Yıldız Teknik Üniversiesi İkisa Bölümü Ekonomeri II Ders Noları Ders Kiabı: J.M. Wooldridge, Inroducory Economerics A Modern Approach, 2nd. ed., 02, Thomson Learning. Zaman Serisi Modelleri: Birim Kök Tesleri, Eşbüünleşme, Haa Düzelme Modelleri Birim Kök Tesleri Bir sokasiksürecin birim kök içerip içermediğini nasıl anlarız? Haırlarsak aşağıdaki AR() sürecinde y = α + ρy + e, ρ < Rhoparameresi geçmiş değerlere olan bağımlılığın derecesini belirliyordu: Corr( y, y h) h = ρ İki AR() Süreci ve Korelogramı Yüksek Kalıcılığı Olan AR() Süreçlerine Örnekler Random Walk AR() modelinde α = 0, ρ = olduğunda randomwalksüreci elde edilir. y = y + e, e whie noise Sürüklenme eriminin sıfır olmadığı durumda ise random walk wih drif süreci elde edilir: y α + e = + y Bu iki sürecin özelliklerini daha önce öğrenmişik. Bu süreçler durağan değildi. Ancak birinci farkları alındığında durağan hale geliyordu. I() vs I(0) Birinci farkı alındığında durağan hale gelen, yani I(0) olan, zaman serilerine I() seriler adı verilir. Randomwalksürecinin, I(), birinci farkı alınırsa bir I(0) seri olan w.n. süreci elde edilir: y = y y = e e, whie noise Benzer şekilde bir random walk wih drif sürecinin birinci farkı I(0) bir seridir: y = y y = α + e Bu serilere fark-durağan (differencesaionary) seriler adı da verilir.
Trend-durağan seriler Bir rend-durağan seri rendden arındırıldığında durağan hale gelir y β 0 + β + = e 60 40 Random Walk Sürecinin Üç Farklı Realizasyonu x() = x(-) + e() Fark-durağan bir seriyle rend-durağan bir seriyi birbirinden ayırmak kolay değildir. Çünkü sürüklenme erimli bir randomwalksüreci deerminisikrend izleyen bir seriye benzer özellikler göserir. Regresyonda durağan olmayan serileri kullanmamız mümkün olmadığından uygun dönüşürmeler kullanılarak durağanlaşırılmaları gerekir. Birim kök esleri bu amaçla gelişirilmişir 0 - -40-60 0 00 0 300 400 500 600 700 800 900 000 Random Walk wih Drif Sürecinin Üç Farklı Realizasyonu x() = 0.5 + x(-) + e() 70 Random Walk wih Drif Sürecinin Üç Farklı Realizasyonu x() = 0.5 + x(-) + e() 00 80 60 50 Random Walk wih Drif Deerminisic Trend 60 40 40 30 0-0 40 60 80 00 40 60 80 0 0 0-0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 Birim Kök Tesleri Bu eslerde başlangıç nokamız yine AR() modelidir: y α + ρy + e = Burada e() bir maringale-fark dizisidir: e() sıfır beklenili iidbir seri ve y0 başlangıç değerinden bağımsızdır. Sıfır ve karşı hipoezlerimiz şöyledir: Birim Kök Tesleri Aslında sıfır ve alernaif hipoezlerimiz şu şekilde de ifade edilebilir: H0 : I() vs H: I(0) Tesi yapmak için denklemde her iki arafan y(-) çıkarılırsa elde edilir. Sıfır ve alernaif hipoezler şöyle olur: 2
Birim Kök Tesleri DF Dağılımı Ancak bu hipoez -esi ile sınanamaz. Çünkü nullhipoezi alında -oranının dağılımı -dağılımı değildir. Bu dağılıma Dickey-Fuller (DF) dağılımı adı verilir. Bu dağılım -dağılımına göre daha sola çarpıkır. Birim kök hipoezini es emek için -oranını hesaplayıp DF dağılımından uygun değerlere bakabiliriz. DF Birim Kök Tesi DF Birim Kök Tesi Karar kuralı: -oranı ilgili anlamlılık düzeyindeki kriik değerden daha küçükse birim kök hipoezi reddedilir (Sol kuyruk esi) Birçok ekonomeri pake programı bu kriik değerleri vermeke ya da p-değerlerini hesaplamakadır. P-değeri yeerince küçükse serinin durağan olmadığını söyleyen hipoez alernaif lehine reddedilir. Tes Regresyonunda Zaman Trendinin olmadığı durumda Kriik Değerler DF Birim Kök Tesi: Örnek 3-aylık hazine bonosu faiz oranlarında birim kök var mı? (inqr.gd) Genişleilmiş Dickey-Fuller (ADF) Tesi (Augmened Dickey-Fuller) Modelimizde daha karmaşık dinamiklere izin verilmesi mümkündür. Amaç kalınıların ookorelasyonsuz hale geirilmesidir. Bu amaçla modele bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri eklenebilir (genişleilebilir). Örneğin Genel olarak Bu regresyonda y(-) kasayısının -oranı hesaplanarak DF kriik değerleriyle karşılaşırılır. 3
