Değişken Parametreli Kesirli PID Tasarımı

Değişken Parametreli Kesirli PID Tasarımı Mehmet Korkmaz 1, Ömer Aydoğdu 2 Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü Selçuk Üniversitesi 1 {mkorkmaz}@selcuk.edu.tr 2 {oaydogdu}@selcuk.edu.tr Özetçe Yapılarının ve tasarımlarının basit olmasına karşın etkin ve gürbüz bir kontrol sunan PID denetleyiciler bu özelliklerinden dolayı endüstriyel ve akademik camiada yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Teknolojik gelişmelerin gün geçtikçe artması ile birlikte kontrol sistemlerinde de ileri seviye denetleyicilere ihtiyaç duyulmaya başlanılmıştır. Bu düşünce ile geliştirilen kesirli PID yapıları geleneksel PID yapılarına göre daha iyi ve esnek bir denetleyici türü sunmaktadır. Bununla birlikte, kesirli PID denetleyicilerinin tasarımında da farklı metotların geliştirilmesine devam edilmektedir. Bu çalışmanın amacı, kesirli dereceden PID denetleyicilerin geliştirilmiş bir formu olan değişken parametreli kesirli denetleyicilerle ilgili bilgiler sunmak, bu denetleyici türlerini kıyaslamak ve elde edilen neticelerle bu türdeki denetleyicilerin üstünlüklerini ortaya koymaktır. Ayrıca bu tür denetleyicilerin tasarımında kullanılan yapay zeka yöntemlerinden yapay bağışıklık sistemi optimizasyon algoritmasının nasıl uygulanacağını da açıklamaktır. 1. Giriş Kesirli matematik olgusu en az türev ve integral kavramları kadar eski olmakla birlikte içerdiği yoğun matematikten dolayı uzun yıllar boyunca bilim ve mühendislik alanlarına uygulanamamıştır. Bununla birlikte, son yarım yüzyılda, bilgisayar tabanlı hesaplama türlerinin gelişmesiyle kesirli türev ve integral kavramları uygulamalı bilimlerde de yer almaya başlamıştır. Sistemlerin modellenmesinde kesirli türev ve integral içeren terimlerin kullanılması günümüzde daha da yaygınlaşmaktadır [1-3]. Örneğin, mekanik sistemler kesirli diferansiyel denklemlerle tasarlandığında daha iyi neticeler vermektedir [4-6]. Benzer şekilde biyolojik sistemlerin modellenmesinde de kesirli matematikten yararlanılmaktadır. Yine elektronikte kapasitör ve direnç arası bir özellik gösteren fraktans veya fraktör olarak adlandırılan elemanlar sistem modellenmesi ve kontrolünde kullanılmaktadır. Kontrol sistemlerinde ise kesirli matematiğin kullanılması yeni sayılabilecek bir konudur. Tustin in büyük objelerin pozisyon kontrolü için kesirli matematikten yararlandığı çalışma bu alanda öncü olarak nitelendirilmektedir (1958) [7]. Buna paralel olarak Manabe nin 1960 larda [8] yaptığı çalışmalar da kesirli matematik ve denetleyiciler hususunda ön plana çıkmaktadır. Kesirli dereceden PID denetleyiciler ilk kez Podlubny in 1999 [9] yılındaki makalesinde ortaya atılmış ve o günden bu yana gerek endüstriyel gerekse akademik çalışmalarda sıklıkla rastlanılmaya başlanılmıştır. Kesirli denetleyiciler temel olarak kesirli matematiğin kontrol sistemlerindeki uygulamalarından biridir. Bu türdeki denetleyiciler geleneksel PID denetleyicilere göre yapılarında fazladan