T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ OĞUZ BAĞRAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI DANIŞMAN YRD. DOÇ. DR. CENGİZ DANE Edine 007
T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ OĞUZ BAĞRAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI Bu Tez / / 007 Taihinde Aşağıdaki Jüi Taafından Kabul Edilmişti. Yd. Doç. D. Cengiz DANE AKBAŞ (Danışman) Pof. D. Hasan (Üye) Pof. D. Hülya İŞCAN (Üye)
İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET....i SUMMARY....ii ÖNSÖZ.. iii I. BÖLÜM. Giiş..... Eğisel Koodinatla...3. Otagonal Koodinat Sistemlei...7.4. Gadyent, Divejans, Rotasyonel ve Laplasyenin Otagonal Eğisel Koodinatladaki İfadelei.9 II. BÖLÜM.. Katezyen koodinatla.... Daiesel Silindiik Koodinatla 5.3 Eliptik Silindiik Koodinatla...8.4. Paabolik Silindiik Koodinatla...5 Küesel Koodinatla..5.6 Polate Küesel Koodinatla..8.7 Oblate Küesel Koodinatla...3.8. Paabolik Koodinatla...36.9. Konikal Koodinatla...40.0. Elipsoidal Koodinatla..45.. Paabolidial Koodinatla...63 III. BÖLÜM 3.. Helmholtz Denklemi.56 3.. Basit Ayıştıma ve Stackel Matis...63
IV. BÖLÜM Helmholtz Difeansiyel Denkleminin 4.. Katezyen koodinatlada çözümü...63 4.. Daiesel Silindiik Koodinatlada çözümü 67 4.3. Eliptik Silindiik Koodinatlada çözümü...7 4.4. Paabolik Silindiik Koodinatlada çözümü... 76 4.5. Küesel Koodinatlada çözümü..80 4.6. Polate Küesel Koodinatlada çözümü.83 4.7. Oblate Küesel Koodinatlada çözümü....85 4.8. Paabolik Koodinatlada çözümü......87 4.9. Konikal Koodinatlada çözümü....89 4.0. Elipsoidal Koodinatlada çözümü..... 9 4.. Paaboloidal Koodinatlada çözümü.. 95 TARTIŞMA...97 SİMGELER DİZİNİ.98 KAYNAKLAR...99 ÖZGEÇMİŞ..0
i ÖZET Doğadaki olaylaı açıklamak için en etkin ve sistematik yol Difeansiyel Denklem dilini kullanmaktı. Fizik, Kimya, Biyoloji, Astoloji, Mühendislik, Ekonomi ve diğe pek çok Uygulamalı Bilimle, Difeansiyel Denklemlein önemli uygulama alanlaıdı. Bunun dışında, matematiğin kendi içinde de difeansiyel denklemlein önemli bi yei vadı. Difeansiyel Denklemle ve koodinat sistemlei bibilei ile yakından ilişkilidile. Özellikle denklemlein çözümleinin bulunması denklemlein koodinat sistemleinde uygun ifade edilmeleine bağlıdı. Çalışmanın I. Bölümünde Eğisel Koodinatla ve Otogonal Koodinat Sistemlei hakkında genel kavamla ile Gadyent, Divejans, Rotasyonel ve Laplasyen ifadelei veilmişti. II. Bölümde Özel Otogonal Koodinat Sistemlei tanıtılaak özelliklei idelenmişti. III. Bölümde Helmholtz Denklemi tanıtılmış, Stackel Matis ve Helmholtz Denkleminin Basit Ayıştıması idelenmişti. IV. Bölümde Helmholtz Denkleminin Özel Koodinat Sistemleinde Çözümü veilmişti. Anahta Kelimele: Eğisel Koodinatla, Helmholtz Denklemi, Ayıştıma.
ii SUMMARY In ode to explain the events in the natue, the most effective and systematic way is to use the language of Diffeential Equation. Physics, Chemisty, Biology, Astnomy, Engineeing, Economics and many othe pactical Applied Sciences ae the impotant fields fo application of Diffeential Equation. A pat fom these, diffeential equation have an impotant place in mathematics itself. Diffeential Equations and coodinate systems ae closely elated to each othe. Especialy, finding the solutions of equations depens on the appopiate expession of the equations in coodinate systems. In the fist chapte of this study, the geneal concepts about Cuvilinea Coodinates ant Othogonal Coodinate Sysstems ae given and the tems Gadient, Divegence, Rotational and Laplacian ae detemined. In the second chapte, Special Othogonal Coodinate Systems ae given and thei chaacteistics ae studied. In the thid chapte, Helmholtz Equations is given and the Basic Sepaation of Helmholtz Equations and Stackel Matix ae studied. In the fouth chapte, The Solution of the Helmholtz Equation in Special Coodinate Systems ae given. Key wods: Cuvilinea Coodinates, Helmholtz Equation, Sepaation.
iii ÖNSÖZ Tez çalışmam boyunca he tülü yadımlaını esigemeyen ve çalışmamın otaya çıkmasında emeği geçen hocam Yd. Doç. D. Cengiz DANE ye teşekküleimi sunaım. Hem yadımlaı hem de manevi desteğiyle yanımda olan başta Pof. D. Hülya İŞCAN olmak üzee tüm Matematik Bölümüne şükanlaımı sunaım. En başından bei beni destekleyen ve daima yanımda olan sevgili eşime ve aileme en içten teşekküleimi sunaım.
I.BÖLÜM. GİRİŞ Matematik doğayı anlama ve anlatmada çok yaalı bi dildi. Öneğin bugün insanlaın gözleinin ve saçlaının engi gibi somut özellikleinin incelenmesi, gök cisimleinin haeketleinden atom altı paçacıklaının haeketleinin açıklaması gibi olayla ve kavamla matematik dili ile ifade edilile. Doğa ile matematik aasındaki ilişkiyi açıklamak doğadaki düzenin bilinmesi ve bu düzenin nasıl çalıştığının anlaşılması veya doğa sisteminin matematiksel olaak modellenmesi açısından önemlidi. Matematiksel model söz konusu olduğunda genellikle difeansiyel denklem veya difeansiyel denklem sistemlei ile kaşılaşıız. Matematiksel modellele fomüle edilen ve difeansiyel denklemlee dönüştüülebilen olaylaın analizi genellikle bu difeansiyel denklemlein çözümü olan fonksiyonlaın incelenmesi ile yapılı. Difeansiyel denklemlein matematiksel ifadelei denklemlein kaakteize edildiği koodinat sistemlei ile yakından ilgilidi. Bi denklem bi koodinat sisteminde uzun ve kamaşık matematik ifadelele belitildiği halde, uygun bi koodinat sisteminde aynı denklem daha özlü bi biçimde ifade edilebili ve çözümlei tam olaak elde edili. Fizik, Mühendislik ve Uygulamalı Bilimlede sıkça kaşılaştığımız denklemleden Laplace, Poisson, Difizyon ve Dalga Denklemlei gibi denklemle benze kaaktee sahip denklemledi. Bu denklemle Helmholtz Denklemi olaak bilinen ve çözümleini inceleyebildiğimiz bi özel denkleme dönüştüülebilen denklemledi. φ+ k φ 0 Helmholtz Denkleminin çeşitli koodinat sistemleinde yapılan çözümlei, yukaıda belitilen denklemlein çözümleinin bulunması ve bu çözümlein analizi açısından önemlidi. Bu çalışmada on bi koodinat sistemi incelenmiş ve bu sistemlede Helmholtz Difeansiyel Denkleminin ayıştıması yapılaak çözümlei bulunmuştu.
KOORDİNAT SİSTEMLERİ..Eğisel Koodinatla ( x,y,z ) Bi noktanın koodinatlaı olmak üzee, f( x,y,z ), f( x,y,z ), f3( x,y,z ) veilmiş bölgede x,y,z nin süekli fonksiyonlaı olsun. ( ) ( ) ( ) (.. ) u f x, y,z, u f x,y,z, u f x,y,z 3 3 denklemlei de x,y,z ye göe çözüleek 3 3 3 ( ) ( ) ( ) x g u,u,u, y g u,u,u, z g u,u,u (.. ) 3 yazılabilsin. Ayıca g,g,g 3 fonksiyonlaı da zaman bölge içindeki koodinatlaı ( ) 3 u,u,u ün fonksiyonlaı olsun. O 3 x, y,z olan he P noktasına bi ( u,u,u ) değe takımı kaşılık geli. Bu u,u,u 3 fonksiyonlaına P noktasının eğisel koodinatlaı, (.. ) ve (.. ) denklemleine koodinat dönüşümü denklemlei deni. He ( ) 3 x, y,z değe takımına tek bi ( ) u,u,u değe takımı veya he 3 ( u,u,u ) değe takımına tek bi ( x, y,z ) değe takımı kaşı gelmesi için 3 u,u,u ü x,y,z nin süekli ve tüevi alınabilen fonksiyonlaı, x,y,z yi de 3 u,u,u ün süekli ve tüevi alınabilen fonksiyonlaı olaak kabul ediyouz. Bununla beabe biçok hallede bu koşullaın sağlanmadığı özel noktala da bulunu. He P noktasından koodinat yüzeylei denilen u c, u c u c (..3 ) 3 3 yüzeylei geçe. Buada c,c,c 3 bie sabiti göstemektedi. Bu üç yüzey ikişe ikişe koodinat eğilei denilen üç eği boyunca kesişile. Şekil (.. ) ve Şekil (.. ) He koodinat yüzeyi üzeinde bi koodinat sabit, diğe ikisi değişkendi. Öneğin u c yüzeyi üzeinde he yede u, sabit c değeine eşit olduğu halde u ile 3 u noktadan noktaya değişik değele alı. Bi yüzey sabit olan koodinatın adı ile adlandıılı.
