KONVEKS OLMAYAN ÇOK KRİTERLİ OPTİMİZASYON ve PORTFÖY SEÇİMİ PROBLEMİ

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONVEKS OLMAYAN ÇOK KRİTERLİ OPTİMİZASYON ve PORTFÖY SEÇİMİ PROBLEMİ İstatstç Gülder KEMALBAY F.B.E İstatst Aablm Dalı da Hazırlaa YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı: Prof. Dr. Abbas AZİMLİ İSTANBUL, 2008

İÇİNDEKİLER Sayfa SİMGE LİSTESİ... v KISALTMA LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... x ÖNSÖZ... x ÖZET... x ABSTRACT... x. GİRİŞ... 2. KONVEKS ANALİZ... 4 2. Koves Kümeler... 4 2.2 Koves Kümeler Bazı Topoloj Özelller... 8 2.2. Koves Br Küme İç le Kapaışı Arasıda Notaları Brleştre Doğru Parçası... 8 2.2.2 Koves Kümeler Relatf İç... 0 2.3 Koves Kümeler Ayırma ve Desteleme... 2.3. Kümeye At Olmaya Br Nota le Koves Küme Ayrılması... 2 2.3.2 Hperdüzlemler ve İ Küme Ayrılması... 2.3.3 Sıır Notalarıda Kümeler Destelemes... 6 2.4 Koves Fosyolar... 8 2.4. Koves Fosyoları Sürellğ... 20 2.4.2 Koves Fosyoları Yö Türev ve Subgradet... 2 2.4.3 Dferasyellee Koves Fosyolar... 24 3. ÇOK KRİTERLİ OPTİMİZASYON TEORİSİNE GİRİŞ... 30 3. Koler... 3 3.2 İl Bağıtı ve Kısm Sıralama... 35 3.3 Pareto Optmal Çözümler... 39 3.3. Zayıf ve Kes Pareto Optmal Çözümler... 45 3.3.2 Br Çözümde Dğer Çözüme Geçş... 48 3.3.3 Asıl Pareto Optmal Çözümler... 49 3.3.4 Pareto Optmal Çözümler Değşm Aralığı... 54 3.4 Karar Verc... 55 4. ÇOK KRİTERLİ OPTİMİZASYON PROBLEMİNİ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ 56 4. Salerleştrme Yötemler... 57 4.. Ağırlılı Toplam Yötem... 58 4..2 ε -Kısıt Yötem... 60 4..3 Beso Yötem... 63

4..4 Uzlaşı Programlama Yötem... 65 4..5 Ko Salerleştrme Yötem... 69 4.2 Geşletlmş Svr Lagraga Dualte Problem... 73 4.3 Geşletlmş Svr Lagraga Dualte Problem Çözümü... 78 4.3. Gelştrlmş Subgradet Yötem (MSG)... 78 4.3.2 Uygu Değerler Temell Gelştrlmş Subgradet Yötem (F-MSG)... 82 5. PORTFÖY SEÇİMİ PROBLEMİ... 88 5. Portföy Seçm Problem İç Öce Çalışmalar... 90 5.2 Portföy Teorse Grş... 93 5.3 Portföyü Getrs ve Rs... 97 5.3. Portföyü Belee Değer... 98 5.3.2 Portföyü Varyası... 98 5.3.3 Portföyü Üçücü Mertebede Merez Momet... 02 5.3.4 Portföyü Dördücü Mertebede Merez Momet... 04 5.4 Ço Krterl Portföy Seçm Problemler ve Çözüm Yalaşımları... 06 5.4. Ortalama-Varyas Model [Marowtz, 952]... 06 5.4.2 Ortalama-Varyas-Çarpılı Model [La, 99]... 08 5.4.3 Ortalama-Varyas-Çarpılı-Basılı Model [La vd., 2006]... 09 5.4.4 Varlı Sayısı Kısıtlı Model [Chag vd., 2000]... 0 SONUÇ ve ÖNERİLER... 3 KAYNAKLAR... 5 ÖZGEÇMİŞ... 20

SİMGE LİSTESİ. Eucld ormu. Saler çarpım d B( x; ε ) Uzalı fosyou Merez x; yarıçapı ε ola yuvar t cl Küme ç Küme apaışı X Küme sıırı aff co H r ep Af abu Koves abu Hperdüzlem Relatf ç Fosyou epgrafğ L α f sevye ümes f ( x ; d) f yö türev 0 x ξ f f subgradet f subdferasyel H K Gradet vetörü Hessa matrs Ko K Eşle o K İc eşle o 0 + X X recessve os K K # R R K K ı poztf dual os K ı es-dual os İl bağıtı Ko bağıtısı K Bağıtı os Kısm sıralama < Zayıf Pareto sıralama Pareto sıralama v

SİMGE LİSTESİ (devam) < Kes Pareto sıralama D( x ) X Bası üme Uygu üme Y = f ( X ) Uygu amaç ümes x Pareto optmal çözüm X par Pareto optmal çözümler ümes y = f ( x ) Et değer Y eff Et üme X w par Zayıf Pareto optmal çözümler ümes Yw eff Zayıf et üme X Kes Pareto optmal çözümler ümes s par Λ j λ j T Y coe( Y ) 0 y Ödüleşm Ödüleşm oraı Tajat o Ko örtü İdeal ota N y Nadr ota u y v ( P ) Ütopya otası Pertürbasyo fosyou Asıl (prmal) problem L( x, u, c ) Geşletlmş svr Lagraga fosyou h( u, c ) Geşletlmş svr Lagraga dual fosyou ( P ) Geşletlmş svr Lagraga dual problem S( P ) ( P ) problem çözüm ümes S( P ) ( P ) problem çözüm ümes s Adım uzuluğu parametres Aralı geşlğ parametres v

SİMGE LİSTESİ (devam) U R p Fayda fosyou Portföy getrs rassal değşe E( R p ) Portföy getrs belee değer E( R ) x 2 σ p σ ρ j σ j γ β. meul ıymet belee değer. meul ıymet yatırım oraı Portföy getrs varyası. meul ıymet stadart sapması. ve j. meul ıymet arasıda orelasyo atsayısı. ve j. meul ıymet brc mertebede merez bleş momet Pearso çarpılı atsayısı Fsher çarpılı atsayısı S 3 ( R p ) Portföyü üçücü mertebede merez momet 3 S. meul ıymet üçücü merez momet S, S. ve j. meul ıymetler ç merez bleş momet j jj S j., j. ve. meul ıymet merez bleş momet β 2 γ 2 Pearso basılı atsayısı Fsher basılı atsayısı K 4 ( R p ) Portföyü dördücü mertebede merez momet 4 K. meul ıymet dördücü merez momet K, K. ve j. meul ıymetler ç merez bleş momet j jjj K jj. ve j. meul ıymetler ç merez bleş momet K :., j., ve l. meul ıymet merez bleş momet jl α β ε δ Yatırımcıı üstleeceğ masmum rs sevyes Yatırımcıı hedefledğ mmum getr sevyes Portföyde buluması stee meul ıymetler sayısı. meul değer portföye dahl se portföy çde mmum oraı. meul değer portföye dahl se portföy çde masmum oraı v

KISALTMA LİSTESİ ÇKO MSG F-MSG KV ATY MPT Ço Krterl Optmzasyo Gelştrlmş Subgradet Yötem Uygu Değerler Temell Gelştrlmş Subgradet Yötem Karar Verc Ağırlılı Toplam Yötem Moder Portföy Teors v

ŞEKİL LİSTESİ 2 Şel 2. R de oves ve oves olmaya ümeler... 4 Şel 2.2 2 R de eyf üme oves abuğu... 6 Şel 2.3 Koves üme ç le apaışı arasıda otaları brleştre doğru parçası... 8 Şel 2.4 Kapalı oves br ümeye mmum uzalı... 2 Şel 2.5 2 R de hperdüzlem... 3 Şel 2.6 2 R de hperdüzlem taımladığı yarı uzaylar... 4 Şel 2.7 Çeştl ayırma yötemler... 5 Şel 2.8 Hperdüzlem le ümeler sıır otalarıda destelemes... 7 Şel 2.9 Koves üme sıır otasıda destelemes... 7 Şel 2.0 Koves fosyo... 8 Şel 2. Br fosyou epgrafğ... 9 Şel 2.2 Koves fosyoları subgradet geometr yorumu... 22 Şel 2.3 Epgrafğ, subgradet otasıda destelemes... 23 Şel 3. Kolere öreler... 32 Şel 3.2 Pareto optmal çözümler geometr gösterm... 39 Şel 3.3 Y ve ( Y + R + ) ümeler et otaları... 4 Şel 3.4 Y ompat est... 43 Şel 3.5 Zayıf ve es pareto mmal otalar... 45 Şel 3.6 Hperdüzlem le ayrılamaya ümeler... 47 Şel 3.7 Asıl pareto mmal çözümler... 49 Şel 4. Koves ve oves olmaya problem ç ağırlılı toplam yötem... 59 Şel 4.2 Beso yötem grafsel gösterm... 63 Şel 4.3 Çeştl ormlara göre uzlaşı programlama problem geometr gösterm... 65 Şel 4.4 Ko salerleştrme yötem geometr gösterm... 7 Şel 4.5 Geşletlmş svr Lagraga dualte... 76 Şel 5. Yatırımcı ayıtsızlı eğrler... 95 Şel 5.2 Yatırımcıı optmal portföyüü belrlemes... 96 Şel 5.3 A ve B meul ıymetlerde oluşa portföy ç çeştl orelasyo atsayıları le rs-getr lşs... 99 Şel 5.4 Br dağılımı eğlm-değşel-çarpılı-basılı ölçüler... 00 Şel 5.5 Farlı çarpılı ölçüsüe göre olasılı yoğulu fosyou grafler... 0 Şel 5.6 Farlı basılı ölçüsüe göre olasılı yoğulu fosyou grafler... 03 Şel 5.7 Marowtz et sıır eğrs... 07 Şel 5.8 Varlı sayısı ısıtlı model ç Marowtz et sıır eğrs... 0 v

ÇİZELGE LİSTESİ Çzelge 3. R de taımlı Pareto sıralamalar... 36 Çzelge 4. KV'ye göre ÇKO problem çözüm yötemler sııfladırılması... 55 x

ÖNSÖZ Aadem hayata başladığımda ber edsde hem mesle hem etsel yöde ço şey öğredğm, gere şlğ gere blmsel yöü le dama öre teşl ede, tez çalışmam boyuca arşılaştığım her zor ada göstermş olduğu desteğ sayesde çözüme ulaşmamı sağlaya, ço değerl hocam, sayı Prof. Dr. Abbas AZİMLİ ye e çte teşeürlerm suarım. Bu tez ortaya çımasıda, optmzasyo teorse yapmış olduğu eşşz atılarıda dolayı sayı Prof. Dr. Rafal GASIMOV a mettarım. Tez çalışmam boyuca madd ve maev desteğ esrgemeye, sııtılarımı bemle brlte paylaşa sevgl aradaşlarım Arş. Grv. Fatma NOYAN a ve Arş. Grv. Elf ÖZTÜRK e, tüm çalışma aradaşlarıma ve bölümümüze eme vere değerl hocalarıma ço teşeür ederm. Hç şüphesz be bugülere adar yetştre, her türlü fedaârlığı sağlaya ço sevdğm aleme e adar teşeür etsem azdır. Ayrıca blgsayar başıda geçreceğ zamada fedaârlı edp ablasıa deste ola sevgl ardeşme özel teşeürlerm suuyorum:) Elde ettğm tüm başarıları gerçe sahb szsz! x

