ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)

ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin lnı; ln()= 1. (tbn x yükseklik) u bğıntıd tbn, yüksekliğin indiği kenrdır. ir üçgenin tüm kenrlrı ynı zmnd bu üçgenin tbnıdır. ununl ilgili olrk şğıd verilen şekilleri dikktle inceleyiniz. b c h h b h c u şekilde üçgenin tbnı, yüksekliği h dır. u şekilde üçgenin tbnı b, yüksekliği h b dir. u şekilde üçgenin tbnı c, yüksekliği h c dir. ln()= 1..h ln()= 1.b.h b ln()= 1.c.h c []^[] = cm =7 cm ln= 1.(tbn x yükseklik) bğıntısındn ln()= 1.. = 1.7.= cm ln() kç cm dir? evp: []^[] ln()=0 cm ln= 1.(tbn x yükseklik) bğıntısındn. çrpımı kç cm dir? ln()= 1.. =0. =0.=0 cm evp: 0

Üçgende ln soru 1 soru [H]^[] H = cm [] tbnın it yükseklik kç cm dir? H [H]^[] H. = cm ln() kç cm dir? ) ) ) ) ) H ) ) 1 ) 1 ) 1 ) soru soru üçgeninin [H]^[] lnını bulmk için ln()= cm I: kenrı II: b kenrı III: h yüksekliği IV: h c yüksekliği Yukrıdkilerden hngi ikisi verilmelidir? ) I-II ) II-III ) I-III ) I-IV ) II-IV c b H. kç cm dir? H soru soru 7 [H]^[] H = cm =7 cm ln() kç cm dir? H ) 1 ) ) ) 0 ) soru soru [H]^[] H = cm ln()=1 cm kç cm dir? H ) ) 7 ) ) 9 ) KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ) ) 0 ) ) 90 ) 9 [H]^[] = H + ln()=0 cm H kç cm dir? H ) ) ) ) 7 ) [H]^[] H =x cm =x cm ln()=1 cm kç cm dir? x H ) ) ) ) 7 ) 1 7

Üçgende ln Uyrı ir üçgenin tbnı dim lttki kenrı olmk zorund değildir. ununl ilgili olrk verdiğimiz şğıdki kvrm sorulrını dikktle inceleyiniz. u şekilde üçgenimizin tbnı [] bu tbn it yükseklik ise [] dir. ln= 1.(tbn x yükseklik) bğıntısındn ln()= 1.. = 1..=1 cm []^[], = cm, = cm ln() kç cm dir? evp: 1 u şekilde üçgenimizin tbnı [] bu tbn it yükseklik ise [] dir. 9 ln= 1.(tbn x yükseklik) bğıntısındn ln()= 1.. = 1..9= cm evp: []^[], =9 cm, = cm ln() kç cm dir? ln= 1.(tbn x yükseklik) bğıntısındn ln()= 1.. = 1.. []^[], []^[], = cm, =1 cm ornı kçtır? ise burdn, 1.. = 1.1. = = 1 evp:

Üçgende ln soru 1 soru [H]^[] H = cm H = cm ln() kç cm dir? ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 []^[] [H]^[] I: ln()=. II:ln()=. H III:. = H. Yukrıdkilerden hngisi yd hngileri doğrudur? H ) Ylnız I ) I-II ) I-III ) II-III ) I-II-III soru soru [H]^[] =7 cm H [F]^[] []^[] H = cm F. =1 cm ln() kç cm dir?. kç cm dir? ) ) 0 ) ) ) soru soru 7 [H]^[] H = cm ln()= cm kç cm dir? ) ) ) 7 ) ) 9 H 7KRTZYN ĞİTİM YYINLRI F ) ) 1 ) 1 ) 1 ) 10 []^[] []^[] = cm = cm ornı kçtır? soru soru [H]^[] =10 cm ln()=0 cm H kç cm dir? ) ) 7 ) ) ) H 1 7 ) ) ) ) ) [H]^[] ln()= cm = H + H ornı kçtır? 1 ) ) ) ) ) H

ln()= 1.. = 1..= cm evp: ln()= 1.. = 1..= cm evp: Üçgende ln ik Üçgende ln ik Kenr Hipotenüs ir dik üçgenin lnı dik kenrlrın çrpımının yrısın eşittir. urd üçgenin dik kenrlrındn birisini tbn, diğerini bu tbn it yükseklik gibi düşünebilirsiniz. Yndki şekilde verilen dik üçgende ln()= 1.. ik Kenr []^[] = cm =7 cm ln() Şekilde verilen üçgende dik kenrlr [] ve [] ise ln()= 1.. = 1..7=1 cm evp: 1 7 kç cm dir? üçgen ir dik üçgende []^[] hipotenüse it = = cm kenrortyın uzunluğu yırdığı prçlr eşittir. ln() kç cm dir? = cm un göre, = = = cm = + {Pisgor bğıntısı} 10 = + ise = cm üçgeninde dik kenrlr [] ve [] olduğundn []^[] =. []^[] {Öklit bğıntısı} =1 cm = cm =1. ise = cm 1 ln() kç cm dir? 1 üçgeninde [] tbn, [] yüksekliktir.

