Oomaik Konrol I Laplace Dönüşümü Vafi Emre Ömürlü
Laplace Dönüşümü: Özellikleri eoremleri Kımî Keirlere Ayırma By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
Laplace ranform I i advanageou o olve By uing, we can conver many common funcion ino Operaion like differeniaion and inegraion can be replaced by algebraic equaion. A linear differenial equaion can be ranformed ino an algebraic equaion. If he algebraic equaion in i olved for he dependen variable, hen he oluion of he differenial equaion may be found by ue of By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
Laplace dönüşümünün avanajı Grafik ekniklerin kullanımına imkan verir Diferaniyel denklemlerin çözümünü kolaylaşırır By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 4
Some dynamic yem and heir mahemaical repreenaion Auomaic conrol valve o adju he liquid level of he ank by conrolling he flap angle ϕ Valve o adju he flow rae beween ank q Dicharge valve h h Dicharge valve 4 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 5
Komplek Değişken Bir komplek ayı gerçek ve imajiner kıımlardan oluşur. Bu iki kıım değişken olduğundan komplek değişken imini alır. G komplek fonkiyonu gerçek ve imajiner kıımlardan oluşur, G x ve G y. Doğrual konrol iemlerinde komplek fonkiyonlara çokça ralarız ki bunlar cininden fonkiyonlardır. By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 6
Euler` heorem coθ in θ coθ j in θ Since e x x x! x! x 4! 4... Euler heorem Alo By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 7
er Laplace Dönüşümü anımı ve varlığı f L F er laplace dönüşümü de mevcuur ve L - ile göerilir. L { } f F f e d Genellikle Laplace dönüşümünün inegral fonkiyonu yerine daha bai yönemleri kullanırız. f fonkiyonunun laplace dönüşümü laplace inegrali yakınara mevcuur. Bu da ancak f fonkiyonu > için her onlu aralıka ürekli ie ve onuza giderken fonkiyon üel bir hal alıyora mümkündür. By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 8
Bazı yaygın laplace dönüşümü örnekleri Baamak fonkiyonu ignal rengh ignal uni ep 7 6 5 4 4 6 8 f A for for < imeec Yükekliği bir olan baamak fonkiyonuna birim baamak fonkiyonu denir. o da gerçekleşen birim baamak fonkiyonu - o ın fonkiyonu manaına - o ile göerilir. By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 9
Bazı yaygın laplace dönüşümü örnekleri Üel fonkiyon f A e a for for < exp decay ignal rengh ignal uni 6 5 4 4 6 8 imeec By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
Bazı yaygın laplace dönüşüm örnekleri Rampa fonkiyonu f A L for for a { f } A e d A e d < ignal rengh ignal uni 7 6 5 4 ramp 4 6 8 imeec By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
Bazı genel laplace dönüşümü örnekleri Sinü fonkiyonu f A in ω for for < recall Ain ω A j j j e ω ω e ine ignal rengh ignal uni 6 4 - -4-6 4 6 8 imeec By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
En çok kullanılan kullanacağımız dönüşümler f A A A A e n a A in a A co a A e A e b b in a co a F By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
Sinyal şekilleri ignal rengh ignal uni 8 6 4 - -4-6 A e A b co a A e a A e in a A co a A in a 4 6 8 b A n A imeec By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 4
Laplace dönüşümü özellikleri - üperpoziyon f α f β f α F β F Ölçekleme özelliği L{ α f } α F By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 5
Laplace dönüşümü özelliği - gecikme By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 6
Laplace dönüşümü özelliği - gecikme Suppoe f i delayed by λ>. he Laplae ranform of he funcion, L f λ e d { f } Define a new variable, - λ, and hen, d d, f for < f A L { } λ f λ e F λ λ By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 7
By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 8 Laplace dönüşümü özelliği ürev... n n n n n n n f f f f F f d d f d d f d d & L L L f fonkiyonun başlangıç şarı ve dfd fonkiyonun ürevinin başlangıç şarıdır. Meela, fonkiyon mekanik iemin konumunu veriyora, konum ve hız başlangıç şarları gibi.
