VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir.
YÖNLÜ OĞRU PRÇSI Uç noktlrdn iri şlngıç noktsı, diğeri de itim noktsı olrk seçilen doğru prçsın yönlü doğru prçsı denir. d VEKTÖR ( yönlü doğru prçsın) eş oln çok syıd yönlü doğru prçsı çizileilir. unlrın tümünü u yönlü doğru prçlrındn iri ile temsil edeiliriz. Sözü edilen yönlü doğru prçlrının kümesine vektör denir. : şlngıç noktsı : itim noktsı d: Tşıyıcı doğru (doğrultu) F ir yönlü doğru prçsının elli olmsı için:. yönünün. uzunluğunun. tşıyıcısının (doğrultusunun) ilinmesi gerekir. Tşıyıcılrı ynı vey iririne prlel oln yönlü doğru prçlrın prlel yönlü doğru prçlrı denir. EF = {,, EF} ( vektörü), n ( yönlü doğru prçsın) eş oln yönlü doğru prçlrının tümünü temsil etmektedir. E Tşıyıcılrı ynı vey prlel ve yönleri ters oln yönlü doğru prçlrın ters (zıt) yönlü doğru prçlrı denir. oğrultulrı ve yönleri ynı, uzunluklrı eşit oln yönlü doğru prçlrın, eş yönlü doğru prçlrı denir. ve eş yönlü doğru prçlrı şeklinde gösterilir. ir vektör; yönü, doğrultusu ve uzunluğu değişmemek koşulu ile yer değiştirileilir. öyle vektörlere eşit vektörler denir. şlngıç ve itim noktlrı ynı oln vektörlere sıfır vektörü denir ve... 0 ile gösterilir. vektörünün uzunluğu (normu), vey ile gösterilir. d oğrultulrı ynı, yönleri ters oln vektörlere = ise = dir. zıt (ters) vektörler denir. d k d // k ve = ise = dir. ve vektörleri; doğrultulrı ynı, uzunluklrı eşit zıt vektörler olup, = yzılır. 556
İki Vektörün Eşitliği üçgeninde U = (x, y) ve V = (x, y) olmk üzere, = m ise n ir Vektörün Tersi P = (, ) vektörünün tersi P = (, ) dir. n. + m. = dir. m+n İKİ VEKTÖRÜN TOPLMI VE FRKI NLİTİK ÜZLEME VEKTÖRLER nlitik düzlemde (x, y) ve (x, y) noktlrı verilsin. vektörüne eşit ve şlngıç noktsı orijin oln OP vektörüne, vektörünün konum çizelim. x x x F P sit ir O noktsı lıp şlngıç noktlrı O oln ve vektörlerine eşit vektörler y y O ve vektörlerinin toplmını ulmk için y y I. Prlelkenr Yöntemi (vey yer) vektörü denir. y U = V x = x ve y = y dir. K + x x O (x, y), (x, y) ve P(, ) olmk üzere, = OP (x x, y y) = (, ) olur. OP = P = (, ) şeklinde gösterilir. OP vektörü yerine P vektörü de yzılilir. E u iki kenr prlelkenr tmmlndığınd O dn geçen OK köşegen vektörü, ve vektörlerinin toplmıdır. II. Çokgen Yöntemi Toplmı istenen iki vektörden irinin itim noktsı ile diğerinin şlngıç noktsı çkıştırılır. irin- ir Vektörün Normu (Uzunluğu) ci vektörün şlngıç noktsı ile ikinci vektörün itim noktsını, şlngıç ve itim noktsı kul y P O H eden vektör toplm vektörüdür. İkiden fzl vektör için de ynı şekilde devm edilir. u yönteme x çokgen yöntemi denir. OP = (, ) vektörünün uzunluğu (normu), OP vey OP ile gösterilir. OHP dik üçgeninden OP = + + ulunur. + = + = 557
