SAÜ 7. BÖLÜ ASİETRİ (ÇARPIKLIK) VE BASIKLIK ÖLÇÜLERİ PROF. DR. USTAFA AKAL İÇİNDEKİLER. ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. ORTALAALAR YARDIIYLA ÇARPIKLIĞIN (ASİETRİ, SKEWNESS) HESAPLANASI.. erez Eğlm Ölçüler Yardımıyla Serlern Çarpılığının Hesaplanması. OENTLER YARDIIYLA ÇARPIKLIĞIN (ASİETRİ, SKEWNESS) VE BASIKLIĞININ (KURTOSİS) HESAPLANASI.. Bast Serlerde omentler.. Tasnf Edlmş Serlerde omentler.. Gruplanmış Serlerde omentler.. omentler Yardımıyla Çarpılı (Asmetr, Sewness) Katsayısının Hesaplanması.5. omentler Yardımıyla Basılı (Kurtoss) Katsayısının Hesaplanması. ORTALAALAR, ÇARPIKLIK KATSAYISI VE BASIKLIK KATSAYISI YARDIIYLA BİR SERİNİN ANALİZİ HEDEFLER Çarpılı ve basılı tanımlarının tanıtılması ve çarpılı hesaplamalarının gösterlmes.
. ÇARPIKLIK VE BASIKLIK Serlern dağılımı haında ortalamalar ve değşm ölçüler yardımıyla bell ölçüde blg edneblrz. Bu ölçünün yanında, serlern smetrden ne adar uzalaştığını gösteren Çarpılı Katsayısı ve sernn yüselğnn normal sernn yüselğnden ne adar uzalaştığını gösteren Basılı Katsayısı hesaplanablr... Ortalamalar Yardımıyla Çarpılığın (asmetr, sewness) Hesaplanması Araştırmacılar, çalışmalarında genellle ortalamalar ve değşm ölçülern hesaplayara ser haında ulaşableceler masmum blgye ulaştılarını ve dğer ölçülern hesaplanmasının fazla br blg sağlamayacağını savunmatadırlar. Çoğu zaman bunda halılı payı olsa da, sernn dağılımının şel haında blgler ednmenn araştırmacıya lave blgler sağlayacağında göz ardı edlmemes gerer. Serlern freans dağılımlarını gösteren aşağıda üç şel ncelendğnde bu daha y anlaşılacatır. Sernn freans dağılımını gösteren yuarıda şelden verlern merez eğlm ölçüler etrafında smetr dağıldığını söyleyeblrz. Bu sernn mod, medyan ve artmet ortalaması brbrne eşttr. Aşırı büyü ve üçü değerlern freansları eşt ya da brbrne ço yaındır. Smetr serlerde od = edyan = Öğrenclern statst dersnden aldıları notlar ortalama etrafında smetr olara dağılıyorsa yuarda durum söz onusu olacatır.
Sernn freans dağılımını gösteren yuarıda şel sağa doğru uzun uyruludur. Sağa çarpı freans dağılımına sahp olan bu serde merez eğlm ölçüler arasında lş aşağıda gbdr. Sağa çarpı serlerde od < edyan < Aşırı üçü değerlern freansı büyü değerlern freansından daha fazladır. Bundan dolayı artmet ortalama medyandan ve medyanda moddan daha büyütür. Öğrenclern statst dersnden aldıları notların çoğunluğu artmet ortalamadan üçüse yuarıda şelde olduğu gb sağa çarpı freans dağılımı söz onusu olacatır. Yüse değerl gözlemler genş br aralıta yer alıren düşü değerl gözlemler nspeten br arada toplanmıştır. Sernn freans dağılımını gösteren yuarıda şel sola doğru uzun uyruludur. Sola çarpı freans dağılımına sahp olan bu serde merez eğlm ölçüler arasında lş aşağıda gbdr.
