LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Limit. Kzım : Bir bğımsız değişkei verile bir sı klşmsıı öreklerle çıklr.. Kzım : Bir foksiou bir oktdki iti, sold iti ve sğd iti kvrmlrıı öreklerle çıklr ve bir oktdki iti ile sold, sğd itleri rsıdki ilişkii belirtir.. Kzım : Limit ile ilgili özellikleri belirtir ve ugulmlr pr. 4. Kzım : Foksiolrı itleri ile ilgili ugulmlr pr. 5. Kzım : Geişletilmiş gerçek sılr kümesii belirtir, foksiou bir oktdki itii sosuz olmsıı ve sosuzdki itii çıklr. 6. Kzım : Trigoometrik foksiolrı iti ile ilgili özellikleri belirtir. 7. Kzım : Belirsizlik durumlrıı belirtir ve foksiou belirsizlik oktlrıdki itii hesplr. 8. Kzım : Bir dizii itii çıklr ve ugulmlr pr. 9. Kzım : / r sosuz geometrik dizi toplmıı = r < ise bir gerçek sı klştığıı, r ise bir gerçek sı klşmdığıı belirtir, klştığı değer vrs bulur. Süreklilik. Kzım : Bir foksiou bir oktdki sürekliliği kvrmıı çıklr ve verile bir foksiou verile bir oktd sürekli d süreksiz olduğuu belirler.. Kzım : Bir oktd sürekli ol foksiolrı toplmıı, frkıı, çrpımıı ve bölümüü sürekliliğie it özllikleri ifde eder.. Kzım : Foksiou sıırlı olmsıı çıklr, kplı rlıkt sürekli foksiolrı özelliklerii belirtir.
LİMİT ve SÜREKLİLİK Sold ve Sğd Yklşm Ydki tblod bir değişkeii 4 sısı sğd ve sold klşımı ifde edilmiştir. Bu durumu geellemek gerekirse; değişkei re el s ı sı, d kü çük de ğer ler le k l şı or s, bu tür k lş m sol d k lş m de ir ve şeklide gösterilir. değişkei re el s ı sı, d büük de ğer ler le k l şı or s, bu tür k lş m sğd k lş m de ir ve + şeklide gösterilir. 4 Sold klflm S d klflm,5,9,99,999... 4 5 4,5 4, 4, 4,... 4 + ÖRNEK f : R R, f() = foksiou d, e sğ d ve sol d k lş tı ğı d f() kç klşır?
LİMİT değişkei sold klştığıd ( ) f() foksiou d L reel sısı klşıors f() i = dki sold iti L dir. deir ve f() = L şeklide gösterilir. değişkei sğd klştığıd ( + ) f() foksiou d L reel sısı klşıors f() i = dki sğd iti L dir. deir ve f() = L + şeklide gösterilir. Sold it, sğd ite eşit ise foksiou iti vrdır. Frklı ise foksiou iti oktur. f() = f() = L ise f() = L dir. + f() f() ise f() oktur. + ÖRNEK Aşğıd grfikleri verile bzı foksiolrı = ok t sı d ki li mit le ri bu lu muş tur. İ ce le i iz. f() f() f() L L L L L L f() = L, f() = L " + f() = L, f() = L " + f() = L, f() = L " + f() = L f() oktur. f() oktur. f() f() L f() f() = L, f() = L " + f() = +, f() = " + f() =, f() = + " + f() = L f() oktur. f() oktur. f() L f() f() = +, f() = + " + f() = + f() =, f() = + f() = f : [, ) R ise f() = " f() = " L f() = L + f() = L oktsıdki it, sğd itle, ok t sı d ki li mit, sol d li mit le belirleir.
ÖRNEK Aşğıd grfikleri verile bzı foksiolrı ile dki li mit le ri bu lu muş tur. İ ce le i iz. ÖRNEK 4 4 f : R {4} R, f() = 4 teki itii rştırıız. foksiouu = 4 f() b f() = ve " f() = b " b f() f() = ve " f() = b " f() b f() = b ve " f() = " b f() f() = b ve " f() = " 4
