YAYINA HAZIRLAYANLAR

Transkript

1 rif ŞYKKUYN

2 Her hkkı sklıdır ve MVSİM SIM YY. Ğ. PZ. SN ve Tİ. LT. ŞTİ ne ittir. Metinler, örnekler, lıştırmlr nen d değiştirilerek lınmz, fotokopi ve bşk bir oll çoğltılrk kullnılmz. YYIN HZIRLYNLR ditör il Uzmnı Ölçme - eğerlendirme Uzmnı Görsel Tsrım Rehberlik ve Psikolojik nışmnlık Progrm Geliştirme Uzmnı : hmet GÖZTK : Nur ÖZÇLİK : Melek Gülşh RĞLU : bdüssmed ŞR : Hsn Şİİ : Subhn KŞİĞLU MVSİM SIM YY. Ğ. PZ. RKLM ĞİTİM TŞIMILIK İTH. İHR. SN. ve Tİ. LT. ŞTİ. Generl r. Tevfik Sğlm d. 80/ tlik Keçiören - NKR tel.: (03)

3 İSTİKLÂL MRŞI Korkm, sönmez bu şfklrd üzen l snck; Sönmeden urdumun üstünde tüten en son ock. benim milletimin ıldızıdır, prlck; benimdir, o benim milletimindir nck. Çtm, kurbn olım, çehreni e nzlı hilâl! Khrmn ırkım bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl? Sn olmz dökülen knlrımız sonr helâl... Hkkıdır, Hkk tpn, milletimin istiklâl! en ezelden beridir hür şdım, hür şrım. Hngi çılgın bn zincir vurckmış? Şşrım! Kükremiş sel gibiim, bendimi çiğner, şrım. Yırtrım dğlrı, enginlere sığmm, tşrım. Grbın âfâkını srmışs çelik zırhlı duvr, enim imn dolu göğsüm gibi serhddim vr. Ulusun, korkm! Nsıl böle bir imnı boğr, Medeniet! dediğin tek dişi klmış cnvr? stığın erleri toprk! dierek geçme, tnı: üşün ltındki binlerce kefensiz tnı. Sen şehit oğlusun, incitme, zıktır, tnı: Verme, dünlrı lsn d, bu cennet vtnı. Kim bu cennet vtnın uğrun olmz ki fedâ? Şühedâ fışkırck toprğı sıksn, şühedâ! ânı, cânânı, bütün vrımı lsın d Hud, tmesin tek vtnımdn beni dünd cüdâ. Ruhumun senden, İlâhi, şudur nck emeli: eğmesin mbedimin göğsüne nâmhrem eli. u eznlr-ki şhdetleri dinin temeli- bedî urdumun üstünde benim inlemeli. zmn vecd ile bin secde eder-vrs-tşım, Her cerîhmdn, İlâhi, boşnıp knlı şım, ışkırır ruh-ı mücerred gibi erden n şım; zmn ükselerek rş değer belki bşım. rkdş! Yurdum lçklrı uğrtm, skın. Siper et gövdeni, dursun bu hâsızc kın. oğcktır sn v dettiği günler Hkk ın... Kim bilir, belki rın, belki rındn d kın. 3 lgln sen de şfklr gibi e şnlı hilâl! lsun rtık dökülen knlrımın hepsi helâl. bedien sn ok, ırkım ok izmihlâl: Hkkıdır, hür şmış, brğımın hürriet; Hkkıdır, Hkk tpn, milletimin istiklâl! Mehmet Âkif RSY

4 TTÜRK ÜN GNÇLİĞ HİTSİ Türk gençliği! irinci vzifen, Türk istiklâlini, Türk cumhurietini, ilelebet, muhfz ve müdf etmektir. Mevcudietinin ve istikblinin egâne temeli budur. u temel, senin, en kımetli hzinendir. İstikblde dhi, seni, bu hzineden, mhrum etmek isteecek, dhilî ve hricî, bedhhlrın olcktır. ir gün, istiklâl ve cumhurieti müdf mecburietine düşersen, vzifee tılmk için, içinde buluncğın vzietin imkân ve şeritini düşünmeeceksin! u imkân ve şerit, çok nâmüsit bir mhiette tezhür edebilir. İstiklâl ve cumhurietine kstedecek düşmnlr, bütün dünd emsli görülmemiş bir glibietin mümessili olbilirler. ebren ve hile ile ziz vtnın, bütün kleleri zpt edilmiş, bütün tersnelerine girilmiş, bütün ordulrı dğıtılmış ve memleketin her köşesi bilfiil işgl edilmiş olbilir. ütün bu şeritten dh elîm ve dh vhim olmk üzere, memleketin dhilinde, iktidr ship olnlr gflet ve dlâlet ve httâ hınet içinde bulunbilirler. Httâ bu iktidr shipleri şhsî menftlerini, müstevlilerin sisî emellerile tevhit edebilirler. Millet, fkr u zruret içinde hrp ve bîtp düşmüş olbilir. Türk istikblinin evlâdı! İşte, bu hvl ve şerit içinde dhi, vzifen; Türk istiklâl ve cumhurietini kurtrmktır! Muhtç olduğun kudret, dmrlrındki sîl knd, mevcuttur! 4

5 MUST KML TTÜRK 5

6 İÇİNKİLR RGNİZSYN ŞMSI ÜNİT ÖRTGNLR ÖRTGN V TML LMNLRI...0 lıştırmlr ÖRTGNLRL İLGİLİ TRMLR...6 lıştırmlr....3 ÖRTGNİN ÇVR UZUNLUĞU V ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI... lıştırmlr...8. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI ÜNİT ÖZL ÖRTGNLR YMUK...34 lıştırmlr YMUKSL ÖLGNİN LNI...46 lıştırmlr PRLLKNR...55 lıştırmlr PRLLKNRSL ÖLGNİN LNI...6 lıştırmlr İKÖRTGN...70 lıştırmlr İKÖRTGNSL ÖLGNİN LNI...74 lıştırmlr ŞKNR ÖRTGN...79 lıştırmlr ŞKNR ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI...86 lıştırmlr KR...9 lıştırmlr KRSL ÖLGNİN LNI...96 lıştırmlr LTİ...0 lıştırmlr LTİSL ÖLGNİN LNI...05 lıştırmlr ÖRTGNLRİN RSINKİ İLİŞKİLR...09 lıştırmlr...0. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI ÜNİT ÇKGNLR ÜZGÜN ŞGN...8 KUM KÖŞSİ... lıştırmlr ÜZGÜN ŞGNSL ÖLGNİN LNI...3 lıştırmlr ÜZGÜN LTIGN...6 lıştırmlr...8 6

7 3.4 ÜZGÜN LTIGNSL ÖLGNİN LNI...9 lıştırmlr SN, RKTL V KPLMLR...33 lıştırmlr ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI ÜNİT ÇMR ÇMR V LMNLRI...50 PRJ...5 lıştırmlr ÇMRİN VKTÖRL, STNRT V GNL NKLMİ...54 lıştırmlr ÇMRİN PRMTRİK NKLMİ...66 lıştırmlr İR ÇMR İL İR ĞRUNUN İRİRİN GÖR KNUMU lıştırmlr ÇMRİN İR NKTSINKİ TĞTİ İL İLGİLİ TRMLR...8 lıştırmlr ÇMR ÇILR...87 lıştırmlr NKLMLRİ VRİLN İKİ ÇMRİN İRİRİN GÖR KNUMLRI...99 lıştırmlr İR NKTNIN İR ÇMR GÖR KUVVTİ lıştırmlr TĞTLR ÖRTGNİ... lıştırmlr KİRİŞLR ÖRTGNİ...8 lıştırmlr İRNİN LNI... lıştırmlr ÜZLM ÇMR YRIMIYL SN V RKTL GÖRÜNTÜSÜ LUŞTURM...8 lıştırmlr ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI ÜNİT KNİKLR KNİĞİN TML LMNLRI...38 lıştırmlr PRL...4 lıştırmlr LİPS...48 lıştırmlr HİPRL...56 lıştırmlr ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI...65 ÜNİT ĞRLNİRM YNIT NHTRI...67 SÖZLÜK...68 SML V KISLTMLR...70 KYNKÇ...7 PRJ ĞRLNİRM RMU...7 7

8 . ÜNİT Ünite ÖRTGNLR bşlığı. RGNİZSYN ÖRTGNLR ŞMSI. ÖRTGN V TML LMNLRI.3 ÖRTGNİN ÇVR UZUNLUĞU V ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI. ÖRTGNLRL u İLGİLİ bölümde TRMLR işlenecek konu ilgi çekmek için verilenler. tkinlik Hedeflenen Ömer Hm ve Geometri kznım ulşmk için pıln etkinlik. tkinlik bsmklrı. Ömer HYYM İrnlı şir ve bilgin. Htı, gençlik ıllrı ile ilgili kesin bilgi oktur. lde bulunn eserlerinden, htıl ilgili ollrı nltn bzı kitplrdn mntık, felsefe, mtemtik ve stronomi konulrınd çlıştığı, bu lnlrd düzenli bir öğrenim gördüğü nlşılmktdır. Hm ın fizik, metfizik, mtemtik, geometri, stronomi ile ilgili eserleri ve şiirleri vrdır. Ömer Hm, dörtgeni iki ucun eşit dikmeler inilmiş belli bir doğru prçsı olrk ele ldı ve dörtgenin üst çılrı için üç vrsım ort kodu: dr çılr, dik çılr ve geniş çılr. irinci ve ikinci vrsım, 9. d Guss oli- Lobtchewsk (Gus ole-lobçevski) nin ve Riemnn (Rimn) ın Öklidci olmn geometrilerinin çizimine ol çtı. Medn Lrousse nsiklopedisi 3 tkinlik sonucund ulşılmsı gereken kvrmlr. Kznıml ilgili tnım, bilgi ve konu çıklmsı. Ömer Hm (temsilî resim 048 3) İşlenişle ilgili örnek sorulr. Verilen örneğin çıklmlı çözümü. Gören göze güzel, çirkin hepsi bir; çözümün devmınd öğrencie bırkıln sorulr. şıklr cennet, cehennem hepsi bir; rmiş h çul gimiş, h tls; Yün stık, tş stık, seven bş hepsi bir. Kznıml ilgili geçmiş konulr it htırltmlr. 9 Kznıml ilgili kıs notlr. Ömer Hm PRJ Proje ödevi. kum köşesi. [!] Kvrmlrl ilgili urılr. Kvrmlrl ilgili teorem ve özelikler. Sonuç İşlenişte ulşıln sonuçlr. lıştırmlr İşleniş sonund verilen sorulr. Ünite sonlrınd verilen ölçme sorulrı. İşlenişle ilgili urılr. rştırm ve trtışm sorulrı. 8

9 ÖRTGNLR. ÜNİT ÖRTGNLR. ÖRTGN V TML LMNLRI. ÖRTGNLRL İLGİLİ TRMLR.3 ÖRTGNİN ÇVR UZUNLUĞU V ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI Ömer Hm ve Geometri Ömer HYYM İrnlı şir ve bilgin. Htı ve gençlik ıllrı ile ilgili kesin bilgi oktur. lde bulunn eserlerinden, htıl ilgili ollrı nltn bzı kitplrdn mntık, felsefe, mtemtik ve stronomi konulrınd çlıştığı, bu lnlrd düzenli bir öğrenim gördüğü nlşılmktdır. Hm ın fizik, metfizik, mtemtik, geometri, stronomi ile ilgili eserleri ve şiirleri vrdır. Ömer Hm, dörtgeni iki ucun eşit dikmeler inilmiş belli bir doğru prçsı olrk ele ldı ve dörtgenin üst çılrı için üç vrsım ort kodu: dr çılr, dik çılr ve geniş çılr. irinci ve ikinci vrsım, 9. d Guss oli- Lobtchewsk (Gus ole-lobçevski) nin ve Riemnn (Rimn) ın Öklidci olmn geometrilerinin çizimine ol çtı. Medn Lrousse nsiklopedisi Ömer Hm (temsilî resim 048 3) Gören göze güzel, çirkin hepsi bir; şıklr cennet, cehennem hepsi bir; rmiş h çul gimiş, h tls; Yün stık, tş stık, seven bş hepsi bir. Ömer Hm 9

10 ÖRTGNLR. ÖRTGN V TML LMNLRI tkinlik örtgenin Temel lemnlrını elirleelim rç ve gereç : kreli kâğıt, cetvel Kreli kâğıd bir koordint sistemi çiziniz. luşn nlitik düzlemde K(,3), L(,4), M(3, ) ve N(3,5) noktlrını işretleiniz. Sırsıl [KL], [LM], [MN] ve [NK] dn geçen doğru denklemlerini bulrk bu doğru denklemlerini nlitik düzlemde çiziniz. oğrulrın tümünün sınırldığı bölgei belirleen eşitsizlikleri ifde ediniz. luşn bölge içbüke mi dışbüke mi? Trtışınız. 3 Üçgenin de bir çokgen olduğunu düşünerek üçgenin temel elemnlrını göz önüne lıp dörtgenin temel elemnlrını belirleiniz. 3 luşn bölgedeki komşu çılr, komşu kenrlr, krşı çılr ve krşı kenrlrı belirleiniz. Kenrlr it her bir doğru prçsının ort noktsının koordintlrını bulunuz. 3 Komşu olmn iki kenrın ort noktlrını birleştiren doğru prçsın ne isim verilebilir? Trtışınız. Herhngi üçü doğrusl olmn dört noktı birleştiren dört doğru prçsındn oluşn kplı şekle dörtgen denir. G c d b H dışbüke dörtgen içbüke dörtgen,, ve noktlrı dörtgenin köşeleridir. [], [], [], [] doğru prçlrı dörtgenin kenrlrı ve, b, c, d dörtgenin kenr uzunluklrıdır. rdışık olmn iki köşei birleştiren [] ve [] doğru prçlrı dörtgenin köşegenleridir. ve X, X, X, X n d dörtgenin iç çılrı denir. çı, köşe ve kenr, dörtgenin temel elemnlrıdır. 0

11 ÖRTGNLR Her bir iç çısının ölçüsü 80 den küçük oln bir dörtgene dışbüke dörtgen, herhngi bir iç çısının ölçüsü 80 den büük oln dörtgene de içbüke dörtgen denir. ir dörtgenin komşu olmn iki kenrının ort noktlrını birleştiren doğru prçsın ort tbn denir. Yndki dörtgeninde ve olduğundn [] ort tbndır. [!] örtgen denilince dışbüke dörtgen nlşılcktır. Yndki dörtgenin elemnlrını zlım. h H g G f e,, G ve H noktlrı dörtgenin köşeleridir. [], [G], [GH], [H] doğru prçlrı dörtgenin kenrlrı ve e, G f, GH g ve H h dörtgenin kenr uzunluklrıdır. rdışık olmn iki köşei birleştiren [G] ve [H] doğru prçlrı ise GH dörtgenin köşegenleridir. GveH X, W, Y, X dörtgenin iç çılrıdır. şğıd verilen dörtgenlerin çeşidini belirleelim.. b. T S P R. dörtgeninde; dörtgenin iç çısının ölçüsü 80 den büük olduğundn, dörtgeni içbüke dörtgendir. b. PRST dörtgeninin, her bir iç çısının ölçüsü 80 den küçük olduğundn PRST dörtgeni dışbüke dörtgendir.

12 ÖRTGNLR (3,), (,4), (,), (, ) noktlrı bir dörtgenin köşeleridir. un göre;. örtgeni koordint düzleminde çizelim. b. örtgenin kenr uzunluklrını bullım. c. örtgenin ort tbnlrının koordintlrını bulup dörtgen üzerinde çizelim. ç. rt tbn uzunluklrını bullım.. b. (3, ), (, 4) ( 3, 4 ) ^ 5, h ( 5) br (, 4), (, ) ( ( ), 4) ( +, 3) ( 0, 3) 0 + ( 3) br (, ), (, ) ^ ( ), h ^+, 3h ^4, 3h ( 3) br enzer şekilde siz de nu bulunuz. 3. (,b), (c,d) olmk üzere (c, d b) dir.. u (,b) ise u nün normu u + b dir. 3. nün normu [] nın uzunluğun eşittir. dir. 4. (,b), (c,d) noktlrının ort noktsı ise, noktsının koordintlrı + c, b + c d m dir. c. rt tbnın uç noktlrının koordintlrı,, G ve H olsun. (3, ) ile (, 4) noktlrının ort noktsı olmk üzere; 3, + 4 c m, 6, c, 3 m c m (, 4) ile (, ) noktlrının ort noktsı olmk üzere;, 4+ c m 4,,, 5 5 c m c m

13 ÖRTGNLR (, ) ile (, ) noktlrının ort noktsı G olmk üzere; (, ) ile (3, ) noktlrının ort noktsı H olmk üzere; G +, c m G 0, c m G 0, c m H + 3, + c m H 5, 0 c m H 5 c, 0 m dır. rt tbnın biri [G] dır. Koordintlrı c, veg, 3 m c 0 m iğeri ise [H] dır. Koordintlrı, 5 veh 5 c, 0 m c m dır. rt tbnlrı dörtgen üzerinde çizilmiştir. 4 3 H G 3 ç. c, 3 mvegc 0, olmk zere; m ü 0, G c 3 m, 6 c m, 7 c m G 7 G c m + c m br dir. 4, 5 ve H 5 c, 0 olmk ü zere; m c m 5 ( ), 0 5 H c m 5, 5 c + m 5+ 4, 5 c m 9, 5 c m H H 9 5 c m + c m br olur. 4 Yndki nlitik düzlemde verilen dörtgeninde köşegen uzunluklrını bullım. (,0), (3,0), (4,) ve (0,4) dir. ( 4 ( ), 0) ( 6, ) br ( 0 3, 4 0) ( 34, ) ( 3) br bulunur

14 ÖRTGNLR Köşelerinin koordintlrı (, 5), (, 3), (,) ve (,3) noktlrı oln dörtgenin;. Kenr uzunluklrını bullım. b. Köşegen uzunluklrını bullım.. (, 5), (, 3) olmk üzere; ( ( ), 3 ( 5)) ( +, 3+ 5) (, ) (, 3), (,) olmk üzere; ( ( ), ( 3)) ( +, + 3) ( 5, ) br dir br dir. (,), (,3) olmk üzere; (, 3 ) (, ) + + br dir. (,3), (, 5) olmk üzere; (, 5 3) ( 4, 8) b. (,3) (,) ( 4) + ( 8) br dir. Köşegenler [] ile [] dır. hâlde [] ve [] nın uzunluğunu bulmlıız. ( ( ), ( 5)) ( +, + 5) ( 37, ) 58 br dir. (, 5) (, 3) ( ( ), 3 ( 3)) ( +, 3+ 3) ( 36, ) br bulunur.

15 ÖRTGNLR lıştırmlr. şğıdki dörtgenin temel elemnlrını noktlı erlere zınız. N M çılrı :...,..., M X,... Köşeleri :...,...,..., N Kenrlrı : [KL],...,...,... L K. şğıdki dörtgenlerin ort tbnlrını ve köşegenlerini cetvel rdımıl çiziniz.. b. H G 3. Koordint sisteminde dörtgeninin köşelerinin koordintlrı (,5), ( 4,), (,0), (,) dir. un göre dörtgeninin;. Kenr uzunluklrını bulunuz. b. Köşegen uzunluklrını bulunuz. c. rt tbnlrındn birinin uzunluğunu bulunuz. 4. Koordint düzleminde dörtgeninin köşelerinin koordintlrı (, ), (, 3), (,5) ve (,6) dır. un göre şğıdki boşluklrı ugun biçimde doldurunuz.. [] doğru prçsının ort noktsının koordintlrı (...,...) dır. b. [] doğru prçsının ort noktsının koordintlrı (...,...) dır. c. [] doğru prçsının uzunluğu... br dir. ç. [] doğru prçsının uzunluğu... br dir. d. ile köşelerini birleştiren köşegenin uzunluğu... br dir. 5. Koordint düzleminde dörtgeninin kenrın it ort noktsı (, ) ve ( 3,4) ise noktsının koordintlrının toplmı nedir? Çlışm odnızd ve oturm odnızd bulunn cisimlerden dörtgen olnlrı söleiniz. ir dörtgene dönüşümler ugulrk elde edilen eş ve benzer dörtgen ile sıl dörtgenin temel elemnlrı rsındki ilişkii trtışınız. 5

16 ÖRTGNLR. ÖRTGNLRL İLGİLİ TRMLR tkinlik ir örtgende rdışık İki İç çının çıortlrının luşturduğu çının Ölçüsü rç ve gereç : çıölçer Yndki dörtgenini inceleiniz. P üçgeninin iç çılrının ölçülerinin toplmını,, b cinsinden zınız. +b ı cinsinden ifde ediniz. dörtgeninin iç çılrının ölçülerinin toplmını, b, mve ( X ) m ( X ) cinsinden ifde ederek + b nın cinsinden değerini eşitlikte erine zınız. 3 P çısının ölçüsü ile ve çılrının ölçülerinin toplmı rsındki ilişkii ifde ediniz. 3 u şekle göre m ( X ) + m( X ) 70 olurs in kç derece olcğını bulunuz. P b b örtgenin iç çılrının ölçüleri toplmı, (n ). 80 olup n 4 için, (4 ) dir. ış çılrının ölçülerinin toplmı ise 360 dir. ir dörtgeninde ve çılrının çıortlrının kesim noktsı P olsun. u durumd, P m ( X ) + m( X ) mp ( X ) dir. İspt P üçgeninde (üçgenin iç çılrı toplmı 80 dir.) 80 olur. P dörtgeninde iç çılrın ölçüleri toplmı 360 olduğundn, m ( X) + m( X) + m ( X ) + m( X ) m ( X) + m( X ) 360 dir. hâlde; m( X) + m( X) 360 m( X) + m( X) ( 80 ) 6

17 ÖRTGNLR m ( X) + m( X) 80 dir. m ( X ) + m( X ) 80 olduğundn bulunur. Yndki dörtgeninde [] ve [] çıortlr, m( X ) 30, m ( X ) 00 ise m ( % ) in kç derece olduğunu bullım ve çılrının çıortlrının kesim noktsı X olduğundn; % m( X ) + m ( X ) m( ) dir bulunur. Yndki dörtgeninde, [K], [K] sırsıl ve çılrının çıortlrıdır. m( KL) 8 vem( X ) 6 ise m( X ) in kç % derece olduğunu bullım. 6 K 8 L mk ( % ) ve çılrının çıortlrının kesim noktsı K olduğundn, ( ) ( ) mk ( % ) m X + m X, 98,96 6, bulunur. ir dörtgeninde, krşılıklı iki iç çının çıortlrı rsın- dki dr çının ölçüsü, diğer iki çının ölçüleri frkının mutlk değerinin rısın eşittir. m ( % ) m ( X ) m ( X ) dir. İspt % % % dörtgeninde m( ) + m( ) + m( ) + m( X ) m( X ) m( X )

18 ÖRTGNLR dörtgeninde, m ( X) + m( X) + m ( X ) + m( X ) m( X ) + + m( X ) 360 ( + ) + m( X ) + m( X ) ( m( X ) + ) + m ( X ) + m ( X ) m( X ) + + m( X ) + m( X ) 360 m( X ) m( X ) m( X ) m( X ) % m( X ) m( X ) m( ) bulunur. Yndki dörtgeninde [] ve [ çıortlrdır. m( X ) 30, m( X ) 74 ise m ( % ) in kç derece olduğunu bullım ile çılrının çıortlrının kesim noktsı olduğundn, % m( X ) m( X ) m( ) dir bulunur. Yndki dörtgeninde [ ve [ çıortdır. m( X ) m( X % ), m( ) 40, m( X ) + m( X ) 00 ise çısının ölçüsünü bullım. 40 ile çısının çıortlrının kesim noktsı olduğundn, % m( X ) m( X ) m( ) dir. 40 ise 80 ise 80 dir. ( > ) hâlde; 80...( I) ( II) I ve II denklemlerinden, m( X ) 60 bulunur.

19 ÖRTGNLR Herhngi bir dörtgeninde, köşegenler birbirine dik ise krşılıklı kenrlrın kreleri toplmı birbirine eşittir c b + d dir. d c b İspt,, z ve t olsun. ve dik üçgenlerinde Pisgor bğıntısını zlım. + vec z + t dir. u eşitlikleri trf trf topldığımızd; + d t z c b + c z + t + c + + z + t... (I) bulunur. ve dik üçgenlerinde Pisgor bğıntısını zıp trf trf topldığımızd; d + t + b + z b + d + + t +z... (II) bulunur. (I) ve (II) eşitliklerde sol trflr eşit olduğundn +c b + d olur. Yndki dörtgeninde [] ^ [] ve 3 3 br, br, 4 br ise, [] nın uzunluğunu bullım. 4 dörtgeninde [] ^ [] olduğundn, + + dir br bulunur. 9

20 ÖRTGNLR Yndki dörtgeninde [] ^ [], dur. 9 cm, 7 cm ve 6 cm ise [] nın uzunluğunu bullım dörtgeninde [] ^ [] olduğundn, + + dir cm dir. dik üçgeninde, [] hipotenüse it kenrort olduğundn, 7 7 cm bulunur. Ynd dörtgen, [] ^ [] cm 7 cm 30 cm 9 cm olduğun göre kç cm dir? Köşegenleri dik olduğu için, ^ 30h cm dir. bul Vef nın düzlem geometri ile ilgili ptığı çlışmlrını rştırınız. 0

21 ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki dörtgeninde [] ve [] sırsıl X ve X % çılrının çıortlrıdır. [] ^ [] ve m ( ) 75 ise çısının ölçüsünü bulunuz. 75. Yndki dörtgeninde [], [G], [] ve [] çıortlrdır. m( % ) 85 ise m( G % ) kç derecedir? ) 90 ) 95 ) 00 ) 0 ) 0 3. Yndki dörtgeninde [ ve [] çıortlrdır. m( X ) 95, m( W ) 75 dir. un göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın nlış olnlr Y zınız.. (...) 0 dir. % b. (...) m ( ) 50 dir. c. (...) m ( W) + m( W) + m ( X) + m( X ) 360 dir. % ( ) ( ) ç. (...) m ( ) m W + m X dir. 4. Yndki dörtgende [], [], [] ve [] çıortlrdır. m( G % ) 0 ise m( H % ) kç derecedir? 5. Yndki dörtgeninde, [] ^ [] dir. 3 cm, 4 cm ve 6 cm ise [] nın uzunluğunu bulunuz. 3 G G H Yndki dörtgeninde [] ^ [] dir. 7 br, 5 br, 6 br ve 8 br olduğun göre kç birimdir?

22 ÖRTGNLR.3 ÖRTGNİN ÇVR UZUNLUĞU V ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI tkinlik ikdörtgensel ölgenin Çevre Uzunluğunu ve lnını ullım rç ve gereç : cetvel Yndki dörtgenini inceleiniz. 3 Her bir doğru prçsının uzunluğunu bulrk dörtgenin çevre uzunluğunu hesplınız. örtgensel bölgenin çevre uzunluğu kç frklı oll hesplnbilir? Trtışınız. örtgenin kenr ort noktlrını birleştirerek bir dörtgensel bölge elde ediniz. luşn dörtgensel bölgenin özelliklerini trtışınız. 3 luşn dörtgensel bölgenin çevresi ile dörtgeninin köşegenlerinin uzunluğu rsındki ilişkii çıklınız. 3 dörtgensel bölgesinin lnı ile dörtgeninin köşegenleri rsındki ilişkii trtışınız. 3 luşn dörtgensel bölgenin lnı ile dörtgensel bölgesinin lnı rsındki ilişkii trtışınız. ir dörtgenin çevresinin uzunluğu, dörtgenin kenr uzunluklrının toplmıdır. dörtgeninin çevre uzunluğu, Ç() + b + c + d dir. d c b Yndki koordint düzleminde verilen dörtgeninin çevre uzunluğunun kç birim olduğunu bullım

23 ÖRTGNLR dörtgeninin köşe koordintlrı (, ), (, ), (3,4) ve (, ) dir. ( ( ), ( )) ( +, + ) ( 3, ) ( 3, 4 ( )) ( 4, + ) ( 5, ) br br ( 3, 4) ( 5, ) ( 5) + ( ) ( ( ), ) ( +, 4) (, 4) br + ( 4) br Ç( ) br bulunur. tkinlik ir örtgenin Kenr rt Noktlrını irleştirelim rç ve gereç : kreli kâğıt, cetvel, mks Kreli kâğıd ndki gibi dörtgeni çiziniz. H Çizdiğiniz dörtgeni keserek çıkrınız. G luşn dörtgensel bölgenin her bir kenrının ort noktsını bulrk bu noktlrı ndki gibi birleştiriniz. luşn dörtgeni GH olrk isim- lendiriniz. dörtgensel bölgesini, oluşn eni dörtgenin kenrlrı bounc ktlınız. dörtgensel bölgesinin lnı ile GH dörtgensel bölgesinin lnı rsındki ilişkii çıklınız. 3 ir dörtgensel bölgenin kenr ort noktlrını köşe kbul eden dörtgensel bölgenin lnı ile dörtgensel bölgesinin lnı rsındki bğıntıı oluşturunuz. 3

24 ÖRTGNLR Yndki dörtgeninde K, L, M ve N kenrlrın ort noktlrı olmk üzere, ( ) KLMN ( ) dir. L K N İspt örtgenin [] ve [] köşegenlerini çizersek (üçgende ln özelliklerinden) oluşn bölgelerin lnlrı şekildeki gibi olur. urdn, () 4 + 4b + 4c + 4d ise () ( + b + c + d).(klmn), ((KLMN) + b + c + d) ( ) KLMN ( ) dir. b L b b c M K c M d c d N d Yndki dörtgeninde,, G, H ort noktlrdır. () 0 cm ise (GH)nın kç cm olduğunu bullım. H G ( ) 0,, G, H ort noktlr olduğundn GH ( ) ve GH ( ) 0 cm bulunur. Yndki dörtgeninde,, K, L ort noktlrdır. (KL) 30 cm olduğun göre,. () kç cm dir? b. (KL) kç cm dir?. ile noktlrını birleştirelim, [LK] // [] olduğundn, & & & L ( K) LK + & & k ( ) 4 L L 3 K K 3 s s s s 4

25 ÖRTGNLR [] // [] olduğundn & & & ( ) + & & k ( ) 4 (KL) cm, 3(+) 30 cm, + 0 cm olur. () ( + ) cm elde edilir. ( ) 40 b.,, K, L ort noktlr olduğundn KL ( ) 0 cm dir. ışbüke bir dörtgensel bölgenin lnı, köşegen uzunluklrı ile köşegenleri rsındki çının sinüsünün çrpımının rısın eşittir. dörtgensel bölgesinin lnı () olmk üzere; ( ).. sin e, f lınırs ( ) e.. f sin olur. İspt n,,, m llım. & & & & ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ).. sin( ).. 80 m sin. mn sin( 80 - ) +. n.. sin sin ( + m + mn+ n). sin ( + m).( + n). sin.. sin bulunur. sin n m Yndki dörtgeninde, & m ( ) 60, 5 cm, cm ise dörtgensel bölgesinin lnını bullım. 60 e 5 cm, f cm ( )... sin ef.. sin cm bulunur. 5

26 ÖRTGNLR Yndki dörtgeninde [] ^[] dir. 0 cm, cm ise () nı bullım. ()... s in cm bulunur. bullım. Yndki dörtgeninde [ ] + [ ] { } ve [] ^ [] dir. 4 cm, 3 cm ve cm ise () nı & dik üçgeninde, cm olur. & dik üçgeninde sin sin 4 5 e cm f cm ( ). e. f. sin cm bulunur p ve q bir dörtgenin köşegen vektörleri olmk üzere bu dörtgensel bölgenin lnının vektörel ifdesi, p q < pq, > dir. p d b q c 6

27 ÖRTGNLR ir dörtgenin köşegen vektörleri, p (, 3), q (, ) dir. u dörtgensel bölgenin lnını bullım. p (, 3) p ^ + ( 3) h 4+ 9 p 3 < p, q >. ( ) + ( 3).( ) q (, ) q ^ ( ) + ( ) h + 4 q 5 p. q < pq, > br u (, b) ve v (c,d) olmk üzere uile v nün iç çrpımı < u, v >. c+ b. d dir. bulunur. Yndki dörtgensel bölgesinin lnı- Y nı vektörel oldn bullım. örtgenin köşelerinin koordintlrı, ( 3, 0), (, ), (3, ) ve (, 3) dır. Köşegen vektörleri ve dir. ( 3 ( 3), 0) (, 3 ( )) ( 3+ 3, ) ( 03, + ) ( 6, ) ( 05, ) X ( 6, ), ( 05, ) <, > <, > 0 ( ) <, > br bulunur. 7

28 ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki koordint düzleminde verilen dörtgeninin çevre uzunluğu kç birimdir?. Yndki dörtgeninde [] ^ [], 6 br, 8 br, 5 br dir. un göre şğıdki ifdelerde noktlı erleri ugun biçimde doldurunuz dır. b.... br dir. c. dörtgeninin çevresi Ç()... br dir Yndki dörtgeninde, m( W ) m( X ) 90, cm, 9 cm ve 5 5 cm olduğun 5 5 göre, Ç() kç cm dir? ) ) ) 49 ) 55 ) Yndki dörtgen biçimindeki bir bhçenin ort noktlrı birleştirilerek GH dörtgensel bölgesi oluşturuluor. u oluşturuln bölgee çim ekilior. () 36 m olduğun göre çim ekili ln kç m dir? H G 8

29 ÖRTGNLR 5. Yndki dörtgeninde, % m ( ) 60, 4 cm, cm ise () kç cm dir? Yndki dörtgeninde, [] ^ [] dir. 7 cm, 3 cm, 4 cm ve 6 cm olduğun göre () kç cm dir? Yndki koordint düzleminde verilen dörtgensel bölgenin lnını bulunuz Yndki dörtgenin köşegenleri p ( 3, 4) ve q (, ) ise dörtgensel bölgenin lnını bulunuz. b d q p c 9. ir dörtgeninin köşelerinin koordintlrı (,), (, 3), (, 3) ve (,4) olduğun göre bu dörtgensel bölgenin lnını bulunuz. 0. Köşegenleri u (, ) ve v (, 3) oln dörtgensel bölgenin lnını bulunuz. 9

30 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI. şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) Herhngi üçü doğrusl olmn dört noktı birleştiren dört doğru prçsındn oluşn şekle dörtgen denir. b. (...) ir dörtgenin komşu olmn iki kenrının ort noktlrını birleştiren doğru prçsın köşegen denir. c. (...) ir iç çısının ölçüsü 80 den büük oln dörtgene içbüke dörtgen denir. ç. (...) ir dörtgenin komşu olmn iki köşesini birleştiren doğru prçsın ort tbn denir.. Yndki koordint düzleminde verilen dörtgenin [] köşegen uzunluğu, [] kenrının uzunluğu b ise. b kç birimdir? ) 6 ) 37 ) 5 37 ) 6 37 ) ir dörtgen çizerek temel elemnlrını gösteriniz. 4. Yndki dörtgeninde [] ve [] sırsıl ve çılrının çıortlrıdır. % m ( ) 70, m( ) 85 ise m ( W) kç derecedir? ) 55 ) 60 ) ) 70 ) Yndki dörtgeninde [] ve [ sırsıl ve çılrının çıortlrıdır. m ( X ) 90, m ( W ) 80 ise m ( % ) kç derecedir? ) 3 ) 4 ) 5 ) 0 )

31 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 6. Yndki dörtgeninde [] ^ [], 5 br, 8 br, 5 br ise kç birimdir? 5 ) ) ) 5 ) 5 3 ) Yndki dörtgeninde, [], [], [], [] sırsıl,,, çılrının çıortlrıdır. m( % ) 95 ise m ( % ) kç derecedir? ) 70 ) 85 ) 90 ) 95 ) Yndki dörtgeninde, [] ^ [], 6 br, K 3 br, 8 K 4 br ve 8 br ise Ç () kç birimdir? ) 4 ) 5 ) 9 ) ) K Yndki dörtgeninde,, G, H G bulunduklrı kenrlrın ort noktlrıdır. (GH) 4 cm olduğun göre () kç cm dir? H 0. Yndki dörtgeninde,, m ( W ) 60, m ( X ) 70 ise 70 m( % ) kç derecedir? ) 30 ) 40 ) 45 ) 50 )

32 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI %. Yndki dörtgeninde m ( ) 60, 6 cm, cm olduğun göre ( ) kç cm dir? ) 3 3 ) 48 ) 48 3 ) 54 ) Yndki dörtgeninde, [] ^ [], cm, 7 cm ise () kç cm dir? ) 4 ) 36 ) 38 ) 4 ) Yndki koordint düzleminde verilen dörtgensel bölgesinin lnını bulunuz Yndki dörtgenin köşegen vektörleri p (, ) ve q (, 3) b olduğun göre bu dörtgensel bölgenin lnı kç br dir? 3 3 ) ) ) ) ) q p c d 3

