3. BOOLE CEBRĐ B Z 1854 yılınd mtemtikçi ve filozof George Boole, mntığın sistemtik olrk inelenmesi için şimdi Boole eri dediğimiz ir eir sistemi geliştirdi. Sonr 1938 yılınd C. E. Shnnon, nhtrlm eri denilen iki-değerlikli ir Boole eri geliştirdi; iki krrlı elektrik nhtrlm devrelerinin u eirle temsil edileileeğini gösterdi. Boole erinin içimsel tnımı için E. V. Huntingon trfındn 194 yılınd formüle edilen önermeleri kullnğız. Bu önermeler vey ksiyomlr, Boole erinin tnımlnmsınd kullnıln tek önermeler değildir. Bşk önerme kümeleri de kullnılmıştır. Boole eri; Huntington önermelerinin yerine getirilmesi koşuluyl ir Bdoğru,ynlış elemnlrı kümesi üzerinde VE ND, VEY OR ve DEĞĐL NOT, vey olmk üzere ikili işlemilerle tnımlnn ir eir ypısıdır. Şekil 3-1 VE işleminin nhtr devrelerindeki krşılığı nhtrlrın durumu, kplıys Doğru 1, çıks Ynlış lınır. ve B nhtrlrının irleşimleri ir tlo şeklinde gösterileilir. Tlo 3-1 VEND işlemi, semolü { } B Z 1 1 1 1 1 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-2 B Z Z Şekil 3-2 VEY işleminin nhtr devrelerindeki krşılığı Tlo 3-2 VEYOR işlemi, semolü { } B Z 1 1 1 1 1 1 1 Şekil 3-3 DEĞĐL işleminin nhtr devrelerindeki krşılığı Tlo 3-3 DEĞĐLNOT işlemi, semolü { } vey { } Z 1 1 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-3 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-4
DEĞĐL işlemi VE işleminden dh öneliklidir. VE işlemi ise VEY işleminden dh öneliklidir. B C Z 3.1. üme vrmı üme, en z ir ortk özelliği ulunn elemnlr topluluğun denir. ümeler üzerindeki işlemler ynı zmnd Boole Ceri nin işlemlerini de gerçekler. ümelerin kesişim, irleşim ve tümleme işlemleri; Boole Ceri nde sırsıyl VE, VEY ve DEĞĐL işlemlerine ireir krşılık düşer. 3.1.1. ümeler Cerinde esişim Boole eri ifdelerinin içindeki değişkenlerin ütün olsılıklrın krşılık ldığı değerlerin gösterildiği tloy doğruluk tlosu dı verilir. Bu d, semolik mntıksl işlemlerde değişkenler için kullnıln doğru ve ynlış durumlrı nedeniyle verilmiştir. Tlo 3-4 ZBC Đşlemi için doğruluk tlosu C B BC Z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-5 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-6 3.1.2. ümeler Cerinde Birleşim 3.1.3. ümeler Cerinde Tümleme 3.1.4. ümeler Cerinde Diğer Đşlemler ümeler erinde, kümesinin elemnlrıyl u kümenin tümleyeninin oluşturduğu elemnlrın irleşiminden oluşn küme Evrensel üme olrk dlndırılır ve 1 ile gösterilir. 1 Bir kümeye it oln elemnlrl o küme dışındki elemnlrın irleşimi yine evrensel kümeyi tnımlr. Bir kümeyle, ynı kümenin tümleyeninin kesişimi Boş üme olrk dlndırılır ve ile gösterilir. Evrensel küme ütün elemnlrdn oluştuğu için, u kümeyle herhngi ir kümenin irleşimi yine evrensel kümedir. 1 1 Evrensel kümenin herhngi ir kümeyle kesişimi ise yine ynı o kümedir. 1 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-7 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-8
3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-9 Boş kümenin hiçir elemnı olmdığı için, u kümeyle herhngi ir kümenin irleşimi yine ynı o evrensel kümedir. Boş kümenin herhngi ir kümeyle kesişimi ise yine oş kümedir. 3.2. Boole Cerinin ksiyom ve Teoremleri Boole eri kullnılrk ypıln işlemlerde doğru olrk kul edilen ksiyom ve doğruluğu isptlnilen teorem önermeler olmk üzere iki temel kurl dizisi vrdır. 