GÜÇLÜ BETA HESAPLAMALAI Güray Küçükkocaoğlu-Arzdar Kracı Özet Bu çalışaı aacı Fasal Varlıkları Fyatlaa Model (Captal Asset Prcg Model) Beta katsayısıı hesaplarke yaygı olarak kulladığı sırada e küçük kareler regresyo yöte ola (ordary least squares) EKK (OLS) yöte İMKB de şle göre fralara uygulaak ve ardıda güçlü statstk yöte ola e küçük orta kareler KOK (LMS) yöte le Beta katsayılarıı yede hesaplaak ve yoru yapaktır. Çalışaı bulguları KOK yöte Beta katsayıları ı hesaplarke ver küesdek blgy çok daha başarılı (güçlü) br şeklde değerledrebldğdr. Aahtar sözcükler: KOK yöte Beta hesaplaaları I. Grş Hsse seed pyasalarıda beklee getr ögörüles ve bu getr sahp olduğu rsk hesaplaası gerek bu kou hakkıda akadek çalışa yapaları gerekse yatırı yapak ç e y yatırı aracıı araya yatırıcıları lgledre kou oluştur. Hsse seed getrs ve şle gördüğü pazarı getrs eler olableceğe dar bu güe kadar pek çok aalz hesaplaa ve tah tekkler gelştrlş olup bütü bu çalışaları aacı hsse seed pazara göre gelecekte asıl br perforas sergleyeceğ ögörek ve bu blg yatırılarda değerledrles sağlaaktır. Bu çalışalar arasıda e çok ble fas lteratürüe Fasal Varlıkları Fyatlaa Model (Captal Asset Prcg Model CAPM) olarak 964 yılıda Wlla Sharpe tarafıda taıtılıştır. CAPM seraye varlıklarıı beklee getrler açıklaak ç ortaya koyduğu yapı oldukça bast ve lg çekc görüektedr. Acak çeştl varsayılara dayaılarak öerle bu odel pyasadak getrler açıklaada e derece başarılı olduğu her zaa tartışıla gelştr. Bu tartışaları odağıda yer ala kou se Beta katsayısıı asıl hesaplaacağı yöüdedr. Herhag br hsse seed ç sabt br rsk gösterges ola Beta hsse seed getrs hsse seed pyasasıa göre e del değşkelk göstereceğ açıklaaya çalışa br ateatksel katsayıdır. İlk açıkladığı yıllarda güüüze değ CAPM odel ve Beta katsayısı hesaplaa yöteler tutarlılığı test edlş uygulaablrlğ tartışılış ve hakkıda br çok akadek çalışa yapılıştır. Bu odel üzere yapıla brçok eleştrye rağe ekul kıyet yöetde çok yaygı kullaı alaı buluştur. Bruer ve dğerler (996) yaptıkları çalışa CAPM odel destekler telktedr. Bu çalışaya göre CAPM ekul değer alyet hesaplaada e çok kullaıla e yaygı odel olduğu ve Beta katsayılarıı ye brçok yatırıcı tarafıda terch edldğ tespt edlştr. Güüüzde Beta katsayısıı hesaplaasıda e sık kullaıla tekk e küçük kareler yöte ola EKK (ordary-least squares OLS) regresyo yötedr. Yrd. Doç. Dr. Arzdar Kracı: Başket Üverstes Güray Küçükkocaoğlu: Başket Üverstes İktsad İdar Bller Fakültes Bağlıca Kapüsü Akara. Tel: 90 (32) 234 0 0 / 728 Fax: 90 (32) 234 0 43 E-posta: gurayk@basket.edu.tr
Fakat Mart ve S (999) Aerka ekul kıyetler borsasıdak hsseler ç EKK yöte le yalış tahler yapılableceğ gösterşlerdr. EKK yöte le Beta hesaplaasıı fasta göster ve kısa br yoruu bu çalışada kc bölüde yer alaktadır. Üçücü bölü EKK ve KOK yöteler hesaplaa felsefes takp ede dördücü bölü ateatksel fade edlş bç le hesaplaa yöte ayrıtılarıı çerektedr. Beşc bölü her k yöte uygulaasıa ve so bölü bulguları yorulaasıa ayrılıştır. II. Fasta Beta Katsayısı Beta katsayısıı hesaplaada kullaıla regresyo aalz fasal uygulaalarda