Sola çarpı serlerde od > edyan > Aşırı büyü değerlern freansı üçü değerlern freansından daha fazladır. Bundan dolayı artmet ortalama medyandan ve medyan da moddan daha üçütür. Öğrenclern statst dersnden aldıları notların çoğunluğu artmet ortalamadan büyüse yuarıda şelde olduğu gb sola çarpı freans dağılımı söz onusu olacatır. Düşü değerl gözlemler genş br aralıta yer alıren yüse değerl gözlemler nspeten br arada toplanmıştır. Görüldüğü gb gözlemlern freans dağılımları farlılı göstereblr ve serlern çarpılığının ölçülmes öneml blgler çermetedr. erez eğlm ve değşm ölçüler serlern çarpılığı haında blg çermezler ve bunların değş yöntemlerle hesaplanması gerer. Serlern asmetrs (çarpılığı) merez eğlm ölçüler, artller ya da momentler yardımıyla hesaplanıren serlern basılığı momentler yardımıyla hesaplanablr. Herhang br serde bu lşden tanes vardır. Sernn sağa veya sola yaınlığı (artıça) asmetr ortalama le mod arasında far belrl şelde büyür... erez Eğlm Ölçüler Yardımıyla Serlern Çarpılığının Hesaplanması Serlern mod ya da medyanının artmet ortalamadan farının o sernn standart sapmasına bölünmes le sernn asmetrs yan çarpılığı hesaplanablr. Bulucusunun adından dolayı Pearson Asmetr Ölçüsü denlen bu çarpılı atsayıları (ÇK) aşağıda formüller yardımıyla hesaplanır. veya Çarpılı atsayısı - ve + sınırları arasında olacatır. Çarpılı atsayısı + e yalaştıça sernn sağa çarpılığı ve - e yalaştıça sernn sola çarpılığı artacatır. Çarpılı atsayısı sıfıra yalaştıça sernn smetrs (çarpılığı) artacatır (azalacatır). ÇK = 0 ÇK > 0 ÇK < 0 Ser smetrtr Ser sağa çarpıtır Ser sola çarpıtır ÖRNEK: Br mahallede yaşayan aleler çocu sayılarına göre tasnf edlmş ser olara aşağıda verlmştr. Bu dağılımın çarpılı atsayısını hesaplayınız ve yorumlayınız? Çocu (X ) Sayısı Ale Sayısı f f X 0 0 -. 5. 5. -..7 5. 8 6-0. 0. 0.8 5 5 0.7 0.5.5
.7.9 8.7 Toplam. İl aşamada sernn artmet ortalama, mod, medyan ve standart sapmasını hesaplamalıyız. Sernn artmet ortalama, mod, medyan ve standart sapması aşağıda gb hesaplanmıştır. NX N 6 0., od =, edyan =, N N X -. 0.06. Bu serde artmet ortalama medyan ve moddan büyü olduğu çn sağa çarpıtır. Çarpılı dereces ya da atsayısı bulunan değerlern formülde yerne onulmasıyla aşağıda gb bulunur. Sernn asmetrs yan çarpılığı poztftr (sağa çarpı) ve atsayısı 0.8 dr. 0< ÇK < 0.5 olduğundan asmetrs haff sağa çarpı ser olara yorumlanır. Asmetrs haff ya da smetrğe yaın dağılıma sahp serlerde yalaşı olara o e X lşs görülür. Her taraftan - X çıartılıp, Her taraf (-) le çarpılırsa, sernn asmetrs haff se ortalama arasında şu lş vardır: X o X e Her taraf sernn standart sapması le bölünürse Perason asmetr ölçüsüne ulaşılır. ASp I X o veya ASp II X e Pearson asmetr ölçüsü teor olara sınırları arasında bulunması gereen bu ölçü çoğu zaman sınırları arasında gerçeleşr (- AS p ). Hesaplanan asmetr ölçüsü e yalaştıça asmetr dereces yüselr. a) smetr serlerde As p =0
