ÖZE Dotora ezi PERİYODİK LİNEER FRK DENKLEM SİSEMLERİN SCHUR KRRLILIĞININ HSSSİYEİ hmet DUMN Seçu Üiversitesi Fe iimeri Estitüsü Matemati abiim Daı Daışma : Doç. Dr. Kema YDIN 8 73 viii Sayfa Jüri: Prof. Dr. i SİNN Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Üfet V Doç. Dr. Hüseyi YILDIRIM Doç. Dr. Kema YDIN u çaışmada Schur ararı periyodi atsayıı ieer far deem sistemerii maruz aabieceği etiere vereceği tepii sistem çözümede öcede biimesi ousu iceemiştir. u apsamda sabit atsayıı far deem sistemeri içi daha faza pertürbeye ima sağaya süreii teoremi periyodi sistemeri ve Schur ararıı parametreeri arasıdai fosiyoe eşitsizier moodromi matriseri üzerie üst sıırarı pertürbeye bağı süreii teoremeri Schur ararı periyodi sistemeri pertürbeye e adar dayaıı oduğuu açıça göstere farı souçar ve Schur ararıı parametreerie bağı süreii teoremeri ede edimiştir. yrıca ede edie bütü souçar ümeri öreere hem desteemiş hem de iteratürdei souçara arşıaştırımıştır. ahtar Keimeer: Periyodi atsayıı far deem sistemeri Schur ararıı Schur ararıı parametreeri Hassasiyet Pertürbe sistemeri
SRC Ph.D. hesis SENSIIVIY of SCHUR SILIY of PERIODIC LINER DIFFERENCE EQUION SYSEMS hmet DUMN Secu Uiversity Graduate Schoo of Natura ad ppied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor : ssoc. Prof. Dr. Kema YDIN 8 73 viii Page Jury: Prof. Dr. i SİNN Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Üfet V ssoc. Prof. Dr. Hüseyi YILDIRIM ssoc. Prof. Dr. Kema YDIN I this wor the reactio give by Schur stabe systems of iear differece equatios with periodic coefficiets to a effect appied to that has bee ivestigated without sovig the system. I this aspects cotiuity theorem givig possibiity of more perturbatio for differece equatio systems with costat coefficiet fuctioa iequaities betwee ad Schur stabiity parameters of periodic systems cotiuity theorems i terms of upper bouds of moodromy matrices depedig o perturbatio differet resuts showig how Schur stabe periodic systems preset sesitivity to perturbatio cotiuity theorems depedig o ad Schur stabiity parameters have bee obtaied. Moreover a the resuts obtaied are ot oy supported by umerica exampes but aso compared with the existig resuts i the iterature. Key words: he discrete-time equatios with periodic coefficiets Schur stabiity parameter of Schur stabiity sesitivitiy perturbatio systems
. GİRİŞ ir probemi çözümüü hareetii tahmi etme ve teori oara değişi etiere e adar maruz adığıda haa yapısıı araterii oruduğuu bime uyguama aaarıda öemi avataar sağamatadır. Probemi giriş eemaarıda e adar bir değişim yapıdığıda probemi yapısıı değişmediğii hagi şartarda araterii oruduğuu öcede biimesi uyguamada aos ouşma risii ortada adırır. Verie probemi etiere vereceği tepii sorguaması ve yapısıı değiştirmeye etieri şartarıı beiremesi hassasiyet probemi oara adadırımatadır. ir probemi hassasiyetii yai e adar dayaıı oduğuu biimesi probemi yapısı değişmede girdieride uygu değişimer yapımasıa ima sağar. Probemi hassasiyeti probemi dayaııığıı öçüsüü beiremesi oara da değerediriebiir. Probemi türüe göre; souçta para iş gücü zama veya ca ayıparı ie arşıaşmama içi probemi çözmede verie sistemi dayaııığı öcede biimeidir... Literatür Özeti ve Probemi aıtımı Probemi hassasiyetii beireye şartar iteratürde süreii teoremeri oara biie teoremere ortaya çıarımatadır. Süreii teoremeri probemi giriş eemaarıda e adar bir değişim oduğuda probemi yapısıı oruduğuu biimesii sağamatadır. Süreii teoremeri deem teorisii heme heme her aaıda uaımatadır. Mesea ieer cebirse deemer diferesiye deemer far deemer v.b. deemeri çözümerii hassasiyetii araştırımasıda süreii teoremeri ie arşıaşımatadır. Lieer cebiri asi probemi oa x f probemii hassasiyeti içi iteratürde bir ço çaışma yapımıştır. u probemi çözümüü var ve te oması özeiği sistemi μ - şart sayısıa bağı oara μ < şartıı sağama üzere matriseri içi de orumatadır Wiiso 965 4
Rice 966 Goduov ve ar. 993 Goduov 998 Gerad ad Wheatey 999 uga 999 uga ve uga. Kararıı teoriside ararı matriseri ararı omaya matrisere oa uzaığı geeie igi çeici bir probem omuş ve çaışımıştır Va Loa 985. Şimdi yapıa bu çaışmaarı bazıarıda bahsedeim. d Sabit atsayıı ieer x t x t diferesiye deem sistemii Hurwitz dt ararıı parametresi κ < oma üzere sistem Hurwitz ararı ie oaca şeidei her hagi bir matrisi içi matrisi de Hurwitz 5κ ararı oma özeiğii orumatadır uga 999. Sabit atsayıı ieer x x far deem sistemii Schur ararıı parametresi < oma üzere 3 şartıı sağaya matriseri içi matriseri de Schur ararı omatadır uga 999. Lieer cebirse deem sistemeri ieer diferesiye deem sistemeri ve ieer far deem sistemerie bezer oara periyodi atsayıı ieer far deem sistemeri içi de iteratürde süreii teoremeri verimiştir. Literatürdei süreii teoremeri sistemi moodromi matrisi ve Schur ararıı parametreeri parametreeri üzerie verimiştir. Öreği x x > Ζ sistemii moodromi matrisi Schur ararı < oma üzere Y < eşitsiziğii sağaya Y matrisi de Schur ararı omatadır. urada Y matrisie arşıı gee moodromi matrisi matrisi matrisii pertürbe ede matris ve ise verie periyodi sistemi Schur ararıı parametresidir ydı ve ar. ydı ve ar.. u süreii
3 teoremide sistemi Schur ararıığıı oruması içi geree şartar pertürbe matris üzerie açıça veriememiştir. Y farıı sıırı da verie sistemi argümaarıa bağı oara sabit bir üst sıırdır. Pertürbe sıfır oduğuda eşitsiziği so tarafı sıfır oure sağ tarafı sabit amatadır. Görüdüğü gibi iteratürde Schur ararı oa periyodi atsayıı far deem sistemerii e adar pertürbeye dayaıı oduğu sabit atsayıı sistemerdei gibi açı oara ortaya ouamamıştır. u çaışmada; sabit atsayıı far deem sistemeri içi iteratürdei süreii teoremerie bezer aca sistemi Schur ararıığı oruaca şeide iteratürdei souçarda daha faza pertürbeye ima oup omadığı araştırımış periyodi sistemeri ve Schur ararıı parametreeri arasıda bağıtıar araştırıara iteratürdei parametresie bağı souçarı parametresie göre oayıa yazııp yazıamadığı araştırımış Y farıı pertürbe matriside etiee hareeti üst sıırarıı buuup buumadığı araştırımış böyece periyodi atsayıı sistemeri çözümerii bumada çözümeri hareeti haıda sağıı bigier edime amaçamış sabit atsayıı sistemerde ediie ütüre periyodi sistemi Schur ararı oma özeiğii e adar pertürbeye dayaıı oduğuu açıça ifade ede souçar araştırımış Schur ararıı parametresie göre iteratürde ydı ve ar. de verie süreii teoremii farı bir yoa yeide ispataıp ispatamadığı araştırımış ve Schur ararıı parametreerie bağı süreii teoremeri araştırımış ve Y farı üzerie ede edie souçara yeide değeredirimiş
4 u aamda Schur ararıı üzerie verie süreii teoremeri de Schur ararı oa matriseri Schur ararı omaya matrisere oa uzaığı haıda fiir verimeye çaışımıştır... ezi Yapısı u tez çaışması 6 böümde ouşmatadır.. böümde; probemi taıtımı ve probeme igii iteratür özeti verimiştir.. böümde; sabit ve periyodi atsayıı ieer far deem sistemeri ve bu sistemeri Schur ararıığı ie igii bazı teme avramar ısaca taıtımıştır. 3. böümde; periyodi atsayıı ieer far deem sistemerii Schur ararıı parametreeri ve arasıda bazı eşitsizier ede edimiştir. 4. böümde; sabit atsayıı ieer far deem sistemeri içi Schur ararıığı oruaca şeide daha faza pertürbeye izi vere bazı souçar ede edimiş bu souçar iteratürdei souçara arşıaştırımıştır. 5. böümde; periyodi atsayıı ieer far deem sistemerii Schur ararıığıı hassasiyet probemi içi souçar verimiştir. u souçar moodromi matrisii süreiiği ve Schur ararıı parametreerii süreiiği oara ii at başıta iceemiş ede edie souçar iteratürdei souçara da arşıaştırımıştır. 6. böümde ise tez çaışması gee oara değeredirimiştir.
