ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı n 1 tipinden X matrisine λ özdeğerine karşılık gelen A nın özvektörü adı verilir. Örnek 1.1 1 1 A = [ 1 1 ] 1 α olsun. İddia ediyoruz ki; 1 özdeğerdir ve buna karşılık [ ] da özvektördür. Burada α bir sayıdır. Bunu göstermek için; α 1 1 α α α A [ ] = [ 1 1 ] [ ] = [ ] = 1 [ ] 1 α Böylece λ = 1 ve X = [ ] (1.1) denklemini sağlar. β A nın bir başka özdeğeri 1 dir. Buna ait vektörler ise [ 2β ] dir. Burada β sıfırdan farklıdır. 4β Direk hesaplama ile bu gösterilir. β 1 1 β β β A [ 2β ] = [ 1 1 ] [ 2β ] = [ 2β] = 1 [ 2β ] 4β 1 4β 4β 4β Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
Teorem 1.1 A matrisinin λ özdeğerine karşılık gelen özvektörü X olsun. a alalım bu takdirde αx de λ özdeğerine karşılık gelen A nın bir özvektörüdür. İspat: αx in AX = λx denklemini sağladığını göstereceğiz. Kabulden AX = λx olduğundan A(αX) = α(ax) = α(λx) = λ(αx) (1.1) ispatlanır. Bir karesel matrisin her bir özdeğeri için karşılık gelen bütün özvektörlerini ve özdeğerlerini bulma problemine bakalım. λ nın n n tipinden A matrisinin bir özdeğeri olduğunu ve buna karşılık gelen özvektörünün de X olduğunu kabul edelim. Bu takdirde AX = λx dir. n 1 tipinden sıfır matrisini O ile gösterirsek λx AX = O şeklinde yazılır. Bu denklem, λi n X AX = veya; (λi n A)X = O sistemi, λ özdeğerine karşılık X özvektörü karşılık gelmek üzere aşikar olmayan bir çözüme sahiptir. Bu elde ettiklerimizi bir teorem olarak verelim. Teorem 1.2 A n n tipinde bir matris olsun. Bu takdirde; 1. A özdeğerinin λ olması için gerek ve yeter şart λi n A = olmasıdır. 2. A nın bir özdeğeri λ ise (λi n A)X = O denklemin aşikar olmayan bir çözümü, λ ya karşılık gelen A nın bir özvektörüdür. Dolayısıyla; λi n A = veya daha açık bir ifadeyle; λ a 11 a 12 a 1n a 21 λ a 22 a 2n = a n1 a n2 λ a nn
denklemini çözerek A nın özdeğerlerini buluruz. A verildiğinde bu determinantı alarak A nın elemanlarından oluşturulan katsayılara λ ya göre n inci dereceden bir polinom elde edilir. Bu polinoma A nın karaktersitik polinomu denir. Bu polinomun kökleri A nın özdeğerleridir. λi n A = denklemi A nın karakteristik denklemidir. Her bir λ özdeğerine karşılık (λi n A)X = denkleminin aşikar olmayan çözümleri A nın özvektörleridir. A nın özvektörleri n inci dereceden polinomun kökleri olduğundan bir n n tipinden matris tam olarak n tane özdeğere sahip olacaktır. Bunların bazısı katlı kök olabilir. Genellikle bu özdeğerleri λ 1,, λ n olarak alacağız. Örnek olarak 5 5 tipinden bir A matrisinin karakteristik polinomu (λ 1)(λ 3)(λ + 4) 3 ise özdeğerler 1, 3, 4, 4 ve 4 tür. 4 üç katlı köktür. Reel katsayılı n inci dereceden bir polinom kompleks köklere sahip olabileceğinden bir matrisin kompleks özdeğerleri alabilir. Bu takdirde (λi n A)X = denkleminin çözümleri kompleks sayılardır. Dolayısıyla buna karşılık gelen özvektörler kompleks sayılardan oluşur. Örnek 1.2 1 1 A = [ 1 1 ] 1 olmak üzere örnek (1.3) i tekrar göz önüne alalım. λi n A = denklemi; dır. Bu determinantı açarsak; λ 1 1 λ 1 1 = λ + 1 (λ 1) 2 (λ + 1) = üçüncü dereceden bir polinom elde edilir. A nın karakteristik denklemidir. A nın özdeğerleri 1, 1 ve 1 dir. λ = +1 özdeğerine karşılık (I 3 A)X = veya; 1 [ 1] [ 2 x 1 x 2 ] = [ ] x 3
