Hamel Taban ve Boyut Teoremi

Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde de olsa, konuya yabancı olmadığını varsayıyoruz. Bu konuda türkçe yazılmış olan [7] kitabı öneririz. Bu yazıda seçme beliti kabul edilmiştir. Matematik Dünyası Dergisinin 2014-I ve 2014-II sayılarının kapak konuları vektör uzaylarıydı. Bu kapak konularında eksik olan ya da yeterince yer verilmeyen, bir vektör uzaylarda tanımlı olan boyut kavramı ve onun "büyüklüğü" idi. Bu yazının temel amacı, vektör uzaylarında boyut kavramı olacak ve "Boyut Teoremi 3 " olarak bilinen teoremi kanıtıyla birlikte vermek olacak. Bir vektör uzay, bir E kümesi üzerinde belirli özellikleri sağlayan toplama (+) ve skalerle çarma (.)işlemleri tanımlanmış olan bir (E, +,.) üçlüdür. Bu üçlü, bir yanlış anlama durumu yok ise, sadece E ile gösterilir. Vektör uzayının temel örneği R vektör uzayıdır. R vektör uzayı üzerinde tanımlı toplama ve skalerle çarpma işlemleri "bildiğimiz" işlemlerdir. R vektör uzayından üretilen doğal vektör uzay örneklerinden biri, R X, boş kümeden farklı bir X kümesinden R ye tanımlı fonksiyonlar ve her f, g R X ve α R için, (f + g)(x) := f(x) + g(x) ve (αf)(x) := αf(x) olarak tanımlanmak üzere, (R X, +,.) üçlüsüdür. Bu vektör uzayın direk toplam vektör uzayı olarak adlandırılan vektör altuzayı aşağıdaki gibi tanımlanır ve gösterilir: X R = {f R X : f 1 (R {0}) sonlu}. Her x X için χ x (y) = 1 ; x = y 0 ; x y olarak tanımlanan, x nin karakteristik fonksiyonu χ x R X, X R vektör uzayının da bir elemanı olduğu açıktır. Belli anlamlarda, X R vektör uzayını anlamak, R X vektör uzayını anlamaktan daha kolaydır. Nedeni: {χ x : x X} kümesinin doğrusal bağımsız (tanımı aşağıda verilecek) ve X R nin her elemanının sonlu tane αχ x (α R, x X) türündeki elamanlaın toplamı olarak yazılabilmesidir. Gerçekten, her f X R için, dir. Bu yaklaşımla şu soruları sorabiliriz: f = x {x X:f(x) 0} f(x)χ x (i) X boşkümeden farklı bir küme olmak üzere, R X vektör uzayını I R uzayına izomorfizma olacak biçimde I kümesi var mıdır? 1 İstanbul Kültür Üniversitesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü, Ataköy Kampüsü, Bakırköy 34156, İstanbul 2 Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gölköy Kampüsü 14280, Bolu 3 ingilizcesi Dimension Theorem. 1

(ii) I R ve J R vektör uzayları izomorfik iseler, I ve J nin kardinaliteleri arasında eşitlik ilişkisi var mıdır? (iii) I ve J kümelerinin kardinaliteleri eşit ise, yani I dan J ye tanımlı birebir ve örten fonksiyon var ise, I R ve J R vektör uzayları izomorfik midirler? (iv) (i) nin yanıtı evet ise, soruyu genelleybiliriz: Her E vektör uzayı, bir direk toplam vektör uzayına izomorfik midir?". Bu yazıda yukarıdaki soruların yanıtlarının evet olduğu gösterilecektir. Yazıyı ayrıcalıklı yapan ve yayınlanmasının "yararlı" olabileceğinin nedeni, Hamel tabanların kardinalitelerinin aynı olduğunun yaygın olarak bilinmiyen bir kanıtının verilmesi olacak. Bu kanıt J. T. Moore [6] ye aittir. 2 Hamel Tabanı Her şeyin bir omurgası vardır. Vektör uzayın da omurgası vardır ama biz ona "taban" ya da "baz" diyeceğiz. Tanımı aşağıda. Tanım 2.1. E, sıfırdan farklı bir vektör uzayı olmak üzere, S E {0} kümesi s i S, α i R, α 1 s 1 +... + α 1 s 1 = 0 = α 1 =... = α n = 0 özelliğindeyse, S, kümesine doğrusal bağımsız denir. Yukarıdaki gerektirme ifadesinde i j için s i s j olduğunu varsayıldığına okuyucu dikkat etmeli! Tanım 2.2. E, sıfırdan farklı bir vektör uzayı olmak üzere, S E için < S >:= { n i=1 α i s i : n N, α R, s i S} olarak tanımlanan E nin vektör altuzayına, S tarafından üretilen vektör altuzay denir. Bir E vektör uzayında her S X için, < S > vektör alyuzayının, S yo kapsayan bütün vektör altuzayların arakesiti olduğunu kolayca gösterebilir. Vektör uzayında taban kavramını tanımlamaya hazırız. Tanım 2.3. E sıfırdan farklı bir vektör uzayı olsun. B E kümesi doğrusal bağımsız ve S tarafından üretilen vektör altuzay E ye eşitse, yani < B >= E ise, B ye E vektör uzayının Hamel tabanı denir. Yukarıda tanıma göre sıfırdan farklı bir vektör uzayın tabanı boş küme olamaz. Ama kavram bütünlemesi açısından sıfır vektör uzayının Hamel tabanını boş küme olarak tanımlayabiliriz. Örnek 2.4. X sonsuz bir küme olmak üzere, H := {χ x : x X} diyelim. H R X doğrual bağımsız fakat Hamel taban değildir. Buna karşılık H, X R vektör uzayının bir Hamel tabanıdır. 2

