T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FARKLI POTANSİYELLERDE SINIRLANDIRILMIŞ ÇOK ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİ SUDE KART YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Koya, i

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FARKLI POTANSİYELLERDE SINIRLANDIRILMIŞ ÇOK ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİ Sude KART YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANA BİLİM DALI Bu tez.taihide aşağıdaki jüi taafıda oy biliği ile kabul edilmişti. Yd.Doç.D. Bea GÜLVEREN (Daışma) Pof.D.Ülfet ATAV (Üye) Yd.Doç.D. İ.Hilal GÜBBÜK (Üye) ii

ÖZET Yüksek Lisas Tezi FARKLI POTANSİYELLERDE SINIRLANDIRILMIŞ ÇOK ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİ Sude Kat Selçuk Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Fizik Aabilim Dalı Daışma: Yd. Doç. D. Bea GÜLVEREN,.sayfa Jüi: Bu çalışmada öcelikle kuatum okta yapılaı atomlala ola bezeliği tatışılmış, soa çok elektolu sistemlei fiziksel özellikleii aaştımak amacı ile kullaıla istatistiksel yötemle ola, Hatee-Fock yaklaşımı (H-F), yoğuluk foksiyoel teoemi ve Thomas Femi (T-F) atom modeli taıtılmıştı. Daha soa Thomas Femi deklemi iki boyutlu kuatum okta yapıla içi, hamoik (α ), 4 (γ 4 ), hamoik olmaya (α + γ 4 ) ve defome edilmiş (V -α + γ 4 ) faklı potasiyellede sııladıılmış etkileşmeye elektola içi, T= K sıcaklığıda çözülmüştü. Ayı şekilde iki boyutlu kuatum okta yapıda υ()=b t potasiyelide sııladıılmış etkileşmeye sistemi fiziksel özelliklei solu sıcaklıkta ifade edilmişti. Faklı potasiyelle içi düşük sıcaklıkta aalitik ifadele tüetilmişti. Aahta kelimele: Kuatum okta yapıla, Thomas Femi yötemi. iii

ABSTRACT Ph. D. Thesis ELECTRONICAL PROPERTIES OF QUANTUM DOTS CONTAINING MANY ELECTRONS CONFINED BY VARIETY OF POTENTIALS Sude Kat Selcuk Uivesity Gaduate School of Natual ad Applied Scieces Depatmet of Physics Supeviso: Yd. Doç. D. Bea GÜLVEREN,.pages Juy: İ this study, the similaity of quatum dot stuctues to the atoms. The, statistical methods amed hatee-fock appoach (H-F), desity fuctioal theoy ad Thomas Femi (T-F) appoximatio which ae used the aalyze may paticle systems itoduced peseted fist. Aftewads, Thomas Femi equatio is solved fo T= K tempeatue at diffeet potetials (i.e. hamoic (α ), 4 (γ 4 ), u-hamoic (α + γ 4 ), 4 potetial (γ 4 ) ve defomed (V -α + γ 4 )) i two-dimesio o-iteactio system. The physical popety of o-iteactio system cofied i the υ()=b t potetial i the two-dimesio quatum dot stuctue is itoduced at fiite tempeatue. Aalytic defiitios ae deived fo vaious potetials at low tempeatues. Key Wods: Quatum Dot Stuctues, Thomas Femi Method. iv

ÖNSÖZ Selçuk Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsüe Yüksek Lisas tezi olaak suula bu çalışmada, faklı potasiyellede sııladıılmış okta yapılaı elektoik özelliklei teoik olaak icelemişti. Çalışma süesice bilgi ve tecübelei, bilimsel ehbeliği ile maevi olaak desteğii esigemede hep akamda dua saygıdeğe hocam Yd. Doç. D. Bea GÜLVEREN e e içte teşekküleimi suaım. Tüm çalışmam boyuca bei he zama maddi ve maevi olaak destekleye aem, babam ve eşime çok teşekkü edeim. Sude Kat v

İÇİNDEKİLER ÖZET... iii ABSTRACT...iv ÖNSÖZ.v.GİRİŞ. YAPAY ATOM OLARAK KUANTUM NOK YAPILAR 7 3.N ELEKTRONLU SİSTEMLER..... 3.. Hatee-Fock Yötemi.... 3.. Yoğuluk Foksiyoel Teoisi....3 3.3. Thomas-Femi (T-F) Atom Modeli.7 3... Femi Eejisi 3... Çok Elektolu Atomla Ve İyola İçi Thomas Femi Kuamı... 4. FARKLI POTANSİYELLERDE SINIRLANDIRILMIŞ N ELEKTRONDAN OLUŞAN İKİ BOYUTLU KUANTUM NOKTA YAPININ FİZİKSEL ÖZELLİKLERİNİN T= K DE İNCELENMESİ.4 4. Faklı Sııladıma Potasiyellei İçi Thomas-Femi Deklemi i T= K de Çözümü... 4 4.Souç ve Tatışma... 8 5. İKİ BOYUTLU KUANTUM NOKTA YAPIDA υ()=b t POTANSİYELİNDE SINIRLANDIRILMIŞ ETKİLEŞMEYEN SİSTEMİN TERMAL ÖZELLİKLER...36 5. Boyutta ve b t Potasiyelde Sııladıılmış Sistemi Temal Özelliklei......36 5. Faklı Potasiyellede Sııladıılmış N Elektoda Oluşa İki Boyutta ve Faklı Potasiyellede (hamoik (α ), 4 Potasiyeli (γ 4 ), Hamoik Olmaya (α + γ 4 ), Defome Edilmiş (V -α + γ 4 )) Sııladıılmış Elektolaı Temal Özelliklei....4 5.3 Souç ve Tatışma......44 6. SONUÇ VE TARTIŞMA......5 7. KAYNAKLAR..5 vi

. GİRİŞ Uzu bi süedi elektoik sistemledeki bilimsel aaştımala, atomla, paçacıkla, metalik veya yaıiletke kistalle ya da beta adyasyo ışılaı ile sııladıılmıştı (Jacak vd., 998). Bulaı pek çoğu üç boyutlu sistemle olup atomlada ve kistal kusulada, elektolaı (öeği safsızlıklada) iki ya da daha az boyutta sııladıılmasıyla meydaa gelmektedi. 97 lei başlaıda bi boyutta sııladıılmış kuatum kuyu olaak adladııla yei bi aaştıma alaı göze çaptı. Kuatum kuyu, daha yüksek iletim bat eejisie sahip iki yaıiletke malzeme aasıa sıkıştıılmış diğe bi yaıiletke malzemede oluşu. İki mateyali iletim badı eejisi aasıdaki fak, elektolaı ice düzlem içeiside tuta. Yaıiletke içeisideki elektou etki kütlesi küçük olduğuda De Boglie dalga boyu göeli olaak büyüktü. Düzleme bağlı elektou haeketi iki boyutludu ve düşey boyuttaki uyaılmala güçlü bi şekilde kuatumlamıştı. Elektoik ve opto elektoikte umut veici uygulamalaı ola saki iki boyutlu sistemlei yei, sıada olmaya özelliklei pek çok aaştıma laboatuaıı ilgisii çekmişti. Bu duum üetim tekolojisii ve yaygı aaştımalaı hızlı gelişmesie yol açmıştı. Bu çalışmalala bilikte kuatum kuyula üetilmiş, CD çalaladaki laze diyotlaı veya uydu televizyolaıda kullaıla mikodalga alıcıla gibi aletlede yılladı kullaılmaktadı. 98 lei başıda tekolojideki hızlı gelişmele, özellikle çok doğu üetim tekikle yadımıyla elektolaı kuatum tel olaak adladııla saki bi boyutlu yapılada sııladıılmasıı mümkü kılmıştı. Kuatum telle öeği kuatum kuyu içee umue içide miyatü şeitle şeklide üetili (Petoff vd. 98). Elektolaı sebest haeketleii tamame kuatizasyou, olaı saki sıfı boyutlu kuatum okta yapılaı içide sııladıaak yapılı. Bu ilk defa Texas Alet Şiketi de aaştımacıla taafıda başaılmıştı. Reed ve akadaşlaı (986) 5 m uzuluğuda kesilmiş kae kuyuda okta üetimii yapmışladı. Daha soa kuatum okta yapıı boyutlaı 3-45 m de daha aza idiilmişti (Cibet vd. 986; Temki vd. 987).

