YAPISAL ANALİZ DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU 1
Basit Kafes Sistemler Kafes sistemler uç noktalarından birleştirilmiş narin elemanlardan oluşan yapılardır. Bu narin elemanlar, yapısal sistemlerde sıklıkla kullanılan ahşap gergi elemanları ve metal çubuklardan oluşmaktadır. Düzlem kafes sistemler, tek bir düzlem içinde yer alırlar ve sıklıkla çatı ve köprülerde taşıyıcı sistem olarak kullanılır. Şekilde gösterilen kafes sistem, tipik bir çatı taşıyıcı kafes sistem örneğidir. Çatı makasında, çatı yükü bir dizi aşık aracılığıyla düğüm noktalarında kafes sisteme aktarılır. Uygulanan yük, kafes sistemin düzleminde etkidiğinden, çubuklarda oluşan kuvvetlerin analizi iki boyutludur. 2
Şekildeki gibi bir köprüde ise, yüklerin kafes sisteme aktarılmasışu şekilde olur: yükler, önce boyuna kirişler (stringer) üzerinden taban kirişlerine (floor beam), oradan da kafesin iki yanında bulunan düğüm noktalarına aktarılmaktadır. Köprü kafes sistemi de çatı kafes sisteminde olduğu gibi düzlemseldir. Köprü veya çatı kafes sistemlerinin, uzun mesafeleri geçmelerini gerektiren durumlarda, bir taraftaki mesnet için, sallanan (rocker) veya kayar-hareketli (roller) mesnet kullanılır. Bu tür bir mesnetleme, sıcaklığa ve yüke bağlı olarak kafes sistemin genleşmesi ve büzülmesine karşı serbestlik sağlar. 3
Tasarımda Kullanılan Varsayımlar Bir yüklemeye maruz bir kafes sistemin hem çubuklarını hem de bağlarını dizayn etmek için, önce her bir çubukta oluşan kuvveti belirlemek gerekir. Bu noktada iki önemli varsayım vardır: Tüm yüklemeler düğüm noktalarına uygulanır. Köprü veya çatı kafes sistemlerinde olduğu gibi genellikle bu varsayım doğrudur. Çoğu zaman kuvvet analizinde çubukların ağırlıkları ihmal edilir, çünkü taşınan kuvvetler, çubuk ağırlıklarına göre çok büyüktür. Çubuğun ağırlığı dikkate alınacaksa, elemanın iki ucuna eşit olarak paylaştırılır. Elamanlar birbirine pürüzsüz mafsallar (pinler) ile bağlanmıştır. Düğüm noktaları genellikle perçinlerle veya kaynaklı olarak oluşturulurlar. Elemanlar ortak bir plaka olan Gusset plakası üzerinde birleştirilirler veya uzun bir cıvata kullanılarak bu düğüm noktasından geçen tüm elemanlar birleştirilir. Böylece aynı noktadan geçen kuvvetler sistemi oluşur. 4
Bu iki varsayım nedeniyle, kafes sistemdeki her bir eleman iki kuvvetli eleman gibi davranır ve bu yüzden elemanın uçlarındaki kuvvetler, ekseni doğrultusunda olmalıdır. Kuvvet, elemanı uzatma eğiliminde ise çekme kuvveti (T-tension), kısaltma eğilimde ise basınç kuvvetidir (C-compression). Bir kafes sistemin tasarımını yaparken, kuvvetlerin çekme mi yoksa basınç mı olduğunu belirtmek önemlidir. Bir çubuk basınç altındayken oluşan burkulma veya kolon etkisi nedeniyle, basınç çubukları genellikle çekme çubuklarından daha kalın olmalıdır. çekme basınç 5