O y (x, y ) + (x, y ) (x + x, y + y ) = (x, y ) ve = (x, y ) olmk üzere + = (x + x, y + y ) = (x x, y y ) y x İki Vektörün Prlelliği 0, 0 ve k 0 olmk üzere, = k. // dir. = (x, y ), = (x, y ) için // x x irim Vektör y = = k y Uzunluğu irim oln vektöre, irim vektör denir. = r ise vektörü irim vektördür. nlitik düzlemde e = (, 0) ve e = (0, ) O x irim vektörlerine, stndrt (temel vey z) irim vektörler denir. = olduğun dikkt ediniz. y e = (0, ) ir Vektörün ir Reel Syı İle Çrpımı ir vektörü ve k R verilsin. I. k > 0 ise O e = (, 0) x k. k. = k. e e yty irim vektörü, i ile düşey irim vektörü, j ile gösterilir. II. k < 0 ise k. k. = k. = (x, y ) vektörü ile ynı doğrultu ve yöndeki irim vektör, I =. şeklinde ulunn I vektörüdür. III. k = 0 ise k. = 0 olur. 0 = (x, y ) vektörü ve k R için k. = (k.x, k.y ) dir. = (x, y ) vektörü ile ynı doğrultu frklı yöndeki irim vektör, I =. şeklinde ulunn I vektörüdür. 558
REHER SORU Çözüm c Yukrıd verilen,, c vektörleri için + + c toplmını ulunuz... Yukrıd verilen, vek tör le ri için + top l mı nı u lu nuz. Yukrıd verilen vektörler için vektörünü ulunuz. ESEN YYINLRI.. c c Yukrıd verilen vek tör ler için + + c top lmı nı u lu nuz. Yukrıd verilen vektörler için + c vektörünü ulunuz. 559
REHER SORU Çözüm c Şekildeki, ve c vektörleri rsınd c = x. + y. ğıntısı vrs x + y kçtır?.. c c Şekildeki,, c vektörleri rsınd c = x. + y. eşitliği vrs x + y kçtır? Şekildeki,, c vektörleri rsınd c = x. + y. eşitliği vrs x + y kçtır? ) ) 5 ) ) 7 E) ) 7 ) ) 9 ) 5 E) ESEN YYINLRI. c. c Şekildeki,, c vektörleri rsınd c = x. + y. eşitliği vrs x + y kçtır? Şekildeki,, c vektörleri rsınd c = x. + y. eşitliği vrs x + y kçtır? ) ) ) ) 5 E) ) ) ) ) E) 560
REHER SORU Çözüm d k Yu k rı d ki yön lü doğ ru pr ç l rı nın ş ln gıç nokt l rı nı, i tim nok t l rı nı, yön le ri ni ve doğ rul tu l rı nı e lir ti niz.. d. L d F K Şeklide d // d olmk üzere, şğıdkilerin doğru y d ynlış olduklrını elirleyiniz... c. d. nin doğrultusu d doğrusudur. ve ynı yönlüdür. ve KL zıt yönlüdür. ve FE prlel yönlü doğru prçlrıdır. E F d E üçge nin de, E, F ke nr or t nok t l rı dır. u n gö re, sol sü tun d ve sğ sü tun d u lu nn yön lü doğ ru pr ç l rın dn eş oln l rı nı e lir le yi niz... E.. 5. F.. c. d. FE F e.. ESEN YYINLRI. K E F M L N E Yukrıdki p r lel ke n rı n gö re ş ğı dkilerin doğ ru y d yn lış ol duk l rı nı e lir le yi niz... ve ynı yönlüdür. Yukrıdki irim kreler üzerinde verilmiş oln vektörü ve,, E, F, K, L, M, N noktlrın göre şğıdki oşluklrı doldurunuz.. =.... =... c. E E d. E ve E zıt yönlüdür. c. =... d. =... e. E = E f. E ve E ynı doğrultuddır. e. EF =... NM f. KL =... 56