33 . ÜNİT ÖZL ÖRTGNLR. YMUK. YMUKSL ÖLGNİN LNI.3 PRLLKNR.4 PRLLKNRSL ÖLGNİN LNI.5 İKÖRTGN.6 İKÖRTGNSL ÖLGNİN LNI.7 ŞKNR ÖRTGN.8 ŞKNR ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI.9 KR.0 KRSL ÖLGNİN LNI. LTİ. LTİSL ÖLGNİN LNI.3 ÖRTGNLRİN RSINKİ İLİŞKİLR sketbol Öğreniorum un, onr dkiklık dört periottn oluşur. erberlik durumund uztm periodu onnır. Her tkım ilk üç periott ve uztm periodund ikişer dkiklık bir, dördüncü periott iki mol hkkın shiptir. İkinci ile üçüncü periot rsınd 5 dkiklık devre rsı verilir. Hücum eden tkım, kendi shsını 8 snie içinde terk etmek ve 4 snie içinde de hücumunu tmmlmk zorunddır. ksi hâlde top kullnm hkkı rkip tkım geçer. uncu, topl birlikte top sürme (dribbling), ps tm (pssing), şut tm (shooting) ktivitelerini pm şnsın shiptir. ir ouncu top sürerken topu eline lrk durdururs tekrr top sürme şnsın ship değildir; topu istediği öne ve kişie ps d şut tmk zorunddır. Her tkım 5 kişiden oluşur ve tkımlrın sınırsız ouncu değişikliği hkkı vrdır. ğer ful hkkını doldurmmışs her çıkn ouncu tekrr oun dâhil olbilir. ir tkımdki beş ouncudn biri ort (post), ikisi svunm (gurd) ve ikisi de hücum (forwrd) ouncusudur. Üç sı çizgisi içinden pıln her bşrılı tış iki sı, üç sı çizgisi gerisinden pıln her bşrılı tış üç sı olrk değerlendirilir. ullerden ve kurl ihlllerinden dolı kznıln bşrılı serbest tışlr bir sı olrk değerlendirilir. Ynd, kurllrın göre çizilmiş bsketbol shsı şeklini inceleerek içerisinde muk, prlelkenr, dikdörtgen, eşkenr dörtgen, kre, deltoit şekillerinden hngilerinin olduğunu belirleiniz. u dörtgensel bölgelerin çevre uzunluklrını ve lnlrını hesplınız. lnlrı hesplbilmek için hngi elemnlrın uzunluklrı d verilmiş olmlıdır? çıklınız. 33

34 ÖZL ÖRTGNLR. YMUK tkinlik Ymuk ve Özellikleri rç ve gereç : kreli kâğıt, cetvel Köşelerinin koordintlrı ndki şekilde (,3) (,3) verilen muğun, Kenr uzunluklrını bulunuz. 3 Krşılıklı kenrlrının eğimlerini krşılştırınız. (,0) (6,0) Köşegen uzunluklrını bulunuz. 3 Ynd ve noktlrının koordintlrı sırsıl ( 5,0), (,3) olck şekilde seçildiğinde oluşn muk için ukrıdki bsmklrı tekrrlınız. 3 ve noktlrının koordintlrı sırsıl (0,0), (0,3) olck şekilde seçildiğinde oluşn muk için ukrıdki bsmklrı tekrrlınız. 3 luşturuln üç muğun benzerliklerini ve frklılıklrını trtışınız. Krşılıklı kenrlrındn sdece ikisi prlel oln bir dörtgene muk denir. Yndki şekilde [] // [] olup bu dörtgen muğudur. [] ile [] n tbnlr, [] ile [] n klr denir., ise [] n muğun ort tbnı denir. []// [] // [] dir. e,, c olmk üzere, + c e + dir. Prlel olmn kenrlrı eşit uzunlukt oln bir muğ ikizkenr muk denir. Yndki muğund, olduğundn bir ikizkenr muktur.. İkizkenr mukt; tbn çılrının ölçüleri eşittir. Yni, m ( W) m( W) dir. H e c 34

35 ÖZL ÖRTGNLR b. İkizkenr mukt köşegen uzunluklrı eşittir. Yni, e f dir. f e muğund, K K ve L L dır. K 5 L br, KL 5 br, 8 br ve br olduğun göre + nin kç br olduğunu bullım. 8 muğund [KL] ort tbn olduğundn, KL + 8 & 5 +, brolur. LK muğund, [] ort tbn olduğundn, + KL 5 & 8 +, brolur br bulunur. muğund 4 br, % % [H] [], mh ( ) mh ( ) ve H 4 6 br ise H kç birimdir? 6 mh ( % ) mh ( % ) lınırs ikizkenr muk olduğund, m ( W) m( W) H dik üçgeninde, + 90 ise 30 olur. 6 H 3 br (30 nin krşısındki kenr) H H 4 3 br dir. H

36 ÖZL ÖRTGNLR Yndki muğund, [] // [] b m ( W ) + m( X ) 80 +b 80 m( W ) + m ( X ) dir. \ Yndki muğund [] // [] olmk üzere,. +b kç derecedir? b. m ( W) + m( W) kç derecedir? +30 b+0 0. m ( W ) + m( X ) 80 b b b + 30 olur. b. m ( W ) + m( W ) (b + 0 ) + ( 0 ) +b bulunur. ir mukt ort tbnın köşegenler rsınd kln prçsı- c nın uzunluğu, tbn uzunluklrı frkının rısın eşittir. muğund [] ort tbn, [] ve [] köşegenler c ise KL dir. K L İspt üçgeninde [K] ort tbn olup K üçgeninde [L] ort tbn olup L K + KL + L + c c c + KL + c KL bulunur. c dir. c dir. c K c L c 36

37 ÖZL ÖRTGNLR muğund [] ort tbn, 6 cm, 4 cm ise K, KL, L ve değerlerini bullım. K 4 L 6 K L KL 4 cm 4 cm 6 4 cm cm bulunur. muğund [] ort tbn, [] ve [] köşegenlerdir. KL, 6 br ise nin kç br olduğunu bullım. K L 6, c, KL lınırs c olur. c KL [] muğun ort tbnı olduğundn, 6 c brve 4. br bulunur. c 8 brolur. Yn kenrlrındn biri tbnlr dik oln muğ dik muk denir. c []^[], [] ^ [] urd muğun üksekliği h d dir. d h b H

38 ÖZL ÖRTGNLR dik muğund [] ^ [], [] ^ [] 3 br, br, 5 br ise m ( X ) in kç derece olduğunu bullım. 3 5 [H] ^ [] çizelim. H br H 3 br, H H 5 3 H br olur. H ikizkenr dik üçgen olduğundn, m ( H W ) m( H X ) 45 olur. m ( X % ) 90 + mh ( ) m ( X ) 35 bulunur H dik muğund, % m ( ) 60, m( W ) 30, [ ] [ ],[ ] 8 cm ise [] nin uzunluğunu bullım. köşegen ve [H] ^ [] çizelim. H olur. m( W ) 30 olduğundn H dik üçgeninde H 4 cm bulunur. H dik üçgeninde (30, 60, 90 üçgeni), H cm bulunur H Yndki dik muğund, [] ^ [], [] ^ [] br 5 br ise [] nın uzunluğunu bullım. 5 38

39 ÖZL ÖRTGNLR Yndki dik muğund, [H] ^ [] çizelim. H br H 5 3 br olur. dik üçgeninde, H H. H. 3 6 br bulunur. H 3 Köşegenleri dik oln muğunun üksekliği h, pr- c lel oln kenr uzunluklrı ve c ise h. c dir. h İspt [K] // [] çizelim. K prlelkenrınd K c olur. c % [K] // [] olduğundn mk ( ) 90 dir. K dik üçgeninde Öklid teoremine göre, h K. h. c bulunur. K c 4 Yndki dik muğund, 6 cm, c 4 cm, h [] ^ [] olduğun göre h kç cm dir? 6 h. c h 64. h 4 h 6 cmdir. 39

40 ÖZL ÖRTGNLR Yndki dik muğund, 9 cm, c 4 cm, 4 [] ^ [] olduğun göre;. h kç cm dir? b. kç cm dir? 9 c. kç cm dir?. h c. h h h 6 cmdir. b. dik üçgeninde, h6 c. dik üçgeninde, c4 9 h + c cm dir. h cm dir. ir mukt, prlel oln kenrlrın uzunluklrı ve c olmk üzere köşegenlerin kesim noktsındn tbnlr çizilen prlel doğru prçsının uzunluğu,. c. KL + c dir. K c L İspt & & K + (.. benzerlik teoremi) K K...( ) & K + & ( benzerlik.. teoremi) K K olur....( ) K c L 40

41 ÖZL ÖRTGNLR () ve () eşitliklerini trf trf toplrsk, K + K K + K K + K olduğundn, K. f + p + (orntı özelliğinden)... (3) K & & & & enzer şekilde, L + ve L + benzerliklerinden, + bulunur.... (4) L (3) ve (4) den K L elde edilir. (3) ve (4) eşitliğinden birini llım. + K K + c () c ( ) c. K c + c. K + c L KL K + L c. c. KL + c + + c. c. KL + c bulunur. 4 Yndki muğund, // [ N]// [ ], [ ] + [ ] { K} 8 cm, 4 cm olduğun göre [N] nın uzunluğunu bullım. K 8 N.. c N + + c N cm bulunur K N 4

42 ÖZL ÖRTGNLR Yndki muğund, [] // [] // [], [] ve [] köşegenlerdir. 4 cm, 3 cm olduğun göre kç cm dir? 3 4 N N 3 cm & N 6 cm olur.. c. N + c cmdir. 3 c4 3 N ir muğund [] // [],, c, M [MN] ^ [] ve [MN] h ise muğun üksekliği,. N. + c h b. M c. + c h dir. İspt N. muğund [] // [] dir. & & + (.. benzerlik teoremi) M N c M + N c & + (orntının özelliği) N M M + N h olduğundn, h c +.. N & N + c h bulunur & & b. + (.. benzerlik teoremi) M N c M c & (orntının özelliği) N + M + c N M h c c. + c & M + c h bulunur. 4

43 ÖZL ÖRTGNLR M Şekildeki muğund [] ve [] köşegenlerdir. 6 cm, cm ve MN 4 cm olduğun göre, M ve N nu bullım. N 6 c ve olmk üzere; M c. + c h N. + c h M cm olur. N 3 cm bulunur. Yndki muğund [KL] [], K cm, L 4 cm ve 0 cm olduğun göre kç cm dir? K 4 L 0 0 cm, c KL h + 4 6cm K c. + c h c c 0 + c 6c 0 6c c 0 4c 4 4 c 5 cm dir. c K 4 L 0 43

44 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki muğund [] // [] dir. m( W) + 0, m( W) m( X ) m( X ) + olduğun göre şğıdki boşluklrı doldurunuz.. muğunun iç çılrı toplmı b. muğund ile köşelerindeki iç çılrın toplmı... c. + toplmı... ç. ve köşelerindeki çılrın toplmı.... Yndki muğund, [] // [],,, m ( W ) 80 olduğun göre m( W ) kç derecedir? 3. Yndki muğund [] // [], 5 br, 9 + br, ve noktlrı bulunduklrı kenrlrın ort noktsıdır. un göre kç br dir? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 4. Yndki muğund [] // [] // [] ve [] ve [] köşegen,,, K 5 br, KL 3 br, br ve br olduğun göre + kç birimdir? 5 K 3 L 5. Yndki muğund [] // [] // [], + 4 cm, K 0 cm, K +3 cm, oldu K + 3 ğun göre kç cm dir? 44

45 ÖZL ÖRTGNLR 6. Yndki dik muğund, olduğun göre; m ( % ) kç derecedir? 7. Yndki ikizkenr muğund, 6@ + 6@ { },[ ]//[ ], [ ] [ ] [ H] [ ],, 5 br, 3 br olduğun göre şğıdki sorulrı cevplınız kç br dir? b. kç br dir? H c. kç br dir? ç. H kç br dir? 3 8. Yndki dik muğund, [] // [], [] ^ [], 3 cm, 5 cm olduğun göre kç cm dir? 5 9. Yndki ikizkenr muğund, [] ^ [], 4 cm, 8 cm olduğun göre, muğunun üksekliğinin uzunluğu şğıdkilerden 4 hngisidir? ) ) 3 ) 4 8 ) 4 ) 6 0. Yndki ikizkenr muğund [] ve [] köşegen, [] ^ [], 4 cm, 6 cm, [KH] ^ [] ve [KH] [], [ ] + [ ] + [ KH] { } olduğun göre, K. [K] nın uzunluğu kç cm dir? b. [H] nın uzunluğu kç cm dir? H 45

46 ÖZL ÖRTGNLR. YMUKSL ÖLGNİN LNI tkinlik Ymuksl ölgenin lnını ullım şğıdki şekli inceleiniz. h b Yukrıd verilenlere göre ile üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrını oluşturunuz. muksl bölgesinin lnı ile ve üçgensel bölgelerinin lnlrının toplmı rsındki ilişkii çıklınız. ve üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrındn rrlnrk muksl bölgesinin ln bğıntısını oluşturunuz. ir muksl bölgenin lnı, prlel oln kenrlrının uzunluklrı toplmının rısı ile üksekliğinin çrpımıdır. Yndki muğund [H] [], [] // [] dir. muksl bölgesinin lnı, + ( ). H ( + c) ( ). h dir. İspt üçgeninde kenrın it ükseklik h dir. & ch. ( ) dir. üçgeninde kenrın it ükseklik h olmk üzere; & h. ( ) dir. & & ( ) ( ) + ( ) ch. h. + h. + ch. ( + c). h ( ) elde edilir H 3 c c h H h 46

47 ÖZL ÖRTGNLR c 4 Yndki muğund [H] [], h 6 5 cm, c 4 cm, H H h 6 cm olduğun göre muksl bölgenin lnını bullım. ( + c). h ( ) (5+ 4) cm bulunur. Yndki muğund [] ort tbn, 7 [H] [], 3 7 cm, H 3 cm olduğun göre muksl bölgenin lnını bullım. H Ynd K H 3 cm olck şekilde [K] [K] çizelim. + ort tbnh cm + ( ). KH 4. 6 ( ) 4 cm dir. 7 3 H K 3 47

48 ÖZL ÖRTGNLR 8 Yndki muğund, 0 cm, cm, 8 cm olduğun göre () kç cm dir? 0 ikizkenr muk, [] [], [] [] çizelim cm olur. dik üçgeninde, cm bulunur. muğunun üksekliği h 8 dir. + ( ). h ( ) cm dir. Yndki muğund [] // [], & & & ( ) p, ( ) q, ( ) mve & ( ) n ise. p q mn. b. ( ) ( m + n) olduğunu gösterelim. p c m n q İspt & &. Verilen şekle göre ( ) ( ) & p+ n q+ n p q olur. h p c m n q 48

49 ÖZL ÖRTGNLR & ( ) & ( ) & ( ) & ( ) _ b b b ` & b b b b. ( ) m+ n+ p+ q m+ n+ m+ n+ mn. + mn. mn. ( ) ( m + n) olur. & & ( ) ( ) p m & & & n q ( ) ( ) pq. mn. p q m. n ( p q) p q mn. elde edilir. Yndki muğund [] // [], & ( ) cm, & ( ) 8 cm olduğun göre üçgensel bölgesinin lnını bullım. & & ( ) ( ) olsun. & ( ) ve ( ) 8 olur. Teoremden dolı, & ( ). & ( ) ( ).(8 ) & 4 ( ) cm bulunur. 5 8 Yndki muğund [] // [], & K ( ) 9 cm, & K ( ) 5 cm K olduğun göre muksl bölgesinin lnını bullım. 49

50 ÖZL ÖRTGNLR ( ) & & ( K) + ( K) k ^ 9 + 5h ( 3+ 5) 8 ( ) 64 cm bulunur. 9 K 5 4 Yndki muğund,, [] [] {K} 4 cm, cm ^Kh Yukrıdki verilere göre; ornı kçtır? ^ h K [] // [] çizilirse, cm & & K + K ` & Kj 4 ` & b l Kj 44 S 36 36S K ` & j K ` & j 6S `& j 4S olduğu için `& j 4S 4S ^ & & & h ` & ^ & c m 4. h 7S & ^ & h 8S ^ & h 4 ^Kh ^ & h ^& Kh 8S 6S S ^Kh S hâlde, dır. ^h S 56 4 S 6S K 36S S 6S muksl bölgesinde, s L s,, K, L noktlrı, kenr ort noktlr ise. KL noktlrı prlelkenrdır. K ( ) b. ( KL) İspt dir. s L s. muğund, K [] ve [] köşegenlerini çizelim. 50

51 ÖZL ÖRTGNLR üç geninde K ve [ K ]// [ ], üç geninde L ve [ L ]// [ ] olduğundn, K L ve [K] // [L] olduğu görülür. enzer şekilde, ve üçgenlerinde KL ve [] // [KL] olduğundn KL dörtgeni bir prlelkenrdır. b. [K], muğunun ort tbnı ile [LH] ve [H] dikmelerini çizelim. & & KL ( ) ( K) + ( LK) K. H + K. LH K. ( H + LH ), (muğun üksekliği h ise H + LH h dir.) K. h +. h, ^6 ort tbn K@ h ( ) + KL ( ), e ( ). h o bulunur. L H K Yndki muğund [] // [], K, L, M, N ort noktlrdır. (KLMN) cm olduğun göre () kç cm dir? K N M s L s K, L, M, N ort noktlr olduğun göre, ( ) KLMN ( ) ( ) ( ) 4 cm dir. K s N L s M 5

52 ÖZL ÖRTGNLR muksl bölgesinde, [] // [] ve ] ise, & ( ) ( ) İspt dir. [] ort tbnı ile [G] ve [H] dikmelerini çizdiğimizde, h muğunun üksekliği h ise H G olur. & ( ). G c.. + c. h ( + c) h h 8 & ( ). H H.. + c. h ( + c) h 8 & & & ( ) ( ) + ( ) ( + c). h ( + c). h ( + c). h. ( + c). + h. ( ) bulunur G h Yndki muğund [] // [],, & ( ) 3 br olduğun göre, muksl bölgesinin lnını bullım. muğund, [] nın ort noktsıdır. & ( ) ( ) ( ) 3 ise ( ) 64 br dir. ir dörtgensel bölgenin köşegenlerinin medn getirdiği, dört üçgenin ğırlık merkezlerinin oluşturduğu, dörtgenin köşegenlerinin kesiştiği nokt, bu dörtgensel bölgenin ğırlık merkezi denir. G 4 G 3 G G G ğırlık merkezi 5

53 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki muğund [] // [] dir. cm, 4 cm, 7 cm ve 3 cm olduğun göre muksl bölgesinin lnını bulunuz Yndki muğund [] // [], 0 5 br, br, 5 br, 0 br olduğun göre () kç br dir? 5 3. Yndki muksl bölgesinde, 4 [] // [], [] + [] {} & ( ) 4 br & ve ( ) 9 br olduğun göre () 9 kç br dir? M 4. Yndki muksl bölgesinde K, L, N, M ort noktlrdır. () 54 cm ise (KLMN) kç cm dir? N L K 5. Yndki muksl bölgesinde, [PS] ort tbn, PR RS (PR) 8 cm ise muksl bölgesinin lnını P R S bulunuz. 6. Yndki muğund,, [] ], 5 br, 3 br olduğun göre () kç br dir? 3 ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 5 53

54 ÖZL ÖRTGNLR 7. Yndki dik muğund [] [], 0 cm 0 3 cm olduğun göre () kç cm dir? 3 8. Yndki muksl bölgesinde, & ( ) 8 cm & ( ) 50 cm ise şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız. & & ( ). (...) ( ) 30 cm dir. b. (...) ( ) & c. (...) ( ) 45 cm dir. & & d. (...) ( ) ( ) dir. 9. Yndki resimde ikizkenr muk biçimindeki oto ön cmınd [] // [], 50 cm, 80 cm, 40 cm olduğun göre muksl bölge biçimindeki cmın lnı kç cm dir? 3 5 tir. ç. (...) ( ) 3 cm dir Yndki dik muğund [] [], [] [], 4 br, 6 br ise () kç br dir?. Yndki muğund, 6 [] // [] // [] [G] [] 7 cm G 3 cm olduğun göre şğıdki noktlı erleri doldurunuz.. muğunun üksekliği... cm dir.... b. dir. c. ()... cm dir. G. ir muksl bölgesi çiziniz. u muksl bölgenin ğırlık merkezini belirleiniz. 54

55 ÖZL ÖRTGNLR.3 PRLLKNR tkinlik Prlelkenr ve Özellikleri rç ve gereç : kreli kâğıt, cetvel Yndki şekli inceleiniz. (,4) Kenr uzunluklrını bulrk krşılıklı kenrlrın uzunluklrını krşılştırınız. Kenrlrı tşın doğrulrın eğimlerini bulrk krşılştırınız ve krşılıklı kenrlrının birbirine göre durumlrını trtışınız. (0,0) (4,0) örtgenin köşegenlerini çizerek uzunluklrını ve köşegenlerin kesim noktsının koordintlrını hesplınız. Kesim noktsını ile isimlendiriniz ve noktsının koordintlrını bulunuz. 3,,, uzunluklrını bulrk bu uzunluklrı krşılştırınız. Köşegenler rsındki çıı ölçünüz. prlelkenrının kenrlrının ort noktlrının koordintlrını bulunuz. Kenr ort noktlrını birleştirerek bir dörtgen elde ediniz. 3 luşn dörtgenin özelliklerini trtışınız. (6,4) Krşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgene prlelkenr denir. Yndki prlelkenrınd; [] // [ ], [] // [] dir.,, ve prlelkenrın köşeleri, [], [], [], [] prlelkenrın kenrlrıdır. ir prlelkenrd krşılıklı kenrlrın uzunluklrı eşittir. İspt prlelkenr olmk üzere, [] // [], [] // [] dir. m ( W ) m ( X ) (iç ters çılr) m ( W ) m ( X ) (iç ters çılr) ve üçgenlerinde ortk kenr [] olduğundn &, & (.K. eşlik teoremi) dir. [], [], [], [] ise, dır. 55

56 ÖZL ÖRTGNLR Yndki prlelkenrınd,, doğrusl,, dir. 63 m( % ) 63 ise m( % ) kç derecedir? prlelkenr olduğundn ve olur. m( % ) m( % ) olcğındn, m( W ) + m( X ) 80 & bulunur. 63 ir prlelkenrd köşegenler birbirini ortlr. prlelkenr, K K ve K K dir. K İspt prlelkenr, [] ve [] köşegenlerdir. m( % ) m( % ) (iç ters çılr) m( % ) m( % ) (iç ters çılr) & & dir, K, K (.K. eşlik teoremi) dir. [K], [K], [K], [K] dır. urdn K K ve K K olur. K Yndki prlelkenrınd, [] köşegen, [] [K] 8 3 K K K, K 3 cm 8 cm ise kç cm dir? prlelkenrınd köşegenler birbirini ortldığındn, K K 3 cm dir. 6 cm olur. dik üçgeninde, cmdir K 3 56

57 ÖZL ÖRTGNLR ir prlelkenrd komşu çılrın çıortlrı birbirine diktir. prlelkenr, [] çısının çıortı, [] çısının çıortı ise [] [] % ni m( ) 90 dir. İspt prlelkenr, [] ve [] çıortdır. m ( W) + m( W) dir. üçgeninde % % % m ( ) + m ( ) + m ( ) 80 % + + m( ) 80 % 90 + m ( ) 80 % m ( ) % m ( ) 90 olur. Yndki prlelkenrınd, [] ve [] çıortlr [] // [], 4 4 cm ise kç cm dir? + θ 90 (dik üçgende kenrort özelliği) olduğundn 4 θ θ θ 4 7 cm dir. Ynd prlelkenr ve çıort, 0 H 4 6 [H] [] H 0 cm H 6 cm H 4 cm olduğun göre nun kç cm olduğunu bullım. 57

58 ÖZL ÖRTGNLR % [] ve [] çıort olduklrındn, m ( ) 90 dir. noktsındn geçen ve [] n prlel oln [G] nı çizdiğimizde, m( % ) m( G % ) % % (iç ters çılr), m ( G ) m ( ) (iç & & ters çılr) olur. olısıl G ile G ikizkenr üçgenler olup, 8 0 H G 3 3 G G G G & G G G 3 cm olur. G G 3 cm olduğundn, H cm olur. H dik üçgeninde Pisgor teoreminden ve (3 4 5) üçgeninden, 5 cm dir. G G + olduğundn, cm bulunur. Herhngi bir dörtgenin kenr ort noktlrı, bir prlelkenrın köşeleridir. Yndki dörtgeninde,, G, H kenrlrın ort noktlrı ise GH dörtgeni prlelkenrdır. İspt s H s G dörtgeninde [] ve [] köşegenlerini çizelim. üçgeninde ve [ ]// [ ], üçgeninde HG ve [HG] // [] olduğundn, GH ve [] // [HG] olduğu görülür. s H s G enzer şekilde, ve üçgenlerinden, H G ve [H] // [G] olduğundn GH dörtgeni bir prlelkenrdır. Prlelkenrın köşeleri ort nokt oln,, G, H dır. 58

59 ÖZL ÖRTGNLR Yndki dörtgeninde [] ve [] köşegenlerdir.,, G, H kenrlrın ort noktlrıdır. br, 8 br olduğun göre GH dörtgeninin çevre uzunluğunu bullım. H s s G üçgeninde HG 8 6 br, üçgeninde G 4 br, dörtgeninde,, G, H kenrlrın ort noktsı olduğundn GH prlelkenrdır. GH prlelkenrın çevre uzunluğu Ç(GH) ( HG) + G ). (6+4). 0 0 br bulunur. lıştırmlr. Yndki prlelkenrınd, [H] [] % mh ( ) 40 ise m ( X ) kç derecedir? 40 H. Yndki prlelkenrınd, % % m ( ) m( ) cm 6 cm ise kç cmdir? 6 ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 ) 3. Yndki prlelkenrınd, [] [] {K}, K 5 br, 9 br, K 0 br ise şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) 0 br dir. b. (...) 5 br dir. 5 0 K 9 c. (...) üçgeninde [K] kenrortdır. ç. (...) br dir. 59

60 ÖZL ÖRTGNLR 4. Yndki prlelkenrınd, [] çıort, [] [] 8 cm ise Ç() kç cm dir? 5. Yndki dörtgeninde,, G, H bulunduklrı kenrlrın ort noktlrıdır. G 3 cm, 4 cm olduğun göre şğıdki boşluklrı ugun biçimde doldurunuz. G. [] nın uzunluğu... cm dir. b. [H] nın uzunluğu... cm dir. c.... cm dir. ~ H ~ ç. HG... cm dir. 6. Yndki dörtgeninde, [] köşegen ve,, G, H bulunduklrı kenrlrın ort noktlrı, br, G +6 br, H 8 br ise ve i bulunuz. H G 8 +6 ~ ~ 7. Yndki prlelkenrınd, [], [] çıort, 3 cm, 4 cm olduğun göre,. kç cm dir? K b. kç cm dir? c. kç cm dir?

61 ÖZL ÖRTGNLR.4 PRLLKNRSL ÖLGNİN LNI tkinlik Prlelkenrsl ölgenin lnını ullım Yndki şekli inceleiniz. köşesinden köşesine bir köşegen çiziniz. luşn üçgensel bölgesinin vektörel oldn ln bğıntısını oluşturunuz. h h çısının ölçüsü ile çısının ölçüsünü θ krşılştırınız. üçgensel bölgesinin ln bğıntısını oluşturunuz. ile üçgensel bölgelerinin lnlrı rsındki ilişkii çıklınız. 3 ve üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrındn fdlnrk prlelkenrsl bölgenin ln bğıntısını oluşturunuz. 3 Prlelkenrsl bölgenin lnı kç frklı oll bulunbilir? Trtışınız. ir prlelkenrsl bölgenin lnı, bir kenrının uzunluğu ile bu kenr it üksekliğin çrpımın eşittir. (). h b. h b dir. İspt & & ( ) ( ) + ( ) & b & & & dir. olısıl ( ) ( ) dir.. & ( ) ( ).. h olur. (). h bulunur. enzer şekilde, () b. h b bulunur. b h h b 4444 H b h 4444 H h b Hl Hl Yndki prlelkenrınd, [] [], [] [] cm, 8 cm, 6 cm ise kç cm dir? 6

62 ÖZL ÖRTGNLR () cm bulunur. Yndki prlelkenrınd, [] nın ort noktsı, [] nın ort noktsı dir. () S ise ( ) S olduğunu gösterelim. Yndki şekilde, & ( ) ( ) S & & ( ) ( ). S S 4 & & & ( ) ( ) S& ( ) ( ) 4. S S 4 & & ( ) ( ) + ( ) S+ S S bulunur. 4 4 K Yndki prlelkenrınd, [] köşegen, [L] // [] L N [K] // [] (NL) cm ise (NK) nın kç cm dir? Yndki şekilde, & & LN ( ) NK ( ) S & & N ( ) N ( ) S & & ( ) ( ) S + + S S + S + ( NK) NK ( ) cm dir. L S S S K N S 6

63 ÖZL ÖRTGNLR Yndki prlelkenrsl bölgede, ile, [] ve [] nın ort noktlrıdır. () S ise & & ( ) ve( ) i, S cinsinden bullım. [KH] [], [KH] [] olck şekilde [KH] nı çizelim. H K h (h : prlelkenrın üksekliği) ve dir. & ( ).. h h. S,( h S) 8 8 & & ( ) ( ) ( ) S S 8 3 Sbulunur. 8 H K prlelkenrsl bölgenin lnı ile prlelkenrsl bölgenin içinde oluşturuln GH dörtgensel bölgelerin lnlrı rsınd, H G GH ( ) İspt () S olsun. + HG $ ^ h bğıntısı vrdır. $ & S ( H) olur. & & ( H) $ ( H) dir. & S ( ) Sise( ) & HG & GH ( ) $ ( ) H H G G HG & $ ( ), ^ h HG & $ H ( ), & & H ( ) ( ) k 63

64 ÖZL ÖRTGNLR & & GH ( ) ( H) + ( GH) & HG & $ ( H ) + $ ( H ) + H & + HG S + HG $ H ( ) $ $ $ ( ) L K Yndki prlelkenrınd,, 5 LK, () 0 cm olduğun göre (KL) kç cm dir? 0k llım. + LK KL ( ) $ ( ) $ ^4k+ 5kh 9k $ 0 $ 0 54 cm dir. $ 0k 0k 5k L 4k K Yndki prlelkenrınd, 3 KL 4 (LK) 66 cm olduğun göre, () kç cm dir? K L k llım. KL $ k$ 8k 3 3 $ k$ 3k dir. 4 4 KL ( ) + LK $ $ ( ) 66 3k+ 8k $ ( ) $ k ( ) 44 cm dir. K 3k 8k L 64

65 ÖZL ÖRTGNLR K noktsı, prlelkenrsl bölgenin içinde bir nokt olmk üzere, K & & & & ( ) K ( ) + K ( ) ( K) + K ( ) dir. İspt Ynd, [K] [], [K] [] ile N h çizelim. &. & K ( ) K, ( K).. K & & K ( ) K ( ). + K +. K ( K + K ) h. ve ( ). h olduğundn, & & K ( ) + K ( ) ( ) bulunur. & & enzer olrk, K ( ) + ( K) ( ) olur. b K N b h Yndki prlelkenrsl bölgesinde, ( & ) 7 cm & ( ) 5 cm ise () kç cm dir? 5 7 & & & & ( ) + ( ) ( ) + ( ) 7+ 5 cm & & ( ) ( ) + ( ) cm dir. 65

66 ÖZL ÖRTGNLR Yndki prlelkenrsl bölgesinde sılr, bulunduklrı bölgelerin lnlrını gösterdiğine göre K ( ) kç cm & dir? 8 cm 6 cm K cm S S + S 3 S + S 4 S S S 4 S 4 3 cm dir. S3 prlelkenrsl bölgenin lnı vektörel oll;. ( ). <, > b. ( ).. sin θ θ bğıntılrı ile hesplnır. (θ, ve rsındki çıdır.) Yndki koordint düzleminde verilen prlelkenrsl bölgenin lnını vektörel oldn bullım Prlelkenrın köşeleri ( 3, ), (, ), (4,) ve (,) dir. ( ( 3), ( )) ( 50, ) br 66

67 ÖZL ÖRTGNLR ( ( 3), ( )) ( 50, ), ( 3, ) ( 3, ) <, > 5$ + 0$ br I. ol ( ). <, > θ rsındki çı olmk üzere prlelkenrsl bölgenin lnını hespllım br dir. II. ol θ, ve cosθ <, >. M 0 3 cosθ Yndki KLM dik üçgeninde, 3 7 ML ML 3 ( 3) br dir. K θ 3 L sin θ ML ise KM sin θ 7 3 ( ).. sinθ br bulunur

68 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki şekilde prlelkenr, [], [] köşegen, G [] nın ort noktsı, [G] [] {}, 3 cm ise [] nın uzunluğu kç 3 cm dir? G. Yndki prlelkenrınd, [] ve [] çıort [H] [], H cm, H 3 cm olduğun göre () kç cm dir? H 3 ) 5 6 ) 30 6 ) 3 6 ) 40 3 ) Yndki şekilde bir muk ve prlelkenrdır. 0 cm, 6 cm ve () 48 cm dir. un göre üçgensel bölgenin lnı kç cm dir? Yndki resimde dörtgen biçimindeki bir bhçede,, K, L ort noktlrdır. L,, K ve LK üçgensel böl- K ~ ~ gelerine çim ekilecektir. & L ( ) 0 m & ( ) 5 m K ( ) 8 m L olduğun göre çim ekilmeen bölgenin lnı kç m dir? 5. Yndki prlelkenrsl bölgesinde, & & ( ) + ( ) 5 cm ise () kç cm dir? 68

69 ÖZL ÖRTGNLR 6. Yndki prlelkenrsl bölgesinde, [] köşegen, 4 br, 6 br ve m ( X ) 50 dir. un göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız (...) m ( W ) 30 dir. b. (...) m ( W) + m( W) m( X) + ( X) dir. c. (...) () 4 br dir. & ç. (...) ( ) 3 br dir. & d. (...) ( ) 6 br dir. 7. Yndki koordint düzleminde verilen prlelkenrsl bölgenin lnını bulunuz Kenrlrı (, 0) ve b (, 3) oln ndki prlelkenrsl bölgenin lnını bulunuz. b b 9. Yndki prlelkenrınd;, [], W nın çıortı, [] [], 8 cm, 4cm olduğun göre, & ( ) kç cm dir? Yndki prlelkenrınd, ve ort nokt, & ( ) 5 cm ise () kç cm dir? 5 69

70 ÖZL ÖRTGNLR.5 İKÖRTGN tkinlik ikdörtgen ve Özellikleri rç ve gereç : çıölçer Yndki dörtgeni inceleiniz. HG ve H vektörleri rsıdki çıı bulunuz. H enzer şekilde dörtgenin diğer iç çılrını bulunuz. Kenrlr it her bir doğru prçsının eğimini bulunuz. G 3 Krşılıklı kenrlrın birbirine göre durumlrını çıklınız. 3 Şekildeki dörtgenin köşegen uzunluklrını hesplrk bulduğunuz uzunluk değerlerini krşılştırınız. 3 Köşegenlerinin kesim noktsının koordintlrını bulrk bu noktnın konumunu trtışınız. 3 ir dörtgenin dikdörtgen olbilmesi için hngi özelliklere ship olmsı gerekir? Trtışınız. 3 Prlelkenr ile dikdörtgen rsındki benzerlikleri ve frklılıklrı çıklınız. Yndki dörtgeni, [] // [], []// [] olduğundn prlelkenrdır. m( W) m( W) m( X) m( X ) 90 dir. çılrındn biri dik oln prlelkenr dikdörtgen denir. ikdörtgenin Özellikleri. Krşılıklı kenrlr prleldir. [] // [], [] // []. çılrı 90 dir. m ( W ) m( W ) m( X ) m( X ) Krşılıklı kenrlrı eşittir., dir. 4. Köşegenleri ort noktlrınd kesişirler ve köşegen uzunluklrı eşittir. K K K K ve dir. K 70

71 ÖZL ÖRTGNLR N M K L dikdörtgen ve KLMN prlekenrdır. Prlelkenr ile dikdörtgen rsındki benzerlik ve frklılıklrı bullım. enzerlikler. Krşılıklı kenrlrı birbirine prleldir. N M b. Krşılıklı kenrlrı eşittir. K L c. nı köşe üzerinde bulunn iç çılr bütünlerdir. ç. Köşegenler birbirini ortlr. rklılıklr. ikdörtgende iç çılrın ölçüsü 90 dir. Prlelkenrın iç çısının biri 90 ise bu prlelkenr, dikdörtgendir. Her prlelkenr, dikdörtgen değildir. b. ikdörtgende köşegenlerin uzunluklrı eşittir. Prlelkenrd ise köşegenlerin uzunluklrı frklıdır. Yndki dikdörtgeninde, % br, m ( ) 30 dir. [] kenrının ort noktsı ve [] [] {} olduğun göre [] nın uzunluğunu bullım. 30 Yndki [] köşegenini çizelim, dik üçgeninde, % m ( ) 30. (30, 60, 90 özel üçgeni). 4 br dir

72 ÖZL ÖRTGNLR ikdörtgenin köşegenleri birbirini ort noktlrd kestiğinden, 4 br dir. üçgeninde [] ve [] kenrortlrdır. noktsı üçgeninin ğırlık merkezi olur br bulunur. Yndki dikdörtgeninde, 80, % % % m( ) 80, m( ) 0 ise m( ) kç derecedir? olduğundn ikizkenr üçgendir. % % & m( ) m( ) 0 dir. m( % ) m( % ) 0 (iç ters çılr) ikizkenr üçgeninde, % % ise m ( ) m( ) % m ( ) 60 dir Yndki dikdörtgeninde, [] [], 4 cm, 6 cm olduğun göre nun kç cm olduğunu bullım. 6 [H] [] olck şekilde [H] nı çizelim. urd H 6 cm, H 4 cm, H olur. dik üçgeninde Öklid teoreminden, H H. H cm bulunur H 6 7