3 Her Vektör Uzayın Hamel Tabanı vardır "Her vektör uzayın tabanı var mıdır?" sorusunun yanıtını, Zorn Önsavı kullanarak olumlu olarak yanıtlayabileceğiz. Teorem 3.1. (Zorn Önsavı) Her zinicirinin bir üst sınırı olan kısmı sıralı kümenin bir maksimal elemanı vardır. Yukarıdaki teoremini bir kanıtı [4] de bulunabilir. Teorem 3.2. ( Löwig[5] 4 )Her vektör uzayın bir Hamel tabanı vardır 5. Kanıt. E vektör uzay olsun. E = {0} olma durumunda E nin Hamel tabanını boş küme olarak tanımlamıştık. E {0} olduğunu varsayalım. Bu durumda E nin boşkümeden farklı doğrusal bağımsız bir B alt kümesi vardır. (Örneğin, 0 x E olmak üzere B = {x} alabiliriz. ) P = {A E : B A ve doğrusal bağımsız} kümesi, B yi içerdiğinden boş kümeden farklıdır. P, kapsama sıralamasına göre, yani A B : A B sıralaması ye göre kısmı sıralı bir kümedir. C P bir zincir ise, B = C kümesi P nin bir elemanı ve C zincirinin bir üst sınırıdır. Zorn Önsavı gereği P nin bir maksimal elemanı vardır, bunu B ile gösterelim. x E olmasına karşın, x < B > olduğunu varsaydığımızda, B {x} P, B < B elde edilirki, bu B nin maksimal olmasıyla çelişr. O halde < B >= E dir. Böylece B, E vektör uzayının bir Hamel tabanıdır. Yukarıdaki teoremin bir uygulaması olarak, yukarıdaki sorulan sorulardan (iv) nin yanıtını aşağıdaki gibi verebiliriz. Sonuç 3.3. E sıfırdan farklı bir vektör uzay ise, E ve B R vektör uzaylarını izomorfik yapan B kümesi vardır. Kanıt. B E kümesini, E nin Hamel tabanı olarak almak yeterlidir. Bunun bir sonucu olarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz. Sonuç 3.4. X boş kümeden farklı ise, R X ve I R vektör uzaylarını izomorfik yapan bir I kümesi vardır. Bu yukarıda sorulan (i) nin yanıtıdır. Bir vektör uzayından R ye tanımlı her doğrusal dönüşüme fonksiyonel denir. E de tanımlı fonksiyonellerin kümesi, noktasal toplama ve noktasal skalerler çarpma işlemleri altında, yani fonksiyoneller f, g E ve α R için, 4 [2] de Löwig için "unutulmuş matematikçi" diye yazar. 5 Her vektör uzayın Hamel tabanının var olması seçme belitine denktir. Bunun kanıtı MD de bir başka yazının konusu olmalı! 3