REHER SORU Çözüm Yukrıdki irim kreler üzerinde verilmiş oln ve vek tör le ri için vek tö rü nü u lu nuz.. = r olmk üzere,.. =. EF = u c. KL = d. MN = v vektörlerini irim krelere ölünmüş ir kğıt üzerinde gösteriniz. Yukrıd verilen u ve v vektörlerine göre şğıdkileri ulunuz.. u + v. u + v c. u + v ESEN YYINLRI.. c Yukrıd verilen,, c vek tör le ri ne gö re şğı d ki le ri u lu nuz. Yukrıd verilen ve vek tör le ri ne gö re şğı d ki leri ulunuz.. +. c. +. + + c. + c c. + c 56
REHER SORU 5 Çözüm üçgeninde = ise vektörünü ve vektörleri türünden yzınız... üçgeninde = ise vektörünün ve vektörleri tü rün den if de si ş ğı dki ler den hn gi si dir? üçgeninde = ise vek tö rü - nün ve vek tör le ri tü rün den if de si şğı d ki ler den hn gi si dir? ). ) + ) + E) + ) + ESEN YYINLRI ) +. ) + ) + E) ) + + üçgeninde = 5 ve üçgeninde = ve. +. = ise c + c kçtır?. +. = ise c c kçtır? ) ) ) ) 5 E) ) ) ) ) E) 56
REHER SORU 6 Çözüm F E G üçgeninde G ğırlık merkezidir. un göre, + E + F = 0 olduğunu gösteriniz... E G üçgeninde G ğırlık merkezi olmk üzere, G + G + G ifdesinin eşiti nedir? ) ) ) ) 0 E) F dörtgeninde köşegenlerin ort noktlrı E ve F olmk üzere, + + + = x. EF ise x kçtır? ) ) 5 ) ) 7 E). E F ESEN YYINLRI. E F dörtgeninde E = E ve F = F ise EF vektörünün ve cinsinden ifdesi şğıdkilerden hngisidir? ) + ) ) + ) + E) + prlelkenrınd E = E ve E + [E] [] = {F} ise nedir? F 5 7 ) ) ) ) E) 56
REHER SORU 7 (, ) ve (, 6) olmk üzere, vek tö rü nü ve yer (ko num) vek tö rü nü u lu nuz. Çözüm. nlitik düz lem de ve ri len (, ), (, 0) ve (, ) nok t l rı n gö re,, vektör le ri nin ko num vek tör le ri ni ş ğı d ki n li tik düz lem de gös te ri niz. y. (, ) ve = (, ) ise nok t sı nın ko ordi nt l rı şğıdkilerden hngisidir? ) (5, ) ) (5, ) ) ( 5, ) ) ( 5, ) E) (, ) 0 x ESEN YYINLRI 5. (, ) ve = (, ) ise nok t sı nın ko ordi nt l rı şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) E) (, ). (+, ) ve (, 5) noktlrındn geçen vektörünün konum vektörü nedir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) E) (, ). = (, ), = (, ) olmk üzere, = ise + kçtır? ) 6 ) 5 ) ) E) 6. (, ), (, ) ve (, +) olmk üzere = ise (, ) şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) E) (, ) 565
REHER SORU 8 (, ) ve = (, ) ise kç r dir? Çözüm. (, ) ve (, ) olmk üzere, nin normu (uzunluğu) kç r dir? ) ) ) 5 ) 8 E) 0. V = (, ) vektörünün uzunluğu 5 r ise nın lileceği değerler toplmı kçtır? ) ) ) 0 ) E). = (, ) ise kç r dir? ) ) ) 5 ) 6 E) 7 ESEN YYINLRI 5. = (, ), (, ) ve (0, ) ise kç r dir? ) ) ) ) 5 E) 6. (, ) ve = (, ) ise kç r dir? ) 5 ) v7 ) c0 ) c E) 6 6. = (, ) ve = (, 5) ise kç r dir? ) ) ) ) 5 E) 6 566