73 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki dikdörtgeninde, 0 m( % ) 0, m( % ) 40 olduğun göre, % m ( ) kç derecedir? 40. Yndki dikdörtgeninde, [] [] 6 6 cm, cm ise kç cm dir? ) 0 ) 0 ) ) ) 5 3. Yndki dikdörtgeninde, [] [],, 8 br, br ise kç br dir? 8 4. Yndki dikdörtgeninde, [G] [], 0 br, 6 br, br ve G 4 br ise kç br dir? 5. dikdörtgen br 3 br 7 br ise m( % ) kç derecedir? 6. dikdörtgen % m ( ) 0 ise m ( % ) kç derecedir? 0 4 G

74 ÖZL ÖRTGNLR.6 İKÖRTGNSL ÖLGNİN LNI tkinlik ikdörtgensel ölgenin lnını ullım Yndki şekilde noktsı ile noktsını birleştiren köşegeni çiziniz. luşn ve üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrını oluşturunuz. 3 ve üçgensel bögelerinin lnlrı rsındki ilişkii çıklınız. 3 ve üçgensel bölgelerinin ln d c b bğıntılrındn fdlnrk dikdörtgensel bölgesinin ln bğıntısını oluşturunuz. 3 ikdörtgensel bölgenin krşılıklı kenrlrının birbirine göre durumlrını inceleerek prlel- kenrsl bölge ile dikdörtgensel bölge lnlrı rsındki ilişkii trtışınız. 3 ile vektörleri rsındki çının ölçüsünü bulunuz. 3 Prlelkenrsl bölgenin vektörel oll oln ln bğıntısı S.. sin θ formülünden rrlnrk dikdörtgensel bölgenin ln bğıntısını elde ediniz. dikdörtgensel bölgenin lnı, & & ( ) ( ) + ( ) b. + b. ( ). b dir. b b Uzun kenrı, kıs kenrının ktı oln bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu 0 cm olduğun göre dikdörtgensel bölgenin lnı kç cm dir? Yndki dikdörtgenin kıs kenr olsun. olur. dik üçgeninde, + ( ). 0 + ( ) cm dir. 5 5 cm cmolur. 0 74

75 ÖZL ÖRTGNLR Çevresinin uzunluğu 6 cm oln bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu dikdörtgensel bölgenin lnı kç cm dir? 0 cm olduğun göre dikdörtgeninin çevre uzunluğu, Ç (+b) 6 (+b) + b 8... () 0 b Yndki dik üçgeninde, + ( 0) + b 40 + b () denkleminde eşitliğin her iki trfının kresini llım. (). b ( + b) 8 + b+ b 64 b + + b 64 \ 40 b b b 4 b () cm dir. Yndki dikdörtgeninde, L L T 8 cm, T 4 cm S 4 cm, S cm olduğun göre TSL dörtgensel bölgenin lnını bullım. L 8 T 4 S 4 olduğundn L L T + T cm olur. 75

76 ÖZL ÖRTGNLR & & & TSL ( ) ( ) ( ( T) + ( TS) + ( LS)). T T. S S. L. e b + + l cm dir. o dikdörtgensel bölgesinin lnı, vektörel oll, S. <, >. bğıntısı ile hesplnır. Kenr vektörleri u (, ), v (4, ) oln dikdörtgensel bölgenin lnını bullım. u (, ), v ( 4, ) u u u < uv, > ( ) ( u v & < uv, > 0 olur.) v v v 4 + ( ) u v ( ) u. v < u, v > br d dikdörtgensel bölgenin lnı ( ). u. v br bulunur. 76

77 ÖZL ÖRTGNLR Koordint düzleminde köşe noktlrı verilen ndki dikdörtgensel bölgenin lnını bullım. ikdörtgenin köşe koordintlrı, (0, 3), (5,), (,5) ve ( 3,0) ( 5 0, ( 3)) ( 5, + 3) ( 55, ) ( 3 0, 0 ( 3) ( 3,3) ( 3) + ( 3) br ( ) $ 5 $ 3 5. ( ) 30 br bulunur. br lıştırmlr. Yndki dikdörtgeninde [] [K] % mk ( ) 45, 6 cm, K 4 cm olduğun göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) () 80 cm dir. & b. (...) ( ) 0 cm dir K 4 & c. (...) K ( ) 8 cm dir. ç. (...) K ( ) K ( ) dir.. Yndki dörtgen şeklinde bir trldır. dikdörtgensel bölgesine buğd ekilecektir.,, doğrusl, [] [] 40 m m olduğun göre buğd ekilecek ln kç m dir? 77

78 ÖZL ÖRTGNLR 3. Yndki koordint düzleminde dikdörtgensel bölgenin köşeleri,, ve dir. un göre;. nün uzunluğunu bulunuz. b. nün uzunluğu ile nün uzunluğunu krşılştırınız. c. dikdörtgensel bölgesinin lnını bulunuz. 4. Yndki dikdörtgeninde, & 3,, ( ) 6cm olduğun göre dikdörtgensel bölgesinin lnı kç cm dir? 5. Yndki dikdörtgeninde, [] [], 3 cm, 6 cm olduğun göre () kç cm dir? ir dikdörtgenin uzun kenrı, kıs kenrının ktındn 3 cm eksiktir. u dikdörtgensel bölgenin lnı 35 cm olduğun göre şğıdki boşluklrı doldurunuz. u dikdörtgenin;. Kıs kenrı... cm dir. b. Uzun kenrı... cm dir. c. ir köşegeninin uzunluğu... cm dir. ç. Çevre uzunluğu... cm dir. 78

79 ÖZL ÖRTGNLR.7 ŞKNR ÖRTGN tkinlik şkenr örtgen ve Özellikleri Yndki şekilde, kenrlr it her bir doğru prçsının eğimini bulunuz. Krşılıklı kenrlrının birbirine göre durumlrını trtışınız. ile den geçen ve ile den geçen doğru denklemlerini bulunuz. 3 u doğru denklemlerinin eğimlerini bulrk birbirine göre konumlrını trtışınız. 3 dörtgeninin krşılıklı çılrının ölçülerini bulrk bu çılrın ölçülerini krşılştırınız. 3 ir eşkenr dörtgen hngi özellikleri sğlmlıdır? Trtışınız. Kenr uzunluklrı eşit oln prlelkenr eşkenr dörtgen denir. eşkenr dörtgeninde, [] // [] ve [] // [] dir. şkenr dörtgen, prlelkenrın tüm özelliklerini tşır. ir eşkenr dörtgende;. Köşegenler birbirini dik keser. b. Köşegenler iç çıortdır. İspt şkenr dörtgen bir prlelkenr olduğundn köşegenler birbirini ortlr. Yni, ve dir. ir ikizkenr üçgende tbn it kenrort tbn dik ve tepe çısının çıortı olduğundn, &, &, & ve & ikizkenr üçgenlerinde sırsıl, % % [ ] [ ] ve m( ) m( ) % % [ ] [ ] ve m( ) m( ) 79

80 ÖZL ÖRTGNLR % % [ ] [ ] ve m( ) m( ) % % [ ] [ ] ve m( ) m( ) dir. u eşitliklere göre;. [] [] dir. b. [] köşegeni, W ile X nın, [] köşegeni de W ile X nın çıortıdır. Ynd eşkenr dörtgen, K,,, K noktlrı doğrusl ve m ( W ) 64 olduğun göre K çısının ölçüsünü bullım. 64 K m ( W) + ( ) 80, m( W) 80 64, m( W ) 6 dir. % % 6 m ( ) m ( ) 58 olur. K 4 & K dır. K & ikizkenr üçgen olup m ( K W % ) m ( K ) dir çısı, K üçgeninin bir dış çısı olduğundn, % mk ( ) + m( KW % ) m ( ) %. mk ( ) 58 ( m( KW % ) mk ( )) % 58 mk ( ) % mk ( ) 9 bulunur. K Ynd eşkenr dörtgen, [] köşegen, K 4 cm, K 5 cm, K cm ise kç cm dir? 4 K 5 80

81 ÖZL ÖRTGNLR eşkenr dörtgeninde köşegenler birbirini dik ortldığındn, [] [], 8 cm olur. & K dik üçgeninde + K K & 3 cm, dik üçgeninde cm bulunur. 4 K Ynd bir üçgen, eşkenr dörtgen, 8 cm 0 cm cm kç cm dir? eşkenr dörtgeninde, [] köşegeni çıortdır. 3k 8 k 5k 0 5k k 6ve 4cm ve üçgenlerinin benzerliğinden, k k k & 5k ise cmdir. 5 8

82 ÖZL ÖRTGNLR Ynd eşkenr dörtgen, ve ise kenrlrın ort noktlrıdır. K 4 cm K Yukrıdki verilere göre kç cm dir? K 4 [N] // [] çizilirse, 4n N n n n K N 4 4n KN ve K üçgenleri benzerdir. n n N K K n 4n ise 6 cmdir. tkinlik Prlelkenr, şkenr örtgen ir prlelkenrın köşegenleri dik kesişiors bu prlelkenr eşkenr dörtgendir. oş bırkıln bsmklrı doldurrk bu teoremi isptllım. P Verilen: prlelkenr ve [] [] İstenen: eşkenr dörtgendir. İfdeler Gerekçeler. prlelkenr ve [] ^ [].Verilen % %. P, P. P P 3. [ P], [ P] dörtgeni prlelkenr Köşegenler her bir çıı iki eş prç böler KK 7. [ ], [ ] şkenr dörtgenin tnımı 8

83 ÖZL ÖRTGNLR tkinlikte verilen ifdenin isptını bşk bir oldn plım. İspt Ynd prlelkenr olduğundn, [] // [] ve [] // [] dir., olsun. dik üçgeninde +... () b b dik üçgeninde b +... () () ve () den b b bulunur. olısıl eşkenr dörtgendir. Yndki şekilde eşkenr dörtgen,,, noktlrı doğrusldır. br 6 br 4 br ise kç br dir? Ynd [] [], 3 cm & dik üçgeninde, br & dik üçgeninde, br bulunur

84 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki eşkenr dörtgeninde cm olduğun göre, eşkenr dörtgenin çevresinin uzunluğunu bulunuz. 30. Ynd, eşkenr dörtgen, [] [], 3, cm olduğun göre, şğıdki boşluklrı doldurunuz..... cm dir. b.... cm dir. c.... cm dir. ç. Ç()... cm dir. 3. Yndki eşkenr dörtgeninde, [] [], 5 cm, 9 cm olduğun göre ş- ğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) cm dir. b. (...) 7 cm dir. & c. (...) Ç( ) 8 cm dir. 9 5 ç. (...) Ç() 5 cm dir. 4. Yndki eşkenr dörtgeninde, %, m ( ) 30 olduğun göre çısı kç 30 derecedir? ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 ) 80 84

85 ÖZL ÖRTGNLR 5. Yndki eşkenr dörtgeninde,, [] [], [] köşegen, cm, 6 cm olduğun göre kç cm dir? 6. Yndki eşkenr dörtgeninde, [] [], 5 cm, 9 cm olduğun göre kç cm dir? Yndki eşkenr dörtgeninde,, [] [], 6 cm, 9 cm olduğun göre kç cm dir? Yndki koordint düzlemine iki frklı eşkenr dörtgen çiziniz. Çiziminizi rkdşlrınızın çizimleri ile krşılştırınız. 0 85

86 ÖZL ÖRTGNLR.8 ŞKNR ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI tkinlik şkenr örtgensel ölgenin lnını ullım Yndki şekle göre, üçgensel bölgesinin ve üçgensel bölgesinin ln bğıntılrını oluşturunuz. u üçgensel bölgelerin lnlrı rsındki ilişkii trtışınız. P 3 ve üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrındn rrlnrk eşkenr dörtgensel bölgesinin ln bğıntısını oluşturunuz. 3 şkenr dörtgensel bölgenin bir dörtgensel bölge olduğunu düşünerek dörtgensel böl-. p q < p, q > genin ( ) vektörel ln bğıntısındn rrlnıp eşkenr dörtgensel bölgenin ln bğıntısını elde ediniz. şkenr dörtgen, bir prlelkenr olduğundn prlelkenrın bütün özelliklerini tşır. rıc; eşkenr dörtgende köşegenler birbirine diktir. e ve f olmk üzere, ( ) e.. f sin eşkenr dörtgensel bölgenin lnı,.. ( ). h b.. ef.. ef sin 90 \ h P G h c. () sin( % ) sin( % ) bğıntılrı ile hesplnır. Yndki eşkenr dörtgeninde, [] [], cm, 4 cm olduğun göre eşkenr dörtgensel bölgenin lnını bullım. 4 eşkenr dörtgeninde 6 cm dir. 86

87 dik üçgeninde, cm olur. ( ) cm bulunur. ÖZL ÖRTGNLR Yndki eşkenr dörtgeninde, % m( ) 30 ve 6cm olduğun göre () kç cm dir? 30 6 I. ol ( ).. sin 66.. sin cm bulunur II. ol Ynd, [H] [] olck şekilde [H]nı çizelim. % Hdik üç geninde mh ( ) 60 olur. H ( 30, 60, 90 üçgeni) 6 h H 3 cm, ( ). h cm dir h 3 H Köşegenleri birim ve 6 birim oln eşkenr dörtgenin lnı kç birim kredir? ( ) ef br dir

88 ÖZL ÖRTGNLR Ynd eşkenr üçgen, eşkenr dörtgendir. eşkenr üçgenin çevresi 5 cm olduğun göre eşkenr dörtgensel bölgenin lnını bullım. Ynd, 5 cm dir ( ).. sin 55.. sin cm bulunur Yndki eşkenr dörtgeninde, [] ve [] köşegen, [H] [], H cm, H 6 cm olduğun göre () kç cm dir? 6 H eşkenr dörtgeninde köşegenler birbirini dik keser. Ynd dik üçgeninde Öklid bğıntılrındn, H H. H 6. H H 3 cm H 3 cm H H cm olur. H h eşkenr dörtgenin üksekliğidir. ( ). h ( ) 3 3 cm dir. 6 H 88

89 ÖZL ÖRTGNLR pveq bir eşkenr dörtgensel bölgenin köşegen vektörleri olsun. Köşegenler dik kesişirler p q & < p, q > 0 olur. eşkenr dörtgensel bölgenin vektörel ln bğıntısı, q p ( ) p. q < p, q > p. q 0 p. q ( ) p. q dir. Köşegen vektörleri p ( 6, ) veq ( 39, ) oln eşkenr dörtgensel bölgenin lnını bullım. p ( 6, ) veq ( 39, ) p ( 6) + 40 q br bulunur. q p 5 u ( 5, 4) vev ( 5, ) bir eşkenr dörtgensel bölgenin köşegen vektörleri olduğun göre eşkenr dörtgensel bölgenin lnını bullım. 5 u ( 5, 4) vev ( 5, ) 5 u ( 5) v ( 5) + ( ) 3 5 u 6 br v br u v ln 9 5 br bulunur

90 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki eşkenr dörtgeninde, 7 cm, 6 cm ise 6 () kç cm dir? 7. Yndki eşkenr dörtgeninde, [] ve [] çıort, 7 cm, 5 cm ise () kç cm dir? ) 8 6 ) 0 6 ) ) 4 ) Yndki eşkenr dörtgeninde, % [] [], [] [], m ( ) 60 6 cm olduğun göre () kç cm dir? 4. Köşegenlerinden biri diğerinin iki ktı oln eşkenr dörtgensel bölgenin lnı 36 cm ise eşkenr dörtgenin kenr uzunluğunu bulunuz. ve Yndki eşkenr dörtgeninde, m( W ) 0, 6 cm olduğun göre eşke- nr dörtgensel bölgesinin lnı kç cm dir? 6 cm ) 6 3 ) 6 ) 4 3 ) 4 ) eşkenr dörtgen, [] [] 5 cm 9 cm 5 9 Yukrıdki verilere göre () kç cm dir? 90

91 ÖZL ÖRTGNLR 7. şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) ir eşkenr dörtgende köşegenlerin çrpımı, eşkenr dörtgensel bölgenin lnını verir. dir. b. (...) Köşegen uzunluklrı 8 cm ve 6 cm oln eşkenrsl bölgenin lnı 44 cm c. (...) Komşu iki kenrın ve bu kenrlr rsındki çının sinüsünün çrpımı, eşkenr dörtgensel bölgenin lnını verir. ç. (...) pveq eşkenr dörtgensel bölgenin köşegen vektörleri olmk üzere eşkenr dörtgensel bölgenin lnı, p. q dir. 8. eşkenr dörtgeninde, [] [] 4 4 cm dir. Yukrıdki verilere göre () kç cm dir? 4 9. eşkenr dörtgeninde, [K] [] 4 cm 9 cm dir. Yukrıdki verilere göre () kç cm dir? K 4 9 ) 56 ) 60 ) 64 ) 80 ) ve KL eşkenr dörtgenlerinin kenrlrı prleldir. Trlı ln, içteki dörtgenin lnının 3 ktı ve 6 cm olduğun göre kç cm dir? L K ) ) 3 ) 3 ) 5 ) Köşegen vektörleri p (, 5) ve q ( 04, ) oln eşkenr dörtgensel bölgenin lnını bulunuz. 9

92 ÖZL ÖRTGNLR.9 KR tkinlik Kre ve Özellikleri rç ve gereç : çıölçer Ynd koordint düzleminde verilen dörtgen için, Kenrlr it her bir doğru prçsının eğimini bulunuz. Krşılıklı kenrlrın birbirine göre konumlrını trtışınız. dörtgeninin köşegen uzunluklrının kç frklı oll bulunbileceğini trtışınız. 3 ve köşegenlerinin uzunluklrını bulrk bulduğunuz değerleri krşılştırınız. 3 örtgenin kenr uzunluklrını bulrk krşılştırınız. 3 Köşegenlerin kesim noktsının koordintlrını bulrk birbirine göre konumunu belirleiniz. 3 Köşegenlerin rsındki çıı bulunuz. 3 Kre, eşkenr dörtgen ve prlelkenr rsındki benzer ve frklı özellikleri trtışınız. Kenr uzunluklrı eşit oln dikdörtgene kre denir. Yndki kresinde, [] [], [] [] m( W) m( W) m( X) m( X) 90 dir. Yndki kumş, kenr uzunluğu 0 cm oln eş krelerden oluşmuştur. un göre köşegeninin uzunluğu kç cm dir? dik üçgeninde, cm cm dir. 9 G

93 ÖZL ÖRTGNLR kre, [] [], ve % m ( ) 0 dir. Yukrıdki verilere göre m( % ) kç derecedir? 0 m( % ) m( % ) % % m ( ) m ( ) ve dik üçgenleri benzerdir. 0 olduğu için bu üçgenler eş üçgenlerdir. % hâlde olduğu için ikizkenr dik üçgen olur. m ( ) 45 % m ( ) dir ise dir. Krenin köşegenleri ve iç çılrının çıortlrı eşit uzunluktdır. İspt Ynd, ve üçgenleri birer ikizkenr dik üçgendir. & &, (K..K eşlik teoremi) ve m ( & ) m ( & ) m( & ) m( & ) olduğundn, [] ve [] çıortdır. & Köşegenler çıort olduğundn m( ) 90 olur. &, &, &, & eş üçgenlerinden, s s s s ve olur. Ynd kre,,, K doğrusl, cm, K cm ise K K kç cm dir? 93

94 ÖZL ÖRTGNLR Krede köşegenler dik kesişir ve birbirini ortlr. & Ynd K dik üçgeninde, K K + K cmdir. Yndki kresinde, [] [], [] [] 6 cm ise, kç cm dir? 6 Ynd [] [G] nı çizelim. G G 3 cm olur. ( ikizkenr dik üçgende [G] üksekliği tbnı iki eşit prç böler.) & G dik üçgeninde, 6 G + G (6 ) cmdir. 4 3 G 3 Ynd kre, eşkenr üçgen ise, % m( ) kç derecedir? Ynd ikizkenr üçgen olup, ise , 5 dir

95 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Ynd kre, ve,, noktlrı doğrusldır. un göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın nlış olnlr Y zınız. % %. (...) m( ) m( ) dir. % b. (...) m( ) 45 dir. c. (...) ikizkenr üçgendir. % % ç. (...) m ( ) m( ) 30 dir.. Yndki kresinde, [] [] K cm 5 cm K tir. Yukrıdki verilere göre kç cm dir? K 3. Yndki kresinde, 6 ise kç cm dir? 6 6 ) 3 ) 4 ) 3 3 ) 7 ) 8 4. Yndki kresinde, L dik üçgen [L] [L] [LK] [] KL 6 br 0 br ise L in lbileceği değerleri bulunuz. K L 6 5. Yndki kresinde, [] [] [] [] m( % ) m( % ) 8 8 cm dir. Yukrıdki verilere göre kç cm dir? 95

96 ÖZL ÖRTGNLR.0 KRSL ÖLGNİN LNI tkinlik Kresel ölgenin lnını ullım rç ve gereç : çıölçer Şekilde kredir. noktsı ile noktsını birleştiren köşegeni çiziniz. luşn ve üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrını oluşturunuz. ve üçgensel bölgelerinin lnlrı rsındki ilişkii çıklınız. 3 ve üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrındn fdlnrk kresel bölgesinin ln bğıntısını oluşturunuz. Kresel bölgenin krşılıklı kenrlrının birbirine göre durumlrını inceleerek dikdörtgensel bölge ile kresel bölge rsındki ilişkii trtışınız. ile vektörleri rsındki çının ölçüsünü bulunuz. 3 ikdörtgensel bölgenin vektörel oll ln bğıntısındn rrlnrk kresel bölgenin ln bğıntısını elde ediniz. kresel bölgesinin lnı: ( ) - <, > ( olduğundn <, > 0 dır.). 0. Kresel bölgenin kenr uzunluklrı eşit olduğundn, ( ) ( ) dir.. olur. (). dir. Çevresi 6 cm oln krenin lnı kç cm dir? 96

97 ÖZL ÖRTGNLR Ç() 6 cm cm () 4 () 6 cm dir. Yndki kresinde, K L 6 5 L L 3 L KL 6 5 cm ise kresel bölgesinin lnını bullım. K Ynd, L K L 3 [KM] [] çizelim. & LMK dik üçgeninde, KL KM + ML ( 6 5) ( 4) + ( ) cm cmolur. ( ) ( ) 44 cm bulunur. K L M Yndki kresinde 4, & ( ) 8 cm olduğun göre, 8 () kç cm dir? 3 ise ( & ) 3. ( & ) cm dir. ( & ) ( & ) 3 cm. & ( ) ( ) 3. () 64 cm dir

98 ÖZL ÖRTGNLR Yndki koordint düzleminde krenin köşeleri,, ve noktlrıdır. un göre kresel bölgenin lnını bullım. (,3) 3 (3,3) 3 (, ) (3, ) ( 3 ( ), ( )) ( ) ( 3+, + ) ^ h ( 40, ) ^ 6h bullım. ( ) 6 br bulunur. Köşegen vektörü p ( 3, 4) oln krenin bir kenr uzunluğunu ve kresel bölgenin lnını p p 5 br dik üçgeninde 5 ( ) br bulunur br p Yndki şekilde kre, [] [], kresinin çevresi 60 cm ve dik üçgeninin çevresi 36 cm dir. un göre bolı ln kç cm dir? cm cm dik üçgeninde, + 5 ( + ) & $ ( ) cm () 5 5 olı ln cm dir

99 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki kresinde,, 9 cm olduğun göre;. kç cm dir? 9 b. kç cm dir? c. kç cm dir? ç. () kç cm dir?. Ynd ve GH birer kredir. Ç() + Ç(GH) 36 cm () (GH) 7 cm olduğun göre, krelerin kenr uzunluklrını bulunuz. H G 3. Ynd üçgen ve G kredir. [H] [] cm H 4 cm ise (G) kç cm dir? H ) 3 ) 6 ) 9 ) ) 4 G 4. Ynd kre, H dikdörtgen, 4 cm, GH, G, H dikdörtgensel bölgelerinin lnlrı eşit oldu- H S G ğun göre kç cm dir? S S ) ),5 ) 3 8 ) 3 ) 9 5. rdışık köşelerinin koordintlrı (, ) ve (,4) oln kresel bölgenin lnını bulunuz. 6. Köşegen vektörü p (, 3) oln kresel bölgenin lnını bulunuz. 99

100 ÖZL ÖRTGNLR % 7. Yndki kresinde, mk ( ) 90 K K K & K ( ) 6cm ise( ) kçcm dir? K ) 6 ) 4 ) 3 ) 48 ) Yndki kresinde, % üçgen, m( ) 5, 4 cm olduğun göre şğıdki boşluklrı doldurunuz..... cm dir. b.... cm dir. c. Ç()... cm dir. ç. ()... cm dir Yndki kresinde, [] [], 8 cm, 6 cm olduğun göre () kç cm dir? Ynd kre,, ve noktlrı doğrusl, cm & olduğun göre ( ) kç cm dir? 00

101 ÖZL ÖRTGNLR. LTİ tkinlik eltoid ve Özellikleri Yndki dörtgende kenrlr it her bir doğru prçsının eğimini bulunuz. Krşılıklı kenrlrın prlelliğini trtışınız. Her bir kenr uzunluğunu bulrk sonuçlrını krşılştırınız. ve rsındki çıı bulunuz. ile ve ile rsındki çılrı bulunuz. enzer şekilde ile ve ile rsındki çılrı bulrk elde edilen sonuçlrı trtışınız. ulunn tüm sonuçlrı, kre ve eşkenr dörtgenin özellikleri ile krşılştırınız. Köşegenlerinden biri, iki ikizkenr üçgenin tbnı oln dörtgene deltoid denir. Yndki şekilde görüldüğü gibi deltoid, tbnlrı ortk ve kenr uzunluklrı frklı iki ikizkenr üçgenden oluşur. b b Özellikleri: deltoidinde,. b, dır. % % % % b. m( ) m( ), m( ) m( ) dir. % % c. m ( ) m ( ) dir. ç. çıort oln köşegen diğer köşegeni dik olrk ortlr. [] [] ve dir. N M N M eşkenr dörtgen K kre m ( W ) m ( X ),, [] [] dir. eşkenr dörtgeni özel deltoiddir. L K L m( M X ) m( K W ) 90 K M [KM] [NL] dir. KLMN kresi özel deltoiddir. 0

102 ÖZL ÖRTGNLR Yndki deltoidinde 6 cm, 3 cm, % m ( ) 60 olduğun göre;. kç cm dir? b. kç cm dir? c. kç cm dir?. deltoid ise 6 cm dir. b. eşkenr üçgen olup, 6 cm olur. 3 cm, [] ükseklik ve 3 3 cm dir. c. üçgeninde, ( 3) cm cm dir Yndki deltoidinde, % m ( ) m ( W ) 4m ( X ) 0 olduğun göre deltoidin çılrının ölçülerini bullım. % m ( ) % m ( ) 5 m( W % ) m ( ) 5 m ( X ) c llım. m ( W ) 4c 0 olur. m ( W) + m( W) + m ( X) + m( X) 360 4c c m ( W ) 4c m ( W ) 86 bulunur. 5c 0 c m( X ) 4 4c c 0

103 ÖZL ÖRTGNLR Yndki deltoidinde, 4 cm, [] [] % m ( ) 05 ise kç cm dir? Yndki şekilde [] köşegeni çizildiğinde ikizkenr dik üçgeni oluşur. u durumd m( % ) m( % ) 45 ve % % m ( ) m( ) , m( X ) 60 üçgeni eşkenr üçgen olur. ikizkenr dik üçgeninde, 4 cm 4 cm cm dir. Yndki deltoidinde, [K] [], [K] [], 5 cm 4 cm K cm dir. Yukrıdki verilere göre kç cm dir? K dik üçgeninde Öklid bğıntısındn, K 4. 6 K 8 K K 80 K üçgeninde Öklid dik kenr bğıntısın göre, K. K ise 6 cm 6 cm dir. 03

104 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki deltoidinde [] [], 5 cm cm ise şğıdki sorulrı cevplınız.. kç cm dir? b. kç cm dir? 5 c. kç cm dir? Yndki deltoidinde, [] [] olduğun göre in değeri kçtır? 4 3. Yndki deltodinde, [] ve [] köşegen,, K K, 3 br, K 4 br ise + nin değeri kçtır? ) 50 ) 75 ) 00 ) 5 ) Yndki deltoidinde [] ve [] köşegen, [H] [H], m ( X ) mh ( X ), 5 cm, 4 0 cm, H cm olduğun göre şğıdki noktlı erleri doldurunuz..... cm dir. b.... cm dir. 5 c.... cm dir. 3 H 4 K şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) eltoid ortk tbnlı iki ikizkenr üçgenden oluşur. b. (...) eltoidin köşegenleri dik kesişir. c. (...) eltoidin köşegenleri çıortdır. ç. (...) eltoidin krşılıklı çılrı birbirine eşittir. 04

105 ÖZL ÖRTGNLR. LTİSL ÖLGNİN LNI tkinlik eltoidsel ölgenin lnını ullım Yndki deltoidinde, noktsı ile noktsını birleştiren köşegeni çiziniz. luşn ve üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrını oluşturunuz. ve üçgensel bölgelerinin lnlrı rsındki ilişkii çıklınız. ve üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrındn fdlnrk deltoidsel bölgesinin ln bğıntısını oluşturunuz. deltoidinin köşegenleri, f ve e olsun [] [] olmk üzere, deltoidsel bölgesinin lnı, f. ( ) $ $ e$ f ( ) b. Köşegen vektörleri p ve q olmk üzere, p $ q < pq, > ( ) ( p q & < pq, > 0 dır.) e p q ( ) p $ q bğıntılrı ile hesplnır. Yndki deltoidinde, 0 cm 7 cm 8 cm ise () kç cm dir? dik üçgeninde,

106 ÖZL ÖRTGNLR 6 cm, dik üçgeninde, e 6 cm, f cm. ( ) ef cm dir. Yndki deltoidinde, % % m( ) m( ) cm 4 cm ise 4 () kç cm dir? Ynd + θ 90 olduğundn [] [] dır. üçgeninde Öklid bğıntısındn, + θ 90.. ( ) 4. 4 cm cm dir. cm 4 cm 5 cm 4 θ Köşegen vektörleri p ( 3, ) veq ( 6, ) oln deltoidsel bölgenin lnını bullım. p ( 3, ) q (, 6) p 3 + q ( ) p 0 40 q. 0 ln p. q 0. 0 ln 0 br bulunur. 06

107 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki deltoidinde, 3 % m ( ) 60 0 cm 3 cm olduğun göre () kç cm dir? Yndki deltoidinde, 3 cm cm, 5 cm olduğun göre () kç cm dir? 3 ) 35 ) 45 ) 50 7 ) 55 ) 60 deltoidsel bölgenin lnını bulunuz. 3. Yndki koordint düzleminde verilen Yndki şekilde deltoit biçimindeki uçurtmd,, G, H, ort noktlr ve dir. Uçurtmı pmk için kullnıln çıtlrın uzunluğu 90 cm, 50 cm olduğun göre uçurtm kâğıdı ile kplnn üzein lnı kç cm dir? 07

108 ÖZL ÖRTGNLR 5. Yndki deltoidinde, 0 cm 4 5cm 6 cm dir Yukrıdki verilere göre () kç cm dir? ) 7 ) 80 ) ) 09 ) 0 6. Yndki deltoidinde, 8 cm 4 7 cm % m ( ) 0 dir. Yukrıdki verilere göre () kç cm dir? Yndki deltoidinde, 3 K K 3 cm K cm dir. Yukrıdki verilere göre () kç cm dir? 8. Yndki deltoidinde, % % [] ^ [], m ( ) m ( ) 0 cm, 6 cm 0 6 olduğun göre () kç cm dir? 08

109 ÖZL ÖRTGNLR.3 ÖRTGNLRİN RSINKİ İLİŞKİLR tkinlik örtgenlerin Özellikleri şğıdki tblou inceleerek boş bırkıln erleri ugun biçimde işretleiniz. ÖRTGNLRİN ÖZLLİKLRİ Özellikler Ymuk Prlelkenr ikdörtgen şkenr dörtgen Krşılıklı kenr uzunluklrı eşittir. 3 ütün kenr uzunluklrı eşittir. Krşılıklı kenrlrı prleldir. Krşılıklı çılrı eştir. Her bir çısı diktir. 3 3 Köşegenler birbirini ortlr. Köşegenler eştir. Köşegenler dik kesişir. rdışık çılrı bütünlerdir. İki kenrı prleldir. İç çılrının ölçüleri toplmı 360 dir. Köşegenleri çıortdır. Kre eltoid Tblodn rrlnrk dörtgenlerin benzer ve frklı önlerini çıklınız. Prlelkenr ile eşkenr dörtgen rsındki benzer ve frklı özellikleri zlım. enzer Özellikleri Prlelkenr Krşılıklı kenrlrı prleldir. İç çılrının ölçüleri toplmı 360 dir. Komşu çılrı bütünlerdir. şkenr dörtgen Krşılıklı kenrlrı prleldir. İç çılrının ölçüleri toplmı 360 dir. Komşu çılrı bütünlerdir. rklı Özellikleri Krşılıklı kenrlrının uzunluklrı eşittir. Köşegenleri çıortdır. ütün kenrlrının uzunluklrı birbirine eşittir. Köşegenleri çıortdır ve dik kesişir. 09

110 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Ymuk ile prlelkenr rsındki benzer ve frklı özellikleri zınız.. Prlelkenrın, dikdörtgen olmsı için gereken şrtlrı zınız. 3. Kre ile dikdörtgen rsındki benzer ve frklı özellikleri şğıdki boşluklr zınız. enzer Özellikleri rklı Özellikleri 4. Yndki dörtgeninde [] [], 3 5 cm, 0 cm, 3 cm, cm olduğun göre () kç cm dir? ) 80 ) 90 ) 00 0 ) 0 ) Yndki dörtgeninde, [] [] 4 [] [] 4 4 cm 4 cm cm dir. Yukrıdki verilere göre () kç cm dir? 0

111 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI. Yndki muğund, %, m ( ), m( % ) olduğun göre, nin türünden değeri nedir? ) +50 ) 4 80 ) +0 ) +60 ) 3 0. Yndki dik muğund, [] [] 9 [] [] 5 cm 0 0 cm, 9 cm olduğun göre, kç cm dir? 5 3. Yndki muğund, 0 cm 0 cm olduğun göre, ( ) ornı kçtır? ( ) 0 0 ) ) 3 ) 7 ) 4 3 ) Yndki muğund, 3 cm 4 4 cm 4 cm olduğun göre, 3 3 () kç cm dir? 4 ) 0 ) 8 ) 34 ) 40 ) Yndki muğund, 7 br 6 br 5 br olduğun göre () kç br dir? ) ) 6 ) 0 ) 5 ) 30

112 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 6. Yndki muğund, [] // [] [] ve [] köşegen, 4 K 36 & K ( ) 4 cm & K ( ) 36 cm dir. Yukrıdki verilere göre () kç cm dir? ) 48 ) 5 ) 56 ) 60 ) Yndki muğund, 3 3 cm cm 0 cm () 00 cm dir. & Yukrıdki verilere göre ( ) kç cm dir? ) 44 ) 46 ) 48 ) 50 ) 5 8. Yndki prlelkenrınd, [] ve [] çıortlr, 5 cm cm 7 cm olduğun göre, kç cm dir? ) ) 3 ) 7 ) 4 ) 9 9. Yndki prlelkenrınd, & ( ) 6 cm olduğun göre, () kç cm dir? 6 ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 )

113 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 0. Yndki koordint düzleminde verilen prlelkenrsl bölgenin lnını bulunuz Yndki dikdörtgeninde, 8 cm, 0 cm, [] [] ve ise kç cm dir? ) 9 ) 3 ) 6 5 ) 5 ) Yndki dikdörtgeninde, % % m( ) m( ) 0 cm 8 cm ise () kç cm dir? 0 8 ) 0 ) 0 ) 8 ) 3 ) Yndki dikdörtgeninde, [] [], cm, 3 cm ise () kç cm dir? 3 ) 70 ) 80 ) 90 ) 00 ) 0 3

114 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 4. Yndki kresinde, 6 cm 7 cm cm 6 7,, noktlrı doğrusldır. Yukrıdki verilere göre kç cm dir? ) 5 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 5. Kenr vektörleri u (,) ve v (3, 6) oln dikdörtgensel bölgenin lnını bulunuz. 6. şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) ikdörtgenin köşegen uzunluklrı eşit değildir. b. (...) ikdörtgenin köşegenleri birbirini ortlr. c. (...) ikdörtgenin köşegenleri iç çılrın çıortıdır. ç. (...) ikdörtgenin köşegenleri dik kesişir. 7. Yndki eşkenr dörtgeninde, [] köşegen, [] [], % ve m ( ) 0 olduğun göre, % m ( ) kç derecedir? ) 55 ) 60 ) 70 ) 80 ) Yndki eşkenr dörtgeninde, [] ve [] çıort, 8 cm, () 64 cm ise kç cm dir? 8 ) 8 ) 7 ) 6 ) 5 ) 4 9. Köşegen vektörleri u (,) ve v (,4) oln eşkenr dörtgensel bölgenin lnı kç birimdir? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 4