b) sağa eğ serlerde As p >0 c) sola eğ serlerde As p <0 As p =0 sonucu rastlantısal se sernn smetr olduğu esn değldr. Kesnl azandırma çn alternatf asmetr ölçülerne baılır. ÖRNEK: Br sernn X =9, e =9.5, o =0, = olsun. AS p p 9 0. 9 9.5 0.50; AS 0.75 <0 olduğundan uvvetl sola eğ serdr. ÖRNEK: A ve B sınıflanmış serler çn aşağıda değerler verlsn. A X.65.7 0. A. A A B X 5.78 0 5. B 5.5 B B Buna göre A ve B serlernn asmetr durumlarını ıyaslayınız. e e AS AI p X 0.65. 0.787 0 sağa eğ ser.7 A AS Aıı p X e.65. 0.6 0.7 A AS BI p X 0 5 5. 0.7 0 Sola eğ.78 A AS Bıı p X e 5 5. 0. 0 sola eğ.78 A Her sernn asmetrs haff çünü 0 A AS 0.5 p B 0.5 AS 0 AS PI ve AS PII çelşl se asmetrnn yönünü belrlemede AS PI ölçümü date alınır. Buna göre A sersnn asmetrs B sersnden fazladır. Çünü mutla değerce AS =0.789 > AS =0.7 dr. p dr. AI p BI p.. Kartllere Dayanan Asmetr Ölçüsü Kartller arasında türlü lş mevcuttur. a) Q Q Q Q b) Q Q Q Q c) Q Q Q Q sağa eğ ser smetr ser sola eğ ser 5
Sernn smetrs bozulduça, yan sağa veya sola eğl arttıça söz onusu far; Q Q Q Q farı sıfırdan uzalaştıça sola veya sağa eğl artar, değşenl artar. Farının poztf olması sernn sağa eğ, negatf olması sola eğ olduğunu gösterr. ÖRNEK: Q =.9, Q =., Q =5 olara verlsn. Q Q = 5-.=.57 > Q Q=.-.9=..57 >. asmetrs sağa eğ serdr. Bowley Asmetr Ölçüsü: artller arası farların, artller arası far toplamlarına oranına dayanır. AS B Q Q Q Q Q Q Q Q Pearson asmetr ölçüsünde olduğu gb smetr serlerde AS B >0 ve sola eğ serlerde AS B = 0, sağa eğ serlerde AS B <0 dır. Bowley asmetr ölçüsü AS B sınırlıdır. ÖRNEK: Q =.9, Q =., Q =5 olara verlsn. Bowley Asmetr ölçüsünü bulunuz? AS B Q Q Q Q Q Q Q Q 5-..-.9 0. 0.6.57..7 0 0.6 0.5 aralığında olduğundan asmetrs haff sağa eğ serdr. ÖRNEK: Br sernn Q =.5, Q =.5, Q = 6.5 olsun. AS B Q Q Q Q Q Q Q Q AS B 6.5.5.5.5 0. 6.5.5.5.5 0< AS p =0. <0.5 asmetrs haff sağa eğ br serdr. ı ıı ÖRNEK: P&R şretlernde çalışan şçlern haftalı ücret dağılımlarının a) Asp ve Asp ölçülern bulunuz? b) Bowley asmetr ölçüsünü bulunuz? c) Sadece artmet ortalama ve medyan blndğnde 65 şçnn model ücretn bulunuz? Ücretler f m f m 50-59.99 8 55 00 60-69.99 0 65 650 6
70-79.99 6 75 00 80-89.99 85 990 90-99.99 0 95 950 00-09.99 5 05 55 0-9.99 5 60 885 a. X 79.76 65 f =65 f m =885 Nm Nm N N N N o s. s. m m m m 6 0 70 0 77.58 6 (6 ) e N N a.5 8 s. 70 (08) 79.06 N 6 m 80. 79.76 5.76, gruplanmış ser olduğundan düzeltmş standart sapma uygulanır; ı s 0 5.76 5.5 X =79.76, e=79.06, o=77.58, ı =5.5 ı Anca burada gruplanmış ser olduğundan doğru asmetr ölçüsü düzeltlmş ( ) ı ullanılmasıyla; =5.5 elde edlr. ı ASp 79.76 77.5 0.8 5.5 ıı ASp 79.76 79.06 0.6 5.5 Ve 0 ASp 0.5 asmetrs haff sağa eğ serdr. İşçlern çoğu ortalama ücretn altında ücret almatadır. b) Q =59.995+ 6.5 8 x0 68.5 0 Q 69.995+.5 8 x0 79.06 0 Q =89.995 + 8.75 8 x0 90.758 0 N 65 6.5. term N.5. term N 8.75. term 7
