X Sabt Varyans Y Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Eşt Varyans EKKY nn varsayımlarından br anakütle regresyon fonksyonu u lern eşt varyanslı olmasıdır Her hata term varyansı bağımsız değşkenlern verlen değerlerne göre s ye eşt aynı (sabt) br değerdr Bu nedenle eşt varyansa sabt varyans da denr 1
Sabt Varyansta Hataların Dağılımı Tüketm y t Gelr x t
Sabt Varyans Durumu f(y t ) x 1 x x 3 x 4 Gelr x t 3
Farklı Varyans Kavramı Sabt varyans (homoscedastcty) varsayımına göre verl X açıklayıcı değşkenlerne bağlı olarak Y nn koşullu varyansı sabttr: =1,,,n de- Farklı varyans (heteroscedastcty) durumunda se ğştkçe nn koşullu varyansı da değşr: Y E(u ) s E(u ) s Farklı varyansa br örnek olarak tasarrufların varyansının gelrle brlkte artmasını vereblrz Yüksek gelrl alelern tasarrufları, düşük gelrl alelere oranla hem ortalama olarak daha çoktur hem de değşrlğ daha fazladır X 4
Farklı Varyans Hata Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Farklı Varyans Zaman 5
Farklı Varyansta Hataların Dağılımı Tüketm y t Gelr x t
Farklı Varyans Durumu f(y t ) Zengn breyler Yoksul breyler x 1 x x 3 Gelr x t
Farklı Varyansın Nedenler s Hata term varyansının değşken olma nedenlernden bazıları şunlardır: 1 Hata öğrenme (error learnng) modellerne göre breyler bazı konuları öğrendkçe daha az hata yaparlar Buna göre de nn de zamanla küçülmes beklenr Örnek olarak, blgsayarda klavye kullanma süres arttıkça hem klavye hataları hem de bunların varyansları azalır 8
Farklı Varyansın Nedenler Gelr düzey arttıkça gelrn harcanableceğ seçenekler de genşler Böylece, gelr düzey le brlkte hem harcamaların hem de bunların varyanslarının artması beklenr 3 Zaman çersnde ver derleme teknklernn gelşmesne koşut olarak de düşeblr s 4 Farklı varyans dışadüşen (outler) gözlemlern br sonucu olarak da ortaya çıkablrböyle gözlemlern alınması ya da bırakılması, özellkle de örneklem küçükken sonuçları öneml ölçüde değştreblr
Farklı Varyansın Nedenler 5 Farklı varyansın br dğer neden de model belrleme (spesfkasyon) hatasıdır Özellkle de öneml br değşkenn modelden çıkartılması farklı varyansa yol açablr 6 Farklı varyans sorunu yatay kest verlernde zaman sers verlerne oranla daha fazla görüleblmektedr Bunun neden, zaman serlernde değşkenlern zaman çersnde yakın büyüklüklerde olma eğlmdr 10
Farklı Varyans le Karşılaşılan Durumlar Kest Verlernde Kar dağıtım modellernde Sektör modellernde Ücret modellernde Deneme - Yanılma modellernde
En Küçük Kareler İle İlgl Özellkler 1 En Küçük Kareler Tahmncler doğrusal ve sapmasızdır Katsayı tahmncler etkn değldr 3 En Küçük kareler tahmnclernn standart hataları doğru değldr 4 Standart hata formuller doğru olmadığından güven aralıkları ve hpotez testler geçerl değldr