KONVEKS OLMAYAN ÇOK KRİTERLİ OPTİMİZASYON ve PORTFÖY SEÇİMİ PROBLEMİ Gülder KEMALBAY İstatst, Yüse Lsas Tez Bu çalışmada, oves olmaya ço rterl optmzasyo teors, temel taım ve teoremler le rdelemştr. Ço rterl optmzasyo teors esas amaçlarıda br optmal çözümler varlığı haıda oşullar bulmatır. Gasımov (992) çalışmasıda oves ümeler sevye ümeler yardımı le leer olmaya ayırma teorem gelştrere asıl mmal otalar ç gere oşul bulmuştur. Çalışmamızda, Gasımov u çalışması gelştrlere verle gere oşulu yeter oşul olması ç uzayda sıralama sağlaya o le ayırma fosyouu recessve fosyou arasıda lş bulumuş ve bu lş sağlaması halde verle otaı asıl mmal ota olduğu spat edlmştr. Ço rterl optmzasyo problem çözme ç salerleştrme yötemler celemş ve oves olmaya ço rterl problem tüm et otalarıı elde edeble o salerleştrme teğ üstülüler tartışılmıştır. Elde edle oves olmaya ve dferasyelleemeye yapıda o saler problem çözümü ç geşletlmş svr Lagraga dualte yalaşımıı ve F-MSG algortmasıı teors ve üstülüler gösterlmştr. Çalışmaı so bölümüde se oves olmaya ço rterl optmzasyo teors uygulama alalarıda br ola fas teorsde portföy seçm problem celemştr. Ortalama-varyas yalaşımıa lavete yüse mertebel merez mometler ve varlı sayısı ısıtlamalarıı göz öüe ala problem olduça zor ve armaşı br yapıya sahp olduğu gösterlmş ve bu problem çözümü le lgl gelecete yapılaca ola çalışmalar haıda blg verlmştr. Aahtar Kelmeler: Ço rterl optmzasyo, asıl mmal ota, oves olmaya ve dferasyelleemeye optmzasyo, o salerleştrme, geşletlmş svr Lagraga dualte, F-MSG yötem, portföy seçm problem. x

NONCONVEX MULTICRITERIA OPTIMIZATION ad PORTFOLIO SELECTION PROBLEM Gülder KEMALBAY Statstcs, M.S. Thess I ths study, ocovex multcrtera optmzato theory wth ma defto ad theorems has bee vestgated thoroughly. Oe of the fudametal ams of the multcrtera optmzato theory s fdg codtos about exstece of optmal solutos. Gasımov (992), has foud a ecessary codto for proper mmal pots by developg a olear separato theorem whch s based o level set of covex sets. I our study, by developg Gasımov s study the relato betwee the recessve fucto of the separato fucto ad the coe whch provdes a order space has bee foud for gve ecessary codto to be suffcet ad the evet of ths relato, gve pot s the proper mmal pot of the set has bee proved. Scalarzato methods have bee vestgated to solve multcrtera optmzato problem ad advatages of the coc scalarzato method whch ca obta all effcet pots of ocovex multcrtera problem have bee dealt wth. For solvg the obtaed ocovex ad odfferetable coc scalar problem, the theory ad advatages of sharp augmeted Lagraga dualty ad F-MSG algorthm have bee show. At the last part of ths study, the portfolo selecto problem face theory whch s oe of the applcato area of ocovex multcrtera optmzato theory has bee vestgated. I addto to mea-varace applcato, t has show that the problem whch taes to accout hgher order cetral momets ad cardalty costraed has qute complex ad dffcult form ad t has bee formed about future studes cocered wth the soluto of ths problem. Keywords: Multcrtera optmzato, proper mmal pot, ocovex odfferetable optmzato, coc scalarzato, sharp augmeted Lagraga dualty, F-MSG algorthm, portfolo selecto problem. x

. GİRİŞ Matematsel fade le te rterl optmzasyo problem amacı, br amaç fosyoua mmum veya masmum değer vere çözümü bulmatır; aca güümüzde arşılaştığımız problemler gelşe teoloj ve çevresel şartlar gereğ geellle armaşı br doğaya sahptr. Bu edele bu tür problemler te rter le araterze edp optmal çözümüü bulmaı pe faydası olmayacatır. Karmaşı problemler geellle brbr le çelşe ve ıyaslaamaya amaç fosyoları le araterze edlr; öreğ getr, rs, ar, malyet, zama, performas vs... Aca ço rterl optmzasyo problemde br çözümü tüm rterlere göre e y olması adr rastlaa br olaydır. Bu tür çözümler deal çözüm olara adladırılır. Geellle br te çözüm yere çözüm ümesde bahsedlr. Bu çözümlere Pareto (veya et) çözüm delmetedr. Ço rterl optmzasyo teors esas problem, et olmaya çözümler çözüm ümesde eleyere et ola y çözümlere ulaşmayı amaçlar. Optmzasyo teorsde, optmal çözümler ç gere ve yeter oşulları buluması ve dualte teoremler spatı ç ayırma teoremler uygulamatadır. Bldğ üzere, oves ümeler ayrılması ç uygulaıla ayırma teoremlerde hperdüzlemlerde yararlaılmatadır. Klas ayırma teorem, optmzasyo teorsde uygulaablmes ç problemler ovesl oşuluu sağlaması geremetedr. Bezer olara, ço rterl optmzasyoda da Pareto otalarıı bulma ç las ayırma teoremler uygulaması durumuda ovesl şartı öemldr. Ço rterl, oves optmzasyo teorsde dualte teoremler elde edlmes ç Azmov (2008a, 2008b) çalışmalarıa baılablr. Aca ster dualte ster ço rterl optmzasyo teors olsu arşılaşıla problemler çoğu oves olmaya optmzasyo problemler olmatadır. Koves olmaya problemler ç dualte teors urulmasıda ve oves olmaya ço rterl optmzasyo problemlerde Pareto çözümü buluması ç, düzlemler yere leer olmaya ümeler aracılığı le ayırma teoremler gelştrlmştr. Burada leer olmaya ümeler, leer olmaya fosyoları sevye ümes olara belrler. Koves br üme le oves olmaya br üme, sürel oves fosyolar le ayrılması Neshe (98) ve Hldebradt (984) tarafıda gösterlmştr. Bu alada, hem oves olmaya dualte teorsde hem de oves olmaya ço rterl optmzasyou problemlerde optmal otaları buluması ç leer olmaya ayırma teoremler uyguladığı brço çalışma vardır. Gasımov (992), çalışmasıda oves ümeler sevye ümeler yardımı le br ayırma teorem gelştrmş ve ço rterl optmzasyo alaıa uygulamıştır. Gasımov u çalışmasıda, üme zayıf ve asıl mmal otalarıı buluması ç gere oşullar bulumuştur.

2 Bu çalışmada se Gasımov u spatlamış olduğu teorem gelştrlere otayı ümede ayıra sevye ümes vere fosyou recessve fosyou le uzayda sıralama sağlaya o arasıda br lş bulumuş ve bu lş sağlaması durumuda verle otaı asıl mmal ota olduğuu göstere br teorem spatlamıştır. Ço rterl optmzasyo problemler çözümü ç brc aşamada e temel yalaşım salerleştrme yötem uygulamatır. Böylece problem ço rter yere te rter le fade edleblr. Lteratürde mevcut salerleştrme yötemler geellle oves problemlere htap etmetedr. Gasımov (200) tarafıda gelştrle o salerleştrme yötem, amaç fosyoları ve ısıtlamalar üzerde ovesl oşulu aramada ço rterl problem et yüzeyde tüm otaları elde eder. Elde edle o saler problem dferasyelleemeye yapıda olduğuda türev blgs geretre las Lagraga yötemler le çözülemez. Azmov ve Gasımov (999, 2002), oves olmaya optmzasyo problemlerde sılıla arşılaşıla dual aralığı gderme ç asıl problem üzerde herhag ovesl veya dferasyelleeblrl şartı geretrmeye geşletlmş svr Lagraga yalaşımıı öermşlerdr. İzleye çalışmalar le bu dual problem çözümü ç Gasımov tarafıda gelştrle Uygu Değerler Temell Gelştrlmş Subgradet Yötem (F-MSG), saler problem üzerde ovesl veya dferasyelleeblrl oşulları aramadığı ç oves olmaya, ısıtlamalı, ço rterl optmzasyo problemler çözümüde mevcut yötemlere göre brço üstülü sağlamatadır. Ço rterl optmzasyo teorse heme her alada başvurulmatadır. Bu alalarda brs de fastır. Fasal arar vermede temel yalaşım optmum portföy oluşturmatır. Aca optmum portföy oluşturmaya yöel ola brço ormatf arar modeller, yatırımcıı elde buludurduğu servet masmze etme ç sadece br amacı göz öüe alıp arar verc ç öeme sahp dğer olası amaçları sağlamasıı date almaz. Oysa arar verc ç brbrler le çelşeble pe ço hedef veya amacı eşalı olara sağlaablmes veya bu hedefler arası ame edleblrlğ belrlemes öemldr. Bu yüzde, fas elmes daha da matematsel br alam azadığı güümüzde fasal arar verme problemlere ço rterl optmzasyo teors uygulama daha yerde olacatır. Portföy oluşturmada temel yalaşım söz ousudur: Geleesel yalaşım ve moder yalaşım. Geleesel portföy yalaşımı, portföyde bulua meul ıymetler arasıda lşye dat etmesz aşırı çeştledrmeye gdlere portföy rs azaltılableceğ ögörmetedr. Aca bu yalaşım, Marowtz gelştrdğ teor le beraber geçerllğ ytrmştr. Moder portföy teors urucusu olara ble Harry Marowtz (952) çalışmasıda, l defa portföyü rs ve getrs matematsel model le fade etmştr.

3 Portföy seçm problemde las ortalama-varyas yalaşımıa lavete üçücü ve dördücü mertebede merez mometler göz öüe alıdığıda problem geellle oves olmaya, dferasyelleemeye, ço rterl optmzasyo problem le fade edlr. Bu çalışmada, oves olmaya ço rterl optmzasyo teors uygulaableceğ br alaı öre gösterme ç portföy seçm problemler öerlmştr: Optmum portföy oluşturma ç Marowz ortalama-varyas yalaşımıı temel varsayımları le bu model üzere başa rterler lave edlere gelştrle dğer modeller celemş ve mevcut çözüm yötemlerde bahsedlmştr. Bu tez amacı, olduça zeg ve gü geçtçe gelşe br ala ola ço rterl optmzasyo teors dayadığı temel taımları ve teoremler; uzayda ısm sıralama bağıtısı sağlaya oye göre elde edle zayıf, es ve asıl Pareto optmal çözümler; bu çözümler araterze ede gere ve yeter oşulları le bu oşulları buluablmes ç faydalaıla leer olmaya ayırma teoremler celeme; ço rterl problem çözümü ç lteratürde mevcut ola salerleştrme yötemler öğreme; bu yötemler arasıda oves olmaya ço rterl problemlere htap ede o salerleştrme yötem öem ve dferasyelleemeye yapıda ola o saler problem çözümü ç gelştrle geşletlmş svr Lagraga dual problem ve bu dual problem çözümü ç öerle F-MSG yötem üstülüler tartışmatır. Ayrıca oves olmaya ço rterl optmzasyo teors uygulama alalarıda br ola fas teors e temel problemlerde br ola portföy seçm problem ç öerle modeller celeme ve problem çözümü ç öerle çözüm yötemlere değmetr. Bu amaçlar doğrultusuda tez altı bölümde oluşmatadır: Brc bölümde çalışmaı apsamı ve amaçlarıda bahsedlece; c bölümde optmzasyo teorsde optmall oşullarıı ve dualte teoremler buluması ç öeml yere sahp ola oves aalz teors temel taımlarıa ve teoremlere yer verlece; üçücü bölümde ço rterl optmzasyo teorse grş yapılara temel taımları ve teoremler celeece; dördücü bölümde ço rterl optmzasyo problem çözümü ç salerleştrme yötemlerde bahsedlece, oves olmaya ço rterl problemlere htap ede o salerleştme teğ ayrıcalıları gösterlece, o saler problem dual problem elde etme ç gelştrlmş svr Lagraga dualte teoremler alatılaca ve oves olmaya, dferasyelleemeye dual problem çözümü ç gelştrle F-MSG yötem le üstülüler tartışılacatır. Beşc bölümde portföy seçm problemler matematsel modeller le öerle çözüm yalaşımlarıa değlecetr. So bölümde se tez gelecete çalışmalara atısı açılaara öerlerde buluulacatır.