iki parametre bulundurmaktadırlar; türev ve integral derecesi. Bu iki parametre, sistemin tanımlanması ve kontrolünde daha esnek davranılmasını olanaklı kılmaktadır. Bununla birlikte, kesirli denetleyicilerin sistemlerin denetiminde sunduğu bu esnek yapıya ek olarak sistemlerin gürbüzlük derecelerine yaptığı katkı çalışmalarca gösterilmektedir. Kesirli matematik ve uygulamalarına bugüne kadar birçok önemli biliminsanı destek vermiştir. Abel, Riemann, Lioville, Caputo, Lagrange, Laplace vb. matematikçilerin kesirli matematik konusuna önemli katkıları olmuştur. Yine bu alanla ilgili olarak uygulamalı bilimlerde de farklı türdeki çalışmalar yapılmış ve önemli çalışmalar ile katkılar sağlanmıştır. Podlubny 1999 [9] yılında kesirli PID yapısını ortaya koymuştur. Westerlund kapasitör [10] teorisinde kesirli matematikten yararlanmıştır. Kesirli denetleyiciler için Vinagre ve arkadaşları tarafından frekans domeni analizleri incelenmiştir [11]. Kesirli matematik ve uygulamalarının bilgisayar ortamında gerçeklenebilmesi içinde farklı türde bilgisayar yazılımları ile sağlanmaktadır. Bu alandaki Oustaloup tarafından 1991 yılında CRONE, (Commande Robuste d Ordre Non Entier), kesir dereceli sistemlerin dayanıklı kontrolü ile ilgil bir program geliştirilmiştir. Yine 2005 yılında Toolbox ninteger for MATLAB v. 2.3 adlı, MATLAB ortamında çalışan bir program da kesirli matematik ve türevlerini çalışmalarında kullanmak isteyen araştırmacılar için önemli bir kolaylık sağlamaktadır [12]. 2. Kesirli Dereceden Sistemler Şekil-1 de kesir dereceli kontrol sistemleri için genel bir kapalı çevrim blok şeması verilmiştir. Görüldüğü gibi denetleyicinin ya da kontrol edilecek sistemden en az birinin türev veya integral derecesinin reel olmasıyla kesir dereceli sistemler oluşmaktadır. Şekil 1: Kesirli dereceden sistem

R(s) referans giriş; C(s) sistem cevabı; Gc(s) kontrolör; Gp(s) denetlenecek sistem olmak üzere kesirli bir sistemin blok diyagramı şekil-1 deki gibi verilebilir. Kesirli matematikte işlemleri gerçekleştirebilmek için birçok tanımlama bulunmaktadır. Türev ve(ya) integral mertebeleri reel olan kesir dereceli diferansiyel denklemler için kullanılan tanımlamalardan başlıcaları Riemann-Lioville, Grünwald-Letnikov, Caputo vb olup aşağıdaki denklemlerdeki gibi ifade edilmektedir. Riemann-Lioville (RL) Tanımı: Denklem (1) RL için kesirli dereceyi ifade etmektedir. a D t n t 1 d f ( ) n d, n<α<n+1 (1) n1 ( n ) dt ( t ) a Bu denklemde Γ(.) Euler gama fonksiyonu, a D t integrotürev operatörü olup a ve t sınırlar, α ise türev veya integral derecesidir. α nın pozitif durumları için türevi temsil ederken, negatif değerlerinde integral ifadesi anlamına gelmektedir. Grünwald-Letnikov (GL) Tanımı: Aşağıdaki denklem (2) GL için kesirli dereceyi ifade eder: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) (2) Burada bahsedilen ifadesi tamsayılı kısımdır. ( ) kısmı ise binominal katsayılardır. birinci değerlerinden N ye kadar olan değerleri anlamına gelir. k