Venn Diyagramları Kategorik önermelerle ilgili işlemlerde kümeler arası ilişkileri göz önüne almak bu konuda bize yardımcı olur. Bir kategorik önerme, kesişen iki daire ile temsil edilir ve buradaki daireler önermede geçen iki terimin (öznenin ve yüklemin) işaret ettiği nesne kümeleridirler. Dairenin içinde kalan alan kümenin elemanlarını, dışında kalan alan ise bu kümenin tümleyeninin elemanlarını temsil eder. İki dairenin kesişim bölgesi ise, bu iki kümenin eğer varsa ortak elemanlarını temsil eder. Bir kümenin veya bir kümenin bir kısmının hiç elemanı yoksa, diyagramdan bu bölgeyi hariç tuttuğumuzu veya çıkardığımızı göstermek için bu bölgeyi taralı olarak işaretleriz. Örneğin E önermesi, yani Hiçbir S, P değildir önermesi, S kümesi ile P kümesinin hiç ortak elemanının bulunmadığını dile getirir. Venn diyagramında bunu, kesişen iki daire ve kesişim bölgesinin taralı olarak işaretlenmesi ile gösteririz, böylece taralı alanı hariç tuttuğumuzu ve bu alanın hiç eleman içermediğini belirtmiş oluruz: Burada önemli olan husus şudur: diyagramda taralı olmayan boş bölgeler hakkında bilgimiz yoktur, bu bölgeler bir eleman içerebilir de içermeyebilir de. Zira önermemiz bize taralı alan hakkında belirli bir bilgi vermekte fakat diğer bölgeler hakkında bir bilgi vermemektedir. Öyleyse bu bölgeleri, diyagramda temsil edilen önermenin, bir elemana sahip olmak konusunda yasak koymadığı alanlar olarak görmeliyiz. Tüm S ler P dir şeklindeki A önermesi, S, P nin bir altkümesidir anlamına gelmektedir, yani S, aynı zamanda P nin de bir elemanı olmayan hiçbir elemana sahip değildir. Dolayısıyla diyagramda, S nin P dışında kalan bölgesi taralı olarak işaretlenerek çıkarılmıştır: Bir kümenin veya bir kümenin bir bölgesinin hiç değilse bir eleman veya en az bir eleman içerdiğini göstermek için bu bölgenin içine bir çarpı (X) işareti koyarız. O halde, Bazı S ler P dir şeklindeki I önermesi, S ve P kümelerinin en az bir ortak elemana sahip olduklarını dile getirdiği için, bunu, kesişim bölgesine bir (X) işareti koymak suretiyle gösteririz: 1

Ve Bazı S ler P değildir şeklindeki O önermesi de aynı şekilde, S nin P ye ait olmayan en az bir elemanı bulunduğunu dile getirdiği için, bunu, P dışında kalan S bölgesine bir (X) işareti koymak suretiyle gösteririz: Tekrar etmek gerekirse, bir önermeyi temsil eden diyagramda, taralı olarak işaretlenmeyen bölgeler ile bir çarpı (X) işareti içermeyen bölgeler, önermenin bize bir bilgi sunmadığı alanlardır. Bu alanların bir eleman içerip içermediği konusunda önerme bir şey söylememektedir. S-olmayan veya P-olmayan gibi, karşıt kavramların terimlerini içeren önermeleri diyagramda gösterirken, bütün diyagramı içine alan bir çerçeve kullanmak faydalıdır. Çerçevenin içindeki bölge tüm varlıkların/elemanların kümesini temsil eder ve evren olarak adlandırılır. Bir terimin karşıtı olan elemanlar o halde, bu terimi temsil eden dairenin dışında fakat çerçevenin içinde kalan bölge ile temsil edilir. Örnek: Tüm S-olmayanlar, P dir önermesini temsil eden bir Venn diyagramı çiziniz. Çözüm: Bu önerme biçimi bize, S nin karşıtı olan elemanların P nin bir alt kümesi olduğunu dile getiriyor. Bu da şu demektir ki, S nin tümleyeni olan bölgenin P dışında kalan kısmı hariç tutulacaktır. Diyagramda S nin tümleyen bölgesi, S nin dışında fakat çerçevenin içinde kalan bölge ile temsil edilir. Taralı alan S nin tümleyenini temsil ediyor. Bu bölgenin P dışında kalan kısmının boş olduğunu yani hiç eleman içermediğini göstermek için taralı olarak işaretleriz: 2