Üç boyutta kuvvetli uzaysal sııladımaı soucu olaak kuatum okta yapıla atomlaa bezedi ve bu edele sıklıkla yapay atomla, süpe atomla ve kuatum okta atomla olaak adladıılıla. Kuatum okta yapılaı ilgiç kıla özellikleide bii yapılaıı, boyutlaıı, eeji düzeyleii ve sııladıılmış elekto sayılaıı kotol edilebilmesidi. Buula bilikte, çok sayıda elektoda oluşa kuatum okta yapılaı oluştuduğu kistal yapıla içideki bat yapılaı gözlemleebilmektedi. Bi çift etkileşe kuatum okta yapılada oluşa yapay moleküllei özelliklei Taucha ve akadaşlaı (Taucha vd., 998) taafıda icelemişti. Kuatum okta yapıla tipik olaak iki boyutlu elekto gazıı yaı iletke heteoyapıı otak yüzey bölgeside sııladımak amacıyla metal giişlee elektostatik potasiyel uygulayaak yapılı. Sııladııcı potasiyel, üetim tekiğie bağlı olaak çok çeşitli şekillede olabili (Xia 989; Secel ve Vahala 99;Wage ve Mekt 99;Tulkki ve Heamaki 995; Rafał Oszwałdowski vd. ). Xia (989), kuatum kuyulaı sıfı boyutlu elektoik yapılaıı etki kütle teoisii desteklediği bi modelle çalışmıştı. Wage ve akadaşlaı (99), yaı iletke yüzeydeki bi diskte sııladıılmış etkileşe iki elektou, dik bi mayetik ala içide ele almışla ve deeysel geçekliklele uygu olaak, bu disk yüzeyideki elektolaı sıılamak içi iki boyutlu hamoik osilatö kuyusuu kullamışladı. Tulkki ve Heamaki (995), sebest IP topluluğu taafıca uyaıla I - xga x As/GaAs kuatum kuyusudaki hapsedilme etkisii hesaplamışladı. Eeji düzeyleii, diek etkileşmeyi ve Luttige-Koh Hamiltoia deki kea bad sııladımasıı göz öüe alaak hesaplamışladı. Rafał Oszwałdowski ve akadaşlaı () spii polaize edilmiş elektolaı püskütülmesiyle yaı iletke bi kuatum oktaı şeklii fomüle etmişledi. Sııladıma şekli, kuatum okta sistemlei elektoik yapılaıı öemli bi biçimde etkile. Hamoik (α ) sııladıma kabulü, geçek bi kuatum okta yapıı dış potasiyeli içi alamlı bi yaklaşıklık sağla. ( Johso 995; Demel ve diğelei 99; Loke vd. 99; Liu vd. 989, Hase vd. 989; Tewodt vd. 99 ). Ayıca ilei üetim tekikleiyle, hamoik olmaya (α +γ 4 ), 4 potasiyeli (γ 4 ), defome edilmiş (V -α +γ 4 ) potasiyelle gibi faklı sııladıma potasiyelleide sııladıılmış sistemlei icelemek, hem teoikcilei hem de deeycilei ilgisii

3 çekmişti (Ye vd. 994; Rasae vd. 5; Gudmudsso ve Gehadts 99; Demel vd. 99; Li vd. 998; Li vd.999). Kuatum okta yapılaı fiziksel özelliklei aaştıılıke çeşitli hesaplama yötemlei kullaılı. Şu aa kada, yaı iletkelei elektoik özellikleii aaştımak amacıyla yapıla çalışmalaı bi kısmı aalitik ve diğelei ise vayasyoel veya ümeik işlemlee dayamaktadı ( Bellesa ve Combescot 999; Vashi 999; Bose ve Saka ). Öeği Ciftja ve akadaşı (4) iki boyutlu paabolik olaak sııladıılmış bi potasiyelde etkileşe iki elektolu bi sistemde petübasyo ve vayasyoel teoiyi kullaaak sıfı dış mayetik alaıdaki iki boyutlu kuatum okta helyumuu taba duumu özellikleii çalışmışladı. Acak, so yıllada geetik algoitma olaak adladııla yei optimizasyo tekiği kuatum mekaiğide optimizasyo ve miimizasyo poblemleide kullaılı hale gelmişti ( Chaudhuy ve Bhattachayya 998; Nakaishi ve Sugawaa ; Gigoeko ve Gacia ). So o yılda düşük boyutlu heteoyapıdaki safsızlıkla ilgili özelliklei aaştımak amacıyla pek çok teoik ve deeysel çalışmala yapılmıştı ( Poas- Moteego vd. 99,99,993; Zhu vd. 989,99; Ribeio ve Ladge 994; Yag vd. 998; Feeya ve Poetto 995; Lee vd.999; Yau ve Lee 3; Bastad 98, Webe vd.988; Byat 985; Bum 985; Oliveia vd.986, 988,993; Moga vd. 99 ). Safsızlık içee bu tip sistemlee büyük ilgi mateyali eeji düzeyleii değiştimelei ve dolayısıyla elektoik ve optik özelliklei etkilemeleidedi. Poas-Moteego ve akadaşlaı (99,993), GaAs-GaAlAs içi vayasyoel yötemi kullaaak kuatum okta yapıı safsızlık bağlama eejileii okta yaıçapıı foksiyou olaak hesaplamışladı. Zhu ve akadaşlaı ( 989,99 ), solu potasiyelde ve sei açılım kullaaak kuatum okta yapı mekezideki safsızlığı bağlama eejisii hesaplamıştı. Kübik GaAs kuatum okta yapı içi taba duum, safsızlık bağlama eejilei ve yoğuluk gibi fiziksel özellikle Ribeio ve Latge (994) taafıda hesaplamıştı. Başka bi çalışmada, Yag ve akadaşlaı (998), mekezdeki hidojeik safsızlığı eeji düzeyleii basit tam çözümle kullaaak hesaplamışladı. Lee ve akadaşlaı (999), kuatum yapılada veici safsızlık ve sııdaki dielektik uyuşmazlık etkisii çalışmışladı. Yau ve Lee (3), mekezdeki Coulomb saflığıa bağlı N elektolu kutuplu okta yapı içi ümeik metodu öemişledi.

4 Kuatum okta yapılada sııladııla elekto sayısı bikaç elektoda bilece elektoa kada değişebili. Etkileşe elektolaı sayısı attığıda geleeksel yötemlei kullaaak hesaplama yapmak poblem hale geli. Bu duumda, poblemi çözülebili hale getimek içi biçok fiziksel yaklaşım geliştiilmişti. Bulaa öek olaak, Hatee-Fock, Thomas-Femi, yoğuluk foksiyoel teoisi veilebili. 5 yılı üzeide yoğuluk foksiyoel teoisi, çok elektolu sistemlei çalışmada faydalı bi metot halie gelmişti. Çok iyi bilie Thomas-Femi ( T-F ) yötemi bu teoii temelii oluştuu. Bu yötem istatistiksel bi yötem olup, sistemlei eeji davaışı, yoğuluk davaışı gibi pek çok fiziksel özelliği bu yolla doğu ve hızlı bi biçimde aaştıılabili. Thomas-Femi ( T-F ) yaklaşımı ve değiştiilmiş şekillei geçmişte pek çok yaza taafıda femi sistemleii ( atom, iyo, çekidek ) potasiyel ala ve yük yoğuluklaıı elde edilmeside kullaılmıştı (Thomas 97; Femi 97; Vo Weizsacke 935; Hodges 973; Lieb 98; Spuch 99). Yötemi buula bilikte yaıiletke aoyapılada da uygulaması vadı. Öeği, Pio (998,) iki boyutlu paabolik kuatum okta yapıı kimyasal potasiyel, toplam eeji gibi fiziksel özellikleii mayetik ala valığıda (Maksym ve Chakaboty 99) ve yokluğuda (Gulvee vd. 5) T-F deklemii Poisso deklemi ile bilikte çözeek aaştımıştı. Beze bi biçimde, Lieb ve akadaşlaı (98), iki boyutlu T-F deklemii kullaaak mayetik ala valığıda geiş bi kuatum okta yapıı özellikleii icelemişti. Ayı yaklaşım yaklaşık 3- aasıda elekto içee sisteme de uygulamıştı (Siha vd. ). Siha (), etki elekto etkileşimleii elekto sayısı ile değişmesi sebebiyle, T-F yaklaşımıı çok çeşitli e- e etkileşim şekillei içi paabolik kuatum okta yapıı taba duum özellikleii tatışmıştı. Puete ve akadaşlaı (), Weizsacke gadya teimii de ekleyeek T-F yötemii, çeşitli şekilledeki iki boyutlu aoyapıyı taımlamakta kullamıştı. T-F kietik, Diac değiş-tokuş ve Hatee bölgesel eejiye dayaa obital sebest yaklaşımı, üç boyutlu kuatum okta yapı düzeeğii taba duum yoğuluğuu hesaplamak içi kullaılmıştı (Pio vd. 3). Spuch (99) ise daha çok belisizlik ve dışalama ilkeiyle Coulomb veya Newto kuvvet yasalaıı uygulaması gibi Thomas Femi teoisii temelie odaklamıştı. Çükü, olayı sayısal hasiyettide çok fiziksel alamıyla ilgilemişti. Reima ve Maie

