VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir.
VKTÖRLR 1. flekil. flekil 3. flekil 4. flekil 5. flekil 6. flekil ir klem kutusund ulunn klemler şekilde görüldüğü gii değişik durumlrd konumlndırılmıştır. u durumlr şğıdki içimde çıklnilir. 1. şekildeki iki klemin uzunluklrı eşit, doğrultu ve yönleri ynı. şekildeki iki klemin uzunluklrı eşit, doğrultulrı ynı ve yönleri frklı 3. şekildeki iki klemin uzunluklrı eşit, doğrultu ve yönleri frklı 4. şekildeki iki klemin uzunluklrı frklı, doğrultu ve yönleri ynı 5. şekildeki iki klemin uzunluklrı frklı, doğrultulrı ynı ve yönleri frklı 6. şekildeki iki klemin uzunluklrı frklı, doğrultu ve yönleri frklıdır. YÖNLÜ OĞRU PRÇSI Uç noktlrdn iri şlngıç noktsı, diğeri de itim noktsı olrk seçilen doğru prçsın yönlü doğru prçsı denir. d ; şlngıç noktsı, ; itim noktsı d; tşıyıcı doğru ( doğrultu)dur. ÖRNK 1 d,, doğrusl üç nokt olmk üzere, uç noktlrı,, oln yönlü doğru prçlrını yzınız. şlngıç noktsı, itim noktsı oln yönlü doğru prçsı şeklinde gösterilir. yönlü doğru prçsının ve noktlrı rsındki uzklığın yönlü doğru prçsının uzunluğu denir. vey şeklinde gösterilir. yönlü doğru prçsının üzerinde ulunduğu doğruy, nin tşıyıcısı denir. Tşıyıcının düzlemdeki konumun ise nin doğrultusu denir. 534
ÖRNK d Tşıyıcılrı ynı vey prlel ve yönleri ters oln yönlü doğru prçlrın ters (zıt) yönlü doğru prçlrı denir. nin yönü dn ye doğrudur. nin uzunluğu dir. nin tşıyıcısı d doğrusudur. ve zıt yönlü doğru prçlrıdır. d olyısı ile yönlü doğru prçsının elli olmsı için gerekli oln üç koşul d ilinmektedir. d k ÖRNK 3 d // k ise ve zıt yönlü doğru prçlrıdır. nin yönü den ye doğrudur. nin uzunluğu dir. nin tşıyıcısı k doğrusudur. olyısı ile yönlü doğru prçsının elli olmsı için gerekli oln üç koşul d ilinmektedir. Tşıyıcılrı ynı vey iririne prlel oln yönlü doğru prçlrın prlel yönlü doğru prçlrı denir. k SN YYINLRI oğrultulrı ve yönleri ynı, uzunluklrı eşit oln yönlü doğru prçlrın, eş yönlü doğru prçlrı denir. ve eş yönlü doğru prçlrı şeklinde gösterilir. = ise doğrultulrı ve yönleri de ynı olduğundn dir. d F k d = F ve d // k ise yönleri de ynı olduğundn F dir. ynı şekilde F olur.,, ve noktlrı doğrusl olduğundn // dir. d = ise = dir. d, d,, k ve d // k olduğundn // dir. k d k d // k ve = ise = dir. 535
ÖRNK 4 şğıdki şekilde ynı yönlü rçlr ynı noktdn ve ynı nd, frklı yönlü rçlr d ynı nd hrekete şlmıştır. Yndki otomoillerin hızlrı eşit, doğrultulrı ve yönleri ynıdır. Yndki otomoillerin hızlrı eşit, doğrultulrı ynı ve yönleri frklıdır. Yndki otomoillerin hızlrı eşit, doğrultulrı ve yönleri frklıdır. Yndki otomoillerin hızlrı frklı, doğrultulrı ve yönleri ynıdır. ÖRNK 5 ÖRNK 6 prlelkenrınd iririne eş oln yönlü doğru yönlü doğru prçsın dışındki ir noktsındn, ir eş yönlü doğru prçsı çiziniz. prçlrını yzınız. 536