115 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 0. Yndki eşkenr dörtgeninde, eşkenr üçgen, 3 [] [] [] [] 3 cm olduğun göre () kç cm dir? ) 3 3 ) 5 3. Yndki kresinde, ) 3 3 ) 4 3 ) % m ( ) 60, olduğun göre, çısının ölçüsü kç derecedir? ) 0 ) 0 ) 35 ) 45 ) 50. Yndki kresinde, [] [] 5 8 cm tir. un göre kç cm dir? ) ) 3 ) ) 5 ) 3 3. Yndki şekilde ve K kredir. K 3 KL olduğun göre, K ( ) K ( ) ornı kçtır? ) 5 ) ) 9 L ) 6 ) 3 4. Yndki şekilde kre, eşkenr üçgen, 6 cm olduğun göre () kç cm dir? ) 30 ) 36 ) 48 ) 5 )

116 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 5. Yndki şekilde deltoid,,, % % m ( ) 60 ve m ( ) 8 % olduğun göre kç derecedir? 60 8 ) 76 ) 88 ) 9 ) 04 ) 0 6. Yndki deltoidinde,,, br, 3 br, % m ( ) 90 olduğun göre, [] köşegenin uzunluğu kç br dir? ) 3 ) ) 9 ) 8 ) Yndki deltoidinde, 6 cm, 4 cm ve 8 cm dir. deltoidsel bölgesinin lnı kç cm dir? Köşegen vektörleri (5,4) ve b (8,0) oln deltoidsel bölgenin lnı kç birimdir? ) 0 ) 30 ) 4 ) 50 ) 50 6

117 3. ÜNİT ÇKGNLR 3. ÜZGÜN ŞGN 3. ÜZGÜN ŞGNSL ÖLGNİN 3.4 ÜZGÜN LTIGNSL ÖLGNİN LNI 3.5 SN, RKTL V KPLMLR LNI 3.3 ÜZGÜN LTIGN ilogrfi Sntı ilogrfi, hşp bir zemin üzerine çkılmış çiviler rsındn iplik d tel geçirilerek, belli örgü teknikleri kullnılrk çeşitli desenler medn getirilmesi sntıdır. u snt rt oğu d doğmuş, btı ve uzk doğu ılmıştır. Ülkemizde pek tnınmn bu snt; zorluğu, sbır gerektirmesi nedenile ile z ugulnmktdır ve unutulmk üzeredir. ilogrfi sntçısı önce kfsınd bzı motifler tsrlr. h sonr bu motifleri oluşturmk için tht pnolr üzerine çivilerini belli bir düzene göre çkr. u çivileri boıp vernikledikten sonr, çivilerin rsındn çeşitli renklerde iplikleri sıkıc geçirerek önceden tsrldığı motifleri ort çıkrır. nck bu iplik geçirme de bir ustlık gerektirir. Gerek tht pnonun ve gerekse kullnılck ipliklerin rengi önceden sntçı trfındn tsrlnır. Seçilen renklerin hem birbirine uumlu hem de motifi ort çıkrck şekilde olmsı gerekir. Ne renkler birbiri rsınd boğulck ne de çok fzl zıt renkler kullnılrk insn gözü rhtsız edilecektir. urd bütün iş sntçının rtıcı eteneğine ve ustlığın klmktdır. Yukrıd filogrfi sntı ile oluşturulmuş desenler verilmiştir. u desenlerde hngi çokgen modellerinin kullnıldığını çıklınız. 7

118 ÇKGNLR 3. ÜZGÜN ŞGN tkinlik üzgün eşgen ve Özellikleri rç ve gereç : çıölçer, cetvel Yndki düzgün beşgen modelini inceleiniz. köşesinden çizilen köşegenlerle oluşn üçgenlerin iç çılrının ölçülerinin toplmını bulunuz (çılr çıölçer rdımıl ölçülebilir.). Üçgenlerin iç çılrının ölçüleri toplmı ile beşgenin iç çılrının ölçülerinin toplmını krşıltırınız. eşgenin bir dış çısının ölçüsünü bulunuz. [] ve [] köşegen uzunluklrını bulunuz. üçgeninin uzun kenr uzunluğunun diğer bir kenr uzunluğun ornı ile ltın ornı krşılştırınız. 3 ir düzgün beşgenin hngi özelliklere ship olduğunu trtışınız. İç çılrının ölçüleri ve kenr uzunluklrı eşit oln beşgene düzgün beşgen denir. m ( W) m( W) m ( X) m( X) m( W ) 08 dir. ir düzgün beşgenin iç ve dış çılrının ölçülerini bullım. 08 n kenr sısı olmk üzere düzgün beşgenin bir iç çısının ölçüsü, ( n ). 80 n formülünden, ir dış çının ölçüsü ( 5 ) dir n formülünden 7 bulunur

119 ÇKGNLR Yndki düzgün beşgeninde [] ve [] köşegen olduğun göre;. çısı kç derecedir? b. çısı kç derecedir? c. çısı kç derecedir?. Ynd, düzgün beşgen olduğundn, bir dış çısı % m( K) n 7 dir. 5 ikizkenr üçgen ise m( % ) m( % ) 36 dir. b. düzgün beşgenin dış çısı 7 ise iç çısı olur. m( % ) 08 ise m( % ) dir. c. m( % ) m( % ) 36, üçgeninde m( % ) m( % ) 08 bulunur K + 5 ltın rn: c{ m noktsı doğru prçsının üzerinde olsun. + ise ( ) 5 ^ ϕ ϕ 0 ise ϕ h ϕ + (ltın orn) 0 denkleminde ϕ olsun. 5 +, ϕ > 0, ϕ,68... (ltın orn) 9 ornın ltın orn denir ve bu orn ϕ (fi) ile gösterilir. + 5 ise ϕ + (ltın orn)

120 ÇKGNLR ir düzgün beşgenin bir köşegen uzunluğunun kenr uzunluğun ornı ltın ornı verir. İspt üzgün beşgenin bir kenr uzunluğu ve K ise köşegen uzunluklrı + olur. & & K + K ve üçgeninde [K] iç çıort olduğundn; + ϕ ornı bulunur. düzgün beşgeninin tüm köşegenleri çizilecek olurs bir kenr uzunluğu oln KLMNP düzgün beşgeni K elde edilir. K { K KL { + 5 { + (ltın orn) elde edilir. P N K M L düzgün beşgeninde [], [] köşegen ve cm olduğun göre,. K ve kç cm dir? K b., ve ornlrı kçtır? K K K dir.. K K ise + cm dir. K & + K & + ise ise + 4 ise ( + ) 5 ise ( 5 ) cm dir. + cm ise ] cm dir. b. + K ise K ise K K 7

121 ÇKGNLR ir düzgün beşgen çizerek kenr ort dikmelerinin kesim noktlrını bullım. Yndki düzgün beşgeninde tepe noktsı K oln beş tne eş ikizkenr üçgen vrdır. Her bir ikizkenr üçgenin tbnlrın it üksekliklerinin uzunluklrı eşit olur. İkizkenr üçgenin tbnın it ükseklik nı zmnd düzgün beşgeninin kenr ort dikmeleridir. Şekilde K noktsı kenr ort dikmelerin kesim noktsıdır. K ir düzgün beşgenin kenr ort dikmelerinin kesim noktsı, düzgün beşgenin merkezidir. KUM KÖŞSİ ttürk ün Geometri Kitbı Mtemtik terimlerinin Türkçeleştirilmesini ttürk e borçluuz. Müsellesin, zvietn-ı dhiletn mecmu ü 80 derece ve müselles-i mütesviü l-dl, zvieleri birbirine müsvi müselles demektir. smnlıc bilmeenlerin bu cümlei nlcğını snmıoruz. ugün kullndığımız Türkçe ile ukrıdki cümle şu nlm gelior: Üçgenin iç çılrı toplmı 80 derecedir ve eşkenr üçgen, çılrı birbirine eşit demektir. 937 ılındn önce öğrenciler mtemtiği smnlıc terimlerle öğreniorlrdı. T ki ttürk ün bizzt zdığı geometri kitbınd eni mtemtik terimleri geliştirilene kdr. 937 ılının Ksım ınd eni bir eğitim ve öğretim ılın girerken Mustf Keml ttürk, Türk il Kurumunun çeşitli bilim dllrın it Türkçe terimleri sptdığını, bu sede dilimizin bncı dillerin etkisinden kurtulmsı için önemli bir dım tıldığını iln eder. nı ıl okullrd, Türkçe terimlerle bsılmış oln kitplr okutulur. ttürk, dilde sdeleşmei sğlmk için olnklrı sonun kdr zorlmış, bilim ve düşün dilinin sdeleştirilmesinin ve eğitimin Türkçe pılmsının gerekliliğini önemle vurgulmıştır. ilimsel terimlerin Türkçeleştirilmesinde krşımız çıkn ilk dım, ttürk ün ıllrınd zdığı ve geometri öğretiminde ol gösterici olrk tsrlnn eseri, dı konmdn ınlnmış, 97 ılınd d ikinci bskısı Türk il Kurumu trfındn pılmıştır. Kitpt er ln, günümüzde de kullnılmkt oln pek çok terim, ttürk trfındn türetilmiştir. ttürk ün türettiği sözcükler ile dh önce kullnıln smnlıc sözcükler krşılştırıldığınd pıln işin önemi ort çıkıor. ttürk ün önerdiklerinden sdece vrsı, pürüzm, dike üçgen, dike çı, tüm çı, imsi, ökül, üre terimleri erine, bugün sırsıl vrsım, prizm, dik üçgen, dik çı, tümler çı, benzerlik, tüm/bütün, küre terimleri kullnılmktdır.

122 ÇKGNLR lıştırmlr. Ynd düzgün beşgen, eşkenr üçgen, olduğun göre çısı kç derecedir? G. Yndki düzgün beşgeninde, H ve eşkenr üçgen olduğun göre şğıdki boşluklrı doldurunuz.. H çısı... dir. b. H çısı... dir. c. H çısı... dir. H G 3. Yndki düzgün beşgeninde [], [] köşegen ve 4 cm olduğun göre K ve kç cm dir? K 4 4. şğıdki ifdelerde doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) Kenr ort dikmelerinin kesim noktsı düzgün beşgenin merkezidir. b. (...) ir düzgün beşgenin bir dış çısının ölçüsü 75 dir. c. (...) ir düzgün beşgenin herhngi bir köşegenin uzunluğunun bir kenr uzunluğun ornı ltın orn eşittir. ç. (...) ir düzgün beşgenin iç çılrının ölçülerinin toplmı 360 dir. 5. şğıdki düzgün beşgenlerde verilenlere göre çısının ölçüsünü bulunuz.. b. c. K H H... [] [H] {K} ise......

123 ÇKGNLR 3. ÜZGÜN ŞGNSL ÖLGNİN LNI t tkinlik üzgün eşgensel ölgenin lnını ullım rç ve gereç : krton, mks, pıştırıcı, cetvel, 7 çıölçer, pergel Krtondn tbn çılrı 54 derece ve tepe çısı 7 derece oln ve herhngi büüklükte 5 det eş ikizkenr üçgensel bölge elde ediniz. Her bir üçgensel bölgee it üksekliği çizerek tbn it ükseklik uzunluğunu h ile tbn uzunluklrını ile isimlendiriniz. Her bir üçgensel bölgenin ln bğıntısını oluşturunuz Üçgensel bölgelerin kıs kenrlrının birer tnesi çkışck şekilde birbirine pıştırınız. 3 Üçgensel bölgelerin tepe noktlrının birleştiği nokt ile düzgün beşgensel bölge rsındki ilişkii trtışınız. 3 lde ettiğiniz düzgün beşgensel bölgenin lnı ile şekli oluşturn üçgensel bölgelerin lnlrı toplmı rsındki ilişkii çıklınız. 3 Üçgensel bölgelerin ln bğıntılrındn rrlnrk düzgün beşgensel bölgenin ln bğıntısını oluşturunuz. 3 üzgün beşgensel bölgenin çevresinin uzunluğu ile lnı rsındki ilişkii trtışınız. düzgün beşgeninin merkezi, merkezin herhngi bir kenr oln dik uzklığı h, çevre uzunluğu Ç, olsun. & & & ( ) ( ) + ( ) + ( ) & & + ( ) + ( ). h+. h+.. h +.. h+.. h h h h h h h + h + h + h + h. 5 h. U Ç Ç. h ( ) bulunur. 3

124 ÇKGNLR Yndki düzgün beşgenin merkezi noktsıdır. [H] [] [] [] ise I, II ve III. bölgelerin lnlrı hngi sılrl orntılıdır? III II I H & & & & & ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olduğundn I. bölgenin lnı 3, II. bölgenin lnı 4 ve III. bölgenin lnı 3 dır. hâlde I, II, III. bölgelerin lnlrı sırsıl 3,4,3 sılrı ile doğru orntılıdır. H Yndki düzgün beşgenin merkezi, () 6 cm ise () kç cm dir? 6 Ynd, () 6 3 cm dir. () cm elde edilir. Yndki düzgün beşgenin merkezi, [H] [], H cm, H 3 cm olduğun göre () kç cm dir? H 3 Yndki şekilde 4 cm, h 3 cm 4 H 3 4 Çevre () cm Ç. h ( ) cm dir

125 ÇKGNLR lıştırmlr. Ynd düzgün beşgensel bölge şeklinde bir bhçe verilmiştir. u bhçenin merkez olmk üzere, () 8 m lik kısmın domtes, kln kısmın biber ekilecektir. iber ekilecek ln kç m dir?. Yndki düzgün beşgenin merkezi, [H] [], Çevre () 5 cm, H 4 cm olduğun göre;. kç cm dir? 4 b. () kç cm dir? 3. Ynd düzgün beşgen, H [], [] köşegen ve cm & olduğun göre K ( ) kç cm dir? ) 5 ) 5 5 ) 5 5 K ) ) 5 4. Yndki düzgün beşgenin merkezi, H,, H h dir. un göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) H H dir. b. (...) () Ç. h dir. h c. (...) Çevre () 5. dır. % ç. (...) m ( ) 08 dir. d. (...) m( W) + m( W) + m( X) + m( X) + m( W ) 360 H 5. Yndki merkezli düzgün beşgende, [L] [], K, K, (KL) br ise (LK) kç br dir? K L ) 5 ) 8 ) 9 ) ) 4 5

126 ÇKGNLR 3.3 ÜZGÜN LTIGN tkinlik üzgün ltıgen ve Özellikleri rç ve gereç : 4 kâğıdı, cetvel, pergel, çıölçer r Pergelle merkezli bir çember çizerek rıçpının uzunluğunu d olrk r zınız. Pergelin çıklığını sbitleerek ucunu çember üzerindeki herhngi bir noktsın erleştirerek çemberi kesen bir çiziniz. u ın çemberi kestiği noktı ile isimlendiriniz. Pergelin ucunu noktsın erleştirerek bir çizerek çemberin kestiği noktı ile isimlendiriniz. u öntemle çemberi eş prçlr ırınız. Çember kç eş prç rılmıştır? luşn lrın ölçüsü kçr derecedir?,,,, ve nu cetvelle ölçerek rıçp uzunluğu ile krşılştırınız.,,, ve üçgenlerinin iç çılrının ölçülerinin toplmını bulunuz? Üçgenlerin iç çılrının ölçülerinin toplmındn fdlnrk düzgün ltıgeninin iç çılrının ölçülerinin toplmını bulunuz. Yukrıdki bsmklrdn elde ettiğiniz sonuçlr göre düzgün ltıgeninin özelliklerini çıklınız. İç çılrının ölçüleri ve kenr uzunluklrı eşit oln ltıgene düzgün ltıgen denir. m ( W) m( W) m ( X) m( X) m( W ) m( W ) dir. üzgün ltıgenin iç çılrının ve dış çılrının ölçülerini bullım. 6

127 ÇKGNLR üzgün ltıgenin bir iç çısının ölçüsü ( n ). 80 (6 ) ( n ). 80 n formülünden üzgün ltıgenin bir dış çısının ölçüsü n 6 60 dir.,,,,, üçgenlerinin iç çılrının ölçüleri ve kenr uzunluklrı eşit olduğundn her biri eşkenr üçgendir. Yndki düzgün ltıgeninde cm olduğun göre;. üzgün ltıgenin çevresi kç cm dir? b. kç cm dir? c. üçgeninin çevresi kç cm dir?. cm ise düzgün ltıgenin çevresi 3 Ç() 6. cm dir. % % % 3 b. m( ) 0 ise m( ) m( ) 30 dir. & ( ) üçgeni ve 30 cm olduğundn 3 cm dir & & & c.,, ise 3 cmdir. & un göre, eşkenr üçgenin çevresi Ç( ) cm dir. ([] düzgün beşgenin en kıs köşegenidir.) 3 Yndki düzgün ltıgeninde K cm, K 3 cm olduğun göre K kç cm dir? K 3 Yndki şekilde 4 cm ise 4 cm dir. ( ) üçgeninde 4 K K dik üçgeninde, K K ( 4 3) dir. 3 cm K 3 7

128 ÇKGNLR lıştırmlr. Ynd düzgün ltıgen, H GH kre, cm olduğun göre;. kç cm dir? b. G kç cm dir? G. Kenr uzunluğu 4 cm oln düzgün ltıgenin köşegenlerinin kesim noktsı dur. un göre şğıdki boşluklrı doldurunuz.. üzgün ltıgenin çevresi... cm dir. b.... cm dir. c. noktsının [] n oln uzklığı... cm dir. ç. n kıs köşegenin uzunluğu... cm dir. d. n uzun köşegenin uzunluğu... cm dir. 3. Yndki düzgün ltıgeninde, 6 cm ise kç cm dir? 6 ) ) 3 ) 4 ) 3 ) 8 4. Yndki düzgün ltıgeninde, 6 cm ise kç cm dir? 6 5. Yndki düzgün ltıgeninde, K K K, L cm, L 6 cm olduğun göre; KL kç cm dir? L 6 8

129 ÇKGNLR 3.4 ÜZGÜN LTIGNSL ÖLGNİN LNI tkinlik üzgün ltıgensel ölgenin lnını ullım rç ve gereç : 4 kâğıdı, cetvel, pergel, çıölçer 4 kâğıdın bir kenrının uzunluğu 6 cm oln bir düzgün ltıgen çiziniz. üzgün ltıgenin köşegenlerini çiziniz. Kç üçgen elde ettiniz? lde ettiğiniz üçgenlerin rlrındki ilişkii çıklınız. Üçgenlerin üksekliklerini bulunuz. Her bir üçgensel bölgenin lnını bulunuz. Üçgensel bölgelerin lnındn rrlnrk düzgün ltıgensel bölgenin lnını bulunuz. Üçgensel bölgelerin ln bğıntılrındn rrlnrk düzgün ltıgensel bölgenin ln bğıntısını oluşturunuz. üzgün ltıgensel bölgenin lnı ile çevresi rsındki ilişkii trtışınız. üzgün ltıgenin çevresi Ç, merkezinin herhngi bir kenr oln dik uzklığı h olmk üzere ; h h h h h h düzgün ltıgensel bölgenin lnı: & & & & & & ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) h + h + h + h + h + h.. Ç. h h 6 U dir. Ç urd h nı zmnd eşkenr üçgenin üksekliğidir. Kenr uzunluğu cm oln düzgün ltıgensel bölgenin lnını bullım. 9

130 ÇKGNLR I. ol Ynd, eşkenr üçgeninde, 3 h 3 h cm 3 Ç( ) 6. cm Ç. h. 3 ( ) 6 3 cm bulunur. h II. ol üzgün ltıgende, her bir kenr prlel köşegenler çizildiğinde 6 tne eş eşkenr üçgen oluşur. & ( ) 6. ( ) cm bulunur. 3 Yndki düzgün ltıgende, cm ise düzgün ltıgensel bölgenin lnı kç cm dir? üzgün ltıgenin merkezini,, köşeleri ile birleştirelim. cm ve bir eşkenr üçgendir. ( & ) ( & ) (eş üçgenler). & ( ) ( ) ( & ) ( & ) (eş üçgenler) ( & ) ( &. 3 4 ) (eş üçgenler) 3 cm dir

131 ÇKGNLR Yndki düzgün ltıgeninde, K. K, L 3. L olduğun göre, KL ( ) ornı kçtır? ( ) L K Ynd, ise K 4, K 8 ve L 9 olur. üzgün ltıgenin merkezini köşelerle birleştirelim. & & ( ) ise K ( ) 4, & K ( ) 8 olur. & & ( ) ise( L) 3 ve & L ( ) 9olur. KL ( ) 7 7 ( ) 6. elde edilir. 7 3 L K 4 Yndki düzgün ltıgeninde, & [], [] köşegen ve K ( ) cm olduğun göre () kç cm dir? K Ynd, ise dır. & & & K + K ve( K) cm ise, & K ( ) 4 cm olur. & K, K ise K ( ) (). (). 9 8 cm dir. cm dir K

132 ÇKGNLR lıştırmlr. ir kenrının uzunluğu 40 cm oln düzgün ltıgen biçimindeki kro tşının üzeinin kp- ldığı ln kç cm dir?. Yndki düzgün ltıgeninde 6 cm ise () kç cm dir? ) ) 3 ) ) 8 ) Yndki düzgün ltıgenin çevresinin uzunluğu cm dir. un göre şğıdki boşluklrı doldurunuz.. üzgün ltıgenin bir kenrının uzunluğu... cm dir. b. ()... cm dir. & c. ( )... cm dir. 4. K, düzgün ltıgeninin merkezidir. [KH] [] H G G (GKH) K (KH) G 3 (KG) 3 + olduğun göre 3 ornı kçtır? 5. Ynd, düzgün ltıgen, 6 cm olduğun göre, () kç cm dir? 6 6. Ynd, düzgün ltıgen, & ( ) 4 cm ise ornı kçtır? ( ) 4 3

133 ÇKGNLR 3.5 SN, RKTL V KPLMLR tkinlik üzlemde Çokgenlerle esen luşturlım rç ve gereç : hlı ve kilim fotoğrflrı, cetvel, bo klemleri şğıdki hlı ve kilim fotoğrflrını inceleiniz. Yukrıdki ürünlerin üzerindeki desenlerin nsıl oluşturulduğunu trtışınız. şğıd çokgenlerle oluşturulmuş desen fotoğrflrını inceleerek bu desenlerin nsıl oluşturulduğunu trtışınız. şğıdki desenin oluşturulm bsmklrını çıklınız.. dımdki şekli bork desen oluşturunuz. Ç G Ğ H J İI K K J İ I H Ğ G Ç şlngıç şğıd verilen çizimleri iki dım devm ettiriniz. Ç G H I K Jİ L K J İ I H Ğ G Ç K J İ I H Ğ G Ç Ç G H I. dım. dım K Jİ L şlngıç. dım. dım 3. dım lde ettiğiniz son şekil üzerinde isteğinize göre bom prk desenler oluşturunuz. lde ettiğiniz deseni rkdşlrınızın desenleri ile krşılştırınız. Çizimlerin herhngi bir şmsındn sonr frklı desenler elde edilip edilmeeceğini trtışınız. 33

134 ÇKGNLR şğıdki desenlerin nsıl oluşturulduğunu çıkllım. Ynd t ve dike eksenlerde nı oln hrfler bulunrk doğru prçsı ile birleştirilmiştir. örtgensel bölgelerden oluşn bir desen elde edilmiştir. Ç G Ğ H I Ç G Ğ H I Ç G Ğ H I Ç G Ğ H I Ç Ç G G Ç Ç G G enzer şekilde, t ve dike eksenden nı oln hrfler doğru prçsı ile birleştirilmiştir. Yndki desenin nsıl oluşturulduğunu d siz çıklınız. 34

135 ÇKGNLR tkinlik Çokgenlerden Yrrlnrk rktl luşturlım rç ve gereç : kreli kâğıt, cetvel şğıd verilen frktl görüntüsünü oluşturm sürecini çıklınız. Kreli kâğıd ukrıdki frktl görüntüsünü çiziniz. (üük krenin bir kenrının uzunluğunu 6 birim lınız.) rktl oluşturm bsmklrın üç dım devm ediniz ve şğıdki tblou ugun biçimde doldurunuz. İstenenler İlgili dımd oluşturuln mvi kresel bölgelerin kenr uzunluğu (br) İlgili dımd oluşturuln mvi kresel bölgelerin sısı dımlr şlngıç İlgili dımd oluşturuln mvi kresel bölgelerden birinin lnı (br ) dımdki frktl görüntüsünün çevre uzunluğunu bulunuz. 6. dımdki bolı bölgelerin toplm lnını bulunuz. şlngıç. dım. dım 3. dım Yukrıdki frktlı inceleelim. 35

136 ÇKGNLR Verilen frnktlın bşlngıcınd bir kre çizilmiştir.. dımd bu kre dört eş prç rılmıştır.. dımd prçlrın her biri ine dört eş prç bölünmüştür. nı işlem 3. dımd d ugulnmıştır. şğıd verilen frktl görüntüsünün oluşturulm sürecini çıkllım. şlngıç. dım. dım 3. dım rktlın oluşturulm sürecini çıklmk için önce tblo oluşturlım. İstenenler İlgili dımd oluşturuln mvi kresel bölgelerin kenr uzunluğu (br) İlgili dımdki mvi kresel bölgelerin sısı İlgili dımdki mvi kresel bölgelerden birinin lnı (br ) dımlr şlngıç 3 0 /3 /9 / /9 8 /9 8 3 /9 3 Tblou inceleelim. Mvi kresel bölgelerin herbirinin kenr uzunluğu, ve 3. dımlrd bir önceki dımın 3 ktı kdrdır. Mvi kresel bölgelerin sısı her dımd 8 kt rtmktdır. 8 Mvi kresel bölgelerin herbirinin lnı her dımd kt rtmktdır. 9 36

137 tkinlik önüşümler Ugulrk rktl luşturlım ÇKGNLR rç ve gereç : fotoğrf, krton, pıştırıcı, mks şlngıç şekli için kenr uzunluğu birim kre oln bir fotoğrf lınız (otoğrfı eterli sıd çoğltrk ve şğıdki bilgiler doğrultusund etkinliği bilgisrd pbilirsiniz.). K Kendi görüntüsü St önünün tersine 90 lik dönme şğıdki dımlrı tkip ederek frktl oluşturunuz. St önünün tersine 80 lik dönme St önünün tersine 70 lik dönme. dım: Kenr uzunluğu birim oln fotoğrfın 3 kopsını lrk ( 90, K, 70 ) kodlmsın ship frktl görüntüsünü, kenr uzunluğu birim oln bir krenin içinde oluşturunuz.. dım. dım. dım: irinci dımd oluşn frktl görüntüsünün 3 kopsını lrk ( 90, K, 70 ) kodlmsın ship frktl görüntüsünü, kenr uzunluğu 4 birim oln bir krenin içinde oluşturunuz.. dım 3. dım:. dımd oluşn frktl görüntüsünün 3 kopsını lrk ( 90, K, 70 ) kodlmsın ship frktl görüntüsünü kenr uzunluğu 8 birim oln bir krenin içinde oluşturunuz. 4. dımdki frktl görüntüsünü oluşturunuz. 3. dım 5. dım devm edilirse frktl görüntüsünde kullnılck fotoğrf sısı kçtır? 5. dımdki frktl görüntüsünün çevre uzunluğunu cebirsel olrk ifde ediniz. 5. dımdki frktl görüntüsünün erleştirildiği krenin kenr uzunluğu nedir? 37

138 ÇKGNLR önüşümler ugulnrk oluşturulmuş görüntü tekrr /4 ornınd küçültülerek koplnır ve nı dönüşümler ugulnrk görüntü üretilir. (Y Y ) P P P P P şğıd frktllrın görüntülerinin dönüşümler ugulnrk nsıl üretilebileceğile ilgili bir çlışm verilmiştir. İnceleiniz. görüntünün /4 ornınd küçültülmüş üç kopsı görüntünün dönüşümlerle tekrr oluşturulmsı t eksene göre nsım (Y Y ) dike eksene göre nsım (Y ) P P P P P P P P P Yndki frktlın nsıl oluşturulduğunu gösterelim. P P st önünün tersine 90 lik dönme ( 90 ) P ( 90 ) P P P P (Y ) (Y Y, 90, Y ) biçiminde kodlnır. st önünün tersine 70 lik dönme Hücre dim boş bırkılır. kendi görüntüsü st önünün tersine 70 lik dönme st önünün tersine 70 lik dönme kendi görüntüsü st önünün tersine 70 lik dönme ( 70, K, 70 ) biçiminde kodlnır. 38

139 ÇKGNLR tkinlik Kplm Yplım rç ve gereç : pergel, cetvel I. leddin Kekubd ın eşi, II. Gıseddin Kehüsrev in nnesi Mhperi Hund Htun trfındn Kseri şehir merkezinde ptırılmış oln Hund Htun Külliesi nde bulunn kplmlrın inş edilmesi için şğıdki işlemleri pergel ve cetvel rdımıl ve bilgisr çizim progrmlrı kullnrk gerçekleştiriniz. Gerekli çıklmlrı zınız. Çemberi çevreleen krenin pergel ve cetvel rdımıl elde edilmesi ile ilgili çizimler verilmiştir. çıklmlrı verilmemiş dımlrdki çizim işlemlerini zınız. ÇİZİMLR ÇIKLMLR. Çember çizilir ve bu çemberin merkezinden geçen doğru prçsı (çp), üzerindeki merkeze dik çizilir. ikme çizebilmek için çemberin çpının uç noktlrını merkez kbul eden iki büük çember kesişecek şekilde çizilir. Çizimden sonr büük çember prçlrı silinir.. Çemberle merkeze çizilen dikmelerin kesiştikleri noktlrı merkez kbul eden dört eş çember çizilir. Çemberlerin merkezleri ve kesiştikleri noktlr işretlenerek ortdki çember, dikmeler ve işretlenen noktlr dışınd kln erler silinir. 3. Çemberi çevreleen krei elde ettikten sonr motif oluşturm işlemlerine devm ediniz. ÇİZİMLR ÇIKLMLR. Çemberi çevreleen kre, geometrik er çizimleri prk elde edilmiştir. 39

140 ÇKGNLR ÇİZİMLR ÇIKLMLR. Krenin teğet olduğu nokt ile krenin köşegenleri ile çemberi kestiği noktlrdn geçen doğru prçlrı çizilir. 3. şğıd verilmiş oln çizimlerin nsıl pıldığı ile ilgili çıklmlrı zınız. ÇİZİMLR 4. ÇIKLMLR

141 ÇKGNLR ÇİZİMLR 8. ÇIKLMLR 9. ir önceki dımd elde edilen motif oluşturmkt kullnıln doğru prçlrı silinir. (Not: Silmekte zorlnılırs olduğu gibi klbilir ess motif renkli klemle çizilerek belirgin hâle getirilir.) 0. lde edilen motifler çoğltılır. Motiflere öteleme ugulrk kplm pılır. Sdece öteleme kullnılrk düzlemde boşluk klmck ve çokgensel bölgeler çkışmck biçimde düzlemin örtülmesine periodik kplm denir. Yndki periodik kplm örneğinin oluşturulm sürecini çıkllım. Prlelkenrsl bölge içine erleştirilen e st önünde 80 dönme ugulnrk oluşturuln çokgensel bölge ötelenerek periodik kplm pılmıştır. 4

142 ÇKGNLR Yndki kplm örneğinin nsıl oluşturulduğunu çıkllım. üzgün ltıgensel bölge içine erleştirilen kresel bölge ltmışr derece döndürülerek oluşturuln çokgensel bölge ötelenerek periodik kplm pılmıştır. Çokgensel bölgelerin içi frklı renklerle bonrk çeşitli desenler elde edilebilir. Ynd verilen kplm kâğıdındki bölgelerden eşkenr üçgen, düzgün ltıgen ve krelerin iç bölgelerini frklı renklere bork ve kplm teknikleri ugulrk kplmlr oluşturlım. Verilen kplm örneğindeki kresel ve düzgün ltıgensel bölgelerin komşu kenrlrı silinir. ölgeler bonrk frklı bir kplm oluşturulur. (irleştirme tekniği) Verilen kplm örneğindeki kresel ve düzgün ltıgensel bölgelerin köşegenleri çizilerek eni bölgeler oluşturulur. luşn eni bölgeler bonrk frklı bir kplm oluşturulur. (ölme tekniği) 4

143 ÇKGNLR Verilen kplm örneğindeki komşu çokgensel bölgelerin merkezleri birleştirilerek eni bölgeler oluşturulur. luşn eni bölgeler bonrk frklı bir kplm oluşturulur. (ul tekniği) şğıd bzı motiflere dönme ugulnrk kplmlr oluşturulmuştur. İnceleiniz. Her bir motif çokgensel bölgenin st önünde periodik olrk 90 döndürülmesile oluşturulmuştur. lıştırmlr. şğıd frklı ugrlıklr it periodik kplmlrl ilgili fotoğrflr verilmiştir. u kplmlr üzerindeki motiflerin hngi çokgensel bölge içinde hngi dönüşümler ugulnrk periodik kplmlr oluşturulduğunu çıklınız.. Yndki kilim deseni Gzintep öresine ittir. u desenin oluşturulmsınd hngi çokgensel bölgelere hngi dönüşümlerin ugulndığını çıklınız. 43

144 ÇKGNLR. şğıd, krelerle oluşturuln bir frktlın ilk üç dımı verilmiştir. u frktlın. dımındki bolı ln 64 cm,. dımındki bolı lnlr toplmı 3 cm olduğun göre 4. dımındki bolı lnlr toplmı kç cm olur? şlngıç. dım (motif). dım 3. dım ) 4 ) 6 ) ) 8 ) 4 3. şğıd bir frktlın oluşturulm dımlrı verilmiştir. şlngıç dımındki krenin bir kenrının uzunluğu 0 br olduğun göre 5. dımdki kre sısını ve bu kresel bölgelerin kpldığı lnı bulunuz. şlngıç. dım. dım 3. dım 4. şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın nlış olnlr Y zınız.. (...) Sdece öteleme kullnılrk düzlemde boşluk klmck ve çokgensel bölgeler çkışmck biçimde düzlemin örtülmesine periodik kplm denir. b. (...) irleştirme tekniğinde, kplmdki düzgün çokgensel bölge ile komşu düzgün bölgenin merkezi doğru prçsı ile birleştirilir. c. (...) ölme tekniğinde, düzgün çokgensel bölgeler merkezinden, kenr ort noktlrındn ve köşegenlerinden bölünür. ç. (...) Çokgensel bölge içerisindeki bir şekle dönüşümler ugulnrk periodik kplm pılmz. 5. Ynd rtçğ it bir motif verilmiştir.. şekle hngi dönüşümler ugulnrk. şekil elde edilmiştir? çıklınız.. şekil. şekil Çokgensel bölgeler kullnılrk pıln frklı ugrlıklr it periodik kplmlrı rştırrk sınıf ortmınd sergileiniz. 44

145 3. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 3. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI.Yndki düzgün beşgeninde [] ile [] köşegenlerdir. un göre çısının ölçüsü kç derecedir? ) 7 ) 36 ) 4 ) 58 ) 70. Yndki düzgün beşgeninde [H] [] 6 cm, K cm ise ornı kçtır? K 6 K ) ) 4 3 ) 5 3 ) 5 ) 3 H 3. Yndki düzgün beşgeninde eşkenr üçgen ise % m ( ) kç derecedir? ) 70 ) 66 ) 64 ) 6 ) Yndki düzgün beşgeninde,, H doğrusl, H H, mh ( % ) 00 isem( % ) kç derecedir? ) 54 ) 50 ) H ) 44 ) 4 5. Yndki düzgün beşgeninde, & ( ) cm olduğun göre () kç cm dir? 6. Yndki şekilde düzgün ltıgen ve K ikizkenr dik üçgendir. un göre K çısının ölçüsü kç derecedir? ) 80 ) 75 ) 55 K ) 5 ) 45 45

146 3. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 7. Yndki düzgün ltıgeninde, [] [L] [G] L cm L cm ise G kç cm dir? G ) 35 5 ) ) 35 5 ) 3 ) L 8. Yndki şekilde düzgün beşgen ve [], [] köşegenlerdir. un göre çısının ölçüsü kç derecedir? ) 7 ) 74 ) 76 ) 78 ) Yndki düzgün ltıgeninde, G G, G 3 cm ise düzgün ltıgenin çevresi kç cm dir? 3 ) 8 ) ) 8 G ) 4 ) 8 0. Yndki düzgün beşgeninde, [] [] {I} ve 6 cm ise Çevre(I) kç cm dir? ) 4 ) + ) + 5 ) I ) 0. Yndki düzgün ltıgeninde, cm oldu- ğun göre düzgün ltıgensel bölgenin lnını bulunuz. 46

147 3. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI. ir düzgün ltıgensel bölgenin lnı 7 3 cm olduğun göre bu çokgenin en uzun köşegenin uzunluğu kç cm dir? ) 6 3 ) 7 3 ) 8 3 ) 9 3 ) 4 3. Yndki düzgün ltıgeninde merkez, [H] [] ve bir kenrının uzunluğu 6 cm dir. un göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız. %. (...) m( ) 60 dir. % b. (...) m( ) 60 dir. H c. (...) H 3 3 cm dir. ç. (...) 9 cm dir. d. (...) () 54 3 cm dir. 4. şğıd verilen örüntülerden hngisi frktldır? ) ) ) ) ) 47

