Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi A 1, 2 Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 17 (2017) 021302 (488-493) AKU J. Sci.Eng.17 (2017) 021302 (488-493) DOI: 10.5578/fmbd.57497 Araştırma Makalesi / Research Article A 1, 2 (G, A) Uzayı ve Bazı Özellikleri İsmail Aydın Sinop Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Sinop, TÜRKİYE. e-posta: iaydin@sinop.edu.tr Geliş Tarihi: 04.10.2016 ; Kabul Tarihi: 07.08.2017 Anahtar kelimeler Vektör-Değerli Amalgam Uzayları, Tensör Çarpım,Banach Modül. Özet Bu makalede, ilk önceklasik vektör-değerli amalgam (L p (G, A), l ) uzaylarının tanımı yeniden hatırlatıldı ve bu uzaylarhakkında bazı bilgiler verildi. İkinci olarak, A 1, 2 (G, A) uzayı tanımlandı ve bu uzayın bazı temel özellikleri incelendi. Son olarak, bu uzayın bazı koşullar altında kapsama özellikleri tartışıldı. The Space A 1, 2 (G, A) and Some Properties Keywords Vector-Valued AmalgamSpaces; TensorProduct, BanchModule. Abstract Inthispaper, firstly, werecallthedefinition of vector-valuedclassical amalgam spaces(l p (G, A), l ), and givesomeinformationaboutthesespaces. Secondly, we define thespacea 1, 2 (G, A) and investigate some basic properties. Finally, we discussinclusions of thesespacesundersomeconditions. Afyon Kocatepe Üniversitesi 1. Giriş Yerel olarak L p uzayına, evrensel olarak l uzayına ait ölçülebilir ve reel değerli fonksiyonların uzayına amalgam uzayı denir ve bu (L p, l )ile gösterilir. Bu uzayların ilk ortaya çıkışı (Wiener1926) çalışmasına dayanır. Gyerel kompakt Abel grubu olmak üzere, bu uzayların G üzerindeki genelleştirilmesi (Feichtinger 1980) tarafından yapılmıştır.amalgam uzaylarının Fourier ve Gabor analizi gibi birçok alanda uygulamaları vardır. İlk olarak vektör-değerli klasik amalgam (L p (R, A), l ) uzaylarının tanımlanması (Lakshmi ve Ray 2009) çalışmasında yapılmış ve bu uzayların bazı temel özellikleri incelenmiştir. Buçalışmada vektör-değerli klasik amalgam uzayları üzerinde girişim işlemi tanımlanmış ve Young teoremiispatlanmıştır. Ayrıca (Avcı ve Gürkanlı 2007) makalesinde,l(p, ) p Lorentz uzayları kullanılarak A 1, 2 p1, 1 (G) uzayını tanımlanmış ve bazı özellikleri incelenmiştir.bu çalışmada, Gbir yerel kompakt Abel grubuve Adeğişmeli bir Banach cebiri olmak üzere,vektördeğerli klasik amalgam (L p (G, A), l ) uzaylarıkullanılaraka 1, 2 (G, A) uzayı tanımlandı. Ayrıca, bu uzayın Banach uzayı, ötelemeler altında değişmez (invaryant) ve öteleme dönüşümünün G den A 1, 2 (G, A) uzayına sürekli olduğu ispatlandı. Yine p ve üslerine göre, bu uzayın kapsamaları ve gömülmeleri incelendi. Böylece klasik amalgam uzaylarında daha önce bulunan sonuçların bazı genellemeleri elde edilmiştir. 2. Vektör-Değerli (L p (G, A), l ) Uzayları Bu makalede, G bir yerel kompakt Abel grubu ve Ada değişmeli bir Banachcebiri olarak alınacaktır. Tanım 2.1.1 p < olsun. Bu takdirde, vektördeğerli Lebesgue uzayı 488