5 () saki iki boyutlu yaı iletke kuatum oktalaıı özelliklei icelemişledi. Elektoik kabuk yapısıı ve mayetik ala etkisi içi deeysel tekikleii kısaca taımlamışla ve elektoik yapılaıı basit tek paçacık modellei, yoğuluk foksiyoel teoisi ve tam köşegeleştime metodlaı sayeside aaliz etmişledi. So zamalada, sııladıılmış femi sistemleii fiziksel özellikleii sıcaklıkla değişimie büyük ilgi vadı. Bu çalışmalaı biçoğuda T-F yötemi sııladıılmış elektolaı aaştıılmasıda kullaılmıştı. Li ve akadaşlaı (998), T-F yötemii hehagi bi d boyutuda ve b t gibi dış potasiyelle sııladıılmış ideal (etkileşmeye) femi gazıı elektoik özellikleii aaştımada kullamışladı. Buula bilikte bazı fiziksel özelliklei aalitik ifadeleii vemişle ve bu özelliklei yüksek ve düşük sıcaklık davaışlaıı, uzay boyutlaıa ve dış potasiyele bağımlılığıı tatışmışladı. Beze bi biçimde, Zyl ve akadaşlaı (3), ideal sııladıılmış femi gazı içi, tam aalitik souçlaı solu sıcaklık içi paçacık ve kietik eeji yoğuluklaıı taıtmışla ve büyük paçacık sayılaı içi T = K deki tam kuatum gösteimleii asimtotik olaak kedi T-F souçlaıa yaklaştığıı göstemişledi. Bhadui ve akadaşlaı(996), T-F yaklaşımıı iki boyutlu etkileşe femio sistemii aaştımada kullamışladı. Bua ağme, sıcaklık bağımlı icelemeleii kısa mesafeli paçacık etkileşimlei ile sııladımışladı. Abdullah ve akadaşlaı (9) tek ve çift kuatum okta yapılaı hesaba kataak, sııladıma potasiyelleii geel bi sııfı içi bi aoyapıda iki elekto aasıa sııladıılmış uzaysal kamaşıklıklaı hesaplamışladı. Luscombe ve Luba (99), T= da T-F deklemii tam souçlaıı aoyapıladaki etkileşmeye femiola içi tüetmişledi. Ayıca solu sıcaklıkla içi, kedide tutalı potasiyel ve yoğuluk foksiyolaıı hesaplamışladı. Beze bi biçimde, T-F deklemi solu sıcaklıklaa geelleştiilmiş, eşli Poisso ve Schödige deklemlei ümeik olaak kuatum tellei içi elekto yoğuluğu ve sııladııcı potasiyel hesabı içi çözülmüştü. Bu tez çalışmasıdaki asıl amaç, iki boyutlu kuatum okta yapıda sııladıılmış ideal etkileşmeye elektolaı özellikleii T-F yötemi ile icelemekti. Bu amaçla, öcelikle biici bölümde okta yapıı temel özellikleide bahsedilmişti. Kuatum okta yapılaı atomlaa ola

6 bezeliğide ikici bölümde bahsedilmişti. Üçücü bölümde çok elektolu sistemlei fiziksel özellikleii aaştımak amacı ile kullaıla istatistiksel yötemle ola, Hatee-Fock yaklaşımı (H-F), yoğuluk foksiyoel teoemi ve Thomas Femi (T-F) atom modeli taıtılmıştı. Ayıca T-F metoduu çok elektolu atomlaa ve iyolaa uygulamasıda bahsedilmişti. Dödücü bölümde Thomas Femi deklemi iki boyutlu kuatum okta yapıla içi faklı potasiyellede (hamoik (α ), 4 potasiyeli (γ 4 ), hamoik olmaya (α + γ 4 ) ve defome edilmiş (V -α + γ 4 ),α=sbt,γ=sbt) sııladıılmış etkileşmeye elektola içi, T= K sıcaklığıda çözülmüştü. Nokta yapıda sııladııla elektola içi, elekto yoğuluğu (), toplam paçacık sayısı N, kimyasal potasiyel µ, kietik E k ve potasiyel (E p ) eejilei içi aalitik ifadele tüetilmişti. Bu çözümlede elde edile souçla değelediilmişti. Beşici bölümde iki boyutlu kuatum okta yapıda υ()=b t potasiyelide sııladıılmış etkileşmeye sistemi fiziksel özelliklei solu sıcaklıkta ifade edilmişti. Faklı potasiyelle içi (hamoik (α ), 4 potasiyeli (γ 4 ), hamoik olmaya (α + γ 4 ) ve defome edilmiş (V -α + γ 4 )) düşük sıcaklıkta aalitik ifadele tüetimişti. Yie bu potasiyelle içi solu sıcaklıkta elekto yoğuluğu (), paçacık sayısı N, kimyasal potasiyel µ, kietik eeji E k, potasiyel eeji E p ümeik yolla hesaplamıştı. Elde edile souçla tatışılmıştı.

7. YAPAY ATOM OLARAK KUANTUM NOKTA YAPILAR Kuatum oktala, bi ile bikaç bi aasıda elekto içee yüklü isa yapımı paçacıkladı. Tipik boyutlaı aometede bikaç mikoa kada uzaı. Bu yapılaı geişliklei, şekillei ve içeisideki elekto sayılaı ilei üetim tekiklei kullaılaak kesi bi şekilde kotol edilebili. Atomda olduğu gibi kuatum oktaladaki eeji düzeylei, elektolaı sııladıılması sebebiyle kuatize olu. Kuatum oktalala deeycile, voltajı basitçe değiştieek peiyodik tabloyu taayabilile (Kouvehowe ve Macus 998). Japoya da NTT de Taucha ve çalışma akadaşlaı (998) Delft te simetik kuatum okta yapılada e olduğuu aaştımışladı. Buu içi, bikaç yüz aomete çapıda m kalılığıda ve elekto alabilecek yapıda bi yapı kullamışladı. Nokta yapıı çapı, yapıdaki elektola bi bi azaltılaak ve hiç elekto kalmayaa kada, oktaı iki ucudaki metal giişlee geilim uygulamasıyla küçültülmüştü. Bu sayede elekto sayısı değiştikçe oktaı eejisi değişecek bua bağlı olaak akım değişecekti. Coulomb sııladıması ölçüle akımda dik tepe oktalaıa ede olu. Hehagi bi tepe oktası içi kuatum okta yapıdaki elekto sayısı N de N+ e değişi. Tepele aasıda akım sıfıdı ve N sabit kalı. Bu tepele aasıdaki uzaklık eklee eeji (E ek ) ile oatılıdı. E ek, N+ elektoa sahip kuatum oktaı eejisi ile N elektoa sahip kuatum okta yapıı eejisi aasıdaki faktı. Kuatum okta yapıyı taımlaya sabit etkileşim modeli olaak adladııla bu basit model, elektolaı etkileşimleii paçacık sayısıda bağımsız olaak kabul ede ve kapasitası (C) taımla. Bu modelde E ek e = + E, e; elektou yükü ve E; duumla aası eeji fakıdı. Bu edele C kuatum okta yapıya tek bi elekto eklemek, C e gibi atı bi eeji geektii. Basitliğie ağme model doğudu ve ölçümlei daha detaylı yapılmasıı sağla. Gafikteki biici ve ikici tepe oktalaı, sıasıyla biici ve ikici elektolaı okta yapıya gidiği eejiyi göstei ve böyle gide. Acak tepe oktalaı aasıdaki uzaklık sabit değildi ve öemli bi biçimde ikici, altıcı ve yimici elektolaı okta yapıya giebilmelei içi çok daha fazla eeji geekmektedi. Bu duum, iki

8 boyutlu elekto obitalleide şekil (.) de gösteilmişti. E düşük yaıçapta sadece zıt spili iki elekto vadı. Bu duumdaki elektola sıfı açısal mometuma sahipti ve bu C e lik bi eejii kuatum okta yapıdaki elekto sayısıı bide ikiye attımak içi yeteli olduğu alamıa geli. Acak alttaki obital tamame dolu olduğuda ve üst eeji seviyesie elekto yeleştiilmesi geektiğide üçücü elekto içi eksta eeji geekmektedi. Elektola bu obitte ml açısal mometum ve iki spi duumua sahip olacaktı. Bu da kabuğu döt elektoa sahip olabileceğii göstei. Nokta yapı toplam altı elektoa sahip olduğuda yedici elektou eklemek içi eksta eeji geeklidi. Sııladıma potasiyel paabolik ise, üçücü kabuk özel bi duumu göstei. Çükü bu duum yei bi kuatum sayısıı göstei. Bu kabuktaki duumla sıfı açısal mometumua ve bi adyal kuatum sayısıa, ml açısal mometuma sıfı adyal kuatum sayısıa sahipti. Spi duumlaıyla bilikte bu üçücü kabuğu altı elektoa sahip olabileceği ve N= duumuda da tamame dolu olacağı alamıa geli. Bu sıa N=,6,, diye gide ve bu sayıla mucize sayıla olaak adladıılı. Buula bilikte N=4,9 ve 6 da gafik küçük tepe oktalaı göstei. Bu duum, elektola aası etkileşimlei eeji düzeyleii asıl etkilediğii göstei. Atomik fizikte bu etkile, Hud Kualı ile fomüle edili. Buula bilikte N=4,9 ve 6, ikici, üçücü ve dödücü kabukladaki yaı dolu duumlaıı göstei. Atomladaki kabuk yapısı gibi geçek atom ve çekidekte gözlee pek çok kuatum olayı kuatum okta yapıda gözlemleebili ve bu etkilei faklı izotopla ve atomlala çalışmak yeie basit şekilde kuatum okta yapıı büyüklüklei değiştiileek aaştıılabili. Bu oktala beze geçek atomlada çok daha kullaışlıdı. Çükü çok daha geiş ve çok daha kotol edilebili boyutlaı sayeside geçek atomlala geçekleştiilemeye deeyle bu yapılala geçekleştiilebilile. Öeği; hem atom hem de okta yapıı obitallei mayetik ala uygulayaak değiştiilebili. Acak T lik mayetik alaı kuatum okta üzeideki etkisi geçek atomda bi milyo teslaı etkisie eşitti. Bu tip yüksek mayetik alala laboatuada oluştuulamaz.