Basit Kafes Sistem Çökmeyi önlemek için, kafes sistemlerin formu rijit olmalıdır. Rijit veya kararlı en basit form bir üçgendir. Üç kafes elemanı üçgen oluşturacak şekilde uçlarından birleştirilerek biraraya getirilirse rijit bir form oluştururlar. Basit kafes sistem oluşturulurken, ABC gibi bir temel üçgen eleman ile başlanır ve ek bir eleman oluşturmak için AD ve CD elemanları bağlanır. Buna göre, bir basit kafes sisteme yerleştirilen, iki çubukla oluşturulan her yeni eleman için düğüm noktası sayısı bir artar. 6
Basit Kafes Sistem A rigid truss will not collapse under the application of a load. In a simple truss, m = 2n - 3 where m is the total number of members and n is the number of joints. 7
8
Düğüm Noktaları Yöntemi Bir kafes sistem dengedeyse, her bir düğüm noktası da dengede olmalıdır. Düğüm noktaları yöntemi bu esasa dayanır, çünkü bu yöntem, kafes sistemin her bir düğüm noktasına etkiyen kuvvetler için denge koşullarının sağlanmasından ibarettir. Kafes sistemin çubuklarının hepsi, aynı düzlem içinde yer alan iki kuvvetli elemanlar olduğundan, her bir mafsala etkiyen kuvvetler düzlemseldir ve aynı noktadan geçer. Bunun sonucunda, düğüm noktasında, dönme veya moment dengesi kendiliğinden sağlanır ve yalnızca, öteleme veya kuvvet dengesi için ΣF x =0 ve ΣF y =0 denklemlerini sağlamak gereklidir. Düğüm noktaları yöntemini kullanırken, denge denklemlerini uygulamadan önce, ilk olarak düğüm noktasının serbest cisim diyagramını çizmek gerekir. Düğüm noktasına etkiyen her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi, kafes sistemin geometrisinden belirlenir, çünkü bir çubuktaki kuvvet, o çubuğun ekseni doğrultusundadır. 9
B noktasına etkiyen 500 N luk kuvveti düşünerek, B noktasının serbest cisim diyagramını çizelim: Aynı düzlemdeki kuvvet sistemi : Basit kafes analizinde, en az bir bilinen kuvvet ve en fazla iki bilinmeyen kuvvete sahip bir düğüm noktasından başlanmalıdır. Bu şekilde, ΣFx=0 ve ΣFy=0 denklemlerinin uygulanması, iki bilinmeyenin çözülebildiği iki cebirsel denklem verir. BA çubuk elemanı çekme kuvveti, BC çubuk elemanı basınç kuvveti etkisindedir. 10
Kafes elemanlarda, oluşan bilinmeyen kuvvetlerin doğru yönleri iki farklı yöntemle kullanılabilir: Serbest cisim diyagramındaki bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin çekme olduğu varsayılır. Denge denklemlerinde, çekme etkisindeki çubuklar için pozitif skaler ve basınç etkisindeki çubuklar için negatif skaler verir. Denklemlerin sonucunda, çözüm pozitif çıkarsa elaman çekme, negatif çıkarsa basınç kuvveti etkisi altındadır. Bilinmeyen kafes elemanı kuvvetlerinin şiddetleri ve doğru yönleri, sonraki düğüm noktası serbest cisim diyagramlarında kullanılır. Bilinmeyen bir çubuk kuvvetinin doğru yönü, tetkik yoluyla belirlenebilir. Örneğin, B noktasındaki denge düşünüldüğünde, F BC nin yatay bileşeni 500 N luk kuvveti dengelemelidir (ΣFx=0). Aynışekilde, F BC nin düşey bileşenini F BA dengelemektedir (ΣFy=0). 11
12
Örnek 63 Şekildeki kafes sistemde her elemanda oluşan kuvvetleri (çekme? veya basınç?) belirleyiniz. B düğüm noktası Basınç Çekme 13
C düğüm noktası A düğüm noktası 14
15