ve ver kullaarak tahlerde bulua dğer br çok dalda öel br yer tutaktadır. Güüüzde ver set kullaılarak yapılakta ola tahlerde brçok farklı etod kullaılakla beraber e çok kullaıla hesaplaa tekğ e küçük kareler yöte ola EKK (ordary-least squares OLS) regresyo yötedr. Bu yöte belrl br hsses ç fastak ateatksel göster bç ve açıklaası aşağıdak gbdr: t t ε t () t : hsse seed t zaadak getrs : kesş (tercept) : Beta/rsk/eğ katsayısı (slope) t : ekul kıyet pazarıı t zaadak getrs ε t : hata katsayısı t : ver toplaa aralığı yapıla aalze göre gü ay yıl olablr Bu odele göre hsse seed getrler le pazar getrler arasıda yapıla br regresyo aalz ateatksel olarak değşke gb gösterle belrl br hsses ç söz kousu hsse seed Beta katsayısıı verecektr. Beta katsayısıı fade ettğ ala se hsse seed getrs pazar getrse ola duyarlılığıdır. Bu katsayı ayı zaada dekle 2 de gösterldğ gb hsse seed getrs pazar getrse göre kovaryası le pazarı varyasıı bölüü le de buluablr. cov( ) 2 σ ( ) (2) Pazarı Beta katsayısıı rakasal değer doğal olarak dr. Beta katsayısı de fazla ola hsse seed ekstra pazar rske sahptr ve buu soucu olarak ekstra pazar kovaryası gözleektedr. Bua göre de fazla br Beta değere sahp ola hsse seed pazarı sahp olduğu getrde daha yüksek br getr vaat etektedr. Ayı şeklde de az Beta değere sahp ola hsse seed daha düşük br kovaryas dolayısıyla pazarı sahp olduğu getrde daha az br getrye sahp olacaktır. III. Doğrusal egresyo ç Güçlü Tahler EKK yöte kullaılası ç br çok sebep evcuttur ve bular çde ver set oluşurke verler oral hata ktarıı çerebleceğ varsayılarak yapılış tahler optu souç veres öeldr. Bua lavete yapılış ola br çok sadeleştrc varsayıla brlkte bu yöte çok kullaışlıdır ve dğer hesaplaa yötelere göre daha kolay hesaplaablektedr. Bu edele bu yöte düyada çok geş br lteratür oluşturablş ve sıkça kullaı alaı bulablştr.
Çok yaygı olarak kullaılakta ola EKK yötede tahler yapakta kullaıla varsayılar geçersz olaya başladığıda yapıla paraetre tahler hç bekleedk kötü br perforas göstereblektedr. Bu durularda br ver setde geel eğle (pater) aykırı uzak verler (outler) yer alasıda dolayı gerçekleşektedr. Ekoo fas ve statstk lteratürüde EKK uygulaaları le yapılış aalzler uzak verler e küçük kareler yöte tahler öel ölçüde etkledğ gösterektedr. Aşağıdak şekller (Şekl a Şekl b) böyle br duruda EKK yötee dayalı tahler sergleektedr. Getrler arasıda brkaç aykırılık (hsse başı aşırı getr veya kayıp) buluası ver setlerde uzak verler oluşasıa sebep olaktadır. Şekllerde de görülebleceğ gb brkaç hsse seed getrsde oluşuş ver setde yer ala br getr (ver) değşes ve buu soucu olarak getr uzak ver duruua geles tahler bütüüyle değştrştr. Brc şeklde Beta poztf br değer alırke kc şeklde Beta ı eks br değer aldığıı görekteyz. Buu sebeb EKK yöte tah yaparke kulladığı felsefede yataktadır. Şekl a. Uzak Ver Olada EKK Tah Şekl b. Uzak Ver Duruuda EKK Tah EKK yöte le yapıla tahler felsefes yapılacak ola br tah soucu oluşacak ola hataları toplaıı dğer yapılacak tahlere göre e düşük sevyede olası gerektğdr. Fakat böyle br uygulaada ver setde uzak verler