ayarlanabilir kazançtır. Kesir dereceli PID denetleyiciler; Kesirli matematiğin alt dalı olup, kesirli dereceden sistemlerde olduğu gibi, türev ve integral parametrelerinin derecelerinin reel sayı olarak seçilmesiyle elde edilir. Bu tür denetleyiciler için transfer fonksiyonu denklem (6) da verildiği gibidir. G c ( s) KP KI s KDs (6) Denklem sisteminde K p, oransal kazancı (proportioal gain), K i integral kazancını (integral gain) ve K d türev kazancını (derivative gain) ifade etmektedir. Bununla birlikte λ ve µ reel sayıları sırasıyla integral ve türev derecelerine işaret etmektedir. Şekil-2 den görüleceği üzere sistemde türev (µ) ve integral (λ) derecelerinin sıfır alınması ile sistem alışık olduğumuz oransal kontrolör (P) yapısında olmaktadır. µ değerinin sıfır, λ değerinin 1 alınması ile PI yapısı oluşurken tersi durumda ise PD denetleyicisi elde edilmektedir. Bunlara paralel olarak µ ve λ değerlerinin 1 seçilmesi ile klasik PID yapısı oluşmaktadır. Geleneksel PID denetleyici, türev-integral düzleminde ancak dört nokta ile ifade edilirken, şekil-2 (b) de görüleceği gibi denetleyici kesirli yapıda olduğunda düzlemde sonsuz noktada ifade edilebilmektedir. Türev ve integral derecelerinin reel olarak alınabilmesi ile sistem parametreleri daha esnek seçilebilmektedir. Bu durum sistem gürbüzlüğüne olumlu katkı yapmaktadır. Caputo Tanımı: Caputo tanımı denklem (3) te görüldüğü gibidir. ( ) ( ) ( ) ( ) (3) İrrasyonel bir sayı olan π sayısının rasyonel olarak ifade edilmesinde kullanılan yaklaşık metotlar gibi (örneğin sürekli kesir açılımı) kesirli diferansiyel denklemler de çalışmalarda bazı yaklaşıklar ile tanımlanarak ifade edilebilir. Literatürde bu denklemlerin ifade edilmesi için tanımlanmış sürekli kesir açılımı (CFE), frekans tanımlaması ya da eğri uyumu, Carlson yöntemi vb. birçok yöntem bulunmaktadır. Bununla birlikte literatürde Laplace domeninde nin belli değerleri için hazırlanmış tablolarda bulunmaktadır [13]. Bu çalışmada, kesirli ifadelerin yaklaşıklarını elde etmek için Crone Yöntemi kullanılmıştır. Buna göre bu yaklaşım için denklem aşağıdaki gibidir. Bu işlem için hesap [ω l, ω h ] frekans aralığında geçerlidir. C v ( s) ks (4) C( s) k' N n 1 1 s 1 zn (5) s pn (a) (b) Şekil 2: (a) Tam Dereceli, (b) Kesir Dereceli PID denetleyicinin türev ve integral düzlemlerinde gösterilmesi 3. Otomatik Gerilim Düzenleyici (AVR) Sistemi Kontrol problemlerinde sıklıkla kullanılan otomatik gerilim düzenleyici sistemleri çıkış voltajının nominal seviyede kalmasını sağlamayı amaçlamaktadır. Bu tür sistemler için sabit gerilim seviyesi vazgeçilmez bir parametredir. Bununla birlikte sistemin içerisinde barındırdığı alt sistemler ve bunların parametreleri düşünüldüğünde bazı belirsizlikler ve parametre karmaşaları da sistem kararlılığını etkilemektedir. Bu yaklaşım, N kutup ve N sıfır için tekrarlı bölünme işlemini kullanır. ω zn ve ω pn, sırasıyla sıfır ve kutuplar için,