y t = b 1 + b x t + e t Farklı varyans durumunda: En küçük kareler varyans formulu geçerszdr: var(b ) = s S (x t - x ) Enküçük kareler varyans formulu aşağıdak gb düzeltlmeldr: var(b ) = S s t (x t - x ) [S (x t - x ) ]
Farklı Varyansın Belrlenmes Grafk Yöntemle Sıra Korelasyonu test le Goldfeld-Quandt test le Breusch Pagan test le Glejser Test le Whte test le Lagrange çarpanları test le Ramsey Reset test le Park test le 14
Grafk Yöntem 5 50 48 46 44 4 40 38 36 0 10 0 30 40 15 50
E Grafk Yöntem 7 6 5 4 3 1 00-1 0 10 0 30 40 50 16 YIL
Grafk Yöntem 4 3 1 0-1 - -3-4 0 10 0 30 40 17 50
Sıra Korelasyonu Test 1Aşama H 0 : r = 0 H 1 : r 0 Aşama a =? sd=? 3Aşama t hes r s n 1- - r s? t tab =? Sd rs 1-6 n(n -1)? 4Aşama t hes > t tab H 0 hpotez reddedleblr 18
Sıra Korelasyonu Test Y 75 88 95 15 115 17 165 17 183 5 X 80 100 10 140 160 180 00 0 40 60 e X s e s d d 70545 47091-36364 11018-1437 -1767 49818-33636 -77091 189455 1 3 4 5 6 7 8 9 10 5 3 7 8 9 4 1 6 10-4 -1 1-3 -3-3 3 7 3 0 16 1 1 9 9 9 9 49 9 0 Mutlak değerl olarak bulundukları yer tbaryle küçükten büyüğe sıra numarası verlr d=x-e Sd =11
Sıra Korelasyonu Test 1-6 Sd n(n -1) rs - 6 11 10(10-1) 1 = 031 1Aşama H 0 : r = 0 H 1 : r 0 Aşama a = 005 sd= 8 3Aşama t hes 031 10-1- (031) t tab = 306 = 09593 4Aşama t hes < t tab H 0 hpotez reddedlemez 0
Goldfeld-Quandt Test Büyük örneklere uygulanan br F testdr Bu test s nn farklı varyansının bağımsız değşkenlerden br le poztf lşkl olduğunu varsayar s s X s X le poztf (aynı yönde) lşkldr ve s farklı varyansı X n kares le orantılıdır Yan X değerler arttıkça s değer de artmaktadır
Goldfeld-Quandt Test Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + + b k X k + u Y X s X 3 X k IAlt Örnek n 1 Çıkarılan Gözlemler Y I = b 11 + b 1 X + b 31 X 3 + + b k1 X k + u Se 1 =? n(1/6) < c < n(1/3) IIAlt Örnek n Y II = b 1 + b X + b 3 X 3 + + b k X k + u Se =?
Goldfeld-Quandt Test 1Aşama H 0 : Eşt Varyans H 1 : Farklı Varyans Aşama a =? 3Aşama 4Aşama f f Se Se Fhes 1 F hes > F tab (n - c - k) 1?? F tab =? X bağımsız değşkennn değerler küçükyen büyüğe doğru lgl Y bağımlı değşkennn değerler de taşınarak sıralanır Ortadan c kadar gözlem çıkarılır H 0 hpotez reddedleblr 3
Yıl Tasarruf Gelr 1 64 8777 105 910 3 90 9954 4 131 10508 5 1 10979 6 107 1191 7 406 1747 8 503 13499 9 431 1469 10 588 155 11 898 16730 1 950 17663 13 779 18575 14 819 19635 15 1 1163 16 170 880 17 1578 417
Tasarruf 1654 Gelr 5604 1400 6500 189 7670 00 8300 017 7430 105 9560 1600 8150 50 3100 40 3500 570 3550 170 33500 1900 36000 100 3600 300 3800 Gelr bağımsız değşkenne göre tasarrufu da sıralıyoruz
n 1 Tasarrfuf Gelr n Tasarrfuf Gelr 1 64 8777 1 189 7670 105 910 1600 8150 3 90 9954 3 00 8300 4 131 10508 4 105 9560 5 1 10979 5 50 3100 6 107 1191 6 40 3500 7 406 1747 7 170 33500 8 503 13499 8 570 3550 9 431 1469 9 1900 36000 10 588 155 10 100 3600 11 898 16730 11 300 3800 Gelre göre sırandı Ortadan 31/4=8 veya 9 gözlem çıkarılacak İk alt grup oluşturuldu
