BÖLÜM. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKÖR VE MRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusl regresyo tek değşkel bst model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm de se çok değşkel (k değşkel) model ç grş ypılcktır. Çok değşkel modelde değşke syısı prlel olrk thmlemes gereke prmetre syısı d rtmktdır. Buu soucu olrk şlemler ç bzı hesplm zorluklrı orty çıkmktdır. İşte bu hesplm zorluklrıı gdereblmek mcı le ktbı bu bölümüde tbre mtrs ve vektör şlemler kullılcktır. Doğl olrk regresyo lzde kullılck ol bu mtrs ve vektör şlemler tıtılmsı fydlı olcktır. Ktbı bu bölümüü mcı temel doğrusl cebr koulrıı sdece regresyo kpsmıd ele lmktır. yrc Bölüm 5 de verlecek ol regresyo geometrs kısmı temel oluşturmk üzere bu kısımd vektör geometrs celeecektr. Bu edele temel teoremler bzılrı sptsız olrk verlecektr. Bu ktpt mtrsler büyük koyu hrf le vektörler se küçük koyu hrf le gösterlecektr.. VEKÖRLER Br boyutlu öklt (Euclde) uzyıdk gerçel syılr kümes le gösterlr. m-boyutlu öklt uzyı m se her br br kümes tımly m det küme krtezye (Ctes), m çrpımı le tımlır. m m uzyıdk br elem br vektör olrk dldırılır. Bu vektördek değerler vektörü elemlrı m se vektörü boyutu olrk dldırılır. Dğer br fde le m elemlı br vektör düzelemş m det gerçel syıd oluşmuştur. Dereces m ol vektörler skler olrk dldırılırlr. Bulr geellkle br boyutlu değşkelerdr. ım. Uzuluk l hcm yoğuluk kütle gb cebrsel değerlere skler büyüklük der. ım. Hreket hız kuvvet gb hem yöü hem büyüklüğü ol değerlerlere vektörel büyüklük der. Vektör lz hem cebrsel hem de geometrk olrk uygulblr. Her k bkış çısı d öemldr. Eğer elemı belrl br ülkedek belrl br yıld -c le gelr fde edyors m vektörüü uzyıdk br okt olrk düşümek oldukç mtıklıdır. Buul brlkte kuvvet ve vme gb değerler ele lıdığıd her ks de hem büyüklük hem de yö değerlere shp olduğu görüleblr. Bu değerler orjde yyıl oklrl fde etmek e uygu yoldur. İlk bkış çısı cebrsel kcs se geometrktr.
.. Vektör İşlemler Vektörlere uygul k temel şlem, vektörel toplm ve skler çrpımdır. yı boyut shp ve y gb k vektörü toplmı +y olup yı boyutlu br vektörü, + y + y (.) m + y m tımlr. Br vektörüü br λ skler le çrpımı, λ λ (.) λ m olup λ çrpımı d yı soucu verr. Bu cebrsel tımlrı geometrk gösterm Şekl. ve Şekl. de verlmştr. İk vektörü toplmı +y, vektörler le orj tımldığı prlel kerı köşege olrk elde edlr. İk elemlı br vektör, şeklde tımlblr. Bu vektör Şekl (.) de olduğu gb yölü br doğru prçsı le gösterleblr. Doğru prçsı, orjde bşlyıp, (,) oktsıd bter. Ok se vektörü yöüü belrtr. Br bşk vektörü se, y şeklde verleblr. Bu k vektör geometrk olrk şğıd belrtldğ şeklde toplblr: İk vektörde herhg br orj dkkte lırk çzlr (şeklde lk çzle vektörüdür). Dh sor dğer vektör lk vektörü btm koordtıd tbre (bu btm oktsı kc vektör ç orj olrk kbul edleblr) çzlr. Şeklde vrıl okt p dr. İlk vektörü bşlgıç oktsı le bu p oktsıı brleştre doğru prçsı +y vektörüü verr. Elde edle bu vektörü koordtlrı (,) dür. +y vektörü ve y vektörler geometrk olrk toplmsı le elde edlr. Eğer bu k vektör cebrsel olrk toplırs, + y + soucu elde edlr. Görüldüğü gb hem geometrk hem de cebrsel olrk tmme yı souçlr elde edlmştr. Şeklde görüldüğü gb lk olrk y vektörü çzlseyd de yı okty (p ye) vrılck ve souç değşmeyecekt. Vektörel çıkrm se Şekl. ve. de gösterlmştr.
Şekl. Vektörel toplm şlem Şekl. Vektörel çıkrm Şekl. de (+y) vektörel toplmıı, ve y vektörlerde oluşturulmuş prlel kerı br köşege, (-y) frkıı se prlel kerı dğer br köşege olduğu görülmektedr. Şekl. Vektörel toplm ve çıkrmı krşılştırılmsı: oplm okuu tkp ede y okuu ucuu bşlgıcı le brleştre köşegedr. Çıkrm se y oktsıd oktsı oluşturul köşege le tımlır.
Vektörü skler le çrpımıd vektördek her br elem λ skler le çrpılır ve büyüklükler değşr. Eğer λ> se yö yı klır, λ< se vektör zıt yödedr. Eğer her hg br λ skler ç yλ se y d y vey se ve y vektörler rsıd doğrusl bğltı (coller) vrdır. Şmd br vektörü br sklerle çrpımı ele lısı. Bu durum br örek olrk vektörü le çrpılmış ve 6 soucu elde edlmştr. Elde edle bu vektörü yöü vektörü le tmme yıdır. rdk frk se elde edle vektörü uzuluğuu vektörüü k ktı olmsıdır. Bu skler egtf br syıd olblr. Elde edle bu k vektör orjl vektörü le brlkte Şekl. de gösterlmştr. Şeklde görüldüğü gb bu üç vektörü hepsde orjde geçe br tek doğru prçsı üzerdedr ve bu doğru prçsı d vektörü le tımlmıştır. Vektörler toplmsı ve br sklerle çrpılmsı şlemler brlkte ele lımsı soucud ve vektörler doğrusl kombsyou ol herhg br k elemlı vektör elde edleblr. Elde edle bu y vektörü, y λ + λ (.) şeklde fde edleblr. Bu eştlktek λ ve λ sklerler temsl etmektedr. Eğer y vektörü, y şeklde tımlmış se bu vektör ve vektörler doğrusl br kombsyou olrk, y 5 5 fde edleblr. Bu eştlkte λ /5 ve λ -/5 dr. Bu değerler şğıdk şeklde, deklem çft eşlı olrk çözülmes le elde edleblr. λ + λ λ + λ λ + λ
Şekl. Br vektörü sklerle çrpımı Br bşk örek ç y vektörü, 6 y olrk verlmş olsu. Bu durumd ve vektörler doğrusl br kombsyou olrk, y + şeklde fde edleblr. Bu eştlkte λ ve λ dır. Bu örekler dh d rttırılblr. Bu verleler dkkte lırk br vektör uzyıı tımı ypılblr. Vektör uzyı şğıd verle özellklere shp vektörler brry gelmes le oluşur. ) Eğer v ve v yı vektör uzyıdk k vektör se, v +v de yı vektör uzyıddır. ) Eğer v bu vektör uzyıd ve λ br skler sbtse, λv de yı vektör uzyıddır. Bu özellklerde görüldüğü gb toplm ve br sklerle çrpm şlemler soucud elde edle vektör ye yı vektör uzyıddır. Vektörler bst cebrsel şlemler ve bu şlemler geometrk yorumlrı blo. de verlmştr. blo. Vektörler cebrsel ve geometrk krşılştırılmsı Cebrsel şlem Geometrk Yorumu Poztf br sklerle çrpım (,)(6,) Uzuluk değşr. (Şekl.) Negtf br sklerle çrpım -(,)(-,-) Yö değşr. (Şekl.) oplm (,)+(,)(,) ve y oklrı brbr tkp edecek şeklde ekler. Oluşturul prlel kerı köşege toplm vektörü belrtr.(şekl.) Çıkrm (,)-(,)(,-) +(-y) toplmı eşttr. Oluşturul prlel kerı dğer köşege frk vektörüü belrtr. (Şekl. ve.) 5
m det sırd oluş vektör sütu vektörüdür. Öreğ, vektörü br sütu vektörüdür. 7 6 det sütud oluş vektör se sır vektörüdür. vektörü örek olrk verleblr. [ ] 5 Br sütu vektörüü sır vektörü olrk fdes o vektörü trspozu (evrğ) olrk dldırılır ve le gösterlr. Yukrıdk tımd lşılcğı gb br sütu vektörüü trspozu, 7 6 [ ] 7 6 şeklde br sır vektörü, br sır vektörüü trspozu d, y [ 5] y 5 şeklde br sütu vektörü oluşturur. yı boyutlu m k gerçel vektör ve y öeml br skler foksyou okt (dot) çrpımdır, y y m m m m y m ( ) y + y + + y y c m y m m m m m m, y y y y. (.) Bu çrpım ç (er) çrpım olrk d dldırılır. Elde edle souç değer c br sklerdr. Psgor teorem le br vektörü uzuluğu vey ormu, br vektörü kedsyle okt çrpımıı + + (.5) kre kökü olup vektörü uzuluğu sembolü le gösterlr Bu şlem kullılrk vektörü uzuluğu (ormu),, (.6) olrk elde edlr. Vektörü ormu geometrk br özellğ temsl eder. Vektörler okt çrpımı k boyutlu uzyd vektörü kresel uzuluğu olrk düşüüleblr, Şekl.5 de bu durum Psgor teoremyle çıklmıştır. Öreğ (,) vektörüü kresel uzuluğu 6