ÖRNEK 5 Limitle İlgili Özellikler f() f ve g, = oktsıd itleri ol iki foksio olmk üzere, c R içi c = c [f() + g() = f() + g() [f().g() = f(). g() Yukrıd grfiği verile = f() foksiouu i,,,, ve değerleride bzılrı içi vr ol itlerii buluuz. c R içi [c.f() = c. f() g() ve g() olmk üzere, f ( ) = g ( ) f ( ) g ( ) f() = + +... + + ise f() = f() dır. f() = f( ) tek doğl sı ise d çift doğl sı ike i sısı kı tüm değerleri içi f() ise f ( ) f ( ) = dir. f() = g() = L ve i sısı kı tüm değerleri içi f() h() g() ise h() = L dir. c R + olmk üzere, c f() = c f( ) [log b f() = log b [ f() 5
ÖRNEK 6 Aşğıd bzı itler hesplmıştır. İceleiiz. 7 = 7 5 ÖRNEK 9 7 + li mi ti i de ğe ri edir? 5 = 5. = 5. = 5 ( + 5) = + 5 =. + 5 = [( + ).( + ) = ( + ). ( + ) = ( + ).( + ) = 6 ÖRNEK itii değeri kçtır? ( ) " 4 = = = = + ( + ) + 4 " " ÖRNEK ( + 4 + ) =. + 4. + = 8 5 + itii değeri kçtır? ÖRNEK 7 itii değeri kçtır? ÖRNEK + 4 " itii değeri kçtır? ÖRNEK 8 f() = ( + ). + + 4 ise kç tır? 5 f() li mi ti i de ğe ri ÖRNEK [log 5 ( + ) itii değeri edir? 6
ÖRNEK 4 [log( + ) itii değeri kçtır? ÖRNEK 5 [ + log (5 + ) itii değeri edir? ÖRNEK 7 Z, f() = [, +, \ < = olduğu göre, > şğıdki itleri (vrs) buluuz.. f() b. f() c. f() ÖRNEK 6, > f() = ) olduğu göre,, şğıdki itleri (vrs) buluuz.. f() b. f() c. f() 7
ÖRNEK 8 Z + f() = [ + \,,, < < olduğu göre, şğıdki itleri (vrs) buluuz. ÖRNEK 9 Aşğıd bzı itler hesplmıştır. İceleiiz. si = si " r. f() b. f() cos = cos " r r t = t = " r 4 4 cos r cot = cot = r " si cos " r 6 = cos ÖRNEK t itii değeri (vrs) edir? " r Trigoometrik Foksiolrı Limiti R olmk üzere, si = si cos = cos t = t, (cos ) cot = cot, (si ) 8
ÖRNEK cot itii değeri (vrs) edir? +, pozitif çift sı = * ( ) oktur, pozitif tek sı ( ) "! =, ( Z + ) ÖRNEK Aşğıdki itleri değerlerii (vrs) buluuz.. b. " c. " ÖRNEK Aşğıdki itleri değerlerii (vrs) buluuz.. b. " c. " + t ms z............ 9
R ve olmk üzere, =, =,! =! ÖRNEK 5 ( ) itii değerii (vrs) buluuz. (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) = (+ ).(+ ) = +, ( ).( ) = + (+ ).( ) = N + içi, (+ ) = + N + içi, ( ) = * + N + içi, + =+,, tek çift N + ve tek ise = +, > ise +,,,. < ise +,,,. ÖRNEK 6 Aşğıd bzı itler hesplmıştır. İceleiiz. = = + + = = = ( ) ÖRNEK 4 Aşğıdki itleri değerlerii (vrs) buluuz.. b. " c. " " + = + = 4 + 4 + e+ e = l + " " c m = = c + m = + = = + =
> ise =, " < < ise =, " = " = " ÖRNEK 9 c m itii değeri edir? 4 " ÖRNEK 7 c m itii değeri edir? " ÖRNEK c " m itii değeri edir? ÖRNEK 8 c m itii değeri edir? " ÖRNEK ( ) itii değeri (vrs) edir? "
f() h() g() olmk üzere, f() = g() = b h() = b dir. si " = olduğuu gösteriiz. ETKİNLİK Aşğıd r rıçplı bir diree dışt teğet ol düzgü - geler çizilmiştir., sosuz klşırke düzgü - gei bir ker uzuluğuu sıfır klştığı dikkt ediiz. si si si c m si " si " = buluur. = = 4 cos = olduğuu gösteriiz. " cos cos cos c m = 5 = 6 cos " cos " = dır. ÖRNEK si " itii değeri kçtır? = = = 8
ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. ( + 5 + ). f() = ve g() = + ise ( fog)( ) ( gof )( ) itii değeri kçtır? b. 5 4 + c. e cos +,. f() = ), = ise f() kçtır? d. (log 8 ) 4 e. ( )( + ) + f. ^ 9 h Z b, > 4. f() = [ 4, = \ +, < foksiouu = de iti vrs b kçtır? g. si 5 " r h. (si.t) 5. si si si( ) + itii değeri edir? ı. (si.cot) r i. sib cos l 6. f() = + olmk üzere, (fof)() ifdesii eşiti edir?
