Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Köklü Syılr.. Köklü Syılrı Tıı Bu bölüde, kök dediğiiz sebollerle gösterile gerçek syılrı köklü syılr olrk tıtck ve bulrı gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu göstereceğiz. Tı.70, R ve Z olk üzere; eşitliğii sğly syısı ı yici kuvvette pozitif kökü deir. Bu syısı ile gösterilir., ve Z içi; dır. R içi, olduğuu ve y ı pozitif krekökü deildiğii öğreiştiiz. içi, y ı küpkökü deir. Öreği, Tı.7, R ve ; 7 7 ; dir. Z olk üzere; eşitliğii sğly syılrı vrs, bu syılr ı yici kuvvette kökleri deir. Tılrd şu souçlrı çıkrbiliriz:. R, Z 0 olcğıd R syısıı yici derecede iki gerçek kökü vrdır. ve çift ike; Bu kökler, ve dır. Öreği; 8 ise 8 olur. 8 ve. Bir gerçek syıı çift kuvveti egtif olycğıd, egtif gerçek syılrı çift kuvvette gerçek kökü yoktur. Öreği; ise R dir.. R, Z ve tek ike; eşitliğii sğly bir ve ylız bir gerçek syısı vrdır. R, tek ve ise dır. Öreği, Teore.9 ; tür., b R + ve, Z + olk üzere;. b b dir.... dir. b b dir. k r ve k, r Z içi k r dir.. dır.. 0 b b dir. Etkilik.8 Teore-.9 u isptlyıız. Kök dereceleri tek ike, Teore-.8 i,b içi de geçerli olduğuu gösteriiz. R Örek.0 Aşğıdki işleleri iceleyiiz. 7 7 9 9 9
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi Etkilik.9 Aşğıdki öerelerde hgileri doğrudur.,b R; b b 9 9 9,b R; b b f. R ;, Z içi, Teore.0 R ve,, p Z + olk üzere;. p tek ise p p dir.. p çift ise p p dir. Öreği; dir. 9 tir. 7 7 olur. b b 7 ise; 7 7 Ç dir. 7 ise; buluur. 7 7 Ç dir. buluur. Ç Ç Ç Ç, olur. Etkilik. Aşğıdki dekleleri R deki çözü küelerii buluuz. 9 7 8 Etkilik.0 Teore-.0 yi isptlyıız. Örek. 7 0 dekleii R deki çözü küesii buluuz. 7 0.. Köklü Syılrl İşleler Teore-.9, köklü syılrl çrp ve böle işlelerii sıl ypılcğıı belirtektedir. Topl ve çıkr işleleride de, çrpı topl ve çıkr işleleri üzerie dğıl özeliğide yrrlılır. Pydlrıd köklü syılr bulu kesirlerde pydlrı rsyoel ypk, işlelerde kolylık sğlr. Pydyı rsyoel ypk içi, şu özdeşliklerde yrrlılır:
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi b b b b b b b b b b b tek ise; b b b b b b b b b b Bulrı öreklerle göstereli: Etkilik. 0 b olduğu göre, b ifdeside yı şğıdki koşullrd kök içie lıız. tek ise çift ise Örek. Aşğıdki syılrı, b ve b e küçük olk Z üzere, b biçiide yzıız. 8 8 Örek. Kök dışıdki syılrı kök içie lıız. 9 f. g. h. 8 8 8 8 0 R içi, b b dir. Etkilik. b 0 c ve,b, c Z dir. Bu göre, şğıdki ifdeleri e sde biçide yzıız. b c b c b c b b b c f. b 7 b c f. 8 ( E sde biçi derke şulr kstedilir: g. h. 7 - Kök içideki üs, kök dereceside küçük ollıdır. - Kök içideki üsle kök derecesi rlrıd sl ollıdır. - Kesirlerde pyd rsyoel ollıdır. - Kök içide kesir ollıdır.) Örek.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi Aşğıdki syılrı kök derecelerii eşitleyiiz. ; ; ; ; 7; 8; ; 8 f. 9 Örek. Aşğıdki kesirleri pydlrıı rsyoel ypıız. 7 9 f. Etkilik. Aşğıdki kesirleri pydlrıı rsyoel ypıız. 9 9 f. k k eşitliğide yrrlcğız. Örek. Aşğıdki işleleri ypıız. 9 9 9 7 b b b b tür. b b b b tür. Çrp ve böle işleleride öce kök dereceleri eşitleir. 08 olur. 8 olur. 0 olur. 7 olur.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi Örek.7 Aşğıdki işleleri ypıız. 0 7 7 7 olur. 7 9 olur. 9 8 7 7 7 9 7 olur. 7 olur. Örek.8 Aşğıdki işleleri ypıız. olur. 9 9 9 9 9 9 olur. olur. 9 9 8 9 8 8 9 olur. 9 Topl işleide öce pydlrı rsyoel ypılcğı kurlıı bir doğ kurlı oldığıı görüyorsuuz. Duru göre, öce pydlrı eşitleeyi de seçebiliriz. 9 Etkilik. Aşğıdki işleleri ypıız. 9
