ISL223 İSTATİSTİK I DERS NOTLARI

Transkript

1 T.C. RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER ANABİLİM DALI DERS NOTLARI ISL3 İSTATİSTİK I DERS NOTLARI HAZIRLAYAN PROF. DR. ALİ SAİT ALBAYRAK RİZE 015 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 1 GENEL BİLGİ Dersn Kodu ve Adı ISL3 İstatst I Dönem ve Kreds Güz (3+0+3) Dersn Amacı İstatstğe grş ntelğ taşıyan derste, temel statst ölçüler (tanımsal statst) ve çeştl statst tenlern temeln oluşturan olasılı ve olasılıdağılımları uygulamalı br yalaşımla tanıtılması amaçlanmatadır. Dersn Kapsamı Temel avramlar, tanımsal statst ölçüler (ortalamalar, değşenl, eğl ve basılı ölçüler), olasılığın temel avramları ve olasılıuralları, esl ve sürel olasılıdağılımları. Kayna Ktap Yama, Rahm ve Mustafa Köseoğlu (006); Uygulamalı İstatst ve Eonometr, Çelepler Matbaacılı, Trabzon. Yardımcı Ktaplar Orhunblge, Neyran (000). Tanımsal İstatst Olasılı ve Olasılı Dağılımları,Avcıol Basım Yayın, İstanbul. Yüzer, Al Fuat, Enbya Ağaoğlu, Hüseyn Tatlıdl, Ahmet Özmen, Emel Şılar (006). İstatst, (Edtör: Al Fuat Yüzer), Anadolu Ünverstes Yayınları,Esşehr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları yayınlanamaz ve depolanamaz. 1

2 HAFTALIK DERS PLANI Dersn Kodu ve Kreds (T+U+K) Dersn Adı Ders Sorumlusu ISL3 (3+0+3) İstatst I Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK Hafta İşlenece Konular 1 İstatstğeGrş: İstatstğn Tanımı Önem ve Amacı, Temel İstatst Kavramlar ve Tanımlar, İstatst ve Blgsayar, Ölçe Türler, Blmsel Araştırmanın Aşamaları, Verlern Toplanması ve Düzenlenmes (İstatst Serler, Tablolar ve Grafler). 3 7 Tanımsal İstatst: Merez Eğlm Ölçüler/Ortalamalar; Sernn Tüm Brm Değerlerne Dayanan/Duyarlı Ortalamalar (Artmet Ortalama, Tartılı/Ağırlılı Artmet Ortalama, Geometr Ortalama, Harmon Ortalama, Karel Ortalama); Sernn Tüm Brm Değerlerne Dayanmayan/Duyarsız Ortalamalar (Tepe Değer/Mod, Ortanca/Medyan, Bölenler: Kartller, Desller, Persantller); Uygun Ortalama Tpnn Seçm; Değşenl/Dağılma Ölçüler (Değşm Aralığı/Range, Kartllerarası Değşm Aralıları, Ortalama Mutla Sapma, Robust Ortalama Mutla Sapma, Varyans ve Standart Sapma, Değşm Katsayısı, Bölenlerarası Değşm Katsayıları); Eğl Ölçüler (Ortalamaya Dayanan Pearson Eğl Ölçüler, Kartllere Dayanan Bowley Eğl Ölçüler; Momentlere Dayanan Eğl Ölçüler); Basılı Kurtoss Ölçüler. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 3 Hafta İşlenece Konular 8 11 Olasılığın Temel Kavramları ve Olasılı Kuralları: Olasılığın Tanımı, Özelller ve İstatstte Yer; Bazı Temel Kavramlar ve Tanımlar; Olasılığın Temel Özelller; Olasılı Kuralları (Toplama Kuralı ve Ayrı Brbrn Engelleyen Olaylar le Toplama Kuralı ve Br Arada Meydana Geleblen Kesşen Olaylar); BağımsızOlaylarveÇarpımKuralı le Bağımlı Olaylar ve Çarpım Kuralı); Koşullu Olasılı; Orta ve Marjnal Olasılılar; Bayes Teorem; Permütasyon ve Kombnasyon; Rassal Değşen Kavramı; Olasılı Fonsyonu; Olasılı Yoğunlu Fonsyonu; Rassal DeğşennBelenenDeğer ve Varyansı; Standart Rassal Değşen 1 14 Olasılı Dağılımları: Kesl Süresz Olasılı Dağılımlar (Bnom Dağılımı, Hpergeometr Dağılım, Posson Dağılımı, Kesl Ünform Dağılımı, Mültnomal Dağılım); Kessz Sürel Olasılı Dağılımları (Normal Dağılım, t dağılımı, ÜstelDağılım, Sürel Ünform Dağılımı). E Posta : [email protected] Ağ Adres : Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 4 yayınlanamaz ve depolanamaz.

3 1. HAFTA İstatstğn Tanımı, Önem ve Amacı Temel İstatst Kavramlar ve Tanımlar İstatst ve Blgsayar Ölçe Türler İstatst Araştırma Sürecnn Aşamaları Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 5 İstatstğn Tanımı,Amacı, Önem ve Temel Kavramlar 1. Günlü Dlde: Belrl br rtere göre toplanmış sayılar topluluğudur (ver anlamında).. Metodoloj Açıdan: Belrl amaçlar çn ver toplama, toplanan verler düzenleme, çözümleme ve yorumlama amacıyla gelştrlen ten ve yöntemler blmdr. Kısaca statst, verlerden blg üretme yolu olara da tanımlanablr. 3. Term Olara: Üçüncü olara statst, örnelem brm değerlernden hesaplanan sayısal değerler anlamında ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 6 yayınlanamaz ve depolanamaz. 3

