YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II Araş. Gör. Murat SARI 1/35

I Giriş Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın bütünüyle ele alındığı problemler için geliştirilen karar modelleri ve bunların çözümleri "dinamik programlama" yöntemiyle incelenir. Dinamik programlamanın altında yatan temel prensip principle of optimality adında karar verme aşamasında geçmişte izlenen karar verme süreçlerinden etkilenmeyerek, gelecek adına en optimum ve en düzgün kararı verebilmeyi şart koşan prensiptir. 2/35

I Bir problem, dinamik programlama ile 2 yoldan çözülebilir. Bu yollar; İleriye yineleme (Forward recursion): sorunun başındaki en küçük birimden başlayarak sorunun tamamını çözmek Geriye yineleme (Backward recursion): sorunun çözümünün son noktasından başlayarak, başına doğru yol alarak çözmek Richard Bellman tarafından 1954 yılında keşfedilmiş bir yöntemdir ve bu konuda Bellman denklemi denilen algoritma da mevcuttur. 3/35

I Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler, gelecek dönem için önceden yapılan planları geçersiz kılabilir. Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da önceki plan güncelleştirilmelidir. Koşullar bir zaman sürecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi önemli ise, dinamik programlama modellerine gereksinim vardır. 4/35

I Teknik bilgi: Dinamik programlama, n değişkenli bir problemin optimum çözümünü problemi n aşamaya ayrıştırarak ve her aşamada tek değişkenli bir alt problemi çözerek belirler. Bunun hesaplama avantajı, n değişkenli alt problemler yerine tek değişkenli alt problemleri optimum kılacak olmamızdır. Dinamik programlamanın asıl katkısı, problemleri aşamalara ayrıştırmasının çerçevesini oluşturan optimumluk ilkesidir. Optimizasyon problemine bağlı olarak aşamaların yapısı farklılıklar gösterdiğinden, dinamik programlama her bir aşamayı optimum kılmak için gereken hesaplamaların ayrıntısını vermez. 5/35

I Dinamik Programlamanın Yinelenen Yapısı Dinamik programlamada hesaplamalar yinelenerek yapılır, bu bakımdan bir alt problemin optimum çözümü bir sonraki alt problemin girdisidir. Son alt problemi çözdüğümüzde, problemin tamamının optimum çözümüne ulaşmış oluruz. Yinelenen hesaplamaların uygulanma biçimi orijinal problemi nasıl ayrıştırdığımıza bağlıdır. Özellikle, alt problemler bazı ortak kısıtlarla normalde birbirleriyle ilişkilendirilmişlerdir. Bir alt problemden bir sonrakine ilerledikçe bu kısıtların uygunluğuna dikkat etmek zorunludur. 6/35

I Örnek 1: En Kısa Yol Problemi (Shortest Route Problem) İki il arasındaki en kısa otoyol bağlantısını seçmek istediğinizi varsayalım. Şekil l'deki şebeke 1. düğümdeki başlangıç iliyle 7. düğümdeki varılacak il arasındaki tüm olası yolları göstermektedir. Aradaki iller içerisinden geçen yollar 1. düğümle 7. düğüm arasındaki yollardır. Bu problemi 1. ve 7. düğümler arasındaki tüm yolları (burada beş yol bulunmaktadır) ayrıntılı olarak birer birer sayarak çözebiliriz. 7/35

I Ancak çok büyük bir şebekede bu yöntem hesaplama bakımından etkili olmayacaktır. Bu problemi dinamik programlamayla çözmek için problemi aşamalara ayırırız. Şekil 2'deki dikey (kesikli) çizgiler problemin üç aşamasını göstermektedir. 8/35

9/35

I Genel düşünce, bir aşamanın tüm son düğümlerine olan en kısa (kümülatif) uzaklıkları hesaplamak, sonra bu uzaklıkları bu aşamayı izleyen aşamada girdi olarak kullanmaktır. 1. aşamayla ilgili düğüm noktaları dikkate alınırsa, 2, 3 ve 4. düğümlerinin her birinin başlangıç düğümü olan 1. düğüme tek bir okla bağlandığını görebiliriz (bkz. Şekil 2). Böylece 1. aşama için elimizde şu bilgiler olur: 10/35

I 1. aşama sonuçlarının özeti 2. düğüme en kısa uzaklık= 7 km (1. düğümden) 3. düğüme en kısa uzaklık= 8 km (1. düğümden) 4. düğüme en kısa uzaklık= 5 km (1. düğümden) Daha sonra, 5. ve 6. düğümlere en kısa (kümülatif) uzaklıkları belirlemek için 2. Aşamaya geçeriz. Önce 5. düğümü ele alırsak, Şekil 2'den görüleceği gibi 5. düğüme ulaşmak için üç olası rota bulunmaktadır. Bunlar (2, 5), (3, 5) ve ( 4, 5)' tir. 11/35

