yötem uygu br yötemdr ve β ı tahm y statstksel özellklere sahp olacaktır. Acak, y gözlemler ormal olmaya, özellkle ormalde daha kalı kuyruklu, sapa değer ürete, dağılımlarda gelyorsa e küçük kareler uygu tahm edc olmayacaktır çükü bldğ gb sapa değerler e küçük kareler üzerde büyük etkler vardır. Bu durumlarda robust tahm yötemler kullamak öerlmştr (Huber, 97, 973, 98). Eğer verde sapa değerle beraber kötü koşulluluk problem varsa robust Rdge ve robust Lu tahm edcler kullaılması öerlmştr (Slvapulle, 99; Arsla ve Bllor, 996, 000). Robust Rdge tahm edc, ˆβ *, β br robust tahm edcs ve k, (k > 0) yalılık çarpaı olmak üzere, ˆβ RR = (X X + ki) - X X ˆβ * (.5) ve Lu tahm edc, 0 < d < olmak üzere,
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL ˆβ RL = (X X + I) - (X X + di) ˆβ * (.6) dr... Robust İstatstğe Grş İstatstk lteratürüde Robust kelmes Güçlü, Dayaaklı kelmeler le eşalamlıdır. Robust statstğ asıl amacı model hataları ç varsayıla dağılımları yalış olması ve/veya sapa değerler buluması durumuda güveleblr souçlar vereblmektr. (.9) da verle model ç e küçük kareler le parametre tahm, ε hata term ormal dağılımıda geldğ varsayımı altıda yapılır. Normallk varsayımı hpotez testler ve güve aralıklarıı oluşturulması ç gerekl olup β katsayılarıı tahm ç gerekl değldr. Bu durumda elde ettğmz β tahmler y statstksel özellklere sahptr. Acak ε hatalarıı ormal olmaya, kalı kuyruklu, ce kuyruklu ve/veya çarpık dağılımlarda gelyorlarsa e küçük kareler tahm edcler y tahm edcler olmakta çıkacaktır. E çok kullaıla tekk ola e küçük kareler tahm edcler ε = y x β olmak üzere rezdü kareler toplamıı ya ε y mmum yapma düşüces le çalışır. Verlerde sapa değerler varsa bu durumda ε artacak ve kareler toplamıı mmum yapmaya çalışa e küçük kareler y statstksel özellklere sahp olmayacaktır. Şekl.6 da verle grafkte sapa değerlere sahp br ver ç e küçük kareler ve robust yötemlerle uydurulmuş doğru verlmştr. E küçük kareler le uydurula doğruu verler çok y açıklayamadığı bua karşılık robust yötemle elde edle doğruu sapa değerlerde hç etklemedğ açıkça görülmektedr. =
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL ekk robust Şekl.6. E küçük kareler ve robust yötemlerle uydurula doğru. Robust statstksel aalz yötemler alatılmada öce gerekl bazı taım ve özellkler Bölüm.. de verlecektr.... Taım ve Özellkler X, F dağılımıa sahp ve her reel µ ç X + µ ü dağılımı F µ le gösterls. O zama {F µ ; < µ < } a F tarafıda üretle koum parametre ales der. µ yede koum parametres (locato parameter) der. F br dağılım ve θ > 0 olsu. F θ = F(x/θ), x > 0 olarak taımlası. {F θ ; θ > 0} a F tarafıda geelleştrle ölçek parametre ales der ve θ yada ölçek parametres (scale parameter) der. X, F dağılımıa sahp olsu ve σx + µ ü dağılımı F µ,σ le gösterls. Böylece {F µ,σ ; - < µ <, σ > 0} a F tarafıda üretle koum ölçek ales der ve (µ, σ) ya koum-ölçek parametres (locato-scale parameter) der. X = (x, x,, x ) rasgele öreklem olsu. θ tahm edcs her a ç, θ(a + X) = θ(a + x,.., a + x ) = a + θ(x,, x ) = a + θ(x) (.7) oluyorsa θ tahm edcse koum eşdeğerl tahm edc der. Eğer θ tahm edcs her a > 0 ç, θ(ax) = θ(ax,, ax ) = a.θ(x) (.8) 3
