Bölüm 10 Ders 10 Simpleks Yöntemine Giriş 10.1 Alıştırmalar 10 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 197
198 BÖLÜM 10. DERS 10 1. Soru 1 1. Aşağıda verilen simpleks tablolarında temel, temel olmayan, giren ve çıkan değişkenleri, anahtar girdiyi belirleyiniz ve giren değişkeni temel değişkene dönüştüren anahtar işlemleri yapınız. a) Temel değişkenler s 1, s 2,K Giren değişken x 1 Anahtar girdi 1 Çıkan değişken s 1 Anahtar işlemler (sırasıyla) (1) 3 1 0 0 4 (3) 4 0 1 0 24 (-7) -3 0 0 1 10 Tablo 10.1: Soru 10-1a 3s 1 + s 2 s 2 7s 1 + s 3 s 3
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 199 b) Temel değişkenler x 2, s 2, s 3,K Giren değişken s 1 Anahtar girdi 2 çıkan değişken s 3 Anahtar işlemler (sırasıyla) x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 K 1 1 1 0 0 0 4 2 0 3 1 0 0 9 0 0 2 0 1 0 2 (-4) 0-5 0 0 1 15 Tablo 10.2: Soru 10-1b 1 2 s 3 s 3 3 2 s 3 + s 2 s 2 1 2 s 3 + s 1 s 1 5 2 s 3 + s 4 s 4
200 BÖLÜM 10. DERS 10 2. Soru 2 Aşağıda verilen simpleks tablolarından her birinde temel ve temel olmayan değişkenleri seçiniz, bu seçime karşılık gelen temel çözümü yazınız, başka anahtar işlemler gerekip gerekmediğini, en iyi çözümün bulunup bulunmadığını belirleyiniz. En iyi çözüm varsa, ne olduğunu belirleyiniz. a) 2 1 0 3 0 13 3 0 1-2 0 24 4 0 0 4 1 30 Tablo 10.3: Soru 10-2a Temel değişkenler x 2, s 1,K Temel çözüm x 1 = 0, x 2 = 13, s 1 = 24, s 2 = 0,K = 0 en iyi çözümdür. b) -3 0 1 3 1 0 0 6 0 1 0-3 0 0 0 12-2 0 0 2 1 1 0 12-4 0 0 1 3 0 1 54 Tablo 10.4: Soru 10-2b Temel değişkenler x 2, x 3, s 3,K Temel çözüm x 1 = 0, x 2 = 12, x 3 = 6, s 1 = 0,, s 2 = 0, s 3 = 12,K = 54 en iyi çözümdür.
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 201 3. Soru 3 Aşağıdaki doğrusal programlama problemlerinden her biri için, aylak değişkenler atayarak başlangıç sistemini, başlangıç simpleks tablosunu yazınız; anahtar girdiyi, giren ve çıkan değişkenleri belirleyiniz ve problemi simpleks yöntemi ile çözünüz. a) K (x 1, x 2 ) = 10x 1 + 15x 2 fonksiyonunu 3x 1 + x 2 16 x 1 + 2x 2 12 kısıtlamaları altında maksimize ediniz. K (x 1, x 2 ) = 10x 1 + 15x 2 3x 1 + x 2 16 3x 1 + x 2 + s 1 = 16 x 1 + 2x 2 12 x 1 + 2x 2 + s 2 = 12 x 1, 10x 1 15x 2 + K = 0 s 1 3 1 1 0 0 16 s 2 1 2 0 1 0 12..................... K 10 15 0 0 1 0 s 1 3 1 1 0 0 16 x 2 1/2 1 0 1/2 0 6..................... K 10 15 0 0 1 0 1 2 s 2 s 2 ( 1)s 2 + S 1 s 1 s 1 5/2 0 1 1/2 0 10 s 2 1/2 1 0 1/2 0 6..................... K 5/2 0 15/2 1 1 90