148 3. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 5. Ynd rtçğ it bir motif verilmiştir.. şekle hngi dönüşümler ugulnrk. şekil elde edilmiştir? çıklınız.. şekil. şekil 6. şlngıç. dım. dım Yukrıdki şekilde krelerin kenrlrının ort noktlrı birleştirilerek bir frktl oluşturulmuştur. rktlın bşlngıç dımındki krenin bir kenrı 4 br olduğun göre 6. dımdki en küçük krenin bir kenrı kç br olur? ) ) ) 4 ) 8 ) 6 7. şlngıç. dım. dım Yukrıd bşlngıç ve ilk iki dımı verilen frktlın 3. dımındki kre sısı kçtır? ) 7 ) 7 ) 37 ) 40 ) şlngıç. dım. dım Yukrıdki şekilde bşlngıç ve ilk dımı verilen frktlın bşlngıç dımınd bolı bölgenin lnı 6 cm,. dımınd bolı bölgelerin lnlrı toplmı 4 cm ve. dımındki bolı bölgelerin lnlrı toplmı 6 cm olduğun göre 3. dımındki bolı bölgelerin lnlrı toplmı kç cm olur? ) 6,5 ) 6,5 ) 7 ) 8 ) 30 48

149 4. ÜNİT ÇMR 4. ÇMR V LMNLRI 4. ÇMRİN VKTÖRL STNRT V GNL NKLMİ 4.3 ÇMRİN PRMTRİK NKLMİ 4.4 İR ÇMR İL İR ĞRUNUN İRİRİN GÖR KNUMU 4.5 ÇMRİN İR NKTSINKİ TĞTİ İL İLGİLİ TRMLR 4.6 ÇMR ÇILR 4.7 NKLMLRİ VRİLN İKİ ÇMRİN İRİRİN GÖR KNUMLRI 4.8 İR NKTNIN İR ÇMR GÖR KUVVTİ 4.9 TĞTLR ÖRTGNİ 4.0 KİRİŞLR ÖRTGNİ 4. İRNİN LNI 4. ÜZLM ÇMR YRIMIYL SN V RKTL GÖRÜNTÜSÜ LUŞTURM Mndl Mndl, Hindistn kökenli dinlerde metfizik ve sembolik bkımdn met d mikrokozmosu gösteren şekillere verilen ddır. Genellikle dire ve kre şeklinde oln ve her şein mistik merkezini sembolize eden mndllr meditson nesnesi olrk kullnılbilmektedir. Hinduizm de Siv ve Skti nin kozmik dnsını, udizm de ud dirını ve ud nın vizonunu simgeleen mndllr bulunmktdır. udizm de mndllr evrendeki kutsllığı ve bu kutsllığın insndki potnsiel durumunu htırltn önemli işretlerdir. udist bğlmd mndlnın mcı insnın cısın onu dınlnm ulştırrk son vermek ve hkikte ilişkin doğru görüşe ulştırmktır. Yukrıd bzı Mndl şekilleri verilmiştir. Mndl şekilleri oluşturulurken çemberlerden nsıl rrlnıldığını çıklınız. 49

150 ÇMR 4. ÇMR V LMNLRI tkinlik Çokgenden Çember lde delim şğıd verilen düzgün çokgenleri inceleiniz. ltıgen sekizgen ongen onikigen üzgün çokgenlerin kenr sılrı rtırılrk çizimlere devm edilsedi klşık olrk hngi şekil elde edilirdi? çıklınız. tkinlik Çember ve Yrdımcı lemnlrı Yndki nlitik düzlemde çember ve rdımcı elemnlrı gösterilmiştir. Noktlı erleri ugun biçimde doldurrk çemberin rdımcı elemnlrını belirtiniz. Çemberin rıçpının uzunluğunu bulunuz. Çemberin çpının uzunluğunu bulunuz. Kiriş ile kesen rsındki frkı çıklınız (...) (...) (...) (...) G (...) üzlemde sbit bir noktdn eşit uzklıkt bulunn noktlrın kümesine çember denir. Sbit nokt çemberin merkezi, sbit uzklığ d çemberin rıçpı denir. Ynd r çemberin rıçpıdır. P r 50

151 ÇMR merkezli ve r rıçplı çember Ç(, r) biçiminde gösterilir. ir düzgün çokgenin kenr sısı istenildiği kdr rtırıldığınd klşık bir çember oluşturur. Çemberin; iki noktsını birleştiren doğru prçsın kiriş, iki noktsındn geçen doğru kesen, merkezden geçen kirişine çp, bir prçsın d denir. X Çemberin temel elemnlrı rıçp ve merkez, rdımcı elemnlrı kiriş, kesen ve dır. Ynd keseni, bir çemberi iki ırır. unlrdn Y ın büük, X ın d küçük denir. Y ir çemberde iki ın birleşimi oln bir ın ölçüsü bu lrın ölçüleri toplmın eşittir. % % ( mx ( ) + m( X) m( X) dir. İspt ir çemberde merkez çının ölçüsü ile merkez çının gördüğü ın ölçüsü eşittir. % % % Ynd m ( ) mx ( ) + mx ( ) % m( ) + b % % ( mx ( ) + m( X) m( X) dir. X X β Yrıçp uzunluklrı eşit oln çemberler eş çember, frklı olnlr benzer çemberlerdir. şğıdki çemberlerden eş ve benzer olnlrı belirleelim. br 3 br br 3 5

152 ÇMR ile merkezli çemberlerin rıçplrının uzunluğu frklı olduğundn benzer çemberlerdir. ile 3 merkezli çemberlerin rıçplrının uzunluğu eşit olduğundn eş çemberlerdir. enzer şekilde ile 3 merkezli çemberler benzer çemberlerdir. ir çemberde ölçüleri nı oln iki eş lr, bir noktlrı ortk oln iki d komşu lr denir. eş lr komşu lr Yndki merkezli çemberde verilenlere göre, β, θ nın değerlerini bullım. [] çp olduğundn dir. % ile % ters çılr olduğundn β 60 dir. (eş lr) % % ile ters çılr olduğundn θ 0 bulunur. (eş lr) θ β 60 β ı küçük, ve θ ı, β ını 80 e tmmln büük lrdır. (komşu lr) PRJ. Sınıfınızı üç grub ırrk çember rdımıl oluşturuln desenler ile ilgili bilgiler toplınız.. Ülkemiz de pıln Kzzie el sntını rştırrk desen örnekleri bulunuz ve nsıl pıldığını çıklınız. 3. Telkri ve rhn-i el sntlrı ile ilgili rştırm pınız. 4. rştırm sonuçlrınızı gösteren bir rpor zınız. 5. Projenizi slt hâline getirerek sınıfınızd sununuz. 6. Proje sonund sf 7 deki Proje eğerlendirme ormu nu doldurunuz. 5

153 ÇMR LIŞTIRMLR. Yndki çemberin temel elemnlrını ve rdımcı elemnlrını belirleiniz.. Merkezi, rıçpı cm oln çemberi pergel ve cetvel rdımıl n trf çiziniz. 3. şğıd verilen çembere eş ve benzer çember çiziniz. 3 cm 4. şğıdki boşluklrı ugun ifdelerle doldurunuz. Çemberin iki noktsını birleştiren doğru prçsın..., merkezden geçen kirişine..., bir prçsın d... denir. 5. Yndki merkezli r rıçplı çembere göre şğıdkilerden hngisi nlıştır? ) [] rıçptır. ) [] çptır. ) [] çptır. ) m( % ) m( % ) % % komşu lrdır. ) ile 53

154 ÇMR 4. ÇMRİN VKTÖRL, STNRT V GNL NKLMİ tkinlik Çemberin Vektörel, Stndrt ve Genel enklemini ullım şğıd çember denklemleri ve bu denklemlere it çemberler nlitik düzlemde gösterilmiştir. oş bırkıln nlitik düzlemlerde ilgili çemberleri çiziniz. + ( ) + ( ) +( ) +( ) br (0,0) br (,0) ( ) + ( ) denklemini nlitik düzlemde gösteriniz. M(,b) herhngi bir çemberin merkezinin koordintlrı ve r rıçp uzunluğu olmk üzere bu çemberin denklemini zınız. MP r denkleminin çınımını ndki çemberden rrlnrk zınız. MP r ifdesi ile çemberin denklemini krşılştırınız. ir çemberin denklemini vektörel oll ifde ediniz. b r ( ) + ( b) r çember denkleminde gerekli işlemleri M(,b) prk şğıdki boş bırkıln erleri doldurunuz r r 0 Yukrıd elde ettiğiniz son ifdede, b ve +b r dönüşümü prk çemberin genel denklemini oluşturunuz. P(,) belirtir. üzlemde sbit bir noktdn eşit uzklıkt bulunn noktlrın geometrik eri, bir çember Sbit nokt M ve sbit uzklık r ise MP r denklemi M merkezli ve r rıçplı çemberin vektörel denklemidir. urd P(,) çember üzerinde değişken nokt, M(,b) sbit nokt ise MP (, b) dir. MP r ise ( ) + ( b) r M(,b) r P(,) ( ) + ( b) r denklemi, M(,b) merkezli ve r rıçplı çemberin stndrt denklemidir. 54

155 ÇMR Merkezi M(, ) noktsı ve rıçpının uzunluğu 6 birim oln çemberin,. Vektörel ve stndrt denklemini zlım. b. (,5) noktsının bu çemberin üzerinde olup olmdığını belirleelim.. M(, ), r 6 ve P(, ) çember üzerinde bir nokt ise, MP (, + ) MP 6 denklemi çemberin vektörel denklemidir. ( ) + ( + ) 6 ( ) + ( + ) 6 ( ) + ( + ) 36 denklemi çemberin stndrt denklemidir. b. (,5) noktsının koordintlrının, çemberin denklemini sğlıp sğlmdığını gösterelim. ( ) + ( + ) 36 denkleminde ve 5 zılırs, ( ) + ( 5+ ) elde edilir. un göre (,5) noktsının koordintlrı çemberin denklemini sğlr. (,5) noktsı çemberin üzerindedir. Merkezi M( 4,5) noktsı oln ve P(,3) noktsındn geçen çemberin stndrt denklemini zlım, koordint sisteminde gösterelim.. enklemi ( + ) + ( ) 9 oln çemberin merkezini ve rıçpının uzunluğunu bullım. Merkezi M( 4,5) noktsı oln ve P(,3) noktsındn geçen çemberin rıçpının uzunluğu, r MP ( ( 4)) + ( 3 5) 8 birimdir. Çemberin denklemi, ( ( 4)) + ( 5) ( 8) ( + 4) + ( 5) 8 olur. 55 M( 4,5) 4 5 P(,3) 3 b. u çemberi nlitik düzlemde çizelim. c. Çember, eksenini ve noktlrınd kestiğine göre [] kirişinin uzunluğunu bullım. 0

156 ÇMR. enklemi ( ) + ( b) r oln çemberin merkezi M(,b) noktsı ve rıçpının uzunluğu r birim olduğundn; ( + ) + ( ) 9 & ( ( )) + ( ) 3 oln çemberin merkezi M(,) noktsı ve rıçpının uzunluğu r 3 birimdir. b. Merkezi M(,) noktsı ve rıçpının uzunluğu r3 birim oln çember, nd çizilmiştir. İnceleiniz. c. I. ol Çemberin merkezinden [] kirişine [MH] dikmesi çizilmiştir. M r3 birim, MH birim olduğundn H 3-5 birimdir. H noktsı, M ikizkenr üçgeninin ort noktsı olduğundn, H H dir.. H II. ol 5 birimdir. Çemberin eksenini kestiği noktlrın ordintı 0 olduğundn ( + ) + ( ) 9 denkleminde 0 zılrk, ( + ) + ( 0 ) 9& ( + ) 5 & + 5ve+ 5 & 5 ve + 5 bulunur. un göre, ( 5, 0) ve( + 50, ) dır. M(,) r3 H ( + 5) ( 5) 5 birimdir. ( ) + ( b) r çemberin stndrt denkleminde, + + b+ b r, b ve + b r olrk lınırs, olur. u denkleme çemberin genel denklemi denir. + b r,, b ve r + b olduğundn, r c m + c m + ( + 4) + 4 dir ifdesine, çemberin genel denkleminin diskirminntı denir denklemini () ile gösterelim > 0 ise () denklemi bir çember belirtir. u çemberin merkezi M(,b) M(, ) ve rıçp uzunluğu r + 4 birimdir. 56

157 ÇMR b ise, r olcğındn; () denklemi bir nokt belirtir. u nokt Mc, m noktsıdır. c. + 4 < 0ise + 4 gerçek sı olmdığındn () denklemi çember belirtmez.. Çemberin genel denklemi, ve e göre ikinci dereceden bir denklemdir.. Çemberin denkleminde. li terim bulunmz. 3. Çemberin denkleminde ile nin ktslrı birbirine eşittir. enklemi oln çemberin merkezinin koordintlrını ve rıçpının uzunluğunu bullım. I. ol 6, 0, dir. un göre çemberin merkezi, 6 0 c, m c, m ( 35, ) noktsıdır. Çemberin rıçpının uzunluğu, r 4 6 ( ) 4 ( ) birimdir. II. ol Verilen denklemi, ( ) + ( b) r biçiminde zlım & & ( + 3) + ( 5) 36 & ( ( 3)) + ( 5) 6 olur. Çemberin merkezi ( 3, 5) noktsı ve rıçpının uzunluğu r 6 birimdir. şğıd verilen denklemlerin çember belirtip belirtmediklerini çıkllım. Çember belirtme durumund, çemberin merkezini ve rıçpının uzunluğunu bullım b c

158 ÇMR denkleminde li terim 6 bulunduğundn, bu denklem çember belirtmez. b denkleminde ve nin kt sılrı eşit ve. li terim bulunmdığındn, bu denklem çember belirtir & 3( + + 4) & & ve, 4, 4 olduğundn, çemberin merkezi, M, 4 c m Mc, m M(,) noktsıdır. Çemberin rıçpının uzunluğu, r 4 ( ) 4 ( 4 ) birimdir. c denkleminde ile nin kt sılrı frklı olduğundn, bu denklem çember belirtmez. t R, + + ( t 6) + t 8 ( t + 5) 0 denklemi bir çember belirttiğine göre bu çemberin merkezini ve rıçpının uzunluğunu bullım. Çember denkleminde li terim bulunmz. + + ( t 6) + t 8 ( t + 5) 0 denkleminin bir çember belirtmesi için. nin ktsısı t 6 0 olmlıdır. t 6 0 t6 dır. un göre çemberin denklemi, olur. u çemberin merkezi, 6 8 c, m c, m ( 34, ) noktsıdır. Çemberin rıçpının uzunluğu, r 4 6 ( ) 4 ( ) birimdir. 58

159 ÇMR K(, ), L(6,0) ve M(, 8) noktlrındn geçen çemberin denklemini zlım. K, L ve M noktlrındn geçen çemberin denklemi olsun. K(, ), L(6,0) ve M(,8) noktlrının koordintlrı bu denklemi sğlcğındn, ( ) + ( ) +. ( ) +. ( ) + 0 & + () K(, ) & () & (3) denklemleri elde edilir. M(,8) r r N(,b) r L(6,0) Önce üç bilinmeenden biri ok edilerek iki bilinmeenli iki denklemden oluşn denklem sistemi elde edilir. () ve () eşitlikleri trf trf toplnırs olur. () ve (3) eşitlikleri trf trf toplnırs olur denklem sisteminden, 4 ve 6 bulunur , 6ve + - & 4 6 & dir. un göre çemberin denklemi, olur. Yndki şekilde görüldüğü gibi M(, b) merkezli çember eksenine teğet ise r b dir. Çemberin stndrt denklemi, ( ) + ( b) r ( ) + ( b) b dir. b b M r P(,) Yndki şekilde görüldüğü gibi M(, b) merkezli çember eksenine teğet ise r dır. b r M P(,) Çemberin stndrt denklemi, ( ) + ( b) r ( ) + ( b) dir. 59

160 ÇMR Ynd görüldüğü gibi M(, b) merkezli çember iki eksene de teğet ise r b dir. Çemberin stndrt denklemi, ( ) + ( b) r ( ) + ( b) d ( ) + ( b) b dir. b b M P(,) Merkezi M( 4, 3) noktsı oln çember eksenine teğettir. u çemberin denklemini zlım. Çemberin rıçpının uzunluğu, r MT 3 3 birimdir. Çemberin denklemi, ( ( 4)) + ( ( 3)) 3 ( + 4) + ( + 3) 9 olur. 4 T r M( 4, 3) 3 Merkezi M( 4, ) noktsı oln çember eksenine teğettir. u çemberin denklemini zlım. Yndki şekli inceleiniz. Çemberin rıçpının uzunluğu, r MT 4 4 birimdir. Çemberin denklemi, ( ( 4)) + ( ) 4 ( + 4) + ( ) 6 olur. M r4 4 Merkezi nlitik düzlemin dördüncü bölgesinde bulunn bir çember, ve eksenlerine ve noktlrınd teğettir. (0, 5) olduğun göre çemberin denklemini zlım. 60

161 ÇMR Ynd 5 5 birim olduğundn, (5,0) dır. Çemberin merkezi, M(5, 5) noktsıdır. çemberin rıçpının uzunluğu, r M 5 birimdir. u çemberin denklemi, (0, 5) ( 5) + ( ( 5)) 5 & ( 5) + ( + 5) 5 tir. (5,0) r M r Merkezi (0, 0) noktsı oln çembere, merkezil çember denir. P(,) Çemberin stndrt denklemi ( ) + ( b) r den ( 0) + ( 0) r r + r (merkezil çemberin denklemi) dir. Yrıçp uzunluğu 4 birim oln merkezil çemberin stndrt denklemini zlım. + r den + 4 ise, + 6 olur. ( 3, ) noktsı, merkezi (0,0) noktsı oln çembere ittir. u çemberin denklemini zlım. Çemberin rıçpının uzunluğu, r P ( 3) + ( ) 9+ 4 r 3 birimdir. P 3 r Merkezi (0,0) noktsı ve rıçpının uzunluğu r 3 birim oln merkezil çemberin denklemi + r & + ( 3) + 3 tür. 6

162 ÇMR Yndki şekilde görüldüğü gibi M(, 0) merkezli çember ekseni üzerindedir. Çemberin stndrt denklemi, ( ) + ( b) r den ( ) + ( 0) r ( ) + r dir. r M(,0) P(, ) Yndki şekilde görüldüğü gibi M(0, b) merkezli çemberin merkezi ekseni üzerindedir. Çemberin stndrt denklemi, ( ) + ( b) r den ( 0) + ( b) r + ( b) r dir. r M(0,b) P(, ) Merkezi M(0,) noktsı ve rıçpının uzunluğu r 3 birim oln çemberin stndrt denklemini zlım ve çemberi koordint düzleminde gösterelim. Çemberin stndrt denklemi; ( 0) + ( ) 3 + ( ) 9 dur. K M L 5 ir çemberin merkezinden, çemberin bir kirişine indirilen dikmenin kirişi kestiği nokt, kirişin ort noktsıdır, İspt Ç(,r) çemberinde [] kiriş ve [H] [] dir. r olduğundn, üçgeni ikizkenrdır. m ( % ) m ( % ) olur. urdn, & & H, H (.K. eşlik teoremi) olduğundn, r r H [H] [H] H H olur. 6

163 ÇMR ir çemberde herhngi bir kirişin ort dikmesi, çemberin merkezinden geçer. İspt Merkezi noktsı oln çemberin [] kirişinin ort noktsı H olsun. & & H, H (.K. eşlik teoremi) olduğundn; [], [] (çemberin rıçplrı) m( % ), m( % ) ( ikizkenr üçgeninin tbn çılrı) [H] [H], (H, [] kirişinin ort noktsı) & & H, H (K..K. eşlik teoremi) m( H % ) m( H % r r ) (eş üçgenlerde krşılıklı çılr) m( H % ) + m( H % ) 80 H % % 80 m( H) m( H) 90 dir. un göre H, [] kirişinin ort dikmesidir ve çemberin merkezinden geçer. Merkezi noktsı, rıçpı 3 cm oln çemberin merkezinin [] kirişine uzklığı, H 5 cm dir. [] kirişinin uzunluğunu bullım. H dik üçgeninde, H + H H & H H cm dir. H H cm olduğundn, + 4 cm dir. 3 5 H merkezli ve 0 cm rıçplı bir çemberin içinde lınn bir P noktsının merkeze oln uzklığı 6 cm dir. P noktsındn geçen en büük kiriş ile en küçük kirişin uzunluklrı toplmını bullım. P noktsındn geçen en küçük kiriş, [P] n P noktsınd dik oln kiriştir. n büük kiriş ise P noktsındn geçen çptır. P dik üçgeninde, P & P 8cm P P 8 cm, 6 cmdir cm bulunur. P

164 ÇMR lıştırmlr. şğıd verilen denklemlerin çember belirtip belirtmediklerini çıklınız b c ç (m ) + (4 m) 4m denklemi bir çember belirttiğine göre bu çemberin,. Merkezini bulunuz. b. Yrıçpının uzunluğunu bulunuz. 3. enklemi oln çemberin bşlngıç noktsın en uzk noktsı K dır. K noktsının bşlngıç noktsın uzklığı kç birimdir? 4. ir çemberde 8 cm uzunluğundki kirişin merkeze oln uzklığı 3 cm ise bu çemberin rıçp uzunluğu kç cm dir? 5. Yndki merkezli çemberde, [] + [] {} 8 cm 4 cm olduğun göre çemberin rıçpı kç cm dir? 6. Yndki merkezli çemberde, [] kiriş 3 cm 8 cm 6 cm ise kç cm dir? ) 39 ) 4 ) 7 ) 8 ) 9 7. Merkezleri ve rıçplrının uzunluklrı şğıd verilen çemberlerin vektörel, stndrt ve genel denklemlerini zınız.. M(,3, 4), r 5 cm b. M(0,3), r 4 cm c. M(, ), r br ç. (0,0), r 3 3 br 8. Yndki merkezli çemberde, N 8 cm e NR 4 cm olduğun göre, N noktsındn geçen en kıs kirişin uzunluğu kç cm dir? P 8 N 4 R 64

165 ÇMR 9. şğıdki çemberlerin merkezlerinin koordintlrı belirtilmiştir. u çemberlerin stndrt denklemlerini zınız.. b. c. M (4,0) M (3,) M (,) Çember eksenine teğettir. Çember eksenine teğettir. Çember ve eksenlerine teğettir. 0. Merkezi M(,) noktsı oln çember, koordint eksenlerine teğettir. u çemberin merkezi, denklemi + 6 oln doğrunun üzerinde olduğun göre çemberin denklemini zınız.. Merkezi M(, b) noktsı oln çember ve eksenlerine teğettir. u çemberin merkezi, denklemi oln doğrunun üzerindedir. < 0 ve b > 0 olduğun göre çemberin denklemini zınız.. Yndki merkezli çemberde,, [] çp, 9 cm, 6 cm ise kç cm dir? 3. Yndki şekilde nı merkezli iki çemberin rıçplrının uzunluklrı 5 cm ve 3 5 cm dir. 0 cm ise kç cm dir? 4. Yndki merkezli çemberde, cm, cm, 4 cm, 6 cm dir. [] [] olduğun göre çemberin rıçpı kç cm dir? 65

166 ÇMR 4.3 ÇMRİN PRMTRİK NKLMİ tkinlik Çemberin Prmetrik enklemini ullım Yndki şekli inceleiniz. Noktlı eri ugun biçimde doldurunuz. P noktsının koordintlrının rıçp ve ekseni ile ptığı çı cinsinden ifdesini çemberin genel denkleminde zınız. HP dik üçgneinde r P nu bulunuz. P(,b) noktsı ve r br oln çember denklemini zınız. ve i r, cosθ, sinθ cinsinden zınız. Çember denklemi, çemberin üzerinde seçilen her nokt için rıçp ve çı bğlı olrk ifde edilebilir mi? Trtışınız. P(,b) r r.sinθ θ H Ynd denklemi + r oln merkezil çemberin bir noktsı P(, ) dir. PH dik üçgeninde; m( PH % ) t ise, r cos t ve r sin t dir. + r un göre, P(,) r. cos t r 4 olur. r. sin t t H r pozitif sbit bir reel sı, t değişen bir reel sıdır. P(, ) noktsının ve koordintlrın bğlı olrk değişen t değişkenine, prmetre denir. t R olmk üzere; r. cos t 4 denklem sistemine, rıçpının uzunluğu r birim oln merkezil çemberin r. sin t prmetrik denklemi denir. Merkezil çember { (r cost, r sint) : r R +, t R, 0 t < p} olur oln merkezil çemberin prmetrik denklemini zlım ise r 8 br dir. 8 cos t 4 denklemi prmetrik denklemdir. 8 sin t 66

167 ÇMR Prmetrik denklemi 3cost ve 3sint oln merkezil çemberin stndrt denklemini bullım. I. ol + ( 3cost) + ( 3sin t) + 3cos t+ 3sin t + 3( cos t+ sin t) olur. Merkezil çemberin rıçpının uzunluğu r 3 birim olduğundn çemberin stndrt denklemi, II. ol + ( 3) & + 3tü. r Merkezi orijin ve 0 t π oln çemberin prmetrik denklemi, 3 cos t 4 dir. u çemberin vektörel, stndrt ve genel denklemini zlım. 3 sin t 3 cos t 4 ise 3 sin t r 3 tür. Çemberin vektörel denklemi, P 3 tür. r 3 t P(,) P ( 0, 0) P (,) ( 0) + ( 0) 3 dir. + 9 çemberin stndrt denklemidir. nı zmnd + 9 çemberin genel denklemidir. (urd 0 dır.) 67

168 ÇMR tkinlik Herhngi ir Çemberin Prmetrik enklemi ik koordint sisteminde, Merkezi orijin ve rıçpı br oln çember çizerek 3 br sğ ve br ukrı öteleiniz. luşn çemberin genel denklemini zınız. Merkezi M(4, ) ve rıçpı r 3 br oln çemberin; Genel denklemini bulunuz. Genel denklemde, l l + l ötelemesi kullnrk lvel değişkenlerine bğlı bir denklem elde ediniz. lde edilen denklemde, l 3. cost l 3. sint zılrk M(4,) merkezli ve r 3 br rıçplı çemberin prmetrik denklemini bulunuz. M(, b) merkezli ve r rıçplı bir çemberin prmetrik denklemini zınız. Merkezi M(, b) ve rıçpı r oln çemberin genel denklemi ( ) + ( b) r genel denkleminde, l + 4 l + b ötelemesi ugulnrk, ( l + ) + ( l + b b) r l + l r denklemi elde edilir. u denklemde, l r cost l r sint zılrk M(, b) merkezli ve r rıçplı bir çemberin bir tm turunun prmetrik denklemi 0 t < π için, + r cost b + r sint biçimindedir. 0 P(, ) r.sint t M(, b) H r.cost H l Ml b Merkezi M(, 3) noktsı ve rıçpının uzunluğu r birim oln çemberin prmetrik denklemini zlım. 68

169 ÇMR Merkezi M(, b) noktsı ve rıçpının uzunluğu r birim oln çemberin prmetrik denklemi (0 t < π, t R) + rcos t 4 olduğundn, b+ rsin t Merkezi M(, 3) noktsı ve rıçpının uzunluğu r birim oln çemberin prmetrik denklemi, + cost 3 + sint olur. (t R) Merkezi M(, 0) noktsı ve rıçpının uzunluğu r birim oln çemberin prmetrik denklemini zlım ve koordint düzleminde çizimini plım. M(, 0), r, (0 t < π, t R) + rcos t 4 b+ rsin t + cos t 4 0+ sin t + cos t 4 çemberin prmetrik denklemidir. sint Sonuç P(,) M t 4 r Merkezi M(, 0) noktsı ekseni üzerinde ve rıçpının P(,) uzunluğu r birim oln çemberin prmetrik denklemi, + rcos t 4 dir. (0 t < π, t R) rsin t M t nı şekilde merkezi M(0, b) noktsı ekseni üzerinde ve rıçpının uzunluğu r birim oln çemberin prmetrik denklemi, rcos t 4 dir. (0 t < π, t R) b+ rsin t [MN], eksenine prleldir. b t M r P(,) N 69

170 ÇMR Merkezi M(,) noktsı ve rıçpının uzunluğu r 3 birim oln çemberin prmetrik denklemini zlım ve koordint düzleminde çizimini plım. Çemberin merkezi. çıort doğrusu üzerinde ni doğrusunun üzerindedir. [ MK]// [ ] & m( PMK % ) m( M % ) t dir. doğrusunun eğimi ML dik üçgeninde, ML tn t L tn t & t 45 dir. Çemberin prmetrik denklemi, + rcos t 4 olduğundn, b+ rsin t + 3cos t 4 ise + 3sin t + 3cos 45 4 olur. + 3sin 45 t M t L P(,) K Sonuç Merkezi M(, ) noktsı doğrusu üzerinde ve rıçpının uzunluğu r oln çemberin prmetrik denklemi, + rcos t 4 dir. + rsin t t M Merkezi M(, ) noktsı ve rıçpının uzunluğu r 3 birim oln çemberin prmetrik denklemini zlım ve koordint düzleminde çizimini plım. Çemberin merkezi. çıort doğrusu üzerinde ni doğrusunun üzerindedir. 70

171 ÇMR Ynd [ MK]// [ ] & m( PMK % ) m( M % ) dir. doğrusunun eğimi, tn (80 t) tn t ise ML dik üçgeninde, ML tn t L tn t tn t & t 35 dir. Çemberin prmetrik denklemi; M(, ), r 3 br dir. P(,) r4 80 t M K L t 80 t + rcos t 4 olduğundn b+ rsin t + 3cos 35 4 olur. + 3sin35 Sonuç Merkezi M(, ) noktsı doğrusu üzerinde, koordint düzleminin II. bölgesinde ve rıçpının uzunluğu r oln çemberin prmetrik denklemi, P(,) r + rcos t 4 olur. + rsin t M 80 t t Merkezi M(, ) noktsı doğrusu üzerinde koordint düzleminin IV. bölgesinde ve rıçpının uzunluğu r oln çemberin prmetrik denklemi, + rcos t 4 dir. rsin t 80 t t 80 t M r P(,) Sonuç 0 t < p için + rcos t 4 prmetrik denkleminden, b+ rsin t ( ) + ( b) r stndrt denklemi elde edilir. 7

172 ÇMR lıştırmlr. Merkezi M(, 3) ve r 4 birim, çemberi üzerindeki P(, ) noktsı için, P nin ekseni ile ptığı çı t (0 t < π) oln çemberin prmetrik denklemini zınız.. enklemleri şğıd verilen çemberlerin prmetrik denklemlerini zınız b. ( 4) + ( + 3) cos t 4 prmetrik denklemine göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın 5 sin t nlış olnlr Y zınız. (...) Çemberin rıçpı 5 tir. b. (...) Çemberin merkezi M(0, 0) dır. c. (...) Çemberin stndrt denklemi + 5 dir. ç. (...) Çemberin stndrt ve genel denklemleri nıdır. 4. Prmetrik denklemleri şğıd verilen çemberlerin stndrt ve genel denklemini zınız. Çemberleri koordint düzleminde çiziniz... cos t sin t b. + 6cos t + 6sin t 5. Prmetrik denklemi 5 cost 4 oln çemberin stndrt denklemi şğıdkilerden hngisidir? 5 sin t ) + 5 ) ( +) + ( ) 3 ) ( + ) + 9 ) ( + ) + ( + ) 9 ) + ( + ) cos t 4 biçiminde ifde edilen çemberin genel denklemini zınız. + sin t 7

173 ÇMR 4.4 İR ÇMR İL İR ĞRUNUN İRİRİN GÖR KNUMU tkinlik ir Çember ile ir oğrunun irbirine Göre Konumlrı ( + ) + ( ) çemberi ile m, (m R) doğrusu verilior. Çember ile doğrunun ortk çözümünü pınız. lde edilen ikinci derece denklemin köklerini bulunuz. Köklere krşılık gelen noktlrdn geçen doğru denklemlerini bulunuz. m nin lbileceği değerler için doğru ile çemberin birbirine göre konumunu çıklınız. enklemi + b + c 0 oln doğru ile denklemi oln çemberin birbirine göre konumu, + b + c u denklem sistemi çözülürken doğru denkleminden nin cinsinden değeri elde edilip çember denkleminde erine zılır. Gerekli işlemler pılrk ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem elde edilir. İkinci dereceden bir bilinmeenli denklemin diskirminntı 9 dır. un göre,. 9 > 0 ise (denklemin iki gerçek kökü vrs) doğru ile çember iki noktd kesişir.oğru çemberin bir kesenidir (Şekildeki d çemberin kesen doğrusudur.) ise (denklemin kökleri birbirine eşitse) doğru çemberin bir teğetidir (Şekildeki d çemberin teğet doğrusudur.) < 0 ise (denklemin gerçek kökü oks) doğru çemberi kesmez (Şekildeki d 3 doğrusu çemberi kesmior.). Yrıçpı r birim oln çemberin merkezinin doğru oln uzklığı h birim olsun.. h < r ise doğru ile çember iki noktd kesişir.. h r ise doğru çembere teğettir. 3. h > r ise doğru çemberi kesmez. d d d 3 d teğet T h r M L oğru çemberi kesmior. h < r M h > r H d kesen d 3 73

174 ÇMR enklemi + 8 oln çember ile denklemi 3 oln doğrunun birbirine göre konumunu bullım. enklemi + 8 oln çember ile denklemi 3 oln doğru kesişiors kesiştikleri noktlrın koordintlrı iki denklemi de sğlr. un göre doğru ile çemberin kesiştikleri noktlrın koordintlrı, denklem sistemi çözülerek bulunur. 3 u denklem sistemini erine kom öntemi ile çözelim: Çemberin denkleminde erine 3 zılrk + ( 3) denklemi elde edilir. u denklemin diskriminntı r ( ) 4 5 ( 9) > 0 olduğundn doğru ile çember frklı iki noktd kesişir denkleminin kökleri, ( ) , $ ve tür. un göre, doğru ile çemberin kesiştikleri ve noktlrının psisleri ve tür. 5 3 ve noktlrının ordintlrı, 3 denkleminde erine 3 ve zılrk bulunur ve ( ) olduğundn doğru ile çember 3 (, ) ve (3, 3) noktlrınd kesişir. 3 çemberin kesen doğrusudur. 5 5 enklemi oln d doğrusu ve denklemi oln çember verilior.. d doğrusu ile çemberin frklı iki noktd kesiştiğini gösterelim. b. d doğrusu ile çember K ve L noktlrınd kesiştiğine göre [KL] kirişinin uzunluğunu bullım.. Çemberin merkezinin koordintlrı, ve b Çemberin merkezi, M(3, ) noktsıdır. dir. 74

175 ÇMR Çemberin rıçpının uzunluğu, r + 4 ( 6) + ( 4) 4( ) 00 5 birimdir. Çemberin M(3, ) merkezinin denklemi oln d doğrusun uzklığı, MH 3 + ( 4) 5 3 birimdir. 5 Çemberin M(3,) merkezinin d doğrusun uzklığı, çemberin rıçpının uzunluğundn küçük olduğundn ( MH < r); doğru ile çember frklı iki noktd kesişir. b. MHK dik üçgeninde, KH 4 birimdir (Neden?). KH HL olduğundn, KL. KH.4 8 birimdir. H K L 3 5 M(3,) Çemberin; herhngi MTer vektörüne dik oln d doğrusun T noktsındki teğet doğrusu, er vektörünü doğrultmn kbul eden doğru norml doğrusu denir. MT d d M T Merkezi M(0, 0), vektörel denklemi MT 3 oln çembere, üzerindeki T(, 3) noktsındn çizilen teğetin ve normlin denklemini zlım. Yndki şekilde MT çemberin T noktsındki normli, d d doğrusu çemberin teğet doğrusudur. Normlin denklemi, M(0,0), T(,3) olmk üzere, T(,3) MT ( 0, 3 0) ( 3, ) (, ) M(0,0) + λ MT, λer (, ) (0, 0) + λ.(, 3) (, ) ( λ, 3λ) λ, 3λ λ, λ 3 M P(,) 3 ve dir. 3 75

176 ÇMR 3 denklemi çemberin norml doğrusunun denklemidir. Çemberin teğet doğrusunun denklemini bullım. MT TP olduğundn < MT, TP > 0 dır. MT ( 0, 3 0) TP (, 3) MT ( 3, ) < MT, TP > 0.( ) 3( 3) bulunur. Teğetin değme noktsındn teğete çizilen dik doğru, çemberin merkezinden geçtiğinden, çemberin noktsındki normli, doğrusudur. enklemi + r oln merkezil çemberin (, ) noktsındki teğetinin ve normlinin denklemlerini bullım: normlinin eğimi, m tn dir. normline dik oln teğetinin eğimi, m olur (Nedenini çıklınız.). dir. teğetinin denklemi,.( ) m & ( ) & + & + + _... ( ) olur. (, ) noktsı, denklemi + r oln çembere it olduğundn, + r... () () ve () denklemlerine göre teğetin denklemi + r olur. normlinin denklemi, m &. & & 0 olur. enklemi + r oln merkezil çemberin;. (, ) noktsındki teğetinin denklemi + r dir.. (, ) noktsındki normlinin denklemi 0 dır. H + r norml (, ) teğet 76