Venn diyagramında dört temel bölge veya alan vardır: 1 2 3 4 Bu alanlardan her biri ya taranmış, boyanmış olabilir (yani hariç tutulmuş olabilir) veya çarpı ile işaretlenmiş olabilir (yani boş olmadığına işaret edilmiş olabilir). Dolayısıyla toplam sekiz tane farklı Venn diyagramı bulunabilir: 3

Eğer bir bölge taralı veya boyanmış ise, bu durum, o bölgede hiçbir eleman bulunamaz demektir, yani bu bölge boş kümedir. Eğer bir bölge çarpı ile işaretlenmiş ise, bu durum, o bölgede en az bir eleman var demektir, yani bu bölge boş küme değildir. Diğer yandan, toplam dört tane olan kategorik önermenin her biri için sekiz farklı biçim olabilir. Özne S veya S-olmayan olabilir, özne P veya P-olmayan olabilir, yüklem S veya S-olmayan olabilir, yüklem P veya P-olmayan olabilir. Demek ki toplam 32 farklı biçim olabilir: Tümel olumlunun sekiz farkı biçimi: Tümel olumsuzun sekiz farklı biçimi: Tüm S ler P dir. (SaP) Hiçbir S, P değildir. (SeP) Tüm S ler P-olmayan dır. (SaP ) Hiçbir S, P-olmayan değildir. (SeP ) Tüm S-olmayan lar P dir. (S ap) Hiçbir S-olmayan, P değildir. (S ep) Tüm S-olmayan lar P-olmayan dır. (S ap ) Hiçbir S-olmayan, P-olmayan değildir. (S ep ) Tüm P ler S dir. (PaS) Hiçbir P, S değildir. (PeS) Tüm P ler S-olmayan dır. (PaS ) Hiçbir P, S-olmayan değildir. (PeS ) Tüm P-olmayan lar S dir. (P as) Hiçbir P-olmayan, S değildir. (P es) Tüm P-olmayan lar S-olmayan dır. (P as ) Hiçbir P-olmayan, S-olmayan değildir. (P es ) Tikel olumlunun sekiz farklı biçimi: Tikel olumsuzun sekiz farklı biçimi: Bazı S ler P dir. (SiP) Bazı S ler P değildir. (SoP) Bazı S ler P-olmayan dır. (SiP ) Bazı S ler P-olmayan değildir. (SoP ) Bazı S-olmayan lar P dir. (S ip) Bazı S-olmayan lar P değildir. (S op) Bazı S-olmayan lar P-olmayan dır. (S ip ) Bazı S-olmayan lar P-olmayan değildir. (S op ) Bazı P ler S dir. (PiS) Bazı P ler S değildir. (PoS) Bazı P ler S-olmayan dır. (PiS ) Bazı P ler S-olmayan değildir. (PoS ) Bazı P-olmayan lar S dir. (P is) Bazı P-olmayan lar S değildir. (P os) Bazı P-olmayan lar S-olmayan dır. (P is ) Bazı P-olmayan lar S-olmayan değildir. (P os ) Kategorik önermelerin Venn şemasında nasıl gösterileceğini anlamak için onları kümeler arası ilişkiler cinsinden okumayı denemeliyiz. Aşağıda dört temel kategorik önermeden her birinin bu anlamda nasıl okunması/anlaşılması gerektiği belirtilmiştir: 4

A Tüm S ler P dir. S, P nin alt kümesidir, yani P-olmayan S lerin kümesi boştur. E Hiçbir S, P değildir. S ve P nin ortak elemanı yoktur, yani kesişim kümesi boştur. I Bazı S ler P dir. S ile P nin en az bir ortak elemanı vardır, yani kesişim kümesi boş değildir. O Bazı S ler P değildir. P-olmayan S lerin kümesi boş değildir. Tekrarlamak gerekirse, kümenin boş olduğunu göstermek için o kümeye işaret eden bölgeyi tararız veya boyarız, kümenin boş olmadığını göstermek için de o kümeye işaret eden bölgeye bir çarpı koyarız. Bölgenin taralı veya boyalı olması o bölgenin çıkarıldığı ya da yasaklandığı (eleman içeremez) anlamına gelirken, çarpı işareti o bölgede en az bir eleman bulunduğu anlamına gelir. Bu bilgiler ışığında, 32 farklı biçimden hangilerinin hangi Venn diyagramı ile gösterildiği ise aşağıda belirtilmiştir: SaP P as P es SeP PaS S ap S ep PeS SaP PaS SeP PeS S ap P as S ep P es 5