ÖRNK 7 y VKTÖR Vektörler ( yönlü doğru prçsın) eş oln çok syıd yönlü doğru prçsı çizileilir. unlrın tümünü u K yönlü doğru prçlrındn iri ile temsil edeiliriz. Sözü edilen yönlü doğru prçlrının kümesine vek- F tör denir. M x T L F nlitik düzlemde çizilmiş oln yönlü doğru prçlrı krşılştırılmıştır. İnceleyiniz. ile ve FK ile ynı yönlü doğru prçlrıdır. ile nin yönleri ve doğrultulrı ynı, uzunluklrı eşit olduğundn eş yönlü doğru prçlrıdır. olyısıyl dir. LT yönlü doğru prçsı, FK ve yönlü doğru prçlrı ile ters ( zıt) yönlü doğru prçsıdır. FK ile LT nin doğrultulrı ynı, uzunluklrı eşit olmsın krşın yönleri zıt olduğundn, FK = LT dir. SN YYINLRI F = {,, F} ( vektörü), n ( yönlü doğru prçsın) eş oln yönlü doğru prçlrının tümünü temsil etmektedir. şlngıç ve itim noktlrı ynı oln vektörlere sıfır vektörü denir ve... 0 ile gösterilir. vektörünün uzunluğu (normu), vey ile gösterilir. Normu (uzunluğu) 1 irim oln vektöre, irim vektör denir. oğrultulrı ynı, yönleri ters oln vektörlere zıt (ters) vektörler denir. FM = olmsın krşılık, yönleri ve doğrultulrı frklı olduğundn FM _ dir. FK ve nin yönleri ynı ve tşıyıcılrı ve vektörleri; doğrultulrı ynı, uzunluklrı eşit zıt vektörler olup, = yzılır. prlel (doğrultulrı ynı) fkt uzunluklrı frklı olduğundn, FK _ dir. u, v gii iki vektör şlngıçlrı ynı oln ir nokty tşındığınd rlrındki çı 90 ise u vektörler diktir. 537
Yer ( Konum) Vektörü nlitik düzlemde (x 1, y 1 ) ve (x, y ) noktlrı verilsin. vektörüne eşit ve şlngıç noktsı orijin oln OP vektörü, vektörünün yer (vey konum) vektörüdür. y y ir Vektörün Uzunluğu ( Normu) OP = (, ) vektörünün uzunluğu ( normu), OP vey OP ile gösterilir. y H OHP dik üçgeninden OP = + ulunur. O P x y 1 x x 1 y y 1 P ÖRNK 9 O x 1 x (x 1, y 1 ), (x, y ) ve P(, ) olmk üzere, = OP (x x 1, y y 1 ) = (, ) olur. OP = P = (, ) şeklinde gösterilir. OP vektörü yerine P vektörü de yzılilir. P vektörünün, irinci ileşeni ve ikinci ileşeni reel syısıdır. x SN YYINLRI (4, 5) ve (5, 8) olmk üzere, nin yer vektörünü ulunuz. üzlemde gösterip uzunluğunu hesplyınız. ÖRNK 8 ( 1, ) ve (, 4) noktlrı ile tnımlnn ve vektörlerinin yer ( konum) vektörlerini ulunuz. ÖRNK 10. ( 1, ) ve ( 5, 6) ise kç irimdir?. (, 3) ve (x, 0) olmk üzere, = 5 r ise x değerlerini ulunuz. 538
İki Vektörün şitliği U = (x 1, y 1 ) ve V = (x, y ) olmk üzere, U = V x 1 = x ve y 1 = y dir. ÖRNK 11 U = ( +, 6), V = (4, ) olmk üzere, U = V ise. kçtır? ÖRNK 1 P = ( 5, 3) vektörünün tersini ulunuz ve düzlemde gösteriniz. VKTÖRLR TOPLM İŞLMİ Prlelkenr Yöntemi ve vektörlerinin toplmını ulmk için sit ir O noktsı lıp şlngıç noktlrı O oln ve vektörlerine eşit vektörler çizelim. Çokgen Yöntemi Toplmı istenen iki vektörden irinin itim noktsı ile diğerinin şlngıç noktsı çkıştırılır. irinci vektörün şlngıç noktsı ile ikinci vektörün itim noktsını, şlngıç ve itim noktsı kul eden vektör toplm vektörüdür. İkiden fzl vektör için de ynı şekilde devm edilir. u yönteme çokgen yöntemi denir. F K + + O u iki kenr prlelkenr tmmlndığınd O dn geçen OK köşegen vektörü, ve vektörlerinin toplmıdır. + = + = 539