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi Etkilik. Aşğıdki işleleri ypıız. 9 9 8 olur. g. h. 0 7 f. Örek.9,b olk üzere; R b b b olduğuu gösteriiz. Bud yrrlrk; şğıd verile, kök içideki köklü syılrı kök dışı çıkrıız. Örek.70 7 7 işleii ypıız. Kök içideki köklü syılr köklerde çıkrılrk işle ypılbilir. Dh kullışlı bir yol izleyeli: 7 7 7 7 7 7 8 9 vey buluur. Verile syıı egtif olduğu dikkte lıırs olur. 7 b b ifdesii bir tkre olduğuu göstereli: b b b b b Bu göre; b b b b b b dir. olur. Etkilik.7 Aşğıdki işleleri ypıız. 8 9 9 f. 7 7 g. 7 7 olur. h.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi Örek.7 Aşğıd iç içe sosuz syıd köklerle belirtile syılrı buluuz................ olsu. buluur.... olsu. 0; 0 0 0 buluur.... olsu. 0; 0 0 0 buluur.... olsu. 0 buluur. Etkilik.8 Aşğıd iç içe sosuz syıd köklerle belirtile syılrı buluuz. Örek.7 Aşğıdki dekleleri R deki çözü küelerii buluuz.... 0 olk koşuluyl, 0 0 vey buluur. Ç, dir. 0 ve 0 olk koşuluyl, 0 0 vey olur. değeri koşullrı sğlz. Ç dir. 0 ve 0 olk koşuluyl, buluur. değeri 0 koşuluu, dolyısıyl deklei sğlz. Ç dir.... 0 olur. Ç 0 dir.......... 7... Etkilik.9 Aşğıdki dekleleri R deki çözü küelerii buluuz. 7
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi... f.... Tı.7 R ; olk üzere,, Z ve ile rlrıd sl dir. R ise.. Gerçek Syılrı Rsyoel Kuvvetleri R ; k ve,,k Z olk üzere, k k k dir. Deek ki; R ve ike, syısı olrk yzılbilir. 8 8 Öreği; tür. olk üzere; tek ike olduğud d geçerlidir. R Öreği, ; tür. koşuluyl eşitliği eşitliği yzılbildiğie göre, bu koşul old d bu eşitliği yzılbileceğii düşüebiliriz. olsu. olur. Öyleyse; köklü gerçek syılrı, gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu söyleyebiliriz. Örek.7 9 tür. tür. tür. tür. syısı Yzılbildiğii vrsylı: Bu durud; Q olrk yzılz. ile olduğud rsıd bir frk olsı gerekir. Hâlbuki; ve olup olktdır. Deek ki; R ve R ike i tılı olsı içi, ile rlrıd sl ollıdır. Bu durud, kesilikle tek olur. (Nede?) ike, her, Z içi yzılbilir. R eşitliği syısıı yie de üslü biçide yzk istersek; kök derecesii ve kök içideki üssü, rlrıd sl duru getireiz gerekir: 8
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi Teore., b R + ve, Q olk üzere;. dir... dir. b b dir.. b b dir... dir. Etkilik.70 dir. Teore-. i isptlyıız. Köklü syılrı üslü gösterileri, köklü syılrl işlelerde iyi bir seçeek oluşturur. Örek.7 9 işleii yplı:. yol 9. yol Kök derecelerii d eşitlediğie dikkt ediiz. 9 9 işleii yplı.. yol. yol işleii yplı.. yol 8 8. yol 0. yol 0 0. yol 0 8 8 0 işleii yplı: Tblrı egtif olsı duruud Teore-.0 geçerli değildir. Öreği; ; / 8 8 olur. Böyle durulrd, üslü syılrl işleleri htsız yürütebileiz içi, tblrı pozitif ypızı öeriyoruz. Şöyle ki: 9