+ + şeklde olup uzuluğu dur. Şekl.5 Vektörler kresel uzuluklrı ve Psgor teoremyle lşks )İk boyutlu, b)üç boyutlu Her hg br vektörü se brm uzulukt (ormlze) vektör olrk dldırılır. Sıfırd frklı her hg br * vektörü, * * (.7) uygulrk ormlze edlr. Vektör ormu le lgl öeml br eştszlk, y y (.8) Cuchy-Schwrz eştszlğdr. Bu eştszlk k vektörü toplmıı kresel uzuluğu ç de, + y + y, + y, + y, + y, y ( ) + y + y + y (.9) elde edleblr. İk vetör ve y ç, y, y (.) se ortogoldrler. Eştlk (.) d k vektörü okt çrpımlrıı sıfır olmsı durumud bu k vektörü brbre ortogol olduğu belrtlmşt. Ortogollk vektör uzuluklrı dkkte lırk d fde edleblr. Şekl.6 d görüldüğü gb, eğer (+y) uzuluğu (-y) uzuluğu eşt se le y vektörler brbre ortogoldr: + y y ( + y) ( + y) ( y) ( y) 7
+ y + y y y + y y y Souç olrk ortogollk özellğ sğlblmes ç eştlk (.) u sğlmsı gerektğ görülmektedr. Şekl.6 Bu şekller herhg br boyut ç de geçerldr. ) ve ortogol b) ve ortogol değl. Eğer ve y vektörler brbre ortogol se eştszlk (.9) eştlk durumuu tımlyrk Psgor deklem verr: + y + y, + y, + y, + y, y, + yy, + y (.) Ortogollk özellğe ek olrk eğer y se bu k vektör ortormldr. Br m-boyutlu öklt uzyıı bzıı oluştur brm vektörler, e e e m le tımlıp ortormldrler. Doğrusl bğımsız vektörler frklı yölerde olduklrı ç bu vektörler rsıdk çıd sıfırd frklıdır. Bu çı vektör elemlrı göre fde edleblr. Sıfırd frklı k vektör ve y rsıdk çıyı belrlemek ç Şekl.7 dek OB üçge dkkte lısı. Şeklde görüldüğü gb y ve -y vektörler bulublr. -y vektörüü uzuluğu B rsıdk uzklığ eşttr. Kosüs kurlı, c + b bcosθ 8
kullılrk, y + y y cosθ (.) ve bu fde bstleştrlerek, y y cosθ ve y vektörler rsıdk çı, y cosθ y, y y (.) formülü le hesplır. Eştlk (.) ü k özel durumu mevcuttur. Bulrd brcs ve y vektörler doğrusl bğımlı olmsıdır. Bu durumd, λy yzılblr. Vektörler doğrusl bğımlı olmsı durumud (.) eştlğ sğ trfı ç br, buu soucud θ olrk buluur. İkc br durumd ve y vektörler brbre dk olmsıdır. Bu durumd θ9 olup Cos θ olrk elde edlr. Cos θ olmsı ç y olmsı gerekr. Bu durum gerçekleştğde, dğer br deyşle k vektör rsıdk çı 9 olduğud bu k vektörü ortogol olduğu söyleeblr. Bzı özel durumlr ç eştlk (.) ü değerler şğıd verlmştr: y y, cosθ θ y y y y, cosθ θ π y y y y, cosθ θ π y y Şekl.7 ve y vektörler rsıdk çı 9
.. Vektör Uzyı Br boyutlu uzy le belrtls. Sbt br vektörüü mümkü olblecek tüm λ sklerleryle çrpılmsı soucu orjle doğrultusud br düz doğru oluştuğu Şekl.8 de görülmektedr. Her br λ vektörü ok vey okt le fde edleblr. Yukrıdk çıklm L: λ < λ < (.) fdesyle özetleeblr. Şekl.8 vektörü le oluşturul L doğrusu Şekl.9 d boyut syısı br rttırılmıştır ve k frklı rekte ok bşı kullılmıştır. Düzlem çde bulu ok bşlrı beyz olup, düzlem dışıdk syhtır. Üç boyutlu uzyd k det sbtlemş vektörü oluşturduğu oktlr set Şekl.9 d gösterlmektedr: P: λ +λ < λ, λ < (.5) Şekl.9 ve vektörler le oluşturulble P düzlem. P λ +λ olup λ ve λ değerlere bğlı olrk düzlem sıırsız br şeklde geşletlr. P fdes ve tüm mümkü doğrusl kombsyolrıı set olrk dldırılır ve, vektörler le orj rsıd kl düzlem belrtr. Geometrk olrk, ve uygu doğrusl kombsyolrı dkkte lırk P düzlemde herhg br okt oluşturbleceğ görülmektedr. Uygu doğrusl kombsyo le çıklmk stee λ ve λ eştlk (.5) y uygu olrk seçlmş olmsıdır. Bu koşul uyulmsı durumud elde edle okt, P düzlem ltıd y d üstüde olmycktır. şğıd λ ve λ sklerler sıl belrleebleceğ çıklmıştır.
İk boyutlu uzy le belrtls. Bu vektör uzyı tüm k elemlı gerçel vektörlerde oluşur. Bu uzydk herhg br vektörü ve vektörler doğrusl kombsyou olrk fde edlebleceğ çıktır. Buul brlkte ve vektörler keyf olrk seçlmşt. Bu edele şğıdk k boyutlu brm vektör çft ele lısı, e e dek herhg br c vektörü de bu vektörler doğrusl br kombsyou olrk fde edleblr. Bu durum ç λ değerler belrlemes bsttr. Dh öce verle k örek ç, +, λ ve λ 6 6, 6 ve + λ λ şeklde λ ve λ değerler bulublr. Görüldüğü gb elde edle bu değerler vektörler elemlrıdır. Bu öreklerdek vektör çftler herbr (, ve e, e ) k boyutlu uzy ç uygu br bz teşkl edeblr. Bu souc göre br bzı bezersz (eşsz) olmdığı söyleeblr. Herhg k vektörü de uygu br bz olblmes ç olrı frklı yölerde olmsı gerekldr. Eğer ve yı yöde se Şekl. de gösterldğ gb br vektör br sklerle çrpılrk dğer vektöre döüştürüleblr ve dh sor bu vektörü çrpımlrı ve vektörler doğrusl br kombsyou olrk fde edleblr. Frklı yölerdek bu bz vektörler, doğrusl bğımsız vektörler olrk fde edleblecektr. ve vektörler eğer sdece, λ +λ (.5b) eştlğ λ λ ç sğlıyors doğrusl bğımsızdırlr. Eğer λ ç sıfırd frklı br tek değer ble bulublyors bu vektörler doğrusl bğımlıdır. ve vektörler, 6 şeklde tımlırs, bu k vektörü yı yöde frklı uzulukt olduğu görüleblr. Bu durumd - doğrusl kombsyou sıfır değer verecektr. Buul brlkte şğıd verle ve vektörler, ç λ +λ eştlğ sğly sıfırd frklı λ ve λ değerler bulmk mksızdır. Bu vektörler ç brc elemı sıfır drgeyecek λ ve λ çft bulublr, öreğ, λ ve λ - gb. Fkt bu λ çft kc elemlrı sl sıfır drgeyemeyecektr. Bu tım göre ç br
bz vektör çft, brbrde bğımsız herhg k elemlı vektör olrk tımlblr. İk boyutlu vektör geometrsde görüleceğ üzere, verle br bz göre belrtle br vektörü eşsz olrk temsl edleblmes ç y λ+ λ eştlğ br ve ylız br det λ, λ çft sğlmsı gerekmektedr. de ve bz vektörler olrk verlmes durumud bu uzydk herhg br y vektörüü bu bz vektörler eşsz br doğrusl kombsyou olrk fde edlebleceğ belrtlmşt. Bu göre, ve y vektörler doğrusl bğımlıdır. Çükü, λ+ λ y deklemde sıfırd frklı br λ (y ktsyısı olduğu ç) değer mevcuttur. Bu durumd de geşletlmş, ve y vektör sete göre fde edleblecek herhg br v vektörüü mevcut olup olmdığı sorulblr. Bu soruy verlecek yıt şüphesz evettr, fkt ktsyılr eşsz olmycktır. Öreğ;, ve y vektörler, y şeklde verlmş se, ve y doğrusl br kombsyou olrk, 6 v 8 vektörü elde edleblr. Bu kombsyo, v + + y şekldedr. Fkt v ç (6,8) değer vereblecek pek çok λ değerler mevcuttur. Geel doğrusl kombsyo, v λ + λ + λ y yede düzeleerek, v λ y λ + λ şeklde de yzılblr. Dh sor d λ ç herhg br keyf değer trk sol trf belrl k elemlı br vektör hle getrlr ve bu vektör ve doğrusl br kombsyou şeklde fde edleblr., ve y oluşturduğu bu tür vektör setler, zcr (sp) y d türete set olrk dldırılır. Bz ve zcr setler rsıd br frk mevcuttur. Bu frk d bz setler doğrusl bğımsız vektörlerde oluşmsıd kyklmktdır. Verle örektek zcr set br vektör eksltlerek bz sete döüştürüleblr. m br üç boyutlu uzy oluşturmk ç dğerlerde bğımsız olrk belrtleblecek üçücü br vektöre htyç vrdır. Bu edele P düzlem dışı çıkılır. Buu soucu olrk bu üç boyutlu uzydk oktlr set bütüü
: λ +λ +λ < λ, λ λ < (.6), fdesyle oluşturulblr. Bu fde üç boyutlu uzyd, ve oluşumu (vey zcr) olrk belrtlr. Bşk br deyşle, ve bu üç boyutlu uzyı temel oluşturmktdır. Elemlrı gerçel syı ol üç elemlı br vektör üç boyutlu uzyd br okt tımlr. Üç boyutlu uzy le tımlır ve bu uzydk herhg br v vektörü üç doğrusl bğımsız vektörü uygu br set eşsz doğrusl kombsyou olrk fde edleblr. Bu üç vektör oluştur vektörler, e e e şeklde seçldklerde br [ 5] v e e + 5e v vektörü, ç br bz oluşturur. Bu bzı eştlğ le verleblr. Bu vektörlerde herhg k tes (öreğ e, e ) ele lıdığıd bulrı tüm doğrusl kombsyolrı uzyıd br lt vektör uzyı oluşturur. Buu ede herbr zcr vektörüde üçücü bleşe sıfır olmsıdır. Öreğ; 5 şeklde üç elemlı k vektör ele lıdığıd bu vektörler Şekl. d görüldüğü gb br düzlem yüzey oluştururlr. Şeklde bu düzlem O le belrtlmştr. Şekl. Üç boyutlu uzy ç de değer vektörü kresel uzuluğu olduğu doğrulblr. Öreğ Şekl.5b de Psgor teorem lk olrk BC üçgee uygulrk C kresel uzklığı
