III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER

Bölüm 1 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER 1.1 YÜZEYLER:TANIM VE ÖRNEKLER Bu kesimin amacı R 3 de yüzeyler teorisini incelemek ve bunun içinde manifoldlar teorisinin gerekli kısmını aktarmaktır. başlangıç için önce bir yüzeyin basit bir yaması kavramı verilecek, sonra da yüzeyin formal tanımı verilecektir. Tanım 1.1.1 R 2 nin kapalı bir dikdörtgen bölgesiyle sürekli 1 : 1 tekabül içinde olan R 3 ün bir alt cümlesine bir yüzeyin basit yaması denir. v f x3 D C D C A B A B u x2 x1 Şekil 1.1: 1

2 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER Bir yüzeyin bir basit yaması, pozisyon vektörleri r =r(u,v) =x 1 i +x2 j +x3 k (1) şeklindeki 1 : 1 ve sürekli vektör değerli fonksiyonu ile verilen noktaların cümlesidir. Bir yüzeyin bir basit yaması için basit bir örnek olarak şu örneği verelim. B = [a,b] [c,d] üzerinde tanımlı bir sürekli fonksiyonf olsun. Bu durumda pozisyon vektörleri f :B R 3 r =x 1 i +x2 j +f(x1,x 2 ) k (2) ile verilen noktaların cümlesi bir yüzeyin bir basit yamasıdır. Tanım 1.1.2 R 3 ün noktalarının bir cümlesiζ olsun.ζ irtibatlı,ζ nin her P noktasının biru komşuluğu var veu nun kapanışı bir basit yama iseζ ye adi (ordinary) yüzey denir ve S ile gösterilir. Bu tanım topolojik açıdan verilmiştir ve diferensiyel geometri açısından yeterli ve kullanışlı değildir. (1) eşitliğine geri dönelim. Tanım 1.1.3 r :G ζ, G ={(u,v)} R 2 kapalı dikdörtgen bölge parametrik temsili verildiğinde, 1 )r,güzerinde birebirdir, 2 )r,güzerindes>1 sınıfındandır, 3 ) r r vektörel çarpımı G nin hiçbir noktasında sıfır değildir şartları sağlanıyorsa r ye s sınıfından kabul edilebilir bir temsil denir. Bu durumda, (r,g, R 3 ) veyar(g) R 3 bir diferensiyellenebilir yüzey denir. 3 ) şartının bir alternetifi rank [ x1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 ] p = 2, p G olarak da verilir. r :G ζ

1.1 YÜZEYLER:TANIM VE ÖRNEKLER 3 bir diğer temsil verver temsilleri r =r (u,v ) (3) u 1 =φ 1 (u,v) u 2 =φ 2 (u,v) (4) şeklindeki 1 : 1 transormasyonlarıyla birbirine bağlı olsunlar, buradaφ 1 ve φ 2 fonksiyonlarır 1 sınıfından ve görüntülerig olsun. (4) eşitlikleriyle verilen transformasyonlara r sınıfından düzgün (proper) veya allowable denir. Bir transformasyonun uygun (allowable) olması için gerek ve yeter şart (u,v ) (u,v) = φ 1 φ 2 Jakobiyen matrisinin G nin her noktasında sıfırdan farklı olmasıdır. r r vektörel çarpımının sıfır olduğu noktalara,r ile verilen parametrizasyona bağlı olarak, yüzeyin singüler noktası denir. r r vektörel çarpımının sıfırdan farklı olduğu noktaya yüzeyin regüler noktası adı verilir. Örnek 1.1.4 φ 1 φ 2 r(u,v) = (a cosu,asinu,v), G = (0, π ) (0, 1) 2 ile verilen noktalar cümlesini ele alalım. Bu noktalar cümlesi kartezyen koordinatlarda denklemi x 2 +y 2 =a 2, (x,y,z) R 3 olan dik dairesel silindirdir. r r hesaplanırsa veya [ ] x y z rank x y z = 2 olduğu tesbit edilirse r(u, v) nin bir yüzey yaması olduğu görülür. Örnek 1.1.5 r : [0, 2π] [0, 2π] R 3, r(u,v) = (cosusinv, cosucosv, sinu) bir diferensiyellenebilir yüzeydir.

4 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER Örnek 1.1.6 r(u,v) = ((c +a cosv) cosu, (c +a cosv) sinu,asinv), u,v [0, 2π) (Torus tüpünün merkezinden deliğin merkezine olan uzaklık c ve tüpün yarıçapı a olsun.) bir diferensiyellenebilir yüzeydir. Örnek 1.1.7 r(u,v) = (a sinucosv,bsinusinv,ccosu) (elipsoid) bir diferensiyellenebilir yüzeydir.

1.1 YÜZEYLER:TANIM VE ÖRNEKLER 5 Örnek 1.1.8 r(u,v) = (au cosv,bu sinv,u 2 ) (eliptik paraboloid) bir diferensiyellenebilir yüzeydir. Örnek 1.1.9 r(u,v) = (au coshv,bu sinhv,u 2 ) (hiperbolik paraboloid) bir diferensiyellenebilir yüzeydir.

