İLİRİ AŞLIĞI : İKÖRGEN ONLU ELEMAN FORMÜLAYONU YAZAR : oç. r. Nmık Keml ÖZORUN (İ.Ü. İnş.Müh. öl. Ypı Anilimdlı oç. r. Nmık Keml ÖZORUN (İ.Ü. İnş. Müh. öl. Ypı An ilim dlı Adres: İstnul Üniversitesi, Mühendislik Fkültesi, İnşt Mühendisliği ölümü, Avcılr Kmpusu 8 Avcılr-İstnul elefon (iş irek : ( 9 elefon(cep : ( 9 7 8 elefon(cep : ( 7 7 ölüm F : ( 9 E-post : keml@istnul.edu.tr E-post : nkoztorun@tnn.net E-post : nkoztorun@superonline.com Yukrıd ildiri şlığı sunuln çlışmı,,7 Nisn trihinde düzenlenecek oln İMO Onedinci eknik Kongre ve ergisi ne ktılmk üzere görüşlerinize sunuorum. Gereğini rz eder, çlışmlrınızd şrılrınızın devmını dilerim. oç. r. Nmık Keml ÖZORUN I.- GİRİŞ : I..- AMAÇ Genellikle tünel klıp öntemi ile inş edilen perde duvrlı inlrın doğrusl- elstik nlizinde kullnılmk üzere geliştirilmiş oln ir sonlu elemn formülsonu tnıtılmktdır. Her düğüm noktsınd ltı det serestlik derecesine ship oln elemn, üç outlu çerçeve elemnlrı ile uumludur. Rijitlik terimleri nlitik olrk elde edilmiş oln elemnı perde duvr ve döşeme plklrınd kullnılmktdır. Minimum sıd elemn kullnılrk hsss ve hızlı nliz sonuçlrı elde edilmektedir. I..- KAPAM ört noktlı ve her düğüm noktsınd ltı serestliği oln sonlu elemn formülsonund üçüncü derece polinomlr kullnılmıştır. Elemn dikdörtgen şeklinde olup, tünel klıp sistemine ugun olrn inş edilen pılrd pısl elemnlrın iririne dik olmsı nedenile u tür pılrın nlizinde kullnımı prtiktir. Ypısl geometrie ugun minimum sıd elemn kullnılmsınd dhi ht ornı % merteesinden dh küçüktür. Kenr orn etkisi / ve /
ornlrı ile kıslndığınd ine % merteesinin ltınd klmktdır. Knk [-8] de söz konusu sonlu elemn formülsonu üzerine geliştirilmiş oln ir ilgisr progrmının ve otomtik model oluşturm opsionlrının nısır formülsonun test sonuçlrı ve güvenilirliği detlı olrk nltılmıştır. Mevcut elemn kullnılrk irçok rştırm gerçekleştirilmiş ve düzleminde rijit döşeme, rijit temel, eksenel rijit çerçeve elemnı, kısmi üç outlu perde duvr vrsımlrının sonuçlrı ne denli etkilediği Knk [-8,- ] de nltılmıştır. Plk Elemnı. üzlem gerilme prolemlerinin nlizi için frklı geometrik şekillerde ve frklı düğüm noktsı serestliklerine ship irçok formülson mevcuttur. İlk çlışmlr örnek olrk urner, ve diğerleri [] her düğüm noktsınd iki serestliği oln üçgen ve dikdörtgen elemnlr geliştirmiştir. h sonr u formülsonlrın hssslığını rtırmk için çlışmlr pılmıştır Pin []. Freijs de Veueke [] ve Argris [] dh üksek dereceden deplsmn fonksionlrını kullnilmek mcıl üçgen elemnın kenrlrınd r noktlr kullnmıştır. ocher, ve diğerleri ise [] her düğüm noktsınd ltı serestliği oln üksek dereceli üçgen elemnlr kullnmıştır. u ilve çlışmlr orijinl elemn formülsonlrın kısl dh hsss nliz sonuçlrı verse de, üç outlu kolon, kiriş, döşeme plğı, perde duvr v. Gii frklı pısl elemnlrdn oluşn pılrın, düğüm noktsı deplsmnlrı tm uumlu olmn frklı sonlu elemn türlerin ile tnımlnmsı mümkün olmdığı için söz konusu sonlu elemn türlerinin doğrudn kullnımı mümkün olmmıştır. Şekil : üzlem gerilme ile ilgi kuvvet ve deplsmn ileşenleri.