( ) ( ) (12) ( ) ( ) (13) Şekil 3. AVR sistemi blok diyagramı Şekil 3 te de görüleceği üzere otomatik gerilim düzenleyici sistemler genel olarak dört farklı ana kısımdan oluşmaktadır; yükselteç, dinamo, jeneratör (üreteç), sensör. Bu alt sistemlerin matematiksel modelleri denklem (7-10) da görüldüğü gibi ifade edilmektedir. ( ) Yükselteç modeli (7) ( ) Dinamo modeli (8) ( ) Jeneratör modeli (9) ( ) Sensör modeli (10) Yukarıda alt sistemlerin modelleri verilen otomatik gerilim düzenleyicisi için parametreler çizelge 1 de görüleceği gibi seçilmiştir. MODEL Yükselteç Dinamo Jeneratör Sensör Çizelge 1. AVR sistem parametreleri ve sınırları Seçilen K a = 10 τ a = 0.1 K e = 1 τ e = 0.4 K g = 1 τ g = 1 K s = 1 τ s = 0.01 Parametre Sınırları 10 K a 400 0.02 τ a 0.1 10 K e 400 0.5 τ e 1 0.7 K g 1 1 τ g 2 0.001 τ s 0.06 4. Değişken Parametreli Kesirli PID Tasarımı Çalışmada sistem denetimi için üç farklı denetleyici tipi kullanılmıştır. Buna göre denetleyicilerin transfer fonksiyonları denklem (11-13) te görüldüğü gibi olmaktadır. ( ) ( ) (11) Burada PID ve kesirli PID denetleyicileri alışageldiğimiz formda olup (6) denklemindeki gibi formülize edilebilirler. Bunlardan farklı olarak değişken parametreli (nonlinear) kesirli PID denetleyicisi ise geleneksel yapıya ilave olarak katsayıların farklı olduğu durumları da içermektedir. Burada oransal kazanç K P, integral kazancı K I ve türev kazancı K D sabit olmayıp sistemde oluşan hataya göre değeri değişebilecek şekilde ayarlanmaktadır. (14) (15) (16) Denklem (14-16) dan görüleceği üzere örneğin K P oransal kazancı iki farklı parametrenin hataya bağlı belirli bir değerle kombinasyonu ile elde edilmektedir. Benzer şekilde diğer kazanç katsayıları da aynı yöntemle ifade edilmektedir. Bu düşünce ile elde edilen denetleyicilerin tasarımında en iyi değerlerin bulunması için sırasıyla elde edilmesi gereken 3, 5 ve 8 farklı parametre bulunmaktadır. PID --- [K P, K I, K D ] FOPID --- [K P, K I, K D, λ, µ] NL-FOPID --- [K P, K I K D, λ, µ] Bütün denetleyiciler için tasarım yöntemi olarak yapay zeka yöntemlerinden biri olan yapay bağışıklık sistemi optimizasyon algoritmasından yararlanılmıştır. Yapay bağışıklık sistemi(ybs) insan bağışıklık düzenini taklit etmektedir. Burada vücuda dışarıdan giren maddeler ya da antijenlere karşı vücudun savunma sisteminin cevabı esas alınmaktadır. Bu algoritma ile oluşturulan yazılım aracılığıyla MATLAB-Simulink programında blok diyagramlarla ifade edilen sistemler için en iyi denetleyiciler elde edilmiştir. Buna göre elde edilen denetleyici parametreleri çizelge 2 ve 3 te gösterilmiştir. Çizelge 2. YBS algoritmasına göre bulunan parametreler K P K I K D µ λ PID 0.9695 0.8125 0.4269 - - FOPID 1.4228 0.5923 0.2693 1.2296 1.4655 Çizelge 3. YBS ile elde edilen NL-FOPID parametreleri K P K I K D c µ λ 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 NL-FOPID 0.6157 1.3485 1.1132 0.5134 0.5123 0.2872 1.2152-1.2672 5. Simülasyon Sonuçları Bu çalışmada yapılan benzetim çalışması için genel bir blok diyagramı şekil 4 teki gibi görülmektedir.