+ elde edlr. Dh sor teorem CD üçgee uygulrk, D vektörüü kresel uzuluğu ) ( + + (.7) olrk elde edlr ve teorem üç boyutlu uzy ç de doğrulmış olur. ( ) şeklde verlmş vektörü kresel uzuluğu ç, + + 9 ve uzuluğu ç se 9 soucu elde edlr. Eştlk (.6), boyutlu uzy ç geelleştrleblr. M: λ +λ + +λ m m < λ < (.8) Eştlk (.8), m det sbt vektörü tüm mümkü doğrusl kombsyolrıı setdr ve m boyutlu br lt uzy olrk dldırılır. Eğer m se lt uzy düz br doğru m se lt uzy br düzlemdr. m> olmsı durumud se lt uzy br hper düzlem olrk dldırılır. Sdece m olmsı durumud det brbrde bğımsız vektör mevcuttur (,,, ) ve bu vektörler tümü boyutlu uzyı oluşturur. Bu boyutlu uzydk herhg br vektör vey br y oktsı ç λ, λ,, λ m ktsyılrıı sdece ve sdece br tek set mevcuttur ve bu set, yλ +λ + +λ (.8b) eştlğ le bulublr. Bu ktsyılr, (,,, ) vektörlere göre y koordtlrı olrk dldırılırlr. Kou dh d geelleştrlrse, tüm det gerçel elem çere vektörler uzyıı oluştururlr. dek her br vektör, doğrusl bğımsız vektörü bzı uygu setler br eşsz doğrusl kombsyou olrk fde edleblr. Bu doğrusl kombsyo eşsz olmk zoruddır. Buu göreblmek ç br v vektörüü bz v, v,,v vektörler k frklı doğrusl kombsyou olrk, v λv+ λv + + λv v μ v + μ v + + μ v şeklde fde edlebldğ vrsyılsı. Bu k deklem brbrde çıkrılrk, ( λ μ ) v + ( λ μ ) v + + ( λ μ ) v eştlğ elde edlr. Bz verler doğrusl bğımsız olduklrı ç, λ μ λ μ λ μ fdes elde edleblr ve görüldüğü gb bu fde eşszdr. Eğer k det elemlı doğrusl bğımsız vektörü br set lımış se bu set br lt uzyıı oluşturur. Bu lt uzyı boyutu bu lt uzydk doğrusl bğımsız vektör syısı eşttr. elemlı vektörler ç v, v,,v k eğer, v tüm j ç v j soucu sğlıyors bu vektör set yrık ortogol settr... Vektör Geometrsde Ortogol İzdüşüm
İk boyutlu uzyd ( -) ve ( ) vektörler dkkte lısı. Bu vektörler bütü uzyı tımlycklrdır. y ( ) şeklde verle br vektörü ve ye göre koordtlrıı bulblmek ç eştlk (.5) kullılrk, λ + λ y λ + λ λ + λ λ + λ yzılblr ve bu deklem sstem çözümüyle λ, λ elde edlr. y vektörüü ve doğrusl br kombsyou olrk fde edleceğ görülmektedr. Bu durum Şekl. de geometrk olrk görülmektedr. L doğrusuu (lt uzyıı) trfıd L lt uzyıı se trfıd oluşturulduğu görülmektedr. Dh sor λ ve λ lırk br prlel ker le şekl tmmlmıştır. Şekl. İzdüşüm le y koordtlrıı ve ye göre geometrk olrk fde edlmes. Bşk br deyşle, y koordtlrıı bulmk ç lk olrk L ye prlel olck şeklde L üzere y zdüşümü lırk λ elde edlr. Dh sor bezer br şlem λ ç ypılır, L e prlel olck şeklde L üzere y zdüşümü lıır. E bst zdüşüm ypısı ortogol zdüşümdür. Bu durum le brbre ortogol olmlrı durumud orty çıkr, (bkz Şekl.). Şekl. üzere y ortogol zdüşüm 5
Şekl. İk boyutlu ortogol zdüşüm Eştlk (.) le tıml vektörler ç ortogollk şrtı oldukç bst olduğu ç ortogol zdüşümü hesplmk d oldukç bsttr. vektörüü tımldığı L doğrusu üzere y ortogol zdüşümü y le belrtlmş ve Şekl. de gösterlmştr. y zdüşüm vektörü L üzerde bulucğı ç eştlk (.) de verle br vektörü br sklerle λ çrpımı şeklde y λ (.9) fde edleblr. Burd soru λ ktsyısıı belrleeblmesdr. Şekl. de görülebleceğ gb y le y brleştrlerek y-y vektörü tımlblr. Bu şlemde elde edle vektör le rsıdk ortogol ypı korumlıdır. (y-y ) ve ortogol olduğud eştlkler (.) ve (.9) kullılrk, (y-λ ) ( ) y λ λ y elde edlr. Eştlk (.), eştlk (.9) d yere kork (.) y y (.) soucu bulublr. Eştlk (.) sğıdk lk bleşe pyı ve pydsı br skler tımldığı ç trspozlrı kedlere eşttr. Bu eştlktek y fdes üzere y ortogol zdüşümüü belrtmektedr. Bu zdüşüm vektörüü kresel uzuluğu, y y y y λ y ( y ) (.) olup, ormu vey uzuluğu se y y (.) şekldedr. Şekl. celedğde, ortogol zdüşüm y L üzerdek y ye e ykı lt okt olduğu görüleblr. Ortogol olmy ve y * le gösterleblecek dğer herhg br zdüşümü y 6
oktsı ol uzklığı dh fzl olcktır. * y y uzklığı y y uzklığıd dh büyüktür. Çükü * y y dk üçge üçge hpoteüsüdür. Üç boyutlu durum Şekl. de gösterlmştr. Şekl. Üç boyutlu uzyd ortogol zdüşüm eorem. λ +λ + +λ m m lt uzyı üzere y vektörüü ortogol zdüşümü bu lt uzydk y vektörüe e ykı oktyı belrtr.. MRİSLER Mtrs syı vey elemlrı sırlr ve sütulr şeklde düzeledğ dkdörtge br dzdr. Mtrs oluştur bu sır ve sütulrı syısı mtrs boyutuu belrler. Öreğ, m det sır ve det sütud oluş br mtrs şğıd gösterlmştr. m m m m Mtrs çdek j değerler mtrs elemlrıdır. Bu ktpt m fdes, m sır ve sütud oluş br mtrs fde edecektr ve sır syısı lk sütu syısı se kc dsle tımlcktır. Öreğ j, -c sır j-c sütudk elemdır. üm elemlrı gerçel syılrd oluş mtrsler gerçel mtrslerdr ve m le tımlır. Mtrsler üzere çıklck lk kou mtrs şlemlerdr. emel mtrs şlemler se toplm ve çrpm şlemlerdr... Mtrs İşlemler İk mtrs toplblmes ç boyutlrıı eşt olmsı gerekldr. Boyutlrı eşt ol k mtrs, m, B m toplmı krşılıklı elemlrıı toplmı, ( + b c ) C B (.) + j j j eşttr. Örek. şğıdk ve B mtrsler toplmıı elde edz. 7
Çözüm: 6 B 7 5 ( 6) 7 ( + ) 7 C ( + 7) ( + 5) 7 + B. Br mtrs λ skler le çrpımı, λ λ λ λ λ λ λ λ (.5) λm λm λm olrk tımlır. Eğer boyutu m ve B boyutu p ol mtrsler se bu mtrsler çrpımı, B jb jk bk + bk + + bk ck C (.6) j eştlğ le tımlır. Her br c k elemı ç bu çrpım şlem eştlk (.) le tıml vektörler okt çrpımı dektr. mtrs -c stır elemı B mtrs krşılık gele k- ıcı sütu elemı le çrpılır ve elde edle değerler toplrk C mtrs c k elemı elde edlr. Çrpım şlemler ö koşulu soldk mtrs sütu syısıı sğdk mtrs stır syısı eşt olmsıdır. Çrpım soucud elde edle C mtrs boyutu m p olur. Eştlk (.6) d bu mtrs k-ıcı elemıı, c k j j b jk (.6b) eştlğ le elde edlebleceğ görüleblr. Mtrs çrpımlrıd mtrsler koumu (sırlmsı) öemldr. Boyutlrı dkkte lıdığıd B çrpımı geçerl olup B çrpımı geçerl değldr. B mtrs ç pm lırk, B brj crj C çrpımı elde edleblr. Örek. şğıdk ve B mtrsler çrpımıı elde edz. B 5 Çözüm: B C 5 ( )( ) + ()( ) ()( ) + ( )( ) (5)( ) + ()( ) ( )() + ()() 9 ()() + ( )() (5)() + ()() 5 6. 8
9 Yukrıd belrtldğ gb mtrsler çrpımı mtrsler oluştur vektörler çrpımlrı le elde edlr. Vektörel çrpımlr sttstkte olukç öemldr. Öreğ verle ve b boyutlu b b b b vektörler k şeklde çrpılblr: Brcs eştlk (.) le tıml okt çrpımdır ve soucud br skler elde edlr. İkcs se şğıd tıml ve dış çrpım olrk dldırıl çrpım, [ ] b b b b b b b b b b b b b C (.7) olup şlem soucud br mtrs elde edlr. eorem. Çrpmı toplm üzere dğılm özellğ, mtrsler boyutlrı çrpmy uygu olmk üzere, C B C B + + ) ( şeklde mtrsler ç uygulblr. Br m mtrs trspozu (evrğ) m şeklde fde edlr ve mtrs sırlrı le sütulrı yer değştrlerek elde edlr. Bşk br deyşle mtrs -c sırsı mtrs - c sütuuu oluşturur. mtrs keds ve trspozu şğıd verlmştr. 7 5 5 7 eorem. mtrs (vektörüü) trspozu mtrse (vektörüe) eşttr. ( ) eorem. Mtrs toplmlrıı trspozu, C B C B + + + + ) ( şekldedr. eorem.5 Mtrs çrpımlrıı trspozu, ( ) B C BC şekldedr.
