AYRIK DALGACIK DÖNÜŞÜMÜ İLE GÜRÜLTÜ SÜZME Fahri VATANSEVER 1 Ferudu UYSAL Adullah UZUN 3 1 Sakarya Üiversitesi, Tekik Eğitim Fakültesi, Elektroik-Bilgisayar Eğitimi Bölümü, 54187 Esetepe Kampüsü/SAKARYA Sakarya Üiversitesi, Sakarya M. Y. O., Elektrik Programı, 54100 Adapazarı/SAKARYA 3 Sakarya Üiversitesi, Sakarya M. Y. O., Bilgisayar Programcılığı, 54100 Adapazarı/SAKARYA 1 e-posta: fahriv@sakarya.edu.tr e-posta: fuysal@sakarya.edu.tr 3 e-posta: auzu@sakarya.edu.tr ABSTRACT I practically, oe of the most importat prolems is oise i aplicatios. The oise is affect i egative directio for workig of systems. Therefore, various methods developed for deoisig. I this methods, makig deoisig with wavelet trasform is most popular ad recet method. Aahtar kelimeler: Dalgacık(wavele, Gürültü süzme 1. GİRİŞ Fourier döüşümü, işaret işleme alaıda ilk ortaya atıla döüşümdür. Bu döüşüm sayeside siyalleri spektrumları aaliz edileilmekte ve frekas domeide sistemleri ve özelliklerii etimlemesi sağlaailmektedir. Fourier döüşüm çifti (Fourier döüşümü ve ters Fourier döüşümü), aşağıdaki deklemlerle verilmektedir. jwt X ( w) = F{ x( } e dt (1) 1 1 jwt x( = F X ( w) = X ( w) e dw { } Fourier döüşümü deklemide x ( işareti, tüm zama aralığıda kompleks çarpa ile çarpılıp toplamaktadır. Souç olarak döüşüm, X (w) Fourier katsayılarıı vermektedir. Grafiksel olarak durum Şekil 1 deki giidir. Fourier döüşümü Farklı frekaslarda siüsoidler Şekil 1 Fourier döüşümüü grafiksel gösterimi Bezer şekilde sürekli dalgacık döüşümü SDD (Cotiuous Wavelet Trasform CWT) veya itegral dalgacık döüşümü İDD (Itegral Wavelet Trasform IWT) de işareti tüm zama aralığıda ψ dalgacık foksiyouu ölçekli ve değişke versiyolarıı çarpımıı toplamı olarak taımlaır. C ( ölçek, koum) ψ ( ölçek, koum, dt () SDD soucu olarak, foksiyou ölçek ve koumua uygu irçok C dalgacık katsayıları elde edilmektedir. Uygu ölçeklemiş ve ötelemiş dalgacıkla çarpıla herir katsayı, orijial işareti dalgacık ileşelerii oluşturur. Fourier döüşümü içi çizile grafiksel gösterim, dalgacık döüşümü içi de Şekil deki gii olur. Dalgacık döüşümü matematiksel olarak; veya 1 t ψ. dt (3) a a ψ ( = 1 a Dalgacık döüşümü Farklı ölçek ve koumlarda dalgacıklar Şekil Dalgacık döüşümüü grafiksel gösterimi ψ t a olmak üzere ψ t ( ) dt (4) deklemleriyle verilir. Bu deklemlerde a > 0, R olmak üzere a, ölçekleme parametresii; döüşüm parametresii; x (, işareti; ψ, dalgacık foksiyouu(aa dalgacığı); da işareti sürekli dalgacık döüşümüü elirtir. Ters dalgacık döüşümü de
1 1 x ( =.. ψ t da d C ( ). (5) ψ a deklemiyle verilmektedir. Bu deklemde C ψ, ir dalgacık saitii olup seçile dalgacık türüe ağımlıdır ve ψˆ ( w) Cψ = dw < (6) w uyguluk şartıı sağlamalıdır[1]. Şekil 3 te sistemlerde sık kullaıla azı işaretleri Fourier ve dalgacık döüşümleri görülmektedir. Şekil 3 Tipik azı işaretleri Fourier ve sürekli dalgacık döüşümleri.ayrik DALGACIK DÖNÜŞÜMÜ Sürekli işareti ayrık aalizii gerçekleştirilmesi durumuda (Ayrık dalgacık döüşümü ADD) ise ölçek ve döüşüm parametrelerii de ayrık kılıması gerekmektedir (Talo 1). Talo 1 Sürekli zama işareti içi sürekli ve ayrık aaliz formülleri Sürekli zama işareti Sürekli aaliz = Ayrık aaliz = 1 t 1 t x( ψ. dt x( ψ. dt a R a a R a a R {} 0, R j j a =, = k. = k. a, j, k Z ADD elde etmek içi kullaılailecek ola çoklu çözüürlük aalizide(çça); ayrık işarete ardışıl (iterasyo yoluyla) olarak alçak geçire ile yüksek geçire filtreler uygulamakta ve ortaya çıka işaretler ile veri azaltmaya tai tutulmaktadır. Şekil-4 de u prosedür verilmekte olup g [] ve h [] sırayla yüksek geçire ve alçak geçire filtreleri elirtmektedir. Ayrıca Şekil 4 te; herir seviye içi frekas atları da gösterilmektedir. Herir seviyede u prosedür; y yüksek y alçak [ k] = x[ ]. g[k [ k] = x[ ]. h[k ] (7) değerlerii hesaplamakta ve deklemlerde h[ N 1 = ( 1) g[ ] olup N, x [] i mevcut tüm öreklerii sayısıdır.