ÖRNK 13 c y (x 1, y 1 ) + (x 1 +x, y 1 +y ) Yukrıd verilen,, c vektörlerinin toplmı şğıd ulunmuştur. İnceleyiniz. I. Yol O (x, y ) = (x 1, y 1 ) ve = (x, y ) olmk üzere, + = (x 1 + x, y 1 + y ) dir. x c + c + + c + ÖRNK 15 = (3, 1) ve = (6, ) olmk üzere, + vektörünü ulunuz. II. Yol İstenen toplm çokgen yöntemine göre şğıd ulunmuştur. İnceleyiniz. ÖRNK 14 + + c üzlemde verilen,,,, F vektörlerinin toplmını ulunuz. c SN YYINLRI ÖRNK 16 (1, ) ve (3, ) noktlrı ve = ( 1, 4) vektörüne göre şğıdkileri ulunuz... + + 540
İki Vektörün Frkı üzlemde verilen ve vektörlerinin frkı = + ( ) = (x 1, y 1 ) + ( x, y ) şeklinde tnımlnır. O y = (x 1 x, y 1 y ) x = olduğun dikkt ediniz. ir Vektörün ir Reel Syı İle Çrpımı Her v V ve her k R olmk üzere, Z ], 0< k < 1 ] ] ], k > 1 ] ] l, 1< k < 0 k. ] v = [ l, k < 1 ] ] ] 0, k = 0 ] ] v =, k = 1 ] ] l, k = 1 \ ÖRNK 17 = (, 1) ve = (4, 3) olmk üzere, vektörünü ulunuz. k.v v 0 < k < 1 ise vektörün yönü değişmez, uzunluğu zlır. ÖRNK 18 (, 1) ve (4, 1) noktlrı ve = (, 3) vektörüne göre şğıdkileri ulunuz... SN YYINLRI k.v k > 1 ise vektörün yönü değişmez, uzunluğu rtr. k.v 1 < k < 0 ise vektörün yönü değişir, uzunluğu zlır. k.v k < 1 ise vektörün yönü değişir, uzunluğu rtr. k.v k = 1 ise vektörün yönü ve uzunluğu değişmez. k.v k = 1 ise vektörün yönü değişir, uzunluğu değişmez. 541
ir vektörün ir reel syı ile çrpılmsı işleminde şğıdki özellikler vrdır. ÖRNK 0 ve vektörleri ile k1, k R verilsin. k 1.( + ) = k 1. + k 1. (k 1 + k ). = k 1. + k. k 1.(k. ) = k.(k 1. ) = (k 1.k ). Yukrıd verilen ve vektörleri için 1. vektörünü çizerek ulunuz. 1. = 1. = 0. = 0 k 1. 0 = 0 ÖRNK 19 SN YYINLRI = r olmk üzere,.. c. =. F = 1. GH = 3. vektörlerini irim krelere ölünmüş ir kğıt üzerinde gösteriniz. ÖRNK 1 Yukrıdki irim kreler üzerinde verilmiş oln ve vektörleri için 3 vektörünü çizerek ulunuz. 54
= (x 1, y 1 ) vektörü ve k R için k. = (k.x 1, k.y 1 ) dir. ÖRNK = (, 1) ve = ( 1, 3) ise 3 vektörünü ÖRNK 5 üçgeninde = ise + = olduğunu gösteriniz. ulunuz. ÖRNK 6 ÖRNK 3 ( 1, 3), (4, 1) ve (, 0) olmk üzere, vektörününün uzunluğunu ulunuz. SN YYINLRI üçgeninde = ise vektörünü ve vektörleri türünden yzınız. ÖRNK 4 = ( 1, ) ve = (3, 4) vektörleri veriliyor.. +. = 0 ise ve reel syılrını ulunuz. üçgeninde m = ise n n. + m. = dir. m + n 543