Örnek 64 Çubuk kuvvetlerini bulunuz, basınç veya çekme olduğunu belirtiniz. Önce mesnet tepkileri bulunmalıdır. Bunun için kafes sistemin serbest cisim diyagramını çizelim: 16
a-d-c 17
A düğüm noktası basınç çekme D düğüm noktası çekme basınç 18
C düğüm noktası basınç 19
Sıfır kuvvet elemanları Kafes sistemlerin düğüm noktaları yöntemi kullanılarak yapılan analizi, hiç yük almayan çubuklar belirlendiği takdirde oldukça basitleşir. Sıfır kuvvet elemanları, yapım sırasında kararlılığı arttırmak veya uygulanan yükleme değiştiğinde destek sağlamak amacıyla kullanılır. Kafes sistemde, sıfır kuvvet elemanları, genellikle düğüm noktalarının tetkiki ile belirlenebilir. 20
A düğüm noktası D düğüm noktası Kafesin taşıyıcı kısmı : 21
Sıfır kuvvet elemanlarında genel kural: Sadece iki çubuk bir kafes sistemi düğüm noktası oluşturuyorsa ve bu düğüm noktasına hiçbir dış yük ve mesnet tepkisi uygulanmıyorsa, bu çubuklar sıfır kuvvet çubukları olmak zorundadır. D ve C noktalarına bakalım? 22
D Noktası: C Noktası: 23
P yükünü taşımak için AEB kafes sistemi de uygundur. Genel olarak; İki tanesi aynı doğru üzerinde olan üç çubuk bir kafes sistemi düğüm noktası oluşturduğunda, üçüncü çubuk, düğüm noktasına hiçbir dış kuvvet veya mesnet tepkisi uygulanmıyorsa, bir sıfır kuvvet çubuğudur. Bunun geçerli olması için bu düğüm noktasına dış kuvvet etkimemesi ve mesnet reaksiyonları bulunmaması gerekir. 24
Örnek 65 Tüm düğüm noktalarının mafsallı birleşim olduğu kabulü ile, şekilde gösterilen Fink çatı kafes sisteminin sıfır kuvvet elemanlarını bulunuz. İdealize edilmiş model: 25
Slayt 22 deki D noktasına benzer olan G noktasından başlayalım: Not: C noktasından başlasaydık bu sonuca direkt ulaşamazdık. F GC nin sıfır kuvvet çubuğu olması, 5 kn luk yükün CB, CH, CF ve CD çubukları tarafından taşındığı anlamına gelir. D noktasında da aynı prensip geçerli : 26
F düğüm noktası: B noktasını analiz etseydik : (basınç) Buradan, F HC nin sayısal değeri ΣFy=0 ı sağlamalıdır. Dolayısıyla HC bir sıfır kuvvet çubuğu değildir. 27
Kesit (Kesim) Yöntemi Kesit yöntemi, cisim içinde etkiyen yükleri belirlemede kullanılır. Bu yöntem dengedeki bir cismin bütün parçalarının da dengede olması ilkesine dayanır. Bir kafes sistemini analiz ederken, bazen sadece belirli elemanların kuvvetlerini bulmamız gerekebilir. Bu durumda kesit yöntemi kullanılır. Yöntemi uygulamak için, cismi iki parçaya bölen hayali bir kesim yapılır. Parçalardan birinin serbest cisim diyagramı çizildiği takdirde, diyagram kesite etkiyen yükleri içermelidir. Kesitteki yükü belirlemek için parçaya denge denklemleri uygulanır. 28
Örneğin, şekilde gösterilen iki kafes sistem elemanını göz önüne alalım: Çekme çubuğu Basınç çubuğu Mavi çizgiyle gösterilen kesitteki iç yükler, sağdaki serbest cisim diyagramlarından biri kullanılarak bulunabilir. Dengenin, çekme etkisindeki çubuğun kesitte T çekme sine, basınç etkisindeki çubuğunsa C itme sine maruz kalmasını gerektirdiği açıktır. 29