5. LİNEER FRK DENKLEM SİSEMLERİ u böümde sabit ve periyodi atsayıı ieer far deem sistemeri ve bu sistemeri Schur ararıığı ie igii bazı teme avramar verimiştir... Sabit Katsayıı Sistemer N boyutu sabit atsayıı arese bir matris M N R oma üzere x x Ζ. sistemii ee aaım. u sistem sabit atsayıı ieer far deem sistemi oara x x R N başagıç şartı atıda x x x x. sistemi de sabit atsayıı ieer far Cauchy probemi oara adadırımatadır. I birim matris ve sigüer omaya bir matris oma üzere I.3 Cauchy probemii çözümü matrisie. sistemii fudameta matrisi deir.. Cauchy probemii çözümü ise x x şeidedir ydı 995 ı ve uga 998 Eaydi 999 ydı ve ar..... Schur ararıı. sistemi x x Ζ sistemii asimtoti ararı oabimesi içi gere ve yeter şart λ < i N ve d dt x t x t i
6 diferesiye deem sistemii asimtoti ararı oabimesi içi gere ve yeter şart ise Re λ < i N omasıdır ı ve uga 998 Eaydi 999 i uga 999. u ritere Spetra Kriter de deimetedir. ir sistemi asimtoti ararı oması atsayı matrisii asimtoti ararı omasıya ayı aama gemetedir ı ve uga 998 Eaydi 999 ydı ve ar.. Literatürde ieer diferesiye deem sistemeri asimtoti ararıığı yerie Hurwitz ararıı ieer far deem sistemerii asimtoti ararıığı yerie Schur ararıı avramarı da uaımatadır Wag ad Miche 993 Roh 994 ydı 4 Voicu ad Pastravau 6. Çaışma boyuca bu avramar uaıacatır. Her hagi bir are matrisii arateristi deemii öerii öz değererii hesapama veya yerii tahmi etme probemi oay bir probem değidir. Simetri matrisii öz değererii hesapaması probemii iyi oumuş probem oduğu biimetedir. Gee durumda bu probem ötü oumuş bir probemdir Wiiso 965 uga 999. Yai matrisi eemaarıdai üçü değişiiere arşıı öz değereride büyü değişii oabimetedir. Matris eemaarıdai değişii o adar üçü oabiir i matrisi bigisayardai temsiie eti etmez. Faat bu değişii matrisii Schur ararıığıı etieyebiir. Mesea.5 M.5 O L L O L M.5 biçimidei N boyutu parametrei matrisi det λi.5λ N ± N arateristi deemie sahiptir. içi matrisii öz değereri λ i.5 i N dir. Eğer N N içi matrisii bütü öz değereri λ.5 our. urada λ λ
7 oduğu görüür. u öre Ostrowsi ye aittir Wiiso 965 ydı 995 ı ve uga 998. öyece Schur ararı oa matrisii eemaarıda yapıa adar bir değişim matrisi Schur ararı omaya matrisie döüştürmetedir. Öz değer probemi iyi oumuş bir probem omadığıda Schur ararıığı tespit içi Spetra Kriter yerie Schur ararıığı araterize ede bir ieer cebirse deemi çözümü yardımıya hesapaa parametreeri uama daha uaışıdır. Şimdi sabit atsayıı far deem sistemerii Schur ararıı parametresii taıtma içi Lyapuov teoremii vereim. eorem.. Lyapuov teoremi Verie bir matrisii veya x x sistemii x aşiar çözümüü Schur ararı oması içi gere ve yeter şart H H C C C > oara biie Lyapuov far matris deemii H C H H > çözümüü omasıdır ydı 995 ı ve uga 998 Eaydi 999 uga 999. Lyapuov teoremide C I I birim matris aıması durumuda H H I Lyapuov far matris deemii çözümü H H H > our. Lyapuov far deemii sağaya H H > pozitif taımı H matrisi varsa H asi hade oara seçiir. u şeide taımaa matris fosiyoeie matrisii Schur ararıı parametresi yada Schur
8 ararıığıı aitesii göstere parametre deir ugaov ve Goduov 988 ı ve uga 998 uga 999. de büyü bir sayı > oma üzere eşitsiziği sağaıyorsa matrisie prati Schur ararı Schur ararı matris oara adadırıır. > ise matrisie Schur ararsız matris deir ı ve uga 998 uga 999 ydı 4. yrıca matrisi aıırsa Lyapuov far deemii çözümü H I our i ede ediir. u durum. sistemii Schur ararıığı içi Müemme Durum oara adadırıır. urada H oduğu açıtır.... Çözümü üst sıırı. Cauchy probemii çözümüü üst sıırı Schur ararı matrisi içi oduğuda x x eşitsiziği ie verimetedir uga ve Goduov 988 ı ve uga 998 uga 999...3. Süreii teoremi M N R oma üzere. sabit atsayıı ieer far deem sistemii pertürbe sistemi oara adadırıa y y Ζ.4 sistemii ee aaım.. sistemi yada matrisi Schur ararı ise;.4 pertürbe sistemi hagi şartarda Schur ararı oara amatadır?
9 ir diğer ifadeye. sistemii Schur ararıığıı dayaııığı acaba e adardır? soruarı aa gee aamı soruardır. u ve bezeri soruara iteratürde Süreii eoremeri oara biie teoremere cevap verimetedir. Şimdi.4 sistemii Schur ararıığıı hassasiyetii göstere teoremeri vereim. eorem... sistemi Schur ararı < oma üzere < şartıı sağaya herhagi bir pertürbe matrisi içi matrisi Schur ararıdır ayrıca < 4 eşitsiziği doğrudur ı ve uga 998. eorem.3.. sistemi Schur ararı < oma üzere şartıı sağaya herhagi bir pertürbe matrisi içi matrisi Schur ararıdır ayrıca 5 5 eşitsiziği doğrudur uga ve Goduov 988 uga 999. 3.5. sistemide osu. 6. 596 < oup.75 matrisi Schur ararı bir matristir. Sırasıya eorem. ve eorem.3 ü izi verdiği pertürbe matrisii ormuu sıırarı <.748 ve.3389
dir. u şartarı sağaya pertürbe matriseri içi matriserii Schur ararı oara aacağı teoremere garati edimetedir. Uyarı.. Müemme durum oara adadırıa matrisi içi Lyapuov far deemii çözümü H I ve our ve sistem masimum pertürbeye izi verir. u durumda eorem.3 ie verie sıır.5 omasıa rağme eorem. ie verie sıır < omatadır yai müemme durumda eorem.. pertürbeye izi vermemetedir... Periyodi Katsayıı Sistemer N boyutu periyodi periyotu arese bir matris oma üzere x x Ζ.5 sistemii ee aaım. u sistem periyodi atsayıı ieer far deem sistemi x x R N başagıç şartı atıda x x x x.6 sistemi de periyodi atsayıı ieer far Cauchy probemi oara adadırımatadır. I birim matris oma üzere I.7 Cauchy probemii çözümü oa - matrisie.5 sistemii fudameta matrisi ve matrisie de.5 sistemii moodromi matrisi deir ydı 995 ı ve uga 998 Eaydi 999 garwa ydı ve ar...6 Cauchy
probemii çözümü x x ve m sistemii çözümü m < oma üzere.6 x m m x.8 şeidedir ydı 995 ydı ve ar..... Schur ararıı.8 eşitiğide.5 sistemii Schur ararı oması ie sistemi moodromi matrisii Schur ararı omasıı de oduğu açıça görümetedir. öyece Spetra Kritere göre.5 sistemii Schur ararı oması içi gere ve yeter şart λ < i N omasıdır ydı 995 ı ve uga i 998 Eaydi 999 ydı ve ar.. Literatürde sabit atsayıı sistemeri Schur ararıığıa bezer oara.5 sistemii Schur ararıığı içi de farı ümeri arateristier taımamıştır Va Loa 985 ı ve uga 998 ydı ve ar.. Şimdi bu parametreeri taıtmada sabit atsayıı sistemer içi verie eorem.. Lyapuov eoremi i periyodi atsayıı.5 sistemi içi varyatı oa bir teoremi vereim. eorem.4..5 sistemii moodromi matrisi matrisii Schur ararı oması içi gere ve yeter şart her C C > matrisi içi F F C Lyapuov far matris deemii F C F F > te çözümüe sahip omasıdır ydı ve ar.. C I oması durumuda F F I
Lyapuov far matris deemii te çözümü F F F >.9 omatadır..9 matris serisii yaısa oması moodromi matrisii.5 sistemii Schur ararı omasıa detir..5 sistemii Schur ararıığı içi taımamış parametreerde birisi; { ρ} ; F ρ - { }. şeide taımamıştır. ua göre < asi tadirde ise verie sistem Schur ararı ve sistem Schur ararı değidir. urada ρ bir periyot ta çözümü hareeti haıda bize bigi vermetedir ydı ve ar...5 sistemii Schur ararıığı içi taımamış parametreerde iicisi; Φ. şeide taımaa parametredir. urada C i i i matrisi oma üzere Φ Φ C Lyapuov matris deemii te çözümü Φ C Φ Φ >. matris serisidir.. matris serisii yaısa oması da.9 dai matris serisie bezer oara moodromi matrisii.5 sistemii Schur ararı omasıa detir. ua göre < ise verie sistem Schur ararı asi tatirde yai sistem Schur ararı değidir. > prati Schur ararıı parametresi oma üzere eşitsiziği sağaıyorsa.5 sistemi prati Schur ararı Schur ararı sistem oara adadırıır. si tadirde Schur ararsız matris deir ydı 4. yrıca ve oması durumuda dir ydı ve ar..