3.2.1. Boole Cerinin ksiyomlrı ve 1 ikilisinden oluşn ir kümeye ve Đşlemleri uygulndığınd Her ir değişken, y d 1 değerinden sdee irini lilir. {,1} 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-1 Boole Cerinin ksiyomlrı 1 Değişken değerini lmıyors, değeri 1 olur. 1 Değişken 1 değerini lmıyors, değeri olur. 1 2 Biririne VEY işlemiyle ğlı oln iki önermenin ikisi doğru ise irleşik önerme doğrudur. 1 1 1 Biririne VE işlemiyle ğlı oln iki önermenin ikisi ynlış ise irleşik önerme ynlıştır. 3 Biririne VEY işlemiyle ğlı oln iki önermenin ikisi ynlış ise irleşik önerme ynlıştır. Biririne VE işlemiyle ğlı oln iki önermenin ikisi doğru ise irleşik önerme doğrudur. 1 1 1 4 Biririne VEY işlemiyle ğlı oln iki önermenin iri doğru, diğeri ynlış ise irleşik önerme doğrudur. 1 1 Biririne VE işlemiyle ğlı oln iki önermenin iri doğru, diğeri ynlış ise irleşik önerme ynlıştır. 1 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-11 3.2.2. Boole Cerinin Ys ve Teoremleri Temel Teoremler: 1 Etkisizlik Özelliği 1 2 Yutn Sit Özelliği 1 1 3 Değişkende Fzllık Yssı 4 Đşlemde Fzllık Yssı 5 Tümleme Yssı 1 6 Değişme Yssı 7 Birleşme Yssı 8 Dğılm Yssı 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-12 Bsitleştirme Teoremleri: 9 1 11 12 DeMorgn Yslrı Diğer Teoremler: 13 Çift ifdeler Dulity D D 14 Çrpımlrın Toplmı ve Toplmlrın Çrpımı 15 Fikir irliği Teoremi
Çift ifde Dulity Özelliği: Bir Boole ifdesinde kullnıln değişkenler ve tümleyenleri ynı klmk şrtıyl VE işlemi yerine VEY, VEY işlemi yerine VE işlemi, değeri yerine 1, 1 değeri yerine yerleştirildiğinde elde edilen ifdeye ifdenin çifti dı verilir.,,,d,e değişkenlerini içeren F d 1e ifdesi ve u ifdenin çifti oln F D 1d e ifdesi Çift ifde özelliği kullnılrk şğıd gösterilmiştir. F 1 d e Çrpımlrın Toplmı x x F D 1 d e Toplmlrın Çrpımı: y y Örnek 5.1. Bu örnekte, dğılm özelliğinin doğruluk tlosu ile gerçeklenen isptı verilmiştir. Bu mçl,, değişkenlerine krşılık ifdesinin sol trfın ilişkin ifdeler yzılır ve her iki trfın iririne eşit olduğu ifde edilir. Tlo-5.9. işlemine ilişkin Doğruluk Tlosu 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Örnek: diğer gösterimle diğer gösterimle 1 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-13 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-14 Örnek 5.2. Bu örnekte, dğılm özelliğinin Venn diygrmlrı ile gerçeklenen isptı verilmiştir. Bu mçl,, kümelerinden türetilen ve ifdelerinin Venn diygrmlrındki krşılıklrı verilerek her iki diygrmın iririne eşit olduğu görülür. Örnek 5.3. Bu örnekte, şeklinde verilen ifdenin doğruluğu Boole Ceri ksiyom ve özellikleri kullnılrk isptlnmıştır. 1 1 Örnek 5.6. Bu örnekte, Fikir irliği Teoreminin şeklinde verilen ifdesinin doğruluğu Boole Ceri ksiyom ve özellikleri kullnılrk isptlnmıştır. Bu mçl, ifdenin sol trfındki terimi ile çrpılırs ifdenin değeri değişmez, nk u işlem ifdelerde ortk ileşenler oluşturur. Bu durumd, 1 1 1 1 Örnek: Bsitleştirme teoremlerinde verilen zı ifdelerin doğruluğu Boole Ceri ksiyom ve özellikleri kullnılrk isptlnmıştır. 1 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-15 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-16