A 1, 2 L p (G, A) = {f: G A f(x) p A L 1 (G)} şeklinde tanımlanır. Yine f L p (G, A) olmak üzere, f p,a = { G f(x) p A dx} 1 p ile tanımlı. p,a fonksiyonul p (G, A) üzerinde bir normdur. Eğer A = C alınırsa, L p (G, A) = L p (G) elde edilir. Böylece, vektör-değerli L p (G, A) Lebesgue uzayı klasik L p (G) uzayının bir genellemesidir. Tanım 2.2.1 p, < olsun.g 1 biryerel kompakt Abel grup ve H, G 1 in bir kompakt açık alt grubu,a bir negatif olmayan bir tamsayı ve T, H ın G 1 içindeki kesiti, yani G 1 = t T(t + H) olsun.bu takdirde,yapı teoremi (StructureTheorem) kullanılırsa,g = R a G 1 şeklinde yazılır (G ile R a G 1 kümeleri topolojik olarak izomorftur),(hewitt veross1979). Yine J = Z a T,α = (n 1, n 2,, n a, t) J, n i Z, t Tiçin,I = [0,1) a H vei α = α + Ikümeleri alınırsa, G = α I α ayrık birleşim kümesi şeklinde elde edilir (Fournier ve Stewart 1985). G nin herhangi bir K kompakt alt kümesi üzerinde L p (G, A) ye ait olan fonksiyonların uzayı L loc (G, A) ile gösterilir. G üzerinde tanımlı ve A-değerli vektör-değerli amalgam uzayı (L p (G, A), l ) ile gösterilir ve f (p,) = [ olmak üzere, ile 1 α J ] f L p (I α,a) p, 1 p, < (L p (G, A), l ) = {f L p loc (G, A): f (p,) < } tanımlanır.(l p (G, A), l )uzayı. (p,) normuna göre bir Banach uzayıdır. Eğer G = R ve A = R veya C alınırsa,i α = [α, α + 1)ve (L p (G, A), l ) = (L p, l ) olur (Lakshmi ve Ray 2009). Teorem 2.3. (Young Eşitsizliği) 1 p 1, 1, p 2, 2 < için 1 p 1 + 1 p 2 1, 1 1 1 1 + 1 2 1, = 1 + 1 1 ve = 1 + 1 1 koşulları r 1 p 1 p 2 r 2 1 2 sağlansın. Bu takdirde f (L p 1(G, A), l 1) ve g (L p 2(G, A), l 2) için f g (r1,r 2 ) C f (p1, 1 ) g (p2, 2 ) olacak şekilde bir C > 0 sayısı vardır (Lakshmi ve Ray 2010). Eğer Teorem 2.3 kullanılırsa, (L p (G, A), l )uzayınıngirişim işlemine göre L 1 (G, A) üzerinde bir Banach modül olduğu görülür. 3. A 1, 2 (G, A) Uzayı Tanım 3.1.X ve Y, K (K = R veya C) cismi üzerinde iki normlu uzay,x ve Y de sırasıyla X ve Y nin topolojik dualleri olsunlar. X Y uzayındank cismine giden tüm sınırlı, bilineer fonksiyonların uzayını BL(X, Y, K) ile gösterilsin. Herhangi bir x X ve y Yelemanları için,bl(x, Y, K) uzayına aitx yifadesif X ve g Y olmak üzere şeklinde tanımlanır. Yine x y = f(x)g(y) {x y: x X, y Y} kümesinin ürettiği vektör uzayına X ve Y nin cebirsel tensör çarpımı denir ve bu X Y ile gösterilir (Bonsall ve Duncan 1973). Tanım 3.2.X ve Y herhangi iki normlu uzay olsunlar. X Yüzerindeρ projektif tensör normu, u X Y olmak üzere n ρ(u) = inf { x i x i : u = x i y i } n ile tanımlanır.x Yuzayınınρ normuna göre tamlamasına (completion) X ve Y uzaylarının projektif tensör çarpımı denir ve bu X ρ Y veya X Y ile gösterilir. X ρ Yuzayının her u elemanı x i y i < olmak üzere u = x i y i şeklindedir (Bonsall Duncan 1973). Tanım 3.3.Teorem 2.3. kullanılarakf (x) = f( x)ve f (p1, 1 ) = f (p 1, 1 )olmak üzere (L p 1(G, A), l 1) (L p 2(G, A), l 2) uzayından(l r 1(G, A), l r 2) uzayına bir bdoğrusal dönüşümünü f (L p 1(G, A), l 1) ve g (L p 2(G, A), l 2) için b(f, g) = f gşeklinde tanımlanabilir. Ayrıca Young eşitsizliğinden b nin operatör normu b C olur. Yine (Bonsall 489