Üçgende ln soru 1 soru []^[] = cm []^[] = = cm ln() kç cm dir? = cm = 1 cm 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 10 ) 9 ln() kç cm dir? ) ) 0 ) ) ) soru soru []^[] = cm =ò1 cm ln() kç cm dir? ò1 ) ) 9 ) 10 ) 11 ) 1 soru soru 7 []^[] = cm ln()=0 cm kç cm dir? ) 10 ) ) ) ) soru soru []^[] = =10 cm =1 cm 1 10 ln() kç cm dir? ) 9 ) 9 ) 90 ) ) 9KRTZYN ĞİTİM YYINLRI []^[] [H]^[] H = cm H =9 cm ln() kç cm dir? H 9 ) ) ) 9 ) ) []^[] [H]^[] H. =70 cm H = cm kç cm dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 10 ) []^[] [H]^[] H H = cm H = H +9 ln() kç cm dir? ) ) 0 ) ) ) 1 7

=ñ cm evp: ñ Üçgende ln Hipotenüs uzunluğu cm oln ikizkenr dik üçgenin lnı kç cm dir? Hipotenüs uzunluğu cm oln i- kizkenr dik üçgenin dik kenrlrının uzunluğu ñ = = =ñ cm dir. {İkizkenr dik üçgen kurlı} ñ ln()= 1.. = 1.ñ.ñ=1 cm evp: 1 0 0 []^[], m(é)=0, = cm ln() kç cm dir? 0 ñ =.ñ=ñ cm {0 0 90 üçgen kurlı} ln()= 1.. = 1..ñ 0 0 ñ 0 ñ = ise m(é)=m(é)= üçgeninde iç çılr toplmındn m(é)=0 dir. =.ñ=ñ cm {İkizkenr dik üçgen kurlı} []^[], []^[], m(é)=0, = = cm ln() kç cm dir? üçgeninde = = =ñ cm {0 0 90 dik üçgeni kurlı} üçgeninin dik kenrlrı [] ve [] olduğundn, ln()= 1.. = 1.ñ.ñ=1ñ cm evp: 1ñ 10

Üçgende ln soru 1 soru []^[] m(é)= = cm ln() kç cm dir? ) ) ) ) ) []^[] m(é)=0 0 = cm ln() kç cm dir? ) ñ ) 7ñ ) ñ ) 9ñ ) 10ñ soru soru Hipotenüs uzunluğu 10ñ cm oln ikizkenr dik üçgenin []^[] lnı kç cm dir? m(é)=0 ) ) 0 ) ) 0 ) = cm ln() kç cm dir? 0 soru soru 7 []^[] m(é)= ln()= cm kç cm dir? 11 1 ) ) ) ) ) KRTZYN ĞİTİM YYINLRI 7 9 11 ) ) ) ) ) []^[] []^[] m(é)=0 m(é)=0 =ñ cm ln() kç cm dir? 0 ñ 0 ) ñ ) ñ ) ñ ) 0ñ ) 1ñ soru soru []^[] ñ []^[] = =ñ cm = cm ln() kç cm dir? ñ ) 10 ) 9 ) ) 7 ) []^[] []^[] m(é)=0 0 m(é)= ln()= cm ln() kç cm dir? ) 1ñ ) 1ñ ) 1ñ ) 1ñ ) 1ñ 1 7 11

ln()= 1.. = 1..= cm evp: Üçgende ln Geniş çılı Üçgende ln ir iç çısı geniş çı oln üçgenlerde, geniş çının iki ynınd bulunn kenrlr it oln yükseklikler üçgenin dış kısmın düşer. u duruml ilgili şğıd verilen şekilleri dikktle inceleyiniz. h h b b c h c Şekilde, kenrın it yükseklik h, üçgeninin dışın düşer. Şekilde b kenrın it yükseklik h b, üçgeninin içine düşer. Şekilde c kenrın it yükseklik h c, üçgeninin dışın düşer. []^[] üçgeninde [] tbnın it yükseklik [] dir. = cm = cm ln= 1.(tbn x yükseklik) bğıntısındn ln()= 1.. = 1..=1 cm ln() kç cm dir? evp: 1 []^[], = cm, = cm, = cm ln() kç cm dir? üçgeninde Pisgor bğıntısındn + = = cm üçgeninde [] tbnın it yükseklik [] olduğundn ln()= 1.. = 1..= 9 cm evp: 9 []^[] m(é)=0 = cm = cm üçgeninde = 1. = cm {0 0 90 dik üçgeni kurlı} üçgeninde, 0 0 [] tbn, [] yüksekliktir. ln() kç cm dir? 1