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL oluyorsa θ ya ölçek eşdeğerl tahm edc der. Ayrıca eğer θ tahm edcs her a > 0 ve her b ç, θ(ax + b) = θ(ax + b,, ax + b) = a.θ(x) + b (.9) oluyorsa θ ya koum-ölçek eşdeğerl tahm edc der. Öreklem ortalaması, x = x = (.0) olarak verlr. Öreklem ortalaması koumu br ölçüsüdür ve ktle ortalamasıı br tahmdr. Öreklem Medyaı se, x () ler x,, x ler sıra statstkler ve x () x () olmak üzere, Medya = x x + + x +, tek, çft (.) şeklde taımlaır. Dkkat edlrse öreklem ortalaması sapa değerlerde çok aşırı etkleecek br yapıya sahptr ve bu yüzde robust değldr. Acak öreklem medyaı se verler merkezdek değere eşt olup sapa değerlere karşı hassas olmaya br yapıdadır ve robust br tahmdr. Öreğ Roser (975) verdğ 0 adet aylık ka basıcı ölçüsüde oluşa x = {90, 93, 86, 9, 95, 83, 75, 40, 88, 80} vers ç öreklem ortalaması 8. ke öreklem medyaı 87 olarak elde edlr. Öreklem Varyası, 4
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL Var(X) = S = = (x x) (.) olarak verlr ve öreklem stadart sapması S = S dr. Öreklem varyası öreklem ortalamasıda hesaplaıyor olup sapa değerlere karşı çok hassastır ve robust olmaya br ölçek tahm verr. Bldğ gb, medya küçükte büyüğe sıralamış br serde e ortadak term olduğuda medyada hareketle hesaplaacak br ölçek tahmcs de tıpkı medya gb sapa değerlerde etklemeyecektr. Medyada hareketle hesaplaacak ola bu ölçek tahmcs Medya Mutlak Sapma (Meda Absolute Devatos-MAD) olarak adladırılmaktadır. Medya mutlak sapma, MAD = medya x medya(x ) (.3) formülü le hesaplamaktadır. Ya ser termler medyada mutlak farklarıı medyaı alıarak elde edlmektedr. Bu ölçek tahm edcs sapa değerlerde etklemedğde robust br tahmdr..3. Karma Deemelerde Smpleks Lats Tasarımı ve Kaok Polom Smpleks (kısıtlamış bölge) üzerde düzgü aralıklarla dağılmış oktaları yerleşm düze lats (kafes) olarak blr. Lats adı oktaları br sıralaışıı taımlamak ç kullaılır. Öreğ smpleks üzerde q bleşel m-c derecede br polomu taımlamak, temsl etmek ç {q, m} smpleks lats kullaılır. Smpleks lats 0 le arasıda m + eşt aralıklı değerlerde oluşur. x = 0,,,..., m m (.4) 5
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL böylece {q, m} smpleks lats tasarımı bleşeler tüm olaaklı değerler çerr (Scheffé, 958). {q, m} smpleks latsdek tasarım oktalarıı sayısı, q + m (q + m )! = m m!(q )! (.5) dr. Bu brbrde farklı ve sıırsız olarak tekrarlaable q öğe sıra göz öüe alımaksızı, ya 3 veya 3 gb, m-l kombasyolarıı sayısıdır. Öreğ, 3 + {3, } smpleks lats ç tasarım oktalarıı sayısı = 6 ve {3, 3} 3 + 3 smpleks lats ç tasarım oktalarıı sayısı = 0 dur. 3 {q, m} smpleks lats ç tasarım oktalarıda toplamış verler ç geel regresyo foksyou aşağıdak formdadır. m-c derecede polom q η = β 0 + β = q x + j β j x x j q + j k β jk x x x +... (.6) j k q + m şeklde verlr (Corell, 990). (.6) dak polomda term sayısı dr ve m bu polom, x + x +.. + x q = kısıtlaması durumuda karma modeller ç alamlıdır. Kısıtlama edeyle, q x q = x (.7) = alıır ve polomdak termlerde br sadeleştrlr ya da kaldırılır. Bu şlem polomu dereces etklemez. Bu durumda (.6) dak polom dereces m ola 6