α sistemini çözelim. X = [ ] çözümü elde edilir. α ile böyle bir matris 1 özdeğerine karşılık gelen A nın özvektörüdür. λ = 1 özdeğerine karşılık ( I 3 A)X = denklemini çözelim; 2 1 [ 2 1] [ x 1 x 2 ] = [ ] x 3 β Bu sistemin genel çözümü X = [ 2β ] dir. β olan böyle bir matris 1 özdeğerine karşılık 4β gelen bir özvektördür. Bu hesaplamalar örnek (1.1) deki özdeğer ve özvektörleri nasıl elde ettiğimizi açıklar. Örnek 1.3 matrisinin karakteristik denklemi; veya A = [ 1 2 2 ] λi 2 A = λ 1 2 2 λ = λ(λ 1) + 4 = dır. Kökler (1 ± 15i)/2 dir ve bunlar A nın özdeğerleridir. (1 + 15i)/2 özdeğerine karşılık; sistemini çözelim. Sonuçta; [ 1 + 15i I 2 2 A] X = α [ ( 1 15i ) α ] 4 çözümleri elde edilir. α için bu matris (1 + 15i)/2 özdeğerine karşılık gelen özvektördür. (1 15i)/2 özdeğerine karşılık;
β [ ( 1 + 15i ] (β ) ) β 4 özvektörü bulunur. Bir n n tipinden matrisin özdeğerini bulmak n inci dereceden bir polinomun köklerini elde etmeye denktir. n 3 ise karakteristik polinomun köklerini bulmak zor olabilir. n inci dereceden bir polinomun köklerini bulmak problemi (n incimertebeden diferansiyel denklem çözümlerinde gördüğümüz gibi) matematik kullanılarak çözülür. Bir çok uygulamalarda özdeğerin hesaplanması önemli olmasından dolayı bilgisayar programları kullanılarak bir matrisin özdeğerlerini yaklaşık olarak nümerik metotlarla hesaplayabiliriz. Örnek 1.4 1 1 1 A = [ 1 2] 1 1 matrisinin karakteristik polinomunu, özdeğerlerini ve her bir özdeğere karşılık gelen özvektörleri bulunu. Çözüm: Karakteristik denklemi; dır. Buradan; 1 λ 1 1 A λi 3 = 1 λ 2 = 1 1 λ λ 3 2λ 2 = üçüncü dereceden polinomu elde edilir. A nın özdeğerleri λ 1 = λ 2 =, λ 3 = 2 dir. λ 1 = λ 2 = özdeğerlerine karşılık gelen özvektörü bulmak için; [A I 3 ][X] = [] denklem sistemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak olursak;
olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında 2k X = [ k ] (k ) bulunur. k λ 3 = 2 için; x 1 1 1 1 [ 1 2] [ x 2 ] = [ ] 1 1 x 3 [A 2I 3 ][Y] = [] denklem sistemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak olursak; 1 1 1 y 1 [ 1 2 2 ] [ y 2 ] = [ ] 1 1 y 3 olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında Y = [ m] (m ) bulunur. k = m 1, k = 1 ve m = 1 alırsak özvektörler sırasıyla aşağıdaki gibi olur, Örnek 1.5 2 2 [ 1] [ 1] ve [ 1] 1 1 1 A = [ 1 3 2 1 ] Matrisinin karakteristik polinomunu, özdeğerlerini ve her bir özdeğere karşılık gelen özvektörleri bulunuz. Çözüm: dir. Buradan; A λi 2 = 1 λ 3 2 1 λ = λ 2 2λ 5 = ikinci dereceden polinomu elde edilir. A nın özdeğerleri λ 1 = 1 6 ve λ 2 = 1 + 6 dir.
λ 1 = 1 6 özdeğerine karşılık gelen özvektörü bulmak için; [A (1 6)I 2 ][Y] = [] denklem sistemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak olursak; olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında X = [ 3k ] (k ) bulunur. 6k λ 3 = 1 + 6 için; [ 6 3 2 6 ] [x 1 x 2 ] = [ ] [A (1 + 6)I 2 ][Y] = [] denklem sistemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak olursak; olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında [ 6 3 2 6 ] [y 1 y 2 ] = [ ] Y = [ 3m ] (m ) bulunur. Sırasıyla k = 1 ve m = 1 alırsak özvektörler sırasıyla aşağıdaki 6m gibi olur, [ 3 6 ], [ 3 6 ] Örnek 1.6 A = [ 2 1 4 ] A matrisinin karakteristik polinomunu, özdeğerlerini ve bunlara karşılık gelen özvektörleri bulunuz. Çözüm:
λi 2 A = λ + 2 1 λ 4 = dir. Buradan (λ + 2)(λ + 4) = ikinci dereceden polinomu elde edilir. A nın özdeğerleri λ 1 = 2 ve λ 2 = 4 tür. λ 1 = 2 özdeğerine karşılık gelen özvektörü bulmak için; [ 2I 2 A][X] = [] denklem sistemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak olursak; olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında X = [ 6k ] (k ) bulunur. k λ 3 = 4 için; [ 1 6 ] [x 1 x 2 ] = [ ] [4I 3 A][Y] = [] denklemini kullanırız. Bunu daha açık bir şekilde yazacak olursak; olur ve burada gerekli işlemler yapıldığında [ 6 1 ] [y 1 y 2 ] = [ ] Y = [ ] (m ) bulunur. Sırasıyla k = 1 ve m = 1 alırsak özvektörler sırasıyla aşağıdaki m gibi olur. [ 6 1 ], [ 1 ]