4 İstatstğn Amacı Tanımsal Amacı: İlgl değşen baımından br olaya lşn verler toplama, toplanan verler düzenleme, çözümleme, serler, tablolar ve grafler yardımıyla sunmatır. Analt Amacı: Olasılı uramına dayanan yöntemlerle, anaütleden çelen örneten elde edlen blgler ullanara anaütle parametrelern tahmn etme veya anaütle parametreler le lgl ddaların doğru olup olmadılarını araştırmatır. Dğer br anlatımla, gözlenmş durumlardan gözlenmemş durumlar haında blg üretmetr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 7 Temel İstatst Tanımlar ve Kavramlar Ölçme:Sayıları elde etme sürecne ölçme adı verlr. Ver: Gözlem sonucunda elde edlen sayılardır. Ham Ver: Herhang br şlem görmemş verye ham ver adı verlmetedr. Brm:Anaütleyoluşturan ve sayısal olara nceleneblen varlılara brm adı verlr. Değşen, Ntel ve Ncel Değşenler. Ntel ve ncel değşenlern özelller. Ölçülemeyen ve sayılamayan ntel değşenlern sınıfları tamdır (geçşl değldr), bu değşenler genellle bnom, Hpergeometr, Posson veya Mültnomal gb esl olasılıdağılımlarından brsne uyarlar. Kesl (süresz) ve essz (sürel) değşenler. Ölçüleblen ve sayılablen ncel değşenler de sınıflar süreldr (geçşldr) ve bu değşenler genellle normal dağılımgbsürelolasılı dağılımlarından brsne uyarlar. Anaütle: Belrl br tanıma uyan ve haında blglern üretleceğ, çıarsamaların yapılacağı aynı cns brmlerden, dğer br anlatımla nesnelerden, olaylardan, urumlardan ve breylerden oluşan toplulutur. Dğer br anlatımla yığın olay ntelğnde aynı cns brmlern oluşturduğu topluluğaanaütleadıverlmetedr. Örnelem ve Kısm Sayım Örneleme: Uygun olan örneleme yöntemleryle anaütleden belrl sayıda brmn seçlmes sürec olara tanımlanmatadır. Parametre ve İstatst: Anaütlenn özelllern belrleyen sayısal araterstlere parametre, örneğn özelllern belrleyen sayısal araterstlere se statst adı verlmetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 8 yayınlanamaz ve depolanamaz. 4

5 Ölçe Türlerne Göre Değşenler Metr Ölçel Olmayan Değşenler Nomnal (Sınıflayıcı) ölçel değşen Ordnal (Sıralayıcı) ölçel değşen Metr Ölçel Değşenler Aralı (Interval) ölçel değşen Oran (Rato) ölçe değşen Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 9 İstatst Araştırma Sürecnn Aşamaları (1) Araştırma problemnn tanımlanması: Braraştırma problem apsamında yer alan brmlern oluşturduğu toplulu olan anaütley şu ölçütlere göre tanımlama/sınırlandırma mümündür. (1) zaman ve meana, () örneleme brm ve/veya gözlem brm, (3) örneğe grece brm sayısı (örnelem hacm), (4) özell/değşen sayısı. () Verlern Toplanması: Ver toplama yöntemler (tamsayım ve örneleme); ver toplama araçları (gözlem, deney ve anet). (3) Verlern Düzenlenmes: Serler, grafler ve tablolar. (4) Verlere Uygun İstatst Tenlern Uygulanması (5) SonuçlarınYorumuveKararınAlınması Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 10 yayınlanamaz ve depolanamaz. 5

6 . HAFTA Verlern Düzenlenmes İstatst Serler Tablolar Grafler İstatstte Hata Kavramı. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 11 Verlern Düzenlenmes Brmlern sayım, ölçüm, sıralama ve sınıflamayla saptanan ntel ve ncel özelller ve bu özelllern şılarına göre dağılımını gösterme amacıyla yapılan düzenlemelere statstte serler adı verlmetedr. İstatst serlern bu özelllern türlerne göre üç grup altında toplama mümündür: (1) Zaman Serler () Kest (Mean, Konum) Serler (3) Dağılma Serler a) Ntel Serler b) Ncel Serler: Bast, Freans ve Sınıflandırılmış. c) Bleş Serler: Bast, Freans ve Sınıflandırılmış. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 1 yayınlanamaz ve depolanamaz. 6

7 Zaman Serler Değşenlern brmlernn daa, saat, gün, hafta, ay, mevsm ve yıl gbeşt zaman aralığına göre dağılımını gösteren serlerdr. Eonomde MG, hracat, thalat, toptan ve peraende fyatlarında değşmelerne at blgler öncelle zaman serler şelnde düzenlenr. Bunun neden bu blglern zaman bağılı olmaları ve zaman brm belrtlmedçe br anlam taşımamalarıdır. Örneğn Türye nn nüfusu denldğnde yıl belrtlmemmşse bu raam br anlam taşımazen 1990 yılı Türye nüfusudenldğnde anlam azanmatadır. İ sütundan oluşan zaman serlernde l sütun zaman brm, nc sütun da değşene at değer göstermetedr. Örne: SayımYıllarına Göre Türye Nüfusu Sayım Yılları Nüfus Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 13 Mean ( Kest, Konum) Serler Brmlern veya özelllernn ıta, üle, bölge, l, lçe, öy ve mahalle gb yerleşm brmlerne göre dağılımını gösteren serlere est veya mean serler adı verlmetedr. Örne: 1990 Yılı Türye Nüfusunun Coğraf Bölgelere Göre Dağılımı Coğraf Bölge Nüfus Marmara Ege İç Anadolu Adenz Karadenz Doğu Anadolu Güneydoğu Anadolu Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 14 yayınlanamaz ve depolanamaz. 7

8 Ntel Serler Sayılarla fade edlemeyen (sözel) özelllern gösterldğ serlerdr. Bu serler de sütundan oluşmatadır. İl sütun lgl ntel özellğn şılarını, nc sütun se bu şılara at brmlern sayısını göstermetedr. Örne: Türye nüfusunun cnsyet, meden durum, ouryazarlı durumu, dn, coğraf bölge vs. göre dağılımları. Örne: 1990 Yılında Türye Nüfusunun Cnsyete Göre Dağılımı Cnsyet Nüfus Ere Kadın Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 15 Ncel Serler Sayım ve ölçümler sonucunda elde edlen adet, uzunlu, alan, hacm, ağırlı, para brm, sıcalı gb çeştl ölçü brmleryle (adet, cm, cm,dm 3,g,TL,c 0 ) fade edleblen özelller çn ncel serler düzenlenmetedr. Ncel serler üç farlı şelde düzenlenmetedr. Bast Serler Freans Serler Sınıflandırılmış Serler Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 16 yayınlanamaz ve depolanamaz. 8

9 Bast Serler Sernn brm değerlernn büyülü sırasına göre (üçüten büyüğe veya büyüten üçüğe) sıralanmasıyla elde edlen ve değşenn dağılımını gösteren serlerdr. Örne: Aşağıda br sınıfta 0 öğrencnn statst dersnden aldıları notları bast ser olara düzenleynz. (5, 30, 65, 3, 30, 45, 60, 65, 30, 45, 60, 3, 80, 80, 45, 50, 55, 50, 55, 5). Çözüm: X =(5, 5, 30, 30, 30, 3, 3, 45, 45, 45, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 65, 65, 80, 80). Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 17 Freans Serler Genellle esl ve şı sayısı fazla olmayan değşenlern düzenlenmesnde ullanılan ser tpdr. Bu serler sütundan oluşmatadır. Brnc sütun fazla olmayan şısayısını, nc sütun se şıların freanslarını göstermetedr. Örne: Br önce örnete verlen bast sery freans sers olara düzenleynz: Not Freans (f ) Toplam 0 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 18 yayınlanamaz ve depolanamaz. 9