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL q + m q bleşel ve terml poloma döüşür. Bu polom daha az bleşe m ve term çerdğ ç daha uygudur. (.6) dak poloma alteratf ola m-c derecede q bleşel polom, (.) dek kısıtlamaı (.6) dak polomu bazı termler le çarpılmasıyla elde edlr. Souçta elde edle poloma kaok polom ya da polomu kaok formu der. Smpleks üzerde dereces m ola q bleşel belrl br kaok polom modele {q, m} smpleks lats karşılık gelr. Buu tersde doğrudur (Corell, 990). Kaok polomda karmaları doğal kısıtlamaları kullaılarak döüşüm yapılmasıyla aşağıdak karma modeller kaok formları elde edlr. q η = βx (Doğrusal model) (.8) = q η = β = q x + j β j x x (Karesel model) (.9) j.3.. {q, m} Smpleks Lats Tasarım Noktalarıda Amaç (Yaıt) Foksyou Olarak Kaok Polom Katsayıları ve Parametreler Tahm {q, m} smpleks lats le {q, m} polomu arasıda özel br lşk vardır. Bu lşk latstek tasarım oktalarıı sayısı le polomdak termler sayısı arasıda bre br lşkdr. Bu lşk br soucu olarak polomdak parametreler, {q, m} smpleks lats oktalarıda beklee amacı foksyou olarak fade edleblr. Amaç foksyodak -c bleşe η le gösterls. Eşt oralı (%50-%50) ve j-c bleşe η j ve ye eşt oralı, j ve k-ıc bleşe η jk le gösterls. Şekl.7 de {3, } ve {3, 3} smpleks latslerdek tasarım oktalarıda amaç foksyouu bu termolojs gösterlmştr. Bu termolojy lk kez Scheffé (958) vermştr. 7
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL η x = η x = η η 3 η η 3 η 3 η η 33 x = x 3 = x = x 3 = η η 3 η 3 η η 3 η 33 η 3 Şekl.7. {3, } ve {3, 3} smpleks latslerdek tasarım oktalarıda amaç termolojs. Amaç foksyouu termolojs üç özellğ vardır:. Alt smge sayısı karmada kullaıla bölümdek bölee eşttr (η j dek k alt smge bleşe oraları / ola br karışımı gösterr, ya x = / ve x j = / dr.). Alt smgedek farklı rakamları sayısı karmadak sıfırda farklı oraa sahp bleşe sayısıı verr. 3. Alt smgede yer ala rakamlar karmadak lgl bleşe oraıı verr. Öreğ, η üç alt smgeye sahptr. O zama bölüm 3 tür. Alt smgede k tae ve br tae vardır. Farklı rakam sayısı k olup bleşe sıfırda farklıdır. rakamı k kez görümek üzere brc bleşe ç ora /3 ve rakamı br kez görümek üzere kc bleşe ç ora /3 tür. Polom modeldek β, β j ve β jk parametreler η, η j ve η jk beklee q + m amaçlar csde fade edleblmes ç tae deklem çözülmes m gerekr. Bu sayı sadece {q, m} polomudak parametre sayısı değl ayrıca {q, m} smpleks latsdek tasarım oktalarıı da sayısıdır. Bu yüzde {q, m} 8