4 2. KONVEKS ANALİZ Koves aalz, oves ümeler ve oves fosyoları celeye optmzasyo teors olduça öeml alalarıda brdr. Optmzasyo teorsde optmal çözümler ve dualte teoremler ç gere ve yeter oşulları buluması haıda ayırma teoremlerde yararlaılmatadır. Ble las ayırma teoremler uygulaablmes ç, optmzasyo problem ovesl şartıı sağlaması geremetedr. Bezer olara ço rterl optmzasyo problemlerde Pareto çözümler buluablmes ç las ayırma teoremlerde yararlaablme ç de amaç fosyolarıı ovesl şartıı sağlaması geremetedr. Bua arşılı ço amaçlı optmzasyo teorsde arşılaşıla problemler brçoğu ovesl şartıı sağlamamatadır (Azml ve Kemalbay, 2007). Bu durumda optmall oşullarıı buluması ç oves aalz teorsde elde edle öeml teoremlerde hareetle ye teorler ortaya atılmıştır. Bu bölümde oves aalz teorsde öeml taım ve teoremlere ısaca yer verlecetr. 2. Koves Kümeler Taım 2. X ümes verls. Eğer, 2 R 2 x x X ve [ 0,] λ ç λx + ( λ ) x X (2.) se X ümese oves üme der. Şel 2. 2 R de oves ve oves olmaya ümeler (Boyd vd., 2004). Şel 2. de altıge, oves ümeye br öretr. Ortada üme, herhag otasıı brleştre doğru parçasıı çermedğ ç oves değldr. Kare bazı sıır otaları ümeye dâhl olmadığı ç oves üme değldr (Boyd vd., 2004).

5 Taım 2.2 x,..., x X vetörler verls. λ 0 ve vetörler oves ombasyou der. λ = se = X = λ x vetörüe x,..., x = Eğer oves ombasyo taımıda λ çarpalarıı egatf olmama oşulu hmal edlrse af ombasyo, λ R, =,..., oşulu gerçeleşrse leer ombasyo taımı elde edlr. Teorem 2. X R oves üme olsu. X e at eyf sayıda otaları oves ombasyou ümeye attr. İspat x X, λ 0, λ = = ç =? λ x X = 2 ç oves üme taımıda teorem doğruluğu aşârdır. > 2 ç teorem doğruluğuu tümevarım yötem le göstereblrz. = 2 ç teorem doğrudur. = ç teorem doğruluğuu abul edelm. = + ç teorem spat edelm: + + λ x = λx + ( λ2 +... + λ+ ) x = = 2 λ2 +... + λ+ λ ; burada λ2 +... + λ+ = λ λ + + λ x = λ x + ( λ ) x = = 2 λ ; λ λ +... + λ ve + 2 + = = = 2 ( λ ) λ λ 0 ( λ ) olduğuda + λ x = xˆ X λ = 2 tr. + λ x = λ x + ( λ ) xˆ olup X oves üme olduğuda = + = λ x X tr. Taım 3.3 X R eyf ümes apsaya tüm oves ümeler esşme X oves abuğu der ve co( X ) veya H( X ) le gösterlr.

6 Şel 2.2 2 R de eyf üme oves abuğu (Boyd vd., 2004). Yardımcı Teorem 2. X R eyf ümes apsaya e üçü oves üme co( X ) tr: Eğer X oves üme se co( X ) S tr. Eğer X oves üme se X = co( X ) tr. S ve S Teorem 2.2 X R ümes ç co( X ), X ümes eyf sayıda oves ombasyoları ümese eşttr. co ( X ) = λ x x X, λ =, λ 0, (2.2) = = Bu teorem soucua göre, oves abuğu her elemaıı X ümes solu sayıda elemalarıı oves ombasyou şelde yazılableceğ görülmetedr. Aca, oves aalz teorsde ço öeml teoremlerde br olara yer ala Carathéodory Teorem e göre eğer X R se sayısı e fazla + olablr. Teorem 2.3 [Carathéodory s Theorem] X eyf br üme ve af boyutu + olsu. x co( X ), x co( x,..., x + ) elemaı, X R ümes e fazla + elemaıı oves ombasyou şelde fade edleblr; ya dğer br gösterm le: x = + = λ x j j + j j j =, x X, λ =, λ 0, j =,..., +

7 İspat x co( X ) olsu. O halde x = λ x, x X, j= j j j λ j =, λ j > 0, j =,...,. Burada λ > 0 j= varsayılmatadır; çüü as halde sıfır ola λ ler sleblr bu durumda spat tamamlamış olur. Eğer + se spat tamamdır. > + olduğuu varsayalım. Bu durumda x elemaıı sayıda x elemaıı oves ombasyou şelde yazılableceğ göstermelyz. > + olması halde af abuğu boyutu + olduğuda x,..., x vetörler af bağımlı olacatır. O halde x2 x,..., x x leer bağımlıdırlar. Bu durumda heps brde sıfır olmaya µ 2,..., µ salerler mevcut olma üzere µ j ( x j x ) = 0 dır. µ j x j x µ j x j x µ j j= 2 j= 2 j= 2 j= 2 ( ) = 0 = 0 olup µ = µ j j= 2 olduğuu göz öüe alırsa burada µ j ler heps brde sıfır olmama üzere µ j = 0 ve j= µ j x j = 0 soucu elde edlr. Bu souçlara göre j= x = λ x vetörüü şu şelde fade j= j j edeblrz:, α R x = λ x = λ x α µ x = ( λ αµ ) x j j j j j j j j j j= j= j= j= λ j λ α = m =, {,..., }. Şmd α ı mevcut durumua göre x celeyelm: j µ j µ α > 0 olsu. Eğer µ 0 se, λ αµ > 0 ; µ > 0 se, j j j j λ j λ µ µ j = olup burada λ αµ 0 olur. Souç olara, j =,..., ç λ αµ 0 sağlaacağıda ve α ı j j j j α taımıda dolayı e az br j ç λ αµ = 0 olacatır. j j x = ( λ j αµ j ) x j olup j =,..., j= ç ( λ j αµ j ) =, λ j αµ j > 0 ve j = ç λ αµ = 0 buludu; ya x e fazla j= sayıda vetörü oves ombasyou olara fade ett. Eğer > + se bu şlemler terar edlere x e fazla + sayıda vetörü oves ombasyou olara fade edlebleceğ gösterlr (Rocafellar, 970; Be-Tal vd., 2004; Fre vd., 2004; Bazaraa vd., 993).

8 2.2 Koves Kümeler Bazı Topoloj Özelller Teorem 2.4 Her X R af ümes apalıdır. Souç 2. Teorem 2.4 e göre X R herhag br üme olma üzere clx affx = aff ( clx ) (2.3) İspat Herhag br X ümes ç X clx her zama doğrudur. Af operatörü mooto özellğde dolayı affx aff ( clx ) olduğu olaylıla görülür. Ters de doğru olduğuu göstermelyz. Teorem 2.4 e göre af üme apalıdır. O halde clx affx ve burada terar af operatörü ullaara aff ( clx ) affx olduğu görülür. Her apsama da gösterldğde affx = aff ( clx ) elde edlr. 2.2. Koves Br Küme İç le Kapaışı Arasıda Notaları Brleştre Doğru Parçası İç boş ümede farlı olaca şelde oves br üme verldğde, üme çde br ota le apaışıda br otayı brleştre doğru parçası (apaışa dâhl ola ota harcde) üme çe attr. Şel 2.3 Koves üme ç le apaışı arasıda otaları brleştre doğru parçası (Bazaraa vd., 993). Teorem 2.5 X oves üme olsu. x clx ve x2 tx olma üzere λ (0,) ç R λx + ( λ) x tx tr. 2

9 İspat x2 tx olduğua göre etrafı X ümese dâhldr: Br 0 ε > ç { : ε} z z x < X olaca şelde br z elemaı mevcuttur. y = λx + ( λ) x2 olsu. y tx olduğuu gösterme ç y etrafıı X e dâhl olduğuu göstermelyz. Özel olara, y üçü br etrafıı { z : z y ( λ) ε} { : ( λ) ε} < şelde taımlayalım. O halde teorem spatı ç z z y < X olduğuu göstermelyz. x clx olduğuda X N ( x ) sağlaır. O halde ε 2 ( λ) ε z y Nε ( x ) = x X : x x < λ olma üzere, ( λ) ε z y x X : x x < X λ sağlaya br z z λz olsu. z2 = λ ümes boş ümede farlıdır. O halde bu özellğ X elemaıı bulma mümüdür. Bezer taım le z = λz + ( λ) z2 olma üzere z2 z λx z λx ( y x ) z2 x2 = x2 = λ λ z2 = ( z y) + λ( x z) λ λ ( z y) x z λ + λ < ε. X olduğuu gösterelm: X olduğu gösterld. O halde z, z2 X ve X oves üme olduğua göre z taımıda z X olduğu gösterld. Öyleyse { z : z y < ( λ) ε} X olup y tx olduğu spat edlr. Souç 2.2 ) X ümes oves se t X ümes de ovestr. ) ) v) X R oves br üme ve tx olsu. O halde clx te ovestr. R X oves br üme ve tx se cl( tx ) = clx tr. R X oves br üme ve tx se t(clx ) = tx tr.

0 2.2.2 Koves Kümeler Relatf İç Koves ümeler ç üme ç taımı, daha elverşl br taım ola relatf ç taımıa döüşmetedr. Taım 2.4 X R oves ümes ve br x X otası verls. Eğer X ümes, x merezl yeterce üçü br yuvar le af abuğuu esşm çeryorsa ya, ε > 0 ç, { } B( x; ε ) aff X y y aff X, y x ε X (2.4) oluyorsa x elemaıa, relatf ç otası der. Tüm relatf ç otalarda oluşa ümeye relatf ç der ve rx le gösterlr. Yardımcı Teorem 2.2 Relatf operatör mooto değldr; ya X X 2 se rx rx 2 her zama doğru değldr. Aca affx = affx 2 şartı sağladığıda X X 2 rx rx 2 doğrudur. Öre 2. Relatf operatörü mooto olmadığıı br öre le gösterelm: X = { 0} VE X 2 = [ 0,] oves ümeler ç rx = { 0} ve 2 ( 0,) X X ve rx rx 2 olduğu görülmetedr. 2 rx = dr. O halde Yardımcı Teorem 2.3 X, X 2 R boş ümede farlı ümeler olma üzere λ (0,) ç aşağıda özell sağlaır: ( λ X ( λ) X ) affx λ X ( λ) ( X affx ) + + (2.5) 2 2 Teorem 2.6 X boş ümede farlı oves br üme olsu. x clx ve x2 rx olma üzere R [ 0,) λ ç; λx + ( λ) x2 rx (2.6) İspat Bu teorem spatlama ç λ [ 0,) ve x2 rx olma üzere λclx + ( λ) x2 rx ya;

dğer br gösterm le ( λcl ( λ) ε ) x rx ε > ç 2 0 X + x + B affx X olduğuu gösterme gereldr. 2 + λ x2 + ε B affx X (2.7) λ olduğu relatf ç ota taımıda olaylıla söyleeblr. Ayrıca clx ( X + ε B) olmasıda dolayı clx ( X + ε B) elde edlr. O halde; ε > 0 + λ λclx + ( λ) x2 + ε B λ X + ( λ)( x2 + ε B) dr. λ Şmd Yardımcı Teorem 2.3 te yararlaara + λ λclx + ( λ) x2 + ε B affx λ X + ( λ) ( x2 + ε B) affx λ ( ) ( cl ) λ X + ( λ) x + ε B affx λ X + ( λ) X X, oves üme olduğuda ( λcl ( λ) ε ) 2 X x B X X + 2 + aff elde edlr. O halde λcl ( λ) 2 X + x rx tr. Dğer br yol se X, -boyutlu oves üme olduğuda rx = tx tr. Teorem 2.5 te tx = rx alıara spat elde edlr. (Fre vd., 2004) Teorem 2.7 X oves br üme olsu. O halde clx = cl( rx ) ve rx = r( clx ) tr. R 2.3 Koves Kümeler Ayırma ve Desteleme Optmzasyo teorsde eredeyse tüm optmall oşulları ve dualte teoremler oves ümeler ayrılması ve destelemes özelllerde faydalamatadır. Koves ümeler ayrılması temel olara, apalı br oves üme le bu ümeye at olmaya br otaı br hperdüzlem aracılığı le ayrılması avramıa dayamatadır. Br ota le oves br üme ayrılması avramı oves üme ayrılmasıa geşletlmştr. Teorem 2.8 (E Yaı Nota Teorem) X apalı, oves br üme ve y X olsu. O halde X ümesde y otasıa R uzalığı mmum ola yalız br x X otası vardır. Ayrıca x ümede mmum uzalığı vere ota olması ç gere ve yeter oşul x X ç ( y x) ( x x) 0 dır. t