S -73884 0 008X 1 Se 1 (1894) (0015) 1447771 S 114107 0 09X (7098) (00) Se 769899
f 1 =f =(n-c-k)/=9 sd de F tab =318 F test Se S e 1 769899 144771 5
Goldfeld-Quandt Test lnmaas = b 1 + b Yıl + b 3 Yıl Dependent Varable: lnmaas Included observatons: Varable Coeffcent Std Error t-statstc Prob C 3809365 0041338 915104 00000 Yıl 0043853 000489 9081645 00000 Yıl -000067 000011-5190657 00000 R-squared 0536179 Mean dependent var 435410 Adjusted R-squared 0531943 SD dependent var 030511 SE of regresson 00696 Akake nfo crteron -099140 Sum squared resd 9380504 Schwarz crteron -053158 Log lkelhood 36045 F-statstc 16583 Durbn-Watson stat 1618981 Prob(F-statstc) 0000000 9
Goldfeld-Quandt Test 1alt örnek sonuçları: Dependent Varable: lnmaas Sample: 1 75 Included observatons: 75 Varable Coeffcent Std Errort-Statstc Prob C 3954106 0059538 664134 00000 Yıl -001930 001019-1043349 03003 Yıl 0004375 0001600 73399 00079 R-squared 046565 Mean dependent var 4031098 Adjusted R-squared 0450781 SD dependent var 0167536 SE of regresson 014160 Akake nfo crteron -195318 Sum squared resd 110996 Schwarz crteron -10619 Log lkelhood 5157443 F-statstc 3136845 Durbn-Watson stat 1807774 Prob(F-statstc) 0000000 30
Goldfeld-Quandt Test Altörnek Sonuçları: Dependent Varable: lnmaas Sample: 148 Included observatons: 75 Varable Coeffcent Std Error t-statstc Prob C 4007507 0976346 4104598 00001 Yıl 001998 0060603 03883 0743 Yıl -000010 000090-0110443 0914 R-squared 007865 Mean dependent var 451399 Adjusted R-squared 0053031 SD dependent var 031175 SE of regresson 0496 Akake nfo crteron -0106594 Sum squared resd 364376 Schwarz crteron -0013895 Log lkelhood 699788 F-statstc 30707 Durbn-Watson stat 1684803 Prob(F-statstc) 005446 31
Goldfeld-Quandt Test 1Aşama Aşama H 0 : Eşt Varyans H 1 : Farklı Varyans a = 005 ( - 7-3) f f 143<F tab <153 1 7 3Aşama Se Se Fhes 1? 36438 = 3830 11099 4Aşama F hes > F tab H 0 hpotez reddedleblr 3
Breusch Pagan Test Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + + b k X k +u (1) 1Aşama (1) Nolu denklem EKKY le tahmn edlp e 1 e e n örnek hata termler hesaplanır Bu e lerden hareketle e s hesaplanır n Aşama p e s 3Aşama p = a 1 + a Z + a 3 Z 3 + + a m Z m +v () RBD =? 33
4Aşama Breusch Pagan Test p = a 1 + a Z + a 3 Z 3 + + a m Z m +v () 1 (RBD) c - m 1 m: () nolu denklemdek parametre sayısı 5Aşama H 0 : a = a 3 = =a m = 0 (Eşt varyans) H 1 : En az br sıfırdan farklıdır (Farklı varyans) c c hes tab H 0 reddedlr 34
Breusch Pagan Test Yıllar GSMH IT et Yıllar GSMH IT et 1971 164000 1171000 5317850 1981 694600 8933000-150700 197 069800 1563000 45890 198 6301400 8843000 0111170 1973 608100 086000 3558590 1983 5960700 935000 1444510 1974 3597600 3778000 516650 1984 584000 1075700 399440 1975 4486500 4739000 101660 1985 6500800 1134300 06040 1976 5133100 519000-0374870 1986 786100 1110500-0347510 1977 5861000 5796000-171900 1987 8375300 1415800-030390 1978 6486500 4599000-464450 1988 8735000 1433500-110760 1979 8880100 5069000-1078770 1989 1037470 1580000-4186170 1980 6734400 7909000-019190 1990 1453810 30000-9189460 IT: İthalat IT -19951 0165GSMH e 11115 35