eorem.6 ve B mtrsler ck ve ck boyutlrı brbre eşt ve krşılık gele tüm elemlrı brbre eşt j b j, m j, se eşt B mtrslerdr. Sır ve sütu syılrı eşt ol (m ) mtrsler kre mtrs olrk dldırılır. 9 5 6 Köşege elemlrı hrcdek elemlrı sıfır eşt ol kre mtrs, köşege mtrs olrk blr. Br mtrs köşege mtrs olblmes ç köşege elemlrıd br tes sıfırd frklı olmsı yeterldr. Köşege mtrsler geellkle D hrf le tımlırlr. D 7 5 eorem.7 Eğer D ve D köşege mtrsler se bu mtrsler çrpımlrı d br köşege mtrstr. D D D D D D mtrs -c elemı, D ve D -c elemlrıı çrpımıd elde edlr. üm elemlrı bre () eşt ol köşege mtrs brm mtrstr ve I hrf le belrtlr. I (.8) eorem.8 Herhg br mtrs sold y d sğd brm mtrs le çrpılmsı mtrs değştrmez. I I Bu özellğ brm mtrs mtrs şlemlerde etksz elem olrk kullılmsıı sğlr. Mtrsler sğd y d sold çrpılmlrıı öem de dkkte l, şğıdk şlem bu durum br örek olrk verleblr. B IB ( IB) Brm mtrs bz vektörler üzere dış çrpı uygulrk, I ee E elde edlleblr. Br bz vektörü br dğer le dış çrpımı E j e e j soucud elde edle mtrs j-c elemı dğer elemlrı sıfırdır. Öreğ,
e ve e E ee. Brm mtrs br skler le çrpımı soucu elde edle ve tüm köşege elemelrı eşt fkt brde () frklı köşege mtrs se skler mtrstr. D λi λ λ λ üm elemlrı sıfır ol mtrs boş (ull) y d sıfır mtrs olrk dldırılır ve le gösterlrler. lt üçge mtrs, ve üst üçge mtrs, şeklde tımlır. Köşege elemlrıı üstüdek (üst üçge) j elemlrı le köşege elemlrıı ltıdk (lt üçge) j elemlrıı tümüü bre br eşt olduğu mtrs smetrk mtrstr. Smetrk mtrs trspozud kedse eşttr, (.9) Bşk br deyşle mtrs j elemı, mtrs j elemı eşttr. Smetrk br mtrs şğıd gösterlmştr. 6 eorem.9 Her hg br gerçel kre mtrs ç, mtrs smetrk olms d + smetrk mtrstr. eorem. Her hg k gerçel kre mtrs ve B ç, ve B mtrsler smetrk ols d B mtrs smetrk olmyblr. eorem. Her hg k gerçel kre mtrs ve B ç, eğer B mtrs smetrk se B mtrs smetrk olup bu fde ters geçerl olmyblr.
Eğer br mtrs elemlrı - özellğ sğlıyor ve köşege elemlrı sıfır se çrpık smetrk mtrs olrk dldırılır. Dğer br fde le ve j - j olmlıdır. 6 5 6 5 Mtrs çrpık smetrk br mtrsdr. eorem. Her hg br gerçel kre mtrs ç - mtrs çrpık smetrk mtrs tımlr. eorem. Her hg br gerçel kre mtrs, smetrk ve çrpık smetrk br mtrs toplmı + + olrk elde edleblr. Br kre mtrs köşege elemlrıı toplmı mtrs z (trce) olrk dldırılır, tr() şeklde gösterlr ve ( ) + + + m tr mm (.) eştlğde hesplır. Eştlk (.) d görülebleceğ gb mtrs z br sklerdr. Mtrs kre mtrs değlse z tımsızdır. eorem. I mtrs boyutlu brm mtrs se tr ( I ) dr. eorem.5 mtrs kre mtrs se trspozuu z ked ze eşttr. tr ( ) tr( ). eorem.6 Her hg br gerçel mtrs ç, tr ( ) tr sğlır. olup, ck ve ck se ( ) eorem.7 Her hg br gerçel mtrs ç, ( ) tr( ) j j tr. eorem.8 ve B yı boyutlu kre mtrsler se toplmlrıı z, zler toplmı eşttr. ( B) tr( ) tr( B) tr + +. eorem.9 Eğer BC, BC, CB mtrs çrpımlrı kre mtrsler tımlıyor se, ( BC) tr( BC) tr( CB) tr. İspt: Sdece ve B mtrsler ç tr(b)tr(b) olduğu sptlcktır. B mtrs boyutu m m dr. Bu mtrs -c köşege elemı,
c j j b j şeklde olduğu ç, tr( B ) m j j b j eştlğ le elde edlr. B mtrs se boyutludur. Bu mtrs j-c köşege elemı, d m b j şeklde elde edldğ ç, j m tr( B) b tr( B ) j j j soucu elde edlr. Bu souç, tr( BC) tr( BC) tr( CB) şeklde geşletleblr. Sırlrı ortorml vektör setde oluş boyutu r c ol br P mtrs ç PP I r eştlğ sğlır. Buul brlkte P P çrpımı c boyutlu br brm mtrs I c vermes şrt değldr. Eğer P mtrs sütulrı ortorml vektör set tımlıyor se P PI c sğlır fkt PP çrpımı brm mtrse eşt olmyblr. Ortorml sırlr shp kre mtrsler doğrusl cebrde özel br sııfı tımlr bu mtrsler yı zmd sütulrı d ortormldr ve PP PP I (.) eştlğ sğlrlr. Koşulu sğly P mtrs ortogol mtrs olrk dldırılır. Eğer ) P kre mtrs ) P PI ve ) PP I koşullrıd her hg ks sğlmsı üçücü de sğldığıı ve P mtrs br ortogol mtrs olduğuu belrtr. Ortogol mtrsler le lgl eştlk (.) e dek br dğer özdeşlk ters mtrsler kısmıd verlecektr. eorem. Eğer P ortogol br mtrs se tr(p P)tr() dır. Br mtrs kuvvet lıblmes ç kre mtrs olmsı gerekldr. Boyutu m ol br mtrs ç çrpımı ck ve ck m durumu ç geçerldr. Dğer br deyşle mtrs sdece kre mtrs se mevcuttur. Bu durumd tüm poztf k tm syılrı ç k mtrs tımlıdır. Skler rtmetkte olup mtrs cebrde eğer kre mtrs se I le tımlmıştır. Gerçel syılr cebrde - eştlğ sğly br gerçel skler yoktur. Buul brlkte, gerçel mtrs -I eştlğ sğlr. Bu mtrs ortogol br mtrs olup sold her hg br (,y) oktsı le çrpılmsı soucud, orjde merkezlemş br dre boyuc, bu oktyı 9 çı le st yöüde dödürerek (y,-) oktsıı elde eder:
y y Skler cebrde frklı olrk her hg br B mtrs ç B soucu sğlblr. Öreğ, B 5 5 mtrs B eştlğ sğlr. B k- ve B k koşullrıı sğly mtrsler, k deksl, lpotet mtrsler olrk dldırılır. Yukrıd tıml B mtrs deks ol br lpotet mtrstr. Skler cebrde frklı olrk B eştlğ sğlmsı ç e mtrs e de B mtrs sıfır eşt boş mtrs olmsı gerekl değldr. Öreğ, B mtrsler ç B eştlğ sğlmktdır. eorem. her hg br gerçel mtrs olmk üzere, ck ve ck se eştlğ sğlır. eorem. ve B her hg k gerçel mtrs olmk üzere, ck ve ck B se B eştlğ sğlır. eorem., B ve C her hg üç gerçel mtrs olmk üzere, ck ve ck B C se BC eştlğ sğlır. Kre mtrsler br dğer öeml özel durumu se dempotet mtrstr. mtrs br kre mtrs olsu. Eğer; (.) eştlğ sğlıyors mtrs dempotet mtrstr. Bşk br deyşle mtrs keds le çrpımı orjl mtrs veryors bu mtrs dempotet mtrstr. Smetrk olsu olmsı herhg br kre mtrs (.) eştlğ sğlıyors dempotet mtrstr. Fkt bu ktpt sdece smetrk dempotet mtrslerle lglelecektr. Bu mtrsler sttstk teorsde öeml br yer tutmktdır. Öreğ br değşke y döüşüm le ortlmd spmlrı fde ede br değşkee döştürüleblr. Bu döüşüm br dempotet mtrs kullılrk şğıd çıkldığı şeklde gerçekleştrleblr: üm elemlrı br değerde oluş boyutlu, (.) vektörü tımlsı. Bu vektörü ked le ç çrpımı,
( ) (.) vektörü boyutuu tımly br skler verr. Vektörü dış çrpımı se, ( ) J (.5) tüm elemlrı değerde oluş ve J le gösterle boyutlu br mtrsdr. Eştlk (.) de tıml vektör kullılrk elde edle, mtrs, M I (.6) M I I I + ( ) I + M I + eştlğde görüldüğü gb smetrk ve dempotet br mtrstr. değşke ortlmsı mtrs göstermde, (.7) eştlğ le tımlır. Eştlk (.6) de verle M mtrs kullılrk, ym vektör deklem le y M I ( ) (.8) ortlmd spmlr döüştürülmüş değşke elde edlr. Görüldüğü gb smetrk ve dempotet M mtrs her hg br değşke ç ortlmd spmlr göre tıml değşke elde ede br döüşümü vermektedr. Yukrıd elde edle ye değşke y ç y olcktır. Ye br döüşüm zmy le tımlsı. Eştlk (.8) de z y y y olduğu y d zmym M görüleblr. Dğer br deyşle dempotet br mtrs le gerçekleştrle br opersyou tekrrlmsıı her hg br etks yoktur. İsttstktek kullıl br dğer öeml özellk ol ortlmd spmlrı kreler toplmıı fde ede ( ) değer M eştlğ le elde edleblr: M I ( ) (.9) 5