9 E ek 6 4 9 6 N Şekil.. Ek eeji E ek ( mev) i paçacık sayısı N ile değişimi

3. N ELEKTRONLU SİSTEMLER Çok paçacıklı sistemlei fiziksel özelliklei aaştıılıke geleeksel yötemlei kullaaak hesaplama yapmak poblem halie geli. Bu duumda, poblemi çözülebili hale getimek içi biçok istatistiksel yaklaşım geliştiilmişti. Bulaa öek olaak, Hatee-Fock teoemi, yoğuluk foksiyoel teoisi, Thomas- Femi yaklaşımı veilebili. Bu bölümde Hatee-Fock, yoğuluk foksiyoel teoisi ve T-F atom modeli taılacaktı. 3.. Hatee-Fock Yötemi Hatee-Fock (HF) teoiside, N-femiyolu sistemii taba duumu, Slate detemiatı φ taafıda oluştuulu (Bhadui 997). φ detemiatı tek paçacık dalga foksiyou ola { ψ () α } otogoal seti taafıda oluştuulu: φ (. (3.),,...,N ) = det ψ i (j ) i, j=,,...,n Bu dalga foksiyou, Femi-Diac istatistiğie göe femiyolaı hehagi çiftii değiş tokuşudaki ati simetikliği göstei. Yoğuluk matisi; ρ N HF ψ i= * (,' ) = ψ i (') i (), (3.) şeklide yazılabili. Tek paçacık dalga foksiyolaı ola Ψ i, vayasyoel yötem taafıda seçili. Vayasyoel yötem; δ * δψ () i ^ Φ H Φ 3 E i ψ i () d =, (3.3)

şeklide ifade edili. Bu, Schödige tipi itege edilebili difeasiyel deklemle çiftleimii bi seti olduğuu göstei. Acak potasiyeli yeel olmaya kısmı; ^ ^ T+ U() + VH () ψ i () + V F ψ i () = E iψ i (), (3.4) ile veili. Bu deklemle HF deklemlei olaak adladıılı. Buadaki V H ; () = ρ(')v () (,')d ' H, (3.5) V 3 V () Coulomb etkileşimi olduğudaki yeel Hatee veya diac potasiyelleidi. V H (), ρ () yoğuluğua bağlı klasik Coulomb potasiyelidi. Fock veya değiş tokuş potasiyelidi. Buu dalga foksiyou belile: ^ V F yeel olmaya ^ HF () 3 VF ψ i () = ρ (, ' )V (, ' ) ψ i (')d '. (3.6) ^ V yeel olmaya bi potasiyeldi. Çükü hem F ^ V hem de H ^ V bütü paçacıklaı F ψ i dalga foksiyoua bağlıdı. HF deklemlei liee değildi ve kedisiyle uyumlu bi biçimde çözülmelidi. Bu, geellikle iteasyo yoluyla yapılı. E büyük sayısal kamaşıklıkla ^ V opeatöüü itegalide kayaklaı. E düşük eeji F geellikle HF eejisi olaak adladııla, E HF i yakısamasıda soa elde edili. Slate detemiatı, HF taafıda gösteili: E HF = mi Φ H Φ = { Φ} ^ HF ^ H HF. (3.7) (3.4) deklemideki Hatee ve Fock potasiyelleii toplamı geellikle HF potasiyeli olaak adladıılı: ^ ^ HF = VH V F. (3.8) V +

HF eejisi; E HF = τ() + U() ρ() + VH () ρ() + E x, (3.9) şeklide yazılaak faklı katkıla ihmal edilebili. Buada τ () ; τ() = h m N i= ψ i (), (3.) olaak veile kietik eeji yoğuluğudu. E x değiş tokuş eejisidi: E x HF () HF 3 3 = ρ (, ' )V (,') ρ (',)d ' d 4. (3.) (3.) deklemideki kietik eeji yoğuluğu, (3.) deklemide veile bi cisim içi yoğuluk matiside elde edilebili: τ h m HF ( ) =. ' ρ (, ' ) ' =. (3.) Yeel yoğuluk ρ () ; ( ( ) ' = ρ ) HF = ρ,', (3.3) ile veili. Bu usulaı hepsi ile, toplam HF eejisi, tek cisim yoğuluk matisii bi foksiyou olaak bütüüyle ifade edilebili: E HF E HF HF [ ρ ] =. (3.4) Soaki ilişki içi matis gösteimideki HF ρ teka yazılı. Alt idis ve üst idis HF çıkatılaak, astgele bi tek paçacık ilkeside temsil edili:

3 ρ αβ = N i= α i i β. (3.5) Daha soa HF eejisi; E [ ] = t( T + U) ρ + tρ( ) ρ, (3.6) HF tv p ile veili. Buada T ve U tek cisim ve V kietik eejii ati simetikleştiilmiş iki cisim matis elemaıdı. Dış potasiyel ve iki cisim potasiyeli sıasıyla; () T = α β, U = α U β, V = αβ γδ, (3.7) αβ ^ T αβ αβ, γδ V şeklidedi. Geçekte (3.4) ve (3.9) deklemleide; N = E ^ E HF i HF V HF HF, (3.8) i olduğu kolaylıkla sağlaı. Yukaıdaki V H, ^ V F ve E x ifadelei i ci duumdaki paçacığı etkiside dolayı fiziksel olmaya katkılaı içei. Acak, E HF deki tam ve değiş tokuş teimleii toplamı alıaak, bu katkıla tam olaak yok edili. 3.. Yoğuluk Foksiyoel Teoisi Yoğuluk foksiyoel teoisi (DFT), bağıtılaı HF eejisii kapsamadığı hesaplamalaı içie ala hassasiyette, HF yaklaşımıı ötesidedi (Bhadui 997). Koelasyo eejilei ile, (3.) deklemideki kamaşık slate detemiatlaıı dalga foksiyolaıda gele toplam eejideki bütü katkıla kastediliyo.

4 DFT i temeli yaklaşık kuatum mekaiği kada eskidi ve hali hazıda Thomas ve Femi taafıda kullaılmıştı. Yai, sadece yoğuluğu ρ () yeel taba duumu ye bağlı bi ifade üzeide itegal alıa bi sistemi toplam eejisii hesaplamak içi kullaılmıştı: E t [ ρ ] = ε 3 [ ( ) ] d = E ρ. (3.9) Matematiksel olaak eejii, ρ () i bi foksiyou olduğu fazedili. İlgili elekto sistemii tam olaak taba duum eejisi, ρ () yoğuluğuu bi foksiyoudu ve bu foksiyo tam taba duumu içi değelediildiğide miimum değişime sahipti. Bu, vayasyoel deklemi ile ifade edili: 3 [ E[ ρ( ) ] µ ρ( ) d ] = ( ) δ δρ. (3.) Bu deklemde (3.9) deklemii bikaç paçasıı kullaılaak; 3 E [ ρ] = Ts [ ρ] + ρ( ) U( ) + VH [ ρ( ) ] d + E xc [ ρ], (3.) şeklide yazılabili. Buada T [ ρ] bağlı ola kietik eeji kısmıı içei. s, ρ yoğuluklu bağımsız paçacıkla sistemie E xc, geellikle solu etkileşe femiyo sistemlei içi kesi olaak biliemez, tıpkı bi çok femiyo sistemi içi açıkça biliemeye T s kietik eeji foksiyou gibi. Kietik eeji içi et bi yoğuluk foksiyou bulmaı zoluğuda kaçımak içi, Koh ve Sham (965) bikaç deeme tek paçacık ψ () dalga foksiyolaıı N ρ( ) = ψ ( ifadesideki ρ () yoğuluğuu yazmayı i= i ) öedile. Bu geçekte, omalize edilebile yoğuluk içi geçelidi. Kietik eeji yoğuluğuu etkileşmeye kısmı daha soa ayı ψ () i teimleideki (3.) deklemideki τ () şeklide veilebili. Eeji foksiyouu (3.) deklemideki i i

5 değişimi, şekilleideki kısıtlamayla ψ () vasıtasıyla yapılabilmektedi. Geellikle bu; i deeme foksiyolaıı değişimi ^ T + VKS () ψ i () = E iψ i (), (3.) yeel potasiyel V KS i üç teimii toplamıda oluşa Koh-Sham (KS) deklemleii kullaımıı göstei: V KS [ ρ() ] = U() + V [ ρ() ] + V [ ρ() ] () = V. (3.3) KS H xc İlk iki teim yukaıdaki gibi ayıdı ve üçücü teim değiş tokuş koelasyo eejisii tüev değişimidi: δ V xc [ ρ() ] = E xc [ ρ]. (3.4) δρ () Pesipte Hohebeg-Koh teoemi çok daha basit bi şekilde, kedisiyle uyumlu tek cisim vayasyoel deklemlei ola (3.) veya (3.4) deklemleii, çok cisim poblemie döüşümüü kabul ede, çükü yaklaşım bu oktaya kada yoktu. Acak patikte, değiş tokuş ve koelasyo katkılaı sadece yaklaşık olaak değelediilebili. Bu, böylece değiş tokuş koelasyo foksiyoua daha fazla veya daha az hayali yaklaşımlaı kullamak içi DFT yaklaşımıı bi souudu. Daha basit ve daha sıklıkla [ ρ] E içi uygulaa foksiyolada yeel yoğuluk yaklaşımı xc (LDA) kullaılı. Paçacık başıa oluşa eeji, ρ değişkeii bi foksiyou ola e xc ( ρ ) i xc kısmıa kaşılık gele kısmıı çıkamak içi kullaılı. Daha soa ρ () değişke yoğuluklu solu bi sistem içi LDA, ρ =ρ () yoğuluklu sisteme dek gelmesi içi yeel xc eejisi fazedileek oluşu: [ ρ] = ρ()e ( ρ LDA 3 E xc xc ())d. (3.5)