f = ~ g [] h[] 1. seviye f = ~ 4 x [] g [] h []. seviye f = 0 ~ f = 0 ~ g [] h[] f = 0 ~ 4 Elde edile katsayılarda orijial işaret ise alatıla adımları ters yöde kurmakla veya ( y yüksek [ k]. g[k ) ( y [ k]. h[k ) x[ ] = (8) k alçak deklemii hesaplamakla elde edilmektedir[]. AGF 1000 örek YGF f = ~ 8 4 3. seviye... Şekil 4 ÇÇA ile ADD hesaplama f = 0 ~ 8 Özler- kö 500 katsayı Ayrıtılar- ka 500 katsayı Şekil 5 Bir seviyeli, veri azaltmalı filtreleme işlemi lok diyagramı Şekil 6 Örek işareti 1. seviye 3. GÜRÜLTÜ SÜZME Gürültülü işaret içi düşüüle model aşağıdaki formdadır. Burada zamaı, eşit aralıklara ayrılmıştır. s( ) f ( ) σ. e( ) = (9) e( i N ) E asit modelde; ) (0,1 de Gaussia eyaz ir gürültü olduğu, gürültü seviyesii de σ = 1 olduğu varsayılacaktır. Gürültü süzmei amacı, s işaretii gürültülü kısmıı astırmak ve f i elde etmektir (Şekil 7).
Orijial işaret f () Gürültü e() Gürültü süzme s () ~ f ( ) Ayrıştırma Eşikleme Yeide oluşturma 1 3 Orijiale yakı işaret Şekil 7 Gürültü süzme işlemi lok diyagramı Gürültü süzme işlemi, üç aşamada oluşur. i. Ayrıştırma : N. seviyede ir dalgacık seçilir ve N seviyeside s işaretii dalgacık ayrışımı hesaplaır. ii. Ayrıtı katsayıları içi eşik değerii elirleme (eşikleme) : 1 de N e kadar ola herir seviye içi ir eşik değeri seçilir ve ayrıtı katsayılarıa uygulaır. Burada eşik değerii asıl seçileceğii ve u değeri performasıı asıl olacağıı elirlemesi öemli ir oktadır. Sert eşik değeri elirleme, e asit yötemdir. Yumuşak eşik değeri elirleme ise ir sürü matematiksel özelliklere sahiptir ve uula teoriye uygu souçlar elde etmek mümküdür. t eşikleme oktasıı olmak üzere, f (x) işareti içi eğer eşikleme sert ise yumuşak ise x > t f ( x) = x x t f ( x) = 0 x > t f ( x) = Sg( x) x t f ( x) = 0 ; ( x dir. Sert ve yumuşak eşikleme; Şekil 8 de örek ir işaret üzeride karşılaştırılmalı olarak görülmektedir. iii. Yeide oluşturma : N seviyesii orijial öz katsayıları ve 1 de N e kadar hesaplaa değiştirilmiş ayrıtı katsayıları kullaılarak işaret tekrar oluşturulur[3-4]. Gürültü süzmesii gerçekleştirecek ola yazılımı akış diyagramı Şekil 9 d örek gürültü süzme souçları da Şekil 10 da verilmektedir. Başla Gürültülü işaret ( s ) N. seviyede dalgacık seç. N. seviyede s işaretii ayrıştır. Ayrıştırma Eşik değeri elirle ve ayrıtı katsayılarıa uygula (eşikle) Eşikleme N. seviyede orijial öz katsayılarıı ve eşiklemiş ayrıtı katsayılarıı kullaarak işareti yeide oluştur Yeide oluşturma Gürültüde arıdırılmış işaret Dur Şekil 8 Sert ve yumuşak eşikleme Şekil 9 Gürültü süzme işlemii akış diyagramı
Şekil 10 Örek gürültü süzme souçları 4. SONUÇ Dalgacık döüşümü, farklı pecereleme foksiyoları ve asimetrik dalgacıklar kulladığıda işareti tam olarak etimleyeilmektedir. Böylece işaret hakkıda ayrıtılı ilgiye sahip olumaktadır. Buda dolayı dalgacık döüşümü; işaret işleme(gürültü süzme, işaret gösterimi vs.), görütü işleme(sıkıştırm gürültü süzme vs.), haerleşme, iyomedikal, matematik, istatitislik v. alalarda yaygı olarak kullaılmaktadır. Bu çalışmada; ayrık dalgacık döüşümü ile gürültü süzme işlemi örek işaretler üzeride gerçekleştirilmektedir ve u işlemi oldukça kolay ve verimli olduğu görülmektedir. KAYNAKLAR [1] Jaideva C. Goswami, Adrew K. Ch Fudametals of Wavelets, Joh Wiley&Sos, Ic. [] R. Polikar, The Story of Wavelets, IMACS / IEEE CSCC 99 Proceedigs, 1999, pp. 5481-5486 [3] www.mathworks.com [4] D. Dooho, Deoisig via Soft Thresholdig, IEEE Tra. o Iformatio Theory, Vol. 41, No:5, 1995, pp.613-67.