REHER SORU 9 = (, ) ve = (, ) ol mk üze re ş ğı d ki le ri u lu nuz. Çözüm. +. c. + d.. = (, ) ve = (, ) ol mk üze re. = (, ) ve = (, ) olmk üzere şğıdkilerden hngisidir? kç r dir? ) (, ) ) ( 5, 5) ) (, 5) ) ) c0 ) v ) (5, ) E) (5, 5) ) c5 E). (, ), (, ) ve (, ) noktlrı için vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) ( 9, ) ) (9, ) ) ( 9, ) ) (9, ) E) (, 9) ESEN YYINLRI 5. + = (, ) ve = (, ) ise vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (0, ) ) (0, ) E) (, 0). = (, ) ve = (, ) olmk üzere vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) (, 5) ) (, 5) ) (, 5) ) (5, ) E) ( 5, ) 6. (, ), (, ) ve (, ) olmk üzere, vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) (, 5) ) (, ) ) (, 5) ) ( 5, ) E) ( 5, 5) 567
.. REHER SORU 0 = (, ) ile ynı doğ rul tu lu ve y nı yön lü i rim vek tö rü u lu nuz. = (, ) ile ynı doğ rul tu lu fkt zıt yön lü i rim vek tö rü u lu nuz. Çözüm. = (, ) ile ynı doğ rul tu lu ve y nı yön lü i rim vek tö r ne dir?. = (, ) ile y nı doğ rul tu lu, y nı yön lü ve uzun lu ğu r oln vek tör ş ğı d ki ler den hn- ), c m ), c m ), c m ), c m E), c m gi si dir? 8 ), 6 8 c m ), 6 c m ), c m ), c m 8 E), 6 c m ESEN YYINLRI. = (, v) vektörü ile ynı doğ rul tu lu fkt zıt yön lü i rim vek tö r şğıdkilerden hngisidir? ), d n ) d, n. = (, v) ile y nı doğ rul tu lu, zıt yön lü ve uzun lu ğu r oln vek tör ş ğı d ki ler den hngi si dir? ) (, v) ) (, v) ), d n ) d, E) d, n n ) f, p ) f, E) (, v) p 568
REHER SORU = e e ve = e e ise + kç Çözüm i rim dir?. V = e vektörünün ileşenleri şğıdkilerden. = e e ve = e + e ise kç hngisidir? i rim dir? ) (0, ) ) (, 0) ) (0, ) ) c ) c ) c5 ) E) c7 ) (, 0) E) (, ) 5. = i j ve = i + j ise vektö rü şğıdkilerden hngisidir?. = e + e ise kç irimdir? ) ) ) 5 ) 6 E) 7 ESEN YYINLRI ) i 8 j ) i 9 j ) i 0 j ) i 9 j E) i 8 j 6. + = e e. = i 5 j ve = i + 7 j olmk üzere, vektörünün uzunluğu kç irimdir? ) 5 ) ) 0 ) 8 E) 5 = e ise vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) e e ) e + e ) e e ) e + e E) e e 569
.. REHER SORU = (, ) ve = (, ) vek tö rleri prlel ise kçtır? = (, ) vektörünün x ve y eksenleri üzerindeki dik iz düşüm vektörlerini ulunuz. Çözüm. = (n+, ), = ( n, ) ve // ise. = (, ) vektörünün x ekseni üzerindeki dik n kçtır? iz düşüm vektörü nedir? ) 5 ) ) ) E) ) (0, ) ) (0, ) ) (0, 5) ) (, 0) E) (, 0). = (, n), = ( 6, ) ve // ise kç irimdir? ) v5 ) 8 ) 5v ) v5 E) 0 ESEN YYINLRI 5. V = (, ) vektörünün y ekseni üzerindeki dik iz düşüm vektörü nedir? ) (, 0) ) (, 0) ) (0, 5) ) (0, ) E) (0, ). (, ) ve (, ) noktlrı ile = (, ) vektörü veriliyor. // ise kçtır? ) 0 ) 8 ) 6 ) 6 E) 8 6. V = (, ) vektörünün x ekseni üzerindeki dik iz düşüm vektörünün uzunluğu kç r dir? ) ) ) ) 5 E) 6 570