3 Şekil (.. ) Şekil (.. ) Başlangıç noktasını değişken ( ) ye vektöü (.. ) bağıntılaı yadımı ile P x,y,z noktasına bileştien xi+ yj+ zk 3 u,u,u değişkenleinin fonksiyonu olaak u,u,u 3 ( ) (..4 ) şeklinde yazılı. fonksiyonun P noktası u e göe kısmi tüevi, u eğisi üzeinde değiştiileek elde edili. teğet olan bi vektödü. Buna göe vektöü e ile gösteilise, u ve u, 3 u sabit tutulaak, yani u eğisine P noktasında u in P noktasındaki teğeti doğultusundaki biim e u u (..5 ) olu. Eğe u h (..6 ) ile gösteilise he u (..7 )
4 elde edili. Benze şekilde e ile e3 sıası ile u ve 3 u eğileinin P noktasındaki teğetlei yönündeki biim vektölei gösteise u h 3 u h 3 (..8 ) olmak üzee u he he 3 3 u 3 (..0 ) biim şeklinde yazılı. h, h, h 3 büyüklei metik katsayıla olaak adlandıılı. e,e,e 3 vektöleinin yönlei sıası ile atan u u, P noktasında 3 u,u,u yönleindedi. Sekil(.) u c yüzeyinin nomali doğultusunda bi vektödü. u c yüzeyi nomali doğultusundaki biim vektöünü E u ile gösteisek, u u u E u u (.. ) yazılabili. Benze şekilde u c ve doğultusundaki biim vektölei E u ve E u 3 u u u u u 3 u E u ve E3 3 u u yazılı. Geek e,e,e 3 ile gösteilise 3 u c 3 yüzeyleinin nomallei u (.. ) u u u biim vektöleinin, geekse E,E,E 3 biim vektöleinin yönlei bu vektö takımlaı bi sağ el vektö sistemi meydana getiecek şekilde seçili. 3 Eğisel sistemin he keyfi P noktasında, u,u,u koodinat eğileinin teğetlei yönünde olan ( e,e,e 3 ) diğei 3 u c, u c u c3 koodinat u u u yüzeyleinin nomallei yönünde olan ( E,E,E 3 ) gibi iki sağ el biim vektö takımı u u u vadı. Genel olaak ( e,e,e 3 ) ile ( E,E,E 3) vektö takımlaı bibiinden faklıdı. Ancak eğisel koodinat sistemi otogonal olusa bu iki vektö takımı özdeş olu. He keyfi A u vektöü a,a,a3veya A,A,A 3 bileşenlei olmak üzee u A a e+ a e + a e3 3 (..3 )
5 u u u u A AE+ AE + A3E3 (..4 ) u u u şeklinde ( e,e,e 3 ) veya ( E,E,E 3) baz vektölei cinsinden yazılabili. u u u ( e,e,e 3 ) ve ( E,E,E 3) vektö takımlaı ayı ayı üç boyutlu uzayın genel olaak bibiinden faklı iki bazını oluştuula. veya Keyfi bi A u vektöünü genel olaak büyüklüklei biim olmayan,, u u u 3 uu uu uu.u,.u,.u 3 (..5 ) (..6 ) baz vektölei cinsinden yazmak mümkündü. (..5 ) ve (..6 ) baz vektöleine ünite baz vektölei deni. Bu baz vektölei cinsinden A u vektöü u uu uu uu A c + c + c 3 c 3 α + cα + c3α3 u u u u uu uu uu uu uu uu 3 A C.u + C.u + C.u C β + C β + C β 3 3 3 şeklinde yazılabili. Buada uu uu uu α α α 3 3 u u u uu uu uu uu uu uu β.u, β.u, β.u 3 3 (..7 ) (..8 ) (..9 ) (..0 ) dı. C,C,C 3 bileşenleine A u vektöünün kovayant, c,c,c 3 bileşenleine de A u vektöünün kontavayant bileşenlei deni. Katezyen koodinatlada yay uzunluğunun denklemini; ds dx + dy + dz (.. ) şeklinde ifade edili. Eğisel koodinatlada d için difeansiyel tanımından, d du + du + du α.du + α.du + α.du u u u 3 3 3 3 (.. ) elde edili. d nin bu değeini (.. ) de yeine yazılısa;
6 ds elde edili. Buada u u g α i. α j ij 3 3 i j gijdu du i j (..3 ) di. g ij ye metik katsayılaı deni. g ij g ji di. Yani bağıntısı, temel kuadatik fom veya metik fom olaak adlandıılı. Eğe i ile j otogonaldi. Otogonal koodinat sistemlei için, (..4 ) g ij simetikti. (..4 ) nin faklı değelei çin g ij 0 ise o zaman koodinat sistemi x y y gii h i i + + i (..5 ) u u ui ui ui di. Buada i,,3 değelei için ayı ayı üç denklem elde edili. Bu bağıntı h,h,h 3 metik katsayılaının hesaplanmasında kullanılı.
7.3. Otogonal Koodinat Sistemlei.4. Eğe koodinat eğilei he P( x,y,z ) noktasında bibiine dik ise u,u,u 3 eğisel koodinatlaı otogonaldi deni. e,e,e 3 (..5 ) de tanımlanan biim vektöle ve 3 s,s,s;u,u 3,u ün pozitif yönünde koodinat eğilei boyunca ölçülen yay uzunluklaını göstemek üzee ds ds ds ds + + (.3. ) 3 şeklinde yazılı. Bu ifade h,h,h 3 metik katsayılaı cinsinden ( ) ( ) ( ) ds h du h du h du + + (.3. ) 3 3 şeklinde yazılı. Ayıca dik koodinat sistemlei için, J 3 u u u x 3 u u u he. ( he xhe 3 3 ) hhh.e exe 3 3 hhh 3 ( ) di. uu (.u, uu.u, uu.u 3) vektö takımı,, 3 u u u sistemle olduğundan otogonal koodinat sistemlei için u u e u x 3 J u u hhh3 h uu u uu u e u x h 3 3e3x he J u u hhh 3 h (.3.3 ) vektö takımı ile tes (.3.4 ) (.3.5) dı. uu u u uu e u x h e x h e 3 3 J u u hhh 3 h3 (.3.6 )
8 Bu bağıntıla kullanılaak e,e,e 3 vektölei için, u uu 3 e hh 3.u xu uu uu 3 e h3h.u xu uu uu e h h.u xu 3 bağıntılaı bulunu. (.3.7 )
9.4. Gadyent, Divejans, Rotasyonel Laplasyen in Otogonal Eğisel Koodinatladaki İfadelei Bi f skale fonksiyonun Gadyenti bi vektödü. Gadyent vektöünün e,e,e ) bazındaki bileşenlei f,f,f 3 ise uu.f f e+ f e + f e 3 ( 3 3 (.4. ) şeklinde ifade edili. 3 f,f,f 3 bileşenlei nin eğisel koodinatla cinsinden ifadesi ; u,u,u ün fonksiyonu olmak üzee u uu uu d du + du + du hedu + hedu + h3e3du u u u dı. Ayıca df uu.f.d 3 3 3 bağıntısından (.4.) ve (.4. ) bağıntılaını kullanaak df h f du h f du h f du 3 3 3 (.4. ) (.4.3 ) + + (.4.4 ) elde edili. Diğe taaftan f fonksiyonu ( u,u,u) 3 eğisel koodinatlaının bi skale fonksiyonu olduğu dikkate alınaak df du + du + du 3 u u u 3 yazılı. (.3.4 ),(.3.5 ),(.3.6 ) ve (.4.5 ) bağıntılaından f fi i,,3 i h u i elde edili. Bu değele (.3. ) bağıntısında yeine konulusa f in gadyenti uu e f e f e f.f + + h u h u h u 3 3 3 (.4.5 ) (.4.6 ) (.4.7 ) şeklinde elde edili. Buada u işlemcisinin dik eğisel koodinatladaki ifadesi u e e e + + 3 h u h u h u olaak bulunu. 3 (.4.8 )
0 Eğisel koodinatladaki bileşenlei A,A,A 3 olan u A A e+ A e + A e3 3 vektö fonksiyonunun divejansını hesaplamak için (.4.7 ) bağıntısını kullanaak den u u f A e + A e + A e ( 3) u hhh 3 u u hhh 3 u u hhh u ( Ae) ( Ahh ) 3 ( Ae) ( Ahh) 3 ( Ae3) ( Ahh) 3 3 3 3 bulunu. A A A3 özel değele için (.4. ) bağıntılaı u e ( h h ) 3 hhh 3 u u e ( h h ) 3 hhh 3 u u e ( h h ) 3 3 hhh 3 u (.4.9 ) (.4.0 ) (.4. ) (.4. ) şeklini alı. Böylece keyfi bi A u vektöünün eğisel koodinatladaki divejansı u u A ( Ah 3h) ( Ah3h) 3 ( A3hh) hhh + + 3 u u u (.4.3 ) fomunda elde edili. Benze şekilde keyfi bi A u vektöünün otastyoneli için (.3.4 ),(.3.5 ),( ).3.6 bağıntılaından u e e3 x( A e ) ( A h ) + ( A h ) 3 hh 3 u hh u u u e3 e x A e A h A h 3 hh u hh 3 u u e e x A e 3 3 A h A h 3 3 3 hh u hh u 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 (.4.4 ) elde edili. Bu bağıntıladan yaalanaak A u vektöünün dik eğisel koodinatladaki otasyoneli;
u u e e xa Ah Ah Ah Ah hh + u u hh u u ( 3 3) ( ) ( ) ( 3 3) (.4.5 ) e3 ( Ah ) ( Ah) 3 3 3 + hh u u olaak bulunu. (.4.5 ) ifadesini; he he he u u xa hhh 3 3 u u u Ah Ah Ah 3 3 3 3 (.4.6 ) şeklinde de yazabiliiz. (.4.8 ) bağıntısından yaalanılaak f skale fonksiyonunun otogonal eğisel koodinatladaki Laplasyeninin ifadesi; hh 3 f hh 3 f hh f f + + 3 3 hhh3 u h u u h u u h3 u olaak bulunu. Bu koodinat sisteminde hacim elemanı; dv Yüzey elemanı; ds olaak bulunu. (.4.7 ) 3 hhh3du du du (.4.8 ) hhdu du (.4.9 )