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL smpleks lats tasarım oktalarıda ölçüle η, η j ve η jk beklee amaçlarıı da sayısıdır. Öreğ, η = β x + β x + β 3 x 3 + β x x + β 3 x x 3 + β 3 x x 3 (.30) kc derecede polom model 3 bleşel karma sstem ç kullaılsı. İkc derecede polom modeldek β ve β j parametreler, {3, } smpleks lats tasarım oktalarıdak η ve η j beklee amaçlar csde fade edlecektr.. Köşe oktalarıda η : x =, x j = 0,, j =,, 3 j Kear orta oktalarda η j : x = /, x j = /, x k = 0, < j, k, j döüşümü yapılırsa; η = β η = β η 3 = β 3 η = β + β + β. η 3 = β + β3 + β3. (.3) η 3 = β + β3 + β3. 6 blmeyel 6 deklem sstem elde edlr. Bu sstem β ve β j ç çözüldüğüde, β = 4η η η β 3 = 4η 3 η η 3 (.3) β 3 = 4η 3 η η 3 elde edlr. İkc derecede q bleşel br polom model q(q + )/ term çerr ve beklee amaçlar {q, } smpleks lats tasarım oktalarıdır. İkc derecede q 9
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL bleşel polom modeldek β ve β j,, j =,..., q, < j parametreler {q, } smpleks lats tasarım oktalarıdak η ve η j beklee amaçları csde yukarıdak şeklde fade edlr. Geel olarak q bleşe ç, β = η β j = 4η j (η + η j ) (.33) dr. Daha yüksek derecel (m > ) polomlar ç şlemler, kc derecede polomdak şlemlerle bezer şeklde yapılır. β ve β j parametreler ç oluşturula deklemlerde, β ve β j parametreler b ve b j tahmler bulablrz. Bu amaçla η ve η j beklee amaçları ç gözlemş değerler ya y ve y j değerler kullaablrz. Köşe oktalarıda x =, x j = 0, j dek her br bleşee karşılık gele gözlee amaç değerler y ve kear orta oktalarda x = /, x j = /, x k = 0, < j k dak kl termlere karşılık gele gözlee amaç değerler y j olarak alalım. β = η ve β j = 4η j (η + η j ) de y ve y j ler η ve η j lerle yer değştrelm. b ve b j, sırasıyla β ve β j parametreler tahmler olsu. Bu durumda, b = y, =,..., q b j = 4y j (y + y j ),, j =,,..., q; < j bj y + y = yj 4 j (.34) olacaktır. r, r j ve r j sırasıyla x =, x j = 0; x = 0, x j = ve x = x j = /, x k = 0 ( < j, k, j) oktalarıdak gözlemler tekrar sayısıı gösters. y, y, y ortalama değerler bu gözlemlerde elde edls. Yukarıdak deklemlerde y, y j, ve y j ler yere sırayla tahmler, y, y, y ler kullaılırsa β ve β j parametreler e küçük kareler j j j j 0
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL ˆβ = y ˆβ j = y (y y ) (.35) 4 j + j bçmde elde edlr. Dkkat edlrse β ve β j parametreler tahmler köşe ve orta oktalarda yapıla tekrarlı gözlemler öreklem ortalamasıa dayalıdır. Acak öreklem ortalaması çok hassas br statstktr. Alıa ölçümler arasıda dış koşullarda kayaklaa hatalı gözlemler varsa robust olmaya öreklem ortalaması yalış tahmler elde edlmese ede olacaktır. Bu yüzde öreklem ortalaması yere buu robust tahm kullaablrz..3.. {3, } Smpleks Lats Tasarımıa Br Örek {3, } smpleks lats tasarımı her oktasıda 3 tekrarlı olarak yapıla meyve suyu karışımıı ele alalım (Corell, 990). Kavu (x ), aaas (x ) ve portakal (x 3 ) meyvelerde oluşa meyve suyu karışımı elde edlmek steyor. Elde edle karışımı Lezzetl, dayaıklı ve tortusuz olması bekleyor. Yapıla ölçümlerde sora elde edle verler aşağıdak tabloda verlmştr. Tablo.. Meyve suyu karışımı verler Kavu (x ) Aaas (x ) Portakal (x 3 ) Uyguluk (y ) Ortalama ( y ) 0 0 4.8 4.3 4.7 4.60 0 0 6.3 6.5 6. 