Dğer br deyşle şğıdk fdeler brbre dektr: ( ) M (.9b) Eştlk (.9) le verle M değer Kısım.6 d çıklck ol br kresel formu tımlmktdır. İdempotet mtrslerle lgl bzı öeml teoremler şğıd verlmştr. eorem. Eğer dempotet ve tekl olmy br mtrs se I dır. eorem.5 Eğer, elemlrı j ve -c köşege elemı sıfır ol br dempotet mtrs se mtrs -c sır ve j-c sütu elemlrıı heps sıfırdır. eorem.6 Eğer ve B her ks de dempotet ol mtrsler se, B çrpımıı d dempotet olmsı ç BB olmsı gerekldr. eorem.7 Eğer dempotet ve +BI se B mtrs de dempotedr ve BB dır. eorem.8 Eğer dempotet P ortogol mtrs se P P mtrs dempotetdr. eorem.9 Eğer, rkı r ol dempotet br mtrs se PP E r olck şeklde br P ortogol mtrs mevcuttur. Burd E r, r det köşege elemı br ve kl elemlrı sıfır ol br köşege mtrstr. Doğrusl cebrdek br dğer mtrs ypısı permütsyo mtrsdr. Eğer br kre mtrs her br sırsı ve her br sütuu sdece br tek elemıı çeryor ve ger kl elemlrı sıfır se permütsyo mtrs olrk dldırılır. Dereces ol kre mtrsler ç! kdr permütsyo mtrs vrdır. Öreğ se ltı det permütsyo mtrs P, le tımlmıştır. Permütsyo mtrs her br sırsı p p br det ve (-) det sıfır değer çerdğde p ve br dğer sır p, değer frklı br elemıd çerdğ ç p olup bu souçlr P mtrs ortogol br mtrs olduğuu gösterr. Eğer br kre mtrs özellğe shp se orml mtrs olrk dldırılır. Br gerçel mtrs ormu, j ( ) p j (.), (.) şeklde hesplır... Mtrs Bölümlemes j j tr Bzı durumlrd br mtrs lt mtrslere yrılmsı fydlı olblr. Bu şleme mtrs bölümlemes şlem dı verlr. Br mtrs çeştl şekllerde bölümleeblr. Öreğ, m boyutlu br mtrs, 6
(.) şeklde lt mtrslere yrılblr. Burd mtrs m, mtrs m, mtrs m ve mtrs m, boyutludur. yrıc m +m m ve + olduğu görüleblr. Bölümlemş br mtrs trspozu, (.) şekldedr. Bölümlemş mtrsler ç toplm kurlı mtrsler ç tıl geel kurll yıdır. Dğer br deyşle krşılıklı bölümler boyutlrı yı olmlıdır. eorem. Eğer ve kre lt mtrsler se, mtrsler boyutlrı yı olmk zorud değl, tr tr tr tr ( ) ( ) + ( ) eorem. Eğer mtrs smetrk se ve mtrsler de smetrktr. eorem. Eğer mtrs köşege se ve mtrsler de köşegedr. eorem. Eğer mtrs üst üçge mtrs se ve mtrsler de üst üçgedr. B şeklde k mtrs çrpımı, bu mtrsler lt mtrslere yrılmış olslr ble sembolk olrk gösterleblrler. Buu ç mtrsler boyutlrıı çrpım ç uygu olmsı yeterldr. Eğer B mtrs p boyutlu ve, B B B B B şeklde prçlmış se B jk lt mtrsler j p k boyutludur. Bu durumd B çrpımı mevcuttur. Çükü j boyutlrı m j ve B jk se j p k dır ve lt mtrsler krşılıklı elemlrı, B B B + B B + B B (.) B B B + B B + B şeklde çrpılıp, toplrk çrpım mtrs elde edlr... Br Mtrs Rkı ve ers Mtrs Herhg br m boyutlu mtrs ele lısı. mtrs sütulrı m uzyıdk vektörü tımlr. yı şeklde ı sırlrı d uzyıd m vektörü belrler. mtrsdek mksmum doğrusl bğımsız sır syısı r le belrtls, r m. Eğer r, m de küçük se doğrusl bğımsız sır vektörler lt set syısı brde dh fzl olblr. Öreğ, dört sırlı (m) br mtrs ele lıdığıd,,, sırlrı br doğrusl bğımsız set tımlybldğ gb,, sırlrı d br dğer doğrusl bğımsız set tımlyblr. Fkt dört sırı tümü doğrusl bğımlıdır. Bu durumd r dür. Bu mtrs ç herhg r doğrusl bğımsız sırı br set oluşturduğu ve 7
kl m-r sırı hml edldğ r boyutlu br ~ mtrs tımlblr. mtrsdek mksmum doğrusl bğımsız sütu syısı c le belrtls. Bu c değer yı zmd ~ mtrsdek mksmum doğrusl bğımsız sütu syısıı d belrtr. ~ mtrsdek her br sütu r elem shptr. Bu göre, c r (.5) eştszlğ verleblr. uzyıdk herhg br vektör, r det doğrusl bğımsız vektörü doğrusl br kombsyou şeklde verleblr. Yukrıd sırlr ç verle şlem bezer şeklde sütulr çde gerçekleştrleblr. mtrsdek c det doğrusl bğımsız sütuu br lt set lıır ve kl c det sütu hml edlerek m c boyutlu br ~ mtrs oluşturulblr. mtrsdek mksmum doğrusl bğımsız sır syısı r le belrtldğ ç bu değer yı zmd ~ ~ mtrsdek mksmum doğrusl bğımsız sır syısıı belrtmektedr. Fkt dk her br sır c elem shp olduğu ç, r c (.5b) şekldedr. Eştlk (.5) ve (.5b) brlkte ele lırk, rc (.5c) elde edleblr. Souç olrk m boyutlu br mtrs mksmum doğrusl bğımsız sır syısı, mksmum doğrusl bğımsız sütu syısı eşttr. Bu syı mtrs rkı olrk tımlır ve ρ() sembolü le gösterlr. çık olrk görüleceğ gb br mtrs rkı stır vey sütu syılrıd e küçük olıı şmz. Bşk br deyşle, ρ() m(m,) (.6) eştszlğ verleblr. ρ()m durumud mtrs tm sır rklı ρ() durumud se tm sütu rklıdır. Örek. şğıd verle mtrs rkıı belrleyz. 5 Çözüm: mtrs celedğde, sırlrı ve, sırlrıı doğrusl bğımsız olduğu, buul brlkte Sır+Sır Sır olduğu çde üç sırı doğrusl bğımlı olduğu görüleblr. Souç olrk r dr. mtrs üçücü sırsı hml edlerek, ~ şeklde br ~ mtrs elde edleblr. ~ ı tüm sütu çftler doğrusl bğımsızdır. Bu göre c e zıd olmlıdır. Fkt bu değer yı zmd değer şmz. ~ mtrsdek herhg br sütu, bu mtrs sütu çftler doğrusl br kombsyou olrk, 8
Sütu Sütu + Sütu Sütu Sütu +.5 Sütu Sütu Sütu Sütu Sütu Sütu Sütu fde edleblr. Bu göre rcρ() buluur. ltertf olrk mtrs sütulrı ele lıırs doğrusl bğımsız üç sütuu oluşturduğu br set bulumz ve yukrıd gösterldğ gb ~ mtrs çde yı souç geçerldr. Rklrl lgl teoremler ve bzı çıklmlr şğıd verlmştr. eorem. mtrs trspozuu rkı mtrs rkı eşttr. ( ) ρ( ) ρ eorem.5 Eğer, rkı r ol br dempotet mtrs se tr()r dr. Özel br durum olrk, boyutlu rkı ol br kre mtrs se mtrs tekl değldr ve eğer boyutlu B B I (.7) br B mtrs mevcut se mtrs ters mtrs olrk dldırılır ve - le belrtlr. Bu ters mtrs eşszdr. Bu kısımd ters mtrsler hesplmsı ve bzı özellkler verlmştr. mtrs boyutlu br kre mtrs olduğu kbul edls. Bu mtrs ters mevcut olmsı ç gerekl şrt şğıd dört değşk tıml verlmştr. Bu tımlrı heps yı lmı tşımktdır. ) mtrs tekl olmy br mtrs olmlıdır. ) mtrs rkı olmlıdır. ) mtrs sırsı doğrusl bğımsız olmlıdır. ) mtrs sütuu doğrusl bğımsız olmlıdır. ers mtrs elde edlmes çlışmlrı durumu le bşlcktır. mtrs ve ters mtrs - şğıd verlmştr. α α α α ers mtrs tımıd, I (.7b) geel deklem elde edlr. İlk olrk eştlk (.7b) her k trfıı brc sütulrı ele lısı, α α ters mtrs elemlrı blmemektedr. Deklemler bu elemlr ç çözülürse, 9