II.BÖLÜM ÖZEL ORTOGONAL KOORDİNAT SİSTEMLERİ Uzay değişik amaçla için faklı şekilde koodinatlandıılabili. Katezyen koodinat sistemi genel olaak matematiğin bi çok dalında kullanılmakla bilikte bazı matematiksel denklemlein sade ve basit biçimde ifadelei bu sistemde yazılamayabili. Başka bi deyişle katezyen koodinat sistemindeki bazı büyüklüklein hesaplanması başka koodinat sistemleinde daha sade biçimde yazılabili. Fizik veya Mühendislik alanlaında kullanılan denklemlein çözümlei için Katezyen koodinatla yeteli olmayabili. Faklı koodinat sistemlei bilim alanında ilelemeyi hızlandıan en önemli etkenleden biidi. Bu bölümde on bi koodinat sistemi inceleneek bazı özelliklei veilmişti... Katezyen koodinatla Katezyen koodinatla; u x x < <+ u y y < <+ 3 u z z < <+ Şekil (..) (.. )
3 şeklinde ifade edili. Katezyen koodinat sisteminde hehangi bi P( x, y,z ) noktasının ye vektöü, xi+ yj+ zk olaak yazılı. Metik katsayıla; (..3 ), (..4 ), ( )..5 bağıntılaından, i h h h3 g ij δ j.h ij i,j,,3 x y z (.. ) (..3 ) dı. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; 0 0 0 0 det g gij 0 0, ij şeklindedi. Bu koodinat sisteminde, Yay elemanı; (..5 ) ( ds) ( dx) + ( dy) + ( dz) (..6 ) Hacim elemanı; dv Alan elemanı; da u opeatöü; dxdydz (..7 ) dxdy (..8 ) u i+ j+ k x y z şeklinde veili. ( ) (..9 ) f f x,y,z bi skale fonksiyon ve E u de katezyen koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E x y z olan bi vektö olmak üzee
4 f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f f gadf.f i + j+ k x y z E u vektöünün Divejansı; u u u dive.e E E E x y z x y + + z (..0 ) (.. ) E u vektöünün Rotasyoneli; i j k u u u RotE xe x y z E E E x y z (.. ) f fonksiyonunun Laplasyeni; f f f x y z f + + olaak ifade edili. (..3 )
5.. Daiesel Silindiik Koodinatla Şekil (..) P( x,y,z ) noktasının xy düzlemindeki izdüşümü P' olsun. u u u 3 ρ ϕ z 0 ρ< 0 ϕ< < z < (.. ) koodinatlaına P noktasının silindiik koodinatlaı deni. Katezyen koodinatla silindiik koodinatlaa, x ρcosϕ yρsinϕ (.. ) z z bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala Katezyen Koodinatla aasında ρ x + y, ϕ actan, z z x bağıntılaı vadı. y (..3 )
6 P x,y,z noktasının xi + yj+ zk ye vektöünün silindiik koodinatladaki ( ) ifadesi, ρcosϕ i +ρ.sinϕ j+ zk (..4 ) ise; bu koodinat sisteminde metik katsayıla ve ρ, ϕ,z nin atan yöndeki biim vektölei h h ρ h3 ρ ϕ z (..5 ) ve di. e eρ cosϕ i+ sinϕj e eϕ sinϕ i+ cosϕj e3 ez k (..6 ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde, g g, g ve g g g g g g 0 ρ (..7 ) 33 3 3 3 3 dı. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; 0 0 g ij 0 0 ρ 0 0 olaak bulunu. det g ρ, ij (..8 ) Silindiik koodinat sisteminde Yay elmanı; ( ) ( ) ds d +ρ ( dψ ) + ( dz) (..9 ) Hacim elemanı; dv Alan elemanı; ρρϕ d d dz (..0 ) da ρ.d ρ.dϕ (.. )
7 u opeatöü; u eρ + eϕ + e ρ ρ ϕ z şeklindedi. bileşenlei z (.. ) f f ( ρ, ϕ,z) bi skale fonksiyon ve E u de silindiik koodinatladaki skale E,E,E ρ ϕ z olan bi vektö olmak üzee f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f f gadf.f eρ + eϕ + e ρ ρ ϕ z E u vektöünün Divejansı; u u u Eρ Eρ Eϕ E.E dive + + + z ρ ρ ρ ϕ z E u vektöünün Rotasyoneli; e ρ ρ.eϕ ez u u u ote xe ρ ρ ϕ z E ρ.e E ρ ϕ z z (..3 ) (..4 ) (..5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni; f f f f ρ ρ ρ ρ ϕ z φ + + + olaak elde edili. (..6 )
8.3. Eliptik Silindiik Koodinatla Şekil (.3.) u u u 3 η ψ z 0 η < 0 ψ < π 0 z<+ (.3. ) koodinatlaına Eliptik Silindiik koodinatlaı deni. Katezyen koodinatla Eliptik Silindiik koodinatlaa a R elipsin odak uzunluğu olmak üzee x acoshη cosψ y asinhη sinψ z z bağıntılaı ile bağlıdı. (.3. )
9 Bu koodinatlala Katezyen koodinatla aasında x y + a coshη a sinhη y y + acosψ asinψ z z bağıntılaı vadı. (.3.3 ) P noktasının xi + y j+ zk ye vektöünün Eliptik Silindiik koodinatladaki ifadesi a coshηcosψi + a sinhηsinψ j+ zk (.3.4 ) ise; metik katsayıla ve η, ψ,z nin atan yöndeki biim vektölei; ( ) h a cosh η cos ψ, h a ( cosh η cos ψ), h 3 η ψ z (.3.5 ) ve di. e e sinhη cosψi + coshηsinψ j e η e3 ez k ( cosh η cos ψ) sinhη cosψi + coshηsinψ j eψ ( cosh η cos ψ) (.3.6 ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde ( η ψ) g g a cosh cos g, 33 g g g g g g 0 3 3 3 3 (.3.7 ) dı. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; ( η ψ) a cosh cos 0 0 g ij 0 a ( cosh η cos ψ) 0 0 0, (.3.8 )
0 ( η ψ ) ij (.3.9 ) det g a cosh cos olaak bulunu. Bu koodinat sisteminde Yay elemanı; ( ds) a ( cosh η cos ψ) ( dη ) + ( dψ ) + ( dz) Hacim elemanı; Alan elemanı; u opeatöü; ( ) dv a cosh cos d d dz (.3.0 ) η ψ η ψ (.3. ) η ψ η ψ η ψ 4 da a cosh cos cosh cos d d (.3. ) u e e e η + ψ + η ψ ψ a cosh cos a cosh cos ( η ψ) ( η ψ) şeklindedi. ( ηψ ) ψ (.3.3 ) f f,,z bi skale fonksiyon ve E u eliptik silindiik koodinatladaki skale bileşenlei f fonksiyonunun gadyenti; E,E,E η ψ z olan bi vektö olmak üzee uuuu u f f f gadf.f e e e η + ψ + η ψ z a cosh ( η cos ψ) z (.3.4 ) E u vektöünün Divejansı; u u u dive.e ( cosh η cos ψ) + Eη η a cosh η cos ψ E z + ( cosh η cos ψ) + Eψ + ψ z (.3.5 )
E u vektöünün Rotasyoneli; u ote ( cosh η cos ψ) f fonksiyonunun Laplasyeni cosh η cos ψ a e cosh η cos ψ e e a η ψ z η ψ z ψ z ( η ψ) ψ( η ψ) E cosh cos E cosh cos η E a d f d f d f φ + + a cosh olaak elde edili. η cos ψ dη dψ dz (.3.7 )
.4. Paabolik Silindiik Koodinatla u u u 3 µ ν z 0 µ <+ < ν < + < z < + Şekil (.4.) (.4. ) koodinatlaına Paabolik Silindiik Koodinatla deni. Katezyen koodinatla Paabolik Silindiik koodinatlaa x y µν z z ( µ ν ) bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında x y z z ( x) ( ν x) µ µ ν + (.4. ) (.4.3 )
3 bağıntılaı vadı. P(x,y,z) noktasının xi + yj+ zk ye vektöünün paabolik silindiik koodinatladaki ifadesi ( ) i j zk µ ν + µν + ise; metik katsayıla ve µ, ν,z nin atan yöndeki biim vektölei (.4.4 ) ( ) h µ + ν h ( µ + ν ) h 3 η ψ z (.4.5 ) ve di. e e eµ eν e3 ez k µ.i + ν j ( µ + ν ) ν.i + µ.j ( µ + ν ) (.4.6 ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde g g µ + ν, g 33 g g g g g g 0 3 3 3 3 (.4.7 ) bulunu. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; µ + ν 0 0 g ij 0 µ + ν 0, 0 0 dı. Bu koodinat sisteminde, Yay elemanı; ( ds) ( µ + ν ) ( dµ ) + ( dν) + ( dz) Hacim elemanı; ij + (.4.8 ) det g µ ν (.4.9 )
4 Alan elemanı; u opeatöü; dı. ( ) dv µ + ν dµ dνdz (.4.0 ) ( ) da µ + ν dµ dν (.4. ) u e + e + e z µ ν µ ν ( µ + ν ) ( µ + ν ) ( µν ) z (.4. ) f f,,z bi skale fonksiyon ve E u paabolik silindiik koodinatladaki skale bileşenlei E µ,e ν,ez bi vektö olmak üzee f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u ( ) f f f gadf f µ + ν eµ + eν + e µ ν z z (.4.3 ) E u vektöünün Divejansı; u u u E dive E + E + + + + + E +.4.4 µ ν z z ( µ ν ) ( µ ν ) µ ( µ ν ) ν ( ) E u vektöünün Rotasyoneli; u ote µ +ν ( ) e e e µ ν ( µ +ν ) ( µ +ν ) µ ν z µ ν ( µ +ν ) ( µ +ν ) E E E z z (.4.5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni ; µ + ν µ ν z f f f f + + olaak elde edili. (.4.6 )