Üçgende ln soru 1 soru []^[] = cm = cm = cm şğıd verilen ifdelerden hngisi yd hngileri doğrudur? I: ln()=. =10 cm dir. II: ln()=. = 1 cm dir..( + ) III: ln()= = cm dir. ) Ylnız I ) I-II ) I-III ) II-III ) I-II-III soru []^[] = cm = cm ln() kç cm dir? ) 1 ) 1 ) 9 ) ) soru []^[] = cm =1 cm =1 cm ln() kç cm dir? 1 1 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI []^[] []^[] = cm = cm =1 cm kç cm dir? ) 11 soru ) ) 9 []^[] m(é)=0 =1 cm = cm ln() kç cm dir? 0 1 ) ) ) ) ) 0 ) ) soru 7 []^[] m(é)= = cm = cm ln() kç cm dir? ) 7 ) ) ) 91 ) 11 ) ñ ) ) ñ ) 9 ) 1 soru soru []^[] = = cm H F ln()=ln(fk), = cm, FK = cm ornı kçtır? H K = cm ln() kç cm dir? ) 1/ ) 1/ ) 1/ ) 1/ ) 1/ ) ñ ) 1 ) 1 ) 1ñ ) 1 7 1

ln()= 1.. = 1..= cm evp: Üçgende ln 10 m(é)=10, = cm, = cm ln() kç cm dir? 10 0 0 []^[] olck şekilde [] ve [] çizelim. m(é)=0 ve m(é)=0 dir. üçgeninde = = cm {0 0 90 dik üçgeni kurlı} üçgeninde [] tbn ve [] yüksekliktir. 10 0 10 0 ñ m(é)=10, = = cm ln() kç cm dir? []^[] olck şekilde [] ve [] çizelim. m(é)=0 ve m(é)=0 dir. = = cm {0 0 90 dik üçgeni kurlı} =.ñ=ñ cm {0 0 90 dik üçgeni kurlı} üçgeninde [] tbn, [] yüksekliktir. ln()= 1.. = 1..ñ=ñ cm evp: ñ 1 ñ 1 ñ m(é)=1, = cm, =ñ cm ln() kç cm dir? Uyrı Yüksekliği köşesinden çizerseniz syılr kötü geldiği için soruyu çözmekte zorlnırsınız. Genel olrk bu trz sorulrd yüksekliği kenr uzunluğu tek syı olmyn köşelerden çizmeye çlışın. []^[] olck şekilde [] ve [] çizelim. m(é)=m(é)= dir. = = = = cm {ikizkenr dik üçgen kurlı} ln()= 1.. = 1..= cm evp: 1

Üçgende ln soru 1 soru m(é)=10 m(é)=1 = cm =x cm =9 cm 9 10 =x+1 cm ln()=ñ cm 1 x+1 x ln() kç cm dir? x kçtır? ) 9 ) ñ ) 9ñ ) 1 ) ) ) ) ) ) soru soru m(é)=1 = = cm ln() 1 10 kç cm dir? m(é)=10, =, ln()=1ñ cm ) ñ ) ) ) ñ ) 1 soru soru 7 m(é)=10 = cm = cm 10 ln() KRTZYN ĞİTİM YYINLRI kç cm dir? ) ) ) ) 7 ) m(é)=10 = + ln()=1 cm 10 kç cm dir? kç cm dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 10 ) ) 7 ) ) ) soru soru m(é)=10 m(é)=1 =ñ cm = cm ñ 10 ln()=1 cm ln(). çrpımının 1 kç cm dir? değeri kçtır? ) ) 9 ) ) 11 ) 9 ) 9ñ ) 1 ) 1ñ ) ) ñ 1 7 1

Üçgende ln F F []^[], [F]^[], = cm, =9 cm = cm, F = cm ln() kç cm dir? [] yi çizelim. ln()=ln()+ln() ln()= 1.. + 1.. F ln()= 1..+ 1.9.=9+1=7 cm evp: 7 F []^[], = cm, F = cm, = cm trlı bölgelerin lnlrı toplmı kç cm dir? ln(f)= 1 F. ln()= 1. Trlı bölgelerin lnlrı toplmı=ln(f)+ln() = 1. F. + 1.. = 1..+ 1..=10+0=0 cm evp: 0 ln()= 1. F ln()= 1. ln()=ln()+ln() F = 1.. F + 1.. [F]^[], []^[],. F =7 cm = 1.7+ 1.9= cm. =9 cm ln() kç cm dir? evp: 1

Üçgende ln soru 1 soru [K]^[] [KF]^[] =10 cm = cm FK = cm K = cm K F [H]^[] = cm H = cm H = cm trlı bölgelerin H ln() kç cm dir? lnlrı toplmı kç cm dir? ) ) 0 ) ) ) ) ) 0 ) ) ) 0 soru soru [H]^[] H = cm = cm = cm trlı bölgelerin H []^[] = cm = cm = cm = cm lnlrı toplmı kç cm dir? trlı bölgenin lnı kç cm dir? ) 1 ) 0 ) ) ) soru soru 7 []^[] = cm = cm = cm ln() ln() kç cm dir? KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ) 0 ) ) ) ) [H]^[] H = cm = cm = cm ln() ln() kç cm dir? H ) ) 1 ) 1 ) ) ) 19 ) 0 ) 1 ) ) soru soru []^[] [F]^[] =1 cm F = cm = cm F [F]^[] []^[]. = cm F = cm = cm =1 cm ln() kç cm dir? ) ) ) ) ) 0 ln() kç cm dir? F ) ) ) ) 0 ) 1 7 17