İki Vektörün Prlelliği 0, 0 ve k 0 olmk üzere, = k. // dir. = (x 1, y 1 ) ve = (x, y ) olsun. = k. (x, y ) = (kx 1, ky 1 ) ÖRNK 9 ir üçgeninde G ğırlık merkezi olmk üzere, G + G + G = 0 olduğunu gösteriniz. kx 1 = x ve ky 1 = y x y k = = olur. x y 1 1 = (x 1, y 1 ) ve = (x, y ) için // x x 1 y = y 1 ÖRNK 7 = ( +, 3) ve = (, 1) vektörleri prlel ise kçtır? SN YYINLRI ÖRNK 30 ir üçgeninin içinde lınn herhngi ir noktsı ve G ğırlık merkezi için + + = 3 G ÖRNK 8 olduğunu gösteriniz. üçgeninde = = ise = olduğunu gösteriniz. 544
ÖRNK 31 F dörtgeninde, = ve F = F ise + F = olduğunu gösteriniz. ÖRNK 33 K F dörtgeninde köşegenlerin kesim noktsı K ve SN YYINLRI =, F = F ise + + + = 4 F olduğunu gösteriniz. ÖRNK 3 F K üçgeninin kenr ort noktlrı,, F ve üçgenin içindeki herhngi ir K noktsı için K + K + K = K + K + KF olduğunu gösteriniz. 545
irim Vektör Uzunluğu 1 irim oln vektöre, irim vektör denir. = 1 r ise vektörü irim vektördür. nlitik düzlemde e 1 = (1, 0) ve e = (0, 1) irim vektörlerine, stndrt (temel vey z) irim vektörler denir. ÖRNK 35 4 3 = c, m vektörünün irim vektör olduğunu 5 5 gösteriniz. y e = (0, 1) O e 1= (1, 0) x ÖRNK 36 e 1 yty irim vektörü, i ile e düşey irim vektörü, j ile gösterilir. = (x 1, y 1 ) vektörü ile ynı doğrultu ve yöndeki irim = (3, 4) ile ynı doğrultu ve yönlü irim vektörü ulunuz. vektör, Ι = 1. dir. ÖRNK 34 SN YYINLRI 1 = c,nm vektörünün irim vektör olmsı için n hngi değerleri lilir? ÖRNK 37 = ( 5, 1) ile ynı doğrultulu fkt zıt yönlü irim vektörü ulunuz. 546
LIŞTIRMLR 1. k 3. d Yukrıdki yönlü doğru prçlrının şlngıç noktlrını, itim noktlrını, yönlerini ve doğrul- tulrını elirtiniz. Yukrıdki prlelkenrın göre şğıdki ğıntılrın doğru y d ynlış olduklrını elirleyiniz.. F üçgeninde,, F kenr ort noktlrdır. SN YYINLRI un göre, sol sütund ulunn yönlü doğru prçlrı ile sğ sütund ulunn yönlü doğru prçlrındn eş olnlrını elirleyiniz. 4. 1. F.. 3. F F. c. F G F H 4. 5. d. e. 1. Yukrıd verilen vektörü ve,,, F, G, H noktlrın göre şğıdki oşluklrı doldurunuz. 6. f... = 4.... = 4... c. =... F d. =... HG 547
5. 8. c Yukrıd verilen ve vektörlerine göre, şğıdkileri ulunuz. I. + III. II. IV. 1 Şekilde ifde edilmiş,, c vektörleri rsınd c = x. + y. ğıntısı vrs x + y kçtır? 6. üçgeninde = ve. + = ise + c kçtır? c SN YYINLRI 9. c f k e d 7. şğıdki şekilde vektörlerin hngi özelliği ifde edilmiştir? Şekilde ifde edilmiş vektörlere göre şğıdkilerin doğru vey ynlış olduğunu tespit ediniz. f irim vektördür. d irim vektördür. k. ile zıt vektörlerdir. c ile f zıt vektörlerdir. k. + k.( + ) ile k iririne diktir. + d = k dür. c e = f dür. 548