177 ÇMR norml teğet Stndrt denklemi + 0 oln çembere, üzerindeki T(, 4) noktsındn çizilen teğetin ve normlin denklemlerini zlım. T(,4) 4 I. ol enklemi + r oln çemberin (, ) noktsındki teğetinin denklemi + r olduğundn, denklemi + 0 oln çemberin (, 4) noktsındki teğetinin denklemi dir. Teğetin sdeleştirilmiş denklemi + 0 olur. Çemberin T(,4) noktsındki normlinin denklemi, 0 formülüne göre, 4 ( ) 0 & 4 & olur. II. ol enklemi + 0 oln çemberin merkezi (0,0) noktsıdır. [T] rıçpının eğimi, m T 4 0 dir. 0 Çemberin T noktsındki teğeti, [T] rıçpın dik olduğundn teğetin eğimi m t ise, mt. mt & mt.( ) & mt dir. Çemberin T(, 4) noktsındki teğetinin denklemi, mt.( ) 4 ( ( )) 8 + & + 0 olur. Çemberin T(, 4) noktsındki normlinin denklemi, m. & tir. T Stndrt denklemi ( ) + ( b) r oln çemberin T(, ) noktsındki TP teğeti ile TM normli çizilmiştir. TM normlinin eğimi, P(, ) T(, ) m N b dır. M(,b) teğet norml 77

178 ÇMR Teğet normle dik olduğundn teğetin eğimi m T ise m T. m N mt m olur. N b b T(, ) noktsı ve m T eğimi bilinen TP teğetinin denklemi, b ( ) dir. b ( ) & ( ) ( b ) ( ).( ) b & ( ).( ) + ( ).( b) 0 olur. b Çemberin T(, ) noktsındki TM normlinin eğimi mn olduğundn normlin denklemi, b ( ) & ( )( ) ( b )( ) & ( ).( b) ( ).( ) 0 olur. enklemi ( ) + ( b) r oln çemberin;. T(, ) noktsındki teğetinin denklemi, ( ) ( ) + ( ) ( b) 0 dır.. T(, ) noktsındki normlinin denklemi, ( ) ( b) ( ) ( ) 0 dır. Stndrt denklemi ( 3) + ( + ) 3 oln çember verilior. u çemberin üzerindeki T(, ) noktsının ordintı < 0 dır.. T(, ) noktsının ordintını bullım. b. Çemberin T noktsındki teğetinin denklemini zlım. c. Çemberin T noktsındki normlinin denklemini zlım.. T(, ) noktsının koordintlrı çemberin denklemini sğlcğındn, ( 3) + ( + ) 3 & ( + ) 9 & + 3 ve + 3 & 4 ve dir. < 0 olduğundn 4 ve T(, 4) olur. 78

179 b. Yndki şekli inceleiniz. Çemberin merkezi, M(3, ) noktsıdır. T(, 4), M(3, ) olduğundn TM normlinin eğimi, 4 ( ) 3 mn dir. T(, 4) noktsındki teğetin eğimi, 3 mt olur (Nedenini çıklınız.). 3 T(, 4) noktsındki teğetin denklemi, ( 4) ( ) & dır. 3 Teğetin denklemini, teğet formülüne göre zlım: T(, 4) ÇMR Merkezi M(,b) noktsı oln çemberin T(, ) noktsındki teğetinin denklemi, ( ) ( ) + ( ) ( b) 0 olduğundn merkezi M(3, ) noktsı oln çemberin T(, 4) noktsındki teğetinin denklemi, ( ) ( 3) + ( ( 4)) ( 4 ( ) ) dır. 3 c. T(, 4) noktsındki normlin denklemi, ( 4) ( ) & 3 0 olur. 4 3 norml M(3, ) teğet Genel denklemi oln çember ve bu çemberin T(4, 3) noktsı verilior. u çemberin;. T(4, 3) noktsındki teğetinin denklemini zlım. b. T(4, 3) noktsındki normlinin denklemini zlım. 8. (, ) (, ) (, 4) olduğundn çemberin merkezi, M(, 4) noktsıdır. MT doğrusunun (n normlinin) eğimi, 3 ( 4) mn olduğundn MT normline 4 3 dik oln t teğetinin eğimi m T 3 olur. un göre; T(4, 3) noktsındn geçen ve eğimi m T 3 oln teğetin denklemi, m T ( ) + 3 3( 4) ise 3+9 olur. N norml b. Çemberin T noktsındki n normli, MT doğrusudur. T(4, 3) noktsındn geçen ve eğimi mn oln n normlinin denklemi, 3 mn( ) + 3 ( 4) & 3 3 olur P M(, 4) T(4, 3) T teğet

180 ÇMR lıştırmlr çemberi ile 0 doğrusunun kesim noktlrını bulunuz çemberi ile + doğrusunun kesim noktlrının psisleri toplmı kçtır? çemberi ile + m doğrusunun ortk noktlrı bulunmdığın göre m nin değer rlığını bulunuz. 4. Merkezi M(, ) oln çembere, üzerindeki T(, ) noktsındn çizilen teğet doğrusunun denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) + 3 ) 5 ) ( 5) ) ( ) 3 3 ) 5. Stndrt denklemi ( 4) + ( + 6) 5 oln çember ile T(0, 3) noktsı verilior.. T noktsının çembere it olduğunu gösteriniz. 3 b. Çemberin T noktsındki teğet doğrusunun ve norml doğrusunun denklemlerini zınız. 6. Genel denklemi oln çemberin (3, ) noktsındki teğet doğrusunun ve norml doğrusunun denklemlerini zınız çemberi ile m (m R) doğrusu verilior. m nin hngi değerleri için bu doğrunun çemberi;. ir noktd kestiğini, b. İki noktd kestiğini, c. Kesmediğini çizim prk trtışınız. 8. ( ) + ( 3) 8 çemberi ile + doğrusu verilior. un göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) oğru çembere teğettir. b. (...) oğru ile çemberin iki ortk noktsı vrdır. c. (...) oğru ile çemberin ortk noktlrının psisler toplmı dir. ç. (...) oğru ile çemberin ortk noktlrının ordintlr toplmı 5 tir. 80

181 ÇMR 4.5 ÇMRİN İR NKTSINKİ TĞTİ İL İLGİLİ TRMLR tkinlik Çemberin ir Noktsındki Teğeti rç ve gereç : çıölçer, cetvel N L Şekildeki gibi merkezi ve ve rıçpı r, r oln (r < r ) iki çember çiziniz. Çemberlerin her ikisine de teğet olck şekilde MN ve KL doğrulrını çiziniz. oğrulrı eterince uztrk bir T noktsınd kesiştiriniz. [TM], [TK] teğet prçlrını ve [TN], [TL] teğet prçlrını krşılştırınız. [MN] ile [KL] doğru prçlrını krşılştırınız. [ M], [ K] ve [ N], [ L], doğru prçlrını krşılştırınız. N ile L çılrını krşılştırınız. nün doğrultusu ile T nün doğrultusunu krşılştırınız. T,, noktlrının doğrultulrını orumlrk krşılştırınız. M T K Çemberin herhngi bir teğeti, değme noktsındki rıçp diktir. İspt [] nın d doğrusun dik olmdığını vrslım. luşn H dik üçgeninde, dik kenr uzunluğu, hepotenüsün uzunluğundn küçük olcğındn, < H... (I) olur. rıc H noktsı çemberin üzerinde, noktsı çemberin dışınd olduğundn, r H d > H... (II) olur. I ve II sonuçlrı birbiri ile çeliştiği için üçüncü durum oln H doğrudur. hâlde, [H] d olduğu görülür. Sonuç Çemberde, teğete değme noktsındn çıkıln dikme, merkezden geçer. 8

182 ÇMR ir çembere dışındki bir noktdn çizilen teğet prçlrının uzunluklrı eşittir. İspt Teğet değme noktsınd rıçp dik olduğundn, [K] [PK] ve [L] [PL] dır. KP ve LP üçgenlerinde m( KW ) m( LW ) 90, K L r ve P ortk kenr olduğundn, & & KP, LP (K..K eşlik teoremi) olur. hâlde, PK PL dur. rıc m( KP % ) m( LP % ) olcktır. P noktsını merkeze birleştiren doğrunun, teğetler rsındki çının çıortı ve PKL dörtgeninin deltoid olduğu görülmektedir. P K L r r Şekildeki Ç(, r) çemberinde [] çp ve [], [], [] rım çembere teğet olduğun göre. r olduğunu gösterelim. T r r ir noktdn çembere çizilen teğetler, eşit uzunlukt olduğundn, T T, T olur. r T ve T deltoidlerindeki [] ve [] çıort olduğundn, + 80 ise + 90 dir. u durumd, dik üçgeninde, r T olduğundn T T. T (Öklid teoremi) zılrk r. bulunur. r Ç(M, 5 cm) çemberinin dışınd bir P noktsı verilior. PM 3 cm olduğun göre P noktsındn çembere çizilen teğetlerin, teğet prçlrındn birinin uzunluğunu bullım. [PT] [TM]... (teğet özelliği) un göre PTM dik üçgendir. Pisgor bğıntısın göre, P 3 T 5 r M PT PM TM PT PT 44 cm dir. 8

183 ÇMR Ynd d doğrusu, merkezi noktsı ve bir çpı [] oln çembere noktsınd teğettir. [] d, [] d, 3 cm ve 5 cm olduğun göre çemberin çpının uzunluğunu bullım. 3 d 5 dik muktur. Ynd ve [] d olduğundn, [] muğun ort tbnıdır. un göre, r cm dir. 3 r 5 d r. 4 8 cm olur.. İki çemberin ortk dış teğetlerinin kesim noktsı ile merkezleri nı doğru üzerindedir. b. İki çemberin ortk dış teğet prçlrının uzunluklrı eşittir. İspt. [ ] [K], [ ] [K] ve r [ ] [K], [ ] [K] ve r dir. rıc,, ve K noktlrı çıortı üzerinde olduğundn K, ve noktlrı nı doğru üzerinde bulunur. b. ir çembere, dışındki bir noktdn çizilen teğet prçlrının uzunluklrı eşit olduğundn, K K 4 & K K K K & bulunur. K K ([] ve [] ortk dış teğet prçlrıdır.) K K r r r r 83

184 ÇMR.Yrıçp uzunluklrı r, r oln iki çemberin merkezleri rsındki uzklık d ise ortk dış teğet prçsının uzunluğu, TT d ( r r ) dır. Şekilde 6 H@ // çizelim. H dik üçgeni elde edilir ve H T T olur. H d ( r r) TT d ( r r ) TT d ( r r ) elde edilir.. irbirine dıştn teğet ve rıçp uzunluklrı r, r oln iki çemberin merkezleri rsındki uzklık d ise ortk dış teğet prçsının uzunluğu, r$ r dir. Şekilde [ H] // [] çizelim. H ve H dik üçgeni elde edilir. + ( r r ) ( r r) ( r r) + ( r r) ( r + r ) ( r r) r. r bulunur. T T r r H r r r d r r H r r r r Şekildeki K, N merkezli çemberlerde doğrusu ortk dış teğettir. K 3 cm, N 5 cm ve N 4 cm ise [] nın uzunluğunu bullım. K N 4 N N 4 cm, N 4+ 5& cm K K 3 cm KN 7 cm bulunur. KH K H 4 8cm HKN dik üçgeninde HN KN KH NH dikdörtgen olduğundn HN olur. K 8 H N cm bulunur. 84

185 ÇMR Şekildeki doğrusu, noktsınd merkezli çembere, noktsınd d merkezli çembere teğettir. r 5cm, 3 3 cm, r 7 cm ise, [KL] nın uzunluğunu bullım K L [] [] ve [] [] dır. [H] // [] olck şekilde [H] doğru prçsını çizelim. H dikdörtgen olduğundn H 3 3 cm ve H 7 5 cm olur. H dik üçgeninde, H + H + ( 3 3) cm ve KL ( r+ r) 5+ 7 cm bulunur. 5 K 3 3 L 5 H Merkezleri ve noktlrı oln çemberler, noktsın birbirine dıştn teğettir. u çemberlerin dış ortk teğetinin değme noktlrı, ve dir. Çemberlerin iç ortk teğeti, doğrusudur. Çemberlerin rıçplrı 8 cm ve 4 cm dir. [] nın uzunluğunu bullım. [ H] // olck biçimde, [ H] nı çizelim (Şekli inceleiniz.) cm dir. H cm dir. H dik üçgeninde Pisgor bğıntısındn, H H + H H + 4 H & H 8 8 cm dir. H dikdörtgeninde H 8 cm dir. olduğundn, 8 4 cm dir. 85

186 ÇMR lıştırmlr. şğıdki ifdelerden doğru olnın bşın nlış oln Y zınız.. (...) ir çembere dışındki bir noktdn çizilen teğet prçlrının uzunluklrı frklıdır. b. (...) İki çemberin ortk dış teğetlerinin kesim noktsı ile merkezleri nı doğru üzerindedir.. Yndki şekilde çemberin merkezi noktsıdır. [N, N çembere N noktsınd teğettir. N 4 3 cm ve ise çemberin rıçpı kç cm dir? 3. Yndki şekilde merkezli çemberin rıçpı 8 cm, merkezli çemberin rıçpı cm, çemberlerin ortk teğeti ve PT cm ise kç cm dir? ) 6 3 ) 7 3 ) ) 3 ) 8 T P 4. Yndki şekilde dikdörtgen, merkezli rım çember merkezli çerek çembere noktsınd teğettir. G G G 5 cm ise merkezli çemberin rıçpı kç cm dir? 5. Yndki şekilde [] ve [] çplı rım çemberlerdir. [] iki çemberin ortk dış teğetidir. 8 cm 6 cm ise kç cm dir? 86

187 ÇMR 4.6 ÇMR ÇILR tkinlik Çemberde çılr P N rç ve gereç : çıölçer Yndki şekilde M noktsı çemberin merkezi olmk üzere, 30 N çısının ölçüsünü cinsinden zınız. K L % % M NKL çevre çısı ile NML merkez çısı rsındki ilişkii çıklınız. % % NML ile KM ve bu çılrın gördükleri lr rsındki ilişkii çıklınız. % % NKP ile KMN nın gördüğü lrı krşılştırınız. Ölçülerini bulrk bu çılr rsındki ilişkii çıklınız. Köşesi çemberin merkezinde oln ve ışınlrı çemberi iki noktd kesen bir çı merkez çı denir. Merkez çının ölçüsü gördüğü ın uzunluğunun rıçpının uzunluğun ornın eşittir. merkez olmk üzere, % r dir. L % $ m( KL ) m( KL) dir. ir çemberde merkez çının ölçüsü, gördüğü ın ölçüsüne eşittir. K Köşesi çember üzerinde oln ışınlrı çemberi diğer iki noktd kesen bir çı çevre çı denir. % % m( ) çısı çevre çıdır. m( ) dir. ir çevre çının ölçüsü, nı ı gören merkez çının ölçü- sünün rısın eşittir. İspt ikizkenr üçgeninde, m( W ) m( X ) ve m( X ) m( W ) + m( X ) olduğundn, K 87

188 ÇMR ( ). m ( X ) mx m ( X ) & m ( X ) dir. m ( X ) nı şekilde; ikizkenr ügeninde, m ( X ) m ( X ) m ( X ) m ( X ) + m ( X ) m ( X ) + m ( X ) + & % m( % ) m ( ) olur olduğu görülür. % Yndki şekilde [ ] + [ ] { }, m( ) 50, % m( ) 5 olduğun göre;. çısının ölçüsü kç derecedir? b. çısının ölçüsü kç derecedir? c. çısının ölçüsü kç derecedir? 5 50 %. ( ). % 00 m ise m ( ) 50 dir. % b. ( ). % 30 m 5 30 ise m ( ) 5 dir. % c. üç geninde m ( ) dir Yndki çemberde [ ],[ ] kiriş, m ( % ) 40, m ( % ) 70 olduğun göre;. çısı kç derecedir? b. çısı kç derecedir? c. çısı kç derecedir? ç. çısı kç derecedir?. nı ı gören çevre çılr eşit olduğundn, % % m( ) 40 ise m( ) 40 dir. b. nı ı gören çevre çılr eşit olduğundn, % % m( ) 70 ise m( ) 70 dir. 88

189 ÇMR % % c. ikizkenr üçgeninde m ( ) m ( ) 35 nı ı gören çevre çılr eşit olduğundn, % % m( ) 35 ise m( ) 35 dir. dir ç. nı ı gören çevre çılr eşit olduğundn, % % m ( ) 35 isem( ) 35 dir % & Yndki merkezli çemberde, % % m( ) 00, m( ) 40 olduğun göre;. m ( % ) kç derecedir? b. m( % ) kç derecedir? c. m( % ) kç derecedir? ç. m ( & ) kç derecedir? % %. m( ) 40 ise m ( ) 40 dir. % % b. m( ) 00 isem( ) 00 dir. c. Çember ı 360 ise & ç. m ( ) 60 dir. 0 ise 60 dir Yndki merkezli çemberde [] çp, % H H, m( ) 0 olduğun göre;. m ( % ) kç derecedir? b. m ( \ ) kç derecedir? c. m ( % ) kç derecedir? 0 H. ikizkenr üçgeninde H H ise [H] [] dir. % % % % m( ) 0 ise m ( ) m ( ) m( ) 0 % % b. m ( ) 0 ise m ( ) 60 dir. % % c. m( ) 60 ise m( ) 60 dir H r r 0 0 0

190 ÇMR Köşesi çember üzerinde oln ve bir kiriş ile bir teğetin belirlediği çı teğet kiriş çısı denir. Yndki şekilde T noktsı [T teğetin değme noktsıdır. T çısı, çemberin bir teğet kiriş çısıdır. T eşittir. ir teğet kiriş çısının ölçüsü, nı ı gören merkez çının ölçüsünün rısın İspt T doğrusu, çembere T noktsınd teğet olduğundn, [T] [T] dır. % % un göre, mt ( ) + mt ( ) 90 dir. T üçgeninde, T r olduğundn, T ikizkenr üçgendir. m( T % ) m( T % ) olur. mt ( % ) 80 mt ( % ) u eşitlikte, m ( T % % ) erine eşiti oln 90 mt ( ) zılırs, mt ( % ) 80. [ 90 mt ( % )] % ( ). % % % mt mt ( ) ve mt ( ) mt ( ) olduğundn, mt ( % ). m( T % ) % % mt ( ) mt ( ) olur. T r r Sonuç ir çemberde, nı ı gören teğet kiriş çılrın ölçüleri eşittir. Şekilde, ile teğet kiriş çılrı, ını gördüğünden, % % _ m ( ) m ( ) b % % & m( ) m ( ) % ` dır. ( küçük ) % m ( ) m ( ) b 90

191 ÇMR Sonuç ir çemberde, nı ı gören teğet kiriş çılrı ile çevre çılrının ölçüleri birbirine eşittir. Şekildeki merkezli çemberde, T ile T çılrı nı ı gören teğet kiriş ve çevre çılrdır. % % _ m( T) m( T) b % % m( T) m( T) % ` & olduğu görülür. % m( T) m( T) b (T küçük ) T Yndki şekilde, merkezi noktsı oln çemberin noktsındn T teğeti çizilmiştir. % % m ( ) 30, m ( ) 0 olduğun göre, ve T çılrının ölçülerini bullım T üçgeninde, m ( W ) 80 [ m ( % ) + m ( % )] m ( W ) 80 ( ) dir. ir çemberde çevre çının ölçüsü, nı ı gören merkez çının ölçüsünün rısın eşit olduğundn, m ( X ) m ( W ) m ( X ) 40 & m ( X ) dir. ir çemberde teğet kiriş çının ölçüsü, nı ı gören merkez çının ölçüsünün rısın eşit olduğundn; % m ( X ) 80 m( T) 40 dir. Sonuç Çpı gören çevre çısının ölçüsü 90 dir. % 80 merkez, m( ) 90 dir. 9

192 ÇMR Sonuç Prlel kirişler rsındki lrın ölçüleri birbirine eşittir. [] // [] & m ( % ) m( % ) dır. Yndki şekilde çemberin merkezi, d doğrusu çembere noktsınd teğettir. [] // [] ve m( % ) 30 ise m( K % ) kç derecedir? d 30 çısı teğet -kiriş çı olduğundn & m ( ) , K çısı çevre çı olduğundn % % % m( ) dır. [] // [] m ( ) m( ) [] çp d K K 30 Merkezi noktsı oln ndki çemberde, % ) m ( ) 40,[ ]//[ ] ve m( ) 05 ) nın ölçüsünü bullım. olduğun göre Yndki şekli inceleiniz. ikizkenr üçgeninde, % m( ) 00 dir. % ) m( ) 00 & mh ( ) 00 olur. Prlel kirişler rsındki lrın ölçüsü eşit olduğundn, G ) ) m(g ) m() 05 dir. 05 ) ) ) ) m( H) + m( ) + m( G) + m( ) 360 olduğundn, m( ) ) 360 & m( ) ) H 05 9

193 ÇMR Yndki şekilde, [, çembere noktsınd teğet, % % m( ) 30, m( ) 50 olduğun göre,. çısının ölçüsünü, b. çısının ölçüsünü bullım.. nı ı gören çevre ve teğet kiriş çılrının ölçüleri birbirine eşit ise, m ( % ) m ( % ) dır. üçgeninde olur. % b. üçgeninde m ( ) bulunur Yndki şekilde ve [ çembere sırsıl ve noktlrınd teğettir. % % m ( ) 80, m ( ) 80 olduğun göre,. çısı kç derecedir? b. çısı kç derecedir? c. çısı kç derecedir? %. teğet kiriş çı olduğundn, % % m ( ) 80 ise m( ) 40 dir. % % % b. m ( ) isem( ) ve m( ) + 40 üçgeninde ise 30 dir. % c. 30 ise m ( ) dir. (teğet kiriş çı)

194 ÇMR tkinlik Çemberde İç ve ış çı şğıdki şekilleri inceleiniz K Şekil I Şekil I de K çısının ölçüsünü bulunuz. % ile % nın ölçülerini bulunuz. % ile % % nın ölçülerinin toplmı ile K nın ölçüsünü krşılştırınız. % Şekil II de P nın ölçüsünü bulunuz. % ile % % nın ölçülerinin frkı ile P nın ölçüsünü krşılştırınız. P Şekil II ir çemberin iç bölgesinde kesişen iki kirişin oluşturduğu çılrın her birine, çemberin iç çısı denir. ir çemberde bir iç çının ölçüsü, gördüğü lrın ölçülerinin toplmının rısın eşittir. % % m( ) + ( ) m ^ % h dir. İspt ve noktlrını birleştirelim. üçgeninde, % % % m ( ) m ( ) + m ( ) (üçgende dış çıdn) % % % % % m ( ) m( ) + m( ) [ m( ) + m( )] bulunur. % [], [] birer kiriş m ( ) 3, m( % ), m( % ) 4, m ( % ) Yukrıdki verilere göre m( \ ) kç derecedir?

195 ÇMR & & 36 olur. iç çı olduğundn, dir. Yndki şekilde dörtgeninin köşegenleri K noktsınd kesişmektedir. m( K % ) 60, m( % ) 70 doğrusu çembere teğet olduğun göre mk ( ) % kç derecedir? 60? K 70 % teğet kiriş çı olduğundn, % ( ). % m m( ) olur. % mk ( ) 0 iç çı olduğundn, % & & m ( ) + m( ) 40 + m( ) & 0 & m( ) 00 bulunur. % % mk ( ) çevre çı olduğundn ( ). & % mk m( ) & m( K) K dir. Köşesi çemberin dış bölgesinde ve kenrlrı çemberin keseni ve teğeti oln çı, çemberin dış çısı denir. Şekildeki P çısı, çemberin dış çısıdır. P ir çemberde bir dış çının ölçüsü, gördüğü lrın ölçüleri frkının rısın eşittir. & % % m( ) m( ) P mp ( ) dir. 95

196 ÇMR İspt kirişini çizelim. P üçgeninde, m ( ) m( P ) + m( P ) (üçgende P dış çı) % % % % ) ( mp ( ) m ( ) mp ( ) & mp ( ) m( X) m( Y) % & % mp ( ) [ m( ) m( )] olur. Y X Sonuç Ynd [ P], % P nın çıortıdır. P İki teğet rsınd kln ın ölçüsü ile çının ölçüsü bütünlerdir. Ynd m( PW % ) + m ( ) dir. P Yndki şekilde, çemberin merkezidir. P noktsındn geçen iki doğru, çemberi, ve, noktlrınd kesior. T çısının ölçüsü 77, çısının ölçüsü 55 olduğun göre P çısının ölçüsü kç derecedir? 55 T 77 P % T teğet kiriş çı olduğundn, % m ( ) olur. % m( ) olur. % % çevre çı olduğu için m ( ) % dış çı olduğu için % m ( % ) m( % ) 0 6 mp ( ) 4 dir. olur. 0 T P 96

197 ÇMR Yndki şekilde ve doğrulrı çembere teğettir. çısının ölçüsü 50, çısının ölçüsü 55 olduğun göre çısının ölçüsü kç derecedir? 50 55? üçgeninde m( X) & m( X) 75 dir. X, W, X çevre çı olduklrı için, m( % ). m( X ) m( & ) 00, m( % ) 0 dir. m( ) ) m( % ) m ( W ) 30 dir ? ir çemberde iki küçük ın eş olmsı içi gerekli ve eterli koşul, bu lrın merkez çılrının eş olmsıdır. İspt I. ol % &, olsun. % % ve merkez çılrdır. % % % & m( ) m ( ), m( ) m( ) % & % &, & m ( ) m( ) % % urdn m ( ) m( ) % %, olur. II. ol %, % olsun. % % m ( ) m( ) dir. X ve X merkez çılrdır. % % % & m ( ) m ( ), m( ) m( ) % & m( ) m( ) % &, bulunur. 97

198 ÇMR lıştırmlr. Yndki şekilde, çemberin merkezi, % & % % m ( ), m( ) m, ( ) 4m, ( ) 3olduğun göre,, ve çılrının ölçülerini bulunuz. 3 4 %. Yndki şekilde [], merkezli çemberin çpı, m ( ) 5 % ise m ( ) kç derecedir? ) 90 ) 85 ) 80 ) 75 ) şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) Çember üzerinde uzunluklrı eşit kirişler, eş lr oluşturur. b. (...) Ölçüsü 80 oln merkez çının gördüğü, rım çemberdir. c. (...) Çevre çının ölçüsü, gördüğü ın ölçüsüne eşittir. 4. Yndki çemberde merkez, % m ( ) 30 % 30 m( ) olduğun göre çısının ölçüsünü bulunuz. 5. Şekilde d doğrusu merkezli çembere, noktsınd teğettir. m( % ) 4+ 30, m( % ) + 35 olduğun göre çısının ölçüsünü bulunuz. 6. Şekildeki merkezli çembere [, de teğet ve [K] çptır. mk ( % ) 5, m ( % ) 55 olduğun göre K çısının ölçüsünü bulunuz. K d 98

199 ÇMR 4.7 NKLMLRİ VRİLN İKİ ÇMRİN İRİRİN GÖR KNUMLRI tkinlik enklemleri Verilen İki Çemberin irbirine Göre Konumlrını elirleelim şğıd birim kreli kâğıt üzerine çizilmiş çemberlerin denklemlerini zınız. H K L G r, r, r 3, r 4 ve r 5 sırsı ile,,, ve merkezli çemberlerin rıçplrını göstersin. nu bulrk r + r ile krşılştırınız. ve merkezli çemberlerin birbirine göre durumlrını çıklınız. nu bulrk r + r 3 ile krşılştırınız. ve merkezli çemberlerin birbirine göre durumlrını çıklınız. nu bulrk r 4 r 5 ile krşılştırınız. ve merkezli çemberlerin birbirine göre durumlrını çıklınız. nu bulrk r + r 3 ile krşılştırınız. ve merkezli çemberlerin birbirine göre durumlrını çıklınız. İki çember,. MM > r+ r ise rıktır. M M. M M r + r ve MM r r ise bir noktlrı ortktır. M M M M 3. M M r + r rrcos q ise q çısı ltınd iki noktlrı ortktır. M M r r < M M < r r 4. MM r r ise içten teğettir. M M 99

200 ÇMR 5. MM r + r ise dıştn teğettir. 6. MM < r < r ise kesişmez. M M M M İki çembere teğet oln doğru, bu iki çemberin ortk teğeti denir. enklemleri ( 3) + ( + ) 9 ve ( + ) + ( ) 6 oln çemberlerin birbirine göre konumunu belirleelim. Çemberlerin merkezleri, M (3, ) ve M (, ) noktlrıdır. Çemberlerin rıçplrı, r 3 br ve r 4 br dir. M M ( 3 ( ) + ( ) 4 + ( 3) br. r r 4 3 br, r + r br ve < 5 < 7 olduğundn, r r < M M < r r dir. un göre çemberler frklı iki noktd kesişir. + br dir? enklemleri + ( 4) ve ( 8) + ( + ) 4 çemberleri rsındki uzklık kç Çemberlerin merkezleri M (0,4) ve M (8, ) noktlrıdır. Yrıçp uzunluklrı r br ve r br dir. r + r + 3 br olur. MM ( 8 0, 4) MM ( 8, 6) MM 8 + ( 6) MM 0 br MM > r + r 0 > + 00 M M (0,4) (8, )

201 ÇMR 0 > 3 olduğundn çemberler rıktır. Çemberler rsındki uzklık M M ( r + r ) 0 ( + ) 7 br dir. [] nın uzunluğu, iki çember rsındki en kıs uzklıktır. enklemi ( 3) + ( ) 4 oln çemberin denklemi ( ) + r oln çemberin içinde olmsı için r ne olmlıdır? Çemberlerin merkezleri M (3, ), M (, 0) noktlrı ve rıçp uzunluklrı r ve r r dir. MM ( 3, 0 ) MM (, ) MM ( ) + ( ) M M 4+ 5 br M merkezli çemberin M merkezli çemberin içinde olmsı için, MM < r r olmlıdır. 5 < r 5 + < r olur. M M enklemi + ( b) 6 oln çember ile denklemi ( ) + oln çemberler içten teğet ise b kçtır? Çemberlerin merkezleri M (0, b), M (, 0) noktlrı ve rıçp uzunluklrı r 4 ve r dir. ir noktlrı ortk ve çemberler içten teğet ise MM r r olmlıdır. M M M M M M M M ( 0, 0 b) (, b) + ( b) 4 + b 4+ b 4 4+ b 3 4+ b 9 b 5 b! 5 bulunur. M M 0

202 ÇMR lıştırmlr. ( ) + çemberi ile + ( ) çemberi bir noktlrı ortk ve çemberler dıştn teğet ise kçtır? 5 3 ) ) ) ) ) 3. ( 3) + ( 3) 4 çemberi ile ( + 5) + ( + 3) r çemberinin iki ortk noktsı vr ise r nin değer rlığını bulunuz. 3. enklemi oln çembere dıştn teğet oln çemberin merkezi M(6, 4) noktsıdır. u çemberin denklemini zınız ve koordint ekseninde çiziniz. 4. ( 3) + ( ) 4 ( + 3) + ( + 6) r çemberleri rsındki en kıs uzklık 3 br ise r rıçpı hngi değerleri lbilir? 5. ( ) + ( 3) 4 ve ( + ) + r çemberleri dik kesişiors r kçtır? 6. ( 6) (I) + ( 8) 6... (II) I ve II çemberlerine göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) İki çemberin rıçplrının toplmı 0 br dir. b. (...) İki çemberin bir ortk noktsı vr ve dıştn teğettirler. c. (...) İki çember rıktırlr. ç. (...) İki çember dik kesişirler. 7. enklemleri + 9 ve oln çemberlerin birbirine göre konumlrını belirtiniz. 8. enklemleri ( ) + (+) r ve oln çemberler birbirine dıştn teğet olduklrın göre r i bulunuz. 0

203 ÇMR 4.8 İR NKTNIN İR ÇMR GÖR KUVVTİ tkinlik Kuvvet onksionu rç ve gereç : cetvel, pergel M(3,) noktsını merkez kbul eden rıçpı br oln çemberin denklemini zınız. P(3,) noktsındn bşln T(3,3) noktsınd çembere teğet oln [PT ile (4,) ve (5,3) noktlrınd çemberi kesen [P çiziniz. PM, P, P, PT değerlerini hesplınız. PM r değeri ile P. P değerini krşılştırınız. PM r değerine göre P(,) noktsının çemberin içinde, dışınd ve üzerinde olm durumlrını inceleiniz. M merkezli r rıçplı çember S(M, r) olsun. KR : R, K( X) MX " r dönüşümü S(M, r) çemberine göre kuvvet fonksionudur. (X (, )) X 0 ( 0, 0 ) bilinen bir nokt KX ( 0) MX 0 r değerine X 0 noktsının S(M, r) e göre kuvveti denir.. X 0 ( 0, 0 ) noktsı çemberin dışınd ise X 0 TM dik üçgeninde, MX X T + r dir. 0 0 KX ( 0) MX 0 r denkleminde MX erine X T + r zlım. 0 0 X 0 r T r M XT + r r 0 KX ( ) X T dolısıl K fonksionu, X T > 0 olduğundn çemberin dışınd pozitif tnımlıdır.. X 0 ( 0, 0 ) noktsı çemberin içinde ise X 0 M dik üçgeninde 0 M X0 + MX MX r X 0 0 KX ( ) MX r 0 0 KX ( ) r X r 0 0 KX ( ) X 0 0 X. X dir. 0 0 urd K(X 0 ) fonksionu çemberin içinde negtif tnımlıdır. r X o M 03

204 ÇMR 3. X 0 ( 0, 0 ) noktsı çemberin üzerinde ise, MX 0 r KX ( ) MX r 0 0 KX ( ) r r 0 KX ( ) 0 fonksionu olur. 0 X o r M enklemleri ( + ) + ( 4) 9 oln çember ve X 0 (, ) noktsı verilior.. X 0 noktsının çembere göre kuvvetini bullım. b. X 0 noktsının bulunduğu bölgei belirtelim. c. X 0 noktsındn çembere çizilen teğetlerden birinin değme noktsı T ise [X 0 T] teğet prçsının uzunluğunu bullım.. Çemberin merkezi M(, 4) noktsı, rıçpının uzunluğu r 3 birimdir. X 0 (, ) noktsının çembere göre kuvveti, KR : " R, K( X) MX r K(, ) ^ ( ( )) + ( ( 4)) h 3 4 tür. b. K(, ) 4 > 0 olduğundn X o noktsı çemberin dış bölgesindedir. c. KX ( ) X T 0 4 X T 0 0 X T 0 birim bulunur. M 4 T X o enklemi oln çember ve X 0 (, 3) noktsı verilior. X 0 noktsının, çembere göre kuvvetini bullım ve bulunduğu bölgei belirleelim çember denkleminde merkezi M c, mve rıçpının uzunluğu r + 4 dir. 04

205 ÇMR , 4, Mc, m M( 3, ) r ( 6) + ( 4) 4( 4) r 7 br KX ( ) MX r KX ( ) MX 0 0 r K( 3, ) ( ( 3) + ( 3 ) ) ( 7) K( 3, ) K(, 3) 0 olduğundn X 0 (, 3) noktsı çemberin üzerindedir. X 0 ( 5, ) noktsının ( ) + ( + 4) çemberine göre kuvvetini bulrk X o noktsındn çizilen teğet prçsının uzunluğunu hespllım. Çemberin merkezi M(, 4), rıçpının uzunluğu r br dir. X ( 5, ) 0 KX ( ) MX K( X ) MX 0 0 r r K( 5, ) ( 5 ) + ( ( 4) K( 5,) X T 64, X o noktsının çembere göre kuvvetidir. 0 Kuvvetin uzunluğu ise X0T X0T 64 8 br dir. K(X 0 ) değeri X 0 dn geçen doğrulrın oluşturduğu çember kirişlerinin seçiminden bğımsızdır. X o M 05

206 ÇMR P( 0, 0 ) noktsı, denklemi ( ) + ( b) r oln çemberin dışınd verilsin.. P noktsındn çembere çizilen teğetlerden birinin değme noktsı T ise, PT ( 0 ) + ( 0 b) r olduğunu gösterelim. b. Çemberin denklemi ise, PT olduğunu gösterelim. T r t M(, b) P( 0, 0 ). Şekildeki PTM dik üçgeninde, PT] PM MT PM r ( 0 ) + ( 0 b) r olur. b. PT ( 0 ) + ( 0 b) r eşitliğinde;, b ve r + 4 zılırs, PT ( + ) + ( + ) ( + 4) olur enklemi ( ) + ( b) r oln çemberin dışındki P( 0, 0 ) noktsının bu çembere göre kuvveti, k ( 0 ) + ( 0 b) r dir. P( 0, 0 ) noktsındn çembere çizilen teğetlerden birinin değme noktsı T ise PT ( 0 ) + ( 0 b) r dir.. enklemi oln çemberin dışındki P( 0, 0 ) noktsının bu çembere göre kuvveti, k dir. P( 0, 0 ) noktsındn çembere çizilen teğetlerden birinin değme noktsı T ise PT o dir. P(, 3) noktsının çemberine göre kuvvetini bullım. k, p noktsının çembere göre kuvveti olsun k + ( 3) +. ( 3) k olur. 06

207 ÇMR P(, 4) noktsının ( + ) + ( ) 4 çemberine göre kuvvetini bullım. ( + ) + ( ) 4 0 k ( + ) + ( 4 ) k 36 olur. P(, ) noktsının çemberine göre kuvvetini bullım k ( ) + + ( ) < 0 olup P noktsı çemberin iç bölgesindedir. P(3, ) noktsının çemberine göre kuvvetini bullım k 3 + ( ) +. 3 ( ) olup P noktsı çember üzerindedir. P(, ) noktsındn ( 5) + ( + 3) 4 çemberine çizilen teğetin değme noktsı T dir. PT kç br dir? I. ol Ynd P ( 5) + ( + 3) 5 PTdik üçgeninde PT + T P PT & PT br dir. P(, ) T (5, 3) 07

208 ÇMR II. ol P noktsının çembere göre kuvveti k ise PT k olur. u durumd PT k & PT ( 5) + ( + 3) 4 & PT br dir. ir çemberde eş kirişlerin lrı eştir. İspt I. %, & & m ( % ) m( & ) % % ve merkez çılr olup, m( % ) m ( % ) & %, % dir. r [ ], [ ], [ ], [ ] K.. K. eşlik teoremine göre & &, & [ ], [ ] dir. r r r r II. rve dur. & &, (K.K.K. eşlik teoremi) hâlde, % % & ' & & m( ) m( )& m( ) m( ) ve, dir. Yndki merkezli rım çemberde m ( W ) 5 olduğun göre çısının ölçüsünü bullım. 5 çevre çı olduğundn, % m( ) % & olduğundn m( ) m( ) 50 % m ( ) , çevre çı olduğundn, % 80 m ( ) 40 bulunur

209 ÇMR ir çemberde eş kirişlerin merkeze oln uzklıklrı eşittir. İspt & &, & dir. noktsını, ve noktlrı ile birleştirelim.. [] [] (Çemberin rıçplrı eştir.). ve H K (Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi ortlr.) 3. m( H % ) m( K % & & ) olduğundn H, K (K..K eşlik teoremi) u eşlikten, [H] [K] ve H K bulunur. H r r K Yndki merkezli çemberde, K [] ve [] nın ort noktlrı K ve L dir. 4 5 cm, K 5 cm ve L + 8 cm ise çemberin rıçpını bullım. L K ve L noktlrı ort noktlr olduğundn, [ ] [ K] ve [ L] [ ] dir. K L dir ise 3 ve K L 4 cm olur. K dik üçgeninde, r K + K r r 6 cm bulunur. 4 K L r r Yndki şekilde, merkezi noktsı oln çemberin [] ve [] kirişleri verilmiştir. [H] [], [K] [], H K 4 br, 5 9 br ve br olduğun göre çemberin rıçpının uzunluğunu bullım. 09 K r H 4 4

210 ÇMR H K & olur. un göre br dir. H dik üçgeninde; H 4 birim ve H H + H r r 5 br dir. 6 3 br olduğundn, böler. ir kirişe dik oln bir çp, kirişi ve kiriş ile belirlenen lrın her birini iki eşit prç İspt r ikizkenr üçgen ve [H] [] dır. İkizkenr üçgende ükseklik nı zmnd çıort olduğundn, m( % ) m( % ) olur. Ölçüleri eşit oln merkez çılrın gördükleri lr eş olduğundn, r H r %, % ve m( % ) m( % ) olduğu görülür. Yndki şekilde merkezli çemberde [H] [], % m ( ) 50 ise % m ( ) kç derecedir? 50 H r Ynd [H] [] ve [] çp olduğundn % % m( ) m( ) 50 dir. % % merkez çı ve m ( ) 50 bulunur. H r 0

211 ÇMR lıştırmlr. P(, 4) noktsının çemberine göre kuvvetini bulunuz.. P(, ) noktsının ( ) + ( + 4) 30 çemberine göre kuvvetini bulup P den geçen en kıs kirişin uzunluğunu hesplınız. 3. P(, 6) noktsındn çemberine çizilen teğet prçsının uzunluğu kç br dir? ) 0 ) 3 ) 4 ) ) 6 4. P(4, 7) noktsının + + k 4 0 çemberine göre kuvveti 34 ise k ne olmlıdır? ) ) ) 3 ) 4 ) 5 % 5. Yndki çemberde ve m ( ) 40 ise m ( % ) kç derecedir? Yndki merkezli çemberde, [] [] [] [ 5 br br + br ise çemberin rıçpı kç br dir? Yndki çemberde, %, m ( ) 7, [T], noktsınd teğet ise m( T % ) kç derecedir? 7 T 8. P(3, 8) noktsı ve ( + ) + ( 4) 9 çemberi verilior. un göre şğıdki ifdelerden doğru olnın bşın, nlış oln Y zınız.. (...) P noktsı çemberin içindedir. b. (...) P noktsının çembere göre kuvveti 60 dir.