Şekil : Eğilme plğı ile ilgili kuvvet ve deplsmn ileşenleri. Mevcut çlışmd nltıln sonlu elemn formülsonu Şekil de görülen düzlem gerilme elemnının formülsonu ile Şekil de görülen eğilme elemnının formülsonlrının düzlemsel ve düzlem dışı etkilerinin küçük deplsmnlr teorisine ugun olrk irleştirilmesi sonucund elde edilmiştir. üzlem gerilme elemnı: eplsmn ve irim deformson fonksionlrı. Şekil de görülen düzlem gerilme elemnının formülsonund köşe noktlrının rijit olduğu kul edilmiştir. üzlemsel çısl deformson oln θ, elemn kenrlrının irleştiği köşe noktlrındki çısl deplsmn ileşenidir. ve deplsmn fonksionlrı şğıd görüldüğü gii düğüm noktsı deplsmnlrının fonksionu olrk Hermitin interpolsion formülü ile elde edilmiştir.
( ( ( ( ( ( ( ( θ θ θ θ Z Z X X Z Z X X X (, -------- ( ( ( ( ( ( ( ( θ θ θ θ Z Z Y Y Z Z Y Y Y (, -------- Eşitlik ( ve eşitlik ( şğıd görüldüğü gii zılilir. { } [ ] { } d ------------------------------------------------------------------------------------ ukrıdki formülde; { } Y X d, { } Y X d { } Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X θ θ θ θ şeklinde olup, dikdörtgen mtris [ ] nin elemnlrı; [ ] X A -X A X A -X A -X A -X A -X A -X A Y Y -Y Y Y Y -Y Y
ve elemnlrın ktsılrı ktsılrı; X Y X Y A ( A ( A ( A ( ( ( ( ( olmktdır. u durumd ve doğrultulrındki deplsmn eşitlikleri şğıd görüldüğü gii sitleştirileilir. X Y (, (, [ A A A θ A θ ] [ A A A θ A θ ] X X X X [ θ θ ] [ θ θ ] Y Y üzlemsel irim deformsonlr ise; Y Y Z Z Z Z Z Z Z Z X ε X, X Y ε Y, Y X Y γ XY --------------------------------------------- Y X formülleri ile tnımlnmktdır. Eşitlik ( ve eşitlik (, ( numrlı eşitlikte kullnıldığınd şğıdki sonuç elde edilir. { } [ µ ] { } ε ------------------------------------------------------------------------------------- u eşitlikte; { ε } ε X εy γ XY
-α α α -α α α -α -α [µ ] -β -β Β -β β Β -β -β γ ξ (ξ -γ γ -ξ (ξ -γ -γ ξ (ξ -γ -γ -ξ (ξ -γ α ( β ( α ( β ( α ( β ( α ( β ( γ ( ξ ( γ ( ξ ( ( γ ξ ( γ ( ξ ( γ ( ξ ( γ ( ξ ( Olmktdır. Kullnılmkt oln deplsmn fonksionu mtemtiksel model ğı inceldikçe, çözüm sonuçlrının klşımının rtırn şğıdki şrtlrı erine getirmektedir []. Rijit cisim hreketi gerçekleşmektedir. it gerilme durumund düzgün irim deformson dğılımı gerçekleşmektedir. üğüm noktlrındki sürekliliğin nısır komşu elemnlrl ortk sınırlr ounc deplsmn sürekliliği sğlnmktdır.
