Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının indirgeme bağıntısı yöntemiyle formüle edilmesi amaçlanmaktadır. Giriş: Ardışık sayıların birinci, ikinci ve üçüncü kuvvetlerinin sonlu toplamı için formüller bilinmektedir. Bu çalışmada bu formüller indirgeme bağıntısı yardımıyla hesaplandı. Bu çalışmada farklı olarak, bu yöntemle herhangi bir aritmetik dizinin terimlerinin k. kuvvet toplamları için formüllerin elde edilmesi hedeflendi. Dördüncü kuvvete kadar toplamları için formüller üretildi. Ayrıca bazı aritmetik diziler için beş ve daha yüksek dereceden kuvvetlerin toplamları için de bu yöntemle formüller elde edildi. İstenilen herhangi bir aritmetik dizinin terimlerinin herhangi bir kuvvette toplamlarının elde edilebileceği öngörülmektedir. Yöntem: I. Tanım. ve olmak üzere (1.1) bağıntısına k. mertebeden sabit katsayılı lineer indirgeme bağıntısı denir. [2] Burada, doğal sayısına bağlı bir fonksiyondur. olması durumunda (1.1) bağıntısına k. mertebeden sabit katsayılı lineer homogen indirgeme bağıntısı denir. Bu çalışmada olmak üzere dereceden bir polinom 1. mertebeden lineer homogen olmayan indirgeme bağıntısını kullanıldı. (1.2) bağıntısının (1.2) başlangıç koşulunu sağlayan çözümü iki adımda bulunur. Birinci Adım: Önce homogen çözüm denir ve homogen bağıntının çözümü bulunur. Bu çözüme ile gösterilir. 2
(1.3) bağıntısına biçiminde çözüm aranır. (1.3) te yerine yazılırsa, eşitliğinden bulunur. (3) ün bir çözümüdür. herhangi bir reel sayı olmak üzere çözüm olup şeklinde yazılır. de (1.3) ün bir çözümüdür ve bu çözüm homogem İkinci Adım: Bu adımda polinomu için bir özel çözüm aranır. Bu çözüm ile gösterilir. Homogen çözümde olduğundan, özel çözüm; (1.4) biçiminde aranır. (1.4) eşitliği (1.2) de yerine yazılıp belirsiz katsayıları, çözümü bulunmuş olur. cinsinden bulunur. Bulunan bu değerler (1.4) te yerine yazılıp özel Dolayısıyla (1.2) bağıntısının genel çözümü (1.5) biçiminde yazılır. O halde (1.2) bağıntısının başlangıç koşulunu sağlayan çözümü, (1.5) eşitliğinde yazarak sabitinin değeri hesaplanarak bulunur. Örnek 1.1. bağıntısının başlangıç koşulunu sağlayan çözümü aşağıdaki gibi elde edilir. Çözüm. homogen bağıntının çözümü şeklindedir. Burada olduğundan biçiminde özel çözüm aranır. Özel çözüm çözüm olacağından başta verilen bağıntıyı sağlayacaktır. bağıntısından 3
bulunur. bulunur. O halde özel çözüm biçiminde O halde verilen bağıntının çözümü bulunur. şeklindedir. sabiti başlangıç değerinden olarak Dolayısıyla verilen bağıntının biçiminde bulunur. koşulunu gerçekleyen çözümü II. İlk terimi a, ortak farkı d olan aritmetik bir dizinin ilk n teriminin toplamı veren formülü birinci mertebeden sabit katsayılı lineer homogen olmayan indirgeme bağıntısı yardımıyla elde edilecektir. (2.1) dizinin ilk n teriminin toplamı ile gösterilsin. (2.2) Dolayısıyla (2.2) toplamını veren birinci mertebeden sabit katsayılı homogen olmayan indirgeme bağıntısı (2.3) biçiminde verilir. homogen indirgeme bağıntısının çözümü dir. için özel çözüm (1.4) ten dolayı biçiminde aranır. çözüm olacağından (2.3) bağıntısını sağlayacaktır. bağıntısından eşitliği yazılır. Bu eşitlikten bulunur. Dolayısıyla özel çözüm şeklinde bulunur. O halde (2.3) bağıntısının genel çözümü 4
biçiminde elde edilir. başlangıç koşulundan bulunur. Dolayısıyla (2.3) bağıntısının genel çözümü elde edilmiş olur. Buradan (2.4) formülü elde edilir. III. (2.1) dizisinin her terimin karelerinin toplamını veren formül aynı yöntemle elde edilecektir. Bu toplam ile gösterilsin. (3.1) (3.1) toplamı veren birinci mertebeden sabit katsayılı homogen olmayan indirgeme bağıntısı (3.2) biçiminde verilir. homogen indirgeme bağıntısının çözümü dir. için özel çözüm (1.4) ten dolayı biçiminde aranır. çözüm olacağından (3.2) bağıntısını sağlayacaktır. denkleminden eşitliği bulunur. Bu eşitlikten değerleri bulunur. O halde özel çözüm 5