Z, 7. f : R R, f() = [, < < +, \ foksiou göre şğıdkileri değerlerii (vrs) buluuz.. f() 8. 4 5 6 b. f() + Yukrıd gr fi ği ve ri le = f() fok si o u u gr fi ği e gö re, ş ğı d ki le ri de ğer le ri i bu luuz.. f() c. f() b. f() + d. f() " c. f() d. f() e. f() + e. f() f. f() f. f() 5 g. 6 f() g. f() h. f() 6 4
9. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. +. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. " b. b. " c m c. + c. c m 4 " d. + d. c m " e. e. e " 4 f. 4 + 4 + g. + cos f. g. c m + h. + + h. + +. " + si itii değeri edir? cos. cos " b r l + itii değeri edir?. ( si) itii değeri edir? " 4. + < f() < ise f() edir? 5
LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI Limit hesplmlrıd krşılşıl,,,.,,, biçimideki ifdelere belirsiz ifdeler deir. ÖRNEK 5 si itii değeri edir? " + cos Belirsizliği Bu belirsizlik türüle ilgili sorulrd p ve pd poliomlrd oluşuors bu poliomlr çrplrı rılrk gerekli sdeleştirmeler pılıp, belirsizlik giderilir. Trigoometrik terimlerde oluşuor ise trigoometrik özdeşlikler rdımıl sdeleştirmeler pılır. Y d ileride öğreeceğiiz L'HOSPİTAL kurlı rdımıl çözülür. ÖRNEK itii değeri edir? ÖRNEK 6 cos itii değeri edir? cos si " r 4 ÖRNEK 4 8 4 itii değeri edir? 6
si = olduğuu gösteriiz. si si = = O merkez belirsizliği vr. ÖRNEK 7 ( ) si itii değeri edir? [DB teğet B % m(bod ) = BC = si O C A D OC = cos BD = t & & A(OCB ) < BOA dire diii lı < A(BOD) ÖRNEK 8 OC. BC r. OB. BD < r r < cos. si t < < si cos. si < < (Her iki trfı ile çrplım.) cos si si cos < < > > cos si cos cos si > > cos cos ( ) si 4 itii değeri edir? si > > si = buluur. ÖRNEK 9 si = = si 5 t ( ) 5 itii değeri edir? t = = t f( ) = olmk üzere, (. ( )).() si mf mf m = = f.() si ( f. ( )) (. ( )).() t mf mf m = = f.() t ( f. ( )) t ( mf. ( )) si( mf. ( )) m = = si ( f. ( )) t ( f. ( )) ÖRNEK 4 si 5 itii değeri edir? 7
ÖRNEK 4 t itii değeri edir? ÖRNEK 44 si itii değeri edir? r " r ÖRNEK 4 si + t 4 si itii değeri edir? ÖRNEK 4 cos itii değeri edir? r " r ÖRNEK 45 " si itii değeri edir? 8
ÖRNEK 46 ÖRNEK 48 " + itii değeri edir? + m+ 4 ifdesi bir gerçel sı eşit ise m kçtır? ÖRNEK 49 m ve gerçek sılr olmk üzere, + = m eşitliğii sğl m + kçtır? ÖRNEK 47 itii değeri edir? 9
Belirsizliği N olmk üzere f() = + +... + + poliom foksioud, ÖRNEK 5 4 + " + itii değeri edir? f() = ( ) " " f() = ( ) " " m, N olmk üzere + +... + + f() = b m m + b m m +... + b + b f() = " Z [ bm ve \,,, < m = m > m ÖRNEK 5 (4 + ) itii değeri edir? " ÖRNEK 5 4 + + " itii değeri edir? ÖRNEK 5 ( 5 + ) itii değeri edir? " P() ve Q() poliom olmk üzere, " " P ( ) Q ( ) iti hesp l ır ke, P() ve Q() i e bü ük de receli terimleri hesb ktılrk it buluur. Diğer terimler ihml edilebilir.
ÖRNEK 54 ÖRNEK 57 " itii değeri edir? " + itii değeri edir? ÖRNEK 55 + " + itii değeri edir? ÖRNEK 58 " 4 + + itii değeri edir? ÖRNEK 56 + + " itii değeri edir? 4 + + = olduğu dikkt ediiz. 4 = " = " =
ÖRNEK 59 + + + " 4+ + itii değeri edir? Belirsizliği Bu tür belirsizlik ler de, b zı ce bir sel iş lem ler le (pd eşit le me, p ve p d ı eş le ik le çrp m,...) dü ze le e rek li mit ku rl l rı r dı mı ile çö zü lür. > ol mk üze re, b + b + c = c. + m ÖRNEK 6 c m itii değeri edir? ÖRNEK 6 + + " itii değeri edir? ÖRNEK 6 5 + 5 + " + itii değeri edir? ÖRNEK 6 ^ + 4 + h itii değeri edir? "
ÖRNEK 64 ^ 5 + h itii değeri edir? " ÖRNEK 66 ^ 4 + + h itii değeri edir? " ÖRNEK 67 " + c m itii değeri edir? ÖRNEK 65 ^ + h itii değeri edir? " ÖRNEK 68 [log ( + ) log (9 ) değeri edir? "
. Belirsizliği. = = ve. = = olduğud,. belirsizliği ve be lir sizli ği e dö üş tü rü le rek li mit he sp l ır. BİR DİZİNİN LİMİTİ ( ) bir dizi olmk üzere, içi bir sısı klşıors ( ) dizisii iti dır deir ve " = biçimide gösterilir. f(), [, ) rlığıd tımlı bir foksio ve ( ), geel terimi = f() ol bir dizi olmk üzere, ÖRNEK 69 f( ) " mevcut ise = f( ) " " tir. c. si m itii değeri edir? " ÖRNEK 7 4 + " + ifdesii eşitii buluuz. ÖRNEK 7 (.cot) itii değeri edir? Bir dizii iti buluurke foksio iti ile ilgili kurllr e kullılır. ÖRNEK 7 + 4+ 6+ + ( ) = c m + + dizisii itii buluuz. ÖRNEK 7 ;.( 5) E itii değeri edir? " + 4