6.33 0 0 7.4 6.9 7.0 7.0 0.5 0.5 0 6. 6.3 5.8 6.07 0.5 0 0.5 5.9 6. 6.5 6.7 0 0.5 0.5 6. 6. 6. 6.7 Tablo (.) dek verlere dkkat edlrse, tekrarlı ölçümlerde herhag br uyumsuzluk görümemektedr. Ortalamalarda alıa ölçümlerde aykırı olmaya br sevyede ya sapa değer ve x değşm aralığı 0 ve olduğuda kötü koşulluluk problemler yoktur. (.35) de elde edle kc derecede model katsayı tahmler kullaarak blmeye β katsayılarıı hesaplarsak:
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL b = y = 4.60 b = y = 6.33 b 3 = y 3 = 7.0 b = 4 y - ( y + y ) = 4.6.07.(4.60 + 6.33) =.4 b 3 = 4 y 3 - ( y + y 3 ) = 4.6.7.(4.60 + 7.0) =.8 b 3 = 4 y 3 - ( y + y 3) = 4.6.7.(6.33 + 7.0) =.8 elde edlr. O halde modelmz ŷ = 4.60x + 6.33x + 7.0x 3 +.4x x +.8x x 3.8x x 3 (.36) olarak elde edlr. Şmd Tablo. de verle meyve suyu karışımı versde 3 tekrarlı gözlemler yere 4 tekrarlı gözlemler alıdığıı düşüelm. Ye eklee gözlemler tez amacıı daha y alatablmek ç eklemş hayal gözlemlerdr. Acak gerçekte bu tp ver setleryle çalışma htmal yüksektr. Tablo.3. Meyve suyu karışımı vers. Verlere ye eklee gözlemler Kavu (x ) Aaas (x ) Portakal (x 3 ) Uyguluk (y ) Ortalama ( y ) 0 0 4.8 4.3 4.7 0.5 6.075 0 0 6.3 6.5 6. 3.0 5.5 0 0 7.4 6.9 7.0.4 5.675 0.5 0.5 0 6. 6.3 5.8 0.8 4.75 0.5 0 0.5 5.9 6. 6.5 0.3 4.7 0 0.5 0.5 6. 6. 6. 8.4 9.5 Tablo.3 tek verlere dkkat edersek ye eklee bu gözlemler lk üç gözlem ortalamasıda çok farklı, öreklem ortalamasıı büyüte, sapa değer oluştura gözlemlerdr. Bu gözlem ve ortalama ç katsayıları hesaplarsak
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL b = y = 6.075 b = y = 5.5 b 3 = y 3 = 5.675 b = 4 y ( y + y ) = 4.5 b 3 = 4 y 3 ( y + y) 3 = 4.7 b 3 = 4 y 3 ( y + y 3) = 4.55 souçlarıı elde ederz. Acak ekledğmz değerlere dkkat edlrse öcek 3 gözlemde çok farklı gözlemler. Ya bu gözlemler yüzüde katsayı tahmlermz güvelrlkte oldukça uzaklaşıyor. (/, /, 0) oktasıdak 8,4 olarak alımış 4. gözlem b katsayısıa etks çok fazla olduğu görülmektedr. Uydurula model, ŷ = 6.075x + 5.5x + 5.675x 3 4.5x x 4.7x x 3 + 4.55x x 3 (.37) şekldedr. İk ver grubu ç elde edle modellerdek katsayı tahmler brbrde çok farklıdır ve sapa değerler modele etks açıkça görülmektedr. Şekl.8 te her k model ç yüzey ve kotur grafkler verlmştr. Aslıda öreklem ortalamasıa bağlı ola br tahm yaptığımız ç ormal olarak problemsz verler ç grafkler brbre bezer olmasıı beklerz acak burada özellkle köşe oktalarda öreklem ortalamasıı sapa değerlerde e kadar fazla etkledğ göreblyoruz. 3