10 Sınıflandırılmış Serler Değşenlern gözlenen brmler sınıflandırılara elde edlen serlere sınıflandırılmış serler adı verlmetedr. Sürel ve ço şılı esl değşenlern dağılımını göstereblen bu serler de sütundan oluşmatadır: Sınıflar ve freanslar. Örne: 0 Öğrencnn Not Gruplarına Göre Dağılımı Not Sınıfı Öğrenc Sayısı (f ) Toplam 0 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 19 Sınıflandırılmış Freans Serleryle İlgl Üzernde Durulması Gereen Hususlar: Sınıflandırılmış serlerde sınıf aralılarının eşt olmasına genellle özen gösterlmetedr. Faat bazı durumlarda eşt olamayan sınıf aralıları da oluşturma gereeblr. Örneğn not dağılımı sers, onar veya yrmşer not aralılı sınıflarla düzenlenebleceğ gb, geçmez, orta, y ve pey alan öğrencler gösterece şelde de düzenleneblr. Sınıfsayısının 15 den fazla olmamasına özen gösterlr. Sernn en büyü değernden en üçü değer çıartılara (R=X enb X mn ) elde edlen değer (değşm aralığı) stenen sınıf sayısına () bölünere sınıfaralığı (c) belrlenr. Sturges Kuralı: =1+3,3 LG10(n). Örne: n=100 se; Sturges uralına göre sınıf sayısı ()=1+3,3*=7,6 = 8 dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 0 yayınlanamaz ve depolanamaz. 10

11 Örne: Br şletmede çalışanların yaşları aşağıda bast br ser şelnde verlmetedr. Sınıf sayısı beş olaca şelde sınıflandırılmış freans sersn oluşturunuz. Yaş={ }. Çözüm: R=X enb X en =55 16=39 c=r/=39/5=8 Sınıflar f Toplam 4 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 1 Sınıflandırılmış Freans Serleryle İlgl Üzernde Durulması Gereen Hususlar: Sınıflar esnlle brbrnden ayrılması geremetedr. Brmlern hang sınıfta yer alacağı olayca görüleblmeldr. Dğer br anlatımla br sınıfın, sınıf üstdeğer br sonra sınıfınsınıfaltsınıf değeryle aynı olmamalıdır. Sürel değşenler blndğ gb esrl ve tamsayı her türlü değer alablmetedr. Bu nedenle aşağıda sınıflandırılmış serde sınıf sınırlarını belrleme zor olablr. Sınıflar f Toplam 14 19,5=!..? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları yayınlanamaz ve depolanamaz. 11

12 Bu nedenle sürel değşenlern sınıf aralıları aşağıda gb belrlenmes geremetedr. Sınıflandırılmış br serde br sınıfın sınıf üstdeğer br sonra sınıfın sınıf alt değer se, o değşen sürel br değşen olara yorumlanır. Sınıflar f Sınıflar f 10 0 den az den az den az Toplam 10 Toplam 10 Kesl değşenlerde se sürel değşenlerde yaşanan zorlularla arşılaşılmaz. Sınıflar 10 0 f Toplam 10 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 3 Sürel (essz) ve esl (süresz) değşenlern sınıf aralıları aşağıda gb hesaplanablr: Sürel Değşenler Kesl Değşenler Sınıflar Sınıf Aralığı Sınıflar Sınıf Aralığı den az 40 30= = den az 50 40= = den az 60 50= = den az 70 60= =3 Toplam... Toplam... Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 4 yayınlanamaz ve depolanamaz. 1

13 Sınıflandırılmış Serlerde SınıfOrtaDeğernn Hesaplanması Sürel Değşenler Kesl Değşenler Sınıflar SOD Sınıflar SOD (40+30)/= (3+5)/= (50+40)/= (6+8)/= (60+50)/= (9+11)/= (70+60)/= (1+14)/=13 Toplam... Toplam... Sürel değşenlern SOD, br sınıfınaltsınıfdeğerle br sonra sınıfınaltsınıfdeğer toplamınınyarısına eşttr. Süresz değşenlern SOD, br sınıfın altsınıf değer le o sınıfın üstsınıf değer toplamınınyarısına eşttr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 5 Sınıflandırılmış freans serler brml ve oransal (nsp, görecel ) freans serler olma üzere farlı şelde düzenleneblr. Sınıflar f Oransal f Azalan Brml Oransal Freanslar Sınıflar f den ço (SAD) den az (SÜD) Toplam 0 0,15 0,0 0,35 0,0 0,10 1,00 (0/0) 0,85 (17/0) 0,65 (13/0) 0,30 (6/0) 0,10 (/0) Artan Brml Oransal Freanslar 0,15 (3/0) 0,35 (7/0) 0,70 (14/0) 0,90 (18/0) 1,00 (0/0) Toplam 0 1, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 6 yayınlanamaz ve depolanamaz. 13

14 Bleş Serler Tanım: Brmlern veya daha ço sayıda değşene göre dağılımını gösteren serlere bleş sers adı verlmetedr. Bleş serlere öğrenclern boy uzunluğu leağırlılarına göre dağılımını veya matemat, statst ve muhasebe derslernden almış olduları notlara göre dağılımını gösteren serler örne olara verleblr. Bleş serler bast, freans ve bleş ser olma üzere üç farlı şelnde düzenleneblr. Bast bleş sers düzenlenren l sernn bast ser şelnde düzenlenmesne dat edlr. Aşağıda sınıflandırılmış brbleş sers örneğ yer almatadır. Matemat İstatst Notu Notu Toplam Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 7 Tablolar Brmlern brden fazla ntel ve ncel özelllernn şılarına göre dağılımını gösteren satırve sütunlardan oluşan düzenlemelere statstte tablo adı verlmetedr. Tablolar br anlamda genşletlmş serlerdr. Tablolar aşağıda özelller taşıması geremetedr. Tablonun üstünde genel br başlıolmalıdır. Satır ve sütun başlıları olmalıdır. Ölçü brm ve yapılan ısaltmalar tablo altında belrtlmeldr. A4 ağıdı dey olara yönlendrlmşse, şı sayısı az olan özell sütunlarda ço olan se satırlarda gösterlmeldr. Özelllern şıları ntel değşenlerde mantı, ncel değşenlerde üçüten büyüğe doğru sıralama yoluyla verlmeldr. Satır ve sütun genel toplamlarının gösterlmes zorunludur. Geretğnde ara toplamlara da yer verlr. Tablo değerler belrl br yayından alınmışsa tablonun sonunda Kayna: bares yazılara urum adı,yayın adı,yayın yer, tarh ve sayfa numarası belrtlr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 8 yayınlanamaz ve depolanamaz. 14