ln()= 1.. = 1..=1 cm evp: 1 Üçgende ln = = cm, = cm ikizkenr üçgeninin lnı kç cm dir? [] yüksekliğini çizelim. = = cm üçgeninde Pisgor bğıntısındn + = ise = cm [H] yüksekliğini çizelim. ikizkenr üçgen olduğundn, 1 1 1 1 1 H = H = cm H + H = ise H + =1 H =1 cm 10 üçgen, = =1 cm, =10 cm, = cm ln() kç cm dir? 1 1..1= cm H ln()=.. H = evp: ñ üçgen, []^[], =, = cm = cm ln() kç cm dir? Uyrı Sorud ÿ nin ikizkenr üçgen, ÿ nin dik üçgen olduğun dikkt ediniz. H [H]^[] olck şekilde [H] dikmesini çizelim. ikizkenr üçgen olduğundn H = H = cm H = H = = cm dik üçgeninde Öklit bğıntısındn H = H. H =. ise H =ñ cm üçgeninde [] tbn, [H] yüksekliktir. ln()= 1.. H =.1.ñ=1ñ cm evp: 1ñ 1

Üçgende ln soru 1 soru = =10 cm =1 cm ln() kç cm dir? 10 10 []^[] = = cm =10 cm 10 1 ) ) ) ) 0 ) ln() kç cm dir? ) ) 10 ) 1 ) 1 ) soru soru = =1 cm = cm []^[] = =1 cm 1 1 = cm =9 cm ln() kç cm dir? 9 1 ln() kç cm dir? ) ) ) ) 0 ) soru soru 7 = =17 cm =1 cm =10 cm ln() kç cm dir? 17 17 10 1 ) ) 70 ) 7 ) 7 ) 7 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ) ) 7 ) 0 ) ) üçgen = = cm = cm = cm ln() kç cm dir? 7 ) ) 9 ) 1 ) ) 1 soru soru = = cm = cm üçgen m(é)= =10 cm ln() kç cm dir? = = cm =11 cm 11 ln() kç cm dir? ) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) 0 ) 1 1 7 19

Üçgende ln ir kenrının uzunluğu cm oln eşkenr üçgenin lnı kç cm dir? 0 0 ñ eşkenr üçgenini ve [] yüksekliğini çizelim. = = cm dir. üçgeni, 0 0 90 üçgeni olduğundn =.ñ=ñ cm ln()= 1.. = 1..ñ=9ñ cm evp: 9ñ cm eşkenr üçgen, = cm, = cm ln() kç cm dir? 0 10 10 ñ H [H] yüksekliğini çizelim. eşkenr üçgen ise H = H = cm H = = cm H üçgeni 0 0 90 üçgeni olduğundn H = H.ñ=ñ cm ln()= 1.. H = 1..ñ=ñ cm evp: ñ [H]^[] olck şekilde [H] çizelim. eşkenr üçgen, = cm, = cm ln() kç cm dir? ñ 0 H 1 m(é)=0 ve m(hé)=0 dir. H = =1 cm {0 0 90 dik üçgeni kurlı} H = H.ñ=ñ cm {0 0 90 dik üçgeni kurlı} üçgeninde [] tbn, [H] yüksekliktir. ln()= 1.. H = 1..ñ= cm evp: 0

Üçgende ln soru 1 soru eşkenr üçgen =10 cm eşkenr üçgen = cm = cm ln() kç cm dir? 10 ln() kç cm dir? ) 7ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) 0ñ ) ñ ) 10ñ ) 1ñ ) 1ñ ) 1ñ soru soru Yüksekliği ñ cm oln eşkenr üçgenin lnı kç cm dir? ) ñ ) 0ñ ) ñ ) 0ñ ) 1ñ eşkenr üçgen,, doğrusl = cm = cm trlı bölgenin lnı kç cm dir? soru soru 7 ve F eşkenr üçgen = cm = cm iki üçgen rsınd kln trlı bölgenin lnı F kç cm dir? KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ) 1ñ ) 1ñ ) ñ ) ñ ) ñ eşkenr üçgen []^[] =10 cm = cm 10 ln() kç cm dir? ) 9ñ ) ñ ) 7ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) 9ñ ) 10ñ ) 11ñ ) 1ñ soru soru eşkenr üçgen = cm =7 cm ln() kç cm dir? ) 1ñ ) 10ñ ) 19 7 ) ñ ) 1 eşkenr üçgen = = cm = cm ln() kç cm dir? ) 10ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ 1 7 1