REHER SORU x ekseni ile pozitif yönde 0 lik çı ypn irim vektörü ulunuz. Çözüm. = v i + j vektörünün x ekseni ile yptığı dr çının ölçüsü kç derecedir?. x ekseni ile po zi tif yön de 50 lik çı y pn irim vek tör şğıdkilerden hngisidir? ) 5 ) 0 ) 5 ) 60 E) 75 ) c, m ) d, ) d, n ) d, n n E), d n ESEN YYINLRI. x ekseni ile po zi tif yön de 60 lik çı y pn irim vek tör şğıdkilerden hngisidir? ), d n ), c ), c m ) (, 0) m. = e + v e vektörü orijin etrfınd po zi tif yön de 0 dön dü rü lür se olu şn ye ni vek tör şğıdkilerden hngisidir? ) v e + e ) e + v e ) e E) d, n ) v e + e E) v e 57
I. şğıd verilen yönlü doğru prçlrın göre sol sütund verilenler ile sğ sütund verilenleri eşleştiriniz. d. şlngıç noktsı. den y. itim noktsı.. Yönü c. d doğrusu. oğrultusu d. II. Sol sütundki vektörlerin uzunluklrını sğ sütund ulup eşleştiriniz..... 5. = (, ). = (, ). v5 = (0, ) c. = (v, ) d. E = c, m e. 5 III. Sol sütund ulunn vekörlerle ynı yönlü ve ynı doğrultulu irim vektörü sğ sütund ulup eşleştiriniz.. = (, ). (0, ). = (0, ). c, 5 m 5. = (6, 8) c. c, m. 5. = (, v) d. c, E = (, 5) e. d, 5 m n 57
5 6 7 8 9 0 5 SOLN SĞ. Geometrik şe kil le rin ko nu mu nu sı r lı ir s yı t kı mıyl göstermeye yryn sistem. nlitik düzlemde ir noktnın. ileşeni 5. nlitik düzlemde ir noktnın. ileşeni 0. ir vektörün uzunlu ğu. nlitik düzlemde ir noktnın ileşenleri. ir P noktsını şlngıç noktsın irleştiren yönlü doğru prçsının elirttiği vektör YUKRIN ŞĞIY. şlngıç noktsı. ik koor di nt sis te mi 6. Nesnelerin irim, uzunluk, ln, hcim v.. özellikleri ile ilgilenen mtemtik dlı 7. Vektörün üzerinde ulunduğu doğrunun dı 8. vektöründeki noktsı 9. vektöründeki noktsı. Ünlü ir mtemtikçi. psis ve ordintın pozitif olduğu ölge 5. Uzun lu ğu i rim oln vek tör 57
şğıdki sorulrın her irinde noktlı yerleri uygun şekilde doldurunuz.. KL de... şlngıç ve... itim noktsıdır.. Normu (uzunluğu) r oln vektöre,... denir.. oğrultulrı ynı, yönleri ters oln vektörlere... vektörler denir.. Zıt yönlü iki vektör rsındki çının ölçüsü... dir. 5. ve eş yönlü doğru prçlrı... şeklinde gösterilir. 6. e =... ve e =... irim vektörlerine temel irim vektörler denir. 7. şlngıç noktsı orijin oln vektöre... vektörü denir. 8. şlngıç ve itim noktsı ynı oln vektörlere... denir. 9. =... 0. = (, ) ve = (c, d) için c d = ise... dir.. e = (, 0)... irim vektördür.. e = (0, )... irim vektördür.. = (, ) ve = (c, d) olmk üzere, =... dir.. = (, ) ve k R ise k. =... dir. 57