buluası duruuda şekllerde görüle proble ortaya çıkaktadır. Bu proble açıklaası se bu oktaları oluşturablecekler hatalar toplaıı e düşük sevyeye drek ç yapıla tah ver set çoğuluğu tarafıda verle blgye ters düşesdr. Bütü hataları toplaıı drgeek ver set çoğuluğuu oluştura ve gerçek blgy çere verler hata ktarıı haksız yere arttıraktadır. Böyle br durula karşılaşaak ç uzak verler tespt edles ve doğrusal regresyo ç güçlü tahler gerekektedr. Lteratürde bu kou le uğraşa dal güçlü statstktr (robust statstcs). Güçlü statstksel yötelerle yapılış ola tahler güçlü regresyo (robust regresso) tarafıda yapılaktadır. Bu yöte ousseeuw ve Leroy (987) tarafıda bu lteratüre taıtılış ve gelştrlştr. Burada kullaıla yötede se bütü oktaları hataları dkkate alıada ortaca hata ktarıı e aza dre tah araır ve böylece verler yüksek kalıtı değer alablese z verlr. Bu tah tespt edldkte sora bu tahler kullaıı geellkle uzak verler tespt ve bu verler etkler eledkte sora klask tah yöteler uygulaası şeklde olaktadır. Uzak verler tespt ç gelştrlş br çok güçlü regresyo tekğ evcuttur. Bu çalışada seçle yöte se yaygı kullaıı ola ortaca kalıtıyı (eda resdual) e düşük sevyeye getrecek ola sıralı e küçük orta kareler (least eda squares) ya da KOK (LMS) yötedr.
IV. EKK (OLS) ve KOK (LMS) yöteler ateatksel göster IV.. Sırada e küçük kareler (EKK): Ver sayısı ola doğrusal br odel hsse seed ç getrler; aşağıdak gb fade edleblr: r r r ε ε ε M M (3) Bu forülde yer ala ve paraetreler odel ve paraetreler tah ve r kalıtıları değer fade etektedr. Mateatksel olarak aşağıda gösterldğ gb EKK yötede paraetre tah kalıtıları kareler toplaı e düşük olacak şeklde yapılaktadır: 2 r (3) Daha öcede açıkladığı gb br adet uzak ver dah bu yötele tah yapayı kasız hale getrektedr. EKK yöte br adet uzak ver buluası duruuda ble çöktüğü ç çöke oktasıı değer %0 olaktadır. IV.2. E Küçük Orta Kareler (KOK): EKK yöte terse güçlü statstk le yapılış güçlü regresyo tahler ç çöke oktası %50 olaktadır. Ortaca kalıtıı drgees bu kalıtıı daha yüksek kalıtı değerlerde etklees egelleekte ve böylece ver set yarısı ble uzak verde oluşablekte fakat verler çoğuluğuu gösterdğ yö değşeektedr. Güçlü yöteler sık kullaılalarıda br e küçük orta kareler yötedr ve ateatksel fade edlş bç aşağıda gösterlştr: ) ( 2.. r ed (4) IV.3.Uzak verler tespt: Yukarıdak ateatksel forülde de alaşılableceğ gb uzak verler tespt ç cebrsel veya aaltk çözü çok şle gerektrektedr. Çok kullaışlı ola EKK yöte yaıda bu yöte yaygılaşasıı egelleye edelerde br budur. Bu sebeple bu şlev yere getreblek ç C ve Gauss dllerde hazırlaış progralar kullaılıştır. Kracı (996) tarafıda bu hesaplaaları yapak ç C ve Gauss dllerde yazılış prograda kullaıla aşağıdak algorta böyle br prograı üteaddt defalar yere getrdğ şleler gösterekte ve bu sayede uzak verler tespt edeblektedr. Fasal br ver setde yer ala adet getr ç aşağıdak sıralaaya göre şleler tekrarlaır:. Getr setdek adet oktada br defa kullaılak üzere farklı p adet okta seçlr. Br tah yalış souç vereye başlaası ç gerekl ola uzak ver ktarı çöke oktası (breakdow pot) olarak taılaıştır.