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL y y x (,0,0) x (,0,0) x 3 (0,0,) x 3 (0,0,) x (0,,0) (a) x (0,,0) Şekl.8. Uydurula modeller ç yüzey ve kotur grafkler (b) Öreklerde elde edle modellerde ve grafklerde alaşıldığı gb (.35) te verle tasarım tahm yötem öreklem ortalamasıa bağlı olduğuda ve sapa değerlere sahp br ver grubu le çalıştığımızda, öreklem ortalamasıı robust olmamasıda dolayı büyük problemler çıkarıyor. İşte verde buluması muhtemel ola bu tp gözlemlerde etklemeyecek br tahm edc olarak robust tahm edcler düşüüyoruz..4. Koum ve Ölçek Parametreler ç M Tahm Edcs Maksmum Lkelhood tp tahm edc veya M tahm edc e çok kullaıla robust tekklerde brdr. M tahm edcs sapa değerler etkler azaltmak ç hataları kareler toplamı yere hataları karesel foksyouda daha yavaş arta br foksyo kullaır. Bu foksyo, ρ smetrk, tek mmumu sıfır ola poztf taımlı ve karesel br foksyoda daha yavaş artacak şeklde seçlmş br foksyo olmak üzere, ρ (x, θ) = m (.38) 4
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL şekldedr. (.38) deklem türev alır sıfıra eştlersek ρ = ψ olmak üzere ormal deklemler dedğmz ρ (x, ) (x, ) 0 θ = ψ θ = (.39) deklem sstem elde ederz. Bua θ ı M tahm edcs veya Maksmum Lkelhood tp tahm edcs der ve eğer f(x), x ler geldğ dağılımı olasılık yoğuluk foksyou ke ρ = -logf(x, θ) olarak seçlrse alışılmış maksmum lkelhood tahm elde edlr. Ya, f(x) olasılık yoğuluk foksyou le verle br dağılımda blmeye koum parametres θ le verelm. f(x θ), θ foksyouu taımlayalım. x, x,, x bu dağılımda gele bağımsız, özdeş dağılımlı br rasgele öreklem olsu. ML foksyou, L(x, θ) = f (x, θ) (.40) = dır. Bu foksyou f(x θ) ç logartması ρ(x) = lf(x) olmak üzere, ll(θ) = l f (x θ) = ρ( x θ) (.4) = = dır. Eğer türev alarak maksmum yapablyorsak, ρ (x) = ψ(x) olmak üzere, d(l L( θ)) = dθ = f (x f (x θ) = θ) ψ(x θ) = (.4) dır. L(θ) yı maksmze ede = ψ (x θ) = 0 (.43) 5
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL deklem çözülmesyle θ ı maksmum lkelhood tp tahm edcs veya M- tahm edcs elde edlr ve geellkle θˆ le gösterlr. M, maksmum lkelhood da dolayıdır (Hogg, R.V., 979). Şmdlk ölçek tahm edcs verlerde elde edlebldğ düşüerek sadece koum tahm edcs elde edlmesyle lgleeceğz. Ya, ρ (x θ) = m problem veya (.39) deklem w ağırlıkları ψ (x ) 0 θ = deklem sstem çözümüü araştıracağız. w = ψ(x θ) x θ, (x θ 0) (.44) olmak üzere w(x ) 0 θ = (.45) şeklde ağırlıklı formda yazablrz. Burada wx = wθ (.46) elde edlr ve so yazıla eştlk bze θ ı ˆ wx θ= w (.47) bçmdek örekleme bağlı ağırlıklar le elde edle tahm verr. Robust statstksel aalzde kullaıla ρ foksyolarıı yapısıda dolayı (.38) dek foksyou θ ya göre mmumuu aaltk yötemlerle bulmak mümkü değldr. Bu yüzde sayısal yötemler kullaarak çözüm elde edlmeye çalışılır. Herhag br 6