I Bu bilgi, 2, 3 ve 4. düğümlere olan en kısa uzaklıklarla birlikte 5. Düğüme en kısa (kümülatif) uzaklığı aşağıdaki gibi belirler: ( i+1. düğüme en kısa uzaklık) = min i;2,3,4 {(i. düğüme en kısa uzaklık) + (i. düğümden i+1. düğüme olan uzaklık)} 12/35

I 13/35

I 14/35

I Sonuç 7. düğüme en kısa uzaklık= 21 km (5. düğümden) Yapılan bu hesaplamalar, 1. ve 7. düğüm arasındaki en kısa uzaklığın 21 km olduğunu göstermektedir. Optimum yolu veren iller aşağıdaki gibi belirlenir. 3. aşamanın sonuçlarına bakılarak 7. düğüm 5. düğüme bağlanır. Daha sonra 2. Aşamanın sonuçlarına bakılarak 5. düğüm 4. düğüme bağlanır. Son olarak 1. Aşamanın sonuçlarına bakılarak 4. düğüm 1. düğüme bağlanır. Böylece 1-4-5-7 yolu optimum yol olur. 15/35

I Şimdi dinamik programlamanın yinelenen hesaplamalarının matematik olarak nasıl ifade edileceğini göstereceğiz. f i (x i ): i. aşamada x i. düğüme en kısa uzaklık olsun, d(x i-1, x i ): x i-1. düğümden x i. düğüme olan uzaklık diye tanımlayalım. Bu durumda f i aşağıdaki yinelenen eşitlik yardımıyla f i-1 'den hesaplanır: f i (x i ) = min {d(x i-1, x i ) + f i-1 (x i-1 )}, i=1,2,3 tüm uygun yollar 16/35

I Optimumluk ilkesi Kalan aşamalar için gelecekteki kararlar, önceki aşamalarda benimsenen optimum politikaya bakılmaksızın oluşturulacaktır. Örnek 1'deki hesaplamalarda bu ilkenin yerine getirildiği açıkça görülmektedir. Örneğin 3. aşamada 5. ve 6. düğümlere en kısa uzaklık kullanılmış, bu düğüm noktalarına 1. düğüm noktasından nasıl ulaşıldığıyla ilgilenilmemiştir. 17/35

I Ödev: Örnek 1 i aşağıdaki yol uzunlukları kullanıldığını varsayarak tekrar çözün. d(1, 2) = 5 d(1, 3) = 9 d(1, 4) = 8 d(2, 5) = 10 d(2, 6) = 17 d(3, 5) = 4 d(3, 6) = 10 d(4, 5) = 9 d(4, 6) = 9 d(5, 7) = 8 d(6, 7) = 9 18/35

I İleriye ve Geriye Doğru Yineleme Örnek 1'de, hesaplamalar 1. aşamadan 3. aşamaya yapılarak ileriye doğru yineleme kullanılmıştır. Aynı örnek, 3. aşamadan başlayıp 1. aşamada bitecek şekilde geriye doğru yinelemeyle de çözülebilir. İleriye ve geriye doğru yineleme aynı sonucu verir. İleriye doğru yineleme daha mantıklı görünmekle birlikte, dinamik programlama literatürü değişmez bir biçimde geriye doğru yinelemeyi kullanmaktadır. Bu tercihin nedeni, geriye doğru yinelemenin hesaplama bakımından genelde daha etkili olmasıdır. 19/35

I Şimdi geriye doğru yinelemeyi Örnek 1'e uygulayarak göstereceğiz. Bu, dinamik programlama hesaplamalarının derli toplu bir biçimde sunulmasına da olanak verecektir. Örnek 1 için geriye doğru yineleme denklemi aşağıdaki gibi olacaktır; f i (x i ) = min{d(x i, x i+1 ) + f i+1 (x i+1 )}, i=1,2,3 tüm uygun yollar 20/35

I 3. aşama: 7. düğüm (x 4 = 7), 5. ve 6. (x 3 = 5 ve 6) düğümlere sadece birer yolla bağlandığından, seçim yapılacak alternatif yoktur ve 3. aşamanın sonuçları aşağıdaki gibi özetlenir: d (x 3, x 4 ) Optimum çözüm x 3 x 4 = 7 f 3 (x 3 ) x 4 * 5 9 9 7 6 6 6 7 21/35

I 2. aşama: 2. aşamada (2, 6) yolu uygun bir alternatif değildir çünkü böyle bir alternatif yoktur. d(x 2, x 3 ) + f 3 (x 3 ) Optimum çözüm x 2 x 3 = 5 x 3 = 6 f 2 (x 2 ) x 3 * 2 12 + 9 = 21-21 5 3 8 + 9 = 17 9 + 6 = 15 15 6 4 7 + 9 = 16 13 + 6 = 19 16 5 Eğer 2. veya 4. ildeyseniz en kısa yol 5. ilden geçen yoldur; 3. ildeyseniz en kısa yol 6. ilden geçen yoldur. 22/35