Kesit yöntemi, bir kafes sistemin elemanlarını kesmek için de kullanılabilir. Kafes sistemin iki parçasından biri serbest cisim diyagramı olarak soyutlanırsa, kesilen elemanların iç kuvvetleri ortaya çıkar ve kesit teki çubuk kuvvetlerini belirlemek için bu parçaya denge denklemleri uygulanır. Kafes sistemin soyutlanmış parçasına sadece üç bağımsız denge denklemi (ΣF x =0, ΣF y =0, ΣM O =0) uygulanabildiği için, kafesi kestiğimiz yerde eleman kuvvetlerini bilmediğimiz maksimum üç eleman olmak zorundadır. Örnek olarak, aşağıdaki kafes sistemini ele alalım: GC çubuğundaki kuvvet belirlenecekse a-a kesiti uygun olacaktır. 30
İki parçanın serbest cisim diyagramları aşağıda görülmektedir: 31
Her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi kafes sistemin geometrisinden belirlenir, çünkü çubuktaki kuvvet çubuk ekseni doğrultusundadır. Ayrıca, kafes sistemin bir parçası üzerine etkiyen çubuk kuvvetleri diğer parçaya etkiyenlere eşit, fakat zıt yönlüdür (Newtonun 3. kanunu). BC ve GC elemanları çekme ye, GF ise basınca çalışmaktadır. BC, GC ve GF elemanlarındaki bilinmeyen kuvvetler, serbest cisim diyagramlarından herhangi biri kullanılarak bulunabilir. Ancak, sağdaki serbest cisim diyagramı kullanılırsa, önce D x, D y ve E x mesnet tepkileri bulunmalıdır. Çünkü sadece üç denge denklemi bulunmaktadır. 32
Denge denklemleri uygulanırken, bütün denklemlerin ortak çözümünü bulmak yerine, denklemleri, bilinmeyenlerin her birini doğrudan elde edecek şekilde yazmanın yolları aranmalıdır. Örneğin, Sol kesitte, C noktasına göre momentler toplamından F GF doğrudan elde edilir, çünkü F BC ve F GC C ye göre sıfır moment üretir. Aynışekilde F BC G ye göre momentler toplamından elde edilir. F GC ise düşey yöndeki kuvvetler dengesinden bulunur. NOT: GC çubuğundaki kuvveti belirlemek için düğüm noktaları yöntemi kullanılsaydı, A, B ve G düğüm noktalarında denge denklemlerinin yazılması gerekirdi. 33
Düğüm noktaları yönteminde olduğu gibi, kesme yönteminde de bilinmeyen çubuk kuvvet yönünün belirlenmesinde iki yol vardır: Daima kesitteki bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin çekme etkisinde olduğu, yani çubuğu çektiği varsayılır. Böylece, sayısal çözüm, çekme elemanları için pozitif, basınç elemanları için negatif sonuç verir. Bilinmeyen çubuk kuvvetinin yönü, tetkik yöntemiyle de bulunabilir. Örneğin, şekilde BC elemanında oluşan kuvvet çekme olarak gösterilmiştir. Çünkü G noktasına göre moment dengesi, 1000 N luk kuvvetin oluşturduğu moment etkisini dengeleyecek şekilde olması gerekir. 34
Örnek 66 Şekildeki kafes sistemin, GE, GC ve BC çubuklarındaki kuvvetleri belirleyiniz. Çubukların çekme mi, yoksa basınç etkisinde mi olduklarını belirtiniz. (kesim yöntemi ile) Kesim yöntemini kullanmak için önce, A veya D mesnedindeki tepkilerin belirlenmesi gerekir. Bunun için tüm sistemin serbest cisim diyagramını çizelim: 35
Daha az sayıda bilinmeyen içerdiği için sol kesitin serbest cisim diyagramı kullanılacaktır: G noktasına göre moment alırsak, F GE ve F GC hesaba girmez, ve F BC için doğrudan çözüm elde edilir. C noktasına göre moment alırsak, F BC ve F GC hesaba girmez, ve F GE için doğrudan çözüm elde edilir. (çekme) (basınç) (çekme) 36