3.3. Boole Ceri Fonksiyonlrı ve Stndrt Biçimleri x 1, x 2,,x n değişkenlerine ve sitlere, Boole Cerinin VE, VEY ile DEĞĐL işlemleri uygulnrk elde edilen n-değişkenli ir f fonksiyonun Boole Fonksiyonu denir. Boole Fonksiyonlrını oluşturn her ir teriminde, değişkenlerin tmmının kendisi vey tümleyeninin olmsı gereken şekline fonksiyonun nonik içimi denir. Boole Fonksiyonlrının, Minimum Terimler nonik Biçimi ve Mksimum Terimler nonik Biçimi olmk üzere iki temel içimi ulunmktdır. Bu içimler doğruluk tlosundn doğrudn elde edileilen ifdelerdir ve Boole fonksiyonunun indirgenmiş, en ylın ifdeleri değildir. 3.3.1. Minimum ve Mksimum Terimler Tlo. Đki değişkenli Boole Fonksiyonu için Minimum ve Mksimum terimler Minterm semolik Mksterm semolik m M 1 m 1 M 1 1 m 2 M 2 1 1 m 3 M 3 Tlo. Üç değişkenli Boole Fonksiyonu için Minimum ve Mksimum terimler Minterm semolik Mksterm semolik m M 1 m 1 M 1 1 m 2 M 2 1 1 m 3 M 3 1 m 4 M 4 1 1 m 5 M 5 1 1 m 6 M 6 1 1 1 m 7 M 7 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-17 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-18 3.3.2. Minimum Terimlerin nonik Biçimi Minimum terimlerin toplmındn oluşn ifdeye Minimum Terimler nonik Biçimi dı verilir. Bu ifdede yer ln terimler çrpımlrdn oluştuğu için Minimum Terimler nonik Biçimine, Çrpımlrın Toplmı nonik Biçimi dı d verilir. Minimum Terimler nonik Biçimi semolik olrk m i şeklinde gösterileildiğinden, ir Boole fonksiyonun ilişkin Minimum Terimler mtemtiksel ifdeyle Σ m i şeklinde gösterilir. Prtikte ise kıs m i deki terim numrsıyl Σ i şeklinde de gösterilir. 3.3.3. Mksimum Terimlerin nonik Biçimi Mksimum terimlerin çrpımındn oluşn ifdeye Mksimum Terimler nonik Biçimi dı verilir. Bu ifdede yer ln terimler toplmlrdn oluştuğu için Mksimum Terimler nonik Biçimine, Toplmlrın Çrpımı nonik Biçimi dı d verilir. Mksimum Terimler nonik Biçimi semolik olrk M i şeklinde gösterileildiğinden, ir Boole fonksiyonun ilişkin Mksimum Terimler mtemtiksel ifdeyle Π M i şeklinde gösterilir. Prtikte ise kıs M i deki terim numrsıyl Π i şeklinde de gösterilir. 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-19 3.3.4. Doğruluk Tlosundn nonik Biçimlerin Bulunmsı Verilen ir lojik fonksiyond değişkenlerin ldıklrı değerler yerine koyulrk doğruluk tlosu elde edilir ve urdn minimum vey mksimum terimler knonik içimi oluşturulilir. Doğruluk tlosund 1 değerini lnlr toplnrk VEY Minimum Terimler nonik Biçimi, değerini lnlr çrpılrk VE Mksimum Terimler nonik Biçimi elde edilir. Örnek 5.14. f,, Minterm Mksterm 1-1 1-1 - 1 1-1 1-1 1 1-1 1-1 1 1 - minimum terimler f,, mksimum terimler f,, 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-2
Örnek 5.8. Bu örnekte, F şeklinde verilen ifdenin Minimum Terimler nonik Biçimi elde edileektir. Bu mçl VEY işleminin doğruluk tlosundn yrrlnılır. Tlo. F Boole Fonksiyonu için doğruluk tlosu ve minimum terimler semolik F Minterm m 1 1 m 1 1 1 m 2 1 1 1 m 3 Minimum Terimler nonik Biçimine ilişkin ifde yzılırken, fonksiyonu 1 ypn minimum terimler lınır ve u terimlerin toplmı Minimum Terimler nonik Biçimini oluşturur. F m 1 m 2 m 3 1,2,3 Örnek 5.9. Bu örnekte, f,, şeklinde verilen fonksiyonun Minimum Terimler nonik Biçimi elde edileektir. Bu mçl Shnnon teoremi yzılrk, f,, f,, f,,1 f,1, f,1,1 f 1,, f1,,1 f1,1, f1,1,1 fonksiyonu göz önüne lınır. Bu fonksiyondki her ir f değeri şğıdki gii elirlenir. f,, 1 f,,1 11 1 1 f,1, 1 1 f,1,1 1 11 1 1 f1,, 1 f1,,1 1 1 f1,1, 11 1 1 f1,1,1 11 1 1 1 f,, fonksiyonund, değeri 1 oln f değerleri oln lınır ve u terimlerin toplmı Minimum Terimler nonik Biçimini oluşturur. f,, m1 m3 m6 m7 1,3,6,7 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-21 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-22 Örnek 5.1. Bu örnekte, F şeklinde