Şekil 4. Sistem blok diyagramı Blok diyagramda sistem olarak görülen kısım otomatik gerilim düzenleyici olmakla birlikte parametreleri önceki bölümde çizelge 1 de verildiği gibidir. Sistemde denetleyici olarak geleneksel PID (IOPID), kesirli PID (FOPID) ve değişken parametreli kesirli PID (NL-FOPID) yapıları kullanılmıştır. Parametrelerin elde edilmesinde YBS algoritmasından yararlanılmıştır. Elde edilen neticelere göre şekil 5 te üç farklı türdeki denetleyici için sistem birim basamak girişine karşı elde edilen cevaplar görülmektedir. Buna göre sistem kontrolünün kesirli PID ve geleneksel PID ile yapıldığı durum incelendiğinde FOPID ile kontrol edilen sistemin üstünlüğü görülmektedir. Ayrıca doğrusal olmayan kesirli PID ler her iki türdeki denetleyiciden daha iyi sonuç vermiştir. Buna ek olarak, sistem gürbüzlüğünü test etmek amacı ile sistem parametre belirsizliği durumu da incelenmiştir. Bu kapsamda otomatik gerilim düzenleyicinin yükselteç parametrelerinde belirsizlik olma durumu göz önüne alınmıştır., olarak ilk durumda seçilen yükselteç parametreleri, olarak değiştirilmiş ve sistem tepkisi yeniden incelenmiştir. Şekil 6 da bu durumla ilgili grafik değerleri görülmektedir. Buradan da görüleceği üzere doğrusal olmayan kesirli PID denetleyicisi ile kontrol edilen sistem gerek aşma değerlerinin daha iyi olması gerekse daha kısa sürede yerleşmesinden dolayı daha iyi sonuç vermektedir. Şekil 5. Birim Basamak Girişe karşı Sistem Cevapları Şekil 6. Sistem parametre belirsizliği durumundaki çıkış eğrileri 6. Kaynakça [1] Oldham KB, Spanier J, The Fractional Calculus, New York and London, Academic Press, 1974. [2] Caputo M, Elasticita e dissipacione, Bologna, Zanichelli, 1969. [3] Y. Luo, Y. Q. Chen, C. Y. Wang, Y. G. Pi, 2010, Tuning fractional order proportional integral controllers for fractional order system, Journal of Process Control, Cilt: 20, no: 7; s:823-831. [4] R. L. Bagley ve R. A. Calico, Fractional-Order State Equations for the Control of Viscoelastic Damped Structures, J. Guidance, Control and Dynamics, Cilt: 14, no: 2, s: 304 311, 1991. [5] R. L. Bagley ve P. Torvik, On the Appearance of the Fractional Derivative in the Behavior of Real Materials, J. Appl. Mech., Cilt:51, s: 294 298, 1984. [6] A. Makroglou, R. K. Miller ve S. Skaar, Computational Results for a Feedback Control for a Rotating Viscoelastic Beam, J. Guidance, Control and Dynamics, Cilt:17, no:1, s: 84 90, 1994. [7] A. Tustin, et. al, The Design of Systems for Automatic Control of the Position of Massive Objects, The Institute of Electrical Engineers, (105-C)1: s:1-57, 1958. [8] S. Manabe, The Non-integer Integral and its Application to Control Systems, Journal of Institute

of Electrical Engineers of Japan, (80)860:, s:589-597, 1960. [9] I. Podlubny, Fractional-Order Systems and PI λ D µ Controllers, IEEE Transactions on Automatic Control, Cilt: 44, no:1, s: 208 214, 1999. [10] S. Westerlund, Capacitor Theory, IEEE Trans. Dielectrics Electron. Insulation, vol. 1, no. 5, pp. 826 839, 1994. [11] Vinagre, B. M., & Podlubny, I. (2000), Some approximations of fractional order operators used in control theory and applications Fractional Calculus & Applications and Analysis, Cilt:3, s:231 248. [12] Url-1http://web.ist.utl.pt/duarte.valerio/ninteger/ Manual.pdf [13] Ozyetkin M.M., Tan N., Kesirli Dereceli Sistemlerin Tamsayı Dereceli Yaklaşımı, SIU2010 - IEEE 18.Sinyal isleme ve iletisim uygulamalari kurultayi, Diyarbakır, 2010.