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL sayısal yötem (öreğ Newto-Rapso yötem) kullaılarak bu çözümü buluablmese rağme e sık kullaıla yötem tekrar ağırlıkladırılmış e küçük kareler (reweghted least suquares) yötemdr. Br kestrc robustlığıı (dayaıklılığıı) ölçmek ç kullaıla k yötem vardır. Bu yötemlerde brcs etk foksyou ve dğer se bozulma oktasıdır (breakdow pot). (.39) da verle ψ foksyoua Etk Foksyou der. Etk foksyou geel olarak yerel dayaıklılığı ölçüsü olarak adladırılır ve br tek gözlem çok büyük veya çok küçük olması durumuu tahm edcye etks ölçer. Öreğ ρ(x) = x / seçlrse e küçük kareler tahm edclere ulaşılır ve e küçük kareler ç etk foksyou ψ(x) = x tr. Dkkat edlrse ψ(x) sıırlı br foksyo değldr ve x ç ψ(x) de sosuza gder. Bu e küçük kareler yötem, tahmler üzerde verler etks, hataları büyüklüğü le leer arttığı ve robust olmadığı alamıa gelmektedr. Bu yüzde robust statstkte seçle ρ foksyoları türevler sıırlı olacak şeklde seçlrler. Öreğ lteratürde kullaıla ve bu tezde de kullaılacak Tablo.5 te verle Huber ve Tukey ρ foksyoları gb. Bozulma oktası se, geel (global) robustlık ölçüsü olarak taımlaır ve tahm edcy boza e küçük sayıdak sapa değerler, öreklem sayısıa oraı olarak verlr. Öreklem ortalamasıı bozulma oktasıı / olduğu ve ç sıfır olduğu blmektedr. Ya br tek bozuk gözlem ble öreklem ortalamasıı bozulmasıa yetecektr. Dğer yada öreklem medyaıı bozulma oktasıı %50 olduğu blmektedr. Ya verler yarısıa yakıı bozuk olsa ble öreklem medyaı tutarlı br tahm edcdr. E küçük kareler ç bozulma oktası / olup arta değerler ç sıfıra yaklaşır. Ya e küçük kareler %0 lık bozulma oktasıa sahptr. Buda bze e küçük kareler sapa değerlere karşı e kadar hassas olduğuu gösterr. Br başka robust yaklaşım se ε hatalarıı ormal olmaya daha kalı kuyruklu veya çarpık dağılımlarda geldğ varsayımı le elde edleblr. Daha öcede belrttğmz gb, hataları ormal dağılımda gelmedğ durumlarda ormallk varsayımı le elde edle tahm edcler yalış souçlar verecektr. Öreğ hataları t dağılımıda geldğ varsayılırsa maksmum lkelhood yötemyle koum 7
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL (locato) parametres tahm edeblrz. Bua göre, f(x), t dağılımıı olasılık yoğuluk foksyou olmak üzere, ρ = -logf(x) olarak seçersek, ρ(x) = v + x.log + v (.48) olup ψ etk foksyou ψ(x) = ρ (x) te (v + )x ψ(x) = v + x (.49) olup ağırlıklar, v + w = v + (x θ) (.50) olarak elde edlr ve ˆθ koum tahm elde edlr. Bezer şeklde hataları t dağılımıda daha esek br yapıya sahp ola GT dağılımlarıda geldğ veya hataları çarpık br dağılımda geldğ düşüülüyorsa SGT dağılımıda geldğ varsayımı daha y souçlar vereblr. Bu tezde kullaacağımız dağılımları olasılık yoğuluk foksyoları le ρ, ψ ve ağırlıkları Tablo.5 te verlmştr. GT ve t sapa değerlerde çok fazla etklemez dğer yada ormal dağılımı e küçük kareler kestrcs x sapa değerlerde çok etkler. Ya x kalı kuyruklu dağılımlar ç y br tahm edc değldr. Robust tahm edcs verler merkezde ormal dağılım gb kuyruklarda se başka dağılımlara at gb görüle dağılımlar ç kullaırız. θ ı x,, x öreklem ç buluduğuu ve daha sorada öreklemdek değerler θˆ da sapmaları öreğ üç katı le değştrldğ düşüelm. Bu ye düzelemş öreklem ç elde edlecek ye θˆ çözümü ayı olmayacaktır. Ya tahm edc (.8) de verldğ gb ölçek eşdeğerl değldr ve bu problem çözmek 8