Üçgende ln Yükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrının ornı bu üçgenlerin tbnlrının ornın, tbnlrı eşit uzunlukt oln üçgenlerin lnlrının ornı, bu üçgenlerin yüksekliklerinin ornın eşittir. I.Yol [H] yüksekliği hem üçgeninin hem de üçgeninin yüksekliğidir. Yüksekliği eşit oln üçgenlerin lnlrının ornı tbnlrının ornın eşit olcğın- H dn ln() = = ln() üçgen, = cm, = cm ln() ornı kçtır? ln() II.Yol: evp: Yükseklik ortk olcğındn ln()=s ln()=s lırız. S S ln() S = = ln() S 1 üçgen, =1 cm, = cm, = cm = cm ln() ornı kçtır? ln() 1 S S S ln()=s+s+s=1s ise ln()=s llım. ln() 1 = = ise ln() ln()=s ln() = = ise ln() ln()=s ln() S 1 = = ln() 1S 1 evp: 1 1 x 9 üçgen, []^[], = cm, =9 cm = ln() kç cm dir? S x S 9 =x cm ise =x cm ln() = x = 1 dir. ln() x urdn, ln()=s cm ise ln()=s cm dir..9 ln()=s= 1 cm = ise ln()=s= cm dir. evp:

Üçgende ln soru 1 soru üçgen = 7 ln() ln() ornı kçtır? ) ) ) ) ) 7 7 7 7 7 []^[] = = =ñ cm ln() kç cm dir? ñ ) 9 ) 10 ) 11 ) 1 ) 1 soru soru üçgen ln()=10 cm ln()=0 cm ornı kçtır? 1 1 1 1 1 ) ) ) ) ) soru soru 7 = F = F ln() ln() ornı kçtır? F 1 1 1 ) ) ) ) ) KRTZYN ĞİTİM YYINLRI üçgen = = ln()= cm ln() kç cm dir? ) 0 ) ) ) ) üçgen = = ln()=0 cm ln() kç cm dir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 soru soru üçgen []^[] = cm =1 cm 1 üçgen [H]^[] H = cm =1 cm = = H ln() kç cm dir? ln() kç cm dir? ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) ) 9 ) 1 ) 0 ) 7 1 7

= 1... =9 cm evp: 9 Üçgende ln Trigonometrik ln ğıntısı x İki kenrının uzunluğu ve bu iki kenrın rsındki çısının sinüsü verilen (vey sinüsü bilinen) üçgenlerin lnını bulurken bu bğıntıdn fydlnbiliriz. Şekildeki üçgeninde ln()= 1.x.y.sin y m(é)= Trigonometrik ln bğıntısındn = cm =9 cm ln()= 1...sin = 1..9. 1 =9 cm 9 sin= 1 evp: 9 ln() kç cm dir?,, doğrusl, m(é)=, = cm, = cm, sin= ln() kç cm dir? çıklm: Toplmlrı 10 oln iki çının sinüsleri birbirine 10 sin(10 )=sin= Trigonometrik ln bğıntısındn ln()= 1...sin(10 ) eşittir. Yni sinα=sin(10 α) dir. ñ Trigonometrik ln bğıntısındn ln()= 1...sin = 1..ñ. 1 1 cm = m(é)=, = cm, =ñ cm ln() kç cm dir? sin = 1 dir evp: 1

Üçgende ln soru 1 soru m(é)= = cm = cm sin= ln() kç cm dir?,, doğrusl m(é)= = cm =10 cm ln()=0 cm sin değeri kçtır? 10 ) 10 ) 11 ) 1 ) 1 ) 1 1 ) ) ) ) ) soru soru m(é)= = cm sin= 1 ln()=10 cm kç cm dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 soru soru 7 10 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI m(é)= =ñ cm =10 cm ln() kç cm dir? ñ 10 ) ) ) ) 1 ) 0 m(é)=0 = cm =ñ cm ln() kç cm dir? 0 ñ m(é)=, = cm, =10 cm, ln()=0 cm sin değeri kçtır? 1 ) ) ) ) ) ) 1 ) 0 ) ) ) soru soru üçgen,,, doğrusl m(é)=, = cm = cm, sin= ln() kç cm dir? ñ m(é)=, =ñ cm, ln()=0 cm kç cm dir? ) 1 ) 0 ) ) ) ) 1 ) 10 ) ) ) 1 7

ln()= 1...sin= 1..9. = cm evp: Üçgende ln 9 [] []={} []^[] = cm = cm =9 cm = cm 9 ln() kç cm dir? m(é)=m(é)= olsun. krşı dik kenr üçgeninden, sin= = = = hipotenüs üçgeninde trigonometrik ln bğıntısındn üçgen []^[] = =10 cm = cm m(é)= olsun krşı dik kenr sin= hipotenüs = ln() kç cm dir? ln()= 1...sin= 1.10.. =1 cm evp: 1 9 7 9 7 [] []={}, =7 cm, =9 cm = cm, = cm ln() ornı kçtır? ln() m(é)=m(é)= olsun. 1...sin α ln() = ln() 1...sinα 1.7.9. sinα = = 1 0... sinα evp: 0