15 Tablo 1: 1990 Yılında Türye de Ouryazarlı ve Oul Btrme Durumunun Cnsyete Göre Dağılımı Cnsyet Ouryazarlı Ouryazar olmayan Ouryazar olan Oul btren Oul btrmeyen Blnmeyen Blnmeyen Ere Kadın Toplam Toplam Kayna: TÜİK, 1990 Türye Genel Nüfus Sayımı Sonuçları, TÜİK, Anara, s. 67. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 9 Verlern Graflerle Gösterlmes Ham verler brmlern özelllerne uygun serler ve tablolarla düzenlendten sonra verlern şellerle gösterlmes aşaması olan graflern çzm aşamasına gelnmetedr. Toplanan verlern geometr şellerle göstermne graf adı verlmetedr. Grafler tablolardan daha fazla blg vermezler faat göze htap ettler çn anlaşılmaları daha olaydır. Ayrıca brden ço olayın arşılaştırılması ve aralarında lşlern gösterlmesnde yardımcı olurlar. Br grafte sadel ve verlern özelllernn yansıtılması esastır. Bunun çn verlern yapısına uygun br graf türünün seçm önem taşımatadır. Graf çzmnden amaç brmlern lgl özelllern şılara göre dağılımı gösteren serlerde açı olara görülmeyen ayrıntıların belrgnleştrlmesdr. Örneğn br zaman sers, değşenn yıllara göre artış eğlmnde olduğunu gösterr anca graf çzldğnde hem bu eğlm hem de bu eğlm artış hızı daha açıça görüleblmetedr. Ser tpne göre grafler beş grup altında toplanablr: Zaman, mean, ntel, ncel le bleş serlern graflerdr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 30 yayınlanamaz ve depolanamaz. 15

16 Zaman Serlernn Grafler Zaman serlernn gösterlmesnde sılıla ullanılan graf Artmet veya Logartm Kartezyen Grafler dr. X esennde zaman fatörü, Y esennde se brmlern çeştl özelller yan değşenler yer almatadır. En büyü değerle en üçü değer arasında far aynı esen üzernde gösterlemedğnde Y esen üzernde değşenn değerler logartm olara fade edlr. Zaman brmn gösteren esen artmet alacağı çn çzlece graf yarı logartm olur. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 31 Graf 1: Sayım Yıllarına Göre Türye Nüfusu Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 3 yayınlanamaz ve depolanamaz. 16

17 Yıllar GSMH (Mlyon TL) LG10 (GSMH) Örneğn car fyatlarla GSMH artmet ,5788 5,804 6,048 6,3004 6,5897 6,8951 7,1755 7,468 7,744 ölçel grafle gösterlmes mümün değldr değerler arasında büyü farlılı Y esennde ölçeğn logartm olmasını geretrmetedr. 8 LOG(GSMH) YIL Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 33 Ntel ve Mean (Kest) Serlern Grafler Ntel serlern grafler bölünmüş dare, bölünmüş dareler veya sütun grafler le gösterlr. Bu graflerde dare veya sütunların alanı toplama; büyülüler le orantılı olara belrlenen dare ve sütun bölümler se, ntel özellğ şılarına ayırmatadır. Grafğ çzlmes gereen te ser varsa bölünmüş dare, ser sayısı az se (en fazla 3) bölünmüş dareler, daha fazla se bölünmüş sütunlar ullanılmatadır. Bunun neden ço sayıda darenn br araya getrlmesnn sütunların getrlmesnden daha zor olmasıdır. Bölünmüş dare graflernde brm veya değer toplamını gösteren darenn alanını çzeblme çn gerel olan yarıçap(r),alan(s)formülüs= r den hareetle r=(s/ ) 1/ hesaplanır. Dare çzldten sonra her ısma, toplam çnde freans ağırlılarıyla orantılı olara dağıtılmatadır. Son olara farlı taramalarla lgl şılar belrgnleştrlr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 34 yayınlanamaz ve depolanamaz. 17

18 Brden fazla dare çzlmes geretğnde, toplamlar arasında büyülü farlarının darelern alanlarına yansıtılmasına özen gösterlr. Bölge Nüfus Bölgesel Açı Marmara İç Anadolu Karadenz Ege Adenz D.Anadolu GD.Anadolu (0,354)=84, (0,1761)=63, (0,1436)=51, (0,1345)=48, (0,144)=44, (0,1036)=37, (0,084)=9,66 0 Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 35 Graf 1: 1990 Türye Nüfusunun Coğraf Bölgelere Göre Dağılımı Nüfus Ege 14% Karadenz 14% Adenz 1% İç Anadolu 18% D. Anadolu 10% GD. Anadolu 8% Marmara 4% Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 36 yayınlanamaz ve depolanamaz. 18

19 Graf : Sayım Yıllarına ve Meden Duruma Göre Türye Nüfusu Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 37 Ncel Serlern Grafler Bast Serler: Bu serler çn özel gelştrlmş graf türü yo. Freans Serler: Kartezyen graflerle gösterlr. Yatay esende ncel özelllern şılarına, dey esende se bu brmlern sayısını gösteren freanslara yer verlmetedr. Sınıflandırılmış Serler: Bu serlern grafler anca artezyen graflerle anca sütunlar ullanılara gösterleblr. Hstogram adı verlen bu graflerde sütunların alanı (yüselğ değl) freansları göstermetedr. Sınıf aralıları eşt olan sınıflandırılmış serlerde sütun alanı le yüselğ (freansı) aynı anlamı taşımatadır. Sınıf aralıları eşt olamayan sınıflandırılmış serlern hstogramı çzlren normal freanslar yerne düzeltlmş freanslar ullanılır. Düzeltlmş freanslar (f ), normal sınıf freansları (f) lgl sınıf aralığına (c) bölünere hesaplanır. Freans polgonu ve freans eğrs. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 38 yayınlanamaz ve depolanamaz. 19

20 Graf 3: Türye de Çocu Sayısına Göre Kadın Nüfus Dağılımı Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 39 Örne: Aşağıda Verlen Sınıflandırılmış Freans Sersnn Hstogramını Çznz. Sınıflar f X =SOD Toplam 0 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 40 yayınlanamaz ve depolanamaz. 0

21 Hstogram ve Freans Polgonu Örneğ (Gerçe Freanslar) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 41 Bast Br Bleş Sernn Grafğ: Serplme Dyagramı Öğrenc Notlar Devam (%) A B C D E F G H J K İstatst N otu Devam Oranı R-Square = 0.99 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 4 yayınlanamaz ve depolanamaz. 1

22 Serlern Eğllerne Göre Graflerde Şeller f Sağa Eğ Smetr Sola Eğ 0 x Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 43 Serlern Yüsellerne Göre Graflerde Şeller f Svr Normal Bası 0 X Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 44 yayınlanamaz ve depolanamaz.