2 Şel 2.4 Kapalı oves br ümeye mmum uzalı (Bazaraa vd., 993). 2.3. Kümeye At Olmaya Br Nota le Koves Küme Ayrılması Teorem 2.9 X apalı oves br üme ve y X olsu. O halde x X ç p y > α ve R t p x α sağlaaca şelde sıfırda farlı br p vetörü le br α saler bulma mümüdür. t Teorem 2.0 X oves ümes ç, y clx olsu. O halde ε > 0 sayısı ve sıfırda farlı öyle R p R vetörü vardır x X ç p, x p, y + ε (2.8) sağlaır. Teorem 2. X R oves br üme ve y X olsu. O halde öyle br p 0 vetörü vardır x X ç x, p y, p sağlaır. İspat X ümes apalılığıda bahsedlmemş. O halde durum söz ousudur: ) y clx veya ) y clx. ) y clx olsu. O halde Teorem 2.0 a göre y otası le X ümes uvvetl şelde ayırma mümüdür. ) y clx ya y, X br sıır otası olsu. X oves üme olduğuda, X sp sıır ümes her otasıa, apaışı dışıda br dz le yalaşma mümüdür; ya öyle br { } x dzs vardır x clx ve ç x y dr. O halde Teorem 2.0 u uygularsa her x clx otası ç ε > 0 sayısı ve p 0 vetörü ç

3 x, p x, p ε ; x X, =,2,... Burada ε atablrz. Eştszl ye sağlaır: x, p x, p ; x X, =,2,... Dzy ormua bölelm. Böylece p p = q ; ormu ola vetörler dzs elde edlr. Bu dz sıırlı olduğuda yaısa br alt dzs vardır ve bu yaısa alt dz br p 0 lmt vardır. O halde her tarafı edlr (Bazaraa vd., 993). p le bölüp lmte geçerse x X ç x, p y, p elde 2.3.2 Hperdüzlemler ve İ Küme Ayrılması Hperdüzlemler ve Yarı uzaylar R de hperdüzlem, sıfırda farlı br a vetörü le ç çarpımı sabt br sayıyı vere otalarda oluşmatadır. T { } H = x a x = b (2.9) burada a R, a 0 ve b R dr. Taımda hperdüzlem af br üme, dolayısıyla da oves üme olduğu görülür. Geometr olara, a vetörü hperdüzlem ormal vetörü olma üzere, b sabt hperdüzlem orjde sapmasıı belrler. Buu matematsel olara, T { ( 0 ) 0 } H = x a x x = şelde fade ederz, burada x 0 H dr. Bu gösterm şu şelde de fade edleblr: T { ( ) 0} H = x a x x = = x + a, 0 0 a, a vetörüü ortogoal bleşeler ümes olup, a vetörüe ortogoal ola tüm vetörlerde oluşur: T = { = 0} a v a v. Şel 2.5 2 R de hperdüzlem (Boyd vd., 2004).

4 Şel 2.5 te görüldüğü gb, ormal vetörü a ola ve x 0 otasıda geçe hperdüzlemde düzleme at herhag br x otası ç ( x x 0) vetörü a vetörüe ortogoaldr. Hperdüzlem, R uzayıı yarı uzaya böler. H, apalı yarı uzay: + = { T } T H = { x a x b} ve açı yarı uzay: + T H = { x a x > b }, T = { < } Taımda görüldüğü gb yarı uzaylar ovestr; aca af değldrler. H x a x b, H x a x b taımlar. Şel 2.6 2 R de hperdüzlem taımladığı yarı uzaylar (Boyd vd., 2004). H apalı yarı uzayıı şu şelde de fade etme mümüdür: T { ( 0 ) 0 } H = x a x x burada T x 0 H ; ya a x0 = b dr. a vetörü hperdüzlem dış ormal olup, verle x 0 otasıa göre ( x x 0) vetörler a ormal le geş açı yaptıları görülmetedr. (Boyd vd., 2004) Taım 2.5 X, X 2 R t farlı ümeler olsu. = { : = } x X ç p x α x X ç p x α 2 t t H x p x α verle hperdüzlem ç sağlaıyor se X ve X 2 ümeler hperdüzlem tarafıda ayrılablr der. ) Eğer X ve X 2 ümeler ayrılablyor ve ayrıca br x X ve br x2 X 2 ç p x > α ve p x2 < α t sağlaıyor se X ve X 2 ümelere asıl (proper) ayrılablr der. ) Eğer t x X ç p x > α ve x X 2 ç p x < α t t

5 sağlaıyor se X ve X 2 ümeler es (strctly) ayrılablr der. ) Eğer t x X ç p x α + ε ve x X 2 ç p x α sağlaıyor se X ve X 2 ümeler uvvetl (strogly) ayrılablr der. t Şel 2.7 Çeştl ayırma yötemler (Bazaraa vd., 993). Teorem 2.2 X ve X 2 R de verlmş boş ümede farlı oves üme ve X X 2 halde X ve X 2 ümeler ayıra öyle p 0, p R vetörü vardır = olsu. O x, p x2, p ; x X, x2 X 2 (2.9) İspat X = X X 2 olsu. X oves üme olup, X X 2 = olduğuda 0 X tr. Öyleyse 0 X otası le X ümes brbrde ayırma mümüdür. O halde sıfırda farlı br p R vetörü le br α saler ç t p 0 α ve t p x sağlaır. Burada α ; x X x, p 0, p ; x X olduğu açıtır. x X ve x2 X 2 ç x = x x2 X vetörüü eştszlte yere yazarsa x x 2, p 0 x, p x2, p ; x X, x2 X 2 ç spat edlr.

6 Teorem 2.3 X ve X 2, R de verlmş oves ümeler olma üzere X ompat, X 2 apalı üme olsu. Eğer X X 2 = se, 0 p ve p R vetörü le ε > 0 ç x, p x2, p ε ; x X, x2 X 2 (2.0) İspat X = X X 2 olsu. X ve X 2 ümeler oves olduğuda cebrsel farları da oves ümedr; aca apalı olmaları X apalı olmasıı geretrmez. Br ompat üme olmasıda dolayı X ümes apalıdır. Öcelle buu spat edelm: X ümesde x otasıa yaısaya br { x } dzs göz öüe alalım. x X olduğuu göstermelyz. X taımıda x = y z olup burada y X; z X 2 dr. X ompat üme olduğuda, lmt y X y z x ve κ ç y ola { } y olduğuda z y κ yaısa alt dzs mevcuttur. O halde z κ ç doğrudur. X 2 apalı olduğuda z X 2 dr. O halde x = y z, y X ve z X 2 olduğuda x X doğrudur. Öyleyse X apalı üme olduğu spat edlr. X X = olduğuda 0 X olup, Teorem 2.0 a göre sıfırda farlı br p R vetörü 2 le α saler ç t p x t ε ve p 0 < ε, x X sağlaır. x = x x2 X yere yazıldığıda t p ( x x ) ε 2 t t 2 p x p x + ε ; x X, x2 X 2. 2.3.3 Sıır Notalarıda Kümeler Destelemes Taım 2.6 X ve x X olsu. x X ç t R ) p ( x x) 0 veya t ) p ( x x) 0 olaca şelde p 0 ve p R vetörü mevcut se

{ : t ( ) 0} 7 H = x p x x = hperdüzleme X x otasıda deste hperdüzlem der. Taımda görüldüğü gb x H ve ) durumuda X H, ) durumuda se X H + dır. Bu taıma e olara eğer X der. H se ya H ye X x otasıda asıl deste hperdüzlem Şel 2.8 Hperdüzlem le ümeler sıır otalarıda destelemes (Bazaraa vd., 993) Teorem 2.4 X oves br üme ve x X olsu. O halde x clx ç sıfırda farlı br p R t vetörü var p ( x x) 0 olaca şelde X x otasıda desteleye br hperdüzlem mevcuttur. İspat Şel 2.9 Koves üme sıır otasıda destelemes (Bazaraa vd., 993) x X sıır otası olsu. X oves üme olduğuda, X sp sıır ümes her otasıa, apaışı dışıda br dz le yalaşma mümüdür; ya öyle br { y } dzs vardır y y clx ve ç y x dr. O halde Teorem 2.0 u uygularsa her clx otası ç ε > 0 sayısı ve p 0 vetörü ç x, p y, p ε ; x cl X, =,2,... Burada ε yı atablrz. Eştszl ye sağlaır: x, p y, p ; x cl X, =,2,... Dzy ormua bölelm. Böylece p p = q ; ormu ola vetörler dzs elde edlr. Bu dz

8 sıırlı olduğuda yaısa br alt dzs vardır ve bu yaısa alt dz br p 0 lmt mevcuttur. O halde her tarafı p le bölüp lmte geçerse x clx ç x, p x, p t t t elde edlr. Burada x p y p 0 p ( x y) 0 olduğu spat edlr. Souç olara vardır. X R oves ümes her x X sıır otasıda deste hperdüzlem Teorem 2.5 X R oves ümes her x 0 relatf sıır otasıda asıl deste hperdüzlem vardır. Teorem 2.6 X ve X 2, R de verlmş oves ümeler asıl ayrılablr olması ç gere ve yeter oşul rx rx 2 = olmasıdır. 2.4 Koves Fosyolar Taım 2.7 X R oves ümes ve f : X R fosyou verls. x, x2 X ve λ [ 0,] ç f ( λx + ( λ) x ) λ f ( x ) + ( λ) f ( x ) (2.) 2 2 sağlaıyorsa f fosyoua oves fosyo der. Şel 2.0 Koves fosyo (http://ocw.mt.edu). Eğer f oves se f fosyoua oav fosyo der. t f = a x + b af fosyou hem oves hem de oav fosyolara öre gösterleblr. Taım 2.7 de x x2 ve 0 < λ < ç f fosyoua es oves fosyo der.