Rijit köşe noktlrı nedenile olmktdır. Köşe noktlrd km gerilmeleri ve irim deformsonlrı sıfır olmktdır. Km gerilmelerinin sl gerilme düzleminde gerçekten sıfır olmsı nedenile u durum elemnın sit düzlemsel sl gerilmeleri erine getirme özelliğini etkilememektedir. Rijit köşe noktlrının etkisi elemnı km deformsonlrı çısındn rijit pmktdır. Anck küik deplsmn fonksionunun kullnılmsı nedenile düzlemsel eğilmelerin tnımlnmsınd çok ii sonuç vermektedir. Gerilme irim eformson İlişkisi. İzotropik mlzeme kullnılmsı durumund iki outlu düzlem gerilme prolemleri için Hook knunu; ( γ η ε τ σ σ XY Y X XY Y X E ------------------------------------------ ve { } [ ] { } ε π σ ------------------------------------------------------------------------------------- 7 formülleri ile tnımlnmktdır. u formülde; { } τ σ σ σ XY Y X, [ ] ( π E, { } γ η ε ε XY Y X olup, E üzlem gerilme elemnının mlzemesi için Young s Elstik modülü, ν Poisson ornıdır.
Rijit ve Kütle Mtrisleri için Genel Eşitlikler. oğrusl elstik ir mlzeme için irim deformson enerjisi; U ε { σ}dv -------------------------------------------------------------------------------- 8 vol. olup, ( ve (7 numrlı eşitlikler (8 numrlı eşitlikte kullnıldığınd; U [ µ ] [ π ] [ µ ] { }dv ---------------------------------------------------------- 9 vol. elde edilir. Elemnın kenrlrınd etki eden tüm dhili kuvvetler düğüm noktsı kuvvetleri olrk{f } ifde edildiğinde, u kuvvetler trfındn pıln iş; W e { F } -------------------------------------------------------------------------------------- olmkt ve düğüm noktsı kuvvetleri; { F } FX FY M Z FX FY M Z FX FY M Z FX FY M Z şeklinde tnımlnmktdır. Potnsiel enerji (9 ve ( numrlı eşitlikler kullnılrk; V U W e --------------------------------------------------------------------------------------------- ve V [ µ ] [ π ] [ µ ] { } dv F ------------------------------------------- vol. şeklinde elde edilir. Elemnın kinetik enerjisi ise; ρ d { d }dv ---------------------------------------------------------------------------- vol. olmktdır. Yukrıdki eşitlikte ρ düzlem gerilme mlzemesi için kütlesel oğunluk olup, ( notsonu zmn göre değişimi göstermektedir. ( numrlı eşitlik ( de kullnıldığınd şğıdki eşitlik elde edilir. ρ [ ] [ ] { }dv ------------------------------------------------------------ vol. Lgrngin fonksionu; L V ------------------------------------------------------------------------------------------------ olup eşitlik. ( ve ( kullnılrk elde edileilir.
L [ ] [ ] { } dv [ µ ] [ π ] [ µ ] { } dv { F } ρ vol. vol. u şmd plk elemnının hreket denklemi Lgrnge s Eşitliği kullnılrk elde edileilir. d dt L L ------------------------------------------------------------------------------------ 7 δ δ i i Eşitlik ( ve (7 irlikte kullnıldığınd; d dt ve [ ] [ ] { } dv [ µ ] [ π ] [ µ ] { } dv { F } ρ vol. vol. { } [ µ ] [ π ] [ µ ] { } dv ρ [ ] [ ] { } vol. F dv -------------------------------- 8 vol. elde edilir. Plk elemnının ω çısl freknsı ile hrmonik ir hreket ptığı göz önüne lınırs; { } ω { } ------------------------------------------------------------------------------------- 9 olmkt ve eşitlik (8 şğıdki gii elde edilmektedir. { F } [ K ] { } ω [ M ] { } urd ---------------------------------------------------------------- [ ] [ µ ] [ π ] [ ] K µ dv --------------------------------------------------------------------- vol. [ ] ρ [ ] [ ] M dv ------------------------------------------------------------------------ vol. Eşitlik ( ve ( rijitlik ve kütle mtrislerinin genel ifdeleridir. üzlem Gerilme Elemnının Rijitlik Mtrisi. Kenr uzunluklrı ve oln sit klınlıkt ir dikdörtgen elemn için ( numrlı eşitlik şğıdki formülde görülmektedir. E t ------------------------------------------------------------------------ [ K ] [ G ] d d u formülde t s elemnın klınlığıdır.