202 BÖLÜM 10. DERS 10 15s 2 + S 3 s 3 2 5 s 1 s 1 x 1 1 0 2/5 1/5 0 4 x 2 1/2 1 0 1/2 0 6..................... K 5/2 0 0 15/2 1 90 1 2 s 1 + S 2 s 2 5 2 s 1 + s 3 s 3 x 1 1 0 2/5 1/5 0 4 x 2 0 1 2/5 7/10 0 4..................... K 0 0 1 2 1 100 En iyi çözüm: x 1 = 4, x 2 = 4, s 1 = 0, s 2 = 0 için K = 100
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 203 b) K (x 1, x 2 ) = 15x 1 + 6x 2 fonksiyonunu 3x 1 + 5x 2 30 3x 1 + x 2 18 kısıtlamaları altında maksimize ediniz. 3x 1 + 5x 2 + s 1 = 30 3x 1 + x 2 + s 2 = 18 15x 1 6x 2 + K = 0 s 1 3 5 1 0 0 30 s 2 3 1 0 1 0 18..................... K 15 6 0 0 1 0 s 1 3 5 1 0 0 30 x 1 1 1/3 0 1/3 0 6..................... K 15 6 0 0 1 0 1 3 S 2 S 2 ( 3)S 2 + S 1 S 1 15S 2 + S 3 S 3 x 2 0 4 1 1 0 16 x 1 1 1/3 0 1/3 0 2..................... K 0 1 0 5 1 90 x 2 0 1 1/4 1/4 0 3 x 1 1 1/3 0 1/3 0 6..................... K 0 1 0 5 1 90 1 4 S 1 S 1
204 BÖLÜM 10. DERS 10 s 1 + s 3 s 3 1 3 s 1 + s 2 s 2 x 2 0 1 1/4 1/4 0 3 x 1 1 0 1/12 5/12 0 5..................... K 0 0 1/4 19/14 1 93 En iyi çözüm: x 1 = 5, x 2 = 3, s 1 = 0, s 2 = 0 için K = 93.
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 205 c) K (x 1, x 2 ) = 45x 1 + 60x 2 fonksiyonunu 2x 1 + x 2 30 x 1 + x 2 16 x 1 + 2x 2 24 kısıtlamaları altında maksimize ediniz. K (x 1, x 2 ) = 45x 1 + 60x 2 2x 1 + x 2 + s 1 = 30 x 1 + x 2 + s 2 = 16 x 1 + 2x 2 + s 3 = 24 45x 1 60x 2 + K = 0 1 1 1 0 0 30 1 1 0 0 0 16 2 2 0 1 0 24.................. 45 60 0 0 1 0 Anahtar işlemler yapıldığında; En iyi çözüm: x 1 = 8, x 2 = 8 için K = 840 çıkar.
206 BÖLÜM 10. DERS 10 d) K (x 1, x 2, x 3 ) = 50x 1 10x 2 + 20x 3 fonksiyonunu x 1 x 2 + x 3 5 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 15 x 3 0 kısıtlamaları altında maksimize ediniz. K (x 1, x 2, x 3 ) = 50x 1 10x 2 + 20x 3 x 1 x 2 + x 3 + s 1 = 5 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + s 2 = 16 50x 1 + 10x 2 20x 3 + K = 0 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 K s 1 1 1 1 1 0 0 5 s 2 2 3 4 0 1 0 15............... 0... K 50 10 20 0 0 1 0 Anahtar ilemler yapıldığında; En iyi çözüm: x 1 = 6, x 2 = 1, x 3 = 0 için K = 290 çıkar.
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 207 4. Soru 4 Aşağıdaki doğrusal programlama problemlerim simpleks yöntemi ile çözünüz. a) K (x 1, x 2 ) = 30x 1 + 50x 2 fonksiyonunu x 1 2x 2 2 x 1 x 2 5 x 1 6 kısıtlamaları altında maksimize ediniz. K (x 1, x 2 ) = 30x 1 + 50x 2 x 1 2x 2 + s 1 = 2 x 1 x 2 + s 2 = 5 x 1 + s 3 = 6 30x 1 50x 2 + K = 0 x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 K s 1 1 2 1 0 0 0 2 s 2 1 1 0 1 0 0 5 s 3 1 0 0 0 1 0 6............ 0...... K 30 50 0 0 0 1 0 Anahtar sütunda pozitif girdi olmadığından çözüm yoktur.