23 Dğer Bazı Freans Eğrler f U Eğrs J Eğrs Ters J Eğrs 0 x Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 45 İstatst Tenlern Uygulanması Uygun statst tenğn seçm Verlern türler (ntel, ncel) ve ölçeler (nomnal, ordnal, aralı ve oran)date alınara en uygun statst ten seçlr. Parametr ve parametr olmayan statst yöntem ve tenler. Örne veya anaütlenn tanımlanması:tanımsal statst. Örne verlernden hareetle anaütle parametreler haında ddalarınsınanması: Hpotez testler Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 46 yayınlanamaz ve depolanamaz. 3

24 Değşenler arası lş yapısının ncelenmes: Regresyon ve orelasyon analz. Tahmn ve öngörü: Zaman serler analz ve tahmn tenler. Olasılı teorsne dayanan arar verme tenler Sınıflandırma ve ümeleme: Regresyon, dsrmnant, ümeleme, lojst regresyon ve ço boyutlu ölçeleme tenler. Değşenler arasında ç lşlern ncelenmes, sınanması ve boyut ndrgeme: Açılayıcı fatör analz ve anıtlayıcı fatör analz ve ço boyutlu ölçeleme analz. Üretm süreçlernn denetlenmes: İstatst proses ontrol tenler gb ço genş br yelpazeden uygun olan br yöntem veya ten seçlr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 47 SonuçlarınYorumuveProblemeİlşn KararınAlınması Elde edlen bulgular değerlendrlere araların alınması, planlamanın yapılması veya poltaların belrlenmes. Sonuçlar ya blmsel br maale olara veya arar verme düzeynde olan yönetclere rapor edlr. Maale veya raporlarda: (1) Mevcut durum tanımsal statst ölçülerle tanımlanır. () Değşme oranları belrlenr. (3) Geleceğe yönel öngörü yapılablr. (4) Polta gelştrmede öneml olan değşenler saptanır. (5) Böylece blmsel araştırmalarla her alanda gelşmeler sağlanmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 48 yayınlanamaz ve depolanamaz. 4

25 İstatstte Hata Kavramı Uygun statst tenlern ullanılmaması, ölçüm araçlarının bozuluğu, nsanların yorgunlu, datszl ve çeştl nedenlerle yanlı davranması sonucu çeştl hatalar ortaya çımatadır (Orhunblge, 000). Bu hatalar şunlardır: Bast hatalar (brbrnn etsn ortadan aldıran hatalar); sstemat hatalar (brbrnn etsn ortadan aldırmayan hatalar); rassal hatalar (örneleme yöntemyle yapılan araştırmalarda arşılaşılır); tahmn hataları (fl değer tahmn değer= enüçü olmalıdır). Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 49 Bast Hatalar: cnsyetn ve bazı raamların (73yern 37 gb) yanlış odlanması. Rassal Hatalar: Üç brmden oluşan br anaütley ele alalım: 10, 0 ve 30. Anaütle ortalamasını tahmn etme çn anaütleden brmden oluşan br örnelemn çeldğn düşünelm. Bu durumda olası çem ve tahmnler aşağıda gb olur. 1. Örne: (10+0)/ =15 Hata=15 0= 5. Örne: (10+30)/ =0 Hata=0 0=0 3. Örne: (0+30)/ =5 Hata=5 0=+5 Rassal (örneleme) hatalarının belenen değer her zaman sıfırdır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 50 yayınlanamaz ve depolanamaz. 5

26 Sstemat Hatalar: Kıdem, eğtm düzey, yaş ve ücret utanma nedenyle olduğundan yüse veya düşü bldrlmes. Soruların açı olmaması. Bu hatalar hep poztf veya negatf yönde etl olurlar. Sstemat hatalar çeren tahmnlere statstte yanlı tahmnler adı verlmetedr. Sstemat hatalar; (1) brmlern belrlenmes aşamasında (blere veya blmeyere anaütlede bazı brmlern apsam dışında tutulması); () soruların düzenlenmes aşamasında; (3) değerlern saptanması ve hesaplanması aşamasında (ölçümde ullanılan araçların bozuolması vs.) ve (4) statst tenlern ullanılması aşamasında ortaya çımatadırlar. Tahmn hataları statst yöntem ve tenlerle elde edlen değerlerle fl değerler arasında farlardır. En uygun ten seçlere bu hatalar en aza ndrgenr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları HAFTA Tanımsal İstatst Ölçüler Merez Eğlm Ölçüler: Duyarlı (Parametr) Ortalamalar Artmet Ortalama Artmet Ortalama ve Özelller Tartılı (Ağırlılı) Artmet Ortalama Tartılı Artmet Ortalamanın Kullanıldığı Durumlar Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 5 yayınlanamaz ve depolanamaz. 6

27 TANIMSAL İSTATİSTİK ÖLÇÜLERİ (1) Merez Eğlm Ölçüler (Ortalamalar) () Değşenl (Dağılma) Ölçüler (3) Eğl ve Basılı Ölçüler (4) Oranlar Bu bölümde ayrıntılı olara ele alınaca olan bu ölçüler sayesnde, serler, tp br değerle (ortalama) tanımlandığı gb serde brmlern dğer brmlerden ne adar farlı olduğu (değşenl), brmlern hang değerlerde toplandığı (eğl) ve toplanmanınyoğunluğu (basılı) saptanablmetedr. Elde edlen bu dört ölçü ve oranlarla brmlern çeştl özelllerne at ço sayıda ver özetlenebldğ gb serler arşılaştırılablmete ve ler statst tenlern uygulanması çn ön hazırlıyapılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 53 Merez Eğlm Ölçüler (Ortalamalar) 1. Duyarlı (Serde Tüm Brmlern Değerlerne Dayanan) Ortalamalar. Artmet ortalama Tartılı Artmet Ortalama Geometr Ortalama Harmon Ortalama Karel Ortalama. Duyarlı Olmayan (Serde Tüm Brmlern Değerlerne Dayanmayan) Ortalamalar. Mod (Tepe Değer) Medyan (Ortanca) Bölenler (Medyan, Kartller, Desller ve Persantller) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 54 yayınlanamaz ve depolanamaz. 7

28 Artmet Ortalama ve Özelller X n 1 n 1 1 X n 1) ( X X) 0 1 n ) ( X X) mnmum 1 3)Sapan brmlern ets: Özellle te yönlü sapan brmlerden olumsuz br şelde etlenr. 4) nx X n 1 X f X f Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 55 Artmet Ortalamanın Özelller (Devam) 5) Artmet ortalama dağılımı normal olan değşenler çn uygun br merez eğlm ölçüsüdür. 6) Serde tüm brmlern değerlerne dayanara hesaplanmatadır. Bu nedenle duyarlı br ortalamadır. 7) Br X sersnn tüm brmlerne a gb sabt br sayı elenere veya çıartılara elde edlen yen Y sersnn artmet ortalaması, l sernn artmet ortalamasına aynı sayınınelenmesveyaçıartılmasıyla elde edlr. Y X a Y X a veya Y X a Y X a Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 56 yayınlanamaz ve depolanamaz. 8