G µ µ ---------------------------------------------- ( [ ] ( ve ( numrlı eşitliklerde görülen mtris opersonlrı ve integrller gerçekleştirilerek elde edilen elemn rijitlik mtrisi EK te sunulmktdır. üzlem Gerilme Elemnının Kütle Mtrisi. it klınlıkt ir dikdörtgen plk elemnı için eşitlik (; [ M ] ρ t [ ] [ ] d d -------------------------------------------------------------- şekline gelmektedir. u eşitlikteki mtris opersonlrı ve integrller gerçekleştirilerek elde edilen elemn kütle mtrisi EK te sunulmktdır. üzlem Gerilme Elemnı İçin Gerilme ileşenleri. Plk nlizlerinde dhili gerilmelerin dğılımı düğüm noktsı kuvvetlerine kısl dh çok tercih edilmektedir. Elemnın irim kenr uzunluğu için herhngi ir (, noktsındki norml ve km gerilmeleri şğıdki eşitlikte görüldüğü gii ifde edilmektedir. n X σx t, n Y σy t, n XY τxy t ----------------------------------------------- Rijit köşe noktsı nedenile köşe noktlrınd km gerilmeleri sıfır olcğı için gerilme ileşenleri n XY. oln noktlrd elde edilmelidir. öz konusu prosedür sonlu elemnlrl plk nlizlerinde gın olrk kullnılmktdır. Eqs. ( şğıdki gii zılilir. { n } { σ } --------------------------------------------------------------------------------------- 7 t ( ve (7 numrlı eşitlikler (7 de kullnıldığınd; { n } [ π ] [ µ ] { } ----------------------------------------------------------------------------- 8 t
elde edilir. Yukrıdki eşitlikte görülen işlemler örnek olrk elemnın ort noktsı oln ve { n } [ ] { } R, değerleri için gerçekleştirildiğinde; ------------------------------------------------------------------------------------- 9 elde edilir. urd { n } ir kolon mtrisi olup, elemnın ort noktsındki gerilme ileşenleridir. [ R ] ise [] outlrınd ir dikdörtgen mtris olup düzlem gerilme elemnının gerilme ileşenleri için gerekli terimleri içermektedir. * * * { n * } n n n { } θ θ θ θ X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z Elements of tress Resultnt Mtri For Rectngulr Finite Element For Plne tress Prolems [R ] R R F F 8 E t F R R F F F F R R 8 R 7 F ( 8 R 8 F ( 8 ikdörtgen düzlem gerilme elemnının gerilme ileşenleri için gerekli terimler [R ] [ R ] R R R 7 R R R 8 R R R R R 7 R R R 8 R R R R R 7 R R R 8 R R R R R 7 R R R 8 R R
Eğilme Elemnı. ikdörtgen eğilme plğı formülsonu için litertürde irçok rştırm mevcuttur [9-]. Knk [] te irçok formülsonun göreceli hsslıklrı kıslnmktdır. u knktki sonuçlr göre Knk [] ve [] deki iki çlışmnın sonucu eğilmee çlışn plk nlizlerinde dh şrılıdır. Adini ve Clough [] trfındn önerilen model Melosh [] trfındn önerilen modele kısl irz dh iidir. u nedenle mevcut çlışmd sunuln gerilme etkilerinin eğilme etkileri ile irlikte nlizi için tercih edilmiştir. Eğilme Elemnı için Rijitlik Mtrisi. ikdörtgen eğilme plğı elemnının koordint sistemi, düğüm noktsı kuvvetleri ve deplsmn ileşenleri Şekil de görülmektedir. Knk [] te eğilme elemnının rijitlik mtrisini elde etmek için şğıdki eşitlik önerilmektedir. Z (, [ ( ( ( ( ] [ ( ( ] θx [ ( ( ] θy [( ( ( ( ] Z [ ( ] θx [ ( ( ] θy [( ( ( ( ] X [ ] [( ( ( ] [ ( ( ] θ ( [ ( ] θx [ ( ] θy θ Y Z Z Z ----, olrk göz önüne lındığınd, eğilme elemnının düğüm noktsı deplsmnlrı ve kuvvetleri için şğıd görülen kolon mtrisleri elde edilir. { } Z θx θy Z θx θy Z θx θy Z θx θy