I 1. aşama: l. düğümden üç alternatif yolumuz vardır: (l, 2), (l, 3) ve (1, 4). f 2 (x 2 ) i kullanarak aşağıdaki tabloyu elde ederiz: d(x 1, x 2 ) + f 2 (x 2 ) Optimum çözüm x 1 x 2 = 2 x 2 = 3 x 2 = 4 f 1 (x 1 ) x 2 * 1 7+21=28 8+15=23 5+16=21 21 4 l. aşamadaki optimum çözüm 1. ilin 4. ile bağlandığını gösterir. 2. aşamadaki optimum çözüm ise 4. ilin 5. ile bağlandığını gösterir. 3. aşamadaki optimum çözüm 5. ilin 7. ile bağlandığını gösterir. Böylece optimum yollar 1-4-5-7 ile verilen yollardır ve bunun da uzaklığı 21 km dir. 23/35

I Genel özet: Her uygulamayı incelerken, dinamik programlama modelinin üç temel bileşenine özelikle dikkat gösterilmelidir; 1. Aşamaların tanımlanması 2. Her bir aşamada alternatiflerin tanımlanması 3. Her bir aşama için durumların tanımlanması Bu üç bileşen içinde, durumu tanımlamak en karmaşık ve zor olanıdır. İleride sunulan uygulamalar, modellenmekte olan koşula bağlı olarak durum tanımının değiştiğini 24/35 göstermektedir.

I Buna rağmen, uygulamaları incelerken aşağıdaki soruları dikkate almanız yerinde olacaktır: 1. Aşamaları birbirine bağlayan ilişki nedir? 2. Önceki aşamalarda verilen kararları yeniden gözden geçirmeden, içerisinde bulunulan aşamada uygun kararların verilmesi için gereken bilgi nedir? Size "daha mantıklı" gelen bir tanım deneyerek yineleme hesaplamalarında onu kullanabilirsiniz. Her ne olursa olsun, burada sözü edilen tanımların problemin çözümü için doğru yolu gösterdiğini siz de fark edeceksiniz. Bu arada, önerilen akıl yürütme süreci durum kavramını daha iyi anlamanızı sağlayacaktır. 25/35

I Kargo Yükleme Modeli Kargo yükleme problemi, sınırlı hacme veya ağırlık kapasitesine sahip bir gemiye kargoların yüklenmesiyle ilgilidir. Her yükün bir gelir düzeyi vardır. Amaç, gemi kapasitesini en çok geliri sağlayacak yükle doldurmaktır. Diğer taraftan, Kargo yükleme problemi, jet pilotunun uçağına alacağı en gerekli (acil) malzemeleri belirlemek zorunda olduğu uçuş çantası veya bir askerin (ya da yürüyüşçünün) çantasında taşıyacağı en gerekli eşyalara karar vermek zorunda olduğu sırt çantası problemi diye de bilinir. 26/35

I n farklı yük ve W kapasiteli (ton) gemi için, m i : kargoda i. yükten kaç birim olacağını göstersin ve her bir yükün getirisi ve hacmi sırasıyla r i ve w i olsun. Problemin genel formülasyonu aşağıdaki tam sayılı doğrusal programlama problemiyle gösterilir: Amaç fonk. Kısıtlar: Maks. Z = r 1 m 1 + r 2 m 2 +... + r n m n w 1 m 1 + w 2 m 2 +... + w n m n W m 1, m 2,..., m n 0 ve tamsayı 27/35

I Dinamik programlama açısından problemi incelediğimizde şu verilere ulaşırız. Modelin üç bileşeni vardır: 1. i. aşama: i yüküyle gösterilir. i=1, 2,..., n. 2. i. aşamadaki alternatifler: kargonun içinde bulunan i yükünün sayısı ile gösterilir. Bunun geliri r i m i 'dir. [W/w i ], W/w i 'den küçük veya ona eşit en büyük tamsayı olarak tanımlanır ve m i = 0,1,..., [W/w i ] olur. 3. i. aşamadaki durum: i, i + 1,..., ve n. aşamalara (yüklere) tahsis edilecek toplam ağırlık x i ile gösterilir. Bu tanım, ağırlık kısıtının bütün n aşamalarını birbirine bağlayan tek kısıt olması demektir. 28/35