29 Artmet Ortalamanın Özelller (Devam) 8) Br X sersnn tüm brmlerne a gb sabt br sayı le çarpılması veya bölünmes sonucu elde edlen yen Y sersnn artmet ortalaması, l sernn artmet ortalamasınınaynı sayı le çarpımına veya bölümüne eşttr. Y X. a Y X. a veya Y X a Y X a 8) Artmet ortalamada sernn tüm brm değerlerne eşt ağırlılar verlmetedr. 9) Duyarlı br ortalama olduğundan açı sınıflı serlerde uygulanamaz. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 57 Örne 1: {,, 4, 4, 4, 5, 5, 6} brmlernden oluşan br anaütlenn ortalamasını hesaplayınız (Bast artmet ortalama). Daha sonra bu anaütleden çelen üç brml {4, 5, 6} br örneğn ortalamasını hesaplayınız. Çözüm: X N n N X X n 5 4 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 58 yayınlanamaz ve depolanamaz. 9

30 Örne : Aşağıda verlen sernn artmet ortalamasını hesaplayınız. X f f X Toplam 8 6 X fx 1 6 3, 5 8 f 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 59 Örne 3: Aşağıda Sınıflandırılmış Sernn Artmet Ortalamasını Hesaplayınız? Sınıflar f X f X Toplam X f X / f 460 / Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 60 yayınlanamaz ve depolanamaz. 30

31 Tartılı (Ağırlılı) Artmet Ortalama ve Kullanıldığı Durumlar Oranların veya ortalamaların ortalamasının hesaplanmasında tartılı artmet ortalama ullanılır. Bu durumda ağırlılar belldr. Her ortalama ve oranın paydasında brm sayısı lgl ağırlılar olara ullanılmatadır. Brm değerler arasında önem farı söz onusu olduğunda bu farı yansıtaca br ağırlı seçlere tartılı artmet ortalama hesaplanır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 61 Bast, Freans ve Sınıflandırılmış Serlerde Kullanılan Formüller X t n tx 1 1 X n t t 1 1 f tx f t Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 6 yayınlanamaz ve depolanamaz. 31

32 Örne 1: Br faültenn dört şubeden oluşan sınıfında matemat ders not ortalaması ve başarı oranı saptanacatır. Sınava gren öğrenc sayıları, şubelern not ortalamaları ve başarı oranları aşağıda gösterlmetedr (Orhunblge, 000:80 81). Şube Öğrenc Sayısı Matemat Not Ortalaması Matemat Başarı Oranı I II III IV ,8 0,4 0,74 0,50 Toplam 00 06,48 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 63 Çözüm: Dört şubeden oluşan sınıfın matemat ders not ortalaması ve başarı oranı aşağıda hesaplanmatadır (OrtalamalarınveOranların Ortalaması). X t tx 1 (4060) (5046) (3054) (8046) t 1 X t (400,8) (500,4) (300,74) (800,50) 0,58 00 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 64 yayınlanamaz ve depolanamaz. 3

33 Örne: Br öğrencnn. sınıfta 7 dersten aldığı notlar ve ders saatler aşağıda verlmetedr. Öğrencnn. sınıf not ortalamasını hesaplayınız (Orhunblge, 000:81)? Dersler Notlar (X ) Ders Saat (t ) t X İstatst Matemat İtsat İşletme Huu Blg şlem Fnans Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 65 Çözüm: Öğrencnn. sınıf Tartılı Artmet Not Ortalaması aşağıda hesaplanmatadır. X t tx t 1 75 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 66 yayınlanamaz ve depolanamaz. 33

34 Örne 1: Aşağıda verlen bast sernn ağırlılı ve ağırlısız artmet ortalamasını hesaplayınız (Yama vd., 006:6). X t X t X 0 / 4 5 X t 46 / 10 4,6 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 67 Örne : Br malın ortalama satış fyatını belrleme çn 15 satış notasından alınan satış fyatları ve günlü satış mtarları aşağıda gbdr. Satış mtarlarını tartı alara, malın ağırlılı ortalama satış fyatını hesaplayınız (Yama vd., 006:7)? Fyatlar Satış Notası Sayısı Satış Mtarları Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 68 yayınlanamaz ve depolanamaz. 34

35 Çözüm: X f t f t X f t Toplam X t ftx ,74 n.949 ft 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 69 Örne 3: Br endüstr dalında faalyet gösteren 5 şletmenn apasteler le ortalama brm malyetler aşağıda verlmştr. Bu endüstr dalında ortalama brm malyet hesaplayınız (Yama vd., 006:8)? Kapaste İşletme Sayısı Ortalama Brm Malyet Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 70 yayınlanamaz ve depolanamaz. 35

36 Çözüm: Not: Ortalama malyet stendğnden bast artmet ortalamadan yararlanma doğru olmaz. Çünü, şletmelern apasteler brbrnden farlı olduğugb apaste le ortalama brm malyet arasında ters yönlü br lş olduğu açıça gözlenmetedr. Bu durumda apaste tartı olara alınmalıdır. Buna göre, apasteler sınıflandırılmış br ser şelnde olduğundan sınıf orta değern tartı olara aldığımızda, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 71 Kapaste (t ) İşletme Sayısı (f ) OBM (X ) f t f t X Toplam X t ftx , ft 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 7 yayınlanamaz ve depolanamaz. 36

37 4. HAFTA Duyarlı Merez Eğlm Ölçüler/Duyarlı Ortalamalar Geometr Ortalama Geometr Ortalamanın Özelller ve Kullanıldığı Yerler Harmon Ortalama Harmon Ortalamanın Özelller ve Kullanıldığı Yerler Karel Ortalama Karel Ortalamanın Özelller ve Kullanıldığı Yerler Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 73 Geometr Ortalama (G) Geometr dz özellğ taşıyan serlere uygun olan geometr ortalama, sabt oranlarda değşm gösteren, bleş faze göre faze yatırılmış para, bu eğlme uyan nüfus ve mll gelr gb değşenlern ortalaması ve değşm oranları ortalaması hesaplanıren ullanılmatadır. Br serde brm değerler arasında mutla olara büyü farlar bulunması durumunda geometr ortalama uygun olan merez eğlm ölçüsüdür. Dğer br anlatımla eğ (çarpı) serler çn geometr ortalama en uygun olan duyarlı (parametr) ortalamadır. Örne: Br şletmenn A malında satış artışı yüzdes brnc yılda %110 ve nc yılda %150 olsun. Bu sernn bastartmetortalaması %130, geometr ortalaması se %18,5 dr. n f n n f f f G X X Xn X G X1. X... X 1 n 1 1 LG10( G) LG10 X LG10( G) f LG10( X ) n 1 1 f 1 n LG10( Pt n) LG10( Pt) Pt n Pt(1 r) LG10(1 r) n Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 74 yayınlanamaz ve depolanamaz. 37