10. nlitik düzlemde verilen (, 1), ( 3, ) ve (1, ) noktlrın göre, ve vektörlerini nlitik düzlemde çiziniz. 15. = ( 1, 3) ile = (, ) vektörleri için. = ( 3, 4) ise + kçtır? 11. (, 1), (3, 1), (, ) ve ( 1, ) noktlrın göre = ise + kçtır? 16. = ( 3, 0) ve + = (6, 3) ise vektörü nedir? 1. (n 1, 3) ve (n+, ) noktlrındn geçen vektörünün yer vektörü nedir? SN YYINLRI 17. ( 1, ), (, 1) olmk üzere, = 5 ise nın lileceği değerleri ulunuz. 13. (, 4), ( 3, 5) ve (1, 0) olmk üzere 3 ifdesinin eşitini ulunuz. 18. = ( 3, 4), = (5, 1) ise + ve + değerlerini ulunuz. 14. = ( 1, 3) ve = (, 1) ise vektörü nedir? 19. = (n, n 1) irim vektör ise n nin pozitif değeri kçtır? 549
0. şğıd verilenlerin doğru vey ynlış olduğunu tespit ediniz. = ( 1, 0) vektörü irim vektördür. 3 1 = d, n vektörü irim vektördür. 4 3 = c, m vektörü irim vektördür. 5 5 1 1 = c, m vektörü irim vektördür. = (1, 1) vektörü irim vektördür. 4. = (m 1, 3), = (5, m + 1) vektörleri iririne prlel olduğun göre, m değerlerinin toplmı kçtır? 5. = (x, 4) vektörünün yönündeki irim vektör f 1 3, 3 hngisidir? p ise x in değeri şğıdkilerden 1. = (1, ) vektörü ile ynı yönlü, ynı doğrultulu irim vektörü ulunuz. SN YYINLRI 6. = ( 3, 4) vektörünün tersini ulunuz ve düzlemde gösteriniz. 7. şğıdki vektörlerin toplm vektörlerini oluşturrk uzunluklrını ulunuz... = ( 3, 1) vektörüne zıt yönde prlel oln irim vektörü ulunuz. u v. 3. = e 1 e ve = e 1 + 3 e ise şğıdkileri ulunuz... c. d. + u v 550
Yzılıy Hzırlık Sorulrı 1. = (3, ) ve = (1, 1) ise vektörü nedir? 4. = ( 3, ) ve = (1, 5) olmk üzere, ile ynı yönlü irim vektör nedir?. = ( x, ), = ( 1, y) ve = (3, 0) ise x + y kçtır? 5. (3, ) ve (, k) noktlrı ile = ( 1, 1) vektörü veriliyor. // ise kç r dir? SN YYINLRI 3. = e1 + 3 e ve = e 1 + e olmk üzere kçtır? 6. İki kenrı = (, 3) ve = (3, ) oln krenin lnı kç r dir? 551
7. 9. K F üçgeninde = 3 ve. +. = ise c + c ifdesinin eşiti kçtır? dörtgeninde köşegenlerin kesim noktsı K ve =, F = F ise F = olduğunu gösteriniz. 8. SN YYINLRI 10. G F F üçgeninde G ğırlık merkezidir. un göre + F + = 0 olduğunu gösteriniz. prlelkenrınd = ve [] [] = {F} dir. un göre, F = k.( + ) ise k kçtır? 55
TST - 1 Vektörler 1. 3. = ( +, 3) ve = (4, ) olmk üzere, = ise. kçtır? ) 4 ) 0 ) 18 ) 16 ) 1 Yukrıdki şekilde noktlı kğıt üzerine çizilmiş doğrulr kç frklı doğrultu oluşturmuştur? ) ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 4. = ( 1, 4) ve = (, ) ise kçtır? ) ) v5 ) v6 ) v7 ) v SN YYINLRI. 5. = ( +, 3) ve = ( 1, 1) vektörleri için kç irimdir? H F G ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 Yukrıd verilen noktlı kğıt üzerindeki vektörler için şğıdkilerden hngisi ynlıştır? ) = 3 ) F = ) GH = F ) = 1 F ) = 3 HG 4 6. = (n 1, n + 1), = (, 3) ve // ise n kçtır? ) ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 553