5.5. Küesel Koodinatla Şekil (.5.) Bi P( x, y,z ) noktasının küesel koodinatlaı, ; P noktasının başlangıç uuu noktasına uzaklığı. θ ; OP vektöünün Z ekseni ile yaptığı açı, ψ ; vektöünün XY düzlemi üzeindeki izdüşümünün ox ekseni ile yaptığı açı olmak üzee; u u u 3 θ ψ 0 < 0 θ < π 0 ψ < π (.5. ) koodinatlaına küesel koodinatla deni. Katezyen koodinatla küesel koodinatlaa x sinθ cosψ y sinθ sinψ z cosθ bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında, (.5. )
6 P( ) ( ) x + y x + y + z tan θ z bağıntılaı vadı. x,y,z noktasının xi + yj+ zk üzeindeki ifadesi; sin θcosψ i + sin θsin ψ j+ cos θk tan y x ψ (.5.3 ) ye vektöünün küesel koodinatla (.4.4 ) ise; metik katsayıla ve, θψ, nin atan yöndeki biim vektölei h h h3.sinθ ρ ϕ z (.5.5 ) ve e e sinθ cosψi + sinθsinψ j+ cosθk e eθ cos cos i + cos sin j sin k θ ψ θ ψ θ θ ψ θ ψ e3 eψ sin sin i+ sin cos j (.5.6 ) di. Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde g g g g g g g g g 0 (.5.7 ) 33 3 3 3 3 olaak bulunu. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; 0 0 g ij 0 0, det g ij 0 0 dı. Bu koodinat sisteminde, Yay elemanı; (.5.8 ) ( ) ( ) ( ) ds d + dθ +.sin θ( dψ) (.5.9 ) Hacim elmanı; dv sinθddθdψ (.5.0 )
7 Alan elemanı; da ddθdψ (.5. ) u opeatöü; u + + θ.sinθ ψ e eθ eψ (.5. ) f f(, θ, ψ ) bi skale fonksiyon ve E u de küesel koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E θ ψ bi vektö olmak üzee f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f f θ sinθ ψ gadf.f e + eθ + ez E u vektöünün Divejansı; u u u E E cotθ Eψ + + + + θ sinθ ψ θ dive.e E Eθ E u vektöünün Rotasyoneli; u u u RotE xe sin e eθ eψsin θ θ ψ E E E sinθ θ ψ θ (.5.3 ) (.5.4 ) (.5.5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni f f f cotθ f f θ θ sin θ ψ f + + + + olaak ifade edili. (.5.6 )
8.6. Polate Küesel Koodinatla Şekil (.6.) u u u 3 η θ ψ 0 η < 0 θ π 0 ψ < π (.6. ) koodinatlaına Polate Küesel Koodinatla deni. Katezyen koodinatla polate küesel koodinatlaa a R elipsin odak uzunluğu olmak üzee; x a sinhη sinθ cosψ y a sinhη sinθsinψ z a coshηcosθ (.6. ) bağıntılaı ile bağlıdı.
9 Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında x y z + + a sinh η a sinh η a cosh η x y z + a sin θ a sin θ a cos θ bağıntılaı vadı. P(x,y,z) noktasının xi + y j+ zk (.6.3 ) ye vektöünün polate koodinatladaki ifadesi, a sinhη sinθ cosψ i + a sinhη sinθ sinψ j+ a coshη cosθ k (.6.4 ) ise metik katsayıla ve η, θψ, nin atan yöndeki biim vektölei 3 ( θ θ ) ( ) θ θ η θ ( ) h a sinh + sin h a sinh + sin h a sinh sin.6.7 η ψ z ve coshη sinθcosψi + coshηsinθsinψ j+ sinhηcosθk e eη e e3 eψ sinψi+ cosψ j ( sinh θ + sin θ) sinhη cosθcosψi + sinhηcosθsinψ j coshηsinθk eθ ( sinh θ + sin θ) (.6.5 ) di. Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile, ( ) g g a sinh θ+ sin θ g a sinh ηsin θ 33 g g g g g g 0 3 3 3 3 (.6.8 ) bulunu. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; ( θ + θ) a sinh sin 0 0 g ij 0 a ( sinh θ sin θ) 0 + 0 0 a sinh η sin θ ( ) η + θ η θ 3 det gij a sinh sin sinh.sin, (.6.9 )
30 olaak bulunu. Bu koodinat sisteminde; Yay elemanı; ( ds) a ( sinh θ+ sin θ) ( dη ) + ( dθ ) + a sinh ηsin θ( dψ) Hacim elmanı; Alan elemanı; ( ) (.6.0 ) dv a sinh sin a sinh sin d d d θ + θ η θ η θ ψ (.6. ) ( ) da a sinh sin d d θ + θ η θ (.6. ) u opeatöü; u e η + e η θ a ( sinh θ + sin θ) a ( sinh θ + sin θ) + eψ a sinhηsinθ ψ şeklindedi. ( η θ ψ ) θ (.6.3 ) f f,, bi skale fonksiyon ve E u paabolik küesel koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E η θ ψ bi vektö olmak üzee, f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f f gadf f e + e + e η θ a sinhηsinθ ψ a sinh ( ) θ + sin θ E u vektöünün Divejansı; u u u dive.e a sinh ( η + sin θ ) η θ ψ ( sinh η+ sin θ) ( ) sinhηeη+ sinh θ + sin θ sinθeθ sinhη η sinθ θ Eψ + a sinhηsinθ ψ (.6.4 ) (.6.5 )
3 E u vektöünün Rotasyoneli; RotE u u xe u a ( sinh θ + sin θ) sinh η sin θ sinh θ sin θ e sinh θ sin θ e sinhηsinθe η θ ψ ( + ) ( + ) η θ ψ η θ ψ ( ) ( ) E sinh η + sin θ E sinh η+ sin θ E sinhη sinθ (.6.6 ) f fonksiyonunun Laplasyeni ; a sinh + sin η η θ θ f f f f f cothη cotθ + + + ( θ θ) f + a sinh θ + sin θ ψ olaak ifade edili. (.6.7 )
3.7. Oblate Küesel Koodinatla Şekil (.7.) u u u 3 η θ ψ 0 η < 0 θ π 0 ψ < π (.7. ) koodinatlaına Oblate Küesel Koodinatla deni. Katezyen koodinatla oblate küesel koodinatlaa, a R elipsin odak uzunluğu olmak üzee; x a coshη sinθ cosψ y a coshη sinθ sinψ z asinhηcosθ (.7. ) bağıntılaı ile bağlıdı.
33 Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında, x y z + + a cosh η a cosh η a sinh η x y z + a sin θ a sin θ a cos θ bağıntılaı vadı. P(x,y,z) noktasının xi + y j+ zk (.7.3 ) ye vektöünün Oblate Küesel Koodinatladaki ifadesi a coshη sinθ cosψ i + a coshη sinθ sinψ j+ a sinhη cosθ (.7.4 ) ise; metik katsayıla ve η, θψ, nin atan yöndeki biim vektölei, h a(cosh η sin θ), h a(cosh η sin θ), h3 a cosh η.sinθ.7.5 η θ ψ ve sinhη sinθcosψi + sinhηsinθsinψ j+ sinhηcosθk e eη (cosh η sin θ) coshη cosθ cosψi + coshηcosθsinψ j sinhηsinθ e eθ (cosh η sin θ) ψ ψ e3 eψ sin i+ cos j (.7.6 ) ( ) di. Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde, ( ) g g a sinh sin θ+ θ 33 η θ (.7.7 ) g a sinh sin ve g ij matisi ve bu matisin deteminantı; a (cosh η sin θ) 0 0 g ij 0 a (cosh η sin θ) 0 0 0 a cosh η sin θ 3 det g ij a ( sinh η+ sin θ) sinhηsinθ olaak bulunu., (.7.8 )
34 Bu koodinat sisteminde, Yay elemanı; (ds) a (cosh η sin θ)[(d η ) + (d θ ) ] + a cosh ηsin θ(d ψ ) (.7.9 ) Hacim elmanı; Alan elemanı; u opeatöü; 3 dv a (cosh sin )cosh sin d d d η θ η θ η θ ψ (.7.0 ) da a (cosh sin )d d η θ η θ (.7. ) u e η + e η θ a(cosh η sin θ) a(cosh η sin θ) + eψ acoshηsinθ ψ şeklinde veili. ( η θ ψ ) θ (.7. ) f f,, ve E u Obleyt Küesel koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E η θ ψ bi vektö olmak üzee, f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f f gadf.f [ e e ] e η + θ + ψ η θ acoshηsinθ ψ a[(cosh η sin θ)] (.7.3 ) E u vektöünün Divejansı; u u u dive E a(cosh sin η θ ) ( cosh η sin θ) coshηeη+ ( cosh η sin θ) sinθeθ coshη η sinθ θ Eψ + acoshηsinθ ψ (.7.4)
35 E u vektöünün Rotasyoneli; u η θ η θ ote a(cosh sin )cosh sin (cosh sin ) e a (cosh sin ) e cosh sin e η θ η θ η θ θ η θ ψ η θ ψ η θ ψ E (cosh η sin θ) E (cosh η sin θ) E coshηsinθ (.7.5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni ; a (cosh η sin θ) η η θ θ f f f f φ tanhη cotθ + + + f + a cosh η.sin θ ψ (.7.6 ) olaak ifade edili.