212 ÇMR 4.9 TĞTLR ÖRTGNİ tkinlik Teğetler örtgenini İnceleelim Ynd ile H, ile, ile G ve G ile H uzunluklrını krşılştırınız. d G + toplmı ile + toplmlrını krşılştırınız c ve rsındki bğıntıı zınız. d c,, G ve H değme noktlrındn merkeze birleştiren H r rıçplrı çiziniz.,, ve üçgensel bölgelerin lnlrı toplmını veren bğıntıı zınız. b Üçgenlerin lnlrı toplmınındn fdlnrk, b dörtgensel bölgesinin ln bğıntısını dörtgeninin çevre uzunluğun ve çemberin rıçp uzunluğu bğlı olrk zınız. ir dörtgeninde tüm iç çıortlr nı noktdn geçiors bu dörtgeni dlndırınız. Çizim prk çıklınız Kre, eşkenr dörtgen ve deltoid çizerek bu şekillerin teğetler dötgeni olup olmdığını trtışınız. Her dörtgen teğetler dörtgen midir? Trtışınız. Kenrlrı bir çembere teğet oln bir dörtgene, teğetler dörtgeni denir. Şekilde verilen dörtgenin kenrlrı, merkezli çembere teğet olduğundn, bir teğetler dörtgenidir. Teğetler dörtgeninde krşılıklı kenrlrın uzunluklrı toplmı birbirine eşittir. İspt teğetler dörtgeninde K, L, M ve N teğetlerin değme noktlrıdır. Çembere dışındki bir noktdn çizilen teğet prçlrının uzunluklrı eşit olduğundn, K N, N M, K L z, L M t lınırs, + + z + + t z + t bulunur. Her iki eşitlikte sğ trflr eşit olduğundn sol trflr d eşittir. + + ve + c d + b olduğu görülür. d N K c 3 M t L z z t b

213 ÇMR Şekildeki dik muğu bir teğetler dörtgeni ve [] // [], 6 cm ve 5 cm ise, [] nın uzunluğunu bullım. Ynd [H] dikmesi çizildiğinde H dikdörtgeni elde edilir. H 5 cm, H 6 cm dir. olsun olduğundn, H H 4 olur. 6 6 H dik üçgeninde, ( 4) , cm bulunur. 8 4 H 5 Şekildeki ikizkenr muğu, bir teğetler dörtgenidir. c 4 8 cm ve 4 cm ise, muğunun lnını bullım. b b 8 Teğetler dörtgeninde krşılıklı kenrlrının uzunluklrı toplmı birbirlerine eşittir. Ynd b b b 6 cm K L 8 4 cm K L r K üçgeninde, (r) + () 36 4r r 3 r 8 r cm, h r. 4 cm + c b + d cm h r K 4 L () + b $ 4 h 4 cm $ bulunur. 3

214 ÇMR Teğetler dörtgeninde iç çıortlr, iç teğet çemberinin merkezinden geçer. İspt teğetler dörtgeninde, noktsı iç teğet çemberinin merkezi ve [, [, [, [ sırsıl,, ve çılrının iç çıortlrıdır.,, G ve H teğetlerin değme noktlrıdır. [] [], [] [], [G] [], [H] [] ve G r olduğundn; noktsı, noktsının çıortı üzerindedir. nı düşünce ile noktsı;, ve çılrının d çıortlrı üzerindedir. hâlde, teğetler dörtgeninin iç çılrının çıortlrı, çemberin merkezinde kesişirler. H r r r G r Teğetler dörtgeninin lnı, çevresinin uzunluğu ile iç teğet çemberinin rıçpının uzunluğunun çrpımının rısın eşittir. İspt Yndki,,, noktlrını çemberin merkezine birleştirelim. Yrıçp, teğete değme noktsınd dik olcğındn, c &. ( ) K. r. M &. ( ) L. br. r & ( ). M. cr. d N r r L b &. ( ) N. dr. r & & & & ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) K ( ).. r+. b. r+. c. r+. d. r r.... Ç( ) ( ) r( + b+ c+ d) r Ç( ) olur. b c d u lınırs ()u. r zılbilir

215 ÇMR Sonuç teğetler dörtgeninde iç teğet çemberinin rıçpı r ise, () r. ( + c) r. (b + d) dir. Sonuç ütün teğetler çokgenlerinin tüm lnlrı, çevrelerinin uzunluğu ile iç teğet çemberinin rıçp uzunluğunun çrpımının rısın eşittir. 5 teğetler dörtgeninde iç teğet çemberin rıçpının uzunluğu r cm dir. 5 cm, c 8 cm olduğun göre teğetler dörtgeninin lnını bullım. () u. r dir. + c u olduğundn, u cm dir. 5 () r. u r ( c) 3 3, 5 $ + $ cm bulunur. Yndki şekilde, ikizkenr muğu bir teğetler dörtgenidir. 3. ( + 3) br ise, () nın kç br olduğunu bullım. H G teğetler dörtgeni olduğundn, br olur. 6 r H 6 3 br, 9 br, 6 br olur. K G L 5

216 ÇMR L dik üçgeninde, L + L 6 L + 3 L 36 9 L 7 L 3 3 br L r 3 3 r br H u + u u br ise ( ) u. r br bulunur. r r G K N r M L KLMN deltoid kre GH eşkenr dörtgen Kre, eşkenr dörtgen ve deltoid teğetler dörtgenidir. lıştırmlr. Yndki teğetler dörtgeninde, 4 br G G 6 br olduğun göre çemberin rıçpı kç br dir? 4 4 ) 6 ) 6 ) 3 6 H ) 5 6 ) 6 G 6. Yndki dörtgeni, merkezli çemberin teğetler dörtgenidir. 5 M 3 Ç() 36 cm, K 4 cm, N L M 3 cm ve N 5 cm olduğun göre K kç cm dir? K 4 6

217 ÇMR 3. Yndki ikizkenr muğu bir teğetler dörtgenidir. [] // [],, cm, 4 cm olduğun göre şğıdki boşluklrı doldurunuz. ) Çemberin rıçpı... cm dir. b) uzunluğu... cm dir. 4. Yndki dik muğu teğetler dörtgenidir. 6 8 cm 6 cm dir. 8 un göre () kç cm dir? 5. Yndki ikizkenr muğu teğetler dörtgenidir. 3 cm 8 8 cm H olduğun göre () kç cm dir? ) 300 ) 400 ) 450 ) 576 ) Kenr uzunluklrı br ve b br oln KLMN dikdörtgeninin teğetler dörtgeni olmsı için hngi şrtlrın sğlnmsı gerektiğini rştırıp çıklınız. 7. Kenr uzunluklrı br ve br oln bir prlelkenrının teğetler dörtgeni olmsı için hngi 6. Kenr şrtlrın uzunluklrı sğlnmsı br ve gerektiğini 6 br oln çıklınız. KLMN dikdörtgeninin teğetler dörtgeni olmsı için hngi şrtlr sğlmsı gerektiğini irdeleiniz. 7

218 ÇMR 4.0 KİRİŞLR ÖRTGNİ tkinlik Kirişler örtgenini İnceleelim rç ve gereç : kreli kâğıt, pergel, cetvel, çıölçer Kreli kâğıd pergel ve cetvel rdımıl bir çember çiziniz. Çember üzerinde dört frklı nokt belirleerek bir dörtgen oluşck biçimde birleştiriniz. 3 luşturuln dörtgenle çember rsındki ilişkii çıklınız. u dörtgeni nsıl isimlendirirsiniz? Trtışınız. 3 örtgenin kenr ort dikmelerinin kesim noktsını bulrk bu nokt ile çemberin merkezi rsındki ilişkii trtışınız. 3 rklı bir çember çizerek etkinlik bsmklrını tekrrlınız. Sonuçlrı önceki sonuçlrl krşılştırınız. Köşe noktlrı bir çember üzerinde bulunn dörtgene kirişler dörtgeni denir. s Yndki şekilde dörtgeninin köşeleri çemberin üzerinde olduğundn bir kirişler dörtgenidir. s Kirişler dörtgeninde kenr ort dikmeler merkezde kesişir. ir kirişler dörtgeninde krşılıklı çılrın ölçüleri toplmı 80 dir. İspt ) ( ) Ynd çısı ını gördüğünden, m( W m ) olur. ) m( ) çısı ını gördüğünden, m( X ) olur. ) ) ) ) m ( W ) + m ( X m( ) m( ) m( ) + m( ) 360 ) + + & m ( ) + m ( ) 80 W X olur. dörtgeninde, m ( W) + m( W) + m ( X) + m( X) 360 m( W ) + m( X ) 360 ( m ( W ) + m ( X )) m( W ) + m( X ) 80 dir. 8

219 ÇMR Yndki şekilde kirişler dörtgenidir. m( % ) 3+ 8, m( % ) 3 ve m ( % ) 8 olduğun göre çısının ölçüsünü bullım. 8 θ Kirişler dörtgeninde krşılıklı çılr bütünler olduğundn, % % m( ) + m ( ) 80 & & 5 75 & 35 5 % m( ) % m ( ) m ( % ) m ( % ) 85 (nı ı gören çevre çılr) olur. Yndki şekilde bir üçgen, kirişler dörtgeni, % % m ( ) 75, m ( ) 5 olduğun göre 75 5 % kç derecedir? m ( ) bir kirişler dörtgeni olduğundn krşılıklı çılrının ölçüleri toplmı 80 dir. olısıl, m( X ) + m( W ) m( W ) 80 m( W ) 55 olur. üçgeninde, m( X ) + m( W ) + m( W ) dir. Yndki şekilde üçgeninin köşeleri, merkezi noktsı oln çemberin üzerindedir. m( % ) 30 dir. % nın ölçüsünü bullım. 30 9

220 ÇMR Yndki ikizkenr üçgeninde, % m( ) 80 ( ) 0 dir. Çevre çının ölçüsü, nı ı gören merkez çının ölçüsünün rısın eşit olduğundn, % m ( ) m( X 0 ) 60 Kirişler dörtgeninde krşılıklı çılr birbirinin bütünleri olduğundn, m ( X) + m( X) 80 m ( X) & m ( X) dir. lıştırmlr Yndki şekilde, merkezli çembere noktsınd teğettir. % % m ( ) 5, m ( ) 0 olduğun göre, şğıdki boşluklrı doldurunuz.. m( & )... % b. m ( )... c. m( % ).... Yndki merkezli çember ve kirişler dörtgeninde, m ( % ) 75 ise m ( % ) kç derecedir? ) 00 ) 05 ) 0 ) 5 ) Yndki merkezli çemberde [ ve [ teğet, m ( % ) 40 ise m ( % ) kç derecedir? Yndki merkezli çemberde kirişler dörtgenidir. % m ( ) 0,, [] [] ise % m ( ) kç derecedir? 0 0

221 ÇMR 4. İRNİN LNI tkinlik irenin lnı rç ve gereç : Kreli kâğıt, pergel, cetvel, çıölçer şğıd verilen şekilleri inceleiniz. r r r düzgün ltıgen düzgün sekizgen r düzgün ongen r düzgün onikigen düzgün ondörtgen Kenr sısı rtırılrk çizime devm edilsedi klşık olrk hngi geometrik şekil elde edilirdi? Çokgensel bölgelerin içindeki ikizkenr üçgensel bölgelerin lnlrı ile çokgensel bölgelerin lnlrı rsındki ilişkii çıklınız. Çevre uzunluğundn rrlnrk çokgensel bölgenin ln bğıntısını oluşturunuz. irenin ln bğıntısı d nı öntemle oluşturulbilir mi? Trtışınız. Çevre uzunluğundn rrlnrk direnin ln bğıntısını oluşturunuz. ir çemberin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine dire denir. Şekildeki merkezli, r rıçplı çember ve iç bölgesinin oluşturduğu direnin merkezi, rıçpı ise r dir. r Yrıçpı r oln bir direnin lnı, π. r dir. Yndki çokgenlerin çevrelerine Ç ve Ç dersek,.. S Ç H ves. Ç. r olur. (S ve S sırsı ile dıştki ve içteki çokgenin lnı) n kenr sılrı sonsuz def rtırılırs Ç ve Ç, merkezli çemberin çevresi oln. π. r olcğındn, S ve S eşit olur. hâlde direnin lnı, S S.... rr ni. r r r bulunur. r K H L

222 ÇMR ikizkenr üçgen b olmk üzere üçgensel bölgenin lnı, &... % ( ) sin( ). bb.. sin b. sin & ve dik üçgen ise ( ).. dir. b e d b f h ir çemberin çevre uzunluğu Ç. π r dir. π ; pi sısıdır. π 3, r π sısını klşık olrk π 3, 4 olrk lcğız. π irrsonel sısının tm kısmı ve ondlık kısmının ilk iki bsmğı lınrk her ılın 3. ının 4. günü π etkinlikleri olrk kutlnır. π Yrıçp uzunluğu r 6 cm oln çemberin çevresinin uzunluğunu bullım. 6 cm r 6 cm π 3,4 Ç. π.r. 3, ,4 8, 84 cm bulunur lik çının uzunluğu πr ise derecelik merkez çının gördüğü uzunluğu % olmk üzere, % r. r dir. 360.Yrıçp uzunluğu ile gördüğü çember ının uzunluğu eşit oln merkez çının ölçüsüne rdn denir.

223 ÇMR 80 rdn r ise r rdn 80 dir. % r 360 ise. r r r. r & % dır. 3r Yrıçpı 50 br oln bir çemberin merkez çısı rdndır. 5 u çember ı ile eni bir çember oluşturuluor.. Yeni çemberin çevresi kç br dir? b. Yeni çemberin rıçpı kç br dir? 3r c. Yeni çemberin merkez çısı oln rdnlık çının gördüğü çember ı kç br dir? r ının uzunluğu ile eni çemberin çevresi nıdır. %. % r ise 50. 3r 30 r cm dir. 5 b. Ç πr ise 30π πr, r 5 cm dir. (r, eni çemberin rıçpı) & c. r. 5. 3r 9r cm dir π 3r 5 r 5 6π Yndki merkezli çemberde, 7 lik merkez çının gördüğü ın uzunluğu 6p cm olduğun göre bu çemberin rıçpını bullım. 7 % Çemberin rıçpı r olsun.. rr dir r,3 r. r r & r 5 cm bulunur Yndki şekilde, 5 cm % & m ( ) 30 olduğun göre ( ) kç cm dir?

224 ÇMR & ( ).. sin cm dir. 4 lnı 7π cm oln bir direnin rıçpını bulunuz. lnı 7π cm oln direnin rıçpı, rr ise 7.. r r r ise 7 r & r 3 3 cm olur. Şekilde M ve N merkezli direler T noktsınd içten teğet ve M noktsı N merkezli çember üzerindedir. Küçük direnin rıçpı r 3 cm olduğun göre bu iki dire rsınd kln bölgenin lnını bulunuz. M N T NT r 3cm & MT r R 6 cmolur. R büük direnin rıçpıdır. İstenilen ln πr πr π6 π3 7 p cm bulunur. ire Yndki şekilde, [] kirişi ile ının sınırldığı bölge kesmesi dire kesmesidir. r ire kesmesinin lnı;. r. r. sin 360 r r 4

225 ÇMR Şekildeki merkezli direnin rıçpı 6 cm, % m( ) 0 olduğun göre, [] kirişinin gördüğü dire prçsının lnını bulunuz. 0 6 ire prçsının lnı, r r sin r r. ( r ) cm olur. Şekildeki merkezli [] çplı direde, % m( ) 45 ve direnin rıçpı 8 cm olduğun göre, [] ve % nın rsınd kln dire prçsının lnını bullım Şekildeki gibi ile i birleştirirsek [] [] olur. hâlde, & - ( ) ( dire diliminin lnı) r 8. sin r 3 cm bulunur Şekilde merkezli direler verilior. [] küçük diree T noktsınd teğet ve 8 cm olduğun göre, İki dire rsındki dire hlksının lnını bullım. T Şekilde görüldüğü gibi [T] [] ve [] nı çizelim. T r, R olmk üzere, ire hlksının lnı, πr πr π(r r ) dir. T T, T dik üçgeninde, T + T T T R r T ve R r f p olur.. 8. r f p c m r 6 r cm bulunur. 5 T r R

226 ÇMR lıştırmlr. Yndki merkezli çemberde, [] [], [] [], 7 cm 5 cm 48 cm 5 7 Yukrıdki verilere göre çemberin çevresinin uzunluğunu bulunuz.. Ynd rıçplrı 6 cm oln dıştn teğet çemberleri srck en kıs ipin uzunluğu kç cm dir? 6 3. ir ftonun rk tekerleğinin çpı m dir. ton, 600 m ol gittiğinde rk tekerlek kç tur döner? % 4. merkezli direnin rıçpı cm, m ( ) 30 dir. Yukrıdki verilere göre bolı dire diliminin lnı kç cm dir? ) 4π ) π ) 8π 30 ) 5π ) 0π 5. Yndki merkezli çemberde, % m( ) 50 6 cm dir. Yukrıdki verilere göre bolı dire kesmesinin lnı 6 50 kç cm dir? 6. Şekilde, merkezli iki çemberin rıçplrı 3 cm ve 6 cm dir. [], T noktsınd küçük çembere teğet olduğun göre, [] ile ı rsınd kln bolı bölgenin lnını bulunuz. T 6

227 ÇMR % 6. Yndki merkezli çemberde m ( ) 30, 6 3 cm olduğun göre;. irenin lnı kç cm dir? b. dire diliminin lnı kç cm dir? c. olı dire kesmesinin lnı kç cm dir? Ynd ve merkezli direler noktsınd içten teğettir. [] çplı direnin çpı 8 cm olduğun göre şğıdki ifdelerden doğru olnın bşın, nlış oln Y zınız.. (...) merkezli rım direnin lnı π cm dir? b. (...) Mvi bolı bölgenin lnı 4π cm dir? 8. Yndki kresinin içine ve merkezli çerek direler çizilmiştir. S [] köşegen 6 cm 6 S S ve S bulunduklrı bölgelerin lnlrı olduğun göre, S + S toplmı kç cm dir? 9. Yndki merkezli çplı direnin rıçpı 0 cm dir. % m ( ) 30 olduğun göre bolı ln kç cm dir? Yndki şekilde kresi merkezli diree dıştn teğettir. 6 cm ise bolı lnlr toplmı kç cm dir?

228 ÇMR 4. ÜZLM ÇMR YRIMIYL SN V RKTL GÖRÜNTÜSÜ LUŞTURM tkinlik üzlemde Çember Yrdımıl esen luşturlım rç ve gereç : kreli kâğıt, pergel, cetvel, çıölçer şğıdki desenlerin oluşturulm şmlrını çıklrk boş bırkıln bölümlere zınız. Çizimler çıklm merkezli bir çember çizilir. Son çizimi istediğiniz gibi bork desen oluşturunuz. luşturduğunuz deseni rkdşlrınızın desenleri ile krşılştırınız. 8

229 ÇMR Yndki desenin oluşturulm şmlrını çıkllım. Çizimler çıklm Kreli kâğıttn 4 br 8 br boutund bir dikdörtgen kesilir. Kesilen dikdörtgensel bölge üzerinde noktlr ndki gibi işretlenir. rtdki noktlrı merkez, rıçplrı iki nokt rsındki uzunluk oln üç çember, kenrlr d iki rım çember çizilir. Çprz noktlr düz çizgilerle şekildeki gibi birleştirilir. üğümü oluşturck çizgiler frklı renkte bir klemle çizilir. Çizgiler istenilen genişlikte klınlştırılır. Klın çizgilerin ortsı silinir. Çizgilerin kesiştikleri erlerdeki çizim pılırken şu işlemler ugulnır: Sol üstten bşlnrk şerit lttn üstten lttn üstten lttn üstten geçmiş izlenimi oluşturmk için gerekli çizim pılır. Sğ üstten bşlrk ise şerit üstten lttn üstten lttn üstten lttn geçmiş izlenimi elde etmek için gerekli çizim pılır. 9

230 ÇMR tkinlik üzlemde Çember Yrdımıl rktl luşturlım rç ve gereç : Kreli kâğıt, pergel, cetvel, çıölçer şğıd verilen, frktl oluşturm şmlrını inceleerek nsıl oluşturulduğunu çıklınız. oş bırkıln bölümleri ugun biçimde doldurunuz. Çizimler çıklm ir çember çizilir. şlngıç Çemberin içerisine birbirine ve büük çembere teğet rıçp uzunluklrı eşit iki çember çizilir.. dım. dım n içteki çemberlerin içine birbirine ve içteki çemberlere teğet, rıçplrının uzunluklrı eşit ikişer tne çember çizilir. 3. dım 4. dım 5. dım 5. dımd en içteki çemberlerin içine birbirine ve içteki çemberlere teğet, rıçplrının uzunluklrı eşit kç tne çember çizilir? 30

231 ÇMR Yndki frktl görüntüsünün oluşturulm şmlrını çıkllım. Çizimler çıklm ir çember çizelim. ir köşesi çemberin merkezinde oln ve çemberi iki noktd kesen eşkenr üçgen çizelim. Üçgenin çemberle kesiştiği noktlrı ve üçgenin kenrlrını kesen çember çizerek bu çemberin küçük çemberin içinde kln kısmını silelim. Üçgenin diğer köşelerini merkez lrk birinci çembere eş iki çember çizelim. üük çemberin bu çemberler içinde kln prçsını d silelim. Üçgeni silerek elde edilen şekle benzer ve ölçüleri birz küçük oln şekli çizelim. Şekildeki gibi erleştirelim. nı işlemlere devm edelim. Çizim bittikten sonr elde edilen son şekle eş iki şekil dh çizerek şekildeki gibi birleştirelim. 3

232 ÇMR lıştırmlr. şlngıç. dım. dım 3. dım Yukrıdki şekilde bir frktlın ilk üç dımı verilmiştir. u frktl, çpı 3 cm oln rım dire dilimine benzerlik ornı 0,5 olck şekilde eni rım dire dilimlerinin eklenmesi ile oluşturulmuştur. un göre 3. dımdki bolı bölgenin lnı kç cm dir? (p 3 lınız.) ) ) 8 ) 4 ) 36 ) 48. Yndki frktlın oluşturulm dımlrını çıklınız. 3. şlngıç. dım. dım 3. dım Yukrıdki şekilde rıçpı 8 cm oln rım çembere her dımd benzerlik ornı olck şekilde rım çemberler eklenmesi ile elde edilen bir frktlın ilk 3 dımı görülmektedir. un göre bu frktlın 3. dımındki şeklin çevre uzunluğu kç cm olur? (p 3 lınız.) ) 48 ) 54 ) 60 ) 66 ) 70 Keltlerin (ketler) düğümleri hkkınd rştırm pınız. ir örneğini sınıfınız getirerek nsıl oluşturulduğunu trtışınız. 3

233 4. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 4. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI. şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın nlış olnlr Y zınız.. (...) Çemberin temel elemnlrı rıçp ve merkezdir. b. (...) Çemberin rdımcı elemnı kiriş, kesen ve çptır. c. (...) Çemberin iki noktsını bileştiren doğru prçsın kiriş denir. ç. (...) Çemberin merkezden geçen kirişine rıçp denir.. Merkezi M(, ) ve r 5 cm rıçplı çemberin vektörel, stndrt ve genel denklemlerini zınız. 3. (0, 0) noktsındn geçen, merkezinin koordintlrı M(, 3) ve rıçpı 5 birim oln çemberin denklemi nedir? ) ) ) ) + 5 ) Prmetrik denklemi + sint, + cost oln çemberin denklemi nedir? (0 t < p) ) ( ) + ( ) ) (+) + ( ) ) ( ) + ( +) ) ( ) + ( + ) ) ( + ) + ( ) çemberinin merkezinin koordintlrı ve rıçpını bulunuz doğrusu ile ( + ) + ( 3) 0 çemberinin kesim noktlrının koordintlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, 5) ) (, ) ) ( 3, 5) ) ( 3, ) 7. ( + 3) + ( ) 45 çemberine üzerindeki T(3, ) noktsındn çizilen teğetin denklemi nedir? ) ) ) ) 7 0 ) çemberine üzerindeki T( 4, 3) noktsındn çizilen normlin denklemi nedir? ) + 0 ) 3 0 ) ) 5 0 ) Yndki çemberde [P, [Pve [ çembere teğet, cm, + 4 cm, P 0 cm ve P 8 cm olduğun göre kç cm dir? ) 8 ) 0 ) P ) 4 ) 6 33

234 4. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 0. Yndki merkezli çemberde, %, m( ) 80 Yukrıdki verilere göre m ( % ) kç derecedir? 80 ) 40 ) 45 ) 50 ) 65 ) 70 %. Yndki çemberde m ( ) 0 m ( % ) 50, m( % ) kç derecedir? 0 50 ) 5 ) 0 ) 5 ) 35 ) 40. Yndki şekilde [, merkezli rım çembere noktsınd teğettir. m ( ) 40 olduğun göre, % % m ( ) kç derecedir? ) 0 ) 5 ) 0 40 ) 5 ) ( + 3) + ( ) 36 ve ( 5) + ( + ) 6 çemberleri birbirine dıştn teğet olduğun göre kçtır? ) 5 ) 4 ) 3 ) ) 4. ( + ) + ( 5) 64 ve ( ) + ( 0) 5 çemberleri θ 90 çısı ltınd iki noktlrı ortk olduğun (dik kesiştiğine) göre nın lcğı değerler toplmı kçtır? ) 6 ) 4 ) 4 ) 6 ) 0 5. ( ) + ( + ) r ve ( 4) + ( ) 4 çemberleri içten teğet olduğun göre r kçtır? ) ) 3 ) 5 ) 6 ) 7 6. Yndki şekilde merkezli çemberde, [] [], [] [] 8 cm, (4 ) cm, (3 + 6) cm olduğun göre çemberin rıçpı kç cm dir? ) 5 ) 7 ) 8 ) ) 4 7. P(, ) noktsının, ( + ) + ( ) 4 çemberine göre kuvvet nedir? ) 3 ) 6 ) 7 ) 8 )

235 4. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 8. P(, 3) noktsındn, çemberinde çizilen teğet uzunluğu kç birimdir? ) 5 ) 3 ) 7 ) ) 9. Yndki şekilde merkezli çember, muğunun iç teğet çemberidir. cm dir? H 6 cm, K 4 cm ve 8 cm ise kç ) ) 5 ) 7 ) 4 ) 3 0. Yndki şekilde prlelkenr, muğu teğetler dörtgenidir. cm, 4 cm olduğun göre üçgeninin çevresi kç cm dir? ) 5 ) 0 ) 4 ) 6 ) 3. Yndki şekilde dik muğu nı zmnd teğetler dörtgenidir. cm 5 cm Yukrıdki verilere göre kç cm dir? ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 4 K H. kirişler dörtgeni, 5 br 5 5 br olduğun göre kç birimdir? ) ) 3 80 ) 3 ) 5 ) 4 3. Yndki kresinde, 4 cm dir. ve merkezli çerek çemberlerin oluşturduğu ln kç cm dir? ) 7(π + ) ) 8(π ) ) 9(π + ) ) 0π ) 0(π + ) 4 35

236 4. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 4. Yndki şekilde kirişler dörtgeni, cm cm 8 6 cm 8 cm olduğun göre kirişler dörtgeninin çevresi kç cm dir? ) 36 ) 48 ) 54 ) 64 ) 7 5. şğıd verilen desenlerin nsıl oluşturulduğunu çıklınız. 6. Yukrıd direlerle oluşturulmuş bir örüntünün ilk üç dımı verilmiştir. Örüntüde kullnıln dikdörtgenlerin çevre uzunluğu 48 cm olduğun göre 3. dımdki direlerin lnlrının toplmı kç cm dir? (p 3 lınız.) ) 04 ) 8 ) 44 ) 96 ) 48 36

237 5. ÜNİT KNİKLR 5. KNİĞİN TML LMNLRI 5. PRL 5.3 LİPS 5.4 HİPRL Konik luşturlım Krnlık bir odd bir ışık knğı ile bir bsketbol topundn şekil şekil b konikleri elde edelim. Şe- kil dki gibi topun tm üzerinden bir ışık ktığımızd oluşn gölge bir diredir ve merkezi de topun ms dokunduğu noktdır. lips oluşturmk için şekil b deki gibi ışık knğını birz sğ dire elips kdırmk eterlidir. Topun ms değdiği nokt, elipsin merkezlerinden şekil c birisidir. Topun gölgesi ile bir prbol oluşturmk için şekil prbol c deki gibi ışık knğı topun üst seviesi ile nı hiz getirilir. şekil d Top ine sğ merkez üzerinde durmktdır fkt diğer merkez sonsuzd bir erlere gitmiştir. Top gölgesinin bir hiperbole dönüşmesi hiperbol için ise ışık knğını şekil d deki gibi topun üst seviesinden şğı indirmek eterlidir. Şekil d de kesikli çizgi ile gösterildiği gibi ışık knğın top ile nı mesfede bir hli küre düşünelim. İlk üç şekilde hlî kürelerin gölgeleri ms üzerine düşmemesine krşılık son şekilde ms üzerinde oluşn gölge hiperbolün diğer kolu olrk krşımız çıkr. ğer hli kürei ms değene kdr büütürseniz -krşı koni içinde klmk şrtıl- hiperbolün diğer merkezini de krşı kürenin ms tems ettiği nokt olrk tesbit etmiş oluruz. 37

238 KNİKLR 5. KNİĞİN TML LMNLRI tkinlik Konikler ve lemnlrı rç ve gereç : cetvel, hesp mkinesi şğıdki şekli inceleiniz. Şekilde verilen PP, l ve Pll eğriler üzerinde, M, Ml ve Mll bir doğru üzerindeki hreketli noktlr olmk üzere; P, PM, P l, PlMl, Pll, PllMll uzunluklrını cetvel rdımı ile ölçünüz. P P l Pll,, ornlrını hesp mkinesi rdımı ile hesplınız. PM PM l l PllMll P P l P ll e sısını bulunuz. PM PM l l PM ll ll P üzlemde e olck şekilde bulduğunuz noktlrı bireştirdiğinizde nsıl bir eğri PM oluşur? noktsındn geçen ve l doğrusun dik bir k doğru çiziniz. e e > l 0 < e < M P P l M l P ll M ll luşturduğunuz eğri k doğrusun göre simetrik olur mu? Trtışınız. 0 < e <, e ve e > olrk her bir durumd oluşck eğrileri çizip krşılştırınız. üzlemde sbit bir nokt uzklığının, sbit bir doğru uzklığı ornı sbit oln noktlrın geometrik erine konik denir. urd sbit doğru koniğin doğrultmnı (l ), sbit nokt koniğin odğı (), sbit orn d koniğin dış merkezliği (e) ve bunlrın hepsine de koniğin temel elemnlrı denir. Konik üzerindeki herhngi bir nokt P olmk üzere P den P geçen ve l doğrultmnını dik kesen doğru ile l nin kesim noktsı M olmk üzere koniğin denklemi, MP verilir. e ile P P M l Koniğin odğındn geçen ve doğrultmn dik oln doğru koniğin ekseni denir. Koniğin ekseni ile doğrultmnının kesiştiği nokt ile gösterilir. eksen M l (doğrultmn) 38

239 KNİKLR Her konik kendi eksenine göre simetriktir. Koniğin ekseni ile kesiştiği noktlr koniğin tepe noktlrı denir. ir koniğin T tepe noktsı doğru prçsı üzerinde d doğru prçsının dışınddır. doğru prçsı üzerinde oln tepe noktsı, T + e ; doğru prçsının dışınd oln tepe noktsı Tl e, e! biçimindedir. + e e dk noktsı (,) oln, ekseni ile doğrultmnın kesiştiği nokt (,0) ve dış merkezliği oln koniğin tepe noktsının koordintlrını bullım. Tepe noktsı T, doğru prçsının üzerindeki koordintlrı, T (, ) +. (, 0) (, ) + ( 0, ) ( 0, ) 0 T b, l b0, l Tepe noktsı T, doğru prçsının dışındki koordintlrı, T (, ). (, 0) (, ) + ( 0, ) ( 0, ) T ( 0, ) dir. + e + e e Konikler; e olmsı durumund prbol, e 0 < e < 0 < e < olmsı durumund elips, e > olmsı durumund hiperbol belirtir. e > P P l P ll l M M l M ll 39

240 KNİKLR dğı (, ) noktsı, doğrultmnı doğrusu ve dış merkezliği oln koniğin cinsini belirleelim ve denklemini zlım. ış merkezliği e ve0 < e < olduğundn koniğin cinsi elipstir. dk noktsı (, ), sbit nokt P(, ) olmk üzere koniğin tnımındn, +30 P ( ( ) ( ) (iki nokt rsındki uzklık) M PM (noktnın doğru oln uzklığı) + ( ) P Koniğin denklemi, e PM 3 (,) P(,) ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) & e o ( + 3) ( ) ( ). ( + 3) + + & & bulunur. dğı (, 0) noktsı, doğrultmnı doğrusu ve dış merkezliği oln koniğin denklemini zlım. e olduğundn konik hiperboldür. Sbit nokt P(, ), odğı (, 0) ve doğrultmnı P 0 oln koniğin denklemi PM e & ( ) + ( 0) + ( ) &( ) & & bulunur. 5 dğı (, 0) noktsı, doğrultmnı 0 doğrusu ve dış merkezliği 3 oln koniğin cinsini belirleelim ve koniğin denklemini zlım. 3 dk noktsı (,0), doğrultmnı l : 0, dış merkezliği e, sbit nokt P(, ) olmk 3 üzere, e > olduğundn koniğin cinsi hiperboldür. 40