3.5 sistemii Schur ararıığı içi taımamış parametreerde bir diğeri ise; H ; > I... matris seri dizisi I H H matris deemii çözüm dizisi oma üzere M H.3 şeide taımaa parametredir. Diğer parametreerde oduğu gib M < ise verie sistem Schur ararı asi tadirde M ve sistem Schur ararı değidir. yrıca H dir ydı ve ar...5 sistemi içi taımamış { ρ} ve M parametreeri arasıda ρ M eşitsizieri geçeridir ydı ve ar..... Çözümü üst sıırı.6 Cauchy probemii çözümüü x m x m m < şeide oduğu biimetedir. yrıca.4 eşitsiziği geçeridir. urada.6 ı çözümüü üst sıırı
4 x ρ x.5 eşitsiziği ie verimetedir..4 ve.5 eşitsizieri ρ eşitsiziği de diate aıara parametresie bağı oara sırasıya ve x x ie verimetedir ydı ve ar...5 eşitsiziği M parametresie bağı oara x H x M şeide ifade ediir ydı ve ar....3. Süreii teoremi ve N boyutu periyodi periyotu arese matriser oma üzere.5 periyodi atsayıı ieer far deem sistemii pertürbe sistemi oara adadırıa y y Ζ.6 sistemii ee aaım..6 sistemi Schur ararı ise Y ~ ~ FY F I Lyapuov deemii sağaya ~ ~ Y Y F F > ~ F
5 ~ dir. çözümü var ve F Şimdi.5 sistemi yada matrisi Schur ararı ie.6 sistemii Schur ararıığıı hassasiyetii yai sistemi hagi şartar atıda Schur ararı adığıı göstere süreii teoremerii vereim. eorem.5..5 sistemi Schur ararı < oma üzere Y <.7 eşitsiziğii sağaya pertürbe matrisi içi.6 sistemi de Schur ararıdır ydı ve ar.. Souç...5 sistemi Schur ararı ve a üzere b a b < b oma eşitsiziğii sağaya pertürbe matrisi içi.6 sistemi de Schur ararıdır ydı ve ar.. eorem.6..5 sistemi Schur ararı ve Y Y F α oma üzere.7 eşitsiziğii sağaya pertürbe matriseri içi ~ α F F α eşitsiziği doğrudur ydı ve ar..
6 Souç...5 sistemi Schur ararı oma üzere Y < eşitsiziğii sağaya pertürbe matriseri içi Y F F ~ eşitsiziği geçeridir ydı ve ar.. eorem.7..5 sistemi Schur ararı oma üzere H < eşitsiziğii sağaya pertürbe matrisi içi.6 sistemi de Schur ararıdır ydı ar..
7 3. PERİYODİK KSYILI LİNEER FRK DENKLEM SİSEMLERİ İÇİN ve PRMERELERİ RSINDKİ EŞİSİZLİKLER u böümde periyodi atsayıı ieer far deem sistemerii Schur ararıı parametreeri { ρ } ve arasıdai bazı eşitsizier verimiştir. 3.. ve Parametreeri rasıdai Eşitsizier N boyutu periyodi periyotu arese bir matris oma üzere x x Ζ 3. sistemii ee aaım. 3. sistemi içi taımamış ii farı Schur ararı parametreeride birisi { ρ } ; F ρ - { } 3. F F F > F F I ie taımaa parametresidir. Diğer parametre ise Φ ; Φ Φ C C i Φ Φ > 3.3 i i Φ Φ C ie taımaa parametresidir. Literatürde 3. sistemi içi taımamış { ρ} ve parametreeri arasıda ρ 3.4 eşitsizieri geçeridir ydı ve ar.. Şimdi { ρ } ve parametreeri arasıdai bazı yei eşitsizieri vereim. u böümdei souçar I. Uusa Matemati Sempozyumu da -5 ğustos 6 Kütahya bidiri oara suumuştur.
8 eorem 3.. ve sırasıya 3. ve 3.3 ie taımamış parametreer ve α i i oma üzere α ; ρ [α ] / eşitsizieri geçeridir. İspat. m oma üzere m m oduğuda i i i oduğu oayca görüür. şeide taımadığıa göre Φ i i i i i i i i our. 3. de α 3.5 eşitsiziği ede ediir. 3.4 ve 3.5 de ρ [α ] / 3.6 oduğu açıtır. Not 3.. 3.5 de / α / 3.7 eşitsiziği açıça görümetedir.
9 Souç 3.. ve sırasıya 3. ve 3.3 ie taımamış parametreer ve α i i oma üzere /α α veya /α / / α / eşitsizieri geçeridir. İspat. Eşitsizieri doğruuğu 3.4 ve 3.5 de açıtır. oması durumuda durumu ve α I oduğuda Souç 3.. dei eşitsizierde ve 3. dei taımda ρ oduğu açıça görümetedir. eorem 3.. 3. sistemi içi α i i oma üzere α eşitsiziği doğrudur. İspat. 3.4 de ve 3.5 de α oduğu biidiğie göre α α ve α our. öyece α 3.8 eşitsiziği sağaır. urada α i i oduğua diat edimeidir.
eoremi ifade ettiği eşitsizite ve içi α i i I omasıda our. Doayısıya içi soucua uaşıır. u ise teoremi soucuu iteratür bigisi ie oa uyumuu göstermetedir. 3.. Pertürbe Edimiş Sistem içi azı Souçar ve ir Kriti Şimdi 3. probemii ve > oma üzere y y y y... 3.9 pertürbe sistemii ee aaım. Y Y Y I... Cauchy probemii çözüm dizisi Y 3.9 u fudameta matrisi ve Y de 3.9 u moodromi matrisidir. 3.9 u sıfır çözümüü Schur ararı oması içi pertürbe matrisi üzerie parametresie bağı bazı şartar ydı ve ar. de verimiştir. Şimdi bu souçarı parametresie bağı oara ifade edeim. eorem 3.3. ve Y sırasıya 3. i ve 3.9 u moodromi matriseri ve α i i oma üzere Y < α eşitsiziği sağaaca şeide matrisi içi 3.9 sistemi Schur ararıdır.
İspat. Y < α eşitsiziği β α Y Y Φ > eşitsiziğie detir. öyece β > ie pertürbe edimiş sistemi Schur ararı oduğuu göstereim. 3.9 sistemii moodromi matrisi Y oma üzere Y YY [ Y ]Y ; Y Y yazıabiir. v N boyutu vetör oma üzere <ΦYv Yv> < ΦYv Yv> < [ ΦY Y Φ Y ΦY ]Yv Yv > oara yazıır. 3.3 de Φ Φ C ; C i i i oduğuda <ΦYv Yv> < ΦYv Yv> < CYv Yv> < [ ΦY Y Φ Y ΦY ]Yv Yv > our. urada <ΦYv Yv> β <ΦYv Yv> 3. Φ eşitsiziği ede ediir. 3. eşitsiziğii sağ tarafı uyguadığıda içi ara araya <ΦYv Yv> β <Φv v> Φ eşitsiziğie uaşıır. Φ pozitif taımı matris oduğuda Yv Y v soucua uaşıır. u ise 3.9 sistemii Y moodromi matrisii bütü öz değererii birim disi içie düşmesii yai λ i Y < i N
omasıı geretirir. öyece Y moodromi matrisi doayısıya 3.9 pertürbe edimiş periyodi atsayıı sistemi Schur ararıdır. Uyarı 3.. [ydı ve ar. eorem ] i ispatıda <FYv Yv> çarpımı yerie <ΦYv Yv> çarpımı aıara F matrisi yerie Φ matrisi aıara ydı ve ar. dei ispat teiği adım adım uyguaara eorem 3.3. ispatamıştır. eorem 3.3. parametresi içi verimiş oa [ydı ve ar. eorem ] i parametresi içi ifade edimeside başa bir şey değidir. parametresi içi var oa bu soucu parametresie göre ede etme içi ydı ve ar. dei ispat teiğii adım adım teraramasıa gere yotur. eorem 3.3 dei soucu ede etme içi 3.7 ie verie / α / eşitsiziğii [ydı ve ar. eorem ] de uama yeteridir. yrıca parametresi içi verimiş Souç.. eorem.6. ve Souç.. dei souçar parametresie göre ayı şeide rahatıa yazıabiir. eorem 3.4.[ydı ve ar. eorem ] ve Y sırasıya 3. i ve 3.9 u moodromi matriseri oma üzere Y < eşitsiziği sağaaca şeide matrisi içi 3.9 sistemi Schur ararıdır. 3.7 eşitsiziğide / α / oduğu biidiğie göre α ; α i i eşitsiziği açıtır. u eşitsizi eorem 3.3. ü ispatamaya yeteridir. Uyarı 3.. u çaışmada verdiğimiz eorem 3.3. bezer bir şeide Usu 6 da da buumatadır. Usu 6 maaesii souçarıda eorem 3.. ve ispatı Souç 3.. eorem 3.3. ve ispatı ydı ve ar. dei souçar taıtımada
3 sadece ydı ve ar. dei tei uaıara ifadesi yer aara F matrisi yerie Φ matrisi aıp bütü souçarı ispatarıı adım adım taip edere parametresie göre yazımasıda başa bir şey değidir. 3.3. Nümeri Souçar u ısımda 3.5 3.6 3.7 ve 3.8 eşitsizieri ie igii ümeri souçar verimiştir. α 3.5 ρ [α ] / 3.6 α 3.7 α 3.8 oara aaım. u durumda.667 ρ.3333 ve α.5 dir. 3 oara aaım. u durumda.963. ρ 3.478.37 ve α.889 dir. π si 3 3 π cos 3 oara aaım. u durumda 3 3.6667 ρ 3 3 3 3.3333 ve α 3.5 dir.