36.8. Paabolik Koodinatla Şekil (.8.) u u u 3 µ ν ψ 0 µ < 0 ν < 0 ψ < π (.8. ) koodinatlaına koodinatlaa Paabolik Koodinatla deni. Katezyen koodinatla paabolik
37 x µν cosψ y µν sinψ z ( µ ν ) bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında, ( ) ( ν ) x + y µ µ z x + y ν + z y tanψ x bağıntılaı vadı. (.8. ) (.8.3 ) P(x,y,z) noktasının xi + yj+ zk ye vektöünün Paabolik Koodinatladaki ifadesi, µν cosψ i+ µν sinψ j+ ( µ ν ) k ise; metik katsayıla ve µ, νψ, nin atan yöndeki biim vektölei; (.8.4 ) ( ) h µ + ν, h ( µ + ν ), h 3 µν µ ν ψ (.8.5 ) ve di. e e ν cosψi + ν sinψ j+ µ k eµ ( µ + ν ) µ cosψ i + µ sinψ j νk eν ( µ + ν ) ψ + ψ e3 eψ sin i cos j (.8.6 ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde, g g µ ν +, g 33 µ ν (.8.7 ) ve g ij matisi ve bu matisin deteminantı;
38 µ + ν 0 0 g ij 0 µ + ν 0, 0 0 µ ν olaak bulunu. Bu koodinat sisteminde Yay elemanı; ( ds) ( µ + ν ) ( dµ ) + ( dν ) + µ ν ( dψ ) Hacim elmanı; Alan elemanı; u opeatöü; şeklindedi. ( ) µ + ν det g ij µ ν (.8.8 ) (.8.9 ) dv µ + ν µν dµ dνdψ (.8.0 ) ( ) da µ + ν dµ dν (.8. ) u e + e + e η µ ψ η θ µν ψ ( µ + ν ) ( µ + ν ) ( µ ν ψ ) (.8. ) f f,, bi skale fonksiyon ve E u Paabolik Koodinatladaki skale bileşenlei E µ,e ν,eψ bi vektö olmak üzee f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f f eψ f gadf.f eµ + eν + µ ν µν ψ ( ) µ + ν (.8.3 ) E u vektöünün Divejansı; u u u E dive.e µ µ ν Eµ ν µ ν E.8.4 + + + + µ µ ν ν µι ψ ( µ + ν ) ( ) ( ) ψ ν ( )
39 E u vektöünün Rotasyoneli; u u u η θ η θ RotE xe a(cosh sin )cosh sin ( µ + ν ) e ( µ + ν ) e µνe µ ν ψ. µ ν ψ µ + ν + ψ E ( µ ν ) E ( µ ν ) E µν (.8.5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni; µ + η µ µ µ ν ν ν µ ν ψ f f f f f f + + + + olaak ifade edili. (.8.6 )
40.9. Konikal Koodinatla Şekil (.9.) u u u 3 θ λ 0 < b < θ < c 0< λ < b (.9. ) koodinatlaına Konikal Koodinatla deni. Katezyen koodinatla konikal koodinatlaa ( x) θλ bc ( y) ( θ )( λ ) b ( c b ) b b ( z) bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında, x + y + z ( θ )( λ ) c ( c b ) c c (.9. ) x y z 0 θ + θ b c θ x y z 0 λ b λ c λ (.9. )
4 bağıntılaı vadı. P(x,y,z) noktasının xi + yj+ zk ye vektöünün Konikal Koodinatla üzeindeki ifadesi, ( ) ( ). θλ. θ b b λ c θ c λ i+ j+ k b.c b c b c c b ise; metik katsayıla ve µ, νψ, nin atan yöndeki biim vektölei, (.9.4 ) ( θ λ ) ( θ λ ) h, h, h 3.9.5 µ ν ( θ b )( c θ ) ψ ( b λ )( c λ ) ve ( ) θλ. θ b b λ θ b b λ e e i+ j e ( ) ( ) ( ) ( ) b.c b c b b c b c θ c λ c θ c λ + k c c b c c b ( ) ( ) ( θ λ ) ( θ b )( c θ ) ( ). λ θ b b λ θ b b λ i+ j b.c b c b b c b eθ ( θ λ ) ( θ b )( c θ ) + c θ c λ c θ c λ + ( ) k c c b c c b (.9.6.a ) (.9.6.b )
4 e 3 di.. θ ( θ b )( b λ ) ( θ b )( b λ) i+ j+ b.c b ( c b ) b ( c b ) eλ ( θ λ ) ( b λ )( c λ ) ( θ )( λ ) ( θ )( λ) ( ) ( ) ( θ λ ) ( b λ )( c λ ) c c c c k c c b c c b + (.9.6.c ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde, ( ) ( ) θ λ θ λ g, g, g 33 θ b c θ b λ c λ (.9.7 ) dı. g ij matisi ve bu matisin deteminantı; 0 0 ( θ λ ) g ij 0 0 ( θ b )( c θ ) ( θ λ ) 0 0 ( b λ )( c λ ) det g olaak bulunu. ( θ λ ) ij ( θ b )( c θ )( b λ )( c λ ) (.9.8 ) (.9.9 )
43 Bu koodinat sisteminde Yay elemanı; ( ds) ( d) ( θ b ) ( dθ) ( dλ) + + ( θ b )( c θ ) b λ c λ Hacim elmanı; dv θ λ θ λ ( ) ( ) θ b c θ b λ c λ Alan elemanı; u opeatöü; ( θ λ ) ( θ b )( c θ ) da ddθ ddθdλ u + + ( θ λ ) ( θ λ ) ( θ b )( c θ ) ( b λ )( c λ ) e e θ e ψ θ λ (.9.0 ) (.9. ) (.9. ) (.9.3 ) ( θ λ ) f f,, bi skale fonksiyon ve E u Konikal Koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E f fonksiyonunun Gadyenti; uuuu u f gadf.f e + θ λ bi vektö olmak üzee, ( θ λ ) f b c e b c e θ ( θ ) ( θ ) θ + ( λ ) ( λ ) λ f λ (.9.4 ) E u vektöünün Divejansı; u u u d dive E ( E ) + d θ λ ( ) θ λ ( θ b ) ( c θ ) ( θ λ ) Eθ + ( b λ ) ( c λ ) ( θ λ ) Eλ (.9.5)
44 E u vektöünün Rotasyoneli; (.9.6 ) u u u RotE xe ( θ b )( c θ )( b λ )( c λ ) ( θ λ ) e ( θ λ ) θ λ e ( θ b ) ( c θ ) b λ c λ. θ ψ E Eθ ( ) ( ) ( ) f fonksiyonunun Laplasyeni; ( ) eλ ( ) ( ) θ Eλ ( ) ( ) ( ) θ λ θ λ θ b c θ b λ c λ f f f f f + + b c b + c θ olaak ifade edili. ( ) ( θ )( θ ) θ θ ( ) θ λ θ f λ ( b λ )( c λ ) λ λ ( b c ) (.9.7) + + f λ
45.0. Elipsoidal Koodinatla Şekil (.0.) a; elipsin asal eksen uzunluğu, b; elipsin yedek eksen uzunluğu, c elipsin odak uzunluğu olmak üzee u u u 3 η θ λ c b < η < < θ < c 0 λ < b (.0. ) koodinatlaına Elipsoidal Koodinatla deni. Katezyen koodinatla elipsoidal koodinatlaa, ηθλ ( η b )( θ b )( b λ ) bc b ( c b ) ( η c )( c θ )( c λ ) c ( c b ) ( x) ( y) ( z) (.0. )
46 bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla aasında x y z + + η η b η c x y z + + θ θ b θ c x y z + + λ b λ c λ bağıntılaı vadı. (.0. ) P(x,y,z) noktasının xi + y j+ zk ye vektöünün Elipsiodal Koodinatladaki ifadesi, ( ) ( ) ( ) ( ) ηθλ η b θ b b λ η c c θ c λ.i +.j +.k bc b c b c c b (.0.3 ) ise metik katsayıla ve η, θλ, nin atan yöndeki biim vektölei; ( η θ )( η λ ) ( θ λ )( η θ ) h, h, µ ( η b )( η c ) ν ( θ b )( c θ ) ve h ( η λ )( θ λ ) ψ ( b λ )( c λ ) 3 (.0.4 ) e η ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θλ η b θ b b λ η b θ b b λ i+ j bc b c b b c b ( η θ )( η λ ) ( η b )( η c ) ( ) ( ) η c c θ c λ η c c θ c λ k c c b c c b + ( η θ )( η λ ) ( η b )( η c ) (.0.5.a )