6 Bu fomalizm aşağı spi yoğuluğu ve yukaı spi yoğuluğuu hesaba kataak hesaplamalaı paçacıklaı spi deeceleii almak içi geişletilebili. Bu, yeel spi yoğuluğu (LSD veya LSDA) şeklii göstei. DFT i diğe bi açılımı T> solu sıcaklığıyla ilgilidi. Memi (965), büyük kaoik sistem içi T> sıcaklığıda Hohebeg teoemii ve Koh-Sham fomalizmii tüetti. Evas (979) kaoik sistemleie geişletti. Temelde bii, iç eejide E[ ρ ], sebest eejiye F[ ρ ] gide: [ ρ] F [ ρ] = E[ ρ] TS. (3.6) s Buada S s etopii etkileşmeye kısmıdı. Değiş tokuş koelasyo eejisi E xc [ρ ], geellikle açık bi biçimde T ye bağlı olacaktı. Daha soa Koh- Sham fomalizmi, solu sıcaklık yeleşim sayısı i yoğuluklaıı taımıı içeeek; h ρ( ) = ψ i () i, τ() = ψ i () m i i i, = N, (3.7) i i ve ψ ve i i ikisie göe de [ ρ] i F miimize edileek elde edili. Çükü S s açıkca ψ i dalga foksiyolaıa bağlı değildi. Daha soaki değişim KS deklemleii ayı şeklii vei. Tek fak V KS potasiyelie bağlı sıcaklığı oluşmasıdı. i değişimi E i i teimleideki açık fomlaıı vei. Souç, büyük kaoik topluluğu kaoik bi sistem gibi davaıp davamadığıa bağlıdı. DFT fiziği bi çok dalıda başaılı bi şekilde uygulaabilmektedi.

7 3.3. Thomas-Femi (T-F) Atom Modeli Elekto sayısıı yeteice fazla olduğu sistemlede, sistem elekto gazı gibi davaı. Bu duumda T-F istatistiksel yaklaşımıı kullamak hesaplada kolaylık sağla. Bu yaklaşım, çok elektolu sistemlei özellikleii icelemede hızlı ve doğu bi şekilde hesaplamasıı sağla. V hacmide N sayıda sebest femiyoda oluşa kuatum gazıa Femi gazı dei (Kaaoğlu, 3). Femi Diac istatistiğide otalama doluluk sayısı; = F D β( ε ) e µ +, (3.8) şeklidedi. Buada ε, kuatum duumuu eejisi, µ, kimyasal potasiyel ve β=/kt di. K sıcaklığıda bu deklem aşağıdaki şekilde ifade edili: ε ε < µ. (3.9) > µ Buu alamı, femi eejisi altıdaki duumla tümüyle dolu, üstüdeki diğe bütü duumla tümüyle boş olacakladı. Bua kuatum yozlaşma adı veili. N toplam paçacık sayısı ve E toplam eejisi şu şekilde buluu: = N. (3.3) E = ε. (3.3) D ( ε) duum yoğuluğu olmak üzee N sayısı büyükse, buadaki toplamla itegale döüşü: ( ε) D dε. (3.3)

8 Şekil 3.. Femiyo dağılımıı T= sıcaklığıdaki değişimi İceleile femiyola bi keaı L uzulukta ve küp şeklideki bi hacim içide bulusula. Peiyodik sıı koşullaıa göe he bi dalga sayısı bileşei içi; k k k π = x ( x =, ±,,... ), L x ± ( =, ±,,... ) π = y y, (3.33) L y ± π = z ( z =, ±,,... ), L z ± şeklide ifade edili. h eeji ifadesi; k E = ifadeside (3.33) deklemlei kullaılısa, buada kuatumlamış m ε = π h ml ( + + ) x y z, (3.34) şeklide elde edili. duum sayısı şu şekildedi:

9 Şekil 3.. uzayıda kübik ögü. He okta bi paçacık duumua kaşılık geli. 3 3 [( dk + k) k ] 4π d =. (3.35) 3 3 π L Buada d; 3 L d = k dk, (3.36) π şeklide ifade edilebili. İki spi duumu olduğuda ile çapılı ve yazılısa souç şu şekilde buluu: 3 L yeie V V d = k dk. (3.37) π (3.37) deklemi, d = D( k)dk da yeie yazılısa;

3 Vd k D k dk =, (3.38) ( ) ( π) 3 gibi ifade edilebili. Buadaki, spi katlılığıı göstemektedi. 3... Femi Eejisi Bi elektou izili değelei; π h ( + + ) = π h E = x y z, (3.39) ml ml şeklidedi. Eejisi E kada ola bieysel elekto duumlaıı toplam sayısı N s di (Badsde vd., 989). Yai E belli bi seviyei elektolaıı sayısıdı. Buada küei i kullaılı. uzayıda s 8 N hesaplaısa; N s 4 8 3 3 3 3 = π = π, (3.4) şeklide ifade edilebili. (3.39) deklemide çekili ve (3.4) deklemide yeie yazılısa, geekli hesapla yapıldıkta soa souç şu şekildedi: 3 3 N s ε = 3π m h V. (3.4) Daha soa toplam elekto sayısı hesaplaı. dn s = D( ε) dε di. Buada ( ε) D ; 3 D ε π m h ( ε) = V. (3.4)

şeklide elde edili. Toplam elekto sayısı N di. N ε f = D ( ε) dε (3.43) (3.4), (3.43) deklemide yeie yazılıp geekli işlemle yapılısa; ( 3π ) h ε 3 f =, (3.44) m ifadesi buluu. Taba duumuda bi femi elekto gazıı toplam eejisi; ε top = ε f ( ε) εd dε, (3.45) ile veilebili. (3.45) deklemide, (3.4) ve (3.44) deklemlei yeie yazılıp, işlemle yapılısa toplam eeji ε top ; 3 ε top = N ε f, (3.46) 5 şeklide buluabili. Bulua bu toplam eeji ifadeside otalama eeji hesaplaabili. Otalama eeji ε top E = di. (3.46) deklemi yeie yazılısa N otalama eeji E ; 3 E = εf, (3.47) 5 şeklide ifade edili.

3... Çok Elektolu Atomla Ve İyola İçi Thomas Femi Kuamı Thomas Femi Atom Modeli i amacı, V() potasiyelii ve ( ) elekto yoğuluğuu hesaplaya bi yötem elde etmektedi. E ( ) = ε V. (3.48) mak f + h m ε f = k f eşitliğide f k ; k f m = ε, (3.49) h f gibi ifade edilebili. ε f, (3.48) deklemide çekilip, deklem (3.49) da yeie yazılısa k fşu şekilde buluabili: k f m =. (3.5) h ( E V( ) ) mak Tek elektolu sistemledeki souçlada faydalaılaak yoğuluk aşağıdaki gibi buluabili. (3.44) deklemide çekilise; () = 3π 3 m h 3 ( ε f ), (3.5) ifadesi elde edili. (3.48) deklemide yazılısa; ε f çekilip (3.5) deklemide yeie 3π 3 3 m ( mak ) ( ) = E V( ) h, (3.5)

3 şeklide buluu. V = E mak olduğu zama yoğuluğu ( ), olacaktı. Klasik olaak yasaklamış bölgede, ( V > E mak ), = alımalıdı.