ADF Birim Kök Tesi: Örnek Enflasyon serisinde birim kök var mı? (phillips.gd) Zaman Trendli ADF Birim Kök Tesi Açık bir zaman rendi akip eden serilere ADF birim kök esi yapılmak iseniyorsa es regresyonuna rendin eklenmesi gerekir: Boş hipoez alında seri RW wihdrifsüreci akip eder, yani I() bir seridir. Alernaif hipoez alında seri rend çevresinde durağandır (rend-durağan süreç) Zaman Trendli ADF Birim Kök Tesi Zaman rendi eklendiğinde ADF esinin kriik değerleri değişir: ADF Birim Kök Tesi: Örnek 987 sabi fiyalarıyla GSYİH serisi durağan mı? 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 9.8 9.6 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 LNRGDP ADF Birim Kök Tesi: Örnek Null Hypohesis: LNRGDP has a uni roo Exogenous: Consan, Linear Trend Lag Lengh: 0 (Auomaic based on SIC, MAXLAG=) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic -2.70779 0.2362 Tes criical values: % level -4.065702 5% level -3.46686 0% level -3.572 *MacKinnon(996) one-sided p-values. Sahe Regresyon (Spurious Regression) Kesi-veri ile regresyon analizinde y ve x arasında sahe ilişki ya da sahe regresyon problemi bu değişkenler üçüncü bir değişken aracılığıyla ilişkili olduklarında karşımıza çıkıyordu. y ve x ilişkili görünseler de üçüncü değişkenin ekisi arındırıldığında (konrol edildiğinde) aralarındaki ilişki kayboluyordu. Zaman serileriyle regresyon analizinde de benzer bir problem karşımıza çıkmakadır. y ve x azalan ya da aran bir zaman rendine sahiplerse ikisi arasında anlamlı bir ilişki bulunabilir. Aslında ilişkili olan serilerin akip eiği zaman rendidir. 4
Sahe Regresyon (Spurious Regression) Eğer seriler zayıf-bağımlı ve rend çevresinde durağanlarsa bu problem regresyona rend değişkeni eklenerek çözülebilir. Ancak seriler rend-durağan değil de fark-durağan ise regresyona rend eklemek problemi çözmez. Basi regresyon modelinde birbirinden bağımsız I() seriler kullanılırsa -isaisikleri anlamlı sonuçlar verebilir. R2 yüksek çıkabilir. Aslında iki seri arasında hiçbir ilişki yokur. Ancak regresyon sonuçları bunu yansımaz. Sahe Regresyon (Spurious Regression) Her iki seri bağımsız I() olsun Basi regresyon modelini düşünelim Bu modelde eğim kasayısının %5 düzeyinde anlamlılığını es emek isediğimizde bu işlemi çok sayıda ekrarlasak bunların %95 inde boş hipoezi kabul ememiz gerekir. Ancak yapılan simülasyon deneylerinde -isaisiğinin nominal düzeyden çok daha yüksek redsıklığına sahip olduğu bulunmuşur. Buna spuriousregression problemi denir. Sahe Regresyon (Spurious Regression) Sahe regresyon: y ve x hiçbir şekilde ilişkili olmadığı halde isaisiği anlamlı ve R2 yüksek Problemin kaynağında H0 alında y serisinin random walksüreci akip emesi ve -rasyosununasimpoik -dağılımına sahip olmaması bulunmakadır. Benzer şekilde böyle bir regresyonda R2 populasyon değerine yakınsamaz. Yakınsadığı değer aslında rassalbir sayıdır. Bu rassal sayının büyük bir değer alma olasılığı oldukça yüksekir. Sahe regresyonda R2 nin yüksek çıkma sebebi budur. Sahe Regresyon (Spurious Regression) Bu problemin praik önemi oldukça açıkır. Uygulamada ekonomik değişkenlerin seviyeleriyle kuracağımız regresyonlarda oldukça dikkali