4 4 π si 3 π cos 3 oara aaım. u durumda 4 3 5.8473 ρ 4 3.9385 4 3.9569 ve α 4 6.733 dir. 3 4.667.963.667 5.847 ρ 3.478.939.3333.37.333.9569 α.5.889.5 6.73 3.5.3333.3334.37 9.767.333.4.9569 39.3335 3.6.547 3.478 4.444.549.939 6.76 3.7.9375.9375.58.983.9375.547.7.563 3.8.666.667 9.48 7.84.667.3333 6.4 33.497 abo 3.. 3.5 3.6 3.7 ve 3.8 eşitsizieri ie igii ümeri souçarı göstere tabo { ρ } parametreeride herhagi birie göre yazımış bir soucu diğer parametreere göre yazımasıı sağaya 3.5 3.6 3.7 ve 3.8 eşitsizieri ie igii ümeri öreer abo 3.. de gösterimiştir.
5 4. Sİ KSYILI LİNEER FRK DENKLEM SİSEMLERİNİN SCHUR KRRLILIĞININ HSSSİYEİ u böümde sabit atsayıı ieer far deem sistemerii Schur ararıığıı hassasiyetii göstere bazı souçar veridi. u souçar iteratürdei souçara arşıaştırıdı. 4.. a Souçar M N R oma üzere x x Ζ 4. sistemii göz öüe aaım. 4. sistemi Schur ararı oma üzere y y Ζ şeidei 4. i pertürbe sistemii de Schur ararı oabimesi içi pertürbe matrisi üzerie bazı ısıtamaar yapımatadır. 4. sistemii Schur ararıığıı hassasiyeti süreii teoremeri oara biie teoremere aaşımatadır. Mesea bu teoremerde iisi eorem.. ve eorem.3. dir. Şimdi Schur ararıığı hassasiyetii göstere bazı souçarı vermede öce aşağıdai emmayı vereim. Lemma 4.. matrisi Schur ararı 4. sistemi Schur ararı ve matrisi de Schur ararı ise simetri pozitif taımı bir CI matrisi vardır. İspat. ve matriseri Schur ararı oduğuda Lyapuov eoremide H H I ve I Lyapuov far matris deemerii simetri pozitif taımı H H > ve > çözümeri vardır. İici Lyapuov far matris deemide I
6 ifadesi yazıır. Schur ararı bir matris ve > simetri pozitif taımı çözümüü var oduğu biidiğie göre Lyapuov eoremide C C I > simetri pozitif taımı matrisi vardır..5 Öre 4.. x x.75 sistemii ee aaım. 6. 596.3 oduğuda sistem Schur ararıdır. 6.758.3 matrisi ie pertürbe edeim. Lemma 4.. de varığı garati edie Lyapuov far matris deemii sağaya simetri pozitif taımı C matrisi.68.3794 C şeidedir..3794.68.5. Öre 4.. x x sistemii ee aaım.. 3463..5.49 oduğuda sistem Schur ararıdır. 53.4647.49 matrisi ie pertürbe edeim. Lemma 4.. de varığı garati edie Lyapuov far matris deemii sağaya simetri pozitif taımı C matrisi 39.935.7544 C şeidedir..7544.8646 eorem 4.. Schur ararı bir matris < osu. < şartıı sağaya pertürbe matrisi içi Schur ararı bir matris ve ; eşitsizieri doğrudur.
7 İspat : İ oara teoremi iici ısmıı ispatı ie başayaım. İici ısmı ispatı içi iteratürdei süreii teoremerii ispat yötemerii uaaım ör. ydı 4. Lemma 4.. de Schur ararı oa matrisi içi I deemii sağaya > simetri pozitif taımı çözümüü var oduğu biidiğie göre C C I > simetri pozitif taımı matrisi vardır. Lyapuov matris deemii çözümü dır. urada C C C C 4. eşitsiziği ede ediir.ci oduğuda C buuur. uua eşitsizi 4. ifadeside yerie yazıırsa ede ediir. urada doayısıya eşitsiziği ede ediir. oduğuda 4.3 eşitsiziği buumuş our.
8 Diğer eşitsizi içi u ii matrisi farıı ormu aıırsa C ve H oduğu biimetedir. H C I C I eşitiği ede ediir. C I oduğuda H H H eşitsiziği buuur. u eşitsizite H 4.4 ede ediir. H H oduğuda isteie eşitsizi buumuş our. Şimdi teoremi birici ısmıı ispatıa geçeim. Schur ararı ie matrisii de Schur ararı oması yai < oması içi 4.3 eşitsiziğide > omaıdır. ua göre < eşitsiziği ye göre çözüürse < eşitsiziği ede ediir. öyece teorem ispatamış our. Not 4.. Periyodi atsayıı sistemer içi oması durumuda Y Y ve Y our. yrıca H oduğuda oması durumuda eorem.5 ve eorem.7 i bir soucu oara da
9 Schur ararı bir matris < oma üzere < şartıı sağaya pertürbe matrisi içi Schur ararı bir matristir. soucu arşımıza çımatadır. Souç 4.. Schur ararı matris oma üzere şartıı sağaya pertürbe matrisi içi matrisi de Schur ararıdır. İspat. pertürbe matrisi içi matrisii Schur ararı oması eşitsiziğii sağamasıa bağıdır. eorem 4.. de görüür i matrisii Schur ararı oması içi eşitsiziğii sağamaıdır. urada eşitsiziğii ye göre çözüürse eşitsiziği ede ediir. öyece soucu ispatı tamamamış our.
3.5 6 Öre 4.3. ve osu. 54.994 > oduğuda. Schur ararsız matristir..5 Öre 4.4. ve osu..88 oduğuda. Schur ararı matristir. yrıca Souç 4. de.786 oaca şeide pertürbe matriseri içi matrisi Schur ararıdır. Mesea.. <.786 Souç 4.. aaım. Gerçete..6 oup 3.65544 oduğu görüür.. 4.. Nümeri Souçar ve Karşıaştırma u ısımda 4. sistemi içi eorem.. eorem.3. ve eorem 4.. de verie souçarı arşıaştırması yapımıştır. Karşıaştırma yapııre oayı sağaması açısıda pertürbe matrisii ormu i üst sıırıı - δ eorem.. - δ 3 eorem.3. - δ 3 eorem 4.. ie - i matrisi içi pertürbe matriserii ie θ i oma üzere θ ı üst sıırarıı - θ 4 eorem..