38 Örne:, 4, 8, 16, 3 sersnn geometr ortalamasını hesaplayınız. n G n X veya 1 LG10( G) ( Log L og 4 L og 8 L og16 L og 3) 0, ,903 G AntLog(0,903) 10 7, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 75 Örne: Aşağıda freans sersnn geometr ortalamasını hesaplayınız. X f LG10X f LG10X ,301 0,477 0,60 0,699 0,778 0,903 3,340 1,806 3,495 1,556 Toplam 0 11,100 11,100 LG10G flg10 X / f 0, ,555 G AntLog(0,555) 10 3,6 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 76 yayınlanamaz ve depolanamaz. 38

39 Örne: Aşağıda ser çn geometr ortalamayı hesaplayınız. Sınıflar f X LG10X f LG10X ,477 0,699 0,845 0, ,157 8,388 6,761 4,771 Toplam 50 7,076 7, 076 LG10( G) 0, ,54 G AntLog(0,54) 10 3,5 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 77 Örne: Ortalama nüfus artış oranı %,5 olan nüfuslu br lçede gelece üç yıl çn nüfusu hesaplayınız P P (1 r) (1 0, 05) 1050 P P (1 r) (1 0, 05) P P (1 r) (1 0, 05) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 78 yayınlanamaz ve depolanamaz. 39

40 Örne: Br lçenn nüfusu dur. İlçenn ortalama nüfus artış oranı %,5 olduğuna göre 3 yıl önce nüfusunu hesaplayınız? P(1 0, 05) P Örne: Br lçenn nüfusu dr. Üç yıl sonra nüfusu se olduğuna göre ortalamanüfus artış oranı açtır? (1 r) 3 (1 r) / , r 1, , 05 r %,5 dr. 3 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 79 Örne: Br lçenn 000 yılı nüfusu ve 005 yılı nüfusu olduğuna göre 00 yılı nüfusu ne adardır? P P n5 ve P? P P (1 r) (1 r) (1 ) / ,104 5 (1 ) 1,104 1,0199 % r 0,0199 P 00 r r (1 0,0199) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 80 yayınlanamaz ve depolanamaz. 40

41 Örne: 50 maddenn 004 yılına göre 008 yılında fyat değşmeler aşağıda yüzde olara verlmetedr. Bu maddelern 004 e oranla 008 de fyatlarında ortalama artışı hesaplayınız (Orhunblge, 000)? Fyat Değşmeler (X ) Maddeler (f ) LG10X f LG10X ,000,079,146,04,55 40,000 4,950 17,169 13,5 9, , ,365,087 LG10( G) 10,087 (,087) 10 1,3 f LG X G AntLog 50 f yılına oranla 008 yılında bu maddelern fyatlarında ortalama %,3 lü br artış olmuştur. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 81 Örne: Br setörde 80 şletmenn 01 yılında büyüme hızlarına (yıllı ortalama atma değer değşmelerne) göre verlen dağılımlarından yararlanara setörde ortalama büyüme hızını belrleynz? Büyüme Hızı (X ) İşletme Sayısı (f ) X LG10X f LG10X ,9685 1,9956,01,0453,068, , , ,1695 6,589 14, ,9779 Toplam 80 16, ,5399,0317 LG( G) f LG10 X / f,0317 G AntLog, , Setörde 80 şletmenn 01 yılı ortalama büyüme hızı %7,58 dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 8 yayınlanamaz ve depolanamaz. 41

42 Geometr Ortalamanın(G) Özelller Serde tüm değerlerden etlenr. Bu nedenle duyarlı br ortalamadır. Sıfırveyanegatfdeğerlern bulunduğu serlere uygulanamaz. Serde görecel farların mutla farlardan öneml olması durumunda ullanılır. Özellle fyat, nüfus ve MG değşmlerne at oranların ortalamasında yaygın olara ullanılır. İşletme, eonom ve byoloj uygulamalarında yaygın olara ullanılmatadır. n 1 n n 1/ n LG10( X)/ n LN ( X)/ n 1 1 n G n X X G 10 G e 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 83 Harmon Ortalama (H) Tanım: Harmon ortalama; brm değerlernn tersler ortalamasının ters olara tanımlanmatadır. Harmon ortalama sabt ve değşen olan unsurların yer değştrmes sabt olanın değşen, değşen olanın sabt olması durumunda ullanılmatadır. Örneğn, belrl br mesafey (yol sabt) farlı hızlarda (h 1, h, h 3 gb; hız değşen) her gün gden üç ulaşım aracının ortalama hızı harmon ortalamayla hesaplanır. Ortalama hız, toplam yolu toplam zamana bölere bulunur. Harmon ortalama farlı brmler (deneyler) çn yol sabt ve hız değşen olduğunda uygun olmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 84 yayınlanamaz ve depolanamaz. 4

43 Harmon Ortalama (H) Formüller ve Özelller f f n 1 1 H H H n 1 f f X X X Serde tüm brm değerlernden etlenr. Bu yüzden duyarlı br ortalamadır. Sadece poztf değerl brmler çn uygulanablr. Cebrsel şlemlere elverşldr. Genellle vermll, hız, fyat şelnde ortaya çıan ve sabt/değşen olan unsurların yerdeğştrmes sabt olanın değşen, değşen olanın sabt olması gereyorsa H ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 85 Örne: Dört alenn TL cnsnden ödedler aylı ralarını gösteren aşağıda bast sernn harmon ortalamasını hesaplayınız. Kra={400, 450, 500, 600}. 4 H 476,8 TL/ Ay Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 86 yayınlanamaz ve depolanamaz. 43

44 Örne: Aşağıda verlen freans sersnn harmon ortalamasını hesaplayınız? X f f /X ,5 0,5 1 Toplam 0 8 Çözüm: H=0/8=,5. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 87 Örne: 30 alenn aylı telefon harcamalarını gösteren aşağıda sınıflandırılmış sernn harmon ortalamasını (H)hesaplayınız? Sınıflar f X f /X ,160 0,043 0,055 0,055 0,061 Toplam 30 0, H 0,374 80,1 TL/Ay Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 88 yayınlanamaz ve depolanamaz. 44