olmamız gerekir. Çünkü birçok ekonomik zaman serisi I() olma eğilimindedir. Bu nedenle sahe regresyon kurma ehlikesi mevcuur. Peki hangi durumda I() bir değişkeninin yine herbiri I() olan açıklayıcı değişkenler üzerine regresyonu bize doğru bilgiyi verir? Eşbüünleşme (Coinegraion) I() değişkenler uzun dönem ilişkisini yansıacak şekilde ilişkiliyse, ya da eşbüünleşikise, sahe regresyon problemi oradan kalkar. Yine basi regresyon modelini düşünelim. Hem y hem de x I() değişkenler olsun. Eğer bunların bir doğrusal kombinasyonu I(0) ise yani durağansa bu iki seri eşbüünleşikserilerdir (coinegraed). Eğer böyle bir sıfır olmayan bea kasayısı varsa buna eşbüünleşmekasayısı denir. Eşbüünleşme (Coinegraion) Eşbüünleşme modellerinde serilerin uzun dönem ilişkisinden sapmaları mümkündür. Ancak bunlar kısa dönemli durumlardır ve ilişkinin yapısına bağlı olarak uzun dönem dengesine belli bir hızda ulaşılır. Örnek: Lawof OnePrice P = a + b P2 Örnek: Mulak PPP 5
40 35 30 25 örnek Eşbüünleşme (Coinegraion) İki serinin koenegre olup olmadığını nasıl anlarız? Engle-Granger eşbüünleşme esi adımları: İkisadi modele uygun olarak OLS regresyonunu kur ve eşbüünleşmekasayısını ahmin e 5 0 5 0-5 0 40 60 80 00 40 60 80 0 Bu regresyondan elde edilen kalınılara ADF birim kök esi uygula. H0: kalınılar birim kök içeriyor (seriler koenegre değil) Hipoezi reddedilirse, yani kalınılar durağansa bu iki seri koenegredir. Eşbüünleşme (Coinegraion) Dikka edilirse H0 alında sahe regresyon kurulmakadır. Tesi yaparken aşağıdaki kriik değerleri kullanmak gerekir. Eşbüünleşme (Coinegraion) Eğer serilerde açık bir zaman rendi varsa modele eklenebilir: Bu durumda uygun kriik değerler aşağıdaki abloda verilmişir (Wooldridge, s.589): Eşbüünleşme: Örnek Doğurganlık oranı (gfr) ile vergi eşvikleri (pe) koenegremi? Model 6: OLS, using observaions 95-984 (T = 70) Dependen variable: d_uha coefficien sd. error -raio p-value ------------------------------------------------------- cons -0.83045 0.6743-0.2726 0.7860 uha_ -0.8669 0.0489389-2.425 0.080 ** d_uha_ 0.244979 0.6958 2.095 0.0400 ** %0 c=-3.5 No coinegraion Eşbüünleşme: Örnek 3 aylık ve 6 aylık faiz oranları koenegre mi? r3: 3-aylık hazine bonosu faiz oranı r6: 6-aylık hazine bonosu faiz oranı Arbiraj nedeniyle bu iki faiz oranı arasındaki fark, ya da spread, fazla açılmayacakır Uzun dönem ilişkisi Olarak yazılabilir. Bu ilişkiden sapmalar arbiraj nedeniyle kısa dönemli olacakır. 6
Eşbüünleşme: Örnek 3 aylık ve 6 aylık faiz oranları koenegre mi? 8 r3 r6 6 Eşbüünleşme: Örnek 3 aylık ve 6 aylık faiz oranları koenegre mi? Bu iki seri I() serilerdir. 4 2 0 8 6 4 2 950 955 960 965 970 975 980 Yukarıdaki ilişkinin sahe olmadığından emin olmak isiyorsak koenegrasyonesi yapmamız gerekir. Engle-Grangerkoenegrasyonesi modelin OLS ile ahmini ve kalınılara ADF esi yapılmasına dayanır. Ancak kriik değerler ADF kriik değerlerinden farklıdır. (Tablolar daha önce verilmişi) Eşbüünleşme: Örnek 3 aylık ve 6 aylık faiz oranları koenegre mi? OLS regresyonu Tes regresyonu OLS, using observaions 95:2-980:4 (T = 9) Dependen variable: d_uha coefficien sd. error -raio p-value ----------------------------------------------------------- cons -3.45587e-05 0.022900-0.00509 0.9988 uha_ -0.82633 0.60728-5.056.67e-06 *** d_uha_ 0.053596 0.49446 0.3437 0.737 d_uha_2 0.5066 0.3286.543 0.255 d_uha_3 0.25392 0.904.053 0.2944 d_uha_4 0.7844 0.093734.903 0.0595 * Haa Düzelme Modelleri (Error Correcion Models) İki ya da daha fazla seri arasında uzun dönem koenegrasyonilişkisi varsa bu