SiP P is SoP P os PiS S ip PoS S op SiP PiS SoP PoS S ip P is S op P os 6

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK Aşağıdaki cümlelerden bazıları birer kategorik yargıdır bazıları değildir. Kategorik yargı olanları biçimselleştiriniz ve dört temel biçimden veya bunların değillemesinden hangisine girdiğini belirtiniz. (a) Zimmetine para geçirenlerin tümü kötüdür. (b) Zimmetine para geçirenlerin tümü kötü değildir. (c) Zimmetine para geçirenlerin tümü kötü-olmayandır. (d) Zimmetine para geçirenlerin bazısı kötü değildir. (e) Eğer Cafer zimmetine para geçiren birisiyse Cafer kötüdür. (f) Bu odadaki hiç kimse gitmiyor. (g) Bu odada hiç kimse yok. (h) Bu havlulardan bazısı nemli ve bazısı değil. (i) Elmaslar pahalıdır. (j) Madencilerden bir kaçı sigara tiryakisi değildi (tiryaki-olmayandı). (k) Sokrates ölümlüdür. (l) Eğlenceli bir şey yasaya aykırıdır. (m) Eğlenceli bir şeyin yasaya aykırı olduğu doğru değildir. (n) Ölüm her an her yerde karşına çıkabilir. (o) Yağmur yağıyor. (p) Tavan arasında fare var. (q) Avluda hiçbir iskeletin gömülü olmadığı doğru değil. (r) İçici-olmayanların tümü tiryaki-olmayan değildir. ÇÖZÜM (a) Tüm Z ler K dir. (Z: zimmetine para geçirenler, K: kötü ) (b) ~ (Tüm Z ler K dir). Burada bağlamdan çıkan anlam budur. Buradaki değil bir mantıksal değillemedir, doğru değildir demektir. (c) Tüm Z ler K-olmayandır. Bir A-yargısı. (d) Bazı Z ler K değildir. Bir O-yargısı. Eğer Bazı Z ler K-olmayandır şeklinde yorumlanırsa, bir I-yargısı olur. (e) Bu bir koşullu yargı, kategorik yargı değildir. (f) Hiçbir İ, G değildir. Bir E-yargısı. (İ: bu odadaki insanlar, G: gitmeyen şeyler ) (g) Hiçbir İ, O değildir. Bir E-yargısı. (İ: insanlar, O: bu odadaki şeyler ) (h) Kategorik yargı değil. Bu, bir I-biçimi yargı ile bir O-biçimi yargının bir bileşimidir, fakat kendisi kategorik yargı değildir. (i) Bu, Tüm E ler P dir şeklinde bir A-biçimi yargıya dönüştürülebilir (E: elmaslar, P: pahalı şeyler ). Ama olağan bağlamlarda, istisnasız tüm elmasların pahalı olduklarını anlatan bir yargı gibi anlaşılmaz, fakat elmasların genellikle pahalı şeyler olduklarını anlatır. Bu yüzden, bu yargını kategorik bir yargıya dönüştürülmesi doğru değildir, tam anlamını yansıtmaz. (j) Bu yargı da yine bir miktar çarpıtma/anlamda tahrifatla bir O-biçimi yargıya dönüştürülebilir: Bazı M ler S değildir. (M: madenci, S: sigara tiryakisi ) Aynı zamanda, Bazı M ler S-olmayandır şeklinde bir I-biçimi yargı da olabilir.

Burada da anlamda bir çarpıtma söz konusu ve çarpıtma, bir kaçı deyiminin, sayının azlığına gönderme yapmasından kaynaklanmaktadır. (k) Bu yargı Sokrates olan tüm şeyler ölümlü şeylerdir şeklinde okunabilir, yani bir A-biçimi yargıdır: Tüm S ler Ö dür. Ama diğer yandan, birçok mantıkçı Sokrates in bir özel isim olduğunu kabul eder ve bir cins isim gibi ele alınamayacağını söylerler. (l) Tüm E ler Y olmayandır. Bir A-yargısı. (E: eğlenceli şeyler, Y: yasal şeyler ) (m) ~ (Tüm E ler Y-olmayandır). Bir (~ A)-yargısı. (n) Bu bir kategorik yargı değildir ve anlamda aşırı bir çarpıtmaya gitmeden bir dönüştürme yapmak da mümkün değildir. (o) Kategorik yargı değil. (p) Bazı F ler T dir. Bir I-yargısı. (F: fare, T: tavan arasındaki şeyler ) (q) ~ (Hiçbir İ, G değildir). Bir (~ E)-yargısı. (İ: iskeletler, G: avluda gömülü şeyler ) (r) ~ (Tüm İ-olmayanlar T-olmayan değildir). Bir (~ A)-yargısı. (İ: içici, T: tiryaki )