Breusch Pagan Test 1Aşama Aşama e 11115 s 55575 n 0 p e s p p 0045111 0018977 0006813 0064343 0004446 04876 0000964 1914014 0055765 1384578 066704 085573 0540614 116343 80939 08038 9764475 01575 0194494 0080743 36
Breusch Pagan Test 3Aşama p -00599 00165GSMH e 8691 R 0050 RBD = 459 4Aşama 1 (RBD) 95 c m 1 c - 1,005 384 5Aşama H 0 : a = a 3 = =a m = 0 (Eşt varyans) H 1 : En az br sıfırdan farklıdır (Farklı varyans) c c H 0 reddedlemez hes tab 37
Glejser Farklı Varyans Test 1Aşama: Y le X (veya X ler) arasındak lşk tahmn edlerek, lgl örnek hata termler e ler bulunur Aşama: s le lşkl olduğu düşünülen bağımsız değşken çn aşağıdak modeller denenmektedr e a ax v e a a X v e a ax v 1 e a a v X 1 e a a v X e a a X v 38
Glejser Farklı Varyans Test 3Aşama: Korelasyon katsayısı ve a ların standat hata değerlerne göre en uyun model seçlp H 0 : a = 0 H 1 : a 0 test edlr 4Aşama: H 0 kabul edlrse eşt varyans gerçeklemştr sonucuna varılır 39
Glejser Farklı Varyans Test 1Aşama: Yıllar GSMH IT et Yıllar GSMH IT et 1971 164000 1171000 5317850 1981 694600 8933000-150700 197 069800 1563000 45890 198 6301400 8843000 0111170 1973 608100 086000 3558590 1983 5960700 935000 1444510 1974 3597600 3778000 516650 1984 584000 1075700 399440 1975 4486500 4739000 101660 1985 6500800 1134300 06040 1976 5133100 519000-0374870 1986 786100 1110500-0347510 1977 5861000 5796000-171900 1987 8375300 1415800-030390 1978 6486500 4599000-464450 1988 8735000 1433500-110760 1979 8880100 5069000-1078770 1989 1037470 1580000-4186170 1980 6734400 7909000-019190 1990 1453810 30000-9189460 IT: İthalat IT -19951 0165GSMH e 11115 40
Glejser Farklı Varyans Test Aşama: e 05358 0017GSMH t (05795) (1315) prob (05694) (0058) 3Aşama: H 0 : a = 0 H 1 : a 0 4Aşama: prob = 0058 > 005 H 0 reddedlemez Eşt varyans gerçekleşmştr 41
Whte Test Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + u Whte Test çn yardımcı regresyon: u = a 1 + a X + a 3 X 3 + a 4 X + a 5 X 3 + a 6 X X 3 + v R y =? Whte Test Aşamaları: 1Aşama H 0 : a = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 =0 H 1 : a lern en az br tanes anlamlıdır Aşama a =? sd= k-1 c tab=? 3Aşama W= nr y =? 4Aşama W > c tab H 0 hpotez reddedleblr 4
Whte Test lnmaaş = 38094 + 00439yıl - 00006 yıl Whte Test çn yardımcı regresyon: e = -00018 + 0000 Yıl + 00007 Yıl - 000003 Yıl 3 + 00000004Yıl 4 R y = 00901 1Aşama H 0 : a = a 3 = a 4 = a 5 =0 ; H 1 : a lern en az br tanes anlamlıdır Aşama a = 005 sd=5-1=4 c tab=94877 3Aşama W= nr y = (00901)= 000 4Aşama W > c tab H 0 hpotez reddedleblr 43