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL ç Huber (98) koum ve ölçek parametreler (.5) yardımıyla eşalı olarak çözülmes öermştr. Ya ölçek parametres de M tahm edcs bulablrz. Fakat bu bölümde bzm lgledğmz koum parametres olduğuda şmdlk ölçek parametres verlerde hesaplaabldğ, ya bldğ varsayarak sadece koum parametres tahm elde etmeye çalışacağız. O halde θ ı θˆ tahm ç ölçek eşdeğerl olaıı bulmamız gerekr. Buu ç ˆσ ölçeğ (σ ı) robust tahm olmak üzere, ˆσ yı br defa tahm edp kullaacağız. Bu durumda, x θ ψ = 0 = ˆ σ (.5) deklem çözeblrz. Çözümde kullaılacak ölçek tahm, ˆσ = med x med(x 0,6745 ) (.5) dr. Paydadak 0,6745 değer, eğer büyük ve öreklem ormal dağılımda gelyorsa ˆσ yı, σ ı yasız tahm edcs yapar ( ˆσ ~ σ). Öreklem stadart sapması sapa değerlerde çok etklee ve robust olmaya br tahm edc olduğuda ˆσ yere kullaılamaz. Öreklermzde hataları ˆσ le stadartlaştırarak terasyoları yapacağız. (.35) te verdğmz smpleks-lats tasarımı ç parametre tahm, tasarım oktalarıda yapıla tekrarlı gözlemler ortalamasıa daylıdır. Ortalamaı sapa değerlere karşı çok hassas olmasıda dolayı, sapa değerlere karşı dreçl ola tahm edcler olarak robust M tahm edcler tasarım oktalarıdak çok tekrarlı gözlemlere uygularsak, ˆβ *, blmeye β parametres robust M tahm edcs ve * y, tasarım oktalarıdak tekrarlı gözlemler ortalamasıı robust M tahm edcs olmak üzere, 9
. GİRİŞ Orku COŞKUNTUNCEL * ˆβ = * ˆβ j = * y 4y (y + y ) (.53) * * * j j robust tahmler elde ederz..4.. M tahm Edcs İç Br Örek Bu kısımda Tablo.3 te verle tasarım oktalarıdak tekrar sayıları brer arttırılarak oluşturulmuş meyve suyu karışımı vers ele alıacaktır. Tablo. dek orjal ve değştrlmş verler ç (.36) ve (.37) de elde edle katsayı tahmler le M tahm edclerde elde edle katsayı tahmler karşılaştırılacaktır. İlk olarak hataları hag dağılımda geldğ blmemes durumuda Huber ve Tukey etk foksyolarıı kullaarak daha sora da hataları t, GT ve SGT dağılımıda geldğ varsayarak terasyoları yaptırdığımızda elde edle tasarım oktalarıdak ortalama souçları Tablo.4 te verlmştr. Huber ρ foksyou tek mmuma sahptr. Bu yüzde mmum problemde çözüme yakısaması daha kolaydır. Acak Tukey ρ foksyouu mmumu tek değldr. Bu yüzde terasyolarda Tukey ρ foksyou ç brde fazla başlagıç değer seçmek daha uygu olacaktır. Tablo.4. Ye verler ç robust tahm edcler le elde edle tasarım oktalarıdak ortalama souçları Tasarım ver eklemede Huber Tukey t GT SGT Noktası öcek/sorak ort. x 4.60 / 6.075 4.85 4.60 4.7 4.6 4.40 x 6.33 / 5.5 6.48 6.33 6.4 6.34 6. x 3 7.0 / 5.675 6.85 7.09 6.97 7.08 6.94 x x 6.07 / 4.75 5.8 6.06 5.93 6.0 5.85 x x 3 6.7 / 4.7 5.86 6.6 6.04 6.3 5.95 x x 3 6.7 / 9.5 6. 6.6 6. 6.6 6. Öcelkle orjal ve ye verdek ortalamalara dkkat edersek eklee verler ortalamayı çok etkledğ görürüz. İterasyolar soucuda elde edle souçlara dkkat edlrse ye verler ç öreklem ortalaması le robust yötemlerle 30