47 e θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ηθ η b θ b b λ η b θ b b λ.i +..j bc b c b b c b ( η λ )( θ λ ) ( b λ )( c λ ) ( ) ( ) η c c θ c λ η c c θ c λ. k c c b c c b + ( η λ )( θ λ ) ( b λ )( c λ ) (.0.5.b) e λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ηλ η b θ b b λ η b θ b b λ.i +.j + bc b c b b c b ( θ λ )( η θ ) ( θ b )( c θ ) ( ) ( ) η c c θ c λ η c c θ c λ k c c b c c b + ( θ λ )( η θ ) ( θ b )( c θ ) (.0.5.c) di. Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde ( η θ )( η λ ) ( θ λ )( η θ ) g ( η b )( η c ) ( b )( c ) g (.0.6 ) θ θ, ( η λ )( θ λ ) ( b λ )( c λ ) g 33, dı. g ij matisi ve bu matisin deteminantı;
48 ( η θ )( η λ ) ( η b )( η c ) 0 0 ( θ λ )( η θ ) g ij 0 0 ( θ b )( c θ ) ( η λ )( θ λ ) 0 0 ( b λ )( c λ ), (.0.7 ) det g ij ( η θ )( η λ )( θ λ ) ( η b )( η c )( θ b )( c θ )( b λ )( c λ ) olaak bulunu. Bu koodinat sisteminde, Yay elemanı; ( ) Hacim elmanı; ( η λ )( θ λ ) ( b λ )( c λ ) ( d ) η θ η λ θ λ η θ ds ( dη ) + dθ η b η c θ b c θ + λ ( ) (.0.8 ) (.0.9 ) η θ η λ θ λ η θ η λ θ λ ( ) dv dηdθdλ.0.0 η b η c θ b c θ b λ c λ Alan elemanı; η θ η λ θ λ η θ da d η.dθ η b η c θ b c θ (.0. )
49 u opeatöü; u e η + e η θ ( η θ )( η λ ) ( θ λ )( η θ ) ( η b )( η c ) ( θ b )( c θ ) + e λ λ ( η λ )( θ λ ) ( b λ )( c λ ) (.0. ) θ ( η θλ) f f,, bi skale fonksiyon ve E u Konikal Koodinatladaki skale bileşenlei E η,e θ,eλ bi vektö olmak üzee, f fonksiyonunun Gadyenti; ( b )( c ) ( η λ )( θ λ ) uuuu u η b η c φ θ b c θ gadf.f eη + e η θ η λ η θ λ η θ λ λ φ + eλ λ θ φ θ (.0.3 ) E u vektöünün Divejansı; ( η b ) ( η c ) ( η θ )( η λ ) ( θ b ) ( c θ ) ( η θ )( θ λ ) ( b λ ) ( c λ ) ( η λ )( θ λ ) u u u dive.e ( η θ ) ( η λ ) Eη η + ( η θ ) ( θ λ ) Eθ θ + ( η λ ) ( θ λ ) Eλ λ (.0.4 )
50 E u vektöünün Rotasyoneli; u ote ( η b )( η c )( θ b )( c θ )( b λ )( c λ ) ( η θ ). eη eθ eλ η θ θ λ θ λ η θ η λ θ λ η b η c θ b c θ b λ c λ η θ λ η θ θ λ θ λ η θ η λ θ λ Eη E E θ λ η b η c θ b c θ b λ c λ f fonksiyonunun Laplasyeni; ( ) ( ) η b η c f f ( η b ) ( η c ) η θ η λ η η ( ) ( ) θ b c θ f + ( θ b ) ( c θ ) η θ θ λ θ θ ( ) ( ) b λ c λ f + ( b λ ) ( c λ ) η λ θ λ λ λ olaak ifade edili. (.0.6 )
5.. Paabolidial Koodinatla Şekil (..) u u u 3 µ ν λ b < µ < 0< ν < c c λ < b (.. ) koodinatlaına Paabolidial Koodinatla deni. Katezyen koodinatla paabolidial koodinatlaa, ( ) ( µ )( ν)( λ) ( b c) 4 x b b b ( ) ( µ )( ν)( λ) ( b c) 4 y c c c z µ + ν + λ b c µ > b > λ > c> ν > 0 bağıntılaı ile bağlıdı. Bu koodinatlala katezyen koodinatla asında, (.. )
5 bağıntılaı vadı. x y + 4 z µ b µ c ( µ ) x y + 4 z b ν c ν x y + 4 z b λ λ c ( ν ) ( λ ) (.. ) P(x,y,z) noktasının xi + y j+ zk ye vektöünün Paaboloödial Koodinatla üzeindeki ifadesi, 4 4 b b b.i+ c c c.j ( ) ( µ )( ν )( λ ) ( µ )( ν)( λ) b c ( b c) + ( µ + ν + λ b c) k ise; metik katsayıla ve µ, ν, λ nin atan yöndeki biim vektölei, ( µ ν )( µ λ ) ( µ ν)( λ ν) h, h, µ ( µ b)( µ c) ν ( b ν)( c ν) ( λ ν )( µ λ) h3 ψ ( b λ)( λ c) (..3 ) (..4 ) e µ 4 ( ) ( ) 4 b b b ( ) ( b )( b ) µ ν λ ν λ.i b c b c ( µ ν )( µ λ) ( µ b)( µ c) 4 ( ) ( ) 4 c c c ( ) ( c )( c ) + µ ν λ ν λ.j+ k b c b c ( µ ν )( µ λ) ( µ b)( µ c) (..5.a )
53 e ν 4 ( ) ( ) 4 µ b b ν b λ ( µ b)( )( b λ).i b c ( b c) ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) 4 ( ) ( ) 4 + µ c c ν c λ ( µ c)( )( c λ).j+ k b c ( b c) ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) (..5.b ) e λ di. 4 4 b b b b b.i b c b c ( ) ( µ )( ν )( λ ) ( µ )( ν)( ) ( ) ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) 4 4 + c c c c c.j+ k b c b c ( ) ( µ )( ν )( λ ) ( µ )( ν)( ) ( ) ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) (..5.c ) Diğe taaftan (..3 ), (..4 ), (..5 ) bağıntılaının yadımı ile bu koodinat sisteminde, g ( µ ν )( µ λ) ( µ ν)( λ ν) g ( µ b)( µ c) ( b ν)( c ν) g 33 ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) (..6 ) ve g ij matisi ve bu matisin deteminantı; ( µ ν )( µ λ) ( µ b)( µ c) 0 0 ( µ ν)( λ ν) g ij 0 0 ( b ν)( c ν) ( λ ν )( µ λ) 0 0 ( b λ)( λ c), (..7 )
54 det[ g ] g ( µ ν )( µ λ)( λ ν) ( µ b)( µ c)( b ν)( c ν)( b λ)( λ c) (..8 ) olaak bulunu. ( η θλ) f f,, ve E u Paabolidial Koodinatladaki skale bileşenlei E,E,E bi vektö olmak üzee, Yay elemanı; ( ) µ ν λ µ ν µ λ µ ν λ ν λ ν µ λ ds ( dµ ) + ( dν) + dλ..9 µ b µ c b ν c ν b λ λ c ( ) ( ) Hacim Elemanı; µ ν µ λ µ ν λ ν λ ν µ λ dv µ b µ c b ν c ν b λ λ c Alan Elemanı; µ ν µ λ µ ν λ ν da d µ.dν µ b µ c b ν c ν dµ dνdλ (..0 ) (.. ) u Opeatöü u e + e ( µ ν )( µ λ ) µ ν λ ν ( µ b)( µ c) b ν c ν + e λ λ ( λ ν )( µ λ) ( b λ)( λ c) f fonksiyonunun Gadyenti; µ ν µ θ (.. ) ( λ)( λ ) uuuu u µ b µ c f b ν c ν f gadf f eµ + eν µ ν µ λ µ µ ν λ ν ν b c f + eλ λ ν µ λ λ (..3 )
55 E u vektöünün Divejansı; u dive ( b ν ) ( c ν ) ( b λ) ( λ c) ( µ b) ( µ c) ( µ ν ) ( µ λ) E µ µ ν µ λ µ + ( µ ν ) ( λ ν ) E ν µ ν λ ν ν + ( µ λ) ( λ ν ) E λ µ λ λ ν λ (..4 ) E u vektöünün Rotasyoneli; u u u RotE xe ( µ b)( µ c)( b ν)( c ν)( b λ)( λ c) ( µ ν )( µ λ)( λ ν) µ ν µ λ uu µ ν λ ν uu λ ν µ λ uu eµ eν eλ µ b µ c b ν c ν b λ λ c µ ν λ µ ν µ λ µ ν λ ν λ ν µ λ Eµ Eν Eλ µ b µ c b ν c ν b λ λ c (..5 ) f fonksiyonunun Laplasyeni; ( b)( c) µ µ φ φ ( µ b) ( µ c) µ ν λ ν µ µ ( b )( c ) ( b )( c) ν ν φ + ( b ν) ( c ν) µ ν λ ν ν ν λ λ φ + ( b λ) ( λ c) µ λ λ ν λ λ (..6 ) olaak ifade edili.