6 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER 1.2 PARAMETRE EĞRİLERİ, TEĞET DÜZLEM, NORMAL ve VEKTÖR ALANLARI G R 2 üzerinde tanımlı r :G S yüzeyi verilsin. u = v = u(t) v(t) G de bir eğri olsun. Bu durumda, r =r(u(t),v(t)) tek parametreye bağlı olması, diferensiyelleneblir olması ve S üzerinde olması sonucu olarak,s yüzeyi üzerinde bir eğridir.u =u(t) vev=v(t) eğrilerini özel seçelim. u =sabit veya v =sabit alınırsa, parametrik eğriler elde edilir. r =r(u,c) r =r(c,v) } v z u y x Şekil 1.2: v sabit iken u parametredir. Eğri, v sabit eğrisi veya u parametre eğrisi olarak adlandırılır. Benzer şekilde, u sabit iken v parametredir. Eğri, u sabit eğrisi veya v parametre eğrisi olarak adlandırılır.

1.2 PARAMETRE EĞRİLERİ, TEĞET DÜZLEM, NORMAL ve VEKTÖR ALANLARI7 Yüzeyin bir regüler noktasındar 1 r 2 0 olduğundan, farklı ailelerin parametre eğrileri birbirine değmez. Parametre eğrileri için bir p S noktasında r 1,r 2 = 0, r 1 = r, r 2 = r ise eğriler ortogonaldirler. Genel bir yüzey üzerinde iki noktap veqalınsın ve bu noktaların eğrisel koordinatları (u,v) ve (u +,v +) olsunlar.p veqnun pozisyon vektörleri de r ve r +δ r ile gösterilsin. z P Q y x Şekil 1.3: PQ,Q P iken teğet doğrultusunu verir. dr = r du + r dv şeklinde belli olan ve P noktasında eğrinin teğet vektörü olan dr vektörüne yüzeyin teğet vektörü denir.dr, lineer bağımsız olan r 1 = r, r 2 = r vektörlerinin bir lineer kombinasyonudur ve bu iki vektör bir düzlem belirler. Bu düzleme S yüzeyinin P noktasındaki teğet düzlemi denir. Bu düzlemin normali (birim) N = r 1 r 2 r 1 r 2 dir.p =r(u 0,v 0 ) vex = (x,y,z) temsilci nokta olmak üzere, yüzeyin teğet düzlem denklemi (X P,r 1 (u 0,v 0 ),r 2 (u 0,v 0 )) = 0

8 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER veya açık olarak det x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 (u 0,v 0 ) = 0 şeklindedir, burada;r 1 (u 0,v 0 ) = ( x 1 r(u 0,v 0 ) = (x 0,y 0,z 0 ) dır. Örnek 1.2.1, x 2, x 3 ),r 2(u 0,v 0 ) = ( x 1 r(u,v) = (cosucosv, sinucosv, sinv), x 2, x 3 ), birim küre yüzeyininp = r( π 2, 0) noktasındaki teğet düzlem denklemini yazarak düzlemin normalini bulunuz. r( π, 0) = (0, 1, 0) 2 r 1 ( π 2, 0) = ( sinπ 2 cos 0, cosπ cos 0, 0) = ( 1, 0, 0) 2 r 2 ( π 2, 0) = ( cosπ 2 sin 0, sinπ sin 0, cos 0) = (0, 0, 1) 2 olmak üzere,p =r( π 2, 0) noktasındaki teğet düzlem denklemi (X r( π 2, 0),r 1( π 2, 0),r 2( π 2, 0)) = 0 dir ve açık şekliyle det x 0 y 1 z 0 1 0 0 0 0 1 = 0 y = 1 düzlemi elde edilir. Teğet düzlem denkleminin normali olarak bulunur. ( 1, 0, 0) (0, 0, 1) N = ( 1, 0, 0) (0, 0, 1) = (0, 1, 0)

1.3 BİRİNCİ TEMEL FORM 9 1.3 BİRİNCİ TEMEL FORM Öncelikle aşağıdaki şekli inceleyelim ve şekildeki verilere göre hareket edelim. P r1 dr Teðet düzlem r2 a(t) den; ve Şekil 1.4: P noktasındaki teğet vektörün büyüklüğünün karesi ( dr dt )2 = r 1,r 1 ( du dr dt =r du 1 dt +r dv 2 dt dt )2 + 2 r 1,r 2 du dt dv dt + r 2,r 2 ( dv dt )2 E = r 1,r 1, F = r 1,r 2, G = r 2,r 2 kısaltmasıyla, ( dr dt )2 =E( du dt )2 + 2F du dv dt dt +G(dv dt )2 olarak hesaplanır. Ayrıca, dr nin eğri üzerindeki komşu iki nokta arasındaki eğrisel uzaklık olduğu dikkate alınırsa, ; integral değeri, s(t) = t t 0 r (σ) 2 dσ P Q yayının uzunluğunu verecektir. (dr) 2 =E(du) 2 + 2Fdudv +G(dv) 2