verilen ifdenin Mksimum Terimler nonik Biçimi elde edileektir. Bu mçl VE işleminin doğruluk tlosundn yrrlnılır. Tlo. Đki değişkenli Boole Fonksiyonu için Minimum ve Mksimum terimler F Mksterm semolik M 1 M 1 1 M 2 1 1 1 M 3 Mksimum Terimler nonik Biçimine ilişkin ifde yzılırken, fonksiyonu ypn Mksimum terimler lınır ve u terimlerin toplmı Mksimum Terimler nonik Biçimini oluşturur. F M M 1 M 2,1,2 Örnek 5.11. Bu örnekte, f,, şeklinde verilen fonksiyonun Mksimum Terimler nonik Biçimi elde edileektir. Bu mçl Shnnon teoremi yzılrk, f,, [ f,,] [ f,,1] [ f,1,] [ f,1,1] [ f1,,] [ f1,,1] [ f1,1,] [ f1,1,1] fonksiyonu göz önüne lınır. Bu fonksiyondki her ir f değeri şğıdki gii elirlenir. f,, 1 f,,1 11 1 1 f,1, 1 1 f,1,1 1 11 1 1 f1,, 1 f1,,1 1 1 f1,1, 11 1 1 f1,1,1 11 1 1 1 f,, fonksiyonund, değeri oln f değerleri oln lınır ve u terimlerin çrpımı Mksimum Terimler nonik Biçimini oluşturur. f,, [ ] [ ] [ ] [ ] MM2M4M 5,2,4,5 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-23 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-24
3.3.5. nonik Biçimler rsındki Dönüşüm Minimum Terimler nonik Biçimi verilen ir ifdenin Mksimum Terimler nonik Biçimini ulmk vey unun tersini gerçekleştirmek mümkündür. Bu dönüşüm işlemi, DeMorgn yssı kullnılrk fonksiyonun tümleyeni elde edilerek gerçekleştirilir. Örnek 5.12. Bu örnekte, f,, 1,3,5,7 şeklinde Minimum Terimler nonik Biçimi verilen fonksiyonun Mksimum Terimler nonik Biçimi elde edileektir. Bu mçl önelikle terimlerin tümleyeni oln fonksiyonu yzılır. f,,,2,4,6 m m2 m4 m6 Bu ifde, De Morgn urlı kullnılrk frklı ir şekilde yzılilir. f m m2 m4 m6 mm2m4m6 Minimum terimlerin tümleyeni yerine Mksimum Terimler yzılır. f m m2m4m6 MM2M4M,2,4,6 6 Bu şekilde Mksimum Terimler nonik Biçimi elde edilir. Minimum Terimler ile Mksimum Terimler rsındki dönüşüm, m i Mi şeklinde gösterileilir. 3.4. Lojik pı Semolleri Boole işlemlerini grfik olrk göstermek için NSI merikn Ulusl Stndrtlrı Enstitüsü, merin Ntionl Stndrds Institute, IEC Uluslrrsı Elektroteknik omisyon, Interntionl Eletrotehnil Commission ve DIN lmn Stndrtlrı Enstitüsü olmk üzere değişik stndrtlr kullnılır. Temel lojik kpılrın grfik semolleri pı NSI IEC DIN Tmpon Buffer DEĞĐL NOT VE ND VEY OR 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-25 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-26 Diğer lojik kpılrın grfik semolleri pı NSI IEC DIN VEDEĞĐL NND VEYDEĞĐL NOR ÖZEL VEY XOR VEDEĞĐL NND pısı, F B VEYDEĞĐL NOR, F B ÖZEL VEYDEĞĐL XNOR 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-27 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-28
ÖZEL VEY XOR, F B Özel vey işlemi, semolü { } şğıd verilen şekilde tnımlnmıştır. ÖZEL VEYDEĞĐL XNOR, F B B Z B 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 B Z B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-29 Pozitif ve Negtif Lojik: Boole erindeki lojik ve 1 e krşılık fiziksel ortmd gerçek kpı devreleri giriş ve çıkışlrı elirli gerilim seviyeleri olur. Bu gerilim seviyelerine ğlı olrk pozitif lojik ve negtif lojik şğıd verilen şekilde tnımlnmıştır. V V Pozitif Lojik: Lojik 1 Yüksek Seviye H, High level, V gerilimine ykın. Lojik Düşük Seviye L, Low level, toprk V gerilimine ykın. Negtif Lojik: Lojik 1 Düşük Seviye L, Low level, toprk V gerilimine ykın. Lojik Yüksek Seviye H, High level, V gerilimine ykın. 3. Boole Ceri, Lojik Devre Temelleri, Y.Doç.Dr.Tuny UZUN 3-3