ÖRNEK 74 Foksiolrı iti ile ilgili kurllrd rrlrk bzı dizileri itleri bulumuştur. İceleiiz. + = " ÖRNEK 75 + 5 ( ) = d + 5 dizisii itii buluuz. = = " + + = + " " 4 5 + + = + ( ). si = " " + 4 + = + " " ÖRNEK 76 ( m ) + 5 ( ) = d + dizisii iti k gerçek sısı eşit olduğu göre, m + k kçtır? ^ 4 + h " 5
ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. " 4. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. si b. b. ( ) si 4 " c. " c. ( si ). cos + d. + d. t si e. f. + e. f. ( ) si 9. si cos g. + g. r cosb + l h. ( + ) " h. 9 + t ( ) " + ı. + 8 ı. si si i. 4+ i. cos r " r 6
. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. ( + 5) " 4. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. c m " b. ( 5 + + ) " c. " b. ^ + h " 4 d. " + c. ^ + + h " e. 9 + " + d. ^ + h " f. + + + + + " e. ^ + 8 5 + h " g. " + + + 5. li mit kç tır? li mi ti i vr ol du ğu bi li i or s, bu 4 h. " + + ı. +. " + 6. ( + h) h h" li mi ti i değeri edir? i. r + e r. e " cos 7. si li mi ti i değeri edir? 7
8. N + olmk üzere, " ( + ) li mi ti i değeri edir?. 6 ( r). cot @ li mi ti i değeri edir? " r 9. r ( ).t li mi ti i değeri edir? 4. c. si m li mi ti i değeri edir?. si li mi ti i değeri edir? r " r 5. d + c m + c m + + c m " li mi ti i değeri edir?. dlog 6 + li mi ti i değeri edir? 6 6. t cos li mi ti i değeri edir?. " + + b = ise + b kç tır? 7. 4 " + li mi ti i değeri edir? 8
GEOMETRİK SERİ Geel terimi geometrik dizi ol serie geometrik seri deir ve /. r şeklide gösterilir. = S = /. r olmk üzere, k = ÖRNEK 78 / c m toplmı kçtır? = S = +.r +.r +... +.r r.s =.r +.r +.r +... +.r S r.s =.r S.( r) =.( r ) r S =. buluur. r r < ise (r ) dizisi klşır. Dolısıl /.r =. r = olur. ( r < ) r ise (r ) dizisi bir reel sı klşmz. Dolısıl /.r = ve olur. = ÖRNEK 77. / c m toplmı kçtır? = r < olmk üzere, / r = = r olduğuu geometrik olrk gösteriiz. D C r F r r r A B r r... r... ABCD birim kre olmk üzere, E A, B, E doğrusl ve D, F, E doğrusl ise DCF & + EBF & dir. Bu durumd, DC BE CF = = FB r + r + + r + r ( r).(r + r +... + r +...) = r ( r).r.( + r +... + r +...) = r ( r).( + r +... + r +...) = v + r +... + r +... = / r = buluur. r = r r 9
ÖRNEK 79 Aşğıd bzı geometrik serileri souçlrı bulumuştur. İceleiiz. / / c m = = = c m ÖRNEK 8 5 = / serisii eşiti kçtır? / c m = / = = c 4 = / =, ( > i r olduğud) ÖRNEK 8 + / serisii eşiti kçtır? 5 = / c m serisi ırksktır. ( r olduğud) = ÖRNEK 8 Aşğıdki örekler = r / = ( r < ) ku- r rlı rdımıl çözülmüştür. İceleiiz. / c m seriside 4 = = içi = c m = ve r = olup 4 ÖRNEK 8 / serisii eşiti kçtır? 5 = / c m seriside = = içi = c ve r = olup
ÖRNEK 84, 6 devirli odlık sısı kç eşittir? ÖRNEK 86 / serisii eşiti kçtır? = ÖRNEK 87 ÖRNEK 85 / ^ h. c 4 m serisii eşiti kçtır? = m ükseklikte bırkıl bir top her seferide düştüğü üksekliği si kdr sıçrmktdır. Topu dege durumu gelicee kdr ldığı toplm dike ol kç metredir? r < olmk üzere, / r. = +.r +.r +... +.r +...= = ^ rh olduğuu gösteriiz. T = +.r +.r + 4.r +... +.r +... r.t =.r +.r +.r + 4.r 4 +... +.r +... T r.t = + r + r + r +... + r +... T.( r) = r T = ^ rh olur. +.r +.r + 4.r +... +.r +... = ^ rh
ÖRNEK 88 B A B A h h h h 4 Şekildeki ABC üçgeide AB = cm ve AC = 4 cm dir. ABC üçgeii A köşeside hipoteüse çizile ükseklik h, oluş AB C üçgeii B köşeside hipoteüse çizile ükseklik h olup ı işleme sosuz çoklukt devm edilior. Bu göre, çizile ükseklikleri toplmı kç cm dir? B A C ÖRNEK 89 D C ABCD prlelkerıd AB = cm AD = 8 cm ve m( DAB) A B = dir. Bu prlelkerı kerlrıı ort oktlrıı köşe kbul ede dörtge çizilior. Bu şekilde elde edile her dörtgei kerlrıı ort oktlrıı köşe kbul ede iç içe sosuz te dörtge çizilior. Bu sosuz sıdki dörtgeleri llrı toplmı kç cm dir? ÖRNEK 9 O r... Şekildeki sosuz çokluktki direlerde her birii rıçpı bir büüğüü rıçpıı ü kdrdır. Bu direlerde e büüğüü rıçpı r cm dir. Bu göre, bu direleri llrı toplmı kç cm dir?
ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki serileri değerii buluuz.. / = 6 5. Aşğıdki devirli odlık sılrı kesir hlide gösteriiz.., b. / ^, h = b. 8, c., c. / c m =. > olmk üzere, / c m toplmı ee eşittir? = d. / = 4 + e. f. / = / = ^ h 4. Bir kerı 8 cm ol bir eşker üçgei kerlrıı ort oktlrı birleştirilerek ei bir eşker üçge elde edilior. Aı işlem elde edile bütü eşker üçgelere ugulrk sosuz çoklukt eşker üçge elde edilior. Elde edile bu eşker üçgeleri llrı toplmı kç cm dir? g. / = + 5 h. / ^6. h = 5. Bir çocuk kumbrsı hergü bir öceki ttığı prı iki ktı pr tıor. İlk gü kumbr TL ttığı göre, 7. güü soud kumbrsıd kç TL vrdır? / ı. = f i. % 5 p = 6. Bir kerıı uzuluğu cm ol krei içie köşeleri bu kreleri kerlrıı ort oktlrı olck şekilde ei bir kre çizilior. Aı şekilde sosuz çoklukt kre çizildiğie göre, çizile kreleri çevreleri toplmı kç cm dir?
SÜREKLİLİK A R ve f : A R bir foksio olsu. R olmk üzere, f() = f() ise f foksiou, = oktsıd süreklidir deir. Sürekli olm foksio ise süreksiz foksio deir. ÖRNEK 9 +, f() = * +, < foksiou R içi sürekli ise kçtır? f foksiou = d sürekli ise; I. f foksiou = d t ım lı ol m lı dır. II. f fok si o u u = d li mi ti ol m lı dır. III. f fok si ouu = d ki li mi ti, fok si o uu = içi ldığı değere eşit ol m lı dır. Yi, f() = f() = f() olmlıdır. + Grfiği verile foksiolr içi, gr fik is te e ok t d el kldırmd çizilebiliors foksio o oktd süreklidir. ÖRNEK 9 ÖRNEK 9 Z f() = [ b \,,, < = > foksiou R içi sürekli ise + b kçtır? Yukrıd grfi ği ve ri le = f() fok si o u i h gi de ğer le ri içi süreksizdir? ÖRNEK 94 foksiouu süreksiz olduğu ok- f() = 4 tlrı buluuz. 4
ÖRNEK 95 + f() = + 6 foksiou re el s ı lr kü mesi de sürekli ise hgi rlıkt değer lır? f() foksi o u R içi sü rek li ise p d sı ı kökü olmmlıdır. Yi, + 6 = deklemide < olmlıdır. < ( ) 4..( + 6) < ÖRNEK 97 5 4 5 Yukrıd grfi ği ve ri le = f() fok si o u i 5,,,, 4 ve 5 de ğer le ride hgileride süreklidir? ÖRNEK 96 Z f() = [ \ 4, <, foksiou hgi değeride süreksizdir? 5
ÖRNEK 98 f() = foksiou R {, } de sürekli + b + c olduğu göre b + c kçtır? ÖRNEK f() = kümei bu luuz. + foksio uu sü rek li ol du ğu ÖRNEK 99 Z +, < f() = [ + 6, \ foksio u = içi sü rek li ol du ğu gö re, kç tır? A R ve f : A R bir foksio olsu. A içi f foksiou sürekli ise f, tım bölgeside sürekli bir foksiodur. Öreği; f() = foksiou, tım kümesi ol R { } kümesi üzerideki her okt içi süreklidir. ÖRNEK ÖRNEK f() = si + cos foksio uu sü rek li ol du ğu kü- f() = + buluuz. foksio uu sü rek li ol du ğu kümei mei bu luuz. 6
ÖRNEK Z si, f() = [ cos, = \ foksiou = oktsıd sürekli midir? Bir Foksiou Kplı Bir Arlıkt Sürekliliği f : [, b R foksiou [, b kplı r lı ğıd sü rek li bir fok si o ise f şğıdki özelliklere shiptir. I. f foksiou sıırlıdır. Yi, [, b içi f() k olck şekilde bir k sısı vrdır. II. f([, b ) = [m, M olck şekilde m ve M reel sılrı vrdır. [, b ol mk üze re, f() i e kü çük (mi imum) de ğe ri m ve e bü ük (mk si mum) de ğeri M dir. III. f().f(b) < ise f( ) = olck şekilde e z bir (, b) vrdır. ÖRNEK 4 Z +, 4 f() = [, < \ 9 foksiouu süreksiz olduğu oktlrı buluuz. ÖRNEK 5 f : [, 4 R, f() = foksio u u l bilece ği e bü ük, e küçük değerlerii ve f([, 4 ) kümesii buluuz. 7
ÖRNEK 6 f : [, 6 [, 4, f() = (vrs) buluuz. fok siou u ter si i ÖRNEK 8 f : [, R, f() = + fok siou u ek seii ke sip kes mediğii tes pit edi iz. ÖRNEK 7 + 4 f : [, 4 R, f() = fok si o u u lbileceği e küçük (miimum) ve e bü ük (mk si mum) de ğerle ri i bu lu uz. ÖRNEK 9 + 4 = dek le mi i (, ) r lı ğı d bir kö kü ü olduğuu gösteriiz. f() = + 4 olsu. 8
ALIŞTIRMALAR 4,. f() = * +, < foksiou = de sürekli ise kçtır? foksiou kç frk lı ok t d sü- 5. f() = 8 rek siz dir? Z,. f() = [, = \ foksiou R içi sürekli ise kçtır? + 6. f() = + b + 9 foksiou R içi sürekli olduğu göre, b hgi rlıkt değer lbilir? Z 4cos, <. f() = [ cos + b, r si, > r \ foksiou R içi sürekli ise (, b) edir? 7. f() = olmk üzere, g() = (fofof)() fok si o u kç frk lı ok t d sü rek siz dir? Z si 4. f() = [ + b \ +,,, < = > foksiou R içi sürekli ise + b kçtır? + 8. f() = + + c foksiou = p sis li okt d sü rek siz ol du ğu gö re, c kçtır? 9