Üçgende ln soru 1 soru üçgen [] []={} [F]^[] = cm =1 cm = cm = cm F = cm F = = cm F 7 ln() kç cm ln()= cm ln() kç cm dir? dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 soru soru [] []={} []^[] =10 cm = cm = cm = cm ln() kç cm dir? ) 10 ) ) 1 ) 1 ) soru soru 7,, doğrusl []^[] = = cm = cm ln() kç cm dir? ) 1 ) 1 ) ) ) KRTZYN ĞİTİM YYINLRI = cm = cm = cm =10 cm ln() ornı kçtır? ln() 10 9 ) ) ) ) ) 1 7 7 7 1 üçgen =7 cm = cm = cm =7 cm ln() ln() 7 ornı kçtır? 9 7 ) ) ) ) ) 17 17 17 17 17 7 soru soru [] []={} ve üçgen = cm ln(k)=ln(k) =9 cm = cm 9 = cm = cm = cm = cm ln() ornı kçtır? kç cm dir? ln() K 7 7 9 7 ) ) ) ) )9 7 ) ) ) ) ) 1 7 7

Üçgende ln Üç Kenrının Uzunluğu Verilen Üçgenin lnı u= Çevre() + b + = c olmk üzere, c b ln() = u.(u ).(u b).(u c) Üç kenrının uzunluğu verilen çeşitkenr üçgenlerde bu bğıntıdn fydlnırız. ik üçgenlerde, ikizkenr üçgenlerde ve eşkenr üçgenlerde ise bu bğıntı yerine dh önce göstermiş olduğumuz yöntemler kullnılır. =7 cm = cm + b + c + + 7 + + 9 u = = = =1 cm 7 9 =9 cm ln() kç cm dir? ln() = u.(u ).(u b).(u c) bğıntısındn ln = 1.(1 9).(1 ).(1 7) = 1... =1ñ cm evp: 1ñ 7 Önce üçgeninin lnını bullım. + b + c + + + + 7 u = = = =9 cm ln() = u.(u ).(u b).(u c) bğıntısındn ln() = 9.(9 ).(9 7).(9 ) üçgen, = = cm, =7 cm, = cm ln() kç cm dir? = 9... =ñ cm ln() = eşitliğinden = ise ln() ln() ln()=ñ cm evp: ñ = cm = cm =ò1 cm ln() kç cm dir? ò1 Uyrı + b + c + + 1 9 + 1 u = = = u'nun değeri ü zorlştırck bir değer çıktığınd yukrıd verdiğimiz bğıntıyı kullnmyız. ò1 + =(ò1 ) bun göre, m(é)=90 dir. ln()= Kenrlrdn birisinin uzunluğu köklü syı olduğu için yukrıd verdiğimiz bğıntıyı kullnmyız. Üçgenimiz ikizkenr vey eşkenr olmdığın göre, dik üçgen olm durumunu inceleriz... = =10 cm evp: 10

Üçgende ln soru 1 soru =7 cm =9 cm =10 cm ln() 7 9 üçgen = cm = cm =7 cm = 7 cm 7 7/ kç cm dir? 10 ln() kç cm dir? ) ò ) ò ) ò ) 7ò ) ò ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ soru soru = cm =9 cm =11 cm 9 = =10 cm =1 cm ln() kç cm dir? 10 10 ln() 11 kç cm dir? ) 1ñ ) 11ñ ) 10ñ ) 9ñ ) ñ soru soru 7 üçgen =7 cm = cm = = cm 7 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI 1 ) 0 ) ) ) ) bir kenrı cm oln eşkenr üçgen ln() kç cm dir? ln() kç cm dir? ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) 9ñ ) 10ñ ) 1ñ ) 1ñ soru soru üçgen = cm = cm =7 cm = cm = cm =ò7 cm olduğun göre 7 =1 cm 1 ln() kç cm dir? ) ò1 ) 7ò1 ) ò1 ) 9ò1 ) 10ò1 ln() kç cm dir? ) 0 ) 7 ) ò7 ) 17 ) 1 1 7 9

ln=1.= cm evp: Üçgende ln şğıdki şekilde üçgeni ve bu üçgenin iç teğet çemberi verilmiştir. ir üçgende iç teğet çemberinin merkezi bu üçgenin iç çıortylrının kesiştiği noktdır. + b+ c Şekildeki çemberin yrıçpı r ve u = olmk üzere c r r O r b ln()=ln(o)+ln(o)+ln(o) =.r b.r c.r + + = + b+ c.r un göre, iç teğet çemberinin yrıçpı r, çevresi u oln üçgenin lnı ln=u.r Çevresi cm, iç teğet çemberinin yrıçpı cm oln üçgenin, lnı kç cm dir? + b + c u = = =1 cm r= cm ise ln=u.r bğıntısındn [] yüksekliğini çizelim. = = cm dir. üçgeninde Pisgor bğıntısındn + = ise = cm = = cm, = cm üçgeninin iç teğet çemberinin yrıçpı kç cm dir? ln= 1.(tbn x yükseklik) bğıntısındn ln()= 1.. = 1..=1 cm Çevre() + + u = = = cm ln=u.r bğıntısındn 1=.r ise r= 1 = evp: c c.s b.s b O noktsı üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olmk üzere, O, O ve O üçgenlerinin lnlrı üçgeninin kenrlrı ile orntılıdır. O.S 0