7. (, 1) ve (1, 3) noktlrı ile = (4, 5) vektörüne göre, hngisidir? vektörü şğıdkilerden ) ( 5, 1) ) ( 5, 1) ) ( 4, 1) ) ( 4, 1) ) (3, 9) 11. = 4e 3e ve = e e ise 1 şğıdkilerden hngisidir? 1 ) 5e1 e ) 5e 4e 1 ) 4e1 5e ) 4 e e 1 ) 5e + 4e 1 8. şğıdkilerden hngisi irim vektör değildir? 5 1 ) c, m ) (1, 1) 13 13 3 ) ( 1, 0) ) d, ) d, n 1 n 1. 3 = 5e + 1e 1 + = 5e1+ 4e ise vektörünün x ekseniyle yptığı çının ölçüsü kç derecedir? SN YYINLRI ) 0 ) 15 ) 30 ) 45 ) 60 9. = (3, ), = ( 1, ) ve = (1, 6) vektörleri için n + m = olduğun göre n + m kçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 13. üçgeninde = 3 ise nin eşiti şğıdkilerden hngisidir? 10. _ = ` = 5 = k. eşitliğinde k nın değeri kçtır? 1 3 1 ) ) ) ) 5 5 5 7 ) 7 ) 3 1.( + ) ) 3 1.( + ) ) ) 1.(3 + ) ) 1.( + 3 ) 4 4 1.( + 4 ) 3 554
TST - 3 Vektörler 1. 1 = (1, ) ve = ( 4, 6) ise + vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) (0, 1) ) (0, 1) ) (1, 0) ) ( 1, 0) ) (1, 1) 5. (n +, 3), (, 1), (4, n), (, ) ve = ise n kçtır? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7. = (, 3), = (5, ) olduğun göre şğıdkilerden hngisi ynlıştır? ) = (3, 5) ) = ( 3, 5) ) + = (7, 1) ) = ( 1, 4) 6. x ekseni ile pozitif yönde 45 lik çı ypn irim vektör şğıdkilerden hngisidir? 1 1 ) (1, 0) ) (0, 1) ) f, p ) = ( 3, 5) SN YYINLRI 1 1 1 1 ) f, p ) e, o 3. ( 1, ) ve (, ) olmk üzere kçtır? ) v3 ) 4 ) v5 ) 5 ) 6 7. 4. = (1, 1) vektörü ile ynı yönlü, ynı doğrultulu irim vektör şğıdkilerden hngisidir? 1 1 1 1 ) c, m ) c, m ) (1, 0) ) (0, 1) ) (v, v) üçgeninde = ise vektörünün ve vektörleri cinsinden eşiti şğıdkilerden hngisidir? ) + ) 1 + 3 3 ) 3 + ) + 3 ) + 557
8. = (1, 3), = (5, ) olduğun göre, vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) (, 1) ) (1, ) ) (6, 1) ) (, 1) ) ( 1, ) 1. = (, 3), = ( 1, 4) ve = (3, 8) vektörleri verilyor. n. + m. = olduğun göre, n + m kçtır? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 9. = ( x, 3), = (1, y) ve 3 = (5, 1) ise x + y kçtır? ) 3 ) ) 1 ) 0 ) 3 1 13. = k.e. 1 e vektörünün irim vektör olmsı için k kç olmlıdır? ) ) 3 ) 3 3 ) 1 ) 3 3 SN YYINLRI 10. = e + 4e 3 1 = 5e e 1 3 vektörü şğıdkilerden hngisidir? ) (8, 11) ) ( 7, 9) ) ( 9, 14) ) ( 10, 13) ) ( 15, 16) 14. O O noktsı üçgenin iç ölgesinde herhngi ir nokt olmk üzere; + + toplmı 11. = (n + 1, 3), = (n, m ) ve = (, 5) olmk üzere = ise m kçtır? ) 1 ) ) 3 ) 4 ) 5 şğıdkilerden hngisidir? ) O + O ) ) O + O ) 0 ) 558
Üniversiteye Giriş Sınv Sorulrı 1. 1970 ÜSS V = 3 i 4 j vektörünün oyu kç irimdir? ) 5 ) 4 ) 3 ) ) 1 4. 1981 ÖYS ir prlelkenrının içinde P = PQ = Q olck içimde P ve Q noktlrı lınıyor. P = 3 olduğun göre, prlelkenrının [] köşegeninin uzunluğu nedir? ) 18 ) 15 ) 1 ) 9 ) 6. 1974 ÜSS = [, 4], = [8, 6] vektörleri veriliyor. x + y = [ 4, ] eşitliğini sğlyn x, y değerleri şğıdkilerden hngisidir? ) 1, ) 1, 1 ), 1 ), 1 ), SN YYINLRI 3. 1979 ÜSS G, ğırlık merkezleri (kenr ortylrın kesim noktlrı)ortk iki üçgen olduğun göre, + + vektörler toplmı şğıdkilerden hngisidir? ) G ) 0 ) G ) G ) G 559
SN YYINLRI 560