9. +. f() = + b + c foksiou R {, } de sürekli olduğu göre, b + c kçtır? 4 Yukrıd gr fi ği ve ri le = f() fok si o u u sü rek siz ol du ğu ok t l rı p sis le ri top l mı kçtır?. f() = + + 6 fok si o u u sü rek li ol duğu r lık e dir?. Aşğıd ki fok si o lr d h gi le ri = p sis li oktd süreksizdir?. f() = b. f() = +. f() = fok si o u u li mi ti i bu lu up f kt sü rek siz ol du ğu ok t ı or di tı kç tır? + c. f() = ) +, >, Z, > + 4. f() = [, \ 4 bğıtısı kç frklı değeride süreksizdir? Z, > d. f() = [, = \, < + e. f() = 5. f() = 4 4 fok si o u u sü rek li ol du ğu r lık e dir? 4
TEST Limit. = f() 5. (l( ) + + ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4 4 Grfiği verile = f() foksiou göre, + f( 4) f ( ) ifdesii değeri edir? A) B) C) D) E) 6. f() = + ve g() = + ise (fog)() ifdesii eşiti kçtır? 6 A) B) C) D) 4 E) 5.. si ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 7. cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir?. d + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) Yoktur A) B) C) D) E) Yoktur 4. ve b birer gerçel sıdır. + 4 = b ise.b kçtır? A) 4 B) C) D) E) 4 r 8. si " r ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 45
9. + + = b " ise + b kçtır? A) B) 6 C) 9 D) E) 8. N + olmk üzere, " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). " + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4. ( ) = (log ( + ) log (4 )) dizisii iti kçtır? A) B) C) D) E). + + + + " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4 si 5. + si ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). ^ + + 6 + h " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? + 6. 4 " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) 8 C) 8 D) 6 E) 4.C.B.E 4.E 5.D 6.D 7.B 8.A 9.C.B.C.A.C 4.C 5.B 6.D 46
TEST 4 Limit. 5. ( ) = ^ + h dizisii iti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4 Yukrıd verile = f() fok si o u u gr fi ğie gö re, ş ğı d ki ler de h gi si lıştır? A) 4 C) f() = E) f() = " f() = B) 4+ f() = D) f() = si + si 4 6. si 4 si 6 + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 5 5. + " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) si si 7. t t ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) cos D) cos E) cos.. si si + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4. cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? 8. " b r l ( + t) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) π E) 5
+ 9. " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8 4. ^ + + h " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). cos cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) si B) si C) D) E) si 4. + " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4. si( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 5. 9 + + " + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). + cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6. e l ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) e E) e.e.a.c 4.B 5.C 6.D 7.E 8.E 9.B.A.A.C.B 4.D 5.B 6.E 5
TEST 7 Limit Z +, >. f() = [ 4, =, < \ ise f() şğıdkilerde hgisie eşittir? A) B) C) 4 D) 5 E) Yoktur 5. cos si cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). ( + h) h h" ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) cos 6. si ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). si. si. si t ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 6 E) 7. si t ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4. si ^ h ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4 8. + 4 ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4 57
9. cos cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). ( ) = f + + p dizisii iti kçtır? A) B) C) D) E) 8 6 4. " + + + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) + B) C) 4. f() = 5 + ise f( ) f ( ) " + itii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6 8 4 D) E). d " + + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6 4 5. d + c m + c m + + c m " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). " 9 ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 9 e 6. " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) e D) e E) e.d.a.d 4.C 5.C 6.C 7.B 8.B 9.E.B.A.C.B 4.A 5.C 6.B 58