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) := αf(x) f + g ve αf ler fonksiyonellerdir ve bu işlemlere göre fonksiyoneller kümesi vektör uzaydır ve E nin cebirsel duali denir. E nin cebirsel dualini E ile gösterelim. E, R E vektör uzayının altuzayıdır. Alıştırma 3.5. Bir E vektör uzayın cebirsel duali E nın sıfırdan farklı olması için gerekli ve yeterli koşulun E nin sıfırdan farklı olması olduğunu gösteriniz. Bir vektör uzayın Hamel tabanının varlığını gösteren yöntem kullanılarak aşağıdaki problem çözülebilir. Alıştırma 3.6. H R için, H Q = {f Q H : f 1 (Q {0}) olarak tanımlansın. α Q, f, f H Q için sonlu} (f + g)(x) = f(x) + g(x) ve (αf)(x) = αf(x) olarak tanımlanmak üzere f + g, αf H Q olduğu bariz. Aşağıdakilerin doğruluğunu gösteriniz: (i) Her x, y R ve α Q için T (x + y) = T (x) + T (y) ve T (αx) = αt (x) özelliğini sağlayan H R ve birebir ve örten T : R H Q fonksiyonu vardır. (ii) R den kendisine tanımlı ve her x, y R için f(x + y) = f(x) + f(y) eçitliğini sağlayan ve doğrusal olmayan f fonksiyon vardır. F ve G, E vektör uzayın alt uzayları ise F + G = {x + y : x F, y G} bir vektör altuzaydır. F G = {0} olması durumunda F + G yerine F G yazarız. Bu durumda F G ye E ve F nin direk toplamı denir. Ayrıca F G vektör uzayı E F çarpım vektör uzayına izomorfiktir. Alıştırma 3.7. W, F ve G, E vektör uzayının, E = W G = W F özelliğinde vektör altuzayları ise, G ve F alt uzaylarının izomorfik olduklarını gösteriniz. Aşağıdaki teoremin kanıtı kolay ve okuyucuya bırakılmıştır. Teorem 3.8. F, E vekör uzayının altvektör uzayı ve B, F nin bir tabanı olsun. B yi kapsayan E nin bir S tabanı vardır ve dir. E = F < S B > 4

4 Boyut Teoremi E vektör uzayının sonlu bir A tabanı var ise, diğer bütün tabanların eleman sayısı, A kümesinin eleman sayılarına eşittir. Konuyla ilgili bütün kitaplarda bu sonuçlar vardır ve üniversite lisans öğrencilerine kanıtıyla verilir. Aslında bu sonuç bütün vektör uzayları için doğru olsa da, bu yazıda yer alacak "klasik" olan kanıtda kullanılan yöntem nedeniyle olsa gerek, matematik lisans öğrencilerine ö gretilmez. Buna karşın, bu yazıda vereceğimiz, J. T. Moore [6] ye ait olan kanıt, lisans öğrencilerine okutulabilcek niteliktedir. A bir küme ise, A nin kardinalitesi A ile gösterilir. A kümesinden B kümesinin tanımlı birebir fonksiyon var ise, A B yazarız. A = B olması ise, A dan B ye tanımlı birebir ve örten fonksiyonun olması anlamındadır. A B ve B A ise, A = B dir. Bu sonuç Cantor-Schröder-Bernstein Teoremi olarak bilinir ve bir kanıt [3] de bulunabilir. Aşağıda ifadesi verilen Boyut Teoremi nin klasik kanıtında bu teorem kullanılır. Bu yazıda verilecek olan kanıtta ise kullanılmayacaktır. A ve B iki küme olsun. A = B ise, A R ve B R vektör uzaylarının izomorfik olduğunu göstermek kolaydır. Peki, A R ve B R vektör uzayları eş yapılı ise A = B mi dir? Bunun yanıtı evettir ve yukarıdaki sonuç kullanılarak, bir vektör uzayın Hamel tabanlarının kardinalitelerinin eşit olduğunu söyler. Bir E vektör uzayından kendisine tanımlı doğrusal dönüşümlerin kümesini L(E) ile gösterelim. Teorem 4.1. (Löwig [5],Boyut Teoremi) A ve B, E vektör uzayının Hamel tabanları ise A = B dir. Kanıt. (Moore[6]) W, A W ve B W kümeleri Hamel tabanı olan, E vektör uzayının alt vektör uzay W lerin kümesini göstersin. W W olmak üzere, T A W : A W B W birebir ve örten özelliğinde olan T L(W ) doğrusal dönüşümlerin kümesini P ile gösterelim. W = {0} W ve sıfır liner dönüşümü P de olduğundan, P boş kümeden farklıdır. W W ve P de verilen bir T L(W ) için W = dom(t ) yazalım. T, S P için, S T : dom(s) dom(t ) ve T dom(s) = S olarak tanımlanan ilişkisine göre (P, ) kısmi sıralı bir kümedir. P de her zincirin bir üst sınırı vardır: C P bir zincir olsun. olarak tanımlıyalım. Her S C için W = S C dom(s) T : W W, T dom(s) = S özelliğinde T fonksiyonunu tanımlıyalım. Gerçekten, C nin bir zincir olması nedeniyle bu özellikte bir fonksiyon tanımlanabilir. Üstelik W W ve T P dir. T nin C zincirinin bir üst sınırı olduğu da bariz. Zorn Önsavı gereği, P nin bir maksimal elemanı T vardır. T nin tanım kümesini W ile gösterelim. E = W V = W < A (A B) >= W < B (A B) > özelliğinde V vektör altuzayı vardır. Iki durum sözkonusu: Birinci Durum. V sonlu boyutlu: 5