ve { } FZ M X M Y FZ M X M Y FZ M X M Y FZ M X M Y F ------ Eşitlik ( d verilen deplsmn fonksionun krşılık gelen rijitlik mtrisi EK te sunulmktdır. Eğilme Elemnının Kütle Mtrisi. Eğilme plğı için eşitlik ( d verilen deplsmn fonksionun ugun ir kütle mtrisi formülsonu Przemieniecki [] trfındn önerilmektedir. öz konusu mtris EK te görülmektedir. Eğilme Plğı Elemnı İçin Gerilme ileşenleri. Eğilme plğı nlizlerinde, eğilme ve urulm momentlerine krşılık gelen gerilme dğılımlrının sonuçlrı plğın irim uzunluğu için elde edilmesi durumund tercih edilmektedir. öz konusu değerler düzlem gerilme nliz sonuçlrı ile uumlu olmsı için plk elemnının ort noktsınd elde edileilir. Klsik plk teorisinde kullnıln eğilme momenti tnımlrın göre irim uzunluğ krşılık gelen moment değerleri; m plk elemnının eksenine dik üzeindeki eğilme momenti, m plk elemnının eksenine dik üzeindeki eğilme momenti, m plk elemnının eksenine dik üzeindeki urulm momenti, olmkt ve söz konusu momentleri tnımln plk eşitlikleri şğıd görülmektedir. E t Z Z m X ------------------------------------------------------ ( E t Z Z m Y ------------------------------------------------------ ( E t ( Z m XY -------------------------------------------------------------- (
Momentler ve pozitif önleri Şekil de görülmektedir. (- Eşitlikleri mtris formund düzenlenirse; ( ( t E m m m Z Z Z XY Y X -------------------------------- ve { } [ ] { } m ε π ------------------------------------------------------------------------------------ elde edilir. Eşitlik ( Z, Z ve Z terimlerini elde etmek için z önündeki deplsmn göre gerekli türevler lınrk mtris formund zıldığınd; { } [ ] { } µ ε ------------------------------------------------------------------------------------ 7 elde edilir. Şekil : Eğilme plğı elemnınd irim uzunluğ krşılık gelen moment
Eşitlik (7 de kullnılck oln terimler şğıd görülmektedir. [ µ ] ( ( ( ( [ ( ( ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ( ( ] ( ( ( ( ( ( ( ( [ ( ( ] ( ( ( ( ( ( ( [ ( ( ] ( ( ( ( Eşitlik (7, ( d kullnıldığınd şğıd görülen, düğüm noktsı deplsmnlrı ile momentler rsındki ilişki elde edilmektedir. { n } [ π ] [ µ ] { } -------------------------------------------------------------------------------- 8 Elemnın ort noktsının koordintlrın it, nd, değerleri [ ] µ mtrisinde kullnılrk eşitlik (8 deki mtris opersonlrı gerçekleştirilirse şğıd görüldüğü gii eğilme plğı elemnının ort noktsındki momentler elde edilir. * { m } [ R ] { } * u formülde { } ------------------------------------------------------------------------------------ 9 m plk elemnının ort noktsındki momentlere it kolon mtrisidir. [ ] elemnın gerilme ileşenlerini içeren mtristir. R ise