A 1, 2 Duncan 1973) kitabının altıncı bölümündeki Teorem 6 dan dolayı, b doğrusal sınırlı dönüşümüneb(f g) = b(f, g) = f g B C olacak şekilde (L p 1(G, A), l 1) ρ (L p 2(G, A), l 2) uzayından(l r 1(G, A), l r 2) uzayına giden bir tek B doğrusal dönüşümü karşılık gelir. Tanım 3.4.B doğrusal dönüşümünün görüntü kümesia 1, 2 (G, A) ile gösterilsin. Bu takdirdea 1, 2 (G, A) uzayı f i (L p 1(G, A), l 1), g i (L p 2(G, A), l 2) ve B( f i g i ) = f i g i olmak üzere A 1, 2 (G, A) = h = f i g i : f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) < { } şeklinde tanımlanır. Her h A 1, 2 (G, A) için h = inf { f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) : h = f i g i } ile tanımlı. fonksiyonua 1, 2 (G, A) üzerinde bir normdur. Ayrıca A 1, 2 (G, A) uzayı (L r 1(G, A), l r 2) uzayının bir doğrusal alt manifoldudur (Rieffel 1969). Teorem 3.5.A 1, 2 (G, A) uzayı. normuna göre bir Banach uzayıdır. İspat:(Gaudry 1966) makalesindeki Teorem 2.4 ün ispat teknikleri kullanılırsa bu teoremin ispatı benzer şekilde yapılır. Teorem 3.6.A 1, 2 (G, A) uzayı ötelemeler altında değişmezdir. İspat:Herhangi bir h A 1, 2 (G, A) elemanı alınsın. 1, 2 (G, A)uzayının tanımından A f i (L p 1(G, A), l 1) ve g i (L p 2(G, A), l 2) olmak üzereh = f i g i ve f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) < yazılır.her s, y G için L s f(y) = f(y s) sol öteleme olmak üzere ve L s h = L s f i g i = L s (f i g i ) yazılır. Ayrıca L s (f i g i ) = L s f i g i olduğu gösterilebilir. Yine s, y G için R s f(y) = f(s + y) sağ öteleme olmak üzerel s f i = (R s f i ) ~ eşitliği vardır. Böylece. normunun tanımından ve (L p 1(G, A), l 1) uzayının ötelemeler altında değişmez olması kullanılırsa (Lakshmi ve Ray 2009), (Feichtinger 1980), (Suire 1985), L s h = (R s f i ) ~ g i R s f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) C f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) < (1) olacak şekilde bir C > 0 sayısı vardır. Böylece L s h A 1, 2 (G, A) olup, A 1, 2 (G, A) uzayı ötelemeler altında değişmezdir. Sunuç3.7.Her s G ve h A 1, 2 (G, A) L s h C h eşitsizliği vardır. için İspat:Herhangi bir h A 1, 2 (G, A) ve s G için (1) eşitsizliği ve. normunun tanımından L s h C h olur. Güzerinde tanımlı ve A-değerli basit fonksiyonların kümesini S ile gösterelim. Skümesinin(L p (G, A), l ) uzayında her yerde yoğun olduğu biliniyor (Teorem III.2, Lakshmi ve Ray 2009). Tanım 3.3 deki B doğrusal dönüşümü alınırsa,b(s ρ S) kümesi B(S ρ S) = şeklinde tanımlanır. t = s i k i : s i, k i S, s i (p1, 1 ) k i (p2, 2 ) < { } Teorem 3.8.B(S ρ S) kümesi A 1, 2 (G, A) uzayında. normuna göre her yerde yuğundur. İspat:Herhangi bir h A 1, 2 (G, A) elemanı alınsın. 1, 2 (G, A)uzayının tanımı kullanılırsa,f i A (L p 1(G, A), l 1) ve g i (L p 2(G, A), l 2) içinh = f i g i ve 490