Buna göre şçlern %5 %50 s 68.58 veya daha az azanır. 79.06 veya daha az azanır. % 75 90.75 veya daha az azanır. Q 90.75, Q 79.06, Q 68.5 se R&P sersnde AS B Q Q Q Q Q Q Q Q 90.75 79.06 79.06 68.5 90.75 79.06 79.06 68.5 0.09 haff sağa eğ serdr.. A V Q 90.75 68.5.5 0.00 =% 90.75 68.5 559 c) 0 X X e Asmetrs haff ser özellğn ullanırız. olup asmetrs 79.76.( 79.76 79.06) 77.66 o e X =(79.06) (79.76) 77.66 Ve bzm hesaplanan o ücretmz=77.58 olduğu çn yaın br lş vardır.. OENTLER YARDIIYLA ÇARPIKLIĞIN (ASİETRİ, SKEWNESS) VE BASIKLIĞININ (KURTOSİS) HESAPLANASI Serlern freans dağılımları haında momentler yardımıyla da blg ednleblr. omentler, gözlem değerlernn artmet ortalamadan farlarının uvvetn alara gözlem sayısına bölünmes le elde edlr. Bu şelde hesaplanan momentlere artmet ortalama etrafında momentler denr ve en yaygın ullanılanıdırlar. omentler hesaplama formüller serlern türüne göre değşecetr. Formüllerde r sembolü momentn derecesn gösterr... Bast Serlerde Ortalamadan Sapmaya Göre omentler Brnc moment: İnc moment: Üçüncü moment: Dördüncü moment: r. moment: N X - r N r 8
.. Tasnf Edlmş Serlerde Ortalamadan Sapmaya Göre omentler Brnc moment: İnc moment: Üçüncü moment: Dördüncü moment: N X - 0. N N N N N X - X - N X - N r. moment: N X - r N.. Gruplanmış Serlerde Ortalamadan Sapmaya Göre omentler r Brnc moment: İnc moment: Üçüncü moment: Dördüncü moment: N m - 0. N N N N N m - m - N m - N,, S. S 7S 0 9
r. moment: N m - r N r.. omentler Yardımıyla Çarpılı (Asmetr, Sewness) Katsayısının Hesaplanması Smetr serlerde artmet ortalamadan sapmaların te derecel uvvetlernn toplamı sıfır olacağından smetr serlerde brnc ve üçüncü momentler sıfır olacatır. Buradan üçüncü momente baara sernn asmetrs haında aşağıda sonuçlara ulaşablrz. 0 Smetr ser Sağa çarpı (Asmetrs poztf) ser Sola çarpı (Asmetrs negatf) ser Br sernn üçüncü momentne baara sernn çarpılığı onusunda br fr sahb olsa ble çarpılığın derecesn ölçme ve farlı brmlerle ölçülen serlern asmetrsn arşılaştırma çn görecel br çarpılı ölçüsüne htyaç vardır. Sernn hesaplanan üçüncü dereceden moment yne aynı sernn standart sapmasının üçüncü uvvetne bölünürse standart br çarpılı ölçü brm elde edlmş olur. omentler yardımıyla çarpılı atsayısı aşağıda şelde formüle edleblr. N X - N ÇK= 0 ÇK = 0, Smetr ser, ÇK > 0, Sağa çarpı (Asmetrs poztf) ser ÇK < 0, Sola çarpı (Asmetrs negatf) ser omentlere Dayalı Asmetr Ölçüsü:- artmetortalamayagöre. derecedenmoment artmetortalamayagöre. momentn/. uvvet 0
Gruplanmış serlerde yne uygulanır. Yan onur. Sağa eğ ser Sola eğ ser Smetr ser Asmetrs uvvetl >0 <0 =0 >0.5 Asmetrs zayıf -0.5< <0 Asmetrs uvvetl ser = 0.75 >0.5 0 Smetr ser =0 0 Sağa eğ ser >0 0 Sola eğ ser <0 ÖRNEK: Br mahallede yaşayan aleler çocu sayılarına göre tasnf edlmş ser olara aşağıda verlmştr. Bu dağılımın çarpılı atsayısını momentler yardımıyla hesaplayınız ve yorumlayınız? Çocu Sayısı (X ) Ale Sayısı f f X 0 0 -. 5.9 5.9 -.67 -.67 -..69 5.07 -.97-6.59 8 6-0. 0.09 0.7-0.07-0.6 5 5 0.7 0.9.5 0..75.7.89 8.67.9.79 Toplam 0 6. -.5 İl aşamada sernn üçüncü momentn ve standart sapmasını hesaplamalıyız. Sernn üçüncü moment ve standart sapması yuarıda tablo yardımıyla aşağıda gb hesaplanmıştır., N X -...05.7. 0 N