56 III. BÖLÜM ÖZEL KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE HELMHOLTZ DENKLEMİNİN AYRIŞTIRILMASI VE STACKEL MATRİSİ 3.. Helmholtz Denklemi Fizik, Mühendislik ve Uygulamalı Matematik alanında kaşılaşılan difeansiyel denklemleden pek çoğu φ φ( x,y,z,t) bi skale fonksiyon ve k sabit olmak üzee φ+ k φ f ( x,y,z,t) ( 3.. ) şeklinde ifade edilebili. Öneğin; f ( x,y,z,t) 0 ise denklem Helmholtz veya Dalga Denklemi adını alı. φ 0 ; Laplace Denklemi ( 3.. ) φ k ; Poisson Denklemi ( 3..3 ) φ φ h φ t φ c t k φ 0 ; Düfizyon Denklemi ( 3..4 ) ; Dalga Denklemi ( 3..5 ) φ+ ; Helmholtz Denklemi ( 3..6 ) denklemlei bu tüden ifade edilen denklemledi. Bu denklemlein otak özelliklei linee, ikinci deeceden ve kısmi tüevli difeansiyel denklemle olmalaıdı. Bu denklemle özel değelele ve ayıştımalala Helmholtz Denklemine indigenebilile.helmholtz Denkleminin çözümlei yadımı ile de bu denklemlein çözümlei ideleni. 3..Basit Ayıştıma ve Stackel Matisi Eğe ( ) ( ) ( ) 3 3 φ U u U u U u ( 3.. )
57 alınması ile ayıştıma deni. φ 0 denklemi üç adi denkleme ayılabilise bu ayıştımaya basit Helmholtz Denklemi; φ skale, f bi vektö fonksiyonu ve bi skale laplasyen olmak üzee φ+ k φ 0 ( 3.. ) ve F k F 0 + şeklinde veili. k0 için Helmholtz Denklemi Laplace Denklemine dönüşü. h.h 3 h.h 3 h.h 3 + + 3 3 h.h.h 3 u h u u h u u h u ( 3..3 ) ( 3..4 ) 3 olmak üzee φ φ( u,u,u ) ve h.h.h 3 g için 3 g du g du g du φ g + + 3 3 3 U u g du U u g du U u g du ( 3..5 ) dı. φ Böylece 3 i g du g. i i i i U u gii du ( 3..6 ) φ+ k φ 0 şeklinde ifade edilen Helmholtz Denklemi 3 i g du g. k 0 i i i + φ i U u gii du ( 3..7 ) şeklinde yazılı. Buada k zamanı içeen teimlein ayılmasından elde edilen ayıma sabitidi. Bu denklem bazı koodinat sistemleinde ayılabili. Helmholtz Denkleminin basit ayılabilmesi için bi koodinat sisteminin sağlaması geeken koşullaı inceleyelim. Üç fonksiyonun çapımı olaak ifade edilen ( ) ( ) ( ) 3 3 φ U u U u U u ( 3..8 )
58 fonksiyonu ( 3..6) de yeine yazılısa, 3 i g du g.. k 0 i i i + i U u gii du ( 3..9 ) elde edili. ( 3..9 ) denklemi paantezin içindeki he nicelik bi tek bağımsız değişkene göe yazılamazsa denklem ayıştıılmaz. Bu koşul genel olaak sağlanmayabili. Çünkü g ve g ii üç koodinatın fonksiyonlaı olabili. Fakat duumlada ( 3..9) denklemi g g ii nin sabit olduğu özel sabit du 3 i g + k 0 i i i U du ( 3..0 ) olu. Buada toplamın he teimi bi bağımsız değişkenin fonksiyonudu. Diğe bi özel duum g g ii i i ( u ) f olması duumundadı. Bu duumda ( 3..9 ) d du + 3 i g i i fi k 0 i i U du du ( 3.. ) şeklini alı. Böylece toplamın he bi teimi yine sadece tek değişkenin bi fonksiyondu. Yani; Ayılabilme için en genel koşul g g g g g g 33 3 ( ) ( ) f u F u,u 3 ( ) ( ) f u F u,u 3 ( ) ( ) f u F u,u 3 3 g g ii nin iki fonksiyonun çapımı olmasıdı. ( 3.. )
59 koşulu basit ayıma için geekli koşuldu. ( 3.. ) Denklemi ( 3..9 ) denkleminde yeine yazılısa, F d du + ifadesi elde edili. 3 i i g. i i fi k 0 i i U du du Buada ( 3..3 ) g,f ve f koodinat sistemi taafından belitili. i i fonksiyonlaı koodinat sistemi ve ayıma sabitleinin olula. Ayıma sabitlei α ( ) 3 3 φ U.U.U nin i U he ikisinin de fonksiyonlaı k, α, α ile gösteilise f i ve F i le α ladan bağımsız iken ( 3..3 ) denkleminin U i lei α nın fonksiyonlaıdı. ( 3..3 ) Denkleminin α, α, α 3 göe difeansiyellenebildiği kabul edilise, 3 d du d du d du F f + F f F + 3 f 3 3 g 0 3 + α U du du α U du du α U du du d du d du d du F f + F f + F f 3 3 3 3 3 α U du du α U du du α3 U du du 0 3..4 ( ) 3 d du d du d du F f + F f F + 3 f 3 3 0 3 α3 U du du α3 U du du α3 U du du elde edil.denklem yeni notasyonla kullanılaak daha kısa ve özlü olaak, vasa 3 φ + φ + 3 3φ3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ( ) ( ) ( 3) ff u ff u ff u g ffφ u + ffφ u + ffφ u 0 3 3 3 ffφ u + ffφ u + ffφ u 0 3 3 3 3 33 ( 3..5 ) φ ij i ( u ) şeklinde yazılı. i d du i f i i i i fi ( u ) α j U du du ( 3..6 )
60 ( ff ), ( ff ) ve ( 3 3) çözülebili. Bu sistemden elde edilen, ff niceliklei için ij φ ( ) 3..5 denklemlei için S φ φ φ 3 det[ S] φ φ φ ( 3..7 ) 3 φ φ φ 3 3 33 deteminantı Stackel Deteminant olaak adlandıılı.bu deteminantta Biinci satıın elemanlaı sadece u in, ikinci sıadakile sadece u nin ve üçüncü satıın elemanlaı sadece 3 u ün fonksiyonlaıdı. ( 3..5) sisteminin çözümü M i le Stackel Deteminant nın biinci sütunundaki φ i elemanlaının M φ φ φ 3 φ 3 33 M φ φ φ 3 φ 3 33 M 3 φ φ 3 ( 3..8 ) φ φ 3 şeklinde kofaktölei olmak üzee, g ff [ φ. φ33 φ3. φ3 ] g S M S g ff 3. 3. 33 g S M S [ φ φ φ φ ] ( 3..9 ) g ff 3 3 [ φ. φ3 φ3. φ ] g S M S 3 dı. ( 3.. ) ve ( 3..8 ) denklemlei kaşılaştıılısa; g ii S M ( 3..0 ) i olduğunu göülü. Bu basit ayılabilme için biinci koşuldu. Aynı zamanda ( 3..9 ) denklemleinden, 3 ( ) ( ) g F u,u f ( u ) S M u,u 3
6 veya 3 ( ) ( ) g F u,u f ( u ) S M u,u 3 ( ) ( ) g F 3 3 u,u f ( u ) S M u,u 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 F u,u F u,u F u,u 3 f ( u ) f 3 ( u ) f 3 ( u ) M u,u M u,u M3 u,u bulunu. Bu sonuç sadece, ( 3.. ) ( 3..3 ) 3 f( u ).f( u ).f3( u ) S ( 3..4 ) g olması ile mümkündü. ( 3..3 ) Denklemi Helmholtz Denkleminin basit ayılabilmesi için ikinci koşuldu. Eğe ( 3..9 ) ve ( 3..3 ) denklemlei veilen bi metik katsayılaı kümesi taafından sağlanısa, denklem bu koodinat sisteminde basit bi şekilde ayılabili. Kısaca üç boyutlu Euclidean uzayda, Helmholtz Denkleminin basit ayılabilmesi için geekli ve yeteli koşullaın metik katsayılaın S gij i,,3 M g S i 3 ( ) ( ) ( ) f u f u f u 3 koşullaını sağlanması geektiğini söyleyebiliiz. Diğe taaftan bi Stackel Matis [ S] şeklinde ifade edili. φ φ φ 3 φ φ φ 3 φ3 φ3 φ 33 ( 3..5 ) ( 3..6 ) Bu matisin deteminantı S Stackel deteminantıdı. ( 3..8 ) da belitildiği gibi bi Stackel matis ve metik katsayıla aasında biebi uygunluk yoktu. φ ij elemanlaını uygun şekilde seçmek mümkündü.