2. Seçlş p okta ç EKK uygulaır ve paraetreler tespt edlr. 3. Tespt edlş paraetreler bütü getr setde yer ala oktaya uygulaıp kalıtılar hesaplaır. 4. Kalıtıları kares alııp büyükte küçüğe sıralaır. 5. Sıralı kalıtılarda ortaca değer ot edlr. 6. Not edle ortaca değer daha öce ot edlş ortaca değerlerde küçükse e y paraetreler olarak ye paraetreler ot edlr.! Bütü p okta kobasyoları ya kez yukarıda yer ala şleler tekrarlaır.!( p)! Yukarıdak algorta soucu elde edle e küçük ortaca kalıtıı kares vere KOK ve KOK paraetreler ç tekrar bütü kalıtılar hesaplaır. Ve aşağıda taılaış σ stadart sapa yardıı le uzak verler tespt ükü olur. w r 2.5 σ 5 σ.4826( ) r p 0 > 2.5 σ ed r 2 (5) r Yukarıdak w değer > 2. 5 şartıı sağlaası duruuda 0 değer alır ve uzak ver olarak σ tespt edlş olur. So olarak bu uzak verler getr setde çıkarılır ve EKK regresyou le daha güçlü tah (robust estato) gerçekleşş olur. Şekl c. Uzak Ver Olada EKK Tah Şekl d. Uzak Ver Duruuda KOK Tah Yukarıdak şekllerde de alaşılacağı gb uzak verler getr setde çıkarılıp ardıda EKK yöteyle Beta katsayısı hesapladığıda elde edle değerler verler çerdğ blgy daha y yasıtaktadır. Daha öce hsse seed getrlerde brde gerçekleşe aoral değş hsse seed Beta katsayısıı egatf olarak hesaplaasıa ede olurke KOK yöte Beta katsayısıı hesaplarke aoral getry ve poztf lşky tespt edeblektedr. Bu yöte sayesde bulua Beta katsayısı daha sağlıklı ve doğru br şeklde hesaplaış olaktadır. Yukarıda bahs geçe EKK (OLS) ve KOK (LMS) yöteler İstabul Mekul Kıyetler Borsası da rastsal seçlş fralara uygulaıştır. Aalz ç İMKB de şle göre Arçelk
Aygaz Dezl Ca ve Tüpraş fralarıı 995-999 yılları arasıdak düzeltlş fyatlarıı aylık getrler kullaılıştır. egresyo ç seçle ekul kıyet pazarıı oluştura ver tabaı se İMKB-00 edeks ve bu edeks 995-999 yılları arasıdak aylık getrlerdr. Souçları yer aldığı tablolar bu aaç ç hazırlaış prograı çıktılarıdır. V. EKK ve KOK yöteler uygulaaları Tablo Arçelk frası ç EKK regresyou ve KOK regresyou le yapılış beta tahler özetleektedr. EKK regresyoua göre Arçelk frasıı Beta katsayısı.02 olarak hesaplaakta fakat KOK yöte le regresyo yapıldığıda Beta katsayısıı.35 olduğu ve bu katsayıya göre Arçelk frasıı pazara göre daha rskl br yapıya sahp olduğu tespt edlektedr. Bu farklılığı edeler takp ede şekllerde (Şekl 2a Şekl 2b) daha y alaşılaktadır. Tablo. AÇELİK EKK Souçları Değşke Katsayı Stadart Hata t-değer 0.00653 0.0307 0.2023 beta.02866 0.0689 9.62375 F92.66472228 r 2 0.6495957 stdhata0.55688307 KOK Souçları Değşke Katsayı Stadart Hata t-değer 0.00095 0.02905 0.03255 beta.3588 0.95.404463 F30.0656066829 r 2 0.702808096 stdhata0.36433284 Şekl 2a. Arçelk EKK egresyou