3 5 - θ 5 eorem.3. - θ 3 eorem 4.. oara göstereim..5 aaım. 6.596 δ.74 δ.339.75 δ 3.53 dır. u değerere uygu pertürbe matriserii.3. aaım. ua göre.3. 6.758 6.33469 dir..5. aaım..3463 δ.38 δ.3..5 δ 3.49 dur. u değerere uygu pertürbe matriserii.3..3.5 aaım. ua göre.3...435.9385 dir..99 3 aaım. 3 5.53 δ.97 δ.4.99 δ 3.999 dur. u değerere uygu pertürbe matriserii.. 3 3 aaım. ua göre.. 5.7563 6.75 dir. 4 3 4 3
3 δ δ δ 3 θ θ θ θ 3.74.339.53.96.6599.3354.3773.3873.88663.4764.38.3.49.553.448.3368.63368.599 4.93648.4345 3.97.4.999 3.55.8 8.953.5539 3.4997.4998 abo 4.. Farı Schur ararı matriserie matrisi özeiği bozumasızı eorem.. eorem.3. ve eorem 4.. ie verie pertürbei sıırarıı δ δ ve δ 3 bu sıırara uygu pertürbe matriserie arşıı Schur ararıı parametreeri arasıda gerçeeşe far θ ve ayı pertürbe matriseri içi yie eorem.. eorem.3. ve eorem 4.. ie verie parametreer arasıdai farı üst sıırarıı θ θ ve θ 3 göstere tabo abo 4.. de verie Schur ararı i i 3 matriseri içi. 3. ve 4. sütuda aaşıacağı üzere eorem.. δ eorem.3. δ ve eorem 4.. δ 3 i izi verdiği masimum pertürbeer görümetedir. Görüdüğü gibi eorem.. eorem.3. de ve eorem 4.. eorem. ve eorem.3. de daha faza pertürbeye izi vermetedir. Mesea Schur ararı matrisi içi matrisi Schur ararı oaca şeide pertürbe matrisii ormuu üst sıırarı δ.38 δ.3 ve δ 3.49 yai matrisi içi eorem.. eorem.3. de ve eorem 4. eorem.. ve eorem.3. de daha faza pertürbe yapıabimetedir. δ ye göre yapıa pertürbe matrisi içi gerçeeşe değer θ.553 ie eorem 4.. ie verie sıır θ 3.63368 eorem.. ie verie sıır θ.448 ve eorem.3. ie verie sıır θ.33688 omatadır. urada θ 3 üst sıırı gerçeeşe θ değerie θ ve θ sıırıda daha yaı omatadır.
33 Schur ararı matrisi içi matrisi Schur ararı aaca şeidei masimum pertürbeye eorem 4.. δ 3 izi vermetedir. δ ye göre yapıa pertürbe matrisi içi gerçeeşe değer θ.96 ie eorem.. ie verie sıır θ.6599 eorem.3. ie verie sıır θ.3354 ve eorem 4.. ie verie sıır θ 3.3773 omatadır. urada θ üst sıırı gerçeeşe θ değerie θ ve θ 3 sıırıda daha yaı omatadır. δ < < oa pertürbe matriseri içi eorem.. ve eorem.3. δ < δ3 şartarı sağamadığıda θ ve θ değeri δ < < δ < δ3 oa pertürbe matriseri içi de eorem.3. ü şartarı sağamadığıda θ değeri hesapaamamıştır. u durum abo 4.. de ie gösterimiştir. Mesea içi θ ve θ değeri hesapaamaze θ 3.4998 oara hesapamıştır. 3 matrisi Uyarı 4.. matrisi içi oup Schur ararıığı aitesi e iyi oa matristir. u durumda δ hesapaamaz ie δ ve δ3 oara buuur. Spetra Kriteri diate aıırsa eorem 4.. ie verie δ 3 sıırı sistemi Schur ararıığı bozumada yapıabiece e büyü pertürbei de üst sıırı oduğu diate aımaıdır.
34 5. PERİYODİK LİNEER FRK DENKLEM SİSEMLERİNİN SCHUR KRRLILIĞININ HSSSİYEİ Schur ararıığı hassasiyeti probemi verie bir sistemi Schur ararıığı bozumada e adar pertürbe ediebieceği diğer bir ifadeye pertürbe matrisi üzerie ouaca şartarı ortaya çıarıması probemidir. u yöüye Schur ararıığı hassasiyeti probemi bir ters probem oara arşımıza çımatadır. ers probem basitçe çözümde hareete probemi yapısıı oruması içi probemi verierii sağaması geree şartarı araştırma probemi oara taımaıabiir. u böümde periyodi atsayıı ieer far deem sistemerii Schur ararıığıı hassasiyet probemi içi bazı souçar veridi. u souçar moodromi matrisii süreiiği ve Schur ararıı parametreerii süreiiği oara ii at başıta iceedi ede edie souçar iteratürdei souçara da arşıaştırıdı. 5.. Moodromi Matrisii Süreiiği Üzerie Souçar N boyutu periyodi periyotu arese bir matris oma üzere x x 5. sistemii ee aaım. I birim matris oma üzere I 5. Cauchy probemii çözümü oa matrisi 5. sistemii fudameta matrisi matrisi de 5. sistemii moodromi matrisi oma üzere N boyutu periyodi periyotu arese matris oma üzere 5. periyodi atsayıı ieer far deem sistemii y y 5.3 pertürbe sistemidir. 5.3 Cauchy probemide ede edie u böümdei souçarı bir ısmı.uusa Matemati Sempozyumu da 3-6 Eyü 7 Erzurum ve bir ısmı da 4th Iteratioa Coferece o Differece Equatios ad ppicatios Juy -5 8 İstabu da bidiri oara suumuştur.
35 Y [] Y Y I 5.4 Cauchy probemii çözümü oa Y matrisi 5.3 sistemii fudameta matrisi Y matrisi de 5.3 sistemii moodromi matrisidir. Schur ararıığıı hassasiyetii göstere süreii teoremerii vermede öce çaışma içi gerei oa bazı gösterimeri taıtaım. α i i Qs s Ψs s Q γ β Q Q > ; ; Q μ Δ Y Y Δ Δ α 3 Δ γ β Ψ!!! μ Δ 4 Q Q abo 5.. azı Semboer
36 Lemma 5.. Y 5.3 ü fudameta matrisi oma üzere!!! Ψ Q Y eşitsiziği doğrudur. Q ve Ψ abo 5.. de taımadığı gibidir. İspat. Y Y Y Y [][] [] [][] şeidedir. Üçge eşitsiziği uaıara gerei düzeemeer yapıırsa!!! Ψ Q Y oara ede ediir. Q Q ; Ψ Ψ eşitsizieri diate aıdığıda!!! Ψ Q Y eşitsiziği ede ediir. eorem 5.. ve Y sırasıya 5. ve 5.3 sistemerii moodromi matriseri oma üzere
37 Y Δ 3 eşitsiziği doğrudur. Üstei 5. sistemi Schur ararı oma üzere 3 Δ Δ < eşitsiziğii sağaya pertürbe matriseri içi 5.3 sistemi Schur ararıdır. Δ ve Δ 3 abo 5.. dei taımadığı gibidir. İspat. 5. ve 5.4 deemeride Y [Y ] Y ; Y 5.5 ifadesi yazıabiir. 5.5 sistemii çözümü yai 5. ve 5.3 sistemerii fudameta matriseri arasıdai far Y Y 5.6 dır. 5.6 eşitiğide aıara Y Y 5.7 eşitiği yazıır. 5.7 eşitiğide her ii tarafı ormu aıırsa Y Q Y ede ediir. u eşitite Y Q Y 5.8 eşitsiziği yazıır. Lemma 5.. de i eşitsizi 5.8 de yerie yazıırsa β γ!!! Ψ Q Y eşitsiziği ede ediir. Yuarıda i eşitsizi içi
38 ise; Y β γ Ψ > ise;! Q!! Y β γ Ψ! Q!! eşitsizieri geçeridir. u teoremi birici ısmıı ispatar. 5. sistemi Schur ararı oma üzere eorem.5. de Δ 3 < Δ eşitsiziğii sağaya pertürbe matriseri içi 5.3 sistemi Schur ararıdır. öyece teoremi ispatı tamamamış our. Souç 5.. içi 5. far deem sistemi. sabit atsayıı sistem Schur ararı oma üzere < Δ δ 3 şartıı sağaya pertürbe matrisi içi 5.3 sistemi de.4 sabit atsayıı pertürbe sistemi Schur ararıdır. δ 3 ısım 4.. de taımadığı gibidir. İspat. Periyodi atsayıı sistemer içi oması durumuda Y Y β γ μ Δ 3 ve Δ δ 3 ısım 4.. our. urada {}. ve. şeide taımıdır. öyece i < i i < i Δ3 < Δ δ 3
39 ede ediir. u ise soucu ispatar. Uyarı 5.. Souç 5.. tam oara eorem 4.. i ifadesii bir ısmı oduğu açıtır. yrıca eorem.5. ve eorem.7. de aıdığıda da dire bu souç ortaya çımatadır. u bize yuarıdai teoremi iteratürdei souçara uyumu oduğuu göstermetedir. eorem 5.. ve Y sırasıya 5. ve 5.3 sistemerii moodromi matriseri ve Q < oma üzere Δ 4 Y eşitsiziği doğrudur. Üstei 5. sistemi Schur ararı oma üzere < Δ Δ Q şartıı sağaya pertürbe matriseri içi 5.3 sistemi de Schur ararıdır. urada Δ ve Δ 4 abo 5.. de taımadığı gibidir. İspat. 5.6 eşitiği yardımıya Y Q Y Y Q 5.9 eşitsiziği yazıabiir. urada Y Y Y Y eşitsiziği ede ediir. Ede edie bu eşitsizi 5.9 da yerie yazıırsa
4 Y Q Y eşitsiziğie uaşıır. Eşitsizi her içi sağadığıda ve sağ taraftai bütü terimer masimum oduğuda eşitsizi Y yerie Y içide geçeri oacatır. öyece η Q oma üzere eşitsizi η Y Y oara yazıır. urada Y Y oduğu diate aıara eşitsizi düzeeirse η η Y eşitsiziği ede ediir. öyece η η Y eşitsiziğie uaşıır. So eşitsizite oara aıırsa 4 Δ Y soucua uaşıır. öyece teoremi birici ısmıı ispatı tamamamış our. eoremi iici ısmıı ispatı ise; eorem.5. de 4 Δ Δ < eşitsiziğii sağaya pertürbe matriseri içi 5.3 sistemi Schur ararı oduğuda gerei düzeemeer yapıdığıda < Δ Δ Q oara buuur. u ise teoremi ispatamaya yeteridir.