ilişkiyi yansıan dinamik modeller gelişirilebilir. Örneğin koenegreolmayan I() seriler kullanılarak.farklarla şu model ahmin edilebilir. Tüm değişkenlerin I(0) olduğuna dikka ediniz. Bu aslında daha önce gördüğümüz FDL modelidir. Paramereler FDL modellerinde olduğu gibi yorumlanabilir. Haa Düzelme Modelleri (Error Correcion Models) Eğer seriler koenegreise yani aşağıdaki gibi bir koenegrasyonilişkisi mevcusa Haa Düzelme Modelleri (Error Correcion Models) EC modelleri y ile x arasındaki ilişkinin kısa-dönem dinamiklerini incelememize olanak anır. Basilik amacıyla aşağıdaki modeli düşünelim Önceki slayaki modele bu erimin gecikmeleri eklenebilir: Bu modele Haa Düzelme Modeli (ECM) denir. Burada Haa düzelme erimidir (error correcion erm) Negaif olması nedeniyle ilişkiden sapmaları dengeye geirmekedir. ECM OLS yönemiyle kolaylıkla ahmin edilebilir. Ancak önce koenegrasyon ilişkisinin ahmin edilmesi gerekir. 7
Haa Düzelme Modelleri (ECM) İki değişkenli EC modelleri genel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir: p y = γ 0 + αe + φ i y i + ϕ i x i + error i= p q i= x = γ + α 2e + φ2i y i + ϕ2i x i + error i= q i= Eğer bu kasayılar birlike anlamlıysa x, y nin Granger-nedenidir. F-esiyle sınanabilir Speed of adjusmen parameer Uzun dönem dengesine ulaşma hızı. Bunlardan En az biri isaisik bakımından anlamlı olacakır. Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Wagner hipoezinin bir versiyonu reel hüküme harcamaları (G) ile kişi başına reel gelir (Y/N) arasında uzun dönemli poziif bir ilişki olduğunu söylemekedir: = β β ln( Y / N) + ε ln( G) 0 + Yani yukarıdaki modelde değişkenler arasında bir koenegrasyonilişkisi olmalı ve eğim kasayısı poziif olmalıdır. Birim kök esleri sonucunda her iki değişkenin I() olduğu sonucuna varılmışır. Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Engle-Grangeres regresyonu aşağıdaki gibi ahmin edilmişir: ln( G) = 7.27 + 2.86 ln( Y / N) + εˆ Kalınıların ADF es isaisiği -3.587olarak bulunmuşur. %5 düzeyinde anlamlıdır. Yani serilerin koenegre olmadığını söyleyen Ho reddedilmişir. Kasayı poziif bulunmuşur. Bu bulgular Wagner Hipoezi ile uyumludur. Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Wagner Kanunu Tahmin edilen koenegrasyon ilişkisi: e = lng 7.27 2.86ln / ln G = 0.064 0.879 e ln ( Y N ) Haa düzelme modeli: Gecikmeli değerler anlamsız olduğundan Modelden çıkarılmışır. ( Y / N ) = 0.0246 + 0.0538e ECM kasayı ahminleri isaisik bakımından anlamlı bulunmuşur. Ancak birinci denklemde negaif işareli ve İkincisine göre daha büyük bir ekiye sahipir. Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Bekleni Hipoezi hy6(): 3-aylık elde uma geirisi: (-) zamanında 6- aylık bir hazine bonosu alır ve zamanında (yani üç ay sonra) 3-aylık bono olarak saarsak elde edeceğimiz geiri hy3(-): (-) zamanında 3-aylık hazine bonosu alırsak elde edeceğimiz geiri hy3(-): bu geiri (-) zamanında biliniyor hy6(): bu geiri ise (-) zamanında bilinmiyor çünkü dönemindeki 3-aylık hazine bonosu fiyaı bilinmiyor Bekleni hipoezine göre bu iki yaırım sraejisinin geirisi aynı olmalıdır. (arbiraj nedeniyle) Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Bekleni Hipoezi Yani üm bilgi kümesine koşullu olarak aşağıdaki bekleni geçerlidir Bu hipoez aşağıdaki model çerçevesinde es edilebilir: hy6() ve hy3(-) koenegre mi? Eğim kasayısı=?? 8
Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Bekleni Hipoezi Engle-Grangeresi bu iki serinin koenegreolduğuna işare emekedir. Öyleyse aşağıdaki gibi bir ECM kurulabilir: Tahmin sonuçları: 9