N N X - -.5 0-0.6-0.6-0..7 Sernn asmetrs yan çarpılığı negatftr (sola çarpı) ve atsayısı - 0. dr. Genel olara, se uvvetl çarpı ve -0.5 ÇK 0.5 se zayıf çarpı denleblr..5. omentler Yardımıyla Basılı (Kurtoss) Katsayısının Hesaplanması İ veya daha fazla sernn artmet ortalaması ve standart sapmaları aynı olsa ble freans dağılımlarının yüselğ (Basılı) farlı olablr. Bu durumlarda serlern freans dağılımının basılığı o ser haında bazı lave blgler çermetedr ve hesaplanmasında fayda vardır. Br sernn freans dağılımının basılığı dördüncü moment yardımıyla hesaplanablr. Sernn hesaplanan dördüncü dereceden moment yne aynı sernn standart sapmasının dördüncü uvvetne bölünürse standart br basılı ölçü brm elde edlmş olur. omentler yardımıyla basılı atsayısı (BK) aşağıda şelde formüle edleblr ve yorumlanablr. BK N X - N Sernn dağılımının yüselğ standart normal dağılıma uygundur. > Sernn dağılımının yüselğ standart normal dağılımın yüselğnden daha svrdr. < Sernn dağılımının yüselğ standart normal dağılımın yüselğnden daha basıtır. ÖRNEK: Br mahallede yaşayan aleler çocu sayılarına göre tasnf edlmş ser olara aşağıda verlmştr. Bu dağılımın çarpılı atsayısını momentler yardımıyla hesaplayınız ve yorumlayınız? Çocu Sayısı Ale Sayısı
(X ) f f X 0 0 -. 5.9 5.9 7.98 7.98 -..69 5.07.86 8.57 8 6-0. 0.09 0.7 0.008 0.06 5 5 0.7 0.9.5 0..0.7.89 8.67 8.5 5.06 Toplam 0 6. 6.87 İl aşamada sernn dördüncü momentn ve standart sapmasını hesaplamalıyız. Sernn dördüncü moment ve standart sapması yuarıda tablo yardımıyla aşağıda gb hesaplanmıştır., N N X - 6.87 0.5 N X -...06.6. 0 N N X -...05.. 0 N.5.55<.. Sernn basılı atsayısı.55 dır. Ser standart normal dağılıma göre daha basıtır. ÖRNEK: Sınıflanmış br serye lşn 8, 0, 7.76 olsun. Buna göre momentlere dayalı asmetr ve basılı ölçüler nedr. 0 0 ser smetrtr. 8
7.76.7, < olduğu çn ser basıtır. 8 ÖRNEK: Sınıflanmış Serde X N NX X X X X N X X N X X N X X 8-6 6-86 58 6 0 70-80 -60 0 8 9 0 0 0 0 0 0 80 8 56 5 NX 00 X 8 N 80 9.6 =5 =-768 =606.0 <0 olduğu çn sola eğ ve mutla değerce 0.5 den büyü. olduğu çn asmetrs uvvetldr. =76. 9.6. 76..857 9.6 > olduğu çn ser standart normal dağılıma göre daha svrdr. omentlere Dayanan Basılı Ölçüsü, Br sernn normal olup olmadığı br sernn smetr( 0 ) yanında belrl br yüselğe bağlı olmasını ( ) belrleme çn ullanır. Normal br serde svr br serde ve bası br serde dr. Her ölçüde de artmet ortalamaya göre momentler ullanılır. Ser gruplanmış br ser se asmetr ve basılı ölçüsünü bulmadan önce. ve. momentlern düzeltlmş değerler buluruz. ve yerne düzeltlmş değerler onulur. Gruplanmış serlerde formüle Gruplanmış br serye lşn, 9., -.6, olsun ve uygulanır.