Elements of tress Resultnt Mtri For Rectngulr Finite Element For Plte ending Prolems [R ] R F F R R R 7 F ( F ( 8 F E t F R R R F F ( 8 * * * { m * } m m m { } θ θ θ θ θ θ θ θ Z X Y Z X tress Resultnt Mtri For Rectngulr Finite Element For Plte ending Prolems [R ] Y Z X Y Z X Y [ R ] R R R R R R R 7 R R R R R R R 7 R R R R R R R 7 R R R R R R R 7
üzlem Gerilme ve Eğilme etkisi için Kompozit Elemn. üzlem gerilme etkilerinin eğilme etkilerinden ğımsız olduğu kul edildiğinde hem düzlem gerilme hem de eğilme etkilerini göz önüne ln ir kompozit elemnın rijitlik mtrisi her iki elemn it rijitlik terimleri irleştirilerek elde edileilir. Şekil ve de kompozit elemnın düğüm noktsı kuvvetleri ve deplsmnlrı görülmektedir. Mtris işlemleri için rijitlik ve kütle mtrisleri; {} [ K] {} ω [ M] {} F -------------------------------------------------------------------------- eşitliğinde görüldüğü gii kullnılilmekte ve EK te sunulmktdır. Aşğıd ise kompozit elemnın deplsmn ve kuvvetler için kolon vektörleri görülmektedir. {} X Y Z θx θy θz X, θz X Y Z θx θy θz ---- ve {} F FX FY FZ M X M Y M Z FX, M Z FX FY FZ M X M Y M Z ----- Gerilme ileşenlerinin hesı için gerekli oln mtris [R] ise şğıdki eşitlikte görüldüğü gii kullnılck şekilde EK te verilmektedir. * n [ R] {} -------------------------------------------------------------------------------------- * m Yukrıdki eşitlikte; n { n } n, { m } * n * * * * m m m * * * olmkt ve {} Eşitlik ( de görülen terimlere krşılık gelmektedir. eşekkür : üm çlışmlrımd olduğu gii mevcut çlışmd d her türlü rdımı ve ilgii sğln çok değerli hocm ın Prof. r. Ergin ÇIIPIIOĞLU nu sgı ve rhmetle nıorum.
ulgulr : Mevcut elemn kullnılrk irçok rştırm gerçekleştirilmiş ve Şekil te görülen ve enzeri inlr üzerinde pıln rştırmlrd, düzleminde rijit döşeme, rijit temel, eksenel rijit çerçeve (çuuk elemnı, kısmi üç outlu perde duvr ve enzeri vrsımlrının sonuçlrı ne denli etkilediği (Kt plnının ve dolısıl rijitliklerin değişmesi gii zı özel durumlrd % ün üzerinde irkç misli Knk [-8,- ] de detlı olrk nltılmıştır. Şekil : Mevcut elemn formülsonu kullnılrk nlizi gerçekleştirilen in örnekleri Knklr. [ ] M.J. urner, R.W. Clough, H.C. Mrtin, L.J. opp, tiffness nd efletion Anlsis of Comple tructures, J. Aeronut ci, ept., 9. [ ] :H:H. Pin, erivtion of Element tifness Mtrices Assumed tress istriutions, AAA Journl, Jul 9. [ ]. Frejus de Veueke, isplcement nd Equilirium Models in the Finite Element Method, 9 of tress Anlsis, ed. O.C. Zeinkiewicz nd G.. Holister, Wile, 9. [ ] J.H. Argris, ringulr Elements With Linerl Vring trin for the Mtri isplcement Method, J. Rol Aero. ech. Note, 9, pp.7-, Oct. 9.