Şekl 2b. Arçelk KOK egresyou Şekl 2a EKK regresyou soucu elde edle tred ya da tah gösterektedr. Bekledğ gb bu tred çzgs uzak verler tarafıa doğru eğlş ve düşük br rsk tah yapaktadır. Fakat ver set daha dkkatl celedğde brk ola ve ver set çoğuluğuu gösterdğ tred daha dk br yö gösterektedr (Şekl 2b). EKK yöte uzak verlerde çok etkledğ blcde olarak getrler yoğulaştığı bölgede oluşturulacak tred Beta tah ç uygu olacak bölüdür. Şekllerde görüldüğü gb KOK yöte Beta ç bu eğl (pater) tespt edeblektedr. Aşağıdak tablo 2 de Aygaz frasıı EKK regresyou ve KOK regresyou le yapılış Beta tahler görülektedr. EKK regresyoua göre Aygaz frasıı Beta katsayısı.09 olarak hesaplaakta fakat KOK yöte le regresyo yapıldığıda Beta katsayısıı 0.9 olduğu ve bu katsayıya göre aslıda bu hsse pazara göre daha az rske sahp br yapıda olduğu tespt edlektedr. KOK odel ver set daha y tesl ettğ r 2 lerde de görüleblektedr. Bua göre EKK Beta katsayısı ç r 2 değer %58 KOK Beta katsayısı ç %82 olduğu Tablo 2 de görülektedr. Tablo 2. AYGAZ EKK Souçları Değşke Katsayı Stadart Hata t-değer 0.02078 0.03562 0.58335 beta.09753 0.2256 8.95509 F80.9363954 r 2 0.580299040 stdhata0.78504979 KOK Souçları Değşke Katsayı Stadart Hata t-değer -0.02859 0.069 -.69048 beta 0.997 0.0626 4.6878 F25.55469673 r 2 0.82098968 stdhata0.08080206
Şekl 3a. Aygaz EKK egresyou Şekl 3b. Aygaz KOK egresyou Şekllerde (Şekl 3a Şekl 3b) tespt edlebleceğ gb Aygaz frasıı getrler çoğuu oluşturduğu doğrusal tred EKK regresyouu hesaplaası soucu oluşa doğrusal tredle uyuşaaktadır. Uzak verler varlığı hsse seed olduğuda daha rskl gösterş ve odel doğrusallığıı bozuştur. Tablo 3 Dezl Ca frasıı EKK regresyou ve KOK regresyou le yapılış Beta tahler özetleektedr. EKK regresyoua göre Dezl Ca frasıı Beta katsayısı 0.73 fakat KOK yöte le regresyo yapıldığıda Beta katsayısıı.25 olduğu ve Dezl Ca frasıı aslıda pazara göre daha fazla rske sahp br yapıda buluduğu görülektedr. Takp ede şekllerde (Şekl 4a Şekl 4b) bu farklılığı sebepler görülektedr.
Tablo 3. DENİZLİ CAM EKK Souçları Değşke Katsayı Stadart Hata t-değer 0.072 0.04475 0.2694 beta 0.73070 0.5395 4.74628 F22.5277249 r 2 0.279746225 stdhata0.224226574 KOK Souçları Değşke Katsayı Stadart Hata t-değer -0.0726 0.03474-0.49697 beta.25526 0.450 8.65656 F74.936033022 r 2 0.590344847 stdhata0.5524795 Şekl 4a. Dezl Ca EKK egresyou Şekl 4b. Dezl Ca KOK egresyou
Yukarıdak şekllerde verler çoğuu tred tespt etek zor olaktadır ve hatta ver sayısı yüksek ktarlara ulaştığı ç bu tred göz le tespt etek kasız hale gelektedr. Uzak verler dağılış olası yüzüde EKK regresyou düşük br r 2 değer le souçlaış ve doğrusal br odel varlığı ble tartışa kousu oluştur. Fakat KOK yöte Dezl Ca frası ç tred her k tarafıda bulua bu uzak verler eledkte sora verler gerçek yöüü tespt edeblş ve verler çoğuu br tred olduğuu görülüştür. So olarak Tüpraş frası celedğde Tablo 4 le özetlee souçlar elde edlektedr. Bua göre EKK regresyo Beta katsayısı le KOK regresyo Beta katsayısı arasıda çok büyük br fark oladığı ve EKK regresyoua göre buluuş ola.00 Beta katsayısıa sahp ola fraı aslıda pazara göre braz rskl olduğu ve KOK yötee göre Beta ı gerçekte.05 olası gerektğ tespt edlştr. Bu çalışadak vurgu se şekllerde de görüleblecek ola odel açıklayablrlğ ya da EKK regresyou yalış tespt ettğ ve gerçekte %82 lk r 2 katsayısıdır. İstabul Mekul Kıyetler Borsası da yer ala ve İMKB Ulusal-00 Edeks de büyük pazar payıa sahp ola Tüpraş hsse seed pazar le ayı eğle (pater) sahp olası ve bu fraı rsk olarak da pazarı sahp olduğu ssteatk rske yakı br rske