45 Örne: Br fabrada üretm dört maneyle yapılmatadır. Bu manelern br mamul çn harcadıları sürelerden yararlanara br mamulün bu fabrada ortalama aç daada üretldğn hesaplayınız (Orhunblge, 000:88 89). Maneler Üretm Süres (d/parça) (X ) 1/X Saatte Üretlen Parça (t ) t X I II III IV,5,0 1,6 4,0 0,400 0,500 0,65 0,50 60/,5=4,0 60/,0=30,0 60/1,6=37,5 60/4,0=15, Toplam 10,1 1, ,5 40 n tx 4 40,5 1,6 4 H d p X d p d p 1, ,5 4 1, 54 / t, 54 / X,55 / n t 1 Dört manede br saatte ,5+15=106,5 parça üretlmetedr. Artmet ortalama ullanıldığında se (60*4)/,55=95 parça üretldğ görülmetedr. Bu se yanlış br sonuçtur. Çünü 60*4=40 d harmon ortalamayla bulunan süreye bölündüğünde (60*4)/,54=106,5 parça olan doğru sonuca ulaşılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 89 Örne: Br otobüs frması şehr arasında (600 m) 37 otobüsle seferler düzenlemetedr. Bu otobüslern hızlarına göre dağılımı aşağıda gösterlmetedr. Frma otobüslernn şehr arasında ortalama hızı açtır? Hız (m/h) X Otobüs Sayısı (f ) f /X İ İl Arası Süre (t ) t f t f X /60=0,050 6/75=0,080 10/80=0,15 18/90=0,00 600/60=10 600/75=8,0 600/80=7,5 600/90=6, Toplam 37 0, H 81,3 m/ h. X t 81,3 m/ h 0, Otobüslern şehr arasında ortalama hızları 81,3 m/h dr. Ağırlı olara,farlı hızları olan otobüslern şehr arasında 600 m l mesafey aldıları süre ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 90 yayınlanamaz ve depolanamaz. 45

46 Örne: Br büroda 10 seretern br sayfayı yazdıları süreye göre dağılımları aşağıda gbdr. Bu büroda br saatte ortalama aç sayfa yazılmatadır? Süre (d/sayfa)x Sereter Sayısı (f ) X f /X t t f f t X ,8000 0,857 0,3000 0, /5=1,00 60/7=8,57 60/10=6,00 60/14=4,9 48,00 17,14 18,00 4,9 40,00 119,98 180,00 60,06 Toplam 10 1, ,43 600, ,04 H 6,86 d / Sayfa. Xt 6,86 d / Sayfa. 1,457 87,43 Büroda br saatte br sayfa ortalama 6,86 daada yazılmatadır. Deme br saatte ortalama: (60*10)/6,86=87,4 sayfa yazılablmetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 91 Karel Ortalama (K) Negatf değerler çeren ve özellle bu nedenle toplamı sıfır olduğu çn dğer ortalamalar ullanılamadığında bu tür serler çn arel ortalama hesaplanmatadır. Brm değerlernn arelernn artmet ortalamasının areöüalınara hesaplanan bu ortalama artmet ortalamadan farların ortalaması olan ve brço statst tenğne temel oluşturan standart sapmanın hesaplanmasında ullanılmatadır. Serde en az br negatf brm bulunması durumunda geometr ve harmon ortalamanın hesaplanması mümün olmadığından arel ortalamanın hesaplanması geremetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 9 yayınlanamaz ve depolanamaz. 46

47 Karel Ortalama (Devam) n X fx fx K K K n f 1 1 f Karel ortalama, en yaygın olara artmet ortalamadan farların ortalamasının saptanmasında ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 93 Örne: Br şletmenn beş fabrasında üretm değerler aşağıda verlmetedr. Bu şletmenn fabralarında ortalama üretm hesapladıtan sonra her fabranın üretmnn artmet ortalamasından ortalama olara ne adar farlı olduğunu hesaplayınız. Fabralar Üretm (Bn Ton) X X X = 3 4= 1 4 4= 0 5 4= 1 6 4= Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 94 yayınlanamaz ve depolanamaz. 47

48 Çözüm: X X 0 X 10 4 K 1,414 n 5 n 5 Her fabranın üretm, fabraların ortalama üretm olan 4000 tondan, ortalama olara 1414 ton (1,414 bn ton) farlılı göstermetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 95 Örne: Aşağıda sernn arel ortalamasını hesaplayınız. Sınıflar f X X f X Toplam K fx ,03 38 f 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 96 yayınlanamaz ve depolanamaz. 48

49 5. HAFTA Duyarlı Olmayan Merez Eğlm Ölçüler Ortalamalar Tepe Değer (Mod) Tepe Değernn Özelller ve Kullanıldığı Yerler Ortanca/Medyan Ortancanın Özelller ve Kullanıldığı Yerler Bölenler: Kartller, Desller ve Persantller Uygun Ortalama Tpnn Seçm Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 97 Mod (Tepe Değer) Tanım: Herhang br serde freansı en büyü olan, dğer br anlatımla en ço terarlanan (gözlenen) brm olara tanımlanmatadır. Dğer br anlatımla masmum freanstan yararlanara hesaplanan ortalamaya tepe değer adı verlmetedr. Örne: Altı öğrencnn boylarından oluşan sernn tepe değern hesaplayınız: Boy={135, 150, 150, 150, 169, 171}. Çözüm: Mod = 150 dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 98 yayınlanamaz ve depolanamaz. 49

50 Örne: 30 şnn çalıştığı br şyernde şçlern çalıştığı sürelere göre dağılımını gösteren aşağıda sernn modunu hesaplayınız? Çalışma Süres (Yıl) İşç Sayısı (f ) Çözüm: Serde en ço terarlanan brm 10 olduğundan, Mod = 10 yıldır Toplam 30 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 99 Sınıflandırılmış Serlerde Tepe Değernn Hesaplanması Ser sınıflandırılmış se, masmum freans br brme değl, br sınıfa arşılı gelecetr. Bu sınıfa mod sınıfı adı verlmetedr. Mod sınıfı belrlendten sonra, modun yalaşıolara hesaplanmasında ullanılaca formül aşağıda verlmetedr. d 1 Mod L c d1 d L: Mod sınıfınınsınıfaltdeğern, d 1 :Modsınıfınınfreansı le br önce sınıfınfreansı arasında farı, d :Modsınıfınınfreansı le br sonra sınıfınfreansı arasında farı, c: Mod sınıfınınaralığını göstermetedr. Modun Özelller: (1) Hesaplanması olaydır, () sapan brmlerden etlenmez, (3) özellle masmum freansın toplam freans çnde oranı yüse olan serlerde temsl gücü yüsetr, (4) sernn tüm brmlerne dayanmadığından cebrsel şlemlere elverşl değldr ve bu nedenle de duyarlı olmayan br ortalamadır, (5) açı uçlu serlerde sadece mod veya medyan hesaplanablmetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 100 yayınlanamaz ve depolanamaz. 50

51 Örne: 100 öğrencnn statst dersnden aldıları notların dağılımını gösteren aşağıda sınıflandırılmış sernn modunu hesaplayınız? