Silindirik Koordinatlar: Bazı mühendislik problemlerinde, parçacığın hareketinin yörüngesi silindirik koordinatlarda r, θ ve z tanımlanması uygun olacaktır. Eğer parçacığın hareketi iki eksende oluşmaktaysa polar (kutupsal) koordinatlarda r, θ incelenir. Bir hareketin radyal bir mesafe ve açısal bir konum ile gözlemlendiği durumlarda (bir radar yer istasyonundan uydu veya roketin hareketinin incelenmesinde olduğu gibi) silindirik koordinatlar oldukça kullanışlıdır. Polar Koordinatlar: P parçacığın konumu, r ve θ koordinatları kullanılarak tanımlanır. Burada r, radyal koordinat olup sabit O orijininden parçacığa doğru yönelmiştir. θ ise radyal koordinata dik olarak tanımlanmış olup saatin tersi yöne ölçülen açıdır. Pozitif yönleri, sırası ile u r ve u θ birim vektörleri ile gösterilmiştir. Bu doğrultular birbirine diktir. Burada θ genellikle radyan veya derece cinsinden ölçülür. π radyan = 180 derece dir.
Konum: Herhangi bir anda P tanımlanır. parçacığın konumu, pozisyon vektörü ile r = ru r Burada r, konum vektörünün şiddeti (uzunluğu) ve aynı zamanda konumun radyal koordinatıdır. Radyal koordinat zamana bağlıdır, r = r θ. Kutupsal koordinatların diğer bileşeni (açı bileşeni) θ da zamana bağlıdır θ = θ t. θ açısının konum vektörüne olan etkisi u r birim vektöründe gizlidir.
Hız: r pozisyon vektörünün zamana göre türevi alınarak belirlenir. Zamana göre türevi nokta ile gösterirsek r = ru r v = r u r + ru r u r yi hesaplamak için, birim vektör tanımından büyüklüğü daima birim olup u r nin zamana göre sadece doğrultusu değişecektir. Bu durumda, t zaman aralığında, r değişimi u r nin doğrultusunda değişime neden olmaz. Ancak θ değişmi u r nin u r = u r + u r olmasına neden olacaktır. u r nin zamana göre değişimi u r olur. Küçük θ açıları için bu vektörün büyüklüğü u r 1 θ olup u θ doğrultusundadır. Yani, u r = θu θ dır.
u r = θu θ u u r = lim r = lim θ t 0 t t 0 t u θ u r = θ u θ Elde edilen u r yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa, v = r u r + ru r v = r u r + rθ u θ v r = r v θ = rθ Bu bileşenler şekilde gösterilmiştir.
Hızın radyal bileşeni v r, radyal doğrultudaki koordinatın uzunluğundaki artma veya azalmanın ölçüsüdür. Hızın dik bileşeni v θ ise, yarıçapı r olan çemberin çevresi boyunca hareketinin bir ölçüsü olarak yorumlanabilir. Özel olarak, θ = dθ dt terimine açısal hız denir ve ω omega ile sembolize edilir. Açısal hızın büyüklüğü rad s ile ölçülür. Her zaman yörüngeye teğet olan hız vektörünün büyüklüğü paralel kenar prensibinden hesaplanır. v = v r 2 + v θ 2
İvme: Hız ifadesinin (denklem) zamana göre türevinden ivme belirlenebilir. v = r u r + rθ u θ a = v = r u r + r u r + r θ u θ + rθ u θ + rθ u θ u r, hız ifadesinin elde edilmesinde belirlenmişti. Benzer şekilde, u θ nın belirlenip denklemde yerine yazılması gerekir. u θ yı hesaplamak için birim vektör daima birim olduğundan, u θ nın zamana göre sadece doğrultusu değişecektir. t zaman aralığında, θ nıın değişimi u θ nın doğrultusunda değişime neden olmaz. Ancak θ nın değişimi, u θ nın u θ = u θr + u θ olmasına neden olacaktır. u θ nın zamana göre değişimi u θ olur. Küçük θ açıları için bu vektörün büyüklüğü u θ 1 θ olup u r doğrultusundadır. Yani, u θ = θu r dır.
u θ = lim t 0 u θ t u θ = lim t 0 t u r u θ = θ u r Bu değerler ivme denkleminde yerine yazılarak r ve θ parantezlerine alınırsa, a = v = r u r + r u r + r θ u θ + rθ u θ + rθ u θ a = r u r + r( θ u θ ) + r θ u θ + rθ u θ + rθ θ u r a a = (r rθ 2 )u r + (rθ + 2r θ )u θ a r = r rθ 2 a θ = rθ + 2r θ
a r = r rθ 2 a θ = rθ + 2r θ İvmenin büyüklüğü paralel kenar kaidesince belirlenir. a = a r 2 + a θ 2 a = (r rθ 2 ) 2 +(rθ + 2r θ ) 2 Burada, θ = d2 θ terimine açısal ivme denir. α dt 2 ile sembolize edilir ve rad s 2 ölçülür.
Hız Bileşenleri
İvme Bileşenleri
Maddesel noktanın bağıl hareketinin hareketli eksenlere göre analizi: Buraya kadar parçacığın mutlak hareketinin belirlenmesinde sabit referans eksen takımı (Newton mekaniğinde, uzayda hareket etmediği kabul edilen ana atalet sistemi) kullanılmıştı. Bununla birlikte, parçacığın hareketinin yörüngesinin karmaşık olduğu durumlarda vardır. Bu durumda hareketin analizi, hareketli bir koordinat sistemine göre yapılarak kolaylaştırılabilir. Sabit eksen takımına göre yapılan ölçümler, hareketli koordinat sisteminin gözlenen hareketi ile birleştirilerek mutlak hareket belirlenir. Bu yaklaşım bağıl hareket analizi olarak bilinir. Örneğin bir uçağın pervanesinin ucuna yerleşmiş bir parçacığın hareketi, uçak uçmakta iken, önce sabit bir referans sisteminden uçağın hareketi gözlenir ve sonra parçacığın uçağa bağlı bir referans noktasından ölçülen dairesel hareketi (vektörel olarak) süperpoze edilerek daha kolay tanımlanır. Bu iki farklı hareketi tanımlamak için koordinat tiplerinden herhangi biri (kartezyen, silindirik, vb.) seçilebilir. Bu bölümde, sadece ötelenmesi olan referans eksen takımı incelenecektir.
Maddesel noktanın bağıl hareketinin hareketli eksenlere göre analizi Konum: A ve B düzlemde hareket etmekte olan iki maddesel nokta olsun. A nın hareketini, merkezi B de olan ve sadece ötelenen x y referans eksen takımından gözetlesin. A maddesel noktasının B maddesel noktası ile birlikte hareket eden eksene göre konumu r A B = xi + yj
Maddesel noktanın bağıl hareketinin hareketli eksenlere göre analizi Bununla birlikte, B nin sabit X Y referans eksene göre konumu r A = r B + r A B Burada, r A ve r B sabit X Y referans eksen takımından ölçülen partiküllerin mutlak konumlardır. r A B ise, ötelenen x y referans eksen takımından ölçülen A nın B referansına göre konumudur.
Maddesel noktanın bağıl hareketinin hareketli eksenlere göre analizi Hız: Konumun zamana göre değişimi Hız olduğundan r A = r B + r A B v A = v B + v A B Burada, v A ve v B sabit X Y referans eksen takımından ölçülen partiküllerin mutlak hızlarıdır. v A B ise, ötelenen x y referans eksen takımından ölçülen A partikülünün B referansına göre hızıdır. Hareketli eksen sadece ötelenme yapmakta olduğundan r A B konum vektörü bileşenlerinin doğrultuları değişmeyecek sadece büyüklükleri değişecektir. Bundan dolayı vektörün zaman türevleri sadece büyüklüğündeki değişim hesaba katılarak alınmalıdır. Diğer bir ifadeyle, A nın hızı, B nin mutlak hızı ile A nın B ye göre bağıl hızının toplamıdır.
Maddesel noktanın bağıl hareketinin hareketli eksenlere göre analizi İvme: Hızın zamana göre değişimi ivme olduğundan, benzer tarzda v A = v B + v A B a A = a B + a A B Konum ve hız da olduğu gibi, burada da a A ve a B sabit X Y referans eksene göre belirlenmiş mutlak ivmelerdir. a A B ise hareketli eksene göre belirlenen A nın B ye göre ivmesidir.