[ ] R.W. Clough nd J.L. ocher, Finite Element tiffness Mtrices for Plte ending, Proc. of Conf. on Mtri Methods in tructurl Mechnics, AFFL-R--8, 9. [ ] Oztorun,N.K., Citipitioglu,E., Akks,N. "Computerized investigtion of the common ssumptions for the nlsis of sher wll uildings", Proceedings of the Interntionl Conference on Computtionl Methods in tructurl nd Geotechnicl Engineering (eds: P.K.K.Lee, L.G.hm, Y.K.Cheung, V., Hong Kong, 7-7 (meeting : ecemer 99. [7 ] Oztorun,N.K., Citipitioglu,E., Akks,N. "Mesh genertion nd dt structures for the finite element nlsis of sher wll uildings", evelopments in Computtionl echniques for tructurl Engineering, Proceedings of the ith Interntionl Conference on Civil nd tructurl Engineering Computing (ed:.h.v.opping, 7-8 (meeting: August 99, Cmridge, Englnd. [8 ] Oztorun,N.K., Citipitioglu,E., Akks,N. 998 hree dimensionl finite element nlsis of sher wll uildings, Computers nd tructures, V.8, No.-, -, 998. [9 ] R.J. Melosh, sis for erivtion of Mtrices for the irect tiffness Method, AAA Journl, Jul 9. [ ] J.. Przemieniecki, Equivlent Mss Mtrices for Rectngulr Pltes in ending, AIAA Journl, :99-9, 9. [ ] A. Adini, nd R.W. Clough, Anlsis of Plte ending the Finite Element Method, Nt. ci. Foundtion Report, Grnt G77, 9. [ ] R.J. Melosh, A tiffness Mtri for the Anlsis of hin Pltes in ending, J. Aeronut. ci., Vol. 8,, 9. [ ].W. Ppenfuss, Lterl Plte eflection tiffness Mtri Methods with Appliction to Mrquee, M.. hesis, Univ. Of Wshington, 9. [ ]. imosheuko nd J.N. Goodier, heor of Elsticit, McGrw-Hill, New York, 9. [ ] O.C. Zienkiewicz, he Finite Element Method in Engineering, McGrw-Hill, New York, 97. EK
Prmeters of tiffness Mtri for Rectngulr Plte Element For Plne tress Prolems [K P ] E t, ( β A β ( (9 9,, β β, ( 9 β (, 8 7 β β (9 9 (9,, β β ( β (,,8 β β, ( (,9 8 β β ( 9 β (,, 7 β 9 β ( ( 7,7 P, P 7 β β β (9 (7 7,9 β, β 7 9 β ( (9, β, 7 β β 7 β ( 7 (9, β,9 β 7 β ( (9, β, β β 7
Prmeters of tiffness Mtri for Rectngulr Plte Element For Plte ending Prolems [K ] ( t E, A β ( β β, ( β, ( β, ( β, ( β,, ( β β, ( β, ( β, ( β,8 ( β, ( β, ( β β,7 ( β, ( β,8 ( β, ( β,9 ( β,9 ( β β, ( β, ( β,
Prmeters of Mss Mtri for Rectngulr Plte Element For Plne tress Prolems [M ] K ρ t 7 M M M M K 8 M K 8 M K 9,,, K M K 7 M K 8,,7,9 K 78 M K 9 M K 8,,, K 8 M K M K 9,,9,9 M K ( M K ( M K (, M K (,,,9 Prmeters of Mss Mtri for Rectngulr Plte Element For Plne tress Prolems [M ] K ρ t 7 M M M M M K 78 M K 7 M K 7,,, K 8 M K 9 M K 98,,, K 98 M K 9 M K 78,8,9 K 8 M K 8,,, M, K K M K 8 M K 9,,, M,8 K M, K M K 9, M, K M, K 8 M, K