4 4. FARKLI POTANSİYELLERDE SINIRLANDIRILMIŞ N ELEKTRONDAN OLUŞAN İKİ BOYUTLU KUANTUM NOKTA YAPININ FİZİKSEL ÖZELLİKLERİNİN T= K DE İNCELENMESİ So zamalada iki boyutlu kuatum okta yapılaı icelemek oldukça ilgiç hale gelmişti. Bu bölümde, iki boyutlu kuatum okta yapılaı elekto yoğuluğu (), kietik E k ve potasiyel eeji E p gibi fiziksel özellikleii sııladıma potasiyeli ile değişimi değişimi T-F yötemi kullaılaak T= K de aalitik olaak aaştıılacaktı. 4. Faklı Sııladıma Potasiyellei İçi Thomas-Femi Deklemi i T= K de Çözümü Kuatum okta yapıı mekezide sııladıılmış etkileşmeye elekto gazı sistemi içi iki boyutlu T-F deklemi, p f m + υ = µ (4.) şeklide yazılabili (Pio 998). Buada m elektou kütlesi, mometumu, υ; dış potasiyeldi. ciside, p f ; femi -/ spili paçacıkla içi femi mometumuu elekto yoğuluğu ( ) p = ( π, (4.) / f () ) şeklide yazılabili. Deklem (4.), (4.) de kullaılısa elekto yoğuluğu, m () = π =, [ µ υ() ], (4.3)

5 şeklide elde edili. okta yaıçapı olup bu okta elekto yoğuluğuu sıfıa gittiği klasik döme oktası olaak seçilise, υ ( ) = µ (4.4) eşitliği elde edili. Buula bilikte, ciside: toplam paçacık sayısı elekto yoğuluğu N = () π d. (4.5) şeklide ifade edilebili. Pek çok duumda geçek bi kuatum okta yapıı sııladııcı potasiyeli hamoik potasiyel ; υ ( ) = mω, (4.6) ile taımlaı. Buada, ω açısal fekastı. Nokta yaıçapı kabulüde faydalaılaak kimyasal potasiyel; da ( ) = µ = m ω, (4.7) şeklide yazılabili. (4.7) eşitliği, (4.6) deklemiyle beabe (4.3) deklemide, (4.6) deklemi de (4.5) deklemide yeie yazıldığıda sıasıyla hamoik sistemde sııladıılmış etkileşmeye sistemi yoğuluğu ve paçacık sayısı; mω ( ) ( ) =, (4.8) π

6 m 4 ω N =. (4.9) 4 N şeklide elde edilebili. Öeği, Ω = = duumu içi okta yaıçapı ; ω =.4 olaak elde edili. E p ; Elekto yoğuluğua bağlı olaak sistemi kietik E k ve potasiyel eejisi E k p m p m = ( ) d = ( ) πd, (4.) E p = ( ) υ( ) d = ( ) υ( ) πd eşitlikleide faydalaılaak hesaplaabili. Hamoik potasiyelde sııladıılmış sistem içi E k ve E p,okta yaıçapı ciside; E k 4 π mω 6 =, (4.) 4 E p 4 πm ω 6 =, (4.) 4 şeklide yazılabili. Bulua (4.) ve (4.) deklemleide faydalaılaak toplam eeji E top ; E 4 πmω 6 = ( π m), (4.3) 4 top +

7 şeklide ifade edilebili. Tekolojide meydaa gele gelişmele sayeside, faklı potasiyellede sııladıılmış yapılaı aaştımak oldukça ilgiç hale gelmişti. Hamoik (α ) sııladımaya beze yolla, 4 potasiyeli (γ 4 ), hamoik olmaya (α + γ 4 ), defome edilmiş (α + γ 4 ) sistemle içi elekto yoğuluğu (), paçacık sayısı N, kimyasal potasiyel µ, kietik eeji E k ve potasiyel eeji E p değelei buluabili ( Tablo4.,Tablo 4.). Tablo 4.. Faklı potasiyellede sııladıılmış bi kuatum okta yapı içi (), N ve µ. γ = m ω ve V α = 4 γ olaak alımıştı. Sııladıma Potasiyeli 4 γ m 4 4 ( ) V Elekto Yoğuluğu (()) π 4 + 4 4 ( ) + γ( + ) γ 4 α + γ m π m 4 4 ( α( ) γ( ) Toplam Paçacık Sayısı (N) m 3 6 4 m γm + 4 3 6 γm mα π 3 6 4 Kimyasal Potasiyel (µ) 4 γ V + γ α 4 + γ 4

8 Tablo 4.. Faklı potasiyellede sııladıılmış bi kuatum okta yapı içi E k ve E p. γ = m ω ve V α = 4 γ olaak alımıştı. Sııladıma Potasiyeli Kietik Eeji (E k ) Potasiyel Eeji (E p ) 4 γ 4 + γ 4 3 6 8 5γ 8γ + + 4 4 3 5 3 6 8 γ γ + + 4 6 5 V 4 α + γ 6 α m 5αγm 6 8 8γ + 3 V α αγ 3 V γ 3 α 6 4 6 + + + 5 8 γ 4.. Souç ve Tatışma Bu bölümde, T-F metodu kullaılaak, N elekto içee iki boyutlu kuatum okta yapıı özelliklei aaliz edilmişti. Yapıla hesaplamalada yoğuluk ( ) ; mω ε ε, ise π m / göe paçacık sayısıyla ilişkilidi. N biimlei ciside ifade edilmişti. Ω, Ω = eşitliğie ω Şekil 4. de, (4.6) ifadesi ile veile hamoik sııladıma potasiyelide sııladıılmış bi sistem içi yoğuluğu okta yaıçapı ile değişimi etkileşmeye sistem içi aaştıılmıştı. Buula bilikte, 4 potasiyelide sııladıılmış etkileşmeye sistem içi sııladımaı elekto yoğuluğu üzeideki etkisi tatışılmıştı.

9,,,8 (),6,4,,,,5,,5, Şekil 4.. Hamoik (α ) ve 4 potasiyelide (γ 4 ) sııladıılmış etkileşmeye sistem içi okta yaıçapıyla yoğuluğu değişimi. Çizgi-hamoik sııladıma (etkileşmeye), okta 4 potasiyeli sııladıma (etkileşmeye) He iki potasiyelde sııladıılmış, etkileşmeye sistemlei yoğuluklaı okta yaı çapı ile azalmaktadı. Hamoik (α ) ve 4 potasiyellei (γ 4 ) kaşılaştıılısa, 4 potasiyelide sııladıılmış sistemi mekez elekto yoğuluğuu hamoik potasiyelde sııladıılmış sistemi elekto yoğuluğuda az miktada fazla olduğu ve 4 potasiyelide sııladıılmış sistemi elekto yoğuluğuu mekeze doğu kaydığı söyleilebili. Şekil 4. de hamoik (α ) potasiyelde sııladıılmış bi sistemi faklı elekto sayılaı içi adyal değişimi aaştıılmıştı. Şekilde de göüldüğü gibi

3,5,,5 (),,5,,,5,,5, Şekil 4.. Hamoik (α ) potasiyelde sııladıılmış bi sistem içi elekto yoğuluğuu adyal değişimi. Buada çizgi- Ω= duumu, okta- Ω=3 duumudu. paçacık sayısıı atmasıyla beabe mekez elekto yoğuluğu atmış ve ayı zamada okta yaıçapı da atmıştı. 4 potasiyelide (γ 4 ) sııladıılmış bi sistemi faklı elekto sayılaı içi elekto yoğuluğuu okta yaıçapıyla değişimi şekil 4.3 de göülmektedi. Şekil 4. ye beze bi biçimde elekto sayısıı atmasıyla okta yaıçapı atmıştı. Şekil 4. ve şekil 4.3 kaşılaştııldığıda, hamoik potasiyelide sııladıılmış sistemdeki paçacık sayısı attıkça yayılma hızıı 4 potasiyelde sııladıılmış sistemdeki paçacıklaa göe daha fazla olduğu soucua vaılabili.

3,5,,5 (),,5,,,5,,5, Şekil 4.3. 4 potasiyelide (γ 4 ) sııladıılmış bi sistem içi elekto yoğuluğuu okta yaıçapıla değişimi. Buada çizgi- Ω= duumu, okta- Ω =3 duumudu. Şekil 4.4 de, hamoik olmaya (α +γ 4 ) potasiyelde sııladıılmış etkileşmeye sistem içi yoğuluk dağılımıı adyal değişimi aaştıılmıştı. Buula bilikte, γ ile taımlaa petübasyo teimii elekto yoğuluğu üzeideki etkisi tatışılmıştı. Şekil (4.) e beze bi biçimde he üç duum içi elekto yoğuluğuu okta yaı çapı ile azaldığı söyleilebili. Acak γ katsayısı attıkça bu azalma daha keski hale gelmektedi. Buu sebebi, 4 teimi baskı hale gelmekte ve mekez yoğuluğu atmaktadı. Bu da okta yaıçapıı küçülmesie ede olu.

3,5,,5 (),,5,,,,4,6,8,, Şekil 4.4. Hamoik olmaya (α +γ 4 ) potasiyelde sııladıılmış bi sistem içi okta yaıçapıyla yoğuluk değişimi. γ =,5 (çizgi), γ = (kesikli çizgi), γ =5 ( kesikli çizgi). Şekil 4.5 de faklı sayıda elekto içee hamoik olmaya (α +γ 4 ) yapıda sıılaıılmış ( γ =,5) iki sistem kaşılaştıılmıştı. Bekleildiği gibi, elekto sayısı attıkça mekez yoğuluğu ve okta yaıçapıı attığı soucua vaılabili. Şekil 4.6 de defome edilmiş (V -α +γ 4 ) bi potasiyelde sııladıılmış etkileşmeye sistem içi yoğuluğu okta yaıçapı ile değişimi üç duum içi icelemişti; γ =,5, γ =, γ =5. Yoğuluk eğilei, he üç duum içi belli bi oktaya kada yavaşça atmakta daha soa azalmaktadı. Bu azalmaı hızı, hamoik olmaya yapıya beze bi biçimde γ taafıda belilei. γ katsayısı sabit tutulup, hamoik olmaya ve defome edilmiş potasiyellede sııladıılmış sistemle kaşılaştıılısa, V defomasyo sabitii, mekezde azalmaya ede

33 olduğu, buula bilikte mekez yakılaıda elekto yoğuluğuu adyal değişimde bağımsız sabit davaış göstediği söyleebili. Bu davaış γ katsayısıı atışıyla daha beligi hale gelmektedi. Şekil 4.7 de γ sabit tutulaak defome edilmiş bi potasiyelde sııladıılmış bi sistemi yoğuluğuu okta yaıçapı ile değişimii, paçacık sayısı ile değişimi kaşılaştıılmıştı. Paçacık sayısıdaki atış, eğilei geel davaışıı değiştimez. Hamoik olmaya yapıya beze biçimde, mekez yoğuluğu ve okta yaıçapı paçacık sayısıyla ata. Şekil 4.8 da toplam eejii, Ω ya göe değişimi faklı potasiyelledeki sııladımala içi gösteilmişti. 3,,5, (),5,,5,,,5,,5, Şekil 4.5. Faklı sayılada elekto içee γ=,5 içi hamoik olmaya (α +γ 4 ) potasiyelde sııladıılmış bi sistemi okta yaıçapıyla yoğuluk değişimi. Çizgi- Ω =, okta- Ω =3.