Üçgende ln soru 1 soru Çevresi 1 cm ve iç teğet çemberinin yrıçpı cm oln üçgenin lnı kç cm dir? ) ) ) ) ) eşkenr üçgen = cm üçgeninin iç teğet çemberinin yrıçpı kç cm dir? ) ) ) ) ) soru soru lnı cm ve çevresi cm oln bir üçgenin, iç teğet çemberinin yrıçpı kç cm dir? ) ) ) ) ) I noktsı üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi = = ln(i) ornı kçtır? ln() I soru soru 7 []^[] = cm = cm üçgeninin iç teğet çemberinin yrıçpı kç cm dir? 7 9 ) ) ) ) ) KRTZYN ĞİTİM YYINLRI 1 1 1 ) ) ) ) ) 9 9 9 10 I noktsı iç teğet çemberinin merkezi = cm =7 cm =9 cm ln(i) ornı kçtır? ln() 1 ) ) ) ) ) 7 1 1 7 7 I 9 7 soru soru = =10 cm =1 cm üçgeninin iç teğet çemberinin yrıçpı kç cm dir? 10 10 1 ) ) ) ) ) 7 []^[] = cm = cm I iç teğet I çemberin merkezi ln(i) kç cm dir? ) ) 7 ) ) 9 ) 10 1 7 1

Üçgende ln Yükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrının tbnlrı ile orntılı olduğunu öğrenmiştik. Üçgenlerin tbn uzunluklrı d ynı uzunlukt olurs lnlrı birbirine eşittir. irbirine prlel oln iki doğru rsındki üçgenlerin yükseklikleri birbirine eşittir. K d 1 h h h d 1 ve d doğrulrı birbirine prlel olduğundn ve KLM üçgenlerinin yükseklikleri birbirine eşit uzunluktdır. L M d Tbnlrı eşit uzunlukt oln üçgenlerin tbnının krşısındki köşeleri tbn prlel oln bir doğru üzerinde ise yükseklikleride eşittir. K L h h h Yndki şekilde []//[] dir. K, L ve üçgenlerinin tbn uzunluklrı [] ve yükseklikleri h olduğund lnlrı eşittir. ln(k)=ln(l)=ln()=.h üçgen []//[] ln(f)=10 cm = k []//[] F ve üçgenlerinin tbnını [] lırsk F ln() kç cm dir? F k ln()=ln(f) olur. ln()=ln(f)=10 cm = =k ise ln() 1 = ln() ln()=0 cm 10 1 = ln() ln()=ln()+ln() =0+10=0 cm dir. evp: 0 []//[] = cm = cm ln() kç cm dir? [] yi çizelim. Prlel kollr rsınd yükseklikler eşittir. ve üçgenlerinin [] tbnlrıd eşittir. ln()=ln() olur. ( ve üçgenlerinde [] tbn, [] yüksekliktir.).. ln()= = =10 cm evp: 10

Üçgende ln soru 1 soru d 1 //d ln() ln() ornı kçtır? d 1 1 ) ) ) 1 ) ) d 1 d 1 //d = cm F = cm ln() ln(f) ornı kçtır? ) ) ) ) ) F d 1 d soru soru d 1 //d = F d 1 üçgen []^[] ln()=0 cm []//[] ln(f)=0 cm ln(f) kç cm dir? = cm 9 7 ) ) ) ) ) soru soru 7 []//[] = ln(k)= cm ln() kç cm dir? F d KRTZYN ĞİTİM YYINLRI kç cm dir? ) 1 ) 1 ) 11 ) 10 ) üçgen, F ve bulunduklrı kenrlrın ort noktlrı ln(f)=10 cm F K ) 0 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ln(f) kç cm dir? F ) ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 soru soru üçgen []^[] []//[] []//[] ln(f)=1 cm =10 cm = = cm ln() kç cm dir? F ln() kç cm dir? 10 ) 1 ) 0 ) ) 0 ) ) 0 ) 0 ) ) ) 0 1 7

Üçgende ln Yndki şekilde üçgeni ve bu üçgenin O merkezli çevrel çemberi çizilmiştir. c R b O ir üçgende kenr ort dikmelerinin kesişim noktsı çevrel çemberin merkezidir. Şekildeki çemberin yrıçpı R ve =c, =, =b olmk üzere üçgenin lnı.b.c ln() = dir. R üçgeninin çevrel çemberi çizilmiştir. = = cm = cm çevrel çemberin yrıçpı kç cm dir? H ln()= 1.(tbn x yükseklik) = olduğu için [H] yüksekliğini çizelim. H = H = cm dir. H üçgeninde pisgor bğıntısındn H + = ise H = cm = 1..=1 cm.b.c ln() = bğıntısındn R.. 1 = ise R = cm R evp: 10 H 1 [H]^[] =10 cm =1 cm H = cm 10 H 1 ln()=.... ln()= 10.1.... R nolu eşitliklerin her ikiside üçgeninin lnı olduğundn çevrel çemberin yrıçpı kç cm dir? ln()=. = 10.1. ise R= 1 R cm evp: 1