9 Taım 2.8 X ümes ve f : X R fosyou verls. R { R } ep( f ) = ( t, x) X f ( x) t (2.2) ümese f fosyouu epgrafğ der. Epgraf geometr olara, fosyo grafğ üst ısmı alamıdadır. Şel 2. Br fosyou epgrafğ (Boyd vd., 2004). Yardımcı Teorem 2.4 f : X R fosyouu oves olması ç gere ve yeter oşul ümes oves olmasıdır. ep( f ) R + İspat f oves fosyo olsu. ( t, x ), ( t2, x2 ) ep( f ) ve λ (0,) alalım. O halde ep(f) taımıda f ( x ) t ve f ( x2 ) t2 dr. f oves olmasıda ve epgrafğ taımıda f ( λ x + ( λ) x ) λ f ( x ) + ( λ) f ( x ) 2 2 λ t + ( λ) t 2 λ t + λ t2 λ x + λ x2 ep f 2 2 ( ( ), ( ) ) ( ) oveslğ spat edlr. λ ( t, x ) + ( λ)( t, x ) ep( f ) olup ep(f) Terse ep(f) oves üme olduğuu varsayalım. f oves olduğuu gösterelm. x, x2 X, λ (0,) ç f ( x ) t, f ( x2 ) t2 edlr. ep( f ) oves üme olduğuda = = olsu. O halde ( t, x ),( t2, x2 ) ep( f ) elde λ ( t, x ) + ( λ)( t2, x2 ) ep( f ) 2 2 olup burada ep(f) taımıa göre f ( λ x + ( λ) x ) λ f ( x ) + ( λ ) f ( x ) 2 2 elde edlr. ( λ t + ( λ) t, λ x + ( λ) x ) ep( f )

20 Teorem 2.5 (Jese Eştszlğ) X ümes ve f : X R oves fosyou verls. O halde x R X, =,..., m ç m λ 0, λ = ve = m m f ( λ x ) λ f ( x ) (2.3) = = Görüldüğü üzere Jese eştszlğ oves fosyolar ç verle taımı geelleştrlmş haldr; m=2 ç geel taımı elde edldğ açıtır. Taım 2.9 X ümes ve f : X R oves fosyou verls. R { ( ) } Lα = x X f x α (2.4) ümese f sevye ümes der veya üst sevye ümes le arıştırmama ç alt sevye ümes de der. 2.4. Koves Fosyoları Sürellğ Koves fosyoları öeml br özellğ de ç otalarıda her zama sürel olmalarıdır. Koves fosyo br aralıta sürel se olsa olsa aralığı uç otalarıda süresz olablr. Ya açı br üme üzerde oves fosyo dama süreldr. Teorem 2.6 X R oves ümes ve f : X R oves fosyou verls. f fosyou x0 rx otasıı belrl br etrafıda yuarıda sıırlı olsu. O halde f fosyou x 0 otasıda süreldr. Teorem 2.7 X R oves ümes ve f : X R oves fosyou verls. O halde f fosyou r( X ) ümesde süreldr. İspat Keyf x0 r( X ) olsu. O halde r( co) {,..., } şelde + ota buluablr. x0 x x + olaca şelde x,..., x r( X ) +

2 + + co ( X ) = x X : x = λx, λ 0, λ = = = olma üzere oves abuğu her elemaı X e fazla + otasıı oves ombasyou şelde fade edleblr. co{,..., } gösterleblr. f oves fosyo olduğuda x x x + vetörü + x şelde = x = λ + + dr. f ( x) = f ( λ x ) λ f ( x ) Burada = = a = max f ( x ) seçldğde f ( x) a elde edlr; ya 0 + x otasıı co{,..., } x x + etrafıda f fosyou yuarıda sıırlıdır. O halde Teorem 2.6 ya göre f fosyou x 0 otasıda süreldr. 2.4.2 Koves Fosyoları Yö Türev ve Subgradet Br öce bölümde oves fosyoları her relatf ç otasıda sürel olduğuu gösterd. Bu bölümde se oves fosyoları her ç otasıda uygu yöde türev olduğu gösterlecetr. Taım 2.9 X R ümesde f : X R fosyou taımlası. x0 X ve 0 d R olma üzere ( 0 ) ( 0) λ (0, δ ) aralığı ç x0 + λd X olsu. Eğer lm f x + λ d f x λ 0 λ fosyouu x 0 otasıda d yöüde türev vardır der ve ( 0 ) ( 0) ( 0; ) lm f x + λ d f x d = f x λ 0 λ le gösterlr. Bezer olara f ( x0 λd) f ( x0) f ( x0 λd) f ( x0) f ( x0; d) = lm = lm λ 0 λ λ 0 λ λ = θ olsu. O halde λ 0 + ç θ 0 olur. Yere yazarsa ( 0 ) ( 0) ( 0; ) lm f x + θ d f x d = f x θ 0 θ (Rocafellar, 970). lmt mevcut se, f (2.5) (2.6)

22 Yardımcı Teorem 2.5 δ > 0 olma üzere :[, ] R f γ γ fosyou verls. ( x ] 0, γ aralığıda f aşağıda sıırlı ve mooto arta olsu. O halde f f ( x) x < x γ 0 vardır ve f f ( x) = lm f ( x) x < x γ x x 0 0 Teorem 2.8 X R oves ümesde f : X R oves fosyou verls. Keyf x0 0 d R olsu. [, ] X ve λ ε ε ç x0 + λd X olaca şelde br ε > 0 sayısıı mevcut olduğuu abul edelm. O halde f fosyouu x 0 otasıda d yöüde türev vardır ve ( 0 ) ( 0) ( 0; ) f f x + λ d f x d = f x dır. (2.7) λ> 0 λ Taım 2.0 X oves ümesde f : X R oves fosyou verls. Eğer R f ( x) f ( x ) x x, x ξ, x X ç (2.8) 0 0 sağlaıyor se x ξ vetörüe f fosyouu x 0 otasıda subgradet der. f x0 otasıda tüm subgradetlerde oluşa ümese f fosyouu x 0 otasıda subdferasyel der ve f ( x0 ) le gösterlr. Şel 2.2 Koves fosyoları subgradet geometr yorumu (Burach, 2007). f fosyouu x 0 otasıda subgradete sahp olması ç gere ve yeter oşul l( x) = f ( x ) + x x, x ξ br af fosyo olma üzere 0 0 ) l x0 = f x0 ( ) ( ) ) l( x) f ( x), x X

23 oşullarıı sağlamasıdır. Buu geometr alamı, grafğ ( x0, f ( x 0)) otasıda geçe ve X ümesde f grafğ aşağısıda ala af br fosyo var demetr. Dğer br yorum açısıda x ξ vetörüü f fosyouu x 0 otasıda subgradet olması ç gere ve yeter oşul ( x0, f ( x 0)) sıır otasıda ( x ξ, ) dış ormale sahp ola ve bu otada ep( f ) desteleye br hperdüzlem bulumasıdır. (Burach, 2007) Teorem 2.8 X R oves ümesde f : X R oves fosyou verls. x0 aşağıda fadeler brbre detr: ) f ( x0) X olma üzere ) ep( f ) ümes ( x0, f ( x0 )) otasıda ( x, a); a 0 dış ormal ola desteleyc hperdüzleme sahptr. ξ Şel 2.3 Epgrafğ, subgradet otasıda destelemes (Burach, 2007). Teorem 2.9 X R ümesde f : X R fosyou verls. O halde f ( x0 ) oves ve apalı br ümedr. Teorem 2.20 X R oves ümesde f : X R oves fosyo ve x0 rx olsu. O halde x ξ f ( x0 ) olması ç gere ve yeter oşul 0 d R ç f ( x0, d) d, x ξ olmasıdır.

24 İspat x ξ f ( x0 ) se x X ç f ( x) f ( x0 ) x x0, x ξ doğrudur. Teorem 2.8 e göre f oves fosyou ç x0 rx ve 0 d R olduğuda f ( x0, d) mevcuttur ve teorem varsayımıda λ [ δ, δ ] ç x0 + λd X olaca şelde br δ > 0 sayısı vardır. O halde ξ ξ 0 0 0 0 0 f ( x + λd) f ( x ) x + λd x, x = λ d, x, x + λd X ç doğrudur. Bu eştszlğ λ > 0 sayısıa bölüp, λ 0 ç lmte geçerse f ( x, d) d, x ξ 0 elde edlr. Terse 0 d R ç f ( x0, d) d, x ξ q( λ ) = f ( x0 + λ( x x0)) f ( x0) λ sağlası. [ ] q : ε, ε R olma üzere olsu. q( λ ) fosyouu (0, ε ) arasıda mooto arta olduğu olaylıla gösterleblr. λ (0,) olsu. O halde q mooto arta olduğuda x x, x f ( x, x x ) = lm q( λ ) = f q( λ) q( λ) q() = ξ 0 0 0 olup burada λ 0 λ> 0 f ( x0 +.( x x0 )) f ( x0 ) ξ 0 0 x x, x f ( x) f ( x ); x X elde edlr. O halde x ξ f ( x0 ) sağlaır. Teorem 2.2 X R oves ümesde f : X R oves fosyou verls. O halde x0 rx ç f ( x0) dr. 2.4.3 Dferasyellee Koves Fosyolar Taım 2. X br üme ve f : X R fosyou verls. Eğer x X ç R f ( x) = f ( x ) + x x, f ( x ) + x x α( x, x x ) (2.9) 0 0 0 0 0 0 olaca şelde br f ( x0 ) vetörü le br α : R R fosyou bulma mümüse o zama f fosyou x0 tx otasıda dferasyelleedr der. Burada α : R R fosyou ç Dğer br deyşle lm α( x ; x x ) = 0 özellğ sağlaır. x x 0 0 0

25 f ( x) f ( x0) x x0, f ( x0 ) lm = 0 x x0 x x 0 ( 2.20) Burada f ( x0 ) vetörü, gradet vetörü olara adladırılıp, eğer f fosyou x 0 otasıda dferasyellee se sadece br te gradet vetörü olablr: t f ( x0) f ( x0) 0 0 0 x x t [ ] f ( x ) =,..., f ( x ),..., f ( x ) (Bazaraa vd., 993). (2.2) f, x 0 otasıda dferasyellee olsu. x = x0 + λ d ve 0 d R ç taıma göre ( ) ( ) ( ), 0 0 lm f x + λ = d f x 0 f x 0 λ d λ 0 0 0 λ d ( f ( x0; d) f ( x0 ), d ) = d f ( x ; d) = f ( x ), d, d R (2.22) elde edlr. Özel olara; e j, l brm matrs j. sütuu olma üzere d = e j, j =,..., alıırsa f ( x0 + λe j ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ), e j = f ( x0; e j ) = lm = λ 0 λ x j (2.23) x 0 otasıda O halde x j değşee göre ısm türev elde edlr. 0 f ( x0; d) = f ( x0 ), d = d = x (Rocafellar, 2007). f ( x ) (2.24) Şmd oves fosyolar ç dferasyel le subdferasyel arasıda lşy vere teorem spat edelm: Teorem 2.22 X R oves ümesde f : X R oves fosyou verls. Eğer f fosyou x0 X otasıda dferasyellee se f ( x0 ) f ( x0 ) dır. Teorem 2.23 R X oves ümesde f : X R oves fosyou verls. x0 tx otasıda f dferasyellee olduğuu varsayalım. O halde f ( x ) { f ( x )} =. 0 0

26 İspat Teorem 2.22 ye göre f ( x0 ) f ( x0 ) dır. x ξ f ( x0 ) olma üzere x ξ f ( x 0 ) olduğuu abul edelm. f, x 0 da dferasyellee olduğuda () f ( x0; d) = f ( x0 ), d ve Teorem 2.20 ye göre x ξ f ( x0 ) () f ( x0, d) x ξ, d, 0 d R elde edlr. Şmd () ve () de f ( x0), d x ξ ξ, d 0 0 x f ( x ), d, 0 d R buluur. Aca bu eştszl 0 d ç doğru olduğuda sadece x ξ f ( x0 ) = 0 ç R gerçeleşeblr. Öyleyse x ξ = f ( x0 ) elde edleceğde bu durum teorem abulu le çelşr. ξ = olup f ( x ) { f ( x ) } O halde x f ( x0 ) = olmalıdır. 0 0 Herhag ço değşel fosyou br otasıda tüm değşelere göre ısm türev mevcut se bu otada fosyou dferasyelledğ söyleyemeyz. Aca aşağıda teorem, oves fosyoları br otada tüm değşelere göre ısm türevler mevcut se fosyou dferasyellee olduğuu söylemetedr. Teorem 2.24 X R oves üme ve f : X R oves fosyou verls. x0 tx olsu. f fosyouu x 0 otasıda tüm değşelere göre ısm türevler mevcut se f, x 0 otasıda dferasyelleedr. İspat g : R R fosyouu şöyle taımlayalım: g( h) = f ( x + h) f ( x) f ( x), h olsu. f x 0 otasıda dferasyellee olduğuu gösterme ç türevler mevcut olduğua göre g( h) f ( x + h) f ( x) =, =,..., h x x g( h) lm = 0 olmalıdır. f ısm h 0 h

27 olup, g ısm türevler vardır. g fosyouu taımıda g (0) = 0 ve g(0) = 0 h j olduğu görülür. g oves olduğu açıtır. e =. brm vetör olma üzere O halde = = = = = h = h e yazılablr. g( h e ) g( h e ) g( h) = g( h e ) = g( h e ) g( h e ) = ( h ) h h h (2.25) yazılablr. Burada eştszller oluşturure üçge ve Cauchy-Schwarz eştszllerde yararlaılmıştır. Şöyle h, w olma üzere; R t h w = h w h. w = h. we h. w. e = h. w = = = = özellğde yararlaılmıştır. (2.25) delemde h yere h alıdığıda g( h e ) g( h) h (2.26) h = g oveslğde yararlaara 0 = g(0) = g h + ( h) g( h) + g( h) 2 2 2 2 g( h) g( h) (2.27) buluur. Şmd (2.25), (2.26) ve (2.27) eştszller brleştrrse g( h e ) g( h) g( h) g( he ) h h h h (2.28) = = g( h e ) f ( x + he ) f ( x) = f ( x), e h h (2.28) eştszlğde h 0 ç e sağ ve e sol ısmı lmtler 0 dır. O halde burada g( h) lm = 0 elde edlr (Burach, 2007). h 0 h = Taım 2.2 X br üme ve f : X R fosyou verls. x X ç R f 2 ( x ) = f ( x 0) + x x 0, f ( x 0) + ( 0)( 0),( 0) 0 ( 0, 0) 2 H x x x x x + x x α x x x (2.29)