TEST 8 Seriler. / = + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) 4 B) 9 C) 5 D) E) 6 5. / ; ^ h + E = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4 4.. / = c m G = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? 6. < < b olmk üzere, / c m b = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) 9 B) 6 C) 4 D) E) A) b+ b B) b C) b D) b b E) b b. / = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) 5 6 B) 5 8 C) D) 5 E) / 7. ;. E = 4 = olduğu göre, kçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) E) 4 / 4. = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? 8. / c m 6 = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) 4 B) 8 C) 4 D) 79 E) 9 A) B) C) D) 6 7 7 E) 59
9. > olmk üzere, / = 4 olduğu göre, kçtır? = A) B) 5 C) D) 7 E) 4. / = + 6+ 8 ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 7 E) 4. / = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) 4 C) 5 D) E) 8 4. / ^ h k = k + k ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). / k = k k ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? 4 A) B) C) D) E) 9 4 9 5. metre ükseklikte bırkıl bir srkç ere değdikte sor, her seferide bir öceki üksekliğii ü kdr ukrı çıkıor. 4 Bu srkç dur kdr kç metre ol lır? A) 84 B) 8 C) 76 D) 7 E) 7 6. Bir kerıı uzuluğu 4 cm ol bir krei kerlrıı ort oktlrı birleştirilerek ei bir. % = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) v B) C) v D) v E) 6 kre elde edilior. Aı işlem ei elde edile her kree ugulıor. Bu şekilde oluş tüm kreleri llrıı toplmı kç cm dir? A) B) 6 C) 4 D) 44 E) 48.B.A.D 4.B 5.C 6.E 7.C 8.C 9.A.B.C.B.D 4.E 5.E 6.A 6
TEST 9 Süreklilik Z, <. f : R R, f() = [, = r si, > \ foksiou içi şğıdkilerde hgi si lıştır? 4. f() = + olmk üzere, g() = (fof)() fok si o u u sü rek siz ol du ğu ok t l rı psisleri toplmı kçtır? A) B) C) D) E) A) f() = B) f() = + C) + f() = f( ) D) f foksiou = de süreksizdir. E) f foksiou = d süreksizdir. m + 4, 5. f() = * +, < foksio u R içi sü rek li ise m + kçtır? Z. f() = [ m + \ 6,,, < < foksiou R içi sürekli ise (m, ) ikilisi edir? 9 A) (4, ) B) c 4, m C) c, m A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 9 D) c, m E) (5, ) + 6. f() = + b + c foksiou R {, } de sürekli olduğu göre b + c kçtır? A) B) C) 9 D) 8 E) 7. 5 4 5 Yukrıd grfiği verile = f() foksiou kç oktd iti olduğu hlde süreksizdir? A) B) C) D) 4 E) 5 Z +, 7. f() = [ + b, < < \, foksiou R de sürekli ise.b kçtır? A) 4 B) C) 6 D) 4 E) 45 6
+ 8. f() = foksiou şğıdki 4 oktlrı hgiside süreklidir? A) B) C) D) E) +. f() = + + 5 foksio u R içi sü - rek li ol du ğu gö re, kç frk lı tm sı değeri lbilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Z 4, 9. f() = [, = \ foksiou R içi sürekli ise kçtır? 4 A) B) C) D) E) 4,. f() = * +, < foksio uu = de sü rek li ol m sı içi ı l bi le ce ği de ğer ler de bi ri si ş ğı d ki ler de h gi si dir? A) 5 B) C) D) E) 5. f() = * m + 6 + 4,, < foksio u R içi sü rek li ise m. kç tır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) Z, 4. f() = [ + b, < < \, foksiou R içi sürekli ise (, b) ikilisi edir? A) ( 4, 6) B) ( 4, 5) C) ( 5, 5) D) ( 5, 6) E) ( 6, 6). 4 f() = 6 foksiou kç frklı oktd süreksizdir? A) B) C) D) E) 4 5. f() = 4 foksiouu sürekli ol du ğu r lık şğıdkilerde hgisidir? A) [ 4, 4 B) ( 5, 5) C) [, 4 D) [, 5) E) (, ).E.C.D 4.A 5.D 6.A 7.E 8.C 9.D.D.C.D.A 4.D 5.A 6
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS si r " h gi si dir? A) r B) ifdesii de ğe ri ş ğı d ki ler de r C) π D) 4 r E) r 5. 987 ÖYS " A) B) şğıdkilerde hgisie eşittir? C) D) E). 98 ÖYS si cos cos si ifdesii (itii) de ğe ri edir? A) tg B) cot C) tg D) E) 6. 987 ÖYS r cosb l si( ) r değeri kçtır? A) B) C) D) 4 4 E). 98 ÖYS si t itii değeri edir? cos " r A) B) C) D) E) 7. 987 ÖYS / c m geometrik serisii değeri edir? = A) B) C) D) E) 4. 984 ÖYS 4 = f() 4 f, grfiği ukrıd verile bir foksiodur. Bu foksiou i,, 4 değeride bzılrı içi vr ol itleri toplmı kçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 8. 988 ÖYS Z, > f() = [, \ 4 foksiou hgi değeride süreksizdir? A) B) C) D) E) 6