241 KNİKLR P Koniğin denklemi, e ise, PM ( ( )) + ( 0) + ( ) ( + ) + ( ) ( ) bulunur. (,) P(,) M 3 e l : 0 lıştırmlr. şğıd boş bırkıln erleri doldurunuz. Koniğin dış merkezi e olmk üzere,. e ise konik... belirtir. b. 0 < e < ise konik... belirtir. c. e > ise konik... belirtir.. dk noktsı (,0), eksen ile doğrultmnın kestiği nokt (,) ve dış merkezliği 3 oln koniğin tepe noktsı T, doğru prçsının dışınd ise tepe noktsının koordintlrını bulunuz. 3. dğı, (0,0) noktsı, doğrultmnı doğrusu ve dış merkezliği 3 oln koniğin cinsini belirleiniz ve denklemini zınız. 4. dğı (,) noktsı, doğrultmnı doğrusu ve dış merkezliği oln koniğin cinsini belirleiniz ve denklemini zınız. 5. dğı (0, ) noktsı, doğrultmnı + 0 doğrusu ve dış merkezliği oln koniğin cinsini belirleiniz ve denklemini zınız. 4

242 KNİKLR 5. PRL tkinlik Prbol ve enklemi rç ve gereç : cetvel Yndki şekilde (3,0) noktsı ile 3 doğrusu gösterilmiştir. İnceleiniz. etvel rdımıl (3,0) noktsı ile 3 doğrusun uzklığı eşit oln noktlrı belirleerek işretleiniz. (Nokt sısını mümkün olduğu kdr çok belirleiniz.) İşretlediğiniz noktlrı birleştiriniz (3,0) luşn koniğin cinsini çıklınız. Tepe noktsını, odğını, eksenini, doğrultmnını ve doğrultmn prlel oln doğruu belirleiniz. luşturuln prbol üzerinden seçeceğiniz noktlrın koordintlrını bulrk krşılştırınız. Prbolün denklemini oluşturunuz. üzlemde, sbit bir l doğrusu ve l doğrusunun üzerinde olmn sbit bir noktsı verilmiş olsun. l doğrusun uzklığı, noktsın uzklığın eşit oln noktlrın geometrik erine prbol denir. l doğrusun prbolün doğrultmnı, sbit noktsın d prbolün odğı denir. Prbolün odğındn l doğrultmnın dik çizilen doğrusu, prbolün simetri eksenidir. c birim ise, pozitif c R sısın prbolün prmetresi denir. Prbol ile simetri ekseninin rkesiti oln T noktsın prbolün tepe noktsı denir. c birim ve T T olduğundn, T T c birimdir. Prbole it bir P noktsının, prbolün odk noktsın uzklığının, doğrultmn doğrusun uzklığın ornın, prbolün dış merkezliği denir. Prbolün dış merkezliği P e dir. MP M l T P Simetri ekseni 4

243 KNİKLR formülün- e (prbol) hâlinde T tepe noktsı, doğru prçsı üzerinde T + de e için T bulunur. + e + e Prbolün enklemi Prbolün T tepe noktsını orijin seçelim. T(0,0) (0,0) + T T(0,0) olduğundn, + 0, bulunur. Prbolün eksenini ekseni, T den geçen ve doğrultmn prlel oln doğruu d ekseni olrk llım. l M( c,) P(,) ( c,0) (c,0) +c0 4c (c,0) seçildiğinde ( c,0) olur. P e MP P ( c) + ( 0) ( c) + MP ( ( c)) + ( ) ( + c) + 0 ( + c) P MP olduğundn ( c) + ( + c) ` ( c) + j ` ( + c) j ( c) + ( + c) c+ c + + c + c & 4c bulunur. 4c prbolün stndrt denklemidir. u koordint sisteminde prbolün doğrultmn denklemi de + c 0 dır. bullım. dğı (3,0) ve tepe noktsı orijinde oln prbolün denklemini ve doğrultmn denklemini dğı (3,0) (c,0) c 3 Prbolün denklemi 4c den olur. Prbolün doğrultmn denklemi + c 0 dn dır. 43

244 KNİKLR denklemile verilen prbolün odğının koordintlrını ve doğrultmnın denklemini bullım ve bu prbolü çizelim. l denklemile 4c denkleminde, 4c c bulunur. dğı (c, 0) c, 0m olur. 4 4 oğrultmnın denklemi + c 0 dn + 0 dır. 4 4 c, 0m Tepe noktsı orijin, ekseni ekseni oln ve P(, 6) noktsındn geçen prbol denklemini zlım. Grfiğini çizelim. P(,6) noktsı 4c prbolü üzerinde olduğundn P noktsı prbolün denklemini sğlr c ( ) c c( ) 9 c 9 c, 0m P l 8 4c 4cise 8 olur. 9 c (, 0) (, 0 ) Prbolün ekseni ekseni ve denklemi 4c. (c R), prbolün denkleminde,. c > 0 ise prbolün grfiğinin kollrı sğ doğru,. c < 0 ise prbolün grfiğinin kollrı sol (c,0) (c,0) doğrudur. 44

245 KNİKLR enklemi 8 oln prbole it (, 8) noktsı verilior. noktsının, prbolün doğrultmnın uzklığını bullım. (, 8) noktsı 8 prbolü üzerinde olduğundn, 8 8 4c, 8 4c 8 bulunur. c l (8,8) Prbolün odğı (,0) dır. (8, 8) noktsının + 0 doğrusun uzklığı, dir. (prbol tnımındn) P(,) (,0) ( 8 ) + ( 8 0) br olur. Y d koordint düzlemi üzerinde br dir prbolünün odğındn geçen ve eksenine dik oln kirişinin uzunluğunu bullım. Prbol denklemi 4c 4c 8 4c 8 c dir. Prbolün odğı (, 0) dır. (, ) noktsı prbolün üzerinde olduğundn, (,) (,0) (, ) " 4 ise kirişin uç noktlrı, (, ) ve (, ) olur. + 4 br bulunur. 45

246 KNİKLR Prbolün eksenini ekseni, tepe noktsını T, orijinden geçen ve doğrultmn prlel oln doğruu d ekseni llım. e için T + den bulmuştuk. (0,c) seçildiğinde (0, c) olur. P e MP P ( 0) + ( c) + ( c) MP ( ) + ( ( c)) 0 + ( + c) ^ P MP + ( c) ( + c) + ( c) h ^ ( + c) h + ( c) ( + c) + c + c + c + c 4c bulunur. Prbolün stndrt denklemi 4c dir. u koordint sisteminde prbolün doğrultmn denklemi + c 0 dır. c P(,) M(, c) T (0,c) 0 (0, c) l enklemi 8 oln prbolün odğının, koordintlrının ve doğrultmnının denklemini bullım. Prbolün grfiğini çizelim. 8 denklemile 4c denkleminden, 8 4c (0,) 8 4c c dir. T Prbolün odğı (0,) ve doğrultmnın denklemi +c 0 dn + 0 olur. + 0 l dğı c0, m oln prbolün denklemini zlım. 46

247 KNİKLR (0,c) c0, m ise c dir. Prbolün denklemi 4c den 4. c m olur. Prbolün ekseni ekseni ve denklemi 4c (c R) olmk üzere, i) c > 0 ise prbolün grfiğinin kollrı ukrı doğru, ii) c < 0 ise prbolün grfiğinin kollrı şğı doğrudur. (0,c) (0,c) enklemi 4 oln prbolün odğının koordintlrını ve doğrultmnının denklemini bullım, prbolün grfiğini çizelim. 4 denklemile 4c denkleminden, 4 4c c 0 T l Prbolün odğı (0,c) (0, ) dir. oğrultmnın denklemi +c 0 olduğundn 0 dır. (0, ) lıştırmlr. şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) 4c, (c > 0) prbolünün grfiğinin kollrı ukrı doğrudur. b. (...) 4c, (c < 0) prbolünün grfiğinin kollrı sol doğrudur. c. (...) prbolünün odk noktsı c, 0m dır.. oğrultmnı + 0 ve tepe noktsı orijin oln prbolün denklemini zınız. 3. oğrultmnı 0 ve odğı ( 0, ) oln prbolün denklemi nedir? ) 8 ) 8 ) 8 ) 8 ) 4 4. prbolünün odk noktsının koordintlrını bulunuz prbolünün odğındn geçen ve eksenine dik oln kirişin uzunluğunu bulunuz. 47

248 KNİKLR 5.3 LİPS tkinlik lips ve enklemi rç ve gereç : cetvel, kğıt, pergel ve klem Pergel ve cetvel rdımı ile bir dik koordint sistemi çiziniz. ekseni bounc 8 br, ekseni bounc 0 br uzunluğund oln bir elips çizmek için cetvel üzerinde 4 ve 5 birimlerin üzerini klem ile belirgin olrk sırsıl ve şeklinde dlndırınız. Neden bu iki noktnın işretlendiğini trtışınız. etveldeki ve noktlrını sırsıl ve ekseni üzerine şekildeki gibi erleştiriniz. etveli, ve bulunduklrı eksenler üzerinde klck şekilde hreket ettiriniz. Her bir hrekette, cetveldeki bşlngıç noktsı 0 br oln P noktsının belirlediği örüngei kâğıt üzerinde işretleiniz. luşn şekli ve özelliklerini trtışınız. Koordint düzleminde grfiği verilen bu şeklin denkleminin belirlenmesi için neler bilinmesi gerekir? Trtışınız. ve nin çkışık ve orijinde olm durumunu trtışınız. 0 üzlemde, sbit iki nokt uzklıklrı toplmı sbit oln noktlrın geometrik erine elips denir. ( 0 < e < ) Sbit noktlr oln ve e elipsin odklrı, [ ] nın ort noktsın elipsin merkezi denir. Sbit uzklık olrk seçilir. P lipsin ksenleri, odklrı ekseninin üzerinde oln bir elips nd verilmiştir. u elipsin ve odklrı (0,0) noktsın göre birbirinin simetriğidir. (0, 0) noktsın, elipsin merkezi denir. lipsin eksenini kestiği noktlr ve l, eksenini kestiği noktlr ve l olsun.,, l ve l noktlrı, elipsin köşeleri; l ve l doğrulrı ( ve eksenleri), elipsin simetri eksenleridir. l l 48

249 KNİKLR l doğru prçsın, elipsin sl ekseni (büük ekseni) denir. l doğru prçsın d elipsin edek ekseni (küçük ekseni) denir. nlitik düzlemde, eksenleri koordint eksenleri ile çkışık oln elipse, merkezil elips denir. dklrı (c,0) ve ( c,0) noktlrı oln ndki elipsin sl ekseni [ l ], edek ekseni [ l ] dir. lipsin eksenleri kestiği noktlr, (, 0), l (, 0), (0, b) ve l (0, b) noktlrı olsun. lips tnımındn P + P oln elipste, l, l b c ve l b dir. ı ı P ( c,0) (c,0) dklrı (c,0) ve ( c,0) oln elipste, c olduğundn elipsin odklrı rsındki uzklık c dir. dklrı kseninde ln Merkezil lipsin enklemi Şekilde, odklrı ekseninin üzerinde oln bir merkezil elips verilmiştir. l br, l bbr ve l cbr dir. lipsi oluşturn P(, ) noktlrının ve koordintlrı rsındki bğıntı, elipsin denklemidir. lipste, P + P br dir.... () P ( c) + ( 0) ( c) + l (,0) (0,b) P(,) ( c,0) (c,0) (,0) P ( + c) + ( + 0) ( + c) + değerlerini () eşitliğinde erlerine zlım: ( c) + + ( + c) + ( + c) + ( c) + olur...( ) l (0, b) () eşitliğinin iki nının kresini llım : ( + c) ( c) + + ( c) + + c+ c ( c) + + c + c + 4 ( c) + 4 4c ( c) + c olur. u eşitliğin de iki nının kresini llım: [( c) + ] c + c 4 ( c + c + ) c + c 4 c+ c + c+ c 4 4 c + c ( c ) + ( c ) olur.( c b olrk lcğız.) 49

250 KNİKLR elipstir. b + b dir. u denklemin iki nı b ile bölünerek, + denklemi elde edilir. urd b c, > b dir. u elips, t b > b olmk üzere b + b ve oln merkezil elipsin denklemleridir. u denklemlere, merkezil elipsin krtezen denklemleri d stndrt denklemleri denir. + denklemleri, odklrı ekseninde b ksenlerinin uzunluklrı ; l 6 birim, l 0 birim oln elipsin odklrı rsındki uzklığı bullım (lipsin odklrı ekseni üerindedir.). l 6 3 l b 0 b 5 b c 5 3 c c 69 5 c 44 c c. 4 birimdir. 5 l 3 3 l 5 dklrı ekseni üzerinde oln ve odklrı rsı uzklığı 4 br, sl eksen (büük eksen) uzunluğu 8 br oln elipsin denklemini bullım. lipsin grfiğini çizelim. lipsin odklrı ve sl eksenleri kestiği noktlr ve l olsun. 4 l b c (t elips) c 4 8 b 4 c b b ± lipsin denklemi + b bulunur. 50 (4,0) 4 4 l ( 4,0) 0 (, ) l ( 0, )

251 KNİKLR dklrı kseni Üzerinde ln Merkezil lipsin enklemi dklrı (0,c), (0, c) oln elipsin denklemi + biçimindedir. b urd b c, b > dır. u elips düşe elipstir. P(,) l (,0) (0,b) (0,c) 0 (,0) (0, c) u elipsin sl eksen uzunluğu l b, edek eksen uzunluğu l dır. l (0, b) + elipsinin odklrının koordintlrını ve odklr rsı uzklıklrını bullım. lipsin 5 9 grfiğini çizelim. +, + (b > ) elips denklemine göre, 5 9 b 5, b 9 b > dır. (Y d li terimin pdsı büük olduğu zmn odklr ekseni üzerindedir.) b c c c c 4 c ( 0, c) ( 0, ) 4. c 4 birim bulunur. ( 0, c) ( 0, ) lipsin köşelerinin koordintlrı, (0,3) 0 ( 5, 0) l( 5, 0) ( 5, 0), l( 50, ), ( 03, ), l( 0, 3) l( 0, 3) dklrı (0,4), (0, 4) ve edek eksen uzunluğu 6 birim oln elipsin köşelerinin koordintlrını bullım. lipsin grfiğini çizelim. 5

252 KNİKLR dklr ekseni üzerindedir. Yedek ekseni [ l ] dır. l 6 3 (0,c) (0,4) c 4 (0,5) (0,4) l ( 3,0) (3,0) b c 3 b 4 b b 5 b 5 lipsin denklemi + b bulunur. 9 5 (0, 4) l (0, 5) enklemi oln elipsin stndrt denklemini ve odk noktlrının koordintlrını bullım b 9 6 b 3 lips, t elipstir. b c 3 6 c c 36 9 c 7 c 3 3, > b lipsin odklrı (3 3,0) ve ( 3 30, ) dır. lipsin ış Merkezliği ir elipsin odklrı rsındki uzklığın, elipsin sl ekseninin uzunluğun ornın elipsin dış merkezliği denir. lipsin dış merkezliği e ile gösterilir. c e l c dır. lipste 0 < c < olduğundn, dir. 0< e c < l (,0) (0,b) ( c,0) (c,0) c c l (0, b) (,0) 5

253 KNİKLR ve + + elipslerinin dış merkezliğini hespllım. lipsleri bsıklık önünden krşılştırlım. + elipsinin dış merkezliği e 69 5 ol- + elipsinin dış merkezliği e 5 6 olsun. sun. 5 b c 69 c b 5 c b 3 c 69 5 b 6 c 5 6 b 5 c 44 b 4 c 9 b 5 c c 3 e e c c e < e olup ikinci elips dh bsıktır. un göre dış merkezlik büüdükçe elips bsık hâle gelmektedir. (0,4) b c ( 5,0) ( 3,0) (3,0) (5,0) ( 3,0) (0,5) (,0) (,0) (3,0) l (0, 4) l (0, 5) oln lipsin oğrultmnı. dklrı ekseni üzerinde (t elips) + elipsinde, b c ve c doğrulrın elipsin doğrultmnlrı denir. e c olduğundn doğrultmn denklemleri.. c e ve c e biçiminde de ifde edilebilir. l l l c c 53

254 KNİKLR b. dklrı ekseni üzerinde (düşe elips) oln + elipsinde, b b c b b c ve c doğrulrın elipsin doğrultmnlrı denir. e olduğundn doğrultmn denklem- c b leri, ı b.. c b e b b ve c b e b dir. l b c + elipsinin doğrultmnlrının denklemlerini bullım & 5 b 9 & b 3 > b olduğundn t elips olur. c b c 5 9 c 4 doğrultmn denklemleri, 5 c & 4 5 c & 4 bulunur elipsinin doğrultmn denklemlerini bullım , b 69 5 b 3 < b olduğundn düşe elipstir c b doğrultmn denklemleri, c 69 5 c 44 c b c & b 69 c & 69 bulunur

255 KNİKLR lıştırmlr. şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) lipsin stndrt denklemi + dir. b b. (...) + ve b c, ( > b) ise elips t elipstir. b c. (...) enklemi + ve b c (b > ) ise elips düşe elipstir. b. dklrı (3,0), ( 3,0) ve sl eksen uzunluğu birim oln elipsin denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) + ) + ) + ) + ) Merkezi orijinde oln elipsin edek eksen uzunluğu br ve odk noktlrı (0,8) ise (0, 8) olduğun göre elipsin denklemini zınız elipsin odklrının koordintlrını ve odklr rsı uzklığı bulunuz sl eksen uzunluğu 0 br, edek eksen uzunluğu 6 br ve odklrı ekseni üzerinde oln elipsin denklemini zınız ve grfiğini çiziniz. + elipsin odğındn geçen ve sl eksene dik oln kirişin uzunluğunu bulu nuz elipsinin; Köşelerinin koordintlrını, b. sl eksen uzunluğunu, c. Yedek eksen uzunluğunu, ç. ış merkezliğini, d. oğrultmnlrının denklemlerini bulunuz elipsinin doğrusun en kın uzklığını bulunuz ış merkezliği e oln elipsin bir odğı (8,0) noktsıdır. Merkezi orijinde oln bu 3 elipsin denklemini zınız.. 0. lipsi prtik olrk nsıl çizebilirsiniz. çıklınız. Gezegenlerin güneş etrfındki örüngelerinin elips olup olmdığını trtışınız. 55

256 KNİKLR 5.4 HİPRL tkinlik Hiperbol ve enklemi ik koordint sisteminde denklemi verilior. u denklemi sğln geometrik eri çiziniz. ksen uzunluklrını, simpotlrın denklemlerini, doğrultmnlrının denklemlerini, dış merkezliğini ve odklrını bulunuz. Geometrik er üzerinde iki nokt lınız. u noktlrın odklr oln uzklıklrının frkını bulrk sonuçlrı krşılştırınız. nlitik düzlemde (4,0) ve ( 4,0) noktlrın uzklıklrı frkı 8 birim oln P(,) noktsının sğldığı denklemi zınız. üzlemde, sbit iki nokt uzklıklrı frkının sbit olduğu noktlrın geometrik erine hiperbol denir. (e > ) Sbit noktlr hiperbolün odklrı ( ve ), [ ] nin ort noktsın hiperbolün merkezi denir. Sbit uzklık br olrk seçeceğiz. [ l ] n hiperbolün sl ekseni denir. l br KLMN dikdörtgendir. [ l ] n, hiperbolün edek ekseni denir. ( c,0) (c,0) orijin, l, dır. hiperbolün merkezidir. urdki hiperbolün merkezi orijin olduğundn hiperbole merkezil hiperbol denir. N b l (,0) K (0,b) M c l (0, b) (,0) L P(,) Hiperbolün enklemi dklrı (c, 0) ve ( c, 0) noktlrı oln hiperbolde c dir. Hiperbole it herhngi bir P(, ) noktsı için, (0,b) P P ise, P P ve P P dır. P P eşitliğini sğln P(, ) noktlrının ve koordintlrı rsındki bğıntıı (hiperbolün denklemini) bullım: P P P P ( c) + ( + c) + dır. ( c,0) b l (,0) c l (0, b) (,0) P(,) (c,0) 56

257 KNİKLR u eşitliğin her iki nının kresi lınırs, ( c) + ( + c) + 4 ( + c) c+ c + + c + c c+ c + olur. Kısltmlr pılrk + c + c + + c eşitliği elde edilir. u eşitliğin her iki nının kresi lınıp düzenlemeler pılırs, ( + c + c + ) 4 + c + c (c ) (c ) olur. c b zılırs b b olur. u denklemin her iki nı b ile bölünerek, denklemi elde edilir. b P P için benzer işlemler pılırs ine Hiperbolün denklemleri, b b d b b dir. (urd c b +, c > 0 dır.) denklemi elde edilir. u denklemler, odklrı ekseninde oln merkezil hiperbolün krtezen d stndrt denklemleridir. b 0 llım. b b " bulunur. b b ve denklemlerine hiperbolün simptotlrının denklemi denir. dklrı rsındki uzklık c ve sl eksen uzunluğu ı oln hiperbolde; e l c c ornın, hiperbolün dış merkezliği denir. b (0,b) c b (, 0) (c, 0) l l (0, b) b 57

258 KNİKLR sl eksen uzunluğu 8 birim ve odklrı (5,0), ( 5,0) oln hiperbolün;. enklemini zlım, b. ış merkezliğini bullım, c. simptotlrın denklemlerini bullım, ç. Grfiğini çizelim.. (5,0), ( 5,0) c 5 sl eksen uzunluğu 8 4 (Hiperbolün odklrı ekseni üzerindedir.) c b + 5 b + 4 b 5 6 b 9 b hiperbolün denklemidir. b 3 b. ış merkezliği, e c e 5 4 bulunur. b c. simptotlrının denklemleri, 3 4 b 3 4 bulunur. ç ( 5,0) (5,0) ı

259 KNİKLR dklrı (0, c), (0, c) oln hiperbolün denklemi enklemin sğ trfını 0(sıfır) llım. b 0 b " bulunur. b ve denklemleri hiperbolün b b simptotlrının denklemleridir. c c ış merkezliği e l olur. dir. b l l (0,c) c (0, c) b b 9 6 hiperbolünün;. sl ekseninin ve odk noktlrının koordintlrını bullım, b. ış merkezliğini bullım, c. simptotlrının denklemlerini zlım, d. Grfiğini çizelim denkleminden 9 b 6 b 3 b 4 Hiperbolün odk noktlrı ekseni üzerindedir. c b + c 5 c c 5 Hiperbolün sl eksen noktlrı, l (0,), l (0, ) den, (0,3) ve l (0, 3) dır. dk noktlrı, (0,c) ve (0, c) den (0,5) ve (0, 5) dir. 59

260 KNİKLR c 5 b. ış merkezliği e 3 c. Hiperbolün simptotlrının denklemleri, 3 b 4 3 b 4 ç. Hiperbolün grfiği ndki şekildir. 5 (0,5) (0,4) l ( 3,0) (3,0) l (0, 4) 5 (0, 5) 3 4 şğıd denklemleri verilen hiperollerin eksen uzunluklrını, ve ı köşelerinin, odklrının koordintlrını ve dış merkezliklerini bullım.. b c b +. c c 34 denkleminde 5, b 9 5 ve b 3 tür. dış merkezliği e c 34 olur. 5 b. hiperbolün odk noktlrı ekseni üzerindedir , b 7 3 ve b c c 6 c 4 7 dir. sl eksen uzunluğu, l birim, edek eksen uzunluğu l b 7 birim, köşeleri, (0, 7 ) ve ı (0, 7 ), odklrı, (0,4) ve (0, 4), c 4 dış merkezliği e bulunur. 3 sl eksen uzunluğu l. 5 0 birim, edek eksen uzunluğu l b.3 6 birim, köşeleri (5,0) ve l ( 5,0), odklrı ( 34,0) ve ( 34, 0), 60

261 KNİKLR dklrı (3,0), ( 3,0) oln ve P(3,8) noktsındn geçen hiperbolün denklemini bullım. 6, P 8 olduğundn, P dik üçgeninde P 0 br olur. ı P P 0 8 olduğundn dir. 8 P(3,8) c b + 3 b + l (3,0) b 8 olur. un göre hiperbolün denklemi dir. u denklem biçiminde de zılbilir. 3 3 simptotlrı, oln ve P(6,0) noktsındn geçen hiperbolün denklemini bullım. Hiperbol ekseni üzerindeki P(0,6) noktsındn geçtiğinden 6 dır. b simptot denklemleri ve b b 3 olduğundn b 3 b 9 dur. 6 un göre hiperbolün denklemi & b bulunur. 9 6 hiperbolünün bir odk noktsının simptotlrdn birine oln uzklığını bullım. c + b c 5 olur. dklrı (5,0) ve ( 5,0) noktlrıdır. b 4 simptotlrındn birinin denklemi 4 dir. 3 (5,0) noktsının doğrusun oln uzklığı, l 4 br bulunur

262 KNİKLR Hiperbolün oğrultmnlrı. hiperbolünün doğrultmn denklemleri, b c ve c dir. l (, 0) (, 0) (c,0) c c b. hiperbolünün doğrultmn denklemleri, b c ve c dir. (0,c) (0,) c l (0, ) c hiperbolün doğrultmn denklemlerini zlım. oğrultmn doğrulrının rsındki uzklığı 5 4 bullım., 5 4 (Hiberbolün odklrı ekseni üzerindedir.) b 5, b 4 5 ve b dir. c c 9 Hiperbolün doğrultmn denklemleri, c c olur. 9 9 oğrultmn doğrulrı rsındki uzklık (0, 9 ) (0,5) l (0, 5) (0, 9 ) br bulunur

263 KNİKLR 9 6 hiperbolün doğrultmn denklemlerini bullım. 9, b 6 3 ve b 4 tür. c b + c c oğrultmn denklemleri, c ve 5 c dir. 5 Hiperbolün merkezi orijinde olsun. Hiperbol merkezine göre 80 lik dönme simetrisine shiptir. Hiperbolün iki simetri ekseni vrdır. unlrdn biri ekseni, diğeri eksenidir. 0 Verilen bir çembere teğet oln ve bu çemberin dışındki bir noktdn geçen çemberlerin merkezlerinin geometrik eri bir hiperboldür. Verilen iki doğru uzklıklrının çrpımı sbit oln noktlrın geometrik erini sorgulınız. 63

264 KNİKLR lıştırmlr. şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) enklemi oln hiperbolün simptotlrının denklemleri b b ve b dir. b. (...) enklemi oln hiperbolün simtotlrının denklemleri b b ve b dir.. şğıdki verilere göre hiporbellerin denklemlerini bulunuz.. dklrı (4,0), ( 4,0) ve bir noktsı P(6,4) b. 6, b 4 c. 4, b 6 3. şğıdki hiperbollerin simptotlrını bulunuz b hiperbolünün dış merkezliği nedir? ) ) ) 4 ) 9 ) 5 5. Köşeleri (0, 8) ve l (0,8) oln ve dış merkezliği e oln hiperbolün denklemini zınız hiperbolünün bir odk noktsının simptotlrdn birine uzklığı kç br dir? hiperbolünün simptot denklemlerinden biri şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) ) 3 ) hiperbolünün doğrultmn denklemlerini bulunuz hiperbolünün doğrultmnlrının denklemlerinden biri şğıdkilerden hngisidir? ) 3 ) 4 7 ) ) 5 7 )

265 5. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 5. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI. şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) Konik üzerinde herhngi bir nokt P olmk üzere P den geçen ve l doğrultmnını dik kesen doğru ile l nin kesim noktsı M, koniğin odk noktsı ise koniğin denklemi P e dir. (e koniğin dış merkezliği). MP b. (...) Koniğin temel elemnlrı: doğrultmnı, odğı ve tepe noktsıdır. c. (...) Koniğin odğındn geçen ve doğrultmn dik oln doğru koniğin ekseni denir.. enklemleri şğıd verilen prbollerin odklrını ve doğrultmnlrının denklemlerini bulunuz.. b prbolünün odğı ve doğrultmn denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) (,0) ) (,0) ) (4,0) ) (4,0) ) (0,0) dğı (0, ) ve tepe noktsı T(0,0) oln prbolün denklemi nedir? ) ) ) ) ) 4 5. Merkezi orijinde, sl ekseni (büük eksen) ekseni oln, (4, ) ve ^, h noktlrındn geçen elipsin denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) + ) + ) ) ) dklrı (3,0), ( 3,0) noktsın oln uzklıklrı toplmı 8 birim oln noktlrın geometrik erinin denklemi nedir? ) + ) + ) ) ) elipsinin dış merkezliği kçtır? ) ) 3 3 ) 3 ) 6 )

266 5. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 8. dklrı (5,0) ve ( 5,0) ve sl eksen uzunluğu 6 birim oln elipsin denklemi nedir? ) + ) ) ) ) elipsinin doğrultmn denklemlerinden birinin denklemi şğıdkilerden 0 9 hngisidir? ) 9 ) 0 ) 0 ) 0 0 ) sl eksen uzunluğu 6 birim ve odklrı (0,0), ( 0,0) oln hiperbolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) 4 ) ) 6 4 ) ) simptot denklemlerinden biri ve köşesi (4,0), 5 ı ( 4,0) oln hiperbolün denklemi nedir? ) 5 ) ) ) ) enklemi 8 oln hiperbolün odklrı rsındki uzklık kç birimdir? ) ) 4 ) 6 ) 8 ) hiperbolünün simptotlrı rsındki dr çı şğıdkilerden hngisidir? ) 30 ) 45 ) 50 ) 60 ) hiperbolünün doğrultmn doğrulrının rsındki uzklık kç birimdir? 3 ) 3 ) ) 3 ) 4 ) 9 66

267 ÜNİT ĞRLNİRM YNIT NHTRI. ÜNİT. ÜNİT 3. ÜNİT.., b. Y, c., ç. Y cm cm br br 6.. Y, b., c. Y, ç. Y cm cm cm. 3.., b., c., ç. Y, d. 4. ÜNİT.., b. Y, c., ç. Y. Vektörel denklemi MP 5, (P(, )) stndrt denklemi ( ) + ( + ) 5 Genel denklemi M(3, ), r , b. Y, c... (3,0), ÜNİT 3 3 b. b, l,

268 SÖZLÜK ln nlitik düzlem birim çember : ir üzein ölçümü ve bir üze prçsın krşılık gelen pozitif sı. : ik koordint sistemi belirtilmiş düzlem. : Yrıçpı r birim oln çember. Ç çp : Çemberin merkezinden geçen ve uç noktlrı çember üzerinde bulunn doğru prçsı. çember : üzlemde, sbit bir noktdn nı uzklıkt oln noktlrın kümesi. çember prçsı : Çemberin iki noktsı rsınd kln prçsı, çember ı. çemberin normli : Teğetin değme noktsınd, teğete dik oln doğru. çemberin teğeti : Çemberle lnız bir ortk noktsı oln doğru. çevre : Kplı eğrinin uzunluğu oln pozitif sı ve bir çokgenin bütün kenr uzunluklrının toplmı. çevre çı : Köşesi çember üzerinde olup kenrlrı çemberle kesişen çı. çokgensel bölge : ir çokgen ile iç bölgesinin birleşimi. dire dire dilimi : Çember ile iç bölgesinin birleşimi. : ir direde, merkez çının iç bölgesinin, gördüğü l sınırlı oln kısmı, sektör. dışbüke çokgen : Köşegenlerinin tmmı çokgenin iç bölgesinde oln çokgenlere verilen isim. doğrunun eğim çısı : oğrunun, ekseni ile pozitif önde oluşturduğu çı. doğrunun eğimi : oğrunun eğim çısının ölçüsünün tnjntı. doğrusl noktlr : nı doğru üzerinde bulunn noktlr. dönme çısı : ir şeklin dönme merkezi etrfınd döndürüldüğü çı. düzgün çokgen : Kenr uzunluklrı ve çılrı eş oln çokgen. eş geometrik er : Her bkımdn birbirinin nı oln geometrik şekiller. G : nı özellikteki noktlrın oluşturduğu şekil. K kplm : üzlemi çeşitli çokgenler rdımıl süsleme. krtezen koordint sistemi : üzlemde, birbirine dik iki doğrunun noktsınd kesişerek oluşturduğu sistem. kesen : ir şekli kesen doğru. kiriş : ir çemberin iki noktsını birleştiren doğru prçsı. konkv : İçbüke. konveks : ışbüke. köşegen : ir çokgenin rdışık olmn iki köşesini birleştiren doğru prçsı. 68

269 merkez çı merkezil çember nokt norml norm orijin prmetre sırlı ikili süsleme süsleme kodu teğet teğetler dörtgeni teğet prçsı teğetin değme noktsı teğetler dörtgeni üçgenin ğırlık merkezi vektör nsım rıçp -ekseni M : Köşesi çemberin merkezinde bulunn çı. : Merkezi (0,0) noktsı oln çember. N : üşünebildiğiniz en küçük iz. Hiçbir boutu olmn işretler. : ir eğrinin bir teğetine, teğetin değme noktsınd dik oln doğru. : ir vektörün bou ve uzunluğu : şlngıç noktsı. nlitik düzlemde (0,0) noktsı. P : n z iki değişkeni bğln ortk değişken. S : Krtezen koordint sisteminde, bir noktnın erini belirlemek için kullnıln sı çifti. : Çokgenlerin rlrınd boşluk klmdn ve üst üste gelmeden belirli bir kurl göre düzlemi kplmsı. : ir süslemede, herhngi bir köşenin etrfındki düzgün çokgesel bölgelerin kenr sısındn oluşn şifre. T : Çember ile lnızc bir noktd kesişen doğru. : Kenrlrı bir çembere teğet oln dörtgen. : ir P noktsının bir çembere çizilen teğetindeğme noktsı T ise; [PT], teğet prçsıdır. : Teğetin eğri ile ortk noktsı. : Kenrlrı bir çembere teğet oln dörtgen. : Üçgenin kenrortlrının kesiştikleri nokt. Ü V : Yönlü doğru prçlrının kümesinde tnımlı eşlik bğıntısın göre denklik sınıflrının her biri. Y : ir şeklin doğru göre simetriği. : Çember merkezi ile çember üzerindeki herhngi bir noktı birleştiren doğru prçsı. : Çemberde frklı iki nokt rsındki çember prçsı. : Krtezen koordint sistemindeki dike eksen. 69

270 SML V KISLTMLR % çısı ( ı m ( ) çısının ölçüsü m( ) br br (, r) & ( ının ölçüsü birim birimkre merkezi, rıçpının uzunluğu r birim oln çember üçgeni Ç ( ) dörtgeninin çevre uzunluğu ( ) <, > R R dörtgensel bölgesinin lnı vektörü vektörünün normu (uzunluğu) ve vektörünün iç çrpımı önme dönüşümü R R {(,) :, R} kümesi P(,b) P(,b) [] II ^ eşit değil eş benzer nlitik düzlemde koordintlrı ve b oln P noktsı nlitik düzlemde bileşenleri ve b oln er vektörü uç noktlrı ve oln doğru prçsı doğru prçsının uzunluğu dik // prlel II p in mutlk değeri pi sısı 70

271 KYNKÇ LLTIN P. VISSI, MTHMTIQU SN,, T; LGRV, 973. LLTIN QUYSNN - RVUZ, MTHMTIQU e T, Tome, ernnd Nthn, Pris, 97. ISHR N ZIUR, LULUS N NLYTI GMTRY, Prentice Hll. (Türkçee çeviri: GNL MTMTİK, M, İstnbul, 975.) MYN LRUSS NSİKLPİSİ Prof. r. H. HİLMİ HISLİHĞLU, İKİ V ÜÇ YUTLU UZYLR NLİTİK GMTRİ, nkr, 990. RIHR. SILVRMN, LULUS WITH NLYTI GMTRY, Prentice Hll, Inc nglewood liffs, New Jerse 985. SRG LNG, LGR LINIR, Inter ditions, Pris, 976. T.. Millî ğitim knlığı Tlim ve Terbie Kurulu şknlığı, rtöğretim Geometri ersi 9-0. Sınıf Öğretim Progrmı, M, nkr, 00. T.. Millî ğitim knlığı Tlim ve Terbie Kurulu şknlığı, rtöğretim Geometri ersi. Sınıf Öğretim Progrmı, M, nkr, 0. TK YZIM KILVUZU, TK Yınlrı, nkr, 005. TK TÜRKÇ SÖZLÜK, TK Yınlrı, nkr, (Türk il Kurumu) (Millî ğitim knlığı) (Türkie ilimsel ve Teknolojik rştırm Kurumu) (Türkie sketbol edersonu) 7

272 ÖRNK K :... () () rt (3) (4) Çok ii (5).. Projee ugun pln pm TPLM.. 3. Toplnn bilgileri nliz etme 4. bulunm 5. ; resimler, çizimler, tblo, grfik ve isttistiklerle destekleme Projei belirlenen sürede tmmlm TPLM III. SUNU YPM. Sorulr cevp verme 4. Sunuu, mc önelik mterlle destekleme 6. Sunuu verilen sürede pm TPLM GNL TPLM hespl n sonuç 00 ile çrp (70/00)