28 olaca şelde br f ( x0 ) vetörü, boyutlu smetr H( x 0) matrs le br α : R R fosyou bulma mümüse o zama f fosyou x0 tx otasıda ez dferasyelleedr der. Burada α : R R fosyou ç lm α( x ; x x ) = 0 özellğ x x 0 0 0 sağlaır. H( x 0) matrs, Hessa matrs olara adladırılır ve c mertebede ısm türevler çerr: 2 j ( 0) ( 0) / j f x = f x x x, =,...,, j =,..., olma üzere f( x0 ) f2 ( x0 )... f ( x0 ) f2( x0 ) f22( x0 )... f2( x0 ) H( x0 ) =............ f( x0 ) f2( x0 )... f ( x0 ) (2.30) Teorem 2.25 X açı, oves br üme ve f : X R X ümesde dferasyellee fosyo R olsu. O halde f oves olması ç gere ve yeter oşul H( x 0) Hessa matrs X ümesde her otada poztf yarı-belrl olmasıdır. Taım 2.3 R X ümesde : R R f herhag br fosyo olsu. m { f ( x) : x X} göz öüe alalım. O halde x X vetörüe uygu (feasble) çözüm der. problem x X ç f ( x0 ) f ( x) (2.3) eştszlğ sağlaya x0 x X B x ( 0, ε ) ç 0 eştszlğ sağlaya x0 Bezer olara ε > 0 olma üzere x X B x ( 0, ε ) ve 0 eştszlğ sağlaya x0 X vetörüe global mmum der. ε > 0 olma üzere f ( x ) f ( x) (2.32) X vetörüe loal mmum der. x x ç f ( x0 ) < f ( x) (2.33) X vetörüe es loal mmum der. Teorem 2.26 f : R R oves br fosyo ve X R oves br üme olsu. O halde x0 X m f ( x) : x X problem global mmumu olması ç gere ve yeter oşul otasıı { } x X ç x x 0, xξ 0 olaca şelde f x 0 otasıda x ξ subgradet mevcut olmasıdır.

29 İspat x X ç x x 0, xξ 0 olaca şelde x ξ f ( x0 ) olsu. O halde f ( x) f ( x ) + x x, x, x X elde edlr. Burada x x 0, xξ 0 oşulu le 0 0 ξ 0 0 0 f ( x) f ( x ) + x x, x f ( x ), x X ξ olacağıda x 0 ı global mmum olduğu görülür. Terse, x 0 problem global mmum çözümü olsu. Λ, Λ R + olma üzere aşağıda ümey oluşturalım: 2 {( x x, y) : x R, y f ( x) f ( x )} Λ = > ; Λ = {( x x, y) : x X, y 0} 0 0 2 0 Λ ve Λ 2 ümeler oves olduğu açıtır. Ayrıca Λ Λ 2 = dr. As halde ( x x, y) 0 Λ Λ 2 olsu. O halde 0 0 y f ( x) f ( x ) olaca şelde x X vardır. Aca bu durum x 0 ı global mmum olması le çelşr. Kesşmler boş ola oves ümey ayıra hperdüzlem mevcuttur; ya 0 ( xˆ, ) R + µ ve α saler olma üzere x x x + µ y α, x R, y > f ( x) f ( x0 ) (2.34) 0, ˆ 0, ˆ x x x + µ y α, x X, y 0 (2.35) (2.35) de x = x0 ve y = 0 alıırsa α 0 olur. 2.34 te x = x0 ve y = ε > 0 alıırsa µε α olur. O halde bu eştszl ε > 0 ç doğru olduğuda µ 0 ve α 0 elde edlr. Souç olara µ 0 ve α = 0 elde edlr. Eğer µ = 0 alıırsa x x 0, xˆ 0, x X olur. Burada x = x0 + xˆ seçlrse doğrudur, aca bu durum 2 0 0 ˆ 0 x x, x x = x elde edlr. Bu eştszl aca x ˆ = 0 ç 0 ( xˆ, µ ) olması le çelşr. O halde µ < 0 olmalıdır. Öyleyse (2.34) ve (2.35) delemler µ le bölere, xˆ / µ yere x ξ vetörüü alırsa aşağıda eştszller elde ederz: y x x 0, xξ, x R, y > f ( x) f ( x0 ) (2.36) ξ x x 0, x y 0, x X, y 0 (2.37) (2.37) delemde y = 0 alıırsa x x 0, x 0, x X elde edlr. (2.37) de ξ f ( x) f ( x ) + x x, x, x R 0 0 ξ ξ olduğu açıtır. O halde x x 0, x 0, x X olaca şelde x ξ vetörü f x 0 otasıda subgradete eşttr (Bazaraa vd., 993).

30 3. ÇOK KRİTERLİ OPTİMİZASYON TEORİSİNE GİRİŞ Matematsel fade le te rterl optmzasyo problem amacı br amaç fosyoua mmum veya masmum değer vere çözümü bulmatır; aca güümüzde arşılaştığımız problemler gelşe teoloj ve çevresel şartlar gereğ geellle armaşı br doğaya sahptr. Bu edele bu tür problemler te rter le araterze edp optmal çözümüü bulmaı pe faydası olmayacatır. Karmaşı problemler geellle brbr le çelşe ve ıyaslaamaya amaç fosyoları le araterze edlr; öreğ getr, rs, ar, malyet, zama, performas vs...(steuer, 986). Ço rterl optmzasyo problemde br çözümü tüm rterlere göre e y olması adr rastlaa br olaydır. Eğer amaç fosyoları brbrler le çelşmyorsa, tüm amaç fosyolarıı optmum yapa te br çözüm buluablr. Bu tür çözümler deal çözüm olara adladırılır. Aca geellle amaç fosyoları brbrler le çelştğde ve ıyaslaamaz olduğuda te e y çözümde bahsetme mümü değldr. Geellle br te çözüm yere çözüm ümesde bahsedlr. Bu çözümlere Pareto (veya et) çözüm delmetedr (Mette, 999; Collete vd., 2003). Ço rterl optmzasyo teors esas problem, et olmaya çözümler çözüm ümesde eleyere et ola y çözümlere ulaşmayı amaçlamatır. Pareto optmal çözümler buluduta sora bu çözümler arasıda e y ararı seçme geellle arar verc şsel terchlere bağlıdır. Bu durumda arar verc ararlarıı modelleme ç teor söz ousudur: ) Çolu özell ç fayda teors (mult-attrbute utlty theory) ) Ço rterl arar yardım teors (multcrtera decso ad theory) (Tabucao, 988; Collete vd., 2003). Burada görüldüğü üzere ço rterl optmzasyo le ço rterl arar aalz brbr tamamlaya aladır. Bu tez esas amaçlarıda br ço rterl optmzasyo teors celemetr. Ço rterl optmzasyo teors esas amaçlarıda br optmal çözümler varlığı haıda oşullar bulmatır. Gasımov (992), çalışmasıda oves ümeler sevye ümeler yardımı le leer olmaya ayırma teorem gelştrere asıl mmal otalar ç gere oşul bulmuştur. Bu çalışmada se Gasımov u spatlamış olduğu teorem gelştrlere otayı ümede ayıra sevye ümes vere fosyou recessve fosyou le uzayda sıralama sağlaya o arasıda br lş bulumuş ve bu lş sağlaması durumuda verle otaı asıl mmal ota olduğuu göstere br teorem spatlamıştır.

3 Taım 3. X ümesde f ( x ),..., f ( x ) fosyoları verlme üzere R m( f ( x),..., f ( x)) x X (3.) problem ço rterl (ço amaçlı veya vetör) optmzasyo problem olara adladırılır. Burada x R arar değşe vetörü olma üzere X uygu üme se at arar vetörü uygu arar vetörü olara adladırılır. R arar değşe uzayı, R amaç uzayı ve f : R R, =,...,, 2 amaç fosyoları dır. X uygu ümes f : R R eşleştrmes altıda görütüsüe uygu amaç ümes der ve Y = f ( X ) le gösterlr. Y elemaları se uygu amaç vetörü olara adladırılır ve y f x ( f x f x ) gösterlr (Mette, 999; Ehrgott, 2000). = ( ) = ( ),..., ( ) T le (3.) problem mmumuu buluması deme amaç fosyolarıı eş alı olara mmze edlmes alamıa gelr. Eğer amaç fosyoları brbrler le çelşmyorsa, tüm amaç fosyolarıı optmum yapa te br çözüm buluablr. Aca geellle amaç fosyoları brbrler le çelştğde ve ıyaslaamaz olduğuda te e y çözümde bahsetme mümü değldr (Mette, 999). Ço rterl optmzasyo teors esas problem, optmal çözümler varlığıı ve özelller celeme, bu çözümler ç gere ve yeter oşullar bulmatır. Te rterl optmzasyo problemler amacı arar değşe uzayıı celeme e ço rterl optmzasyo problemlerde amaç uzayı le lglelr. Amaç fosyolarıı brbr le çelşmes ve ölçülememes özelllerde dolayı amaç uzayıda geel sıralama bağıtısı yere ısm sıralama bağıtısıda bahsedlr. Buda dolayı optmall avramları amaç uzayıda verle ısm sıralama bağıtısı le yaıda ltldr (Mette, 999; Gorg vd., 2004). Optmall avramlarıı celemede öce sıralama le lşl avramlar açılaacatır. 3. Koler Taım 3.2 K R boş ümede farlı br üme olsu. Eğer x K ve λ 0 ç λx K sağlaıyor se K ya o der. K R os ç

32. K 0 ve K R se K aşar olmaya (otrval) odr.. x, x2 K ve λ [ 0,] ç λ x + ( λ) x2 K se K os ovestr.. x K, x 0 ç x K (poted). se ya K ( K) { 0} se K os svr uçludur Taım 3.3 K R boş ümede farlı br üme olsu. {, 0, } Şel 3. Kolere öreler (Ehrgott, 2000). K = y R y x x K (3.2) ümese K ı eşle os der. K = { 0} ç K = R, R K = ç { 0} K =, K R+ { x R x 0} = = ç K = K dır. Taım 3.4 K R br o ve K ou eşleğ olsu. {, 0, } K = x R x y y K (3.3) ümese K ı c eşle os der. Yardımcı Teorem 3. K R br o olma üzere, K her zama apalı oves odr. İspat {, 0, } K = y R y x x K ümes apalı olduğuu gösterme ç br y K dzs göz öüe alalım. ç y y0 abul edp 0? y K

33 T y K y x 0, x K olup burada lmte geçerse T y0 x 0, x K y0 K O halde K apalıdır. Şmd oveslğ gösterelm. y, y2 K λ y + ( λ ) y K olduğuu göstermelyz. 2, [ 0,] λ ç λ y + ( λ) y2, x = λ y, x + ( λ) y2, x olup y, y2 K y, x 0, y2, x2 0 olacağıda λ y + ( λ) y2, x 0 olduğu görülür, ya K ovestr. Teorem 3. K apalı oves br o se K İspat = K dır. K K ve K K olduğuu göstermelyz: x K ç y, x 0 şartıı sağlaya y K vardır ve y K ç x, y 0 olaca şelde x K vardır. O halde K K dır. Terse K K olduğuu abul edelm. x K ve x K olsu. K apalı oves br üme olduğuda x otası le K os sıfırda farlı br p vetörü ve br α saler ç aşağıda şelde ayırablrz: p, y α, y K ve p, x > α Burada y = 0 K olduğuda α 0 elde edlr ve dolayısıyla p x > α 0 p x > 0 dır. T p K olup y K ç p y 0 sağlaır. As halde ayırma teorem soucua göre p, y α, y K sağlamayablr. Çüü bazı y K ç p y > 0 olacatır bu durum ayırma teorem soucua göre elde edle p, y α, y K gerçeğ sağlamaz. x K abulüde dolayı y K ç x, y 0 olmalıdır. p K olduğuda p x 0 olur bu T durum ayırma teorem soucu ola p x > 0 le çelşr. O halde x K olmalıdır. K K olup her apsamada dolayı K = K spat edlr (Bazaraa vd., 993). T T t T Taım 3.4 K R br o ve X R olma üzere eğer