4 Not 5.. içi eorem 5.. i ifadesi Souç 5.. ie ayı omatadır. Gerçete oduğuda Y Y ve Δ Q 4 Q Q Δ Δ our. öyece Souç 5.. e uaşımış our. Öre 5.. x x periyodi atsayıı ieer deem. sistemii ee aaım. eorem 5.. i birici ısmıa göre üzere < oma.5 Y Δ 4 eşitsiziği doğrudur. Öreği.5.9.5.9.5.9 pertürbe matriseri içi sırasıya Y.75 Δ 4.5 Y.7 Δ 4 3.5
4 dir. Faat verie Schur ararı sistem ve matriseri ie pertürbe ediir ise ve oduğuda pertürbe sistemeri Schur ararı değidir. eoremi 5.. i iici ısmıa göre verie Schur ararı sistemi <.333333 şartıı sağaya pertürbe matriseri ie pertürbe ediir ise pertürbe sistemi Schur ararı oara amatadır. Gerçete 3.33.33 3.33 pertürbe matrisi ie pertürbe ediirse 3.935 oduğuda verie sistem Schur ararı amatadır ve Y.4389 Δ 4.73886 dır. yrıca pertürbe sistemi Schur ararıığı Δ 4.73886 < Δ.749999 oduğuda da görümetedir. Uyarı 5.. eorem 5.. de eorem 5.. gibi iteratürdei souçara uyumudur. Şimdi Schur ararıığı araterize ede parametresie göre ifade edie eorem 5.. ve eorem 5.. yi 3. böümde 3.7 eşitsiziği ie verie / α / eşitsiziğide yararaara parametresie göre ifade edeim. eorem 5.3. 5. sistemi Schur ararı oma üzere Δ 3 < Δ eşitsiziğii sağaya pertürbe matriseri içi 5.3 sistemi Schur ararıdır. urada Δ ve Δ 3 abo 5.. dei taımadığı gibidir.
43 eorem 5.4. 5. sistemi Schur ararı oma üzere < Q Δ Δ şartıı sağaya pertürbe matriseri içi 5.3 sistemi de Schur ararıdır. urada Δ abo 5.. dei taımadığı gibidir. Not 5.. eorem 5.3. ve 5.4 de i Δ parametresi parametresie bağı oa Δ parametresii parametresie göre yazımış haidir. u sebepte teoremeri ispatarı 3.7 eşitsiziği eorem 5.. ve eorem 5.. i ispatarıda açıtır. Şimdi yuarıda verdiğimiz teoremer ie igii bir öre yapaım..99 Öre 5.. x x periyodi atsayıı ieer deem sistemii ee aaım. Sistemi şart sayıarı 5.378 ve 5.53 dır. Verie Schur ararı oa sistemi <.9956 eorem 5.. <.99 eorem 5.. <.9954 eorem 5.3. <.9998 eorem 5.4. adar bir pertürbe yapıırsa verie sistemi Schur ararı aacağıı garati etmetedir..99. 99.99...
44. 3 3.. matriseri ie pertürbe edisi. u durumda verie sistem ie pertürbe edie sistem 5.38 oduğuda Schur ararı ie ve 3 ie pertürbe edie sistem eorem 5.. eorem 5.. eorem 5.3. ve eorem 5.4. ie verie sıırarda hiçbirisi ie Schur ararı oduğu garati edimemetedir. Gerçete bu sistemer zate ve 3 oduğuda Schur ararı omamatadır. Not 5.3. Yuarıdai örete özeie ve pertürbe matriserie arşıı gee değerer iceediğide ede edie teoremeri esi sıırar verdiği aaşımatadır. Spetra Kritere göre de bu durum Şei 5.. de açıça görümetedir. Verie sistemi öz değereri matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri ο matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri 3 matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri Şei 5.. Öre 5.. i Spetra Kritere göre değeredirimesi
45 5.. ve Parametreerii Süreiiği Üzerie Souçar 5. ve 5.3 sistemeri ve Y matriseri Schur ararı osu. Yai her hagi bir C C > matrisi içi sırasıya F F C Lyapuov far ~ ~ Y LFMD matris deemii LFMD sağaya F F > ve FY F C ~ i sağaya F F ~ > çözüm matriseri var osu. Schur ararı veya Y matrisi içi her hagi bir pozitif taımı matrisi çözüm abu edece şeide LFMD i sağaya bir C C > matrisii araştırma probemi aamıdır ve bu yöüye probem bir ters probemdir. Şimdi bu ters probeme cevap teşi ede emmayı vereim. Lemma 5.. 5. sistemi matrisi ve 5.3 sistemi Y matrisi Schur ararı osu. Her hagi bir C C > matrisi içi 5.3 sistemii LFMDi sağaya Φ Φ > çözümüe arşıı 5. sistemii LFMDi sağaya simetri pozitif matris C C Δ Φ Φ Δ Δ Φ Δ şeidedir. Δ abo 5. de taımadığı gibidir. İspat. 5. sistemi Schur ararı yai moodromi matrisi Schur ararı oduğuda Φ Φ C LFMDi pozitif taımı bir Φ ararı oduğuda Φ > çözümü vardır. 5.3 sistemi de Schur Y Φ Y Φ C 5. LFMDi pozitif taımı bir Φ çözümü Φ matrisie arşıı Φ Φ C Φ > çözümü vardır. 5. deemii
46 LFMD i sağaya C matrisii araştıraım. 5. deemide Y Δ oara aıırsa Δ Φ Δ Φ C ede ediir. urada Φ Φ C Δ Φ Φ Δ Δ Φ Δ buuur. Φ Φ çözüm matrisi oduğuda ve matrisi de Schur ararı > matris oduğuda eorem.4. de LFMD i sağaya simetri pozitif taımı matris C C C Δ Φ Φ Δ Δ Φ Δ oara buuur. Şimdi Lemma 5.. yi bir öree açıayaım. Öre 5.3. 5. sistemi içi Schur ararı oa 5. sistemii.99 osu. Verie matrisi ie.99 matrisi ie. 99.9998 pertürbe ediirse Lemma 5.. ye göre C matrisi içi pertürbe.6 edimiş sistemi LFMD sistemii çözümü Φ Φ > matrisie arşıı pertürbe edimemiş sistemi LFMDi sağaya simetri pozitif taımı matris 97.3 C C oara buuur..6689 Lemma 5.3. 5. sistemi matrisi ve 5.3 sistemi Y matrisi Schur ararı osu. Her hagi bir C C > matrisi içi 5. sistemii LFMDi sağaya Φ Φ > çözümüe arşıı 5.3 sistemii LFMDi sağaya simetri pozitif matris C C Δ Φ Δ Δ Φ Y Y Φ Δ şeidedir. Δ abo 5. de taımadığı gibidir.