34,5,,5 (),,5,,,,4,6,8,,,4 Şekil 4.6. Defome edilmiş (V -α +γ 4 ) bi potasiyelle sııladıılmış bi sistem içi okta yaıçapıyla yoğuluk değişimi. Çizgi- γ =,5, okta- γ =, çizgi- γ =5. Şekil 4.8 e göe toplam eeji ve paçacık sayısı doğu oatılıdı. Faklı potasiyelledeki sııladıma şekli ise eejideki atış şeklii öemli ölçüde etkilemektedi. 4 potasiyeli (γ 4 ) ve hamoik (α ) yapılada sııladıılmış sistemle kaşılaştııldığıda, düşük sayılada hamoik potasiyeli eejisii cok az miktada 4 potasiyelide fazla olduğu gözlei. Paçacık sayısıı atışıyla bilikte bu davaışı değiştiği ve 4 potasiyelide sııladıılmış sistemi eejisii, hamoik potasiyelde sııladıılmış sistemi eejiside daha büyük hale geldiği söyleilebili. Hamoik olmaya (α +γ 4 ) sistemi eejisi, bekleildiği gibi Hamoik ve 4 potasiyelleide sııladıılmış sistemlei eejileide büyüktü. Acak defome edilmiş (V -α +γ 4 ) sistemi eejisi V defomasyo teimii etkisiyle bu iki potasiyeli aasıda ye alı.

35,,8,6,4, γ=.5,ω= γ=.5, Ω=3 (),,8,6,4,,,,5,,5, Şekil 4.7. Faklı sayı içee, defome edilmiş (V -α +γ 4 ) bi potasiyelle sııladıılmış bi sistem içi okta yaıçapıyla yoğuluk değişimi. Çizgi-Ω=, okta-ω=3 duumlaı. 5 E T 5 3 4 5 Ω Şekil 4.8. Etkileşmeye sistem içi eejii paçacık sayısıyla değişimi. Çizgi-hamoik (α ),okta- 4 potasiyeli (α 4 ), çizgi-hamoik olmaya (α +α 4 ), oktalı çizgi-defome edilmiş(v - α +α 4 ).

36 5. İKİ BOYUTLU KUANTUM NOKTA YAPIDA υ()=b t POTANSİYELİNDE SINIRLANDIRILMIŞ ETKİLEŞMEYEN SİSTEMİN TERMAL ÖZELLİKLERİ Buaya kada ola kısımdaki bütü hesaplamala sabit sıcaklıkta T= K yapılmıştı. Buda soaki bölümde sıcaklığı etkisi ayı sııladıma potasiyellei içi iceleecekti. 5.. Boyutta ve b t Potasiyelde Sııladıılmış Sistemi Temal Özelliklei boyutlu uzayda toplam paçacık sayısı N ve toplam eeji E sıasıyla; = g g εd d p N = ε µ, (5.) h ε kt kt e + z e + ve = gε g εd d p E = ε µ, (5.) h ε kt kt e + z e + ile veilebili. Buada k ve h, sıasıyla Boltzma ve Plak sabitleidi, g, spi dejeeasyo faktöüdü. µ z = exp fugasitedi. kt Femi-Diac itegali kullaılaak; l x dx f l (z) =, (5.3) x Γ(l) z e + t ve υ ( ) = b potasiyelide sııladıılmış s t ε = ap + b eejili femi gazı içi

37 ( 5.) ve ( 5.) deklemlei; gc Γ + Γ + s t λ N = (kt) f (z), (5.4) h a s b t λ f λ+ (z) E = NkλT, (5.5) f (z) λ şeklide ifade edilebili (Lee vd. 998). Buda a, b, s ve t pozitif sabitledi. V λ = + di. π C = = olup R ve V, sıasıyla yaıçap ve boyutlu s t R Γ + bi küei hacmidi. Γ l y ( l) = y e dy ise Gamma foksiyoudu. Femi itegallei, f l (z) Femi sistemii özellikleii yasıtı. Yüksek sıcaklıklada, z çok küçüktü, bu yüzde f l (z) ; z i i f l (z) = ( ), (5.8) l i= i gibi bi sei açılım yapılabili. Düşük sıcaklıklada, Femi itegallei Sommefeld kualı kullaılaak; l 4 (l z) π 7π l (z) = + l(l ) + l(l )(l )(l 3) +... (5.9) Γ(l + ) 6 (l z) 36 (l z) f 4 şeklide ifade edilebili. T = K de (5.9) deklemi; l (l z) f (z) = l Γ(l + ),

38 şeklide veilebili. Bu ifade, (5.4) deklemide yeie yazılısa, toplam paçacık sayısı N; gc Γ( + ) Γ( + ) N s t, (5.) λ = E F s t h a b Γ( λ + ) şeklide teka yazılabili. Buada E F Femi eejisidi ve; λ s t Nh a b Γ( λ + ) E F =, (5.) gc Γ + Γ + s t olaak elde edili. (5.9) deklemi, (5.5) deklemide yeie yazıldığıda taba duum eejisi Femi sistemideki taba duum eejisi E, Femi eejisi E F ciside; E λ =, (5.) λ + NE F şeklide ifade edilebili. Düşük sıcaklık limitide kimyasal potasiyel; π kt µ = E F ( λ ), (5.3) 6 E F şeklide yazılabili. Yüksek sıcaklıklada, z çok küçüktü. (5.8) deklemi de Femi-Diac foksiyouu ilk teimi (5.4) deklemide yeie yazılaak, yüksek sıcaklıkla limitideki kimyasal potasiyel; µ = kt l gc s t Nh a b Γ + Γ (kt) s t λ, (5.4)

39 şeklide tüetilebili. Dış potasiyeli sabit tutulması şatı altıda dek(5.5) i sıcaklığa göe tüevide sistemi ısı kapasitesi; C = Nkλ f λ+ (z) f λ (z) ( λ + ) f λ (z) f λ (z), (5.5) şeklide yazılabili. (5.8) ve (5.9) deklemlei yadımıyla, (5.5) deklemi düşük ve yüksek sıcaklıkla limitide sıasıyla: π kt C = Nkλ. (5.6) 3 E F ve C = Nkλ. (5.7) şeklide ifade edilebili. Düşük sıcaklıklada C, T duumuda sıfıa gide. Bu temodiamiği 3. Kauua uya. Yüksek sıcaklıklada ise ısı kapasitesi (5.7) deklemide açıkça göülebildiği gibi klasik limite gide. t b = b seçildiğide t duumuda (5.4) deklemi, (5.5) ve (5.)- (5.7) deklemlei kullaılaak, sebest Femi gazıı temodiamik özellikleii elde edebiliiz. Öeği, toplam paçacık sayısı N, toplam eeji E, Femi eejisi E F ve taba duumu eejisi E sıasıyla aşağıdaki gibi veili: gv C Γ( + ) N s s = (kt) f (z). (5.8) h a s s

4 (z) f (z) f s NkT E s s + =. (5.9) s s F C gv a Nh E = µ =. (5.) NE F s E + =. (5.) Düşük ve yüksek sıcaklıklada kimyasal potasiyel ve ısı sıgası C sıasıyla; π µ = F F E kt 6 s E, (5.) F E kt s 3 Nk C π =, (5.3) + Γ µ = s s (kt) s C gv a Nh l kt, (5.4) Nk s C =, (5.5) şeklide veili.

4 5.. Faklı Potasiyellede Sııladıılmış N Elektoda Oluşa İki Boyutta ve Faklı Potasiyellede (hamoik (α ), 4 Potasiyeli (γ 4 ), Hamoik Olmaya (α + γ 4 ), Defome Edilmiş (V -α + γ 4 )) Sııladıılmış Elektolaı Temal Özelliklei Bölüm 5. de =, a = m, s= ve g= alıdığıda hehagi bi υ() potasiyeli içi paçacık sayısı N, elekto yoğuluğu (), kietik eeji E k, potasiyel eeji E p, toplam eeji E t Femi Diac itegallei ciside aşağıdaki gibi ifade edilebili: N = mkt f (z. (5.6) ) mkt () = f (z)d. (5.7) π ( ) m kt = π f (z)d. (5.8) π E k mkt p = πυ()f (z) d. (5.9) π E mkt t = π(kt f (z) + υ()f (z)) d. (5.3) π E Tablo 5., tablo 5., tablo 5.3 ve tablo 5.4 sıasıyla hamoik (α ), 4 potasiyeli (γ 4 ), hamoik olmaya (α + γ 4 ) ve defome edilmiş (V -α + γ 4 ) potasiyellede sııladıılmış sistemle içi, sebest ve sııladıılmış gaz içi düşük sıcaklıkta elekto yoğuluğu (), toplam paçacık sayısı N, toplam eeji E ve kimyasal potasiyel ifadele veilmişti.