lo : tiffness Mtri for Rectngulr Plte Element for Plne tress Prolems { F } [ ] { } K X Y θ Z X Y θ Z X Y θ Z X Y θ Z I/J 7 8 9,,,,,,,7 -,,9, -,,,, -,,,,,8,9 -,,,,, -,, -,9,9,9 -, -,,, -,,,,,,7,,9, -,,, -, -,,8 -,9, -,,, -,9 -,9,9 7, -, -,, -, -, 8,,,,, 9, -, -,, YMMERIC,, -,, -,,
lo : Mss Mtri for Rectngulr Plte Element for Plne tress Prolems [M ] X Y θ Z X Y θ Z X Y θ Z X Y θ Z I/J 7 8 9 M, M, M, M, M,7 M,9 M, M, M, M, M,7 M, M, M,9 M, M, M, M, -M, M, -M,9 M,9 M,9 -M, -M, M, M, M, M, M, M,7 M,9 M, -M, M, -M, M, -M,9 M, -M, M, M, -M,9 -M,9 M,9 7 M, -M, M, -M, 8 M, M, P,7 M, 9 M, -M, -M, M, YMMERIC M, -M, M, -M, M,
lo : tiffness Mtri for Rectngulr Plte Element for Plte ending { } [ ] { } K Z θ X θ Y Z θ X θ Y Z θ X θ Y Z θ X θ Y I/J 7 8 9,,,,,,,7,8,9,,,,,,, -,8,8 -,,, -,,,9,9 -,,,, -,,, -,,7,8 -,9, -, -,, -,8,8,,, -,9,9 7, -,,, -,, 8, -, -,, 9, -,, YMMERIC, -, -,,,,
lo : Mss Mtri for Rectngulr Plte Element for Plt ending [M ] Z θ X θ Y Z θ X θ Y Z θ X θ Y Z θ X θ Y I/J 7 8 9 M, M, M, M, M, M, M, M,8 M,9 M, M, M, M, M, M, M, M, -M,8 M,8 -M, -M, M, M, M, -M, -M, M, M,9 M, M,9 -M, M, M, M, M, -M, M, M, -M, M, M,8 -M,9 M, -M, -M, M, -M, -M,8 M,8 M, M, M, -M, M, -M,9 -M, M,9 7 M, -M, M, M, -M, M, 8 M, -M, -M, M, M, 9 M, -M, M, M, YMMERIC M, -M, -M, M, M, M,
lo : tifness Mtri for Rectngulr Plte Element for Comined Plte ending nd retching Anlsis { F } [ K] { } X Y Z θ X θ Y θ Z X Y Z θ X θ Y θ Z X Y Z θ X θ Y θ Z X Y Z θ X θ Y θ Z I/J 7 8 9 7 8 9,,,,,,,7 -,,9, -,,,, -,,,,,8,9 -,,,,,,,,,,7,8,9,,,,,,, -,8,8 -,,, -,,,9,9 -,,,, -,, -,9,9,9 -, -,, 7, -,,,,,,7,,9 8, -,,, -, -,,8 -,9 9,, -,,, -,,7,8 -,9, -, -,, -,8,8,,, -,9,9, -,,, -,9 -,9,9, -, -,, -, -,,,,,,, -,,, -,,, -, -,, 7, -,, 8, -, -,, 9,, -,, -, YMMERIC, -, -,,,,,
lo : Mss Mtri for Rectngulr Plte Element for Comined Plte ending nd retching Anlsis X Y Z θ X θ Y θ Z X Y Z θ X θ Y θ Z X Y Z θ X θ Y θ Z X Y Z θ X θ Y θ Z I/J 7 8 9 7 8 9 M, M, M, M, M,7 M,9 M, M, M, M, M,7 M, M, M,9 M, M, M, M, M, M, M, M, M, M,8 M,9 M, M, M, M, M, M, M, M, -M,8 M,8 -M, -M, M, M, M, -M, -M, M, M,9 M, M,9 -M, M, M, M, M, -M, M, -M,9 M,9 M,9 -M, -M, M, 7 M, M, M, M, M,7 M,9 8 M, -M, M, -M, M, -M,9 9 M, M, -M, M, M, -M, M, M,8 -M,9 M, -M, -M, M, -M, -M,8 M,8 M, M, M, -M, M, -M,9 -M, M,9 M, -M, M, M, -M,9 -M,9 M,9 M, -M, M, -M, M, M, M,7 M, M, -M, M, M, -M, M, M, -M, -M, M, M, 7 M, -M, M, M, 8 M, -M, -M, M, 9 M, -M, M, -M, YMMERIC M, -M, -M, M, M, M, M,