47 İspat. 5. sistemi Schur ararı yai moodromi matrisi Schur ararı oduğuda Φ Φ C 5. LFMDi pozitif taımı bir Φ ararı oduğuda Φ > çözümü vardır. 5.3 sistemi Schur Y Φ Y Φ C LFMDi pozitif taımı bir Φ Φ > çözümü vardır. 5. deemii çözümü oa Φ matrisie arşıı Y Φ Y Φ C LFMD i sağaya C matrisii araştıraım. 5. deemide Y Δ oara aıırsa YΔΦ YΔ Φ C ede ediir. urada buuur. Φ Y Φ Y Φ C Δ Φ Δ Δ Φ Y Y Φ Δ Φ > çözüm matrisi oduğuda ve Y matrisi de Schur ararı matris oduğuda eorem.4. de LFMD i sağaya simetri pozitif taımı matris C C C Δ Φ Y Y Φ Δ Δ Φ Δ oara buuur. Öre 5.4. 5. sistemi içi Schur ararı oa 5. sistemii.99 osu. Verie matrisi ie.99.98 pertürbe ediirse Lemma 5.3. e göre C matrisi ie. 99.5 matrisi içi pertürbe edimiş sistemi LFMD sistemii çözümü Φ Φ > matrisie arşıı
48 pertürbe edimemiş sistemi LFMDi sağaya simetri pozitif taımı matris.9749 C C oara buuur..43 Lemma 5.. i ifadeside C I oması durumuda aşağıdai souç ede ediir. Souç 5.. 5. sistemi ve 5.3 sistemi Schur ararı ise I birim matrisi içi 5.3 sistemii LFMDi sağaya ~ F F ~ > simetri pozitif taımı çözümüe arşıı 5. sistemii LFMDi sağaya simetri pozitif taımı matris CIΔ F ~ F ~ ΔΔ F ~ Δ şeidedir. urada Δ abo 5. de taımadığı gibidir. Souç 5. i bir öree göstereim. Öre 5.5. 5. sistemi içi.99 osu. Verie matrisi ie.99 Schur ararı oa 5. sistemii matrisi ie. 99 pertürbe ediirse Souç 5.. ye göre pertürbe edimiş sistemi LFMD sistemii simetri pozitif taımı çözümü oa F ~ ~ F > matrisie arşıı pertürbe edimemiş sistemi LFMD i sağaya simetri pozitif taımı matris CC 98.548 oara buumatadır..547 Lemma 5.3. ü ifadeside C I oması durumuda aşağıdai souç ede ediir. Souç 5.3. 5. sistemi ve 5.3 sistemi Schur ararı ise I birim matrisi içi 5. sistemii LFMDi sağaya F F > simetri pozitif taımı çözümüe arşıı
49 5.3 sistemii LFMDi sağaya simetri pozitif taımı matrisi C I Δ FΔ Δ FY Y FΔ şeidedir. urada Δ abo 5. de taımadığı gibidir. Souç 5.3 ü bir öree göstereim. Öre 5.6. 5. sistemi içi.99 osu. Verie matrisi ie.99 Schur ararı oa 5. sistemii matrisi ie. 99 pertürbe ediirse Souç 5.3. e göre pertürbe edimiş sistemi LFMD sistemii simetri pozitif taımı çözümü oa F F > matrisie arşıı pertürbe edimiş sistemi LFMD i sağaya simetri pozitif taımı matris CC.497 oara buumatadır..99456 Şimdi parametresi içi eorem.6. ie verie Süreii eoremii eorem 5.. eorem 5.. ve Souç 5.. yi diate aara yeide ifade ve eorem.6. ı ispatıa göre ters bir yaaşıma farı bir şeide ispat edeim. eorem 5.5. 5. sistemi Schur ararı < osu. < pertürbe matrisi içi Δ Q Δ şartıı sağaya ; Δ Δ 4 4 ~ F F Δ4 Δ4 Δ Δ 4 4 eşitsizieri doğrudur. urada Δ ve Δ 4 abo 5.. de taımadığı gibidir. İspat. 5. sistemi Schur ararı ve < Q Δ Δ
5 şartıı sağaya pertürbe matrisi içi 5.3 sistemii Schur ararı oduğu eorem 5.. de gösterimişti. eorem 5.. de izi verie pertürbe matriseri içi 5.3 sistemi Schur ararı oduğuda Y F ~ Y F ~ I LFMDi simetri pozitif taımı çözümü F ~ içi Souç 5.. ye göre F ~ F ~ C LFMDi sağaya C IΔ F ~ F ~ Δ Δ F ~ Δ simetri pozitif taımı matrisi vardır. öyece C ~ F şeide taımı oduğuda eşitiği her ii tarafı ormu aıara ~ F C C 5. eşitsiziği ede ediir. F ~ ifadesi yerie yazıırsa C our. C IΔ F ~ F ~ ΔΔ F ~ Δ oduğuda her ii tarafı ormu aıara C Δ F ~ Δ F ~ 5.3 eşitsiziği ede ediir. eorem 5.. de Δ Y ı üst sıırı Δ 4 oduğuda 5.3 eşitsiziği C Δ 4 F ~ Δ 4 F ~ our. u eşitsizi 5. de yerie yazıırsa F ~ [Δ 4 F ~ 4 eşitsiziği ede ediir. urada ve Δ F ~ ] [ Δ Δ ] ~ F 4 4
5 Δ Δ 4 eşitsiziği ede ediir. İici eşitsiziği ispatı ise; F FI ; F ~ F ~ C LFMD eri birbirie eşiteir ve düzeeirse F ~ F F ~ FCI 5.4 ede ediir. Souç 5.. de C IΔ F ~ F ~ ΔΔ F ~ Δ oduğuda 5.4 deemi F ~ F F ~ F [ F ~ ΔΔ F ~ Δ F ~ Δ ] our. urada matrisi Schur ararı oduğuda 4 ~ ~ ~ FΔ Δ F Δ FΔ ~ F F çözümü vardır. öyece ~ ~ ~ ~ F F FΔ Δ F Δ FΔ ~ ~ Δ F Δ F eşitsiziği ede ediir. eorem 5.. de Δ Y üst sıırı Δ 4 oduğuda eşitsizi ~ ~ Δ F Δ F ~ F F 4 4 our. Eşitsiziği sağ tarafı F ~ ~ ~ F F F F F F aıara düzeeirse ~ F F Δ4 Δ4 Δ Δ 4 4 eşitsiziği ede ediir. öyece teoremi ispatı tamamamış our.
5 Uyarı 5.3. eorem.6. ya baıdığıda oma üzere Y Y F α ~ α F F α eşitsiziği ie eorem 5.5. dei ~ F F Δ4 Δ4 Δ Δ 4 4 eşitsizi bezer eşitsizitir. Eşitsizi bezer omasıa rağme özeie ispat tarzı baımıda farı ve hesapama oayıığı baımıda öemi avataar içermetedir. u farar ısaca; eorem.6. ı ifadesii asie Schur ararı 5. sistemii e adar pertürbeye dayaıı oduğu ve verie eşitsizieri sağamasıı garati ede pertürbe matrisi üzerie sıır şart eorem 5.5. de açı bir şeide ifade edimiş Ede edie eşitsizierde üst sıırar eorem.6. da Y matrisie doayısıya pertürbe edie sistemi hesapamaya Y matrisie göre eorem 5.5. de ise tamame 5. sistemii argümaarıa eorem 5. ve eorem 5. ie verie Y i sıırarıa ve pertürbe matrisii ormu değerie bağı souçar uaıara ede edimiş Özeie eorem.6. ı ispatı Y moodromi matrisi üzerie işa edimişe eorem 5.5. i ispatı tam tersi bir yaaşıma tamame moodromi matrisi üzerie işa edimiş omasıdır. Not 5.4. Δ 3 < Δ şartıı sağaya pertürbe matrisi içi eorem 5.5. i ifadesidei eşitsizier Δ 3 içi de geçeridir.
53 Uyarı 5.4. eorem.5. dei Y < Δ sıır şartıı sağaya pertürbe matrisi içi Y matrisii hesapamada eorem 5.5. dei eşitsizierde Δ sıırıı uaıması durumuda Δ Δ omatadır. u durumda ise eorem.6. dai eşitsizier aamsız amatadır. Not 5.5. pertürbe matriseri üzerie verie sıır şartarı e büyüğüe arşıı Δ i sıırarıı e üçüğü içi eorem 5.5. hem geçeridir hem de verie eşitsizieri sağ tarafarı daha üçü omatadır..99 Öre 5.7. x x periyodi atsayıı ieer deem sistemii ee aaım. Sistemi moodromi matrisi sayısı 5.378 dır..98 şart.5 Verie Schur ararı sistemi eorem 5.5 ie Schur ararıığı garati edie pertürbe sıırı <.99 dır. eorem.6. ie bu şeide açı bir sıır veriememetedir..99.99 pertürbe matrisi içi. 99 5.38 ve 475.9 dır. eorem 5.5. ie Y matrisii hesapamada tamame verie sistemi argümaarı ve matrisie bağı oara birici eşitsiziği sağ tarafı 4494.38 ve iici eşitsiziği sağ tarafı ise 44899.378 oara hesapamatadır. ua arşıı eorem.6. da eşitsizieri sağ tarafarıı hesapama içi Y matrisii hesapama geremetedir.