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi ve, tek ise, R ; ve çift ise, R dir. Örek.7 Aşğıdki işleleri iceleyiiz. 9 Üslü dekleler ve eşitsizliklerle ilgili olrk üslü syılr bölüüde verdiğiiz teoreler, tblrı pozitif gerçek syılr olsı duruud, rsyoel üsler içi de geçerlidir. Teore., b R + ve,,, y Q olk üzere;. dir.. b b dir. b. dir. y b y 7 buluur. Ç dir. 7 7 7 7 olur. 7 ike; 7 7 buluur. Ç dir. 7 ike; 7 7 buluur. Ç dir. Ç Ç Ç Ç, olur. Etkilik.7 Teore-. yi isptlyıız. Örek.7 Aşğıdki dekleleri çözüüz. Örek.77 y ve 8 olduğu göre, y i türüde değerii buluuz. 0
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi ; y y y 8 ve de; y y olur. y y y y y y y y y buluur. Etkilik.7 Aşğıdki dekleleri çözüüz. Teore.., b R + ve Q olk üzere; b b dir.. 0, R ve, Q olk üzere; dir.., R ve, Q olk üzere; dir. 0, buluur. Ç, Q dir. olur. Eşitsizliklerde, iki trfı tek kuvvetii lıbileceğie dikkt ediiz. olur. ike; 0 buluur. Ç dir. ike; Eşitsizliği sol trfı egtif, sğ trfı pozitif olcğıd eşitsizlik sğlır. Ç ; dir. Etkilik.7 Teore-. ü isptlyıız. Örek.78 Aşğıdki eşitsizlikleri çözüüz. 0, Q ike; 0 buluur. Ç ; dır. Ç Ç Ç Ç Ç ; ; olur.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi olur., ike; Ç dir. ike; buluur. Ç 0; dır. ike; 0 buluur. Ç ; dır. buluur. Ç Ç Ç Ç Ç 0; ; olur. Etkilik.7 Aşğıdki eşitsizlikleri çözüüz. 9 f. 9 g. h. 7.. Syı Sistelerie Geel Bkış Rsyoel ve irrsyoel olrk sııfldırdığıız gerçek syılr, cebrik ve trsdt [trscedetl(ig.)-üstü] olrk d sııfldırılır. Tı.7,,...,, 0 Z ve,,... N olk üzere; 0... 0 gibi bir cebirsel deklei sğly bir syısı cebrik syı deir. Bu türde bir deklei sğly syılr ise trsdt syılr (üstü syılr) dı verilir. Her rsyoel syısıı b 0 b dekleii sğlycğı çıktır. Öyleyse; her rsyoel syı bir cebrik syıdır. Burd, trsdt syılrı irrsyoel syılr olduğu soucu çıkrılır. Si, cos, t ifdelerii tıyorsuuz. 0 0 0 Q ike si, cos ve t i cebrik syılr olduklrı isptlıştır. Açılrı değerleri derece ciside değil de rdy ciside verildiğide bzı özel değerler dışıd, R ike si, cos ve t syılrı trsdttır. Öreği; si trsdt bir syıdır. (Burd 0, yi değil rdyı gösterir.) R olk üzere; si, cos y ve tz eşitliklerii sğly, y, z R syılrı, bzı özel değerler dışıd, trsdttır. Çeberi uzuluğuu çpı orı ol,... syısıı trsdt olduğu isptlıştır. Tı.7 R olk üzere; 0 eşitliğii sğly syısı ı 0 tbı göre logritsı deir. Bu syısı log0 y d log biçiide gösterilir.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi 0 log dır. syısıı 0 u t kuvveti oldığı durulrd log syısı trsdttır. Öreği; eşitliğii sğly log 0,009 0 syısı bir trsdt syıdır. T syılrı irrsyoel kuvvetleri trsdttır. ( gibi.) Bir trsdt syıı (öreği ) cebrik syılrl çrpıı vey toplı ol tü syılr trsdt olcğıd, trsdt syılrı cebrik syılrd çok çok fzl olduğu söyleebilir. Tı-.7 e dyrk, gerçek syılrı şğıdki gibi sııfldırbiliriz: Cebrik Syılr Gerçek Syılr Rsyoel S. İrrsyoel S. Trsdt Syılr (Tüü irrsyoeldir.) Syılrı öyküsü burd bitiyor. 0 dekleii gerçek kökleri yoktur. Ack; gerçek bir büyüklüğe krşılık geleye syısıı buluduğu bir syı küeside bu tür dekleleri de çözebiliriz: 0 buluur. i dersek, 0 i olur. i syısı sl syı birii deir. Tı-.7 de belirtile bir cebirsel deklei gerçek syı oly kökleri i türüde yzılbilir. Öreği; 7 0 i Böylece orty çık, i olur. C z z yi;, y R küesie krşık syılr küesi deir. yi syılrıı C küesi y 0 ike gerçek syılr küesie, 0 ike sl syılr küesie eşit olur. Deek ki; krşık syılr küesi he gerçek, he de sl syılr küelerii kpsy e büyük syı küesidir. Gerçek bir büyüklüğe krşılık geleye sl syılrı vr syı bir işe yrycğı düşüülebilir. Ack; gelişe bilide, krşık syılr küesideki işleler geiş uygul llrı buluştur. Krşık syılr küesii. sııft iceleyeceksiiz. Biz burd cebrik syılr birkç örek vererek kouyu bğlylı: Örek.79 Aşğıdki syılrı cebrik syılr olduğuu gösteriiz. 