A 1, 2 f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) < yazılır. f i g i serisia 1, 2 (G, A) uzayında yakınsak olduğundan bu serinin n inci kısmi toplamlar dizisi h n = f i g i olmak üzere, verilen herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık her n n 0 olduğunda n h h n < ε 3 (2) olacak şekilden 0 N sayısı vardır. Şimdi bir sayısı n 0 olacak şekilde seçilerek sabitleştirilsin. Şimdi C 1 = max 1 i k0 { g i (p2, 2 )}(3) sayısını tanımlayalım. Yine (Lakshmi ve Ray 2009) çalışmasındaki Teorem III.2 kullanılırsa, f i s i (p1, 1 ) < ε 3 C 1 (4) olacak şekilde s i Selde edilir.ayrıca için g i k i (p1, 1 ) < C 2 = max 1 i k0 { s i (p1, 1 )}(5) ε 3 C 2 (6) olacak şekilde k i S vardır. Yine k B(S ρ S)uzayının tanımından 0 s i k i B(S ρ S) olup, (2), (3), (4), (5) ve (6) ifadeleri kullanılırsa h s i k i = h h k0 + h k0 s i g i + s i g i s i k i < ε elde edilir. Bu ise istenendir. (L p (G, A), l )uzayının ötelemeler altında değişmezliği,s, s 0 Gve f (L p (G, A), l )için L s f L s0 f (p,) = L s (L s0 sf f) (p,) C L s0 sf f (p,) olması kullanılırsa, aşağıdaki teoremdes L s f öteleme dönüşümünün sürekliliğininispatı 0 Gnoktasında yapılması yeterli olur. Teorem 3.9.Her f (L p (G, A), l ) için G grubundan (L p (G, A), l ) uzayına giden s L s föteleme dönüşümü süreklidir. İspat:Herhangi birf (L p (G, A), l ) fonksiyonu alınsın. (Lakshmi ve Ray 2009) çalışmasındaki Teorem III.2 den dolayı C C (G, A)(A-değerli sürekli ve kompakt destekli fonksiyonlar) kümesinin (L p (G, A), l ) uzayında her yerde yoğun olduğu biliniyor. Böylece her ε > 0 sayısı için f g (p,) < ε 3 (7) olacak şekilde g C C (G, A) fonksiyonu vardır. Eğer C C (G, A) uzayının ve. (p,) normununtanımları kullanılırsa, L s g g (p,) k L s g g (8) eşitsizliğini sağlayan bir k > 0 sayısı bulunur.yineg C C (G, A)için L s g g 0(9) olduğu biliniyor (Rudin 1962). Böylece (8) ve (9) ifadeleri kullanılırsa, L s g g (p,) < ε 3 (10) elde edilir. Eğer (L p (G, A), l ) uzayının ötelemeler altında değişmez olması, (7) ve (10) ifadeleri kullanırsa L s f f (p,) < ε olur. Bu ise ispatı tamamlar. Teorem 3.10. Her h B(S ρ S) için G grubundan A 1, 2 (G, A) uzayına giden s L s hfonksiyonu süreklidir. İspat:Herhangi bir h B(S ρ S) fonksiyonu alınsın. B(S ρ S)kümesinin tanımından h = f i g i ve f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) < olacak şekilde f i, g i S fonksiyonları vardır. Yine Teorem 3.6nın ispatın da olduğu gibi 491
A 1, 2 L s h h R s f i f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) yazılır. Ayrıca Teorem 3.9 ve L s f i f i (p1, 1 ) = R s f i f i (p1, 1 ) olması kullanılırsa R s f i f i (p1, 1 ) 0 (11) bulunur. Diğer taraftan R s f i f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) ( R s f i (p1, 1 ) + f i (p1, 1 )) g i (p2, 2 ) (C + 1) f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) < olup, Lebesgue Baskın Yakınsama Teoreminden elde edilir. L s h h 0 Teorem 3.11. Her h A 1, 2 (G, A) için G grubundan A 1, 2 (G, A) uzayına giden s L s hfonksiyonu süreklidir. İspat:Herhangi bir h A 1, 2 (G, A)elemanı alınsın. Teorem 3.8. den B(S ρ S) kümesinin 1, 2 (G, A) uzayın da her yerde yoğun olduğu A biliniyor. Böylece her ε > 0 sayısı için h k < ε (12) olacak şekilde k B(S ρ S) fonksiyonu vardır. Ayrıca Sonuç 3.7 kullanılırsa L s h h = L s h L s k + L s k k + k h (C + 1) h k + L s k k < (C + 1)ε + L s k k (13) yazılır. Yine Teorem 3.10 dolayı s 0 için L s k k < ε (14) olup, (12), (13) ve (14) eşitsizlikleri kullanılırsa ispat biter. 