10 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER ifadesinin, eğrinin yay parametresinden bağımsız olduğu dikkate alınırsa, bundan böyle P ve Q arasındaki eğrisel yay uzunluğu, ile verilecektir. (ds) 2 Tanım 1.3.1E(du) 2 +2Fdudv+G(dv) 2 kuadratik formuna yüzeyin birinci temel formu denir.e,f vegye yüzeyin 1. temel formunun katsayıları adı verilir. Kuadratik form pozitif tanımlıdır. Ayrıca, dır. Şöyle ki; E> 0, G>0 veeg F 2 = r 1 r 2 2 > 0 E = r 1,r 1 >0, E = r 1,r 1 = 0 r 1 = 0 G = r 2,r 2 >0, G = r 2,r 2 = 0 r 2 = 0 (İç-çarpım özelliği). EG F 2 = r 1 r 2 2 = r 1 r 2,r 1 r 2 = r 1,r 1 r 2,r 2 r 1,r 2 2 = r 1 2 r 2 2 r 1 2 r 2 2 cos 2 θ = r 1 2 r 2 2 (1 cos 2 θ) = r 1 2 r 2 2 sin 2 θ>0 (r 1 r 2 ) H = EG F 2 değişimi yapıldığında yüzeyin birim normali N = r 1 r 2 r 1 r 2 =r 1 r 2 H eşitliği ile verilebilir. Yüzey üzerinde farklı üç noktap,p 1 vep 2 ve bu noktalarp P 1,P P 2 den geçen farklı iki eğri üzerinde olsunlar vep deki (du, dv), (δu, δv) teğet doğrultuları ile karakterize edilsinler.

1.3 BİRİNCİ TEMEL FORM 11 P1 P P2 Şekil 1.5: ile Bu eğriler arasındaki α açısı iç-çarpım ve vektörel çarpım notasyonları cosα = N sinα = dr,δr dr δr dr δr dr δr olarak bellidir. dr yerine ds ve δr yerine δs alınarak, açık hesaplama yapılırsa, r 1 du +r 2 dv,r 1 δu +r 2 δv cosα = E(du) 2 + 2Fdudv +G(dv) 2 E(δu) 2 + 2Fδuδv +G(δv) 2 = r 1,r 1 duδu + r 1,r 2 (duδv +dvδu) + r 2,r 2 dvδv = Eduδu +F(duδv +dvδu) +Gdvδv ve benzer işlemler tekrarlanırsa eşitlikleri elde edilir. sinα =H(duδv δudv)

12 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER 1.4 YÜZEY ALANI Bir yüzey iki boyutlu bir geometrik nesnedir ve üzerinde iki boyutlu diferensiyel element (alan elementi) tanımlanabilmelidir. Bunun için aşağıdaki şekilde de görüldüğü gibi u,u +δu,v,v +δv eğrileri ile sınırlı sonsuz küçük paralelogramı ele alalım. (u,v+dv) (u+du,v+dv) (u,v) (u+du,v) Şekil 1.6: Vektörel cebirden bilindiği gibi, bu paralelogramın alanı da = dr δr = EG F 2 duδv δudv dir. Burada, dr ve δr yerine, parametre eğrilerinin teğet vektörleri alınırsa, d r = (du, 0), δr = (0,dv) olacağından, da = EG F 2 dudv ve sonuç olarak paralelogramın alanı, iki katlı integral notasyonlarında; EG F A = 2 dudv olarak elde edilir.

1.4 YÜZEY ALANI 13 Örnek 1.4.1 Yüzey olarakxoy düzlemini ele alalım. Bilindiği gibi parametre eğrileri, x = sabit ve y = sabit eğrileridirler. Düzlem yüzey olarak r : R 2 (u,v) R 3 r(u,v)=(u,v,0) olarak verilebilir.p = (1, 1),P 1 = (4, 1),P 2 = (1, 3) alınsın. Paralelogramı oluşturan eğriler aşağıdaki gibidir. v 3 1 1 4 u Şekil 1.7: ve Yüzey için olup, ikinci temel form r 1 = δr = (1, 0, 0) δu r 2 = δr = (0, 1, 0) δv E = r 1 2 = 1,G = r 2 2 = 1,F = r 1,r 2 = 0 ds =du 2 +dv 2 ve yüzey elementi EG F 2 = 1.1 0 = 1 olup, sınırları verilen yüzey bölgenin alanı; olarak elde edilir. A = 4 3 1 1 1dudv = 6br 2

14 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER Örnek 1.4.2 r : [0, 2π] [0, 1] (u,v) R 3 r(u,v)=(cos u,sin u,v) şeklinde verilen dik dairesel silindir yüzeyinin alanını hesaplayalım. r 1 = ( sinu, cosu, 0) r 2 = (0, 0, 1) E = r 1,r 1 = 1 G = r 2,r 2 = 1 F = r 1,r 2 = 0 Bu verilere bağlı olarak, alan; A = 2π 1 0 0 1dudv = 2πbr 2