9 0, t kt syılı bir cebirsel deklei kökü olduğud bir cebrik syıdır. 0 8 0 9 diyeli. 9 9 olur. Eşitliği sol yı çılıp ifde sıfır eşitleirse, t kt syılı bir cebirsel dekle elde edileceğide, 9 bir cebrik syıdır.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi Alıştırlr ve Probleler. 0 f. 0. Aşğıdki öerelerde hgileri doğrudur? Ylış ollrı, doğru öerelere döüştürüüz. R; R; R; R; R; f. R ve, Z içi. Aşğıdki öerelerde hgileri doğrudur? Ylış ollrıı, doğru öerelere döüştürüüz. 9 8 0 R, ;. b 0 c d ve,b,c, d Z dir. Bu göre, şğıdki ifdeleri e sde biçide yzıız. b c c d b b f. b c b c 7 b c d. Aşğıdki syılrı küçükte büyüğe doğru sırlyıız.,,,, 8, 7,, 8 0, 0, 7. Aşğıdki kesirleri pydlrıı rsyoel ypıız. 7 9 f. R; 0 8 9 f.. Kök dışıdki syılrı kök içie lıız. g. j. h. k. i. l. f. h. g. 9.. 7 o. p. r. s.. Aşğıdki syılrı, b Z ve b e küçük olk üzere, b biçiide yzıız. 8 8. Aşğıdki işleleri ypıız.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi 9 f. g. 7 8 h. i. 0 0 0 0 9. Aşğıdki işleleri ypıız. 08 00 8 9 9 8 j. 7 f. 08 g. 7 h. 0 0 0. Aşğıdki işleleri ypıız. 7 8 9 f. 9 g. 8 h.. ve b olduğu göre, b kçtır?. ve y olduğu göre, y i türüde değerii buluuz.. ve y olduğu göre, şğıdki syılrı ve y türüde yzıız. 8 7. R olduğu göre, şğıdki işleleri ypıız..,b,c R olk üzere, şğıdki ifdelerde köklü çrplr birer gerçek syıdır. Bu göre, çrpılrı e sde biçide yzıız. b c b c. f : R R; f 7. olduğu göre, şğıdki foksiyolrı kurllrıı e sde biçide yzıız. f : ; R; f f : ; R; f f : ; R; f 7, y ve z veriliyor. R olduğu göre; 0 ise, y, z yi sırlyıız. ise, y, z yi sırlyıız.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi 8. Kök içideki köklü syılrı kök dışı çıkrıız. ifdesii e sde biçide yzıız. 9 9. Aşğıd iç içe sosuz syıd köklerle belirtile syılrı buluuz. f. g. h. 7... 9 9 9......... i. j. 8 8... f. : : :... g. 0 0 0... 9. Aşğıdki işleleri ypıız. 8 f. g. 0 0 h. 88 h. 0 0 0.... Aşğıdki dekleleri R deki çözü küelerii buluuz. 7 f.... g.... h.... i. j. 0.... olduğu göre, kçtır? k. 7 7 l. 0. olk üzere; ifdesii b biçiide yzıız.. 0 olk üzere;. Aşğıdki işleleri ypıız. 7 7 9 9
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Aşğıdki işleleri ypıız. 0 00 0 8 8 7. Birer kökleri şğıd verile t kt syılı dekleleri kuruuz. 8. f. g. h. 9 işleii, şğıd belirtile koşullr göre ypıız. R R 9. 8 ve b olduğu göre, A b b ifdesii syısl değeri kçtır? 0. 0 olduğu göre, şğıdkileri değerlerii buluuz. 8. ve olduğu göre, i türüde değerii buluuz. y z. olduğu göre, z i ve y türüde değerii buluuz. Aşğıdki dekleleri çözüüz. Q 7 7 Q R R 9 R f. R g. 7 R h. R. Aşğıdki öerelerde hgileri doğrudur? 0,7 0, 7 7 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0, 0, 7 7 8 0, 0, g. 8 f. 0, 0, 7 h. 0, 0, 09. Aşğıdki eşitsizlikleri çözüüz. Q 9 0, Q 0, Q R R f. 9 R g. R h. R i. R j. R 0, 0, k. R 7
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi l. R. 7 7 R. R 8