34. X + K oves se X ümese K-ovex,. X + clk apalı se X ümese K-apalı,. X z + K, z R se X ümese K-sıırlı, v. x X ç ( x cl K) X ompat se X ümese K-ompat der (Tao ve Sawarag., 980). Özell 3. X R ümes oves olması ç gere ve yeter oşul X { 0} oves olmasıdır. Taım 3.5 X oves ümes verls. R { R λ λ> } + 0 X = z : x + z X, x X, 0 (3.4) ümes X recessve os olara adladırılır. Sawarag ve dğerler (985) recessve o avramıa dayaara oves ümeler araterzasyou ç alteratf sumuşlardır: Özell 3.2 + X R apalı oves ümes sıırlı olması ç gere ve yeter oşul 0 X = { 0} olmasıdır. E olara, Eğer X ümes K-sıırlı se o halde { } 0 + ( clk) = 0 (3.5) Özell 3.3 K R svr uçlu, apalı, oves br o olsu. olması ç gere ve yeter oşul K-apalı ve K-sıırlı olmasıdır. X R oves ümes K-ompat Taım 3.6 X R eyf üme olsu. Aşağıda verle ümeler { R :, 0, } K = d c d c K { R :, 0, { 0} } K # = d c d > c K Kümeler sırası le K ı poztf dual ve es-dual os (veya (3.6) (3.7) K ı quas-ç) olara

35 adladırılır. Eğer K = K se K ya self-dual der. Dual ve es dual oler sırasıyla apalı oves ve oves olerdr. Ayrıca es dual o orj çermez ve { 0} K apalı oves odr. s Özell 3.4 K, K, K R eyf ümeler verls. Eğer K K2 se 2 tk = K = cl K ve ( K) s = K { 0} ( ) ( ) t. K K ve e olara 2 3.2 İl Bağıtı ve Kısm Sıralama Bu bölümde eyf X ümes üzerde taımlamış ola l bağıtı avramı ve çeştl özelller celeece ve uzayda verle ısm sıralama bağıtısı le o arasıda lş gösterlecetr. Taım 3.7 X eyf ümes üzerde taımlaa l bağıtı R, X ümes olup aşağıda özelllere göre farlı smler le adladırılır:. Eğer x X ç ( x, x) R se yasımalı,. Eğer x X ç ( x, x) R se yasımasız,. Eğer x, x2 X ç ( x, x2) R ( x2, x ) R se smetr, v. Eğer x, x2 X ç ( x, x2 ) R ( x2, x ) R se asmetr, X artezye çarpımıı br alt v. Eğer x, x2 X ç ( x, x2 ) ve ( x2, x ) R x = x2 se at smetr, v. Eğer x, x2, x3 X ç ( x, x2) ve ( x2, x3) R ( x, x3) R se geçşmel, v. Eğer x, x2, x3 X ç ( x, x2) ve ( x2, x3) R ( x, x3) R se ters geçşmel, v. Eğer x, x2 X ç ( x, x2) R ve x x2 ( x2, x ) R se zayıf bağlatılı, x. Eğer x, x2 X ç x x 2 ( x, x 2 ) R veya ( x 2, x ) R se bağlatılı, x. Eğer x, x2 X ç ( x, x2) R ( x2, x ) R se (güçlü) bağlatılı veya tam olara adladırılır. İl bağıtıı özelller arasıda aşağıda lş mevcuttur: Özell 3.5 R X X br X ümes üzerde taımlı bağıtı lşs olsu. Eğer R

36. asmetr se yasımasızdır.. geçşmel ve yasımasız se asmetrtr.. ters geçşmel ve asmetr se geçşmeldr. v. geçşmel, yasımasız ve zayıf bağlatılı se ters geçşmeldr. Şmd l bağıtı taımıda hareetle sıralama avramları açılaacatır. Sıralama ç l bağıtı smges olara R yere geellle ullaılır. ( x, x2) ve ( x, x2) göstermler yere ısaca x x2 ve x x2 smgeler ullaılır. Taım 3.8 X ümes üzerde taımlı l bağıtısı. yasımalı, smetr ve geçşmel se del bağıtısı,. yasımalı ve geçşmel se ö sıralama bağıtısı,. yasımalı, geçşmel ve bağlatılı se tam ö sıralama bağıtısı, v. yasımalı, geçşmel ve at smetr se ısm sıralama bağıtısı, v. yasımasız ve geçşmel se es ısm sıralama bağıtısı, v. asmetr ve ters geçşmel se zayıf sıralama bağıtısı v. asmetr, geçşmel ve zayıf bağlatılı se tam sıralama bağıtısı olara adladırılır (Sawarag vd., 985; Ehrgott, 2000). R de sı ullaıla ve bu çalışmada ullaılaca ola bazı sıralamalar çzelgede verşmştr: Çzelge 3. R de taımlı Pareto sıralamalar. x < y x y, =,..., : zayıf Pareto sıralama x < y x y, x y, =,..., : Pareto sıralama x < y x < y, =,..., : es Pareto sıralama Şmd l bağıtı le oler arasıda lşler vere souçlar le özelllere değlecetr: Taım 3.9 K R os verls. K os tarafıda oluşturula { R R } R K : = ( x, y) : ( y x) K (3.8) l bağıtısı R üzerde o bağıtısı olara adladırılır.

37 Özell 3.6 K R br o ve R K o bağıtısı olsu. O halde R K saler le çarpma ve toplama şlemler uyumlu olup aşağıda özelllere sahptr:. yasımalı 0 K. geçşmel K oves. at smetr K svr uçlu Özel olara, Taım 3.8 de ve Özell 3.6 da svr uçlu, oves K os tarafıda oluşturula R K o bağıtısıı ısm (es ısm) sıralama bağıtısı olması ç gere ve yeter oşul 0 K (0 K) olmasıdır. Bu sebeple svr uçlu, oves o sıralama os olara ta adladırılır ve zleye şeldedr: x y y x K (3.9) { 0} x y y x K (3.0) Özell 3.7 X R üzerde saler çarpma le uyumlu sıralama bağıtısı taımlası. O halde { R } K : = y x : x y (3.) br odr. Bu durumda, eğer bağıtısı toplama şlem le uyumlu se. 0 K yasımalı. K oves geçşmel. K svr uçlu at smetr. Özel olara, R de Pareto sıralama bağıtısı taımlası. O halde (4.) de taımlaa bağıtı os sırası le R egatf olmaya, sıfırda farlı ve poztf bölgeler elde edlr: { : 0} < > K = x R x > = R (3.2a) { : 0} < > K = x R x > = R (3.2b) { : 0} < > K = x R x > = R (3.2c)

38 Özell 3.8 x, y R ve K R aşar olmaya, oves, svr uçlu o olma üzere K ose göre arar değşe uzayıda Pareto sıralama bağıtısı şu şelde taımlaır: x > K y x y K (3.3a) { 0} x K y x y K (3.3b) x > y x y t K (3.3c) K (Ehrgott, 2000; Jah, 2003; Gorg vd., 2004). Ço rterl optmzasyo problem çözüm ümes çersde yer ala br çözümü y br çözüm olablmes ç dğer çözümler le arasıda basılı lşs olmalıdır. Dğer çözümlere arşı bası ola aca edlere arşı bası olmaya çözümler Pareto optmaldr. Aca basılı taımıda hareetle, br amaç fosyouu br dğere hag şartlarda terch edlebleceğ söyleme mümü değldr. Bu eslğ gderleblmes ç basılı avramıa dayaa lşler ortaya çımıştır. (Collete vd., 2003). Bu çalışmada oye göre basılı avramı celeecetr. Taım 3.0 X ümes üzerde es sıralama bağıtısı taımlası. x X ç R { R } D( x) = d : x x + d (3.4) ümes bası üme olara adladırılır. Eğer x x2 se x vetörü x 2 vetörüe basıdır der (Yu, 974). Özell 3.9 X R ümes üzerde toplama ve salerle çarpma şlemler le uyumlu sıralama bağıtısı verls. O halde x X ç { R } D( x) = d : 0 d = K (3.5) K orj çermeye svr uçlu oves br odr. Özell, terse sırada gb yazılablr: Özell 3.0 K R svr uçlu oves o olsu. Eğer D( x) R üzerde K os tarafıda oluşturula es ısm sıralama bağıtısı taımlı se x X ç D( x) K { 0} = dır.

39 3.3 Pareto Optmal Çözümler Ço rterl optmzasyo teors alaıda l çalışmalar 88 yılıda Edgeworth u ordal fayda taımı le ortaya atılmış ve daha sora bu taım 896 yılıda Pareto tarafıda gelştrldğ ç ço rterl optmzasyo teors optmal çözümler Pareto sm le de aılmatadır (Mette, 999; Jah, 2003). Pareto u 906 yılıda yapmış olduğu taıma göre herhag br aya tahssde br ş refahı, aca br başa ş refahı azaltılara artırılablyorsa, bu duruma Pareto optmal der (Ayıldız, 2005). Taım 3. X R ümes ve x X verls. Eğer her =,..., ç f ( x) f ( x ) ve e azıda br j ds ç f ( x) < f ( x ) eştszller sağlaya x X vetörü mevcut değl se j j x vetörüe Pareto mmum çözüm der. x Pareto mmum se f ( x ) değere et der. Tüm Pareto optmal çözümlerde oluşa üme değerlerde oluşa üme Y eff le gösterlr. X par le ve tüm y = f ( x ) et Şel 3.2 Pareto optmal çözümler geometr gösterm (Ehrgott, 2000). Lteratürde bazı yazarlar Pareto optmal çözüm yere et, bası olmaya veya ad olmaya çözüm avramlarıı ullamatadırlar. Ye lteratürde Pareto optmal çözüm ç verle bazı taımlar aşağıda verlmetedr: Eğer. x X ç ( ) ( ) R f x 2. ( ) ( ) R \{ 0} { } f x \ - R + \{ 0} se f x f x + olaca şelde x X mevcut değl se 3. f ( X ) ( f ( x ) R ) { ( + f x )} 4. = se ( ) ( ) R olaca şelde f ( x) f ( X )\{ f ( x )} f x f x + mevcut değl se

40 x vetörüe Pareto optmal çözüm der (Ehrgott, 2000). Bezer taımlar y et değer ç de verleblr. Taım 3.2 x X arar vetörü δ > 0 olaca şelde X B( x, δ ) ümesde Pareto optmal çözüm se, x vetörüe loal Pareto optmal çözüm der. Öcelle Y = { y Y : y Y, y < y} eff / et çözüm ümes özelller celeece ve varlı teorem spat edlcetr. Daha sora f özelller yardımı le Pareto çözüm ümes X par haıda souçlar elde edlecetr. Yardımcı Teorem 3.2 Y olma üzere Y = ( Y + + ). R eff R eff İspat? y ( Y + + ) y Yeff. y Yeff olduğuu varsayalım. y ( Y + ) R olaca şelde y ( Y + R + ) yotur. y Yeff İ olasılı söz ousudur: R { 0} + R eff y y R + { 0} y y + olaca şelde y Y vardır. ) y Y olsu. O halde y = y + d olaca şelde y Y ve 0 R vardır. y = y + 0 ( Y + R + ) olduğuda y ( Y + + ) eff çelşs buluur. ) y Y olsu. O halde y < y olaca şelde y Y Öyleyse y = y + d ve y ( Y + + ) eff varsayım le çelşr. R R d + vardır. R { 0} d = y y + olsu. O halde her durumda da y Y eff tr. Şmd ters apsama gösterlmeldr.? ( R y Yeff y Y + + ). y ( Y R + ) + olduğuu varsayalım. O halde = R { 0} y y d + olaca şelde bazı y ( Y + R + ) vardır; ya y Y, d R + olma üzere y = y + d = + = + + = + ; = ( + ) R { 0} şelde yazılablr. Öyleyse y y d y ( d d ) y d d d d + yazılablr. O halde y Y çelşs elde edleceğde y ( Y + + ) dır. Her apsamada eff R dolayı Yeff = ( Y + + ) eff. Bu durum geometr olara Şel 3.3 te gösterlmetedr. R