şğıdki ifdelerden doğru olnlr için kutucuklr, ynlış olnlr için Y yzınız.. Koordint sistemleri düzlemi dört ölgeye yırır.. (x, y ) ve (x, y ) ise = (x x, y y ).. = (, ) vektörü ile ynı doğrultulu ve ynı yönlü irim vektörün ileşenleri toplmı tir. 5 = (, ) ise = + dir. 5. ynı yönlü ve ynı doğrultulu iki vektör rsındki çının ölçüsü 0 dir. 6. = dir. 7. = dir. 8. + = dir. 9. = dir. 0. + =. E + = E. şlngıç noktsı orijin oln vektöre, konum (yer) vektörü denir.. + =. = 575
576
TEST - Vektörler. = (, ) ve = ( 6, ) vektörlerine göre, kçtır? ) v5 ) 8 ) 5v ) 0 E) 5 5. (, ) ve (, ) olmk üzere, nin yer vektörünün uzunluğu kç r dir? ) ) ) v ) E) 5. = (, 9) vektörünün normu kçtır? 6. = (, ), = (, ) ve = (6, 7) ) ) 5 ) 8 ) 0 E) ise kçtır? ) ) ) ) E) 0. (, n ), (, n+) ve = (, ) ise + vek tö rü ş ğı d ki ler den hn gi si ne eşit tir? ESEN YYINLRI 7. = (, ), = (, ), = (, 6) vek tör le ri ve ri li yor. k. = ise k kçtır? ) ) ) ) E) ) (, ) ) (, ) ) (0, ) ) (0, ) E) (, 0) 8. Z Y X 0. (, ) ve (, 6) olmk üzere, = (, ) ise. kçtır? ) 5 ) ) ) 5 E) 6 Yukrıdki syı doğru su üze rin de ve ri len nok tl r gö re, ş ğı d ki vek tör çiftlerinden hn gileri zıt yönlü vektörlerdir? ) XY ile ) ZX ile ) YX ile ) Y ile E) ile 577
9. = (, ) ve = (, 0) olmk üzere. y + vektörü ile ynı yönlü oln irim vektör E (6, ) şğıdkilerden hngisidir? ), c m ), c m ) c, 5 m 5 O x ), c m E) c, 5 m 5 O dikdörtgeninde =, E = E ve (6, ) olduğun göre, O + OE vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) (6, ) ) (9, ) ) (9, 6) ) (, 9) E) (8, ) 0. = (, ), = (, ) ve = (x, y) vektörleri veriliyor. = ise x + y toplmı kçtır? ) ) ) ) 5 E) 7. = (, ), = (, ) ve = ( 5, ) ise ( ) şğıdkilerden hngisidir? ESEN YYINLRI. L K F O 0 Yukrıdki syı doğru su üze rin de ve ri len nokt l r gö re, ş ğı d ki vek tör ler den hn gi si nin uzun lu ğu i rim dir? ) OL ) ) K ) F E) OE E 5 ) (, 0) ) (, 0) ) (, ) ) (, ) E) (, ). u = (, ) ve v = (, ) ise u + v vektörü şğıdkilerden hngisidir? 5. = e e = e + e vektörleri veriliyor. un göre, şğıdkilerden hngisidir? ) (5, ) ) (5, ) ) (, ) ) (, ) E) (, 5) ) e + e ) e e ) e + e ) e + e E) e e 578
TEST - Vektörler. (, ) ve (, ) olmk üzere, nin normu (uzunluğu) kç r dir? ) 8 ) c ) 5v ) 7 E) v5 5. = e e ve = e + e ise kç i rim dir? ) ) v ) ) v E) c. (+, ) ve (, ) noktlrındn geçen vektörünün konum vektörü nedir? ) (, 5) ) (, 5) ) (, 5) ) (, 5) E) ( 5, ) 6. + = e e ve = e ise vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) e + e ) e e ) e ) e E) e ESEN YYINLRI. (, ) ve = (, ) ise nok t sı nın ko or dint l rı ş ğı d ki le rden hngisidir? ) (, 5) ) (, 5) ) (, 5) ) (, 5) E) ( 5, ) 7. = (, ) ile ynı doğrultulu, ynı yönlü ve uzunluğu r oln vektör nedir? 