.6 0.9 0 olduğu çn sola eğ serdr. 9.. bası serdr. 9. ÖRNEK: Gruplanmış br serye lşn 8, 0, 8, sınıf aralığı= olsun. Buna göre momentlere dayalı asmetr ve basılı ölçüler nedr. Gruplanmış ser olduğundan önce düzeltlmş momentler hesaplanır. S 8 6.67 0 0 smetrtr. 6.67 S 7S 7.(56) = 8 (8).8 7.60 0 0 7.6.606 6.67, < olduğu çn ser basıtır.. ORTALAALAR, ÇARPIKLIK KATSAYISI VE BASIKLIK KATSAYISI YARDIIYLA BİR SERİNİN ANALİZİ Serler freans dağılımı çarpılı atsayısına göre smetr, sağa çarpı ve sola çarpı olara üç olasılığa sahpen, basılı atsayısına göre de normal, bası ve svr olma üzere üç olasılı mevcuttur. Br sernn çarpılığı (Sewness) ve basılığı (Kurtoss) aşağıda tablo yardımıyla özetleneblr. ÇK = 0 ÇK > 0 ÇK < 0 BK = Smetr ve basılığı normal BK > Asmetrs poztf ve normale göre svr Asmetrs negatf ve normale göre svr BK < Asmetrs poztf ve normale göre bası Asmetrs negatf ve normale göre bası 5
Serlern çarpılı ve basılı atsayısının serlern freansının dağılımını nasıl belrledğ freans dağılımının grafğ yardımıyla da görüleblr. Yuarıda standart normal br dağılımın grafğ mevcuttur. Sernn ÇK=0 olması smetr ve BK = olması basılığının normal olduğunu göstermetedr. 6
Yuarıda normal br dağılımın grafğ mevcuttur. Sernn ÇK=0 olması smetr ve BK > olması basılığının normalden svr olduğunu göstermetedr. Dat edlrse dğer verler sabten sernn standart sapmasının azalması BK nı artıracağından sernn freans dağılımının svrlğ artacatır. 5. STANDARTLAŞTIRILIŞ DEĞİŞKEN Z X X veya s Z X X X olup genelde Z puan hesaplarında ullanılır. ÖRNEK: Br öğrencnn matemat puanı=8 ve matemat notları sersnn ortalaması X 76 ve standart sapması s 0 dır. Fz ders notu 90, sınıf not ortalaması X 8, mat m standart sapması s f,dır. Buna göre Zm, Zf değerlern hesaplayınız? Çözüm: Z m 8 76 0.8 0 fz Z f 90 8 0.5 Z m = 0.8 olduğundan öğrenc matematte ortalamanın üzernde 0.8 standart sapma adar br puan almıştır. Z f =0.5 olduğundan öğrenc ortalamanın üzernde 0.5 standart sapma adar puan almıştır. Z 0.8 Z 0.5 olduğundan öğrenc nsp olara matematte daha y onumdadır. f Oysa sınıf ortalamasına göre öğrenc fzten daha y onumda olduğu anaat oluşacatı. Standart Normal dağılım nedr? Varyansı, ortalaması sıfır olan, Freans eğrs çan şelnde olan smetr dağılımdır. Normal dağılım smetr olduğu çn, normal dağılım gösteren değşenlern ortalama, ortanca ve modları eşttr. 7