4 Şel 3.3 Y ve ( + ) ümeler et otaları (Ehrgott, 2000). Y R + Teorem 3.2 [Cotact Theorem] Y R ümes ve f ( x ) Y verls. f ( x ) ı Pareto optmal çözüm olması ç gere ve yeter oşul { } Y γ ( f ( x )) = f ( x ) ; γ ( f ( x )) = { f ( x) R : f ( x) = f ( x ) + γ, γ 0} olmasıdır. Vcet ve Gratham ı (98) spatlamış olduğu teoreme göre, tüm Pareto optmal çözümler Y eff ümes sıırıda yer almatadır. Yardımcı Teorem 3.3 Yeff Y. İspat eff? y Y y Y. y Y olduğuu varsayalım. O halde y otasıı br ε omşuluğu B( y; ε ) : = y + B(0; ε) Y olaca şelde y ty vardır. 0 R olsu. O halde λd U (0, ε ) olaca şelde 0 λ > seçleblr. Burada R { 0} d + d + λ olma üzere y λd Y elde edlr; ya y Y olup çelş buluur. eff Yardımcı Teorem 3.2 ve 3.3 ü yardımı le Y eff boş olması ç aşağıda oşul elde edlr: Souç 3. Eğer Y veya ( Y + + ) açı üme se Y eff =. R

42 Yardımcı Teorem 3.4 ( Y Y2 ) eff Y eff Y2 eff + +. İspat y ( Y + Y2 ) eff olsu. O halde bazı y Y, y2 Y2 ç y = y + y2 dr. y Y eff olduğuu varsayalım; ya R { } y y = d + 0 olaca şelde bazı y Y vardır. O halde y = y + d y= y + y2 + d olup y y2 Y Y2 + + olduğuda y ( Y + Y2 ) eff çelşs buluur. Bezer olara y2 Y buluur; ya y = y + y2 Y + Y2. 2 eff eff eff Et üme haıda varlı teorem spatlamada öce aşağıda taıma ve yardımcı teoreme htyaç vardır: Taım 3.3 ( X, ) ösıralı br üme olsu; ya yasıma ve geçşme özelllere sahp olsu. Eğer ( X, ) ümes her tam sıralı alt ümes alt sııra sahp se (ya S X olma üzere x S ç x x sağlaıyor se x X elemaı S alt sıırıdır.) ( X, ) ümes tümevarımsal sıralı olara adladırılır. Yardımcı Teorem 3.5 [Zor s Lemma] ( X, ) boş ümede farlı, ösıralı üme olsu. Eğer ( X, ) tümevarımsal sıralı üme se o halde X ümes e az br mmal elemaa sahptr: x X, x x x x sağlaıyor se x X mmal elemadır. Teorem 3.3 [Borwe, 983] 0 0 0 Y ve Y = { y Y : y y } = ( y R + ) Y ompat ümes olaca şelde olsu; ya Y ümes, 0 Y ompat est çers. O halde Y eff boş ümede farlıdır. 0 y Y İspat 0 α α Y ompat est ve A bazı des ümes olma üzere Y { y, A} = α ümes 0 Y da br zcr (tam sıralı alt üme) olsu. A des ümes tüm solu alt ümeler B ümes le taımlası: B : { a A: a } = <. Her a B solu olduğu ç ve Y α, 0 Y ompat

a α ümesde br zcr olduğuda Weerstrass Teorem e göre y f { y : a} 43 = α olma üzere a y 0 Y mevcuttur. Şmd α A olma üzere tüm ümeler göz öüe alalım: α R α + Y : = ( y ) Y, α A. Y 0 0 α Y olduğu açıtır ve Y α, 0 alt ümes olduğuda ompattır. Eğer a B se ya solu se a Y Y ompat ümes apalı α α. Souçta 0 Y ı ompatlığıda α A Y α ya 0 y α ( y R ) Y mevcuttur. O halde ısm α A + sıralamaya göre buu alamı { y, A} α α zcr br alt sıırıdır. Öyleyse α A ç y y α demetr veya dğer br deyşle y 0, 0 Y tümevarımsal sıralıdır. Zor s Lemma Y gereğ y 0 Y mmal elemaı vardır. y Y eff abul edls. O halde y < y olaca şelde y Y vardır: 0 0 R+ R+ R+ R+ R+ y ( y ) Y (( y ) Y ) Y ( y ) Y 0 0 + + = Y ( y R ) Y R y 0 Y elemaıı mmal olması le çelşr. O halde y Y eff ya Yeff. Şel 3.4 Y ompat est (Ehrgott, 2000). Taım 3.4 Eğer Y R α c α ümes {( y R + ) : y Y, A} α şelde her açı örtüsü solu alt örtüye sahp se Y ümes R + -yarı ompat olara adladırılır. y α R c + Burada ( ), ( ) ı tümleye göstermetedr: R \( R ). y α R + y α + Teorem 3.4 [Hartley, 978] Eğer Y ümes R + -ompat se o halde Yeff. R

44 Yardımcı Teorem 3.6 Eğer Y ümes R + -ompat se R + -yarı ompattır. Souç 3.2 [Corley, 980] Eğer Y ümes R + -yarı ompat se o halde Yeff. Taım 3.5 : R f R fosyou verls. Eğer y R apalı se f e R + - yarı sürel fosyo der. ç f ( y R+ ) = { x R : y f ( x) R+ } Yardımcı Teorem 3.7 X ompat üme ve f : R R fosyou R + - yarı sürel olsu. O halde R Y = f ( X ) ümes R + -yarı ompattır. İspat α c α Y {( y R + ) : y Y, A} α şelde br açı örtüsüü göz öüe alalım. f R + - yarı sürel olduğuda { α c α f (( y R + ) ) : y Y, A} α ümes X açı br örtüsüdür. X ompat olduğu ç bu açı örtüü solu alt örtüsü vardır. Bu alt örtüü görütüsü Y solu alt örtüsüdür. Bu yüzde Y = f ( X ) ümes R + -yarı ompattır. Yuarıda Y eff ümes boş olmaması ç bazı taım ve teoremlere yer verld. Lteratür celedğde se dğer yazarlar, zdüşüm os (Beso, 978) veya recessve os (Borwe, 977; Btra vd., 979; Heg, 982) avramlarıı ullaara oşullar bulmuşlardır. Bu ve dğer souçları arşılaştırmalı araştırması ç Sotag ve Zalescu u (2000) çalışmasıa baılablr. Yuarıda souçlara e olara Naccache (978) le Btra ve Magat (979) Pareto üme bağlatılı olmasıı; Tao ve Sawarag (978, 980) se Pareto üme stabl özellğ celemşlerdr. Şmd X par Pareto optmal çözüm ümes haıda varlı teorem verleblr: Teorem 3.5 X ompat üme ve f, R + - yarı sürel olsu. O halde X par. R

45 İspat Teorem 3.3 ve Yardımcı Teorem 3.7 yardımı le teorem spatı olaylıla gösterleblr. Pareto optmal çözümler ve et çözümler ç verle taım ve teoremler, R + yere oves, aşar olmaya, svr uçlu, apalı K ose göre verleblr. 3.3. Zayıf ve Kes Pareto Optmal Çözümler R amaç uzayıda verle ısm sıralama bağıtısıa göre Pareto optmal ve et ota taımları verld. Eğer ısm sıralama yere zayıf veya es ısm sıralama bağıtısı ullaılırsa es ve zayıf Pareto optmal le et otaları taımları elde edlr: Taım 3.6 X R ve x X verls.. Eğer f ( x) < f ( x ) ya her =,..., ç f ( x ) < f ( x ) olaca şelde x X mevcut değl se. Eğer x X vetörüe zayıf Pareto optmal çözüm der. f ( x) < f ( x ) ya her =,..., ç mevcut değl se x f x olaca şelde x X { x } f ( x) ( ) X vetörüe es Pareto optmal çözüm der. Zayıf (es) çözümler ç Pareto optmal ve et ümeler sırası X w par ( X s par ) ve Yw eff, le gösterlr. Taımda da görüldüğü üzere Y eff ve X par ümeler ç aşağıda lş söz ousudur: Y eff (3.6a) Yw eff X X X (3.6b) s par par w par Şel 3.5 Zayıf ve es pareto mmal otalar (Jah, 2003).

46 Pareto optmall/etl avramlarıda olduğu gb zayıf Pareto optmall/etl ç de de taımlar bulumatadır:.. y y t R + olaca şelde y Y mevcut değl se, ( y t ) Y = se R + y Yw eff tr. (3.6a) da görüldüğü üzere Y eff ç elde edle tüm varlı souçlarıı Yw eff ç de sağladığı açıtır. Ayrıca Y eff = olsa ble Yw eff olablr. Öre 3. {( 2, 2) R : 0, 0 2 } Y = y y < y < y olsu. Y eff ve Yw eff ümeler celeyelm: Y = e Y (0,) { 0 } { y Y : 0 y y, y 0} eff w eff 2 2 = = < < =. Şmd Yw eff ç varlı oşulları celeecetr: Teorem 3.6 Y ompat olsu. O halde Yw eff. R İspat ϕ : R R fosyou ϕ ( y) = y +... + y şelde olsu. Y ompat üme ve ϕ sürel fosyo olduğuda ϕ Y ümesde global mmum otası vardır: { } ϕ ( y ) = m ϕ( y) : y Y O halde y otası Y ümes Pareto mmum otasıdır. Çüü as durumda ŷ < y olaca şelde ŷ Y otası buluablrd. Aca bu durumda ϕ ( yˆ ) < ϕ ( y ) olacağıda bu durum y otasıı ϕ fosyouu global mmum otası olması le çelşr. Teorem 3.7 X ompat olsu. f : R R sürel olsu. O halde X w par. R İspat X ompat olduğuda Y = f ( X ) ompat olur. O halde Teorem 3.6 da spat elde edlr.

47 Zayıf Pareto optmal çözümler araterzasyou le lgl teorem ç aşağıda taımlar blmeldr: Taım 3.7 K R aşar olmaya, oves, svr uçlu o olma üzere K ose göre Pareto sıralama bağıtısı ve g : R R fosyou taımlası. Eğer x > x2 eştszlğ sağlaya x x2 vetörler ç g x g x2, R ( ) > ( ) se g fosyoua K-mooto fosyo; x x2, x x2 ç g( x ) > g( x2) sağlaıyorsa g fosyoua es K-mooto fosyo der. G 0, R de verle oves, K-mooto, sürel ve g (0) = 0 oşuluu sağlaya tüm fosyoları ümes olsu. K eşle o olma üzere sıfırda farlı x K ç x x, x fosyoları G 0 ümes elemalarıdır. fosyolar ümes olsu. G 0S se G 0 da es K-mooto Sırada teorem br oves dğer oves olmaya ve las ayırma teorem le ayrılamaya ümeler G 0 fosyolar ümes br elemaı le ayırmaı mümü olduğuu göstermetedr: Taım 3.8 X, X 2 R boş olmaya ümeler olsu. Eğer g : R R fosyou ç g( x ) g( x2) x X, x2 X 2 se g fosyou X ve X 2 ümeler ayırıyor der. Teorem 3.8 [Gasımov, 992] K R oves, apalı, svr uçlu os verls ve tk olsu. X, X 2 R boş olmaya ümeler olma üzere eğer X halde X K oves br üme ve t( X K) X 2 = se o K ve X 2 ümeler ayıra br g G0 fosyou mevcuttur. Şel 3.6 Hperdüzlem le ayrılamaya ümeler (Azml ve Kemalbay, 2007).