9. 988 ÖYS cos değeri edir? " r t A) B) D) E) 4 C) 4. 99 ÖYS si + cos değeri kçtır? r " r 6 A) B) C) ( ) D) ( ) r + E) r. 988 ÖYS / toplmıı değeri edir? = A) B) C) D) E) 6 8 4 4. 99 ÖYS elemlı bir kümei r-li bü tü kom bi s ol rı ı (kom bi zo l rı ı) s ı sı C(, r) ile gös te ril di ği e gö re, C (, ). C (, 4) C (, ). C (, ) " değeri kçtır? A) B) 4 C) D) E). 989 ÖYS " 64 4 değeri edir? 8 A) B) C) D) E) 5. 99 ÖYS / ifdesii değeri kçtır? k k = A) 9 B) C) D) E) 4 8 8 5 4. 99 ÖYS 8 8 4 4 şğıdkilerde hgisie eşittir? + 6. 99 ÖYS c 4 " 4 m değeri kçtır? A) B) 7 C) D) 7 E) A) 8 B) 4 C) D) 4 E) 8 64
7. 99 ÖYS ( ) si 4 d değeri kçtır? 4 6 " A) B) C) D) 4 6 E) 8 Limit ve Süreklilik. 99 ÖYS Z m +, < ise f() = [ 5, = ise \ + m, < ise foksiou R de sürekli olduğu göre, kçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 8. 99 ÖYS b 7 + 5 + l değeri kçtır? " A) B) C) D) E). 994 ÖYS şğıdkilerde hgisie eşittir? A) B) C) D) E) 6 9. 99 ÖYS cos si cos si + değeri kçtır? A) B) C) D) E). 994 ÖYS si değeri kçtır? si 4 " r 4 A) 4 B) 8 C) 6 D) E) 8. 99 ÖYS f() = + olduğu göre, f( + h) f( ) değeri kçtır? h h" 4. 995 ÖYS 6 6c 4 si ( c ) c " değeri ş ğı d ki ler de h gisi e eşit tir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 4 B) 8 C) 8 D) 6 E) 65
5. 995 ÖYS m, gerçel sılr, m 6 = ve ( ) + ( m ) + = m + 7 + 5 " olduğu göre, m + toplmı kçtır? A) 8 B) C) D) 7 E) 9 9. 998 ÖYS d 4 4 4 değeri kçtır? A) 4 B) C) D) E) 4 6. 995 ÖYS < < olmk üzere, + / toplmı şğıdkilerde hgisie = eşittir? A) B) D) E) 7. 997 ÖYS si değeri kçtır? " r cos 6 + 6 C) A) B) C) D) E). 6 ÖSS Z, ise f() = [, = ise \ foksiou içi, f() = ve + " f() = b olduğu göre, b kçtır? A) B) C) D) E). 7 ÖSS R de R e Z f() = [ + \,,, < = > ise ise ise ile tıml f fok si o u u = ok t sıd li mi ti i olmsı içi kç olmlıdır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 8. 997 ÖYS < < olmk üzere, / c m ifdesi şğıdkilerde hgisie 4 = eşittir? 4+ A) B) 4 D) E) 4 4 C) 4 4 5. 8 ÖSS ^ 4 h itii değeri kçtır? " A) 4 B) C) D) E) 4 66
. 8 ÖSS 6. LYS O O b c 4 Yukrıd f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre, f() + " + " toplmı kçtır? b f() + f() c + Yukrıdki şekilde f: R\{ } R\{ } fok si ou u gr fi ği gös te ril miş tir. Bu göre, f ( ) + f ( ) itlerii toplmı kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 7. LYS d A A 4. 9 ÖSS = ( ) si c m A A4 ile verile dizi içi " A) B) 5. 9 ÖSS + itii değeri kçtır? kçtır? C) D) E) A) B) C) D) E) d B B B B 4 Yukrıd verile d ve d doğrulrıı oluşturduğu çıı ölçüsü dir. İlk olrk d doğrusu üzeride lı A oktsıd d doğrusu A B dikmesi iilior. Sor B oktsıd d doğrusu B A dikmesi ve A dikme ğıd d d doğrusu A B dikmesi iilerek bu işleme devm edilior. A B = cm olduğu göre, d doğrusu bu şekilde iile tüm dikmeleri uzuluklrıı toplmı ol A B + A B + A B + kç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) 4 E) 48 O 67
8. LYS ^ + + + h " itii değeri kçtır? 5 A) B) C) D) E) 4. LYS Aşğıd, çizilmiş çemberler dizisi verilmiştir. Bu dizide, ilk çemberi rıçpı 4 birim ve sorki her bir çemberi rıçpı, bir öceki çemberi rıçpıı rısıdır. 4 9. LYS f() = ve g() = olduğu göre, fg ( ( )) itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) Bu dizideki tüm çemberleri çevre uzuluklrı toplmı kç birimdir? A) 5r B) 6r C) 8r D) r E) r 4. LYS Bir ker uzuluğu birim ol ABC eşker üçgeii AB ve AC kerlrı üç eşit prç rılrk şekildeki gibi D ve E oktlrı işretleior. DE doğru prçsıı ort oktsı K olmk üzere, bir köşesi K ve bu köşei krşısıdki kerı BC üzeride ol ei bir eşker üçge çizilior ve ı işlem çizile ei eşker üçgelere de ugulıor. 4. LYS si 4 itii değeri kçtır? A) B) 9 C) D) 5 E) 6 B D A K Bu şekilde çizilecek iç içe geçmiş tüm üçgesel bölgeleri llrı toplmı kç birim kredir? A) D) 5 6 B) 4 E) E C 9 C) 8 9 4. LYS Gerçel sılr kümesi üzeride tımlı bir f foksiou içi f() = + f() = olduğu göre, değeri kçtır? A) B) f( ) + f( 5 ) itii f ( " + ) C) D) E) 4 68
44. LYS Z, # ise f() = [ + + b, ise \ 5, $ ise foksiou gerçel sılr kümeside sürekli olduğu göre, b frkı kçtır? A) 4 B) C) D) E) 5 69