208 BÖLÜM 10. DERS 10 b) K (x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 fonksiyonunu x 1 + x 2 + 4x 3 300 x 1 + 3x 2 + 2x 3 600 3x 1 + 2x 2 + x 3 400 x 3 0 kısıtlamaları altında maksimize ediniz. K (x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 x 1 + x 2 + 4x 3 + s 1 = 300 x 1 + 3x 2 + 2x 3 + s 2 = 600 3x 1 + 2x 2 + x 3 + s 3 = 400 2x 1 4x 2 + 6x 3 + K = 0 s 1 1 1 4 1 0 0 0 300 s 2 1 3 2 0 1 0 0 600 s 3 3 2 1 0 0 1 0 400............ 0...... K 2 4 6 0 0 0 1 0 x 1 1/4 1/4 1 1/4 0 0 0 75 x 2 1/2 5/2 0 1/2 1 0 0 450 s 3 11/4 7/4 0 1/4 0 1 0 325............ 0...... K 1/2 5/2 0 3/2 0 0 1 450 x 3 1/4 1/4 1 1/4 0 0 0 75 x 2 1/5 1 0 1/5 2/5 0 0 180 s 3 11/4 7/4 0 1/4 0 1 0 325..................... K 0 0 0 1 1 0 1 900
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 209 x 3 1/4 1/4 1 1/4 0 0 0 75 x 2 1/5 1 0 1/5 2/5 0 0 180 s 3 12/5 0 0 1/10 7/10 1 0 10........................ K 0 0 0 1/10 1 0 1 900 x 3 1/5 0 1 3/10 1/10 0 0 30 x 2 1/5 1 0 1/5 2/5 0 0 180 s 3 12/5 0 0 1/10 7/10 1 0 10........................ K 0 0 0 1 1 0 1 900 En iyi çözüm: x 1 = 0, x 2 = 180, x 3 = 30, s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 10 için K = 900 çıkar.
210 BÖLÜM 10. DERS 10 5. Soru 5 Bir küçük şirket üç tür bilgisayar parçası üretiyor. A türü bir parça, yapım için 2 iş saati, montaj iem l iş saati gerektiriyor. B turu bir parça, yapım için 3 iş saati, montaj için 2 iş saati ve C türü bir parça da yapım için 2 iş saati, montaj için 2 iş saati gerektiriyor. Şirketin mevcut günlük iş gücü, yapım için 200 iş saati, montaj için 160 iş saatidir. A, B ve C türü parçaların hor birinden, sırasıyla, 35 TL, 40 TL ve 50 Ti, kâr sağlanacaktır. Şirketin günlük kârının maksimum olması için her tür parçadan günde ne kadar üretmesi gerektiğini ve günlük maksimum karın ne olacağım belirleyiniz. Yapım Montaj Kâr A 2 1 35 B 3 2 40 C 2 2 50 İş Gücü 200 160 Tablo 10.5: Soru 10-5 K (x 1, x 2, x 3 ) = 35x 1 + 40x 2 + 50x 3 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 200 x 1 + 2x 2 + 2x 3 160 x 3 0 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 + s 1 = 200 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + s 2 = 160 35x 1 40x 2 500x 3 + K = 0 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 K s 1 2 3 2 1 0 0 200 s 2 1 2 2 0 1 0 160..................... K 35 40 50 0 0 1 0
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 211 1 2 s 2 s 2 50s 2 + s 3 s 3 ( 2)s 2 + s 1 s 1 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 K x 1 1 1 0 1 1 0 40 x 3 1/2 1 1 0 1/2 0 80..................... K 15 10 0 0 25 1 4000 1 2 s 1 + s 2 s 2 15s 1 + s 3 s 3 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 K x 1 1 1 0 1 1 0 40 x 3 1/2 1 1 0 1/2 0 80..................... K 15 10 0 0 25 1 4000 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 K x 1 1 1 0 1 1 0 40 x 3 0 1/2 1 1/2 1 0 60..................... K 0 25 0 15 10 1 4400 40 adet A türü, 60 adet C türü parça üretilince max kâr 4400 TL olur.