Normal Dağılım özellğnn önem nedr Parametr testlern tümünün uygulanablmes çn gereen varsayımların başında verlern dağılımının normal olması gelr. Normal dağılımdan gelmeyen ölçümler ullanıldığında, gerçete olduğundan daha üçü br olasılı değer ya da daha dar br güven aralığı hesaplanır. Bu durumda, doğru br hpotez reddetme olasılığı artar. Yan, grup arasında far olmadığı halde far varmış gb sonuç elde edleblr Normal Dağılım Krterler Dağılımın normal olup olmadığı graf ve statst analz yöntemler le anlaşılır. Hstogram, dal ve yapra grafğ ve normal olasılı grafğ çzlere dağılımın normal olup olmadığı haında fr ednleblr. Ama bu zlenmn statst yöntemlerle de test edlmes gerer. Shapro-Wls (n<0) ve Lllefors (n>0) Kolmagorw Smrnov. Yada Shef testler bu amaçla sılıla ullanılan testlerdr. Bu testlerde p değer <0.05 se dağılımın normal olmadığı sonucuna varılır. Örnelem büyülüğü arttıça, denelern dağılımı ve ortalamanın örnelem dağılımı normal dağılıma yalaşır. Genellle br örnelemde 0 ya da daha fazla sayıda dene varsa, evren normal dağılım göstermyorsa ble, ortalamanın örnelem dağılımının normal olduğu varsayılablr Verlern normal dağılmadığı durumlarda şlem yapılablr :. Verlere dönüşüm uygulayara, onların normal dağılıma uymalarını sağlama.. Varolan verlere parametr olmayan br test uygulama Normal Dağılım sınaması cn hpotezler şöyle fade edlr: : Verler normal dağılım gösterr. : Verler normal dağılım göstermez. Jarque ve Bera sınaması br Lagranj çarpanı prenspne dayanan br sınama tpndendr. Sınama statstğ örnelem basılı ve çarpılı ölçülernn dönüşümlernden elde edlmştr. Sıfır hpotez daha ayrıntılı olara br bleş hpotezdr: belenen çarpılığın 0 değerde ve belenen basılı fazlalığının değerde olacağı sıfır hpotezdr; çünü br normal dağılım çn bu değerler gereldr. Sınama statstğ olan JB şöyle elde edlr: JB n (K-) 6 S + 8
Burada n gözlem sayısı (veya genellle serbestl dereces); S örnelem çarpılı ölçüsü, K örnelem basılı ölçüsü olur ve bu son statst şöyle tanımlanır: Burada örnelem ortalaması, σ nc moment veya varyans ve sırasıyla μ ve μ üçüncü ve dördüncü merezsel momentlerdr. JB sınama statstğ asmptot olara serbestl dereces bulunan br -are dağılımına yalaşır. Örnelem çarpılığı '0'dan ve basılığı ''den sapma gösterdçe, JB sınama statstğ büyüme gösterr. Bu sınama ço ere eonometrcler tarafından çolu doğrusal regresyon estrm sonuçları elde edldten sonra ele geçen hataların normal dağılım gösterp göstermedğn araştırma çn ullanılır. Bazı eonometrcler bu sınama statstğnn bu hallerde, bağımsız değşen sayısı olan le düzeltlmesn önermşlerdr. ÖRNEK: 0.9 ve., n=0 verlerne göre sernn normal dağılımını α=0.05 anlamlılı sevyesnde test ednz. : Verler normal dağılım gösterr : Verler normal dağılım göstermez. Sd=, anlamlılı sevyes 0.05 çn rt değer; 5.99 dr. Test statstğ; n (K-) n ( -) (.-) S + + (-0.9) + 0.066+ 6 6 6 6 0 0 (.6),0.05 0 0.650.669 < 5.99 olduğundan H,0.05 o hpotez abul edlr. Ser 6 normal dağılıma sahptr; X, X X N. 6. KONING TEOREİ Artmet ortalamaya göre momentlern sıfıra göre momentler cnsnden hesaplanması le lgl teoremdr. 9