α α eştlkler elde edlr. Eştlk (. 7b) kc sütulrı ç, α α souçlrı elde edlr. Bu souçlr kullılrk ters mtrs, (.8) şeklde buluur. - mtrsdek her br elem dk elemlrı br foksyoudur. ers mtrstek her br elem ortk bölee shptr. Bu değer mtrsdek tüm elemlrı br foksyou olup mtrs determtı olrk tımlır. ers mtrsler kousu determt kvrmı çıkldıkt sor detyldırılcktır. eorem.6 Eğer, B, C mtrsler tekl olmy mtrsler se bu mtrsler çrpımlrıı ters, ( BC ) C B şeklde elde edlr. eorem.7 ers mtrs ters orjl mtrs verr. ( ) eorem.8 Br mtrs trspozuu ters, ters trspozu eşttr. ( ) ( ) eorem.9 Br üst (vey lt) üçge mtrs tersde br üst (vey lt) üçge mtrstr. eorem. Eğer mtrs, şeklde prçlmış ve tekl değlse (,, mtrsler kre mtrslerdr) mtrs ters, şeklde elde edlr. eorem. mtrs,
şeklde prçlmış, ve tekl olmy kre mtrsler se mtrs ters, B B + B B burd ( ) B dr y d + B B B B şekle elde edlr, burd ( ) İspt: İlk olrk B dr. B B B B B lısı ve B I olduğud, dh sord, B B B B I B B I + B B + B B + B B I + deklemler elde edleblr. Üçücü deklemde, B B buluur ve brc deklemde yere koup B ç çözülürse, B ( ) elde edlr. Bezer şlemler kc ve dördücü deklemlere uygulrk, B B B ( ) elde edlr. Mtrsdek kl sütulrı elde etmek mcıyl, BI çrpımı kullılrk, B B I + B B +
B B + B B I + deklem set elde edlr. Bu settek kc deklemde, B B elde edlr ve bu değer lk set dördücü deklemde yere kork B ç çözülerek, B + B elde edlr. Elde edle so k eştlk lk - mtrs kc sütuuu verr. So set üçücü deklem ve lk set brc deklemde, B B B + B elde edlr. İspt tmmlır. Br mtrs ters lımsı üzere tımlmış öeml teoremlerde br de Sherm-Morrso- Woodbury teoremdr. Bu teorem souçlrı Bölüm 7 de suul PRESS sttstğ ve Bölüm de tıml etkl br ver oktsıı tı sttstkler ç temel oluşturur. çıkl teorem - c ver oktsıı ver set dışıd bırkıldığı durumlr ç bzı öeml regresyo sttstkler koly br şeklde hesplmsıı sğlmktdır. Boyutu p p ol ve tekl olmy br mtrs ve p boyutlu br sütu vektörü ele lısı. Regresyo uygulmsı ç X X ve lıır. Burd ( ) vektörü X mtrs -c sırsıdır. Bu durumd (- ) mtrs k X X mtrs -c sırsıı çıkrıldığı mtrs temsl eder. Bu mtrs ters se şğıdk teorem le elde edlr. eorem. ( ) + mtrs rkı de küçük se tekl mtrstr ve ters mtrs mevcut değldr. ekl mtrs kousu mtrs boş uzyı kvrmı le lşkldr. Boyutlrı m ol ve rkı ρ()r ol br mtrs ele lıdığıd e z br te r det doğrusl bğımsız sırı oluşturduğu set ve e z br te de r det doğrusl bğımsız sütuu oluşturduğu set mevcuttur. Buu soucu olrk mtrs stır ve sütulrı, lk r sırsı ve lk r sütuu doğrusl bğımsız olck şeklde düzeleeblr ve dh sor lk r sır ve sütu dkkte lırk prçlblr. Elde edle mtrs r r boyutlu tekl olmy br kre mtrstr. Homoje deklem set, Kısım.. d detylı olrk çıklcktır, (.9)
şeklde verleblr. vektörü det blmeye elem çere sütu vektörüdür. Eştlk (.9) u sğ trfı vektörü olduğu ç deklem set homojedr. Eğer b ve b se deklem sstem homoje değldr. Eğer, eştlk (.9) u br çözümü se c herhg br skler olmk üzere c de bu eştlğ br çözümüdür. Eştlk (.9) u çözümler set mtrs boş uzyı olrk ble br vektör uzyıı oluştururlr. İlk olrk boş uzyı boyutu rştırılcktır. Bu boyut lt uzyı tımly brbrde bğımsız vektör syısıdır. mtrs so m r sırsı çıkrılıp ve vektörü de mtrs sütulrı uygu olrk prçlırs, [ ] (.5) eştlğ elde edlr. Bu fde de, r det se kl r det elemı çerr. Souç olrk det ( r) blmeye çere r det doğrusl bğımsız dekleml br set elde edlr. Eştlk (.5), + şeklde yede yzılblr. tekl olmdığı ç ters mevcuttur ve bu fde sold çrpılrk, le (.5) elde edlr. lt vektörüdek -r elem herhg br şeklde belrleeblr. Fkt belrledkte sor lt vektörü eştlk (.5) kullılrk tblr. Eştlk (.5) kullılrk eştlk (.5) dek çözüm vektörü, I-r (.5) şeklde düzeleeblr. Elde edle (.5) eştlğ sır ve r sütu shptr. Bu r sütu doğrusl bğımsızdır. Buu ede de sütulrı doğrusl bğımsız ol I -r lt mtrs mevcut olmsıdır. Br brm mtrs sütulrı (sırlrı) doğrusl bğımsızdır. Souç olrk eştlk (.5), r det elemlı doğrusl bğımsız vektörü eştlk (.5) tüm çözümler ç r det doğrusl kombsyo şeklde fde eder. Eştlk (.5), çıkrıl sırlr [ ] sırlrıı doğrusl br kombsyou olduğu ç, eştlk (.9) çde br çözüm verr. Bu uygu olrk çıkrıl sırlr, [ ] c formud gösterleblr. Burd c herhg uygu br r elemlı sır vektörüdür. Bu fde sğd le çrpılblr. [ ] c Buu ede se, eştlk (.5) ü sğlmsıdır. Bu göre her br çözümü çıkrıl sırlr göre ele lıır ve eştlk (.5), eştlk (.9) ç bu çözüm vektörüü belrler. mtrs boş
uzyı r boyutludur. Burd çıkrılck öeml br souç: r rklı ve boyutlrı m ol br mtrs ç; Sütu syısı rk + boş uzy boyutu r + ( r ) (.5) eştlğ yzılblr. Eştlk (.5) özel br durumu m boyutlu br mtrs rkıı olmsıdır. Bu durumd mtrs boş uzyıı boyutu dr ve deklem tüm çözümler orjde geçe br tek doğru üzerdedr. Eğer çözüm vektörü, [ ] se [ ] c c c c vektörü de (c herhg br sbt) br çözüm vektörüdür. Eştlk (.5) soucu çeştl mtrsler rklrı üzere verle bzı öeml teoremler bst sptlrıı oluşturur. Örek. boyutlu mtrs ve boyutlu vektörü şğıd verldğ gb br homoje deklem set oluşturmktdır,. mtrs boş uzyıı buluuz. 5 Çözüm: Mtrs sırlrı kşerl olrk doğrusl bğımsızdır. Fkt üç sır brlkte ele lıdığıd, Sır + Sır Sır doğrusl bğımsız olmdıklrı görüleblr. Bu edele mtrs rkı kdr. mtrs üçücü sırsı çıkrılrk, homoje deklem set elde edlr. Sütu ve doğrusl bğımsız olduğud yukrıdk deklem set, şeklde elde edlr ve bu deklemler ve ç çözülerek, / - / + souçlrı buluur. Deklem sstem ç çözüm vektörü,
5 / / olrk elde edlr. Çözüm olrk verle mtrs k doğrusl bğımsız sütu shptr ve herhg br çözüm dört elemlı k doğrusl bğımsız vektörü br doğrusl kombsyou şeklde fde edlmştr. Bu çözüm vektörler de k boyutlu br boş uzy oluştururlr. Çözüm ç tıml [ ] vektörü herhg br değer lbleceğ ç sosuz syıd çözüm vektörü mevcuttur. Elde edle herhg br çözüm, bşlgıç deklem set ç de br çözüm oluşturur. Bu durum çözümdek her br sütu vektörüü çıkrıl sıryı sğldığıı, [ ] 5 ve [ ] 5 gösterlmes le sptlblr. Herhg br çözüm vektörü, bu k sütu vektörüü doğrusl br kombsyou olduğu ç, sstem üçücü deklem de sğlr. İlk k deklem de sğldığı belrlemş olduğud bu çözüm, tıml deklem sstem ç de br çözüm oluşturur. mtrs boş uzyıı boyutu dr. Bu souç mtrs sütu syısı rkıd çıkrılrk elde edlr. Boş uzydk her br vektör (çözüm vektörü), mtrsdek her br sıry ortogoldr. mtrsde çıkrılck sırı seçmde ldtıcı br keyflk olduğu düşüüleblr. Fkt slıd durum böyle değldr. Öreğ sstem, şeklde prçlırs, 6 + deklemler elde edlr ve çözüm vektörü, 6 şekldedr. Elde edle so çözüm sstem tımly mtrs boş uzyıı bşk br tımıı verr. Boş uzyı boyutu dr ve so çözümdek mtrs sütulrı doğrusl bğımsızdır. Buul brlkte elde edle bu boş uzy dh öce eştlk elde edle le yıdır. Çükü so çözümdek her br sütu vektörü lk çözümü sütu vektörler doğrusl br kombsyou olrk fde edleblr.