E = W < A (A B) >= W < B (A B) > olacağından V, < A (A B) > ve < B (A B) > vektör altuzayları izomorfik ve sonlu boyutludur. Sonlu boyutlar için Boyut Teoremi (sonlu boyutlar için bildiğimizi varsayıyoruz!) gereği, dir. Ayrıca, olmasından elde edilir. A (A W ) = B (B W ) A W = B W A = B Ikinci Durum. V sonsuz boyutlu: Bu durumda E = W + F özelliğinde sonlu boyutlu E nin vektör altuzayı F yoktur. Bunun sonucu olarak, aşağıdaki özellikte A W nin sonlu altkümelerinin (A n ) dizisi ve B W nin sonlu alt kümelerinin dizisi (B n ) vardır. Her n N için: - A n A n+1 ve B n B n+1. - A n A n+1. - A n < B n >. - B n < A n+1 >. Bu iki dizinin inşasına şöyle başlayabiliriz: x E W verilsin. x < A 1 > oözelliğinde sonlu A 1 A vardır. Her a A 1 için a < C a > özelliğinde sonlu C a B seçebiliriz. b B C a, b A B elemanı da seçebiliriz. B 1 = {b} a A1 C a alabiliriz. B 1 W olmadığı bariz. Bu yöntemle devam ederek, tümevarımla istenilen özellikte diziler elde edilir. ve A = ( i=1a i ) W B = ( i=1b i ) W olarak tanımlansın. A ve B kümeleri sayılabilir sonsuz kümelerdir. olduğu bariz. W =< W A >=< W B > f : A B birebir örten fonksiyon olmak üzere, T doğrusal dönüşümü, W vektör altuzayına her a A için T (a) = f(a) özelliğini sağlayacak biçimde genişletilebilir. Ayrıca olduğundan, T (W (A B)) = T (W (A B)) = T (W (A B)) 6

T A B : W (A B) W (A B) birebir ve örtendir. Dolayısıyla (T, W ) P ve (T, W ) < (T, W ) olur ki, bu (T, W ) nin maksimal olmasıyla çelişir. Ve Kanıtı tamamlanır. Yukarıdaki teoremin sonucu olarak aşağıdaki tanımı verebiliriz. Tanım 4.2. E bir vektör uzayı ve H, E nin Hamel tabanı olsun. B ye E nin boyutu denir ve dim(e) ile gösterilir. 5 Klasik Kanıt Her ne kadar yukarıda verilen kanıtın klasik kanıttan daha analşılır ve kolay olduğunu ve lisans öğrencilerinin anlayabiliceği seviyede de olduğunu, yazarlar olarak ifade etmiş olsak da, bazı okuyucular aynı görüşte olmayabilirler. Karşılaştırma imkanı vermek aşından, Boyut Teoreminin klasik kanıtı olarak bilinen kanıtını detaya girmeden bahsedilmesi yazıyı daha bütün yapacaktır. Kanıt. (Klasik Kanıt 6 ) Aşağıdaki adımları takip edelim: - S sayılabilir bir küme ise S N = S dir: f : N N N, f(k, n) = 2 k 3 n olarak tanımlanan fonksiyonun birebir ve dolayısıyla N N N dir. N N N olduğu bariz. İstenilen elde edilir. - Aşğıdaki kümeyi tanımlayalım. A = {(S, f) : S A, sayılabilir ve f : S N S birebir ve örten}. A sonsuz olduğundan, A nın sayılabilir sonsuz alt kümesi vardır. Dolayısıyla A. Üstelik, A, (S, f) (T, g) : S T ve g S = f sıralamsına göre A, kısmı sıralı bir küme ve her zincirin bir üst sınırı vardır. Dolayısıyla Zorn Önsavı gereği, A nın (R, ϕ) maksimal elemanı vardır. - A R sonludur: Varsayalım ki sonsuz. S A R sayılabilir sonsuz küme seçebiliriz. R = R S diyelim. g : S N S birebir ve örten fonksiyon olsun. π : R N R π(r, n) = ϕ(r, n) ; (r, n) R N g(r, n) ; (r, n) S N π birebir ve örten olduğundan (R, π) A ve (R, ϕ) < (R, π) dir ki, bu (R, ϕ) nin maksimal olmasıyla çelişir. - Y R sayılabilir sonsuz bir küme olsun. 6 Bu kanıt [1] den alınmıştır. 7