Üçgende ln soru 1 soru üçgeninin çevrel çemberi çizilmiştir. ik kenrlrındn birisi ñ cm oln ikizkenr dik üçgenin çevrel çemberinin yrıçpı kç cm dir? = =1 cm =10 cm 1 1 ) ) ñ ) ) ñ ) 1 üçgeninin çevrel çemberinin yrıçpı kç cm dir? 10 19 19 19 19 19 ) ) ) ) ) 0 19 1 soru soru üçgeninin çevrel çemberi çizilmiştir. = =1 cm ln()= cm çemberin yrıçpı kç cm dir? 7 ) ) ) ) )7 soru soru 7 eşkenr üçgeninin çevrel çemberi çizilmiştir. = cm çevrel çemberinin yrıçpı kç cm dir? 1 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ir kenrı ñ cm oln eşkenr üçgenin çevrel çemberinin yrıçpı kç cm dir? ) ) ) ) ) lnı ñ cm oln eşkenr üçgenin çevrel çemberinin çpı kç cm dir? 9 11 ) ) ) ) ) ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ soru soru üçgeninin çevrel çemberi çizilmiştir. [H]^[] =1 cm 1 9 1 []^[] = cm =1 cm üçgeninin 1 =1 cm H =9 cm H çevrel çemberinin yrıçp uzunluğu kç cm dir? çevrel çemberin yrıçpı kç cm dir? 9 7 ) ) ) ) ) ) ) 7 ) ) 9 ) 10 1 7

ÜÇGN LN NLİTİK ÜZLM ÜÇGN

NLİTİK ÜZLM ÜÇGN İki Nokt rsındki Uzklık nlitik düzlemde, (x 1,y 1 ) ve (x,y ) noktlrı rsındki uzklığı bulmk için pisgor bğıntısı kullnılır. = (x x 1 ) +(y y 1 ) nlitik düzlemde (1, ), (, ), ( 1, 1) üçgeninin çevresi kç br dir? = bğıntısındn = = = Çevre()= + + =ñ+ñ+ñ=ñ evp: ñ nlitik düzlemde (0, ), (, 0) O üçgeninin çevresi kç br dir? O = br O = br = Çevre(O)=++=1 br evp: 1

Üçgende ln soru 1 nlitik düzlemde, (, 1), (, ) kç br dir? ) ò7 ) ) ò ) ò ) ò soru nlitik düzlemde köşelerinin koordintlrı (, 1), (0, ), (, ) oln üçgeninin, kenr uzunluğu kç br dir? ) ) ò7 ) ò10 ) ò1 ) 7 soru nlitik düzlemde, (, ), (1, ) noktlrı rsındki uzklık kç br dir? ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ soru nlitik düzlemde şekilde verilen O dik üçgeninin hipotenüs uzunluğu kç br dir? soru nlitik düzlemde şekilde verilenlere göre, KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ soru 7 kç br dir? ) ñ7 ) ò9 ) ò0 ) ñ ) nlitik düzlemde, (0, ), (, 0), (, 0) üçgeninin çevresi kç cm dir? ) ñ+1 ) ñ+10 ) ñ+10 ) ñ+1 ) ñ+10 soru nlitik düzlemde köşelerinin koordintlrı (1, ), (, 1), (x, y) oln üçgeninin, kenr uzunluğu kç br dir? ) ñ ) ) ñ ) ) ñ soru nlitik düzlemde, şekilde verilen üçgenine göre, + toplmı kç br dir? ) 9ñ ) ñ ) 7ñ ) ñ ) ñ 1 7 9

ln(o)= =1 br evp: 1 ln(o)= =9 br evp: 9 Üçgende ln O üçgeni kenrlrı br ve br oln bir dik üçgendir. nlitik düzlemde, şekilde verilen dik üçgenin lnını bulunuz. un göre, ln(o)= =9 br evp: 9 nlitik düzlemde şekilde verilenlere göre, O üçgeninin lnı kç br dir? O üçgeninde yükseklik br, tbn br dir. ln= bğıntısındn nlitik düzlemde şekilde verilenlere göre, O üçgeninin lnı kç br dir? O üçgeninde yükseklik br, tbn br dir. ln= bğıntısındn 0

Üçgende ln soru 1 nlitik düzlemde (0, ), (, 0) ln(o) kç br dir? soru nlitik düzlemde ( 1, 0), (, 0), (k, ) ln() kç br dir? ) ) ) ) ) ) 7 ) ) 9 ) 10 ) 1 soru soru nlitik düzlemde (, 0), (0, ) ln(o) kç br dir? ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 soru nlitik düzlemde KRTZYN ĞİTİM YYINLRI nlitik düzlemde, (7, ), (1, 1), (9, 1) ln() kç br dir? ) 1 ) 0 ) ) ) soru 7 nlitik düzlemde (, 0), (0, ) ln(o) kç br dir? (0, ), (, 0), (7, 0) ln() kç br dir? ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 10 soru nlitik düzlemde (, ), (, 0) ln(o) kç br dir? soru nlitik düzlemde (, 0), (0, ), (0, ) ln() kç br dir? ) 9 ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 ) ) ) ) ) 1 7 1