54 içi eorem 5.5. i ifadesi; Souç 5.4. 5. far deem sistemi. sabit atsayıı sistem Schur ararı oma üzere < δ 3 şartıı sağaya pertürbe matrisi içi 5.3 sistemi de.4 sabit atsayıı pertürbe sistemi Schur ararıdır. Üstei F ~ ; F eşitsizieri doğrudur δ 3 ısım 4.. taımadığı gibidir. İspat. Periyodi atsayıı sistemer içi oması durumuda Δ δ 3 ısım 4.. ve Δ 4 our. urada {.} i < i ve. şeide i < i taımıdır. öyece soucu ispatı tamamaır. Uyarı 5.5. Souç 5.4 ü tam oara eorem 4.. i ayısı oduğu açıtır. u ise bize yuarıdai teoremi iteratürdei souçara uyumu oduğuu göstermetedir. Şimdi Δ oma üzere eorem 5.5. i Schur ararığa uyguaması iteiğide oa aşağıdai soucu vereim. Souç 5.5. 5. sistemi Schur ararı bir sistem oma üzere Δ3 Δ
55 şartıı sağaya pertürbe matrisi içi 5.3 sistemi de Schur ararıdır. Δ 3 abo 5.. de taımadığı gibidir. İspat. pertürbe matrisi içi 5.3 sistemii Schur ararı oması eşitsiziğii sağamasıa bağıdır. eorem 5.5. soucu oara Not 5.4. de 5.3 sistemii Schur ararı oması içi Δ Δ 3 3 eşitsiziği sağamaıdır. u eşitsizi Δ 3 e göre çözüürse soucu ifadesi ede ediir. Souç 5.6. 5. sistemi Schur ararı bir sistem oma üzere Q Δ Δ şartıı sağaya pertürbe matrisi içi 5.3 sistemi de Schur ararıdır. İspat. pertürbe matrisi içi 5.3 sistemii Schur ararı oması eşitsiziğii sağamasıa bağıdır. eorem 5.5. de görüür i 5.3 sistemii Schur ararı oması içi Δ4 Δ4 eşitsiziği sağamaıdır. u eşitsizi Δ 4 e göre çözüürse Δ eşitsiziği ede ediir. urada göre düzeeirse souç ede ediir. 4 Δ
56.5 9 Öre 5.8. 5. sistemi içi ve osu.. 4.964 > oduğuda 5.3 sistemi Schur ararsızdır..5 3 Öre 5.9. 5. sistemi içi ve osu...66 < oduğuda 5. sistemi Schur ararıdır. yrıca sırasıya Souç 5.5. ve Souç 5.6. da.8969 ve.8749 oaca şeide pertürbe matriseri içi 5.3 sistemi Schur ararıdır. Mesea.87 pertürbe matrisii.87 oara aaım..87.587 3 Gerçete 5.3 sistemi içi oup..87.633 < oduğu görüür. Şimdi eorem 5.5. i parametresie göre bir varyatıı Δ 5 oma üzere aşağıdai teoremde vereim. eorem 5.6. 5. sistemi Schur ararı < osu. < Δ 5 Q Δ 5 şartıı sağaya pertürbe matrisi içi 5.3 sistemi Schur ararıdır. Üstei uygu pertürbe matrisi içi ; Δ Δ 4 4 ~ F F Δ4 Δ4 Δ Δ 4 4 eşitsizieri doğrudur. Δ 4 abo 5.. de taımadığı gibidir.
57 İspat. Lemma 5.. dei C i i i oma üzere ve 3.7 ie verie / α / eşitsiziği diate aıara eorem 5.5 i ispatı adım adım taip ediere teoremi ispatı rahatıa ede ediir. Not 5.6. Δ 3 < Δ 5 şartıı sağaya pertürbe matrisi içi eorem 5.6. ı ifadesidei eşitsizier Δ 3 içi de geçeridir. Not 5.7. içi eorem 5. 6. ı ifadesi Souç 5.4. ie ayı omatadır. Gerçete oduğuda ve 5 5 Δ Δ Q 4 4 Δ Δ ve 4 4 4 4 Δ Δ Δ Δ our. öyece Souç 5.4. e uaşımış our. Uyarı 5.6. eorem 5.6. da eorem 5.5. gibi iteratürdei souçara uyumudur.
58 Şimdi Δ oma üzere eorem 5.5. i Schur ararığa uyguaması iteiğide oa aşağıdai soucu vereim. Souç 5.7. 5. sistemi Schur ararı bir sistem oma üzere Δ3 Δ şartıı sağaya pertürbe matrisi içi 5.3 sistemi de Schur ararıdır. İspat. pertürbe matrisi içi 5.3 sistemii Schur ararı oması eşitsiziğii sağamasıa bağıdır. eorem 5.6. da görüür i 5.3 sistemii Schur ararı oması içi Δ Δ 3 3 eşitsiziği sağamaıdır. u eşitsizi Δ 3 e göre çözüürse soucu ifadesi ede ediir. Souç 5.8. 5. sistemi Schur ararı bir sistem < oma üzere Q Δ Δ şartıı sağaya pertürbe matrisi içi 5.3 sistemi de Schur ararıdır. İspat. pertürbe matrisi içi 5.3 sistemii Schur ararı oması
59 eşitsiziğii sağamasıa bağıdır. eorem 5.6. da görüür i 5.3 sistemii Schur ararı oması içi Δ Δ 4 eşitsiziğii sağamaıdır. u eşitsizi Δ 4 e göre çözüürse Δ eşitsiziği ede ediir. urada göre düzeeirse souç ede ediir. 4 4 Δ.9 5 Öre 5.. 5. sistemi içi ve osu. 59.3 > oduğuda 5.3 sistemi Schur ararsızdır..9. Öre 5.. 5. sistemi içi ve osu. 5.3484 < oduğuda 5. sistemi Schur ararıdır. yrıca sırasıya Souç 5.6. ve Souç 5.7. de.6973 ve.6647 oaca şeide pertürbe matriseri içi 5.3 sistemi Schur ararıdır. Mesea.6 pertürbe matrisii.6 oara aaım..6.96. Gerçete 5.3 sistemi içi oup.6 7.77 < oduğu görüür. 5.3. Nümeri Souçar ve Karşıaştırma u ısımda 5. sistemi içi eorem 5. eorem 5. eorem5.3. eorem 5.4. ie verie pertürbe sıırarı Y i üst sıırarı ve eorem 5.5. eorem 5.6. ı souçarı ie igii öreer verimiş ve iteratürde i bezer souçara arşıaştırımaarı yapımıştır.
6 Öre 5.. x x periyodi atsayıı ieer deem sistemii ee aaım. Sistemi şart sayıarı.6667 ve.33333 dır. Verie Schur ararı oa sistemi <.395643 eorem 5.. <.333333 eorem 5.. <.395644 eorem 5.3. <.333334 eorem 5.4. adar bir pertürbe yapıırsa verie sistemi Schur ararı aacağı garati edimetedir. ua göre.39.39.39.684.39.39.39.6757 omatadır. Spetra ritere göre değeredirimesi Şei 5.. de görümetedir. Verie sistemi öz değereri matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri ο matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri Şei 5.. Öre 5.. i Spetra Kritere göre değeredirimesi
6.5. Öre 5.3. x x periyodi atsayıı ieer deem..5 sistemii ee aaım. Sistemi şart sayıarı.733 ve.35564 dır. Verie Schur ararı oa sistemi <.3879 eorem 5.. <.3766 eorem 5.. <.3883 eorem 5.3. <.37783 eorem 5.4. adar bir pertürbe yapıırsa verie sistemi Schur ararı aacağı garati edimetedir. ua göre.38. 38.38.54785.38.38.38.477 omatadır. Spetra ritere göre değeredirimesi Şei 5.3. de görümetedir. Verie sistemi öz değereri matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri ο matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri Şei 5.3. Öre 5.3. ü Spetra Kritere göre değeredirimesi
6 π si 4 Öre 5.4. x x π si 4 periyodi atsayıı ieer deem sistemii ee aaım. Sistemi şart sayıarı 4.345 ve 4.7 dır. Verie Schur ararı oa sistemi <.586 eorem 5.. <.5867 eorem 5.4. adar bir pertürbe yapıırsa verie sistem yie Schur ararı aacatır. ua göre π si.5 π cos.5 omatadır..5 π 3 si.5 π 3 cos.5 4.6.5 4.533 Not 5.8. Yuarıdai örete 4 oduğuda eorem 5.. ve eorem 5.3. dei sıır şartta matrisie göre dördücü derecede deemeri öerii hesapaması probemi ie arşıaşımatadır. u probem çoğu zama yeterice zor bir probemdir.
63. 5 Öre 5.5. 5. sistemi içi ve osu.. 9 ua göre.6959 ve.99 oara buumatadır. u sistem içi <.659 eorem 5.. <.83995 eorem 5.. <.659 eorem 5.3. <.83995 eorem 5.4. adar bir pertürbe yapıırsa verie sistemi Schur ararı aacağı garati edimetedir. ua göre... 3.8665... 3.335 omatadır. Spetra ritere göre değeredirimesi Şei 5.4. de görümetedir. Verie sistemi öz değereri matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri ο matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri Şei 5.4. Öre 5.5. i Spetra Kritere göre değeredirimesi
64. Öre 5.6. 5. periyodi atsayıı ieer deem sistemide.. ve osu. Sistemi şart sayıarı..478 ve 3.54 dır. Verie Schur ararı sistem <.588 eorem 5.. <.87787 eorem 5.. <.36 eorem 5.3. <.887373 eorem 5.4. adar bir pertürbe yapıırsa yie de Schur ararı amatadır. ua göre....9669....84 omatadır. Spetra ritere göre değeredirimesi Şei 5.5. de görümetedir. Verie sistemi öz değereri matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri ο matrisi ie pertürbe edimiş sistemi öz değereri Şei 5.5. Öre 5.6. ı Spetra Kritere göre değeredirimesi