6
63 IV. BÖLÜM HELMHOTLZ DENKLEMİNİN ÖZEL KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE ÇÖZÜMÜ Bu bölümde Helmholtz Denkleminin on bi koodinat sisteminde çözümü idelenecekti. 4.. Katezyen Koodinatlada Çözüm Bölüm 3 ( 3..7 ) bağıntısından bu koodinat sistemi için Stackel Matis ve deteminantı; 0 S 0 0 0 [ ] şeklinde yazılı, ( 3..8 ) bağıntısından, S det[ S] ( 4.. ) M M M3 ( 4.. ) kofaktölei elde edili. (..5 ) Bağıntısından bu sistemdeki metik katsayılaı, g g g g 33 ( 4..3 ) şeklinde yazılaak f,f,f 3 değelei ise ( 3..4 ) bağıntısından, f f f3 ( 4..4 ) şeklinde hesap edili. olmak üzee Bu duumda ( 3..3 ) Helmotz Denklemi; α ( ) ( ) 3 ( ) ( 4..5 ) k, U Xx, U Yy, U Zz i 3 d du i i fi i + U φα ij j 0 fi du du j şeklini alı. Bu denklem ayıştıılısa; ( 4..6 )
64 dx ( α + α3 )X 0 4..7 dx dy dy ( ) ( ) + α Y 0 4..8 dz (k + α3 )Z 0 4..9 dz şeklinde üç denklem elde edili. Eğe α p veα q alınısa ( ) 3 dx (p q )X 0 4..7,( 4..8 ),( ) 4..9 denklemlei; ( ) dx + ( 4..0 ) dy py 0 dy + ( 4.. ) dz (k q )Z 0 dz + + ( 4.. ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; ( p + q ) x ( p + q ) x X A + B e e ( 4..3 ) ( py) ( py ) ( 4..4 ) Y A sin + B cos 3 3 Z A sin[( + ) ] + B cos[( + ) ] olaak bulunu. Eğe k q z k q z ( 4..5 ) α p ve α q alınısa ( ) 3 dx (p q )X 0 4..7,( 4..8 ),( ) 4..9 denklemlei: dx + + ( 4..6 ) dy py 0 dy ( 4..7 ) dz (k q )Z 0 dz + ( 4..8 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; X A sin[( + ) ] + B cos[( + ) ] Y A + B p q x k q x ( 4..9 ) py py e e ( 4..0 )
65 3 3 Z A sin[( ) ] + B cos[( ) ] olaak bulunu. Eğe α α3 0 dx dy 0 dx dy k q z k q z ( 4.. ) alınısa ( 4..7 ),( 4..8 ),( ) 4..9 denklemlei; ( 4.. ) dz kz 0 dx + ( 4..3 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; X A+ Bx ( 4..4 ) Y A + By ( 4..5 ) ( kz) ( kz ) ( 4..6 ) Z A sin + B cos olaak bulunu. 3 3 φ ; z den bağımsız ise ( 4..7 ),( 4..8 ),( 4..9 ) denklemlei, dx dx dy halini alı. α X 0 ( 4..7 ) dy (k α )Y 0 Eğe + + ( 4..8 ) α p alınısa ( 4..7 ) ve ( 4..8 ) denklemlei, dx px 0 dx ( 4..9 ) dy (p q )Y 0 dy + + ( 4..30 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; X A + B px px e e ( 4..3 ) Y A sin[( + ) ] + B cos[( + ) ] k p y k p y ( 4..3 ) dı. Eğe α p alınısa ( 4..7 ) ve ( 4..8 ) denklemlei
66 dx px 0 dx + ( 4..33 ) dy (k p )Y 0 dy + ( 4..34 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; ( px) ( px ) ( 4..35 ) X A sin + B cos Y A sin[( ) ] + B cos[( ) ] k p y k p y ( 4..36 ) Eğe α 0 alınısa ( 4..7 ) ve ( 4..8 ) denklemlei dx 0 dx ( 4..37 ) dy ky 0 dy + ( 4..38 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; X A+ Bx ( 4..39 ) Y A sin + B cos ky ky ( 4..40 ) dı. φ ; y ve z den bağımsız ise ( 4..7 ),( 4..8 ),( 4..9 ) denklemlei d φ dx + k φ 0 ( 4..4 ) şeklini alı. Bu denklemin çözümü ise; olaak bulunu. φ Asin + Bcos kx kx ( 4..4 )
67 4.. Daiesel Silindiik Koodinatlada Çözüm Bölüm 3 ( 3..7 ) bağıntısından bu koodinat sistemi için Stackel Matis ve deteminantı; 0 ρ S 0 0 0 [ ] şeklinde yazılı. ( 3..8 ) bağıntısından, M M M 3 ρ, S det[ S] ( 4.. ) kofaktölei elde edili. (..5 ) Bağıntısından bu sistemdeki metik katsayılaı, 33 g, g, g, g ( 4.. ) ρ ρ ( 4..3 ) olaak bulunu. f,f,f 3 değelei ise ( 3..4 ) bağıntısından, f f f3 ( 4..4 ) şeklinde elde edili. olmak üzee Bu duumda ( 3..3 ) Helmotz Denklemi; 3 α ( ρ) Ψ ( ψ ) ( ) ( 4..5 ) k U R U U Z z i 3 d du i i fi i + U Φ ijα j 0 fi du du j şeklini alı. ( 4..6 ) denklemi ayıştıılısa; ( 4..6 ) α + + α3 R 0 dρ ρ dρ ρ dr dr ( 4..7 ) d Ψ + α Ψ 0 ( 4..8 ) dψ dz dz ( α3 ) + k + Z 0 ( 4..9 ) şeklinde üç denklem elde edili.
68 Bu denklemlede eğe α p α q alınısa; ( ) 3 4..7,( 4..8 ),( 4..9 ) denklemlei, dr dr p + q R 0, + d ρ d ρ ( 4..0 ) d dψ Ψ + p Ψ 0 ( ) 4.. dz ( ) k q Z 0 dz + + ( 4.. ) şekline dönüşü. ( 4..0 ),( 4.. ), ( 4.. ) denklemlein çözümlei ise sıasıyla; ( ρ ) ( ρ ) ( 4..3 ) J iq J iq R A p + B p Ψ A sin p + B cos p ψ ψ ( 4..4 ) Z A 3sin( + ) + B3cos( + ) olaak bulunu. Eğe α p α q alınısa ( ) k q z k q z ( 4..5 ) 3 4..8,( 4..9 ),( ) 4..0 denklemlei, dr dr p + + q R 0 dρ ρ dρ ρ ( 4..6 ) d dψ Ψ + p Ψ 0 ( ) 4..7 dz ( k q ) Z 0 dz + ( 4..8 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; R A J ( q ) + B J ( q ) ρ ρ ( 4..9 ) p p Ψ A sin p + B cos p ψ ψ ( 4..0 ) Z A 3sin( ) + B3cos( ) olaak bulunu. Eğe α k q z k q z ( 4.. ) 0 α3 q alınısa ( ) 4..8,( 4..9 ),( ) 4..0 denklemlei,
69 dr + dr qr 0 dρ ρ dρ ( 4.. ) d Ψ 0 ( 4..3 ) dψ dz ( k q ) Z 0 dz + + ( 4..3 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; R A J ( iq ) + B Y ( iq ) ρ ρ ( 4..3 ) 0 0 Ψ A + Bψ ( 4..4 ) Z A 3sin( + ) + B3cos( + ) olaak bulunu. Eğe α α3 0 k q z k q z ( 4..5 ) alınısa ( 4..7 ),( 4..8 ),( ) 4..9 denklemlei, dr + dr 0 dρ ρ dρ ( 4..6 ) d Ψ 0 ( 4..7 ) dψ dz kz 0 dz + ( 4..8 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; R A+ Blnρ ( 4..9 ) Ψ A + Bψ ( 4..30 ) olaak bulunu. ( kz) ( kz ) ( 4..3 ) Z A sin + B cos 3 3 φ ; z den bağımsız ise ( 4..7 ),( 4..8 ), ( 4..9 ),denklemlei dr dr dρ ρ dρ ( α ρ ) + + k / R 0 ( 4..3 ) d Ψ + α Ψ 0 ( 4..33 ) dψ olaak bulunu.
70 Eğe α p alınısa ( 4..3 ), ( 4..33 ) denklemlei dr dr + + ( k p / ρ ) R 0 dρ ρ d ( 4..34 ) d dψ Ψ + p Ψ 0 ( ) 4..35 şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; elde edili. R A J ( x ) + B J ( x ) ρ p ρ ( 4..36 ) ( pψ ) B cos( pψ ) ( 4..37 ) p Ψ A sin + Eğe α 0 alınısa ( 4..3 ), ( 4..33 ) denklemlei dr + dr + kr 0 dρ ρ dρ ( 4..38 ) d Ψ 0 dψ şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; elde edili. R A J ( k ) + B Y ( k ) 0 0 ( 4..39 ) ρ ρ ( 4..40 ) Ψ A + Bψ ( 4..4 ) φ ; ψ den bağımsız ise ( 4..7 ) ( 4..8 ), ( 4..9 ),denklemlei dr dr dρ ρ dρ + α R 0 3 ( 4..4 ) dz olaak yazılı. dz (k α )Z 0 3 Eğe + + ( 4..43 ) α 3 q alınısa ( 4..4 ), ( 4..43 ) denklemlei; dr + dr qr 0 dρ ρ dρ ( 4..44 ) dz (k q )Z 0 dz + + ( 4..45 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla;
7 R A J ( iq ) + B Y ( iq ) ρ ρ ( 4..46 ) 0 0 ( ) ( ) / / Z Asin + + Bcos + olaak bulunu. Eğe k q z k q z ( 4..47 ) α 3 q alınısa ( 4..4 ), ( 4..43 ) denklemlei; dr + dr + qr 0 dρ ρ dρ ( 4..48 ) dz (k q )Z 0 dz + ( 4..49 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; R A J (q ) + BY (q ) ρ ρ ( 4..50 ) 0 0 ( ) ( ) / / Z Asin k q z+ Bcos k q z olaak yazılı. Eğe α 3 0 alınısa ( 4..4 ), ( 4..43 ) denklemlei; ( 4..5 ) dr + dr 0 dρ ρ dρ ( 4..5 ) dz kz 0 dz + ( 4..53 ) şeklini alı. Bu denklemlein çözümlei ise sıasıyla; R A + B ln ρ ( 4..54 ) Z A sin + B cos olaak bulunu. kz kz ( 4..53 ) φ ; ψ ve z den bağımsız ise ( 4..4 ), ( 4..43 ) denklemlei; d φ dφ + + k φ 0 dρ ρ dρ şeklini alı ve bu denklemin çözümü dı. 0 0 ( 4..54 ) φ A J ( kρ) + B Y ( kρ ) ( 4..53 )
7 4.3. Eliptik Silindiik Koodinatlada Çözüm deteminantı; [ ] Bölüm 3 ( 3..7 ) bağıntısından bu koodinat sistemi için Stackel Matis ve 0 a cosh η S 0 a cosh ψ 0 şeklinde yazılı. ( 3..8 ) bağıntısından M M M3 a (cosh η cos ψ ), S det[ S] a (cosh η cos ψ) ( 4.3. ) ( 4.3. ) kofaktölei elde edili. (..5 ) bağıntısından bu sistemdeki metik katsayılaı; g g S g33 g a (cosh η cos ψ) ( 4.3.3 ) olaak yazılı. f,f,f 3 değelei ise ( 3..4 ) bağıntısından yaalanılaak f f f3 ( 4.3.4 ) şeklinde bulunu. olmak üzee, ( 3..3 ) Helmotz Denklemi; 3 ( ) Ψ ( ) ( ) ( 4.3.5 ) α k, U H η, U ψ, U Zz i 3 d du i i fi i + U φα ij j 0 fi du du j şeklinde yazılı. Bu denklem ayıştıılısa; dh ( α a cosh )H 0 α3 η d ( 4.3.6 ) η + ( 4.3.7 ) d dψ Ψ + + Ψ ( 4.3.8 ) ( α α3a cos ψ) 0 dz (k α )Z 0 3 + + ( 4.3.9 ) dz şeklinde üç denklem elde edili. Eğe denklemlei; + alınısa, ( 4.3.7 ),( 4.3.8 ), ( 4.3.9 ) q α a /4 ve λ α α a / 3 3