I f i (x i ) = verilen x i durumu ve i, i + 1,..., n aşamaları için maksimum gelirler olsun. Geriye doğru yineleme denklemini belirlemek için en kolay yol iki adımlı prosedürdür. 1. adım: f i (x i ) yi, f i+1 (x i+1 ) in fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi tanımla f i (x i ) = maks {r i m i + f i+1 (x i+1 )}, i=l,2,...,n m i = 0, 1,..., W/w i x i =0,1,..., W 29/35

I 2. adım: x i+1, sol taraf f i (x i ) sadece x i 'nin bir fonksiyonu olacak şekilde x i fonksiyonu cinsinden tanımla. Bu formülasyon ile x i - x i+1 ifadesi, i, aşamada kullanılan (tüketilen) ağırlığı gösterecektir. Buradan; x i - x i+1 = w i m i veyahut x i+1 = x i - w i m i elde edilir. Böylece uygun yineleme denklemi aşağıdaki gibi oluşturulur. f i (x i ) = maks {r i m i + f i+1 (x i - w i m i )}, i = l, 2,..., n m i = 0, 1,..., W/w i x i =0, 1,..., W 30/35 Not: Burada f n+1 (x n+1 ) 0 dır.

I Örnek 2: 4 tonluk bir gemi üç farklı yükü taşıyabilmektedir. Aşağıdaki tablo, i. kalem için ton cinsinden birim ağırlık w i ' yi ve 1000 pb olarak birim gelir r i 'yi vermektedir. Toplam geliri maksimum kılmak için gemi nasıl yüklenmelidir? i. yük w i r i 1 2 31 2 3 47 3 1 14 Birim ağırlık w i ve maksimum ağırlık W tam sayılı değerler olarak varsayıldığından, x i durumunun da sadece tam sayılı değerler alacağı varsayılabilir. 31/35

I 3. Aşama Aşağıdaki tablo x 3 'ün her bir değeri için uygun alternatifleri karşılaştırmaktadır: f 3 (x 3 ) = maks{14m 3 }, maks m 3 = [4/1] = 4 14m 3 Optimum çözüm x 3 m 3 =0 m 3 =1 m 3 =2 m 3 =3 m 3 =4 f 3 (x 3 ) m 3 * 0 0 - - - - 0 0 1 0 14 - - - 14 1 2 0 14 28 - - 28 2 3 0 14 28 42-42 3 4 0 14 28 42 56 56 4 32/35

I 2. aşama: f 2 (x 2 ) = maks{47m 2 + f 3 (x 2-3m 2 )}, maks m 2 = [4/3]=1 47m 2 + f 3 (x 2-3m 2 ) Optimum çözüm x 2 m 2 =0 m 2 =1 f 2 (x 2 ) m 2 * 0 0 + 0 = 0-0 0 1 0 + 14 = 14-14 0 2 0 + 28 = 28-28 0 3 0 + 42 = 42 47 + 0 = 47 47 1 4 0 + 56 = 56 47 + 14 = 61 61 1 33/35

I 1. aşama: f 1 (x 1 ) = maks{31m 1 + f 2 (x 1-2m 1 )}, maks m 1 = [4/2] =2 31m 1 + f 2 (x 1-2m 1 ) Optimum çözüm x 1 m 1 =0 m 1 =1 m 1 =2 f 1 (x 1 ) m 1 * 0 0 + 0 = 0 - - 0 0 1 0 + 14 = 14 - - 14 0 2 0 + 28 = 28 31 + 0 = 31-31 1 3 0 + 47 = 47 31 + 14 = 45-47 0 4 0 + 61 = 61 31 + 28 = 59 62 + 0= 62 62 2 34/35

I Optimum çözüm şu şekilde belirlenir: W = 4 olduğu bilindiğinden, 3. aşamada x 1 = 4, optimum alternatifi m 1 *= 2 olarak verir ve bu, 1. yükten gemiye 2 birim yüklenmesi gerektiğini belirtir. Bu durumda x 2 = x 1-2m 1 * = 4-2*2= 0 olur. 2. aşamada ise x 2 =0 olduğunda m 2 * = 0'dır. Buna göre x 3 = x 2 3m 2 *= 0 3*0 = 0 bulunur. Sıradaki aşama olan 1. aşamada x 3 = 0 olduğunda m 3 * = 0 olur. Böylece kesin optimum çözüm m 1 * = 2, m 2 * = 0, m 3 * = 0 olarak belirlenir, çözümün geliri 62000 pb' dir. 35/35

I Ödev: Örnek 2'de gemi kapasitesinin maksimum 8 ton olduğunu varsayarak optimum çözümünü bulun. 36/35

I Referanslar Taha, H.A. Yöneylem araştırması (Baray Ş.A. ve Esnaf Ş. 6.Basımdan çeviri) 2005 Literatür Yayıncılık, İstanbul http://en.wikipedia.org/wiki/dynamic_programming http://www.itusozluk.com/goster.php/dinamik+programl ama 37/35