ve λ + λ λ, λ - λ + λ λ, λ 6 Souç olrk boş uzylr yıdır. Bşlgıç dımıd mtrsde brc vey kc deklem çıkrılsydı d boş uzyı belrlemesde herhg br frk olmycktı. eorem. Eğer, m boyutlu r rklı herhg br mtrs ve P m m boyutlu, Q se boyutlu tekl olmy kre mtrsler se, ( P) ( Q) ( PQ) ( ) ρ ρ ρ ρ eştlkler sğlır. Bşk br deyşle, mtrs tekl olmy br mtrsle sold vey sğd çrpılırs mtrs rkı değşmez. İspt: ρ( P) ρ( ) eştlğ spt etmek ç mtrs boş uzyıdk herhg br vektör olrk m ele lısı; m ve Pm olck ve souç olrk m vektörü yı zmd P ı boş uzyıd d yer lcktır. Bu krşı P ı boş uzyıdk herhg br vektör s le belrtlerek, Ps yzılblr. P tekl olmy br mtrs olduğu ç bu eştlk sold P - le çrpılrk, s elde edlr. Görüleceğ gb s yı zmd ı boş uzyıddır. Souç olrk P ve yı boş uzy shptrler. Bu edele rklrı yıdır. çıkl sptlrd yrrlrk, ρ( Q) ρ( ) ρ ç spt, ( Q) ρ( Q ) ρ ( ) ρ ( ) şeklde ypılblr. üm bu souçlr le, ( PQ) ρ( ) ρ eştlğ yzılblr. Rklrl lgl dğer br teorem se dkdörtge br mtrs le dğer uygu br dkdörtge mtrs çrpımlrı ç geel durumu fde eder. eorem. mtrs m, B mtrs s boyutlu se B çrpımıı rkı, bu mtrslerde rkı dh küçük olı rkı eşt vey dh küçüktür. ( B) m ( ), ( B ) ρ ρ ρ 6
İspt: vektörü mtrs boş uzyıdk herhg br vektör olsu, B ve B yzılblr. Bu durumd vektörü B boş uzyıd d bulumktdır. Fkt mtrs kre mtrs olmdığı ç ters mtrs bulumz, bu edele, By şlemde By şleme geçlemez. Souç olrk, B boş uzyıı boyutu B boş uzyıı boyutu eştszlğ elde edleblr. B ve B sütu syısı yı olduğu ç eştlk (.5) de, ρ( B) ρ( ) kullılrk, ( B) ( B ) ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ B ve trspoz şlem soucu elde edlerek teorem sptlmış olur. Rklrl lgl öeml bzı teoremler şğıd sptsız olrk verlecektr. eorem.5 Boyutlrı ol k kre mtrs ve B rklrı r ve s se B rkı, ρ ( B ) r+ s eştszlğ sğlr. eorem.6 ve B mtrsler toplmıı rkı, ( + B) ( ) + ( B ) ρ ρ ρ eştszlğ sğlr. eorem.7 Boyutlrı p ol br mtrs ç: ( ) ρ( ) ρ( ) ρ( ) ρ. eorem.8 boyutu m ol br mtrs boyutu m ve b boyutu ol vektörler se ck ve ck b eştlğ sğly sıfırd frklı ve b vektörler vr se ρ() olur. eorem.9 mtrs br lt mtrs se ρ( ) ρ()... Mtrs Determtı Determtı yygı tımı syıd elemlrı bçmdek sırlışıdır. Bu determt, vektör kvrmı le ç çedr. Öreğ uzyıdk det vektörü oluşturduğu kümedr. Görüldüğü gb uzyıd, v y v y vektörler oluşturduğu ve Şekl.5 de gösterle prlel ker ele lısı. 7
Şekl.5 Prlel kerı lıı OBB ve B BCC llrıı toplmıd O ve CC llrıı toplmıı çıkrılmsı le elde edlebleceğ çıktır: S y + ( y + y ) y ( y + y ) y y Hespl y -y soucu mtemtkte, y y şeklde gösterleblr. Souç olrk, Δ y y y y (.5) eştlğ geçerldr. Burd determtı br değer olduğu bu değer hesbıı sıl ypıldığı ve uzyıd Δ ı v ve v vektörler tımldığı prlel kerı lıı gösterdğ soucu elde edlr. Eğer se, v y z v y z v y z vektörler kümes, ( ) ( ) ( ) Δ y y y yz zy + y z z + z y y z z z 8
le hesplır ve bu souç prlel yüzü hcm verr. Bezer şeklde boyutu ç de Δ değer bulublr. Görülüyork Δ foksyou br geometrk şekl l hcm gb değerler fde etmektedr. şğıd ve boyutlu determtlr elemlrı dsleerek tımlmıştır: Δ Δ + + Eştlkler sğ trflrıd determtı her stır ve sütud ylızc br elem lmk koşulu le oluşturul çrpımlrı toplmı olduğu görülür. Her termde yer l elemlrı syısı determtı stır vey sütu syısı eşttr. opl termler syısı se stır vey sütu permütsyo syısı! kdrdır. ermler yrısı (-) dğer yrısı d (+) şretldr. ermlerdek şretler, termler oluştur çrpımlrı sütu dsler versyo syılrıı tek vey çft olmsıd ler geldğ çıktır. Δ determtı celedğde sütu dsler, olup her br permütsyou versyo syısı buluduğud Δ determtıı çılımıdk termler şretler elde edlr. Her hg br mtrs determtı geellkle det ( ) y d le gösterlr. Determt ç dh geel ve koly br yötem boyutlu br mtrs öreğ üzerde şğıd çıklmıştır: şeklde verlmş olsu. Eğer elemı t stır ve sütu çıkrılırs, lt mtrs elde edlr. mtrsde -c sır ve j-c sütu sldkte sor elde edle boyutlu lt mtrs determtı M j (.55) le belrtls. M j, br mör olrk smledrlr. c j + j ( ) M j (.56) fdes se kofktör bşk br deyşle şretl mördür. Eğer +j toplmı çft se, M j şret 9
değşmez, +j toplmı tek se şret değştrr. Kofktörler yrdımı le mtrs determtı br tek sır vey sütu göre, c + c + c (.57) şeklde elde edleblr. Bu tımd d lşılcğı gb herhg br sır vey sütuu elemlrı göre elde edleblr. boyutlu geel durum ç determt, vey c+ c + + c,..., (.58) j cj + jc j + + jc j j,..., (.58b) eştlklerde bulublr. Bu fdedek kofktörler boyutlu lt mtrslerdr. Her br j elemı krşılık gele c j değerler bulurk elde edle mtrs le bölüerek ters mtrs - elde edleblr: c c c c c c C c c c (.59) eorem.5 mtrs smetrk se mtrs determtı, trspozuu determtı eşttr. eorem.5 mtrs herhg k sırsıı vey sütuuu değştrlmes le br B mtrs elde edlrse, B mtrs determtı mtrs determtıı ters şretlse eşttr. B eorem.5 yı elemd oluş k vey dh fzl sıry (vey sütu) shp mtrs determtı sıfırdır. b İspt: Sdece boyutlu mtrs ç verlecektr. b se determt: b b eorem.5 mtrs herhg br sırsıı (vey sütuuu) herhg br değerle çrpılıp br bşk sırsı (vey sütuu) le toplmsı le elde edle B mtrs determtı mtrs determtı eşttr. eorem.5 Eğer mtrs sırlrı (vey sütulrı) doğrusl bğımlı se, doğrusl bğımsız se dır. Bu uygu olrk tekl olmy mtrsler sıfırd frklı, tekl mtrsler se sıfır determt shptr. eorem.55 Br üçge mtrs determtı köşege elemlrıı çrpımı eşttr.