Örnek 67 EB elemanında oluşan kuvveti, ve türünü (çekme veya basınç) bulunuz. 37
basınç basınç çekme 38
Örnek 68 Şekildeki köprü kafes sisteminin CF çubuğundaki kuvveti belirleyiniz. Çekme veya basınç kuvveti olduğunu belirtiniz. 39
ΣM A = 0 5kN 8m 3kN 12m + E y 16m = 0 16E y = 76 E y = 4.75kN 40
41 m x x x 4 8 6 4 4 = + = + ) ( 0.589 0 ) )(4 (4.75 ) )(8 (3 ) (12 sin 45 0 BASINÇ kn F m kn m kn m F Mo CF o CF = = + = + Σ
Örnek 69 6 m 6 m 6 m EF, BC ve CF elemanlarında oluşan kuvvetleri ve türünü bulunuz. 300 N 300 N 42
6 m 6 m 6 m 300 N 300 N 9m tan 30 tan φ = = 1.732 φ = 3m 60 o 6 m 6 m 6 m 300 N 300 N 43
Ax Ay 300 N 300 N Dy 44
6 m 6 m 6 m 300 N 300 N 45
F EF sin30
F CF sin60
Örnek 70 3 m Şekildeki sistemin her elemanında oluşan kuvvetleri belirleyiniz. Çekme veya basınç kuvveti olduğunu belirtiniz. (Düğüm Noktası) 2 m 2 m 300 N 49
50
Örnek 71 4 m 4 m 450 N 4 m Şekildeki sistemin her elemanında oluşan kuvvetleri belirleyiniz. Çekme veya basınç kuvveti olduğunu belirtiniz. 51
4 m 4 m 450 N 4 m 52
53
Örnek 72 Şekildeki kafes sistemin her elemanında oluşan kuvvetleri belirleyiniz. Çekme veya basınç kuvveti olduğunu belirtiniz. (düğüm metodu ile) 54
Serbest cisim diyagramını çizerek, önce mesnet tepkilerini bulalım: M C = = 0 ( 2000 lb )( 24 ft ) + ( 1000 lb )( 12 ft ) E ( 6 ft ) E = 10,000 lb F 0 = C = 0 x = x C x F 0 = 2000 lb -1000 lb + 10,000 lb + C y = y C y C y = 7000 lb = 7000 lb 55
E C x = 10,000 lb = 0 C y = 7000 lb A Noktası D Noktası 2000lb F AB F FAB = 1500lb Ç = = AD 4 3 5 FAD = 2500lb B F F DB DE = F DA = 2 3 ( ) F DA 5 F F DB DE = 2500 lb Ç = 3000lb B 56
F F F F y BE x BC B Noktası = 0 = 1000 = 3750 lb = + 5250 lb 5 4 ( 2500) 5 4 F BE F BE = 3750 lb B 3 ( 2500) ( 3750) = 0 = F 1500 3 BC 5 5 F BC = 5250 lb Ç E Noktası F F x EC = 0 = 3 5 F EC = 8750 lb + 3000 + 3 5 ( 3750) F EC = 8750 lb B 57
C Noktası F F x y = 5250 + = 7000 + 3 5 4 5 ( 8750) = 0 ( kontrol) ( 8750) = 0 ( kontrol) 58
Örnek 73 DE, EH ve HG çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz. (kesim yöntemi ile) 59
Serbest cisim diyagramını çizerek, önce mesnet tepkilerini bulalım: 60
61
Örnek 74 FH, GH, ve GI çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz. (kesim yöntemi ile) 62
Serbest cisim diyagramını çizerek, önce mesnet tepkilerini bulalım: A x =0 A L M F A L y A = 0 = = 12.5 kn ( 5 m)( 6 kn) ( 10 m)( 6 kn) ( 15 m)( 6 kn) ( 20 m)( 1kN) ( 25 m)( 1kN) + ( 25 m) L = 7.5 kn = 0 = 20 kn + L + A 63
FH, GH ve GI elemanlarını kesen bir kesit alıp, sağ parçayı ele alalım. kn kn M H = 0 ( 7.50 kn)( 10 m) ( 1kN)( 5 m) F ( 5.33m) F GI = + 13.13 kn GI F GI =13.13 kn çekme = 0 64
tanα = = 8 m 15 m = M G = 0 ( 7.5 kn)( 15 m) ( 1kN)( 10 m) ( 1kN)( 5 m) + ( F cosα )( 8 m) = 0 tan β = F FG GL FH FH = 0 = 13.82 kn 2 3 ( ) 0.5333 α = 28.07 F FH = 13.82 kn C ( 1kN)( 10 m) + ( 1kN)( 5 m) + ( F cos β )( 15 m) F GH M L GI HI = = 1.371 kn 5 m 8 m = 0.9375 GH basınç β = 43.15 = 0 F GH = 1.371kN C basınç