4 Tablo 5.. İki boyuttaki sebest ve hamoik (α ) potasiyelde sııladıılmış düşük sıcaklıkta Femi gazıı kaşılaştıması. α=,5, γ=,5 dı. Fiziksel icelik sebest gaz hamoik (α ) potasiyelde sııladıılmış gaz Toplam paçacık sayısı N Elekto yoğuluğu () Toplam eeji E mvµ π mµ π Nµ π + 6 kt µ m mα 4 m( µ α ) π π ω 4 m 4 6 ( π + m) Kimyasal potasiyel Nπ α mv Tablo 5.. Düşük sıcaklıkta, iki boyutta sebest ve 4 gazıı kaşılaştıması. potasiyelide (γ 4 ) sııladıılmış Femi Fiziksel icelik sebest gaz 4 potasiyelide (γ 4 ) sııladıılmış gaz Toplam paçacık sayısı N Elekto yoğuluğu () Toplam eeji E mvµ π mµ π Nµ π + 6 kt µ m mγ 3 4 m( µ γ ) π 9 3 6 Kimyasal potasiyel Nπ γ 4 mv

43 Tablo 5.3. İki boyuttaki sebest ve hamoik olmaya (α +γ 4 ) potasiyelde sııladıılmış düşük sıcaklıkta Femi gazıı kaşılaştıması. Fiziksel icelik sebest gaz hamoik olmaya potasiyelde (α +γ 4 ) sııladıılmış gaz Elekto yoğuluğu () Toplam paçacık sayısı N mvµ π mµ π m 4 m( µ α γ ) π mα 4 mγ 3 6 Toplam eeji E Kimyasal potasiyel µ π + 6 N kt 6 3 8 + + γ µ Nπ 4 α + γ mv 8 5 Tablo 5.4. İki boyuttaki sebest ve defome edilmiş (V - α +γ ) potasiyelde sııladıılmış düşük sıcaklıkta Femi gazıı kaşılaştıması. Buada V = α 4 γ olaak taımlamıştı. Fiziksel icelik sebest gaz defome edilmiş potasiyelde (V - α +γ ) sııladıılmış gaz Elekto yoğuluğu () Toplam paçacık sayısı N mvµ π mµ π 4 m( µ V + α γ ) m ( V π mα + 4 mγ 3 6 ) Toplam eeji E µ π + 6 N kt 4 α α m + + + 6 µ V α V γ 3 6 6 8 αγ 5αγm 3 + γ 5 Kimyasal potasiyel Nπ 4 V α + γ mv

44 Sebest gazda sadece paçacık sayısı temal özelliklei belileke, sııladıılmış sistemlede bua ek olaak sııladıma katsayılaı ola V, α ve γ sistemi özellikleii belilemeside etkili olmaktadı. Solu sıcaklılada, düşük sıcaklık haicideki tüm işlemle ümeik olaak Mapple 9. aacılığıyla geçekleştiilmişti. Sabit bi sıcaklık içi (5.6) deklemide veile N ifadeside elekto yoğuluğuu a gittiği okta ola değei elde edili. Daha soa bu değe yadımıyla toplam eeji ifadesi ola (5.3) deklemi elde edili. 5.3 Souç ve Tatışma Bu bölümde, T-F metodu kullaılaak, ideal Femi gazıı temal özelliklei aaliz edilmişti. Kietik ve potasiyel eeji, elekto yoğuluğu, toplam eeji gibi taba duum özelliklei hamoik ( α ), 4 potasiyeli ( γ 4 ), hamoik olmaya ( 4 α + γ ) ve defome edilmiş ( V 4 α + γ ) potasiyelle içi etkileşme göz öüde buluduulmada hesaplamıştı. Buada m * ω γ =, α V = ve 4 γ α = olaak alımıştı. Şekil 5. te hamoik( α ), 4 potasiyeli( 4 γ ), hamoik olmaya( α 4 + γ ) ve defome edilmiş( V 4 α + γ ) potasiyellede sııladıılmış sistemlei a)t/t F =, (sıfı sıcaklığıa çok yakı) b) T/T F =,5 (ota sıcaklık) c) T/T F =, (yüksek sıcaklık) içi elekto yoğuluklaıı adyal uzaklıkla değişimi göülmektedi. Geel olaak sııladıma potasiyeli e olusa olsu okta yaıçapı attıkça elekto yoğuluğu olaak azalmaktadı. Bua ek olaak defome edilmiş potasiyelde sııladıılmış sistemi eleko yoğuluğu öcelikle belli bi oktaya kada atmış, daha soa ise azalmıştı. Bu haeket şekil olaak mekezde bi basıklığa ede olmuştu. Defome edilmiş potasiyelde sııladıılmış sistemi mekezcil elekto yoğuluğu T/T F =, ve T/T F =,5 sıcaklıklaıda e düşük değee sahip ike hamoik olmaya potasiyelde sııladıılmış sistemi mekezcil elekto yoğuluğu üç sıcaklıkta da e yüksek

45 değee sahipti. Şekil a,b,c de göüldüğü gibi bütü sııladıma potasiyellei içi okta yaıçapı sıcaklık attıkça atmaktadı. Defome edilmiş ( V 4 α + γ ) potasiyelde sııladıılmış sistemi şekil olaak mekezideki basıklık sıcaklığı atmasıyla bilikte azalmıştı. Ayıca sıcaklık attıkça mekezdeki e hızlı yoğuluk azalması hamoik ( α ) olaak sııladıılmış sistemde göülmektedi. Şekil 5. de kietik eejii sıcaklığa göe değişimi faklı sııladıma potasiyellei içi (hamoik( olmaya( 4 α + γ ) ve defome edilmiş( α ), 4 4 potasiyeli( γ V 4 ), hamoik α + γ )) icelemişti. Sııladıma potasiyeli e olusa olsu kietik eeji sıcaklıkla oatılı olaak atmaktadı. Düşük sıcaklıklada hamoik ve defome edilmiş potasiyeli bibiie yakı değelee sahip olduğu göülmektedi. Buula bilikte bu iki potasiyel e düşük kietik eeji değeie sahipti. Acak sıcaklığı atmasıyla defome edilmiş potasiyelde sııladıılmış sistemi kietik eejisi, hamoik potasiyelde sııladıılmış sistemi kietik eejisie göe daha hızlı atış göstemektedi. Hamoik olmaya potasiyelde sııladıılmış sistemi kietik eejisi ise e yüksek değee sahipti. potasiyeli( Şekil 5.3 de potasiyel eejii sıcaklığa göe değişimi hamoik( α ), 4 4 γ ), hamoik olmaya( α + γ sııladıma potasiyellei içi 4 ), defome edilmiş( V α + γ ) 4 aaştıılmıştı. Sıcaklığı atmasıyla bilikte potasiyel eejii attığı şekilde açıkça göülmektedi. Düşük sıcaklıklada e yüksek potasiyel eejiye sahip ola sistem, hamoik olmaya ( V α + γ ) 4 potasiyelde sııladıılmış sistemdi. Acak sıcaklık attıkça hamoik potasiyelde sııladıılmış sistemi potasiyel eejisi, hamoik olmaya potasiyelde sııladıılmış sistemi potasiyel eejisie göe daha hızlı atış göstemektedi. Sıcaklık sabit tutulduğuda ise defome edilmiş potasiyelde sııladıılmış sistemi potasiyel eejisi e düşük değee sahipti. Buula bilikte şekil olaak hamoik olmaya, 4 potasiyeli ve defome edilmiş potasiyellede sııladıılmış sistemlei sıcaklığıı atması ile bilikte, potasiyel eejileideki atış hızlaı yaklaşık olaak ayıdı.

46 a ) T /T F =,,6,4,, (),8,6,4,,,,5,,5, b ) T /T F =,5,4,, (),8,6,4,,,,5,,5,,5 3, c ) T /T F =,,,,8 (),6,4,,,,5,,5,,5 3, Şekil 5.. Hamoik( α ) (düz çizgi), 4 potasiyeli( 4 olmaya( α + γ ) (kısa çizgi) ve defome edilmiş ( γ 4 V ) (okta), hamoik 4 α + γ ) (oktalı çizgi) potasiyellede sııladıılmış sistemle içi a)t/t F =, b) T/T F =,5 c) T/T F =, sıcaklıklaı içi yoğuluğu adyal değişimi

47,,5 Ek,,5,,,,4,6,8, T/TF Şekil 5.. Hamoik( α ) (düz çizgi), 4 potasiyeli( 4 olmaya( α + γ ) (kısa çizgi) ve defome edilmiş ( γ 4 V ) (okta),hamoik 4 α + γ ) (oktalı çizgi) potasiyellede sııladıılmış sistemle içi E k kietik eejisii sıcaklıkla değişimi.