Lagrange Çarpanları(LM) Test Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + u LM test çn yardımcı regresyon: e a * b Ŷ v LM Test Aşamaları: 1Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b0 Aşama a =? sd= 1 * R y =? c tab=? 3Aşama LM= nr y =? 4Aşama LM > c tab H 0 hpotez reddedleblr 44
Lagrange Çarpanları(LM) Test lnmaaş = 38094 + 00439yıl - 00006 yıl LM Test çn yardımcı regresyon: e = -0736 + 00730 (lnmaas-tah) R y = 00537 1Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b0 Aşama a = 005 sd=1 c tab=384146 3Aşama LM= nr y = (00537)= 11914 4Aşama LM > c tab H 0 hpotez reddedleblr 45
Ramsey Reset Test Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + +b k X k + u 1Aşama: Ramsey Reset test çn yardımcı regresyon: e a a Y v 1 ˆ Aşama: H 0 : a = 0 (Eşt Varyans) H 1 : a 0 (Farklı Varyans) Hpotezler a hata payı le t tablosundan bulunacak değer le karşılaştırılır 3Aşama: t hes > t tab H 0 reddedlr 46
Ramsey Reset Test 1Aşama: IT -19951 0165GSMH e 449+0014Yˆ t (117) (0514) prob (074) (0613) Aşama: H 0 : a = 0 (Eşt Varyans) H 1 : a 0 (Farklı Varyans) 47
Ramsey Reset Test 3Aşama: t tab = t n-k,a = t 0-, 005 = 101 4Aşama: t hesap = 0514 < t tab = 101 H o reddedlemez 48
Park Test s s Xe ( ) b v ln s lns b ln X v s blnmedğnden bunun yerne hata kareler toplamı e kullanılır ( ) ln e lns blnx v lns a ( ) ln e a blnx v 49
Park Test 1Aşama: ( ) ln e a blnx v Aşama: H 0 : b = 0 (Eşt Varyans) H 0 : b 0 (Farklı Varyans) 3Aşama: t hes > t tab H 0 reddedlr 50
Park Test 1Aşama: ( ) ln e -9968 446ln X t (-867) (869) prob (0010) (00107) Aşama: H 0 : b = 0 (Eşt Varyans) H 0 : b 0 (Farklı Varyans) 3Aşama: t tab = t 18, 001 = 878???????? t hes < t tab H 0 reddedlemez 51
UYGULAMA: 3 alenn yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelrler (X) aşağıda verlmştr Ale Sayısı Y X u Ale Sayısı Y X u 1 8-075464 17 15-1541 3 35-01301 18 58 7 17447 3 41 135-153666 19 8 181 14103 4 35 8-080818 0 43 6 049313 5 4 59 046833 1 94 161 311164 6 63 153 0116 51 5-346933 7 46 97-008417 3 4 8-190818 8 88 64-00701 4 81 134 48841 9 73 18 04856 5 49 56 1435 10 44 67 04678 6 3 4-030556 11 67 113 161478 7 46 88 01414 1 35 47 006911 8 19 35-1301 13 68 63-04505 9 6 14-76094 14 7 3-06443 30 39 43 056938 15 31 61-068181 31 7 19 151373 16 4 3-06549 3 11 65 3048 5
UYGULAMA: Y = b 0 + b 1 X + model çn sabt varyans varsayımının geçerl olup olmadığını Grafk Yöntemle Sıra Korelasyonu test le Goldfeld-Quandt test le Breusch Pagan test le Glejser Test le Whte test le Lagrange çarpanları test le Ramsey Reset test le Park test le 53
Grafk Yöntem 54
Sıra Korelasyonu Test 1Aşama H 0 : r = 0 H 1 : r 0 Aşama a = 005 sd=? 3Aşama t hes r s n 1- - r s? t tab =? Sd rs 1-6 n(n -1)? 4Aşama t hes > t tab H 0 hpotez reddedleblr 55