ler le ler arasında bağıntı 6 Artmet ortalamadan sapmaya göre hesaplanan çft dereceden moment hesabında gruplaşmış serler söz onusu olduğunda Shepard düzeltmes yapılır. 6.. Bast Serlerde omentler X X X X 8 6 9 7 8 7 9 0 8 6 5 096 0 00 000 0000 X=0 X =6 X =890 X =659 Sıfıra Göre Konng Teoremnce Artmet Ortalamaya Göre omentler X X X 0 6 N 5 0 N X 6 5. N 5 X 890 7.8 N 5 5. 6 9. 78.(6x5.).6.6 X 659 N 5 6 88.(6x7.8) 6.(6 x5.).6 0
6.. Sınıflanmış Serlerde omentler Sıfıra Göre omentler X N X X X N X N X N X N X 8 6 6 8 6 9 7 8 8 5 6 86 6 6 56 6 6 56 0 6 7 6 6 96 5 5 907 N =0 N X =8 N X =8 N X =95 N X =060 X 8. N 0 X 95 97.7 N 0 X 8 9. N 0 X 060. 5.5 N 0 Artmet Ortalamaya Göre omentler X N X X X X X X X X -.. -9.6 9.8 6 -.. -..6-0. 0.0-0.00 0.000 6 7.9.6 6.859.0 N X X N X X N X X N X X -6.. -7.78 58. -6.6 7.6-7.986 8.786-0. 0.0-0.00 0.000
. 5.7 8.0 9.7 N X X =0 N X X =5.8 N X X =. N X X =58.5 0 5.80. 58.5 0.9 0.6 7.977 0 0 0 0 6.. Gruplanmış Serlerde omentler Sıfıra Göre omentler Sınıflar N m Nm N m N m N m ( m X) ( m X) ( m X) ( m X) 0- den az 8 6-6 -6 56-8 den az 6 86 58 0 0 0 0 8- den az 0 0 00 000 0000 6 6 56 8 8 5 880 56 N N N N X = 8 6 8 N N K = 5 8 N N = 880 60 = 56 5 Konng Teoremnce Artmet Ortalamaya Göre omentler; 8 8, 6 8 S 8 6.67 0.().(0).(0 ) 0 6 5 ().(6).(60) (6).(6 ).() ().(6 ) 8 S 7S 7.(56) = 8 (8).8 7.6 0 0 Artmet Ortalamaya Göre omentler
N ( m X) N ( m X) N ( m X) N( m X) -8-8 5 0 0 0 0 8 8 5 N ( m X) =0 N ( m X) =6 N ( m X) =0 N ( m X) =0 N X X 0 0 N 8 N m X N N m X N 6 8 ve 8, 0 0 8, S 8 6.67 (DÜZELTİLİŞ) N m X 0 8, N 8 S 7S 7.(56) = 8 (8).8 7.60 0 0 Konng Teoremnce, artmet ortalamaya göre momentler sıfıra göre momentlerden elde edldten sonra gruplanmış serlerde çft sayılı momentlerde düzeltme uygulanara düzeltlmş momentler elde edlr. KAYNAKLAR:. Yılmaz Özan, Uygulamalı İstatst, Saarya Ktapev, 008.. Özer Serper, Uygulamalı İstatst, Flz Ktapev, 996.. erç Öztürcan, İstatst Ders notları, YTÜ.. Andım Oben Balce ve Serdar Demr, İstatst Ders Notları, Pamuale Ünverstes, 007. 5. Ayşe Canan Yazıcı, Byostatst Ders Notları, Başent Ünverstes. 6. Zehra ulu ve Yavuz Eren Ataman, Byostatst ve Araştırma Tenler Ders Notları, Başent Ünverstes.