... eorem.56 Br köşege mtrs determtı köşege elemlrıı çrpımı eşttr.... eorem.57 Brm mtrs determtı I bre eşttr. eorem.58 Br mtrs herhg br sır (vey sütuu) br λ sbt le çrpılrk B mtrs elde edlrse, elde edle mtrs determtı orjl mtrs determtıı λ ktıdır. B λ eorem.59 Eğer mtrs tüm elemlrı λ le çrpılrk B mtrs elde edlrse B mtrs determtı, B λ şeklde elde edlr. eorem.6 İk kre mtrs çrpımıı determtı bu mtrsler determtlrıı çrpımı eşttr. B B eorem.6 Eğer P br ortogol mtrs se determtı P vey P şekldedr. eorem.6 Eğer P br ortogol mtrs ve kre br mtrs se, P P eştlğ sğlır. İspt: P mtrs ortogol br mtrs se eorem.6 le P ±. Ortogol mtrsler smetrk olduğud eorem.5 le P P olduğud P P koşullrı sğlır. Bu durumd P P P P elde edlr. eorem.6 mtrs, şeklde lt mtrslere yrılmış ve le kre mtrslerdr. Eğer vey se, olrk elde edlr. İspt: mtrs brm mtrs olmsı durumud,
I bulublr. Bu souç kullılrk I I elde edlerek teorem sptı ypılblr. Dh sor bu teorem le I fdes tımlrk teorem üçge (lt vey üst) mtrs determtı ç geşletlerek, soucu buluur. I I Prçlmış mtrsler determtı ç geel tım şğıdk şeklde verleblr. ve kre ve tekl olmy mtrsler olmk üzere, I I B ve B I - I şeklde B ve B mtrsler tımlrk, B B çrpımı elde edlr. B B olduğu ç, (.6) vey bezer br şeklde ltertf olrk, (.6b) şeklde elde edleblr. eorem.6 - mtrs determtı mtrs determtıı devrğdr.. DENKLEM SİSEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ
Eşlı doğrusl deklemler kümes le sttstksel doğrusl modeller kousud oldukç sık krşılşılır. Bu kısımd doğrusl deklemler çözümlü ve çözümlü se eşsz br çözümü vrlığı ve çözümler özellkler le lgl krterler rştırılcktır. Homoje olmy br doğrusl deklem sstem, + + m m b + + + m m b + (.6) + + + b m m şeklde tımlıp, bu sstem mtrs otsyoud, b (.6b) fdes le verleblr. Bu eştlkte, m boyutlu mtrs, m boyutlu vektör b se boyutlu br vektördür. Verle j ve b j set ç b eştlğ sğly br set mevcut mudur? Bu soru ç dkkte lıblecek üç durum sözkousudur. ) Eştlğ çözümü yoktur. Bu durumd sstem eştlğ sğly br vektörü yoktur ve sstem tutrsızdır. ) Sstem eştlğ sğly br tek set vrdır. Bu durumd sstem br tek çözümü vrdır. ) Sstem eştlğ sğly brde fzl vektörü vrdır. Eğer eştlğ sğly brde fzl vektörü vrs sosuz syıd çözüm bulublr. Sstem çözümü le lgl çlışmlr geçlmede öce lk şmd br mtrs rkıı değştrmeye bst stır (sütu) şlemler çıklcktır. Mtrs stırlrı (sütulrı) üzerde bst elemter şlemler olrk dldırıl üç opersyo tp vrdır: ) İk stırı (sütuu) yer değştrmes. ) Br stırı (sütuu) her hg br skler λ le çrpılmsı. ) j-c stırı (sütuu) λ ktıı -c stır (sütu) eklemes. Yukrıdk şlemler br I m brm mtrs üzere uygulsı. -c stırı (sütuu), j-c stırı (sütuu) le değşe mtrs E j, (F j ) şeklde, -c stırı (sütuu) λ skler le çrpıl mtrs E (λ), F (λ) le ve j-c stırı (sütuu) λ le çrpılıp -c stır (sütu) eklee mtrs E (λ/j), F (λ/j) le gösterlecektr. Burd E (y d F) boyutu m m ol brm mtrste elemter şlemler le elde edle mtrstr ve elemter mtrs olrk dldırılır. Öreğ m lırk, E E ( 7) 7 E ( 5 / ) 5
F F ( 7) 7 F ( 5 / ) 5 Mtrslerde görüldüğü gb, F j E j, F (λ)e (λ), olmkl brlkte ( λ / j) E ( λ / ) E ( λ j) F. j / Boyutu m ol br mtrs br dz elemter şlem le boyutu ol m br B mtrse döüştürüleblr. Dğer br deyşle, E k E k- E B koşuluu sğly solu syıd m m boyutlu elemter mtrs vrdır. Bu eştlk kısc BE şeklde gösterleblr. Boyutu m ol br mtrs br dz elemter stır (sütu) şlem uygulmsı le eşelo (echelo) mtrse drgeeblr. Br eşelo mtrs ypısı şğıd tımlmıştır: ) Eğer br stır sıfırd frklı br elem shp se sıfırd frklı lk elemı değer olup pvot elemdır. ) Eğer br sütu pvot elem shp se pvot elemı ltıdk tüm elemlr sıfırdır. ) Eğer br stır pvot elem shp se bu stırı üstüdek her br stırı pvot elemı e z br sütu sold yer lır. şğıdk H mtrs br eşelo mtrstr: H h h h h 5 5 h6 h6 h 6 Mtrs üç det pvot elemı vrdır. Eşelo mtrsler rkıı belrlemek oldukç kolydır. üm elemlrı sıfırd frklı stırlrı syısı mtrs rkıı belrler yukrıdk mtrs ç ρ(h). Boyutu m ol her mtrs br dz elemter şlem le eşelo mtrse döüştürüleblr. Dğer br deyşle, E k E k- E H koşuluu sğly solu syıd m m boyutlu elemter mtrs vrdır. Br eşelo mtrs elde etmek ç kullılblecek üç dımlı lgortm şğıd verlmştr: dım. lt sırsıd e z br te sıfırd frklı elemı ol lk sütuu j belrle. Eğer böyle br sütu yok se şlem durdur. dım. Eğer se -c sıryı j sütuudk elemı sıfırd frklı her hg br sır le j değştr. dım. j sütuudk sıfırd frklı elemlrı elemter şlemler le sıfır drge.
5 Elde edle mtrs heüz eşelo formud değldr çükü her sırdk pvot elemlr değerde değldr. Her br sır pvot elemı değere bölüerek eşelo mtrs elde edlr. Örek.5 şğıdk 5 boyutlu mtrs elemter şlemler le eşelo ypıy drgey. 7 Çözüm: lgortm zledğde, dım j, dım olduğud stır ve yer değştrr. 7 E dım stır stır de çıkrılır. ( ) / E dım e döülür. dım j, dım olduğud stır değştrme gerekl değldr. dım stır stır de çıkrılır. ( ) / E dım e döülür ve şlem durdurulur. So şmd pvot elemı değere eştlemek ç stır br ½ le çrpılır. ( ).5 5 E mtrs üzere ypıl elemter şlemler: ( ) ( ) ( ) E E E E H 5 / /.5 le özetleeblr. mtrs rkıı ρ() olduğu d görülmektedr. Örek.6 Örek.5 d elde edle eşelo mtrs br dz elemter sütu şlem le H mtrse döüştürülebleceğ gösterz. Çözüm: İlk olrk sütu le sütu yer değştrs.
H HF Sütu kullrk sütu, ve 5 lk stır elemlrıı sıfır değere döüştür. H ( /) F ( /) ( /) H F F5 So olrk Sütu y kullrk sütu ve 5 kc stır elemlrıı sıfır değere döüştür. ( /) F ( / ) ( / ) H H F F 5 elde edlr. eorem.65 Boyutu m ve rkı r ol her mtrs, E boyutu m m ve F boyutu ol elemter (tekl olmy) mtrsler ve H boyutu m ol eşelo mtrs olmk üzere, I r EF HF şeklde gösterleblr. Eğer mtrs tekl olmy br mtrs se mtrs br dz elemter şlem (ler doğru eleme) le E H eşelo mtrse ve dh sor ye elemter şlemler (gerye doğru eleme) le eşelo mtrs E HI m brm mtrse döüştürüleblr. Mtrsler rsıdk lşk ypısıı E E I m ve - E E olduğu görülmektedr. Bu yklşım lerde çıklck ol Guss eleme yötem tımlmktdır. eorem.66 Boyutu ve rkı ol (tekl olmy) her mtrs, E boyutu ve F boyutu ol elemter (tekl olmy) mtrsler olmk üzere, EF I şeklde gösterleblr. Souç.66. Her tekl olmy mtrs elemter mtrsler çrpımı olrk yzılblr. EFI olduğud ve elemter mtrsler ters ye elemter br mtrs tımldığıd, E F eştlğ elde edlr. ( E E E ) ( F F F ) E E F F k k l Bzı durumlrd br mtrs eşelo ypıy drgeme yı sır bu drgemey gerçekleştre E mtrs de bulumsı steeblr. EH eştlğ kullılrk, ve H mtrsler geşletlerek, k l 6