olduğundan birebir ve örten fonksiyonu vardır. [(A R) Y ] N = [ϕ(y N) (A R)] h : [(A R) Y ] N [ϕ(y N) (A R)] - A N = A : σ : A N A fonksiyonu σ(x, n) = ϕ(x, n) ; (x, n) (R Y ) N h(x, n) ; (x, n) [(A R) Y ] N σ birebir ve örten fonksiyon olduğundan, istenilen elde edilir. - Her x X için özelliğunde tek bir tane kümesi vardır. - B = x A B(x) dir. - B A N : α : A N B fonksiyonu x = y B(x) α y y B(x) = {y x 1,..., y x k x } B y x α(x, n) = 1 ; n > k x yn x ; 1 n k x eşitliğiyle tanımlansın. α fonksiyonu örtendir. Dolayısıyla B A N dir. - A = B : B A N = A olduğunu yukarıda gösterildi. Benzer biçimde A B. Cantor-Schröder-Bernstein Teoreminden A = B elde edilir. 6 Temel Örnekler E bir vektör uzayı ve E > R ise dim(e) = E olduğunun [5] de kanıtlandığını bir bilgi olarak söyleyelim. Bunun bir sonucu olarak dim(r R ) = R R. Bunun yanında E = R durumu için dim(e) = E eşitliği olabilir de, olmayabilir de. Örneğin dim(r N ) = R N, dim(r) R. 8

Bu kısımda R N ve R R vektör uzaylarının boyutlarının sırasıyla R ve R R olduklarını göstereceğiz. Bu umarim yazıyı bütünler. Aşağıda verilen teoremlerin kanıtlarinda geçen kardinal sayılarla ilgili işlemler için MD 2006-3 öneririlir. Teorem 6.1. dim(r N ) = R dir. Kanıt. Her r R için, Q de r ye terimleri birbirinden farklı ve artarak yakınsayan (r n ) dizisi seçelim. Elemanları bu dizinin terimleri olan kümeyi Q r ile gösterelim. diyelim. r s özelliğindeki her r, s R için olduğu da barizdir. Böylece, A r = {n N : r n Q r } A r A s ve A r A s < A = {A r : r R} olmak üzere R = A dır. A nin doğrusal bağımsız olduğunu gösterelim: Varsayalım ki değil. Bu surumda χ A = i I c i χ Ai özelliğinde sonlu F kümesi ve A, A i A lar vardır. diyelim. P kümesi sonsuzdur. n P için P = A ( i F (A A i )) 1 = χ A (n) = i I c i χ Ai (n) = 0 çelişkisi elde edilir. Böylece A nın doğrusal bağımsız olduğu gösterilmiş olur. R = A dim(e) E = N R = R eşitsizliğinden dim(e) = R olduğu gösterilmiş olur. Teorem 6.2. dim(r R ) = R R. Kanıt. E = R R diyelim. D = {χ x : x R}, E nin doğrusal bağımsız kümesi olduğundan, D yi kapsayan bir B Hamel tabanı vardır. Her n, m için olduğundan D = R B. (B R) n = (B R) m = B R E n N (B R) n ) = N (B R) n = N B R = N ( B R ) = N B = B E. Buradan elde edilir. dim(e) = E 9

Kaynaklar [1] C. D. Aliprantis, K. C. Border, Infinite dimensional analysis, A hitchhiker s guide. Third edition. Springer, Berlin, 2006. [2] M. Becvarova, The foggotten Mathematician Henry Lowig, Dejiny Matematiky/History of Mathematics, 52. Matfyzpress, Prague, 2012. [3] Cantor-Schröder-Bernstein Teoremi, Matematik Dünyası, 2006-III, 33-35. [4] T. Karayayla, Hausdorff Zincir Teoremi ve Zonn Önsavı, MD 2006-II, 43-46. [5] H. Löwig, Über die Dimension linearer Röume, Studia Mathematica, vol. 5(1934), p.18-24. [6] J. T. Moore, A Zorn s lemma proof of the dimension theorem for vector spaces, Amer. Math. Monthly 121(1014), no. 3, 260-262. [7] T. Terzioğlu, Fonksiyonel Analizin Yöntemleri, Matematik Vakfı, Istanbul, 1998. 10