Sıra Korelasyonu Test 1-6 Sd n(n -1) r s 1-6 3630 3(3-1) 1Aşama H 0 : r = 0 H 1 : r 0 Aşama a = 005 sd= 30 t tab = 04 t hes 03347 3-1 - (03347) = 19454 4Aşama t hes < t tab H 0 hpotez reddedlemez 56
Goldfeld-Quandt Test c = 3 / 5 = 64 6 gözlem atılacak (14-19 gözlemler) 13 gözlemden oluşan k grup çn modeller 1-13 gözlemler çn Y = 05096 + 06078X e1 3601 0-3 gözlemler çn Y = 38153 + 0173X e 499631 57
1Aşama Goldfeld-Quandt Test H 0 : Eşt Varyans H 1 : Farklı Varyans Aşama a = 005 3Aşama Se 499631 F 138016 e 3601 hes S 1 (3-6 -*) f1 f 11 F tab =8 4Aşama F hes > F tab H 0 hpotez reddedleblr 58
Breusch Pagan Test Y 58 0507X e 695490 1Aşama e 695490 s n 3 1734 Aşama p e s 59
Breusch Pagan Test 3Aşama p 00461 00850X e 4666 R 0196 RBD = 131 4Aşama 1 (RBD) 656 c m 1 c - 1,005 384 5Aşama H 0 : a = a 3 = =a m = 0 (Eşt varyans) H 1 : En az br sıfırdan farklıdır (Farklı varyans) c c H 0 reddedleblr hes tab 60
Glejser Farklı Varyans Test 1Aşama: e 05669 00517X t (0565) (599) Aşama: H 0 : a = 0 H 1 : a 0 3Aşama: a = 005 n k = 3 =30 t tab = 04 4Aşama: t hes > t tab H 0 reddedleblr Eşt varyans gerçekleşmemştr 61
Y 58 0507X Whte Test Whte Test çn yardımcı regresyon: e = -06909 + 03498X 00058X R y = 096 1Aşama H 0 : a = a 3 = 0 ; H 1 : a lern en az br tanes anlamlıdır Aşama a = 005 sd=3-1= c tab=599 3Aşama W= nr y = 3(096) = 7347 4Aşama W > c tab H 0 hpotez reddedleblr 6
Lagrange Çarpanları(LM) Test Y 58 0507X LM Test çn yardımcı regresyon: e 0417 + 0060 Y R y = 001 1Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b0 Aşama a = 005 sd=-1=1 c tab=384146 3Aşama LM= nr y = 3(001) = 643 4Aşama LM > c tab H 0 hpotez reddedleblr 63
Ramsey Reset Test 1Aşama: Y 58 0507X e 13647 01533Yˆ t (051) (753) prob (0605) (0009) Aşama: H 0 : a = 0 (Eşt Varyans) H 1 : a 0 (Farklı Varyans) 3Aşama: t hes > t tab H 0 reddedlr 64
Ramsey Reset Test 3Aşama: t tab = t n-k,a = t 3-, 005 =04 4Aşama: t hesap = 753 > t tab = 04 H 0 reddedleblr 65
Park Test 1Aşama: ( ) ln e -191 0705ln X t (-1765) (13113) prob (0088) (01997) Aşama: H 0 : b = 0 (Eşt Varyans) H 0 : b 0 (Farklı Varyans) 3Aşama: t tab = t 3-=30, 005 = 04 t hes < t tab H 0 reddedlemez 66
FARKLI VARYANSI ORTADAN KALDIRMA s YOLLARI Farklı varyans durumunda EKKY tahmncler etknlk özellklern kaybettklernden güvenlr değldrler Bu sebeple farklı varyans ortadan kaldırılmadan EKKY uygulanmamalıdır Y lern (veya u lern) farklı varyansları s nn blnp blnmemesne göre farklı varyansı kaldıran k yol vardır: nn BİLİNMESİ HALİ s nn BİLİNMEMESİ HALİ
nn BİLİNMESİ HALİ s Y = b 1 + b X + u s 1 u X b 1 b Y s s s s ( ) u E 1 u E s s 1 1 s s * * * * * 1 Y b b X u Genelleştrlmş EKKY(GEKKY)
Genelleştrlmş EKKY(GEKKY) Sabt term yoktur İk tane bağımsız değşken vardır Y s b 1 1 s b X s u s
Genelleştrlmş EKKY(GEKKY) * * * * * 1 Y b b X e e * e s ( * * ) 1 e Y - b - b X mn * * * * * ( ) ( ) ( ) ( ) e s Y s - b1 1 s - b X s ( ) w 1s ( * * ) 1 w e w Y - b - b X