By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 9 Bazı laplace dönüşümü örnekleri Darbe fonkiyonu { }, e A e A A d e d e A d e A A f A A f for for A f > < < < L Burada, A ve abiir. Darbe fonkiyonu yükekliği A olan, da başlayan bir baamak fonkiyonu ve da negaif aynı şiddee bir baamak fonkiyonu ile birleşen bir oplam fonkiyon olarak düşünülebilir. A f
Bazı laplace dönüşümü örnekleri Darbe fonkiyonu f A, lim f L { f } lim d d A lim [ A e ] d d A for for e < < <, A > A Darbe fonkiyonun yükekliği A ve ürei olduğundan, bunun alındaki alan direk olarak A dır. a yaklaşığında, alan A olarak kalır. Şu da haırlanmalıdır ki darbe fonkiyonunun genliği alındaki alanla ölçülür. Darbe fonkiyonunun alındaki alan e eşi ie buna birim darbe fonkiyonu veya Dirak Dela fonkiyonu denir. By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
Laplace dönüşümü eoremleri on değer eoremi lim f lim F Example: aşağıdaki iemin kalıcı hal değerini y bulunuz. Y 44 4 4 lim y ± 44 pole: By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
Laplace dönüşümü eoremleri ilk değer eoremi ve D kazanç f lim F 44 hould exi D Gain limg By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
Kımî keirlere ayırma Neden ihiyaç duyuyoruz? F B A m deg ree. polynomial. wih. m. zi. roo 6444 44 744444 8 m m b b... b n n a... an 444 4444 n h h deg ree. polynomial. wih. n. p. roo j m K m i n j called zero } z i p j { called pole Fonkiyonun -oramında paydaının köklerine bağlı olarak kımî keirlere ayırma üç ayrı şekilde yapılır.. Payda ayrık gerçek köklere ahipe,. paydada komplek kökler vara,. paydada ekrar eden kökler vara. By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 4 Kımî keirlere ayırma ayrık kökler,... for p p p F n n p F p p n n n F p
By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 5 Kımî keirlere ayırma ayrık komplek kökler {,,. f F F F uual a olve Bazı kökler komplek ie -,,,4,6,8, 4 6 8 imeec ignal rengh ignal uni ep ine decay coine decay f
By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 6 Kımî keirlere ayırma ekrar eden kökler [ ] [ ] [ ] [ ] e e f F F d d again differeniaing F d d d d F d d alo F F, Bazı kökler ekrar ediyora,,4,6,8, 4 6 8 imeec ignal rengh ignal uni f e^- ^*e^-
Örnek: ank dinamiği Proee kullanıla ank dinamiği şöyle veriliyor: -h yi bulunuz -h nin 5 eki genliğini bulunuz By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 7
Örnek: ank dinamiği H I II III IV By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 8
Örnek: ank dinamiği By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 9
Örnek: ank dinamiği H d d H By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
Örnek: ank dinamiği h e h for only ^ Bu onuç adece girişi içindir, ama diğer cevaplar üperpoziyon ve ölçeklendirme özelliği kullanılarak elde edilebilir.,9,8,7,6,5,4,,,,,4,6,8 ime ec By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 Örnek: ank dinamiği Overall yem repone i < < < < e e e e e e e e e for e h " " " ank heigh, h,5,,5,,5,,5,5,5 ime ec heigh m
Örnek: küle-önüm-yay iemi? Siem maemaik modeli m && x bx& kx f By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7
Örnek: dinamik iem cevabının laplace dönüşümü G? u < < < < aniye üren bir darbe fonkiyonu için yukarıdaki iemin cevabını bulunuz. By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 4
Örnek: dinamik iem cevabının laplace dönüşümü Y Ι Repone of he Syem o a econd long pule Y Ι YΙΙ One-econd delayed of Y I. yem oupu,5,4,,, ime ec By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 5
Ex- ime delay, < < u, < <, < < L { u }? By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 6
Ex- L { } λ f λ e F λ λ λ λ U e e λ U e e By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 7
Ex- Differenaion y y 9y 5 y y Find he Laplace ranform of hi equaion By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 8
By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 9 Ex-... n n n n n n n f f f f F f d d f f F f d d f F f d d & & L L L
HO Syem Repone Ex- L L {} {} y Y y y y Y y magniude 8 6 4 L L {} y { 5} Y 5 -.5..5..5..5.4 ime ec 5 5 Y Y 9 9 9 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 4
Ex- F Diinc Pole 9 Find he Invere Laplace ranform of hi equaion By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 4
Ex- F A B 9 9 n p n F p n A [ 9F ] 9 8 B [ F ] 8 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 4
HO Impule Repone 8 6 Ex- Ampliude 4 8 F f 8 8 9 L { F } 6 4.5..5..5. ime ec f e 9 e 8 8 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 4
HO Ex-4 Repeaed pole 5 F 5 Find he Invere Laplace ranform of hi equaion 5 A B F 5 5 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 44
Ex-4 6 [ 5F ] 5 5 5 B F 5 A d d 5 F d d 5 d 5 5 5 6 d 5 5 5 5 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 45
Impule Repone Ex-4 6 6 5 F 5 5 f L F 5 { } 6 6 f 5 e 5 5 5 Ampliude 8 6 4.5..5..5..5.4.45.5 ime ec By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 46
Ex-5 LL M kg R6Necm K8Nm F N - Find y Y L F L m r k By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 47
Ex-5 F F F F F e e e By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 48
Y L F L m r k Y Y Ex-5 L L m r k F 6 8 ommon erm for every ub-inpu Y 4 6 8 4 6 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 49
Ex-5 Y 6 d d Y d d 6 8 6 9 6 8 [ 4Y ],56 4 6 5 4 4 [ 6Y ] 6,9 6 4 4 5 6 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 5
Ex-5 Y 9 6,5,56 6,9 5 4 5 6 4 6 5 y 9 6,5 e e 5 4,56 6,9 6 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 5
Ex-5 Overall yem repone: 5 I 9 6,5 e e 5 4,56 6,9 5 6 5 4,56 6,9 II 9 6,5 e e 5 6 5 4,56 6,9 III 9 6,5 e e 5 5 4,56 6 6,9 IV 9 6,5 e e 6 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 5
Ex-5 Overall yem repone: < y F I y F III y F I II III y F I II III IV By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 5
Ex-5 Final value eorem: lim f lim F 5 y 9 6,5 e e 5 4,56 6,9 5 lim y 9 Y 6 8 lim{ Y } 6 8 lim y lim Y { } 6 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 54
Ex-5 Iniial value eorem: f lim F 44 hould exi Y 6 8 y lim{ Y } 6 8 By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 55