4. A 1, 2 (G, A) Uzayının Kapsama Özellikleri Teorem 4.1.Eğer 1 1 k 1, 1 2 k 2 ve 1 p 1, p 2 ise bu takdirdea 1, 2 k A 1,k 2 (G, A) kapsaması vardır. İspat:Herhangi bir h A 1, 2 (G, A) fonksiyonu alınsın. Buradan h = f i g i ve f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) < olacak şekilde f i (L p 1(G, A), l 1) ve g i (L p 2(G, A), l 2) fonksiyonları vardır. Ayrıca 1 k 1 ve 2 k 2 olduğundan sırasıyla (L p 1(G, A), l 1) (L p 1(G, A), l k 1),. (p1,k 1 ). (p1, 1 )ve(l p 1(G, A), l 2) (L p 1(G, A), l k 2),. (p1,k 2 ). (p1, 2 )elde edilir (Fournier ve Stewart 1985), (Lakshmi ve Ray 2009) ve (Aydın Gürkanlı 2012). Böylece f i (p1,k 1 ) g i (p2,k 2 ) f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) < k olup, h A 1,k 2 (G, A) ve A 1, 2 k 1,k 2 (G, A) elde edilir. A Teorem 4.2.Eğer 1 p 1 n 1, 1 p 2 n 2 ve 1 1, 2 ise bu takdirdea 1, 2 1, 2 (G, A) kapsaması sağlanır. A İspat:Herhangi bir h A 1, 2 (G, A) fonksiyonu alınsın. Buradan h = f i g i ve f i (n1, 1 ) g i (n2, 2 ) < olacak şekilde f i (L n 1(G, A), l 1) ve g i (L n 2(G, A), l 2) fonksiyonları vardır. Ayrıca p 1 n 1 ve p 2 n 2 olduğundan sırasıyla (L n 1(G, A), l 1) (L p 1(G, A), l 1),. (p1,k 1 ). (n1, 1 )ve(l n 2(G, A), l 2) (L p 2(G, A), l 2),. (p1,k 2 ). (p1, 2 )elde edilir (Fournier ve Stewart 1985), (Lakshmi ve Ray 2009) ve (Aydın ve Gürkanlı 2012). Böylece f i (p1, 1 ) g i (p2, 2 ) 492
A 1, 2 f i (n1, 1 ) g i (n2, 2 ) < olup, h A 1, 2 (G, A) ve A 1, 2 1, 2 (G, A) elde edilir. A Sonuç 4.3.Eğer 1 p 1 n 1, 1 p 2 n 2, 1 1 k 1 ve 1 2 k 2 ise A 1, 2 k A 1,k 2 (G, A) kapsaması elde edilir. Kaynaklar Avcı, H.,Gürkanli, A.T., 2007.Multipliersandtensorproducts of L(p, )Lorentzspaces.Acta Math Scie., 27B(1), 107-116. Aydın, I, Gürkanlı, A.T., 2012.Weightedvariableexponent amalgam spacesw(l p(x), L w ), Glas Mat, Vol. 47(67),165-174. Bonsall, F.F.,Duncan, J., 1973. Complete normedalgebras, Springer-Verlag, Belin, Heidelberg, New-York. Feichtinger, H.G., 1980.Banachconvolutionalgebras of Wienertype, In: Functions, Series, Operators, Proc. Conf. Budapest 38, Collo. Math. Soc. JanosBolyai, 509-524. Fournier, J.J.,Stewart, J., 1985.Amalgams of L p andl, Bull Amer Math Soc, 13, 1-21. Gaudry, G. I., 1965.Quasimeasuresandoperatorscommutingwithconvo lution, Pac J Math., 13(3), 461-476. Hewitt, E.,Ross, K.A., 1970,1979. AbstractHarmonic Analysis, Vol I-II, Berlin-Heidelberg-New York, Sipringer- Verlag. Lakshmi, D.V., Ray, S.K., 2009.Vector-valued amalgam spaces, Int J CompCog, Vol. 7(4), 33-36. Lakshmi, D. V., Ray, S.K., 2010.Convolutionproduct on vector-valued amalgam spaces, Int J CompCog, Vol. 8(3), 67-73. Rieffel, M.A., 1969.Multipliersandtensorproducts of L p spaces of locally compact geroups, Stud Math, 33, 71-82. Rudin, W., 1962. Fourier Analysis on Groups, New York, Interscience. Suire, M.L.T. 1984.Amalgams of L p andl, Ph.D. Thesis, McMasterUniversity. Wiener, N. 1926. On therepresentation of functionsbytrigonometricintegrals, Math. Z., 24, 575-616. 493