Genelleştrlmş EKKY(GEKKY) w e b 0 * 1 w e b 0 * ( * * 1 )( ) w e b w Y - b - b X -1 * 1 ( * * 1 )( ) w e b w Y - b - b X -X * * * 1 w Y b w b w X * * * * 1 - b Y b X * * 1 w X Y b w X b w X b ( w )( wxy ) - ( wx )( wy ) ( w )( wx ) - ( wx ) * Y * w Y w X * w X w
EKKY ve GEKKY Arasındak Fark EKKY e Y - b - b X ( ) 1 mn GEKKY ( * * ) we w Y - b1 - bx w 1s mn
s nn BİLİNMEMESİ HALİ 1HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER Y b1 bx u lny lnb1 b lnx v HAL: E( u ) Y b1 bx u s s X Y X b 1 X b X 1 X u X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 b 1 X b v ( ) 1 1 E v E u X 1 X E u s X s X
s nn BİLİNMEMESİ HALİ 3 HAL: E( u ) s s X Y b1 bx u ( ) ( ) Y X b 1 X b X 1 X u X 1 ( ) b 1 X b X v 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s E v E u X 1 X E u 1 X X s
s nn BİLİNMEMESİ HALİ E u s s a a X 4 HAL: ( ) ( ) ( ) E u s 0 1 s f (X) ( ) ( ) ( ) f X a a X a a X 0 1 0 1 Y b1 bx u ( ) 0 1 a a X bölünür
s nn BİLİNMEMESİ HALİ E u s s E Y 5 HAL: ( ) ( ) Y b1 bx u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y E Y b E Y b X E Y u E Y 1 b 1 E( Y ) b X E( Y ) v 1
UYGULAMA: 3 alenn yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelrler (X) aşağıda verlmştr Ale Sayısı Y X u Ale Sayısı Y X u 1 8-075464 17 15-1541 3 35-01301 18 58 7 17447 3 41 135-153666 19 8 181 14103 4 35 8-080818 0 43 6 049313 5 4 59 046833 1 94 161 311164 6 63 153 0116 51 5-346933 7 46 97-008417 3 4 8-190818 8 88 64-00701 4 81 134 48841 9 73 18 04856 5 49 56 1435 10 44 67 04678 6 3 4-030556 11 67 113 161478 7 46 88 01414 1 35 47 006911 8 19 35-1301 13 68 63-04505 9 6 14-76094 14 7 3-06443 30 39 43 056938 15 31 61-068181 31 7 19 151373 16 4 3-06549 3 11 65 3048 77
1HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER ( ) ln Y 0546 0574ln X t (15691) (81077) prob (0171) (00000) ( ) R 06866 ln e 0047 0013ln Y R 00178 1Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 Aşama a = 005 sd=-1=1 c tab=384146 3Aşama LM= nr y = 3(00178) = 05696 4Aşama LM < c tab H 0 hpotez reddedlemez
HAL: E( u ) s s X ( ) Y X 177 1 X 0365 t (5151) (8109) prob (0000) (0000) e 00118 0097Y R 04694 R 00509 1Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 Aşama a = 005 sd=-1=1 c tab=384146 3Aşama LM= nr y = 3(00509) = 1688 4Aşama LM < c tab H 0 hpotez reddedlemez
3 HAL: E( u ) s s X ( ) Y X -46 1 X 83144 X t (-4686) (15337) prob (0001) (0000) R 07938 e 748 00749Y 1Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 R 0365 Aşama a = 005 sd=-1=1 c tab=384146 3Aşama LM= nr y = 3(0365) = 7568 4Aşama LM > c tab H 0 hpotez reddedleblr
E u s s E Y 5 HAL: ( ) ( ) 1 1 Y E( Y) 1839 09 E Y X E Y ( ) ( ) ( ) t (5630) (74167) prob (00000) (00000) R 0044 e -00439 0118Y R 0090 1Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 Aşama a = 005 sd=-1=1 c tab=384146 3Aşama LM= nr y = 3(0090) = 098 4Aşama LM < c tab H 0 hpotez reddedlemez