9 9 8 6 ) c, m ) c, m ) c, m 6 8 ) c, m E) c, m. = (+, ), = (, ) olmk üzere, = ise + kçtır? 8. = v i j vektörünün x ekseni ile yptığı dr çının ölçüsü kç derecedir? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 E) 0 ) 5 ) 0 ) 5 ) 60 E) 75 58
9. = (, ) ile ynı doğ rul tu lu ve y nı yön lü i rim vek tö r ne dir? ) c, m ) c, m ) c, m ) c, m E) c, m = e e ve = e e + c = koşulunu sğlyn şğıdkilerden hngisidir? olmk üzere, c vektörü ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) E) (, ) 0. = (, ) ve = (, 5) olmk üzere vektörü ile ters yönlü oln i rim vek tör şğı d ki ler den hn gi si dir? ) c, m ) c, m ) c, m ) c, m E) c, m ESEN YYINLRI. x ekseni ile po zi tif yön de 50 lik çı y pn ve uzun lu ğu r oln vek tör ş ğı d ki ler den hngi si dir? ) e e ) e + e ) e e ) e + e E) e e. U = (m, ) vektörünün uzunluğu 6 r ise m nin lileceği değerler toplmı kçtır? ) v5 ) v5 ) v5 ) E) 0 5. E K F. = (, 7) vektörünün = (, ) ve = (, ) vektörle ri tü rün den if de si ş ğı d kiler den hn gi si dir? ) ) ) ) + E) dörtgeninde köşegenlerin kesim noktsı K, x. + y. E = E, F = F, EF = ise x + y kçtır? ) ) 0 ) ) E) 58
Yzılıy Hzırlık Sorulrı. = ( 5, 7) vektörünün = (, ) ve. = (, v) vektörü orijin etrfınd pozitif yönde = (, ) vektörleri türünden ifdesi nedir? 90 döndürülürse hngi vektör elde edilir?. KL = (, ) ve MK = (, ) ise ML yönündeki 5. u = (, ) ve v = (, 6) ise irim vektör nedir? u + v vektörünü ulunuz. ESEN YYINLRI. Uzunluğu 6 r oln ve x ekseni ile pozitif yönde 0 lik çı ypn vektörün, stndrt irim vektörleri türünden yzılışı nedir? 6. (n, ) ve (, m) olmk üzere, = (, 6) ise n.m kçtır? 585
7. u = ( +, ) ve v = (, ) vek tör le ri prlel ise kçtır? 9. = e + e ve = e e olmk üzere, + vektörünü ulunuz. 8. = (v, ) vektörü ile ynı doğ rul tu lu fkt zıt ESEN YYINLRI 0. yön lü i rim vek tö r ne dir? üçgeninde = ise vektö rünü ve vek tör le ri tü rün den y zı nız. 586
Üniversiteye Giriş Sınv Sorulrı. 970 ÜSS V = i j vektörünün oyu kç irimdir? ) 5 ) ) ) E). 98 ÖYS ir prlelkenrının içinde P = PQ = Q olck içimde P ve Q noktlrı lınıyor. P = olduğun göre, prlelkenrının [] köşegeninin uzunluğu nedir? ) 8 ) 5 ) ) 9 E) 6. 97 ÜSS = [, ], = [8, 6] vektörleri veriliyor. x + y = [, ] eşitliğini sğlyn x, y değerleri şğıdkilerden hngisidir? ), ), ), ), E), ESEN YYINLRI. 979 ÜSS G, ğırlık merkezleri (kenr ortylrın kesim noktlrı)ortk iki üçgen olduğun göre, + + vektörler toplmı şğıdkilerden hngisidir? ) G ) 0 ) G ) G E) G 587
ESEN YYINLRI 588