sahp olası İMKB Ulusal-00 Edeks dek ağırlığıda dolayı beklee br durudur. Fakat EKK regresyouu bulduğu düşük r 2 değer bu hsse çok yüksek br volatlteye sahp olduğuu söyleektedr. Takp ede şekllerde buu tekk sebeb zaa zaa bu fraı hsse seed getrler pazara göre yüksek oralarda değşler gösteres ve EKK regresyouu bu uzak verler dkkate alarak souçlarda bu sefer farklı br yaılsaaya sebep olduğudur. KOK regresyou se yüksek oralardak değşler uzak ver olarak regresyo aalze aladığıda bu hsse he volatles düşük he de r 2 daha yüksek olableceğ söyleektedr. Tablo 4. TÜPAŞ EKK Souçları Değşke Katsayı Stadart Hata t-değer 0.03640 0.044 0.88478 beta.00020 0.452 7.06730 F49.946769578 r 2 0.4626984 stdhata0.2062754 KOK Souçları Değşke Katsayı Stadart Hata t-değer 0.0055 0.0876 0.56263 beta.05550 0.07047 4.97767 F224.33066090 r 2 0.82983802 stdhata0.08425455
Şekl 5a. Tüpraş EKK egresyou Şekl 5b. Tüpraş KOK egresyou VII. Souç EKK ve KOK yöteler İstabul Mekul Kıyetler Borsası da rastgele seçlş fralara uyarladığıda her k regresyo yöte farklı Beta katsayıları le souçladığı buluuştur. Klask EKK yöte le bulua Beta katsayılarıı yatırılarda kullaılası duruuda gerçek getr le beklee getr arasıda ortaya çıkacak farklar çok büyük olacak ve çok hatalı tahler yapılasıa ede olacaktır. Br örekle açıklaak gerekrse eğer eekllk folarıda uzu sürel br yatırı düşüe br fo yöetcs EKK yöteyle bulua Beta yı kullaarak yatırı kararı verecek olursa yatırıı souçladığı gü yatırıda bekledğ getr le gerçekleşe getr arasıda büyük fark buluduğuu görecektr. Bu yatırıcı ver setdek aoaller yalış yöledres soucu yalış karar verştr. Halbuk pyasa getrs le varlığı getrs arasıdak lşky daha y br şeklde tesl ede KOK yöte le yapılacak tahde beklee getr le gerçek getr arasıdak fark ze edlş olacağı ç hata payı da düşektedr. Özetle KOK yöte le
bulua Beta katsayısı hsse seed rsk daha doğru yasıtaktadır ve gelecektek getr tahler ç bu yöte e uygu hesaplaa yöte olarak kabul edleye adaydır. Kayakça: Blue M. E. Betas ad Ther egresso Tedeces. Joural of Face 26: (March 97) -0. Bruer. ve dğerler. Best Practces Estatg the Cost of Captal: Survey ad Sythess Uversty of Washgto Workg Paper (March 996). Cha L. Lakoshok obust Measureet of Beta sk Joural of Facal ad Quattatve Aalyss 27:2 (Jue 992) 265-282. Kracı A. obust egresso ad Applcatos Blket Üverstes Master Tez Eylül 996. Mart D.. S T. obust Estato of Beta Uversty of Washgto Workg Paper (March 999). Mosteller F. Tukey J. Data Aalyss ad egresso. Addso-Wesley Publshg Copay 977. ousseeuw P. Least Meda of Squares egresso Joural of the Aerca Statstcal Assocato 984 Vol 79 87-880.. ousseeuw P. Va Zoere B. Uaskg Multvarate Outlers ad Leverage Pots Joural of the Aerca Statstcal Assocato Septeber 990 Vol 85 No 44. ousseeuw P. Leroy A. obust egresso ad Outler Detecto. Joh Wley & Sos 987. Sharpe W. Captal Asset Prces: A Theory of Market Equlbru Uder Codtos of sk Joural of Face Vol 9 Septeber 964. Sharpe W. Mea-Absolute-Devato Characterstc Les for Securtes ad Portfolos. Maageet Scece Vol 8:2 October 97. The Gauss Syste Verso 3. Aptech Systes Ic. Maple Valley WA 984-993.