212 BÖLÜM 10. DERS 10 6. Soru 6 Bundan Önceki problemi günlük toplam parça üretiminin 84 adedi geçememesi ek kısıtlaması ile çözünüz. b) K (x 1, x 2, x 3 ) = 35x 1 + 40x 2 + 50x 3 fonksiyonunu x 1 x 2 + x 3 84 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 200 x 1 + 2x 2 + 2x 3 160 x 3 0 kısıtları altında çözeceğiz. Aylak değişkenleri kullanırsak, sistemi K (x 1, x 2, x 3 ) = 35x 1 + 40x 2 + 50x 3 x 1 + x 2 + x 3 + s 1 = 84 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 + s 2 = 200 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + s 3 = 160 35x 1 40x 2 50x 3 + K = 0 olur. Buradan s 1 1 1 1 1 0 0 0 84 s 2 2 3 2 0 1 0 0 200 s 3 1 2 2 0 0 1 0 160........................ K 35 40 50 0 0 0 1 0 50s 3 + s 4 s 4 s 1 1/2 0 0 1 0 1/2 0 4 s 2 1 1 0 0 1 1 0 40 x 3 1/2 1 1 0 0 1/2 0 80........................ K 15 10 0 0 0 25 1 4000
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 213 2s 1 s 1 1 2 s 1 + s 3 s 3 ( 1)s 1 + 2s 2 s 2 x 1 1 0 0 2 0 1 0 8 s 2 1 0 0 0 1 1 0 40 x 3 1/2 1 0 0 0 1/2 0 80........................ K 0 10 0 30 0 10 1 3880 x 1 1 0 0 2 0 1 0 8 s 2 0 1 0 2 1 0 0 32 x 3 0 1 1 1 0 1 0 72........................ K 0 10 0 30 0 10 1 3880 x 1 = 8, x 2 = 0, x 3 = 72, s 1 = 0, s 2 = 32, s 3 = 0 için K = 3880 çıkar.
214 BÖLÜM 10. DERS 10 7. Soru7 Bir yatırımcı. 100 bin TL sini devlet tahvillerine, A tipi fona ve B tipi fona yatırmak istiyor. Devlet tahvilleri,,4 tipi fonlar ve B tipi tonlar, sırasıyla, %8, %1Ü ve %12 getiri sağlıyor. Yatırımcı, A ve B tipi fonlara yaptığı toplanı yatırımın devlet tahvillerine yaptığı yatırımı asla geçmemesini istiyor. Bu yatırımcının maksimum getiri için devlet tahvillerine, A tipi fona ve B tipi fona ne kadar yatırım yapması gerekir? Maksimum getiri ne olur? D: devlet tahvili, A: tipi fon, B: tipi fon olsun D A B x 1 x 2 x 3 Tablo 10.6: Soru 10-7 K (x 1, x 2, x 3 ) = 0.08x 1 +0.10x 2 +0.12x 3 denklemini verilen aşağıdaki kısıtlar altında çözmeliyiz. x 1 + x 2 + x 3 100 x 2 + x 3 (100 x 2 x 3 ) x 3 0 İkinci denklemi düzenlersek; elde edilir. x 1 + x 2 + x 3 100 2x 2 + 2x 3 100 x 3 0 Aylak değişkenler kullanırsak, yukarıdaki sistemi aşağıdaki gibi yazabiliriz. x 1 + x 2 + x 3 + s 1 = 100 2x 2 + 2x 3 + s 2 = 50 0.08x 1 0.10x 2 012x 3 + K = 0
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 215 Bu sistemi matris olarak ifade edersek; x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 K s 1 1 1 1 1 0 0 100 s 2 0 1 1 0 1 0 50..................... K 0.08 0.10 0.12 0 0 1 0 ( 1)s 2 + 1 s 1 0.12s 2 + s 3 s 3 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 K s 1 1 1 1 1 0 0 50 s 2 0 1 1 0 1 0 50..................... K 0.08 0.02 0 0 0.12 0.12 6 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 K s 1 1 0 0 1 1 0 50 s 2 0 1 1 1 1 0 50..................... K 0.08 0.02 0 0 0.12 1.12 6 0.08s 1 + s 3 s 3 0.08s 1 + s 3 s 3 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 K x 1 1 0 0 1 1 0 50 x 3 0 1 1 0 1 0 50..................... K 0 0.02 0 0.08 0.04 0 10 Devlet tahvili D: 50 bin TL B tipi fon B: 50 bin TL K (50,0,50) = 10000 Kâr: 10 bin TL olur.