biçimindedir. O halde (3.2) bağıntısının genel çözümü şeklindedir. başlangıç koşulundan bulunur. Dolayısıyla (11) bağıntısının başlangıç koşulunu gerçekleyen çözümü şeklinde bulunur. O halde (3.3) formülü elde edilir. (3.3) formülünde ve ye bazı değerler vererek aşağıdaki formüller elde edilir. (i) (ii) (iii) IV. (2.1) dizisinin her terimin küplerinin toplamını veren formülü aynı yöntemle elde edilecektir. Bu toplamı ile gösterelim. (4.1) (4.1) toplamı veren birinci mertebeden sabit katsayılı homogen olmayan indirgeme bağıntısı (4.2) biçiminde verilir. 6
homogen indirgeme bağıntısının çözümü dir. için özel çözüm (1.4) ten dolayı biçiminde aranır. çözüm olacağından (4.2) bağıntısını sağlayacaktır. bağıntısından eşitliği yazılır. Bu eşitlikten değerleri bulunur. O halde özel çözüm biçimindedir. elde edilir. O halde (4.2) bağıntısının genel çözümü şeklindedir. başlangıç koşulundan bulunur. Dolayısıyla (4.2) bağıntısının başlangıç koşulunu gerçekleyen çözümü şeklinde bulunur. O halde (4.3) formülü elde edilir. 7
(4.3) te ve ye bazı değerler vererek aşağıdaki formüller elde edilir. (i) (ii) (iii). V. Benzer işlemler, (2.1) dizisinde her terimin 4. Dereceden kuvvetlerinin toplamı için de uygulanırsa formülü elde edilir. Bu formülde ve ye bazı değerler vererek aşağıdaki formüller elde edilir. (i) (ii) (iii) Benzer işlemler, (2.1) dizisinde her terimin k. dereceden kuvvetlerinin toplamı için de uygulanabilir. VI. (1.1) dizisinde ve nin bazı durumları için her terimin 5. ve 6. Kuvvetlerinin toplamını veren formüller aynı yöntemle aşağıdaki örneklerde olduğu gibi elde edilir. Örnek 6.1. ( ) 8
Bu toplamı ile gösterelim. Toplamı veren birinci mertebeden sabit katsayılı homogen olmayan indirgeme bağıntısı (6.1) şeklinde yazılır. homogen indirgeme bağıntısının çözümü dir. için özel çözüm (1.4) ten dolayı biçiminde aranır. çözüm olacağından (6.1) bağıntısını sağlayacaktır. bağıntısından eşitliği yazılır. Bu eşitlikten değerleri bulunur. Dolayısıyla özel çözüm biçiminde elde edilir. O halde (6.1) bağıntısının genel çözümü şeklindedir. başlangıç koşulundan bulunur. Dolayısıyla (30) bağıntısının başlangıç koşulunu gerçekleyen çözümü 9
şeklinde bulunur. O halde; formülü elde edilir. Örnek 6.2. toplamı için de aynı yöntemle aşağıdaki formül bulunur. Örnek 6.3. Bu toplam ile gösterilsin. Toplamı veren birinci mertebeden sabit katsayılı homogen olmayan indirgeme bağıntısı (6.2) şeklinde verilir. homogen indirgeme bağıntısının çözümü dir. için özel çözüm (1.4) ten dolayı biçiminde aranır. (6.2) bağıntısını sağlayacaktır. çözüm olacağından bağıntısından eşitliği yazılır. Bu eşitlikten 10
değerleri bulunur. Dolayısıyla özel çözüm biçiminde elde edilir. O halde (6.2) bağıntısının genel çözümü şeklindedir. başlangıç koşulundan bulunur. Dolayısıyla (6.2) bağıntısının başlangıç koşulunu gerçekleyen çözümü şeklinde bulunur. O halde Örnek 6. 4. toplamı için de aynı yöntemle aşağıdaki formül bulunur. Sonuçlar ve Tartışma: Ardışık sayıların birinci, ikinci ve üçüncü kuvvetlerinin sonlu toplamı için formüller bu çalışmada indirgeme bağıntısı yardımıyla elde edildi. Dördüncü kuvvete kadar toplamları için formüller üretildikten sonra, bazı aritmetik diziler için beş ve daha yüksek dereceden kuvvetlerin toplamları için de bu yöntemle formüller bulundu. Sonuç olarak; istenilen herhangi bir aritmetik dizi terimlerinin k. kuvvetlerinin sonlu toplamını veren formüllerin elde edilebileceği sonucuna varıldı. 11
Kaynaklar: [1] Aydın, N.,(2013), Matematik 11. Sınıf, Aydın Yayınları, Ankara. [2] Goodaire,E.G.,&Parmenter,(2005) M.M., Discrete Mathematics with Graph Theory, 3rd Edition, Prentice Hall, NJ. [3] Öztürk, F.,(1995), Kombinatorik, Ankara Üniversitesi Yayınları, Ankara. [4] Tucker, A.,(2002), Applied Combinatorics, Fourtf Edition, John Wiley&Sons, Co., NewYork. 12