216 BÖLÜM 10. DERS 10 8. Soru 8 Bundan önceki problemi, /? tipi fona 30 bin TL den daha fazla yatırılmaması ek kısıtlaması altında çözünüz. D: devlet tahvili, A: tipi fon, B: tipi fon olsun D A B x 1 x 2 x 3 Tablo 10.7: Soru 10-8 K (x 1, x 2, x 3 ) = 0.08x 1 +012x 2 +0.12x 3 denklemini verilen aşağıdaki kısıtlar altında çözmeliyiz. x 1 + x 2 + x 3 100 x 2 + x 3 (100 x2 x 3 ) x 3 30 x 3 0 İkinci denklemi düzenlerdek; elde edilir. x 1 + x 2 + x 3 100 x 2 + x 3 50 x 3 0 Aylak değişkenler kullanırsak, yukarıdaki sistemi aşağıdaki gibi yazabiliriz. x 1 + x 2 + x 3 + s 1 = 100 x 2 + x 3 + s 2 = 50 x 3 + s 3 = 30 0.08x 1 0.10x 2 012x 3 + K = 0
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 217 Bu sistemi matris olarak ifade edersek; s 1 1 1 1 1 0 0 0 100 s 2 0 1 1 0 1 0 0 50 s 3 0 0 1 0 0 1 0 30........................ K 0.08 0.10 0.12 0 0 0 1 0 ( 1)s 3 + s 1 s 1 ( 1)s 3 + s 2 s 2 0.12s 3 + s 4 s 4 s 1 1 1 0 1 0 1 0 70 s 2 0 1 0 0 1 1 0 20 x 3 0 0 1 0 0 1 0 30........................ K 0.08 0.10 0 0 0 0.12 1 3.6 ( 1)s 2 + s 1 s 1 0.10s 2 + s 4 s 4 s 1 1 0 0 1 1 0 0 50 s 2 0 1 0 0 1 1 0 20 x 3 0 0 1 0 0 1 0 30........................ K 0.08 0 0 0 0 0.02 1 5.6 0.08s 1 + s 4 s 4 x 1 1 0 0 1 1 0 0 50 x 2 0 1 0 0 1 1 0 20 x 3 0 0 1 0 0 1 0 30........................ K 0 0 0 0.8 0.02 0.10 1 9.6 Devlet tahvili D: 50 bin TL A tipi fon B: 20 bin TL B tipi fon B: 30 bin TL K (50,20,30) = 9.6 Kâr: 9.6 bin TL olur.
218 BÖLÜM 10. DERS 10 9. Soru 9 Bir fabrikada üretilen.4, B ve C ürünleri için hammadde olarak çelik ve krom kullanılmakta; fabrikadaki iş gücü bu ürünlerden herhangi birini üretmek için uygun bulunmaktadır. A ürününün bir tanesini üretmek için 40 kg çelik, 30 kg krom kullanılmakta ve hu ürün 5 saatlik bir çalışmayı gerektirmektedir, B ürününün bir tanesini üretmek için 30 kg çelik, 30 kg krom kullanılmakta ve bu urun de 5 saatte üretilebilmektedir. C ürününün bir tanesini üretmek için 40 kg çelik, 40 kg krom kullanılmakta ve bu ürünün üretimi 10 saatlik çalışma gerektirmektedir. Bu fabrikada toplanı 1800 kg çelik, 1600 kg krom vardır ve iş gücü kapasitesi 300 saattir. Fabrika, A ürününün tanesinden 200 TL, B ürününün tanesinden 180 TL, C ürününün tanesinden 240 TL kâr ettiğine göre maksimum kâr için her üründen kaç tane üretmelidir ve maksimim kârı ne olur? K (x 1, x 2, x 3 ) = 200x 1 +180x 2 +240x 3 denklemini verilen aşağıdaki kısıtlar altında çözmeliyiz. 40x 1 + 30x 2 + 40x 3 1800 30x 1 + 30x 2 + 40x 3 1600 5x 1 + 5x 2 + 10x 3 300 200x 1 180x 2 240x 3 + K = 0 x 3 30 x 3 0 Aylak değişkenler kullanarak sistemi 40x 1 + 30x 2 + 40x 3 + s 1 = 1800 30x 1 + 30x 2 + 40x 3 + s 2 = 1600 5x 1 + 5x 2 + 10x 3 + s 3 = 300 Burda değişkenlerin negatif olamayacağını kabul ediyoruz. Şimdi bu sistemi matris ile ifade edelim:
10.1. ALIŞTIRMALAR 10 219 s 1 4 3 4 1 0 0 0 180 s 2 3 3 4 0 1 0 0 160 s 3 5 5 10 0 0 1 0 300........................ K 0 180 2400 0 0 0 1 0 Anahtar işlemler uygulanırsa; A ürünüğnden 20 B ürününden 20 C ürününden 10oldoğunda max kâr K (20,20,10) = 10000 TL olur.
220 BÖLÜM 10. DERS 10 10. Soru 10 Bir siyaset bilimci, bir seçimin bir gün Öncesi kapı-kapı dolaşılıp anket uygulanarak seçmen eğiliminin araştırılacağı proje için 32000 TL lik bir fon kullanacaktır. Anket uygulamaları için lisans ve yüksek lisans öğrencileri ile araştırma görevlileri çalıştırılacaktır. Her bir lisans öğrencisi 18 anket uygulayacak ve bunun karşılığında 100 TL alacak, her bir yüksek lisans öğrencisi 25 anket uygulayacak ve 150 TL alacak, her bir araştırma görevlisi de 30 anket uygulayacak ve 200 TL alacaktır. Ulaşım olanakları sınırlı olduğundan en çok 200 anketçi çalıştırılabilecektir. Yapılacak anket sayısının maksimum olabilmesi için kaç lisans öğrencisi, kaç yüksek lisans Öğrencisi ve kaç araştırma görevlisi çalıştırılmazdır? Lisans öğrenci sayısı x 1, yüksek lisans x 2, araştırma görevlisi x 3 olsun. K (x 1, x 2, x 3 ) = 18x 1 + 25x 2 + 30x 3 denklemini verilen aşağıdaki kısıtlar altında çözmeliyiz. x 1 + x 2 + x 3 200100x 1 + 150x 2 + 200x 3 3200 x 3 30 x 3 0 Aylak değişkenler kullanarak sistemi x 1 + x 2 + x 3 200100x 1 + 150x 2 + 200x 3 + s 2 = 3200 18x 1 25x 2 30x 3 + K = 0 Burda değişkenlerin negatif olamayacağını kabul ediyoruz. Şimdi bu sistemi matris ile ifade edelim: x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 K s 1 1 1 1 1 0 0 200 s 2 100 150 200 0 1 0 3200..................... K 18 30 30 0 0 1 0 Anahtar işlemler uygulanırsa; Yüksek Lisns öğrencisi: 16 Araştırma Görevlisi : 4 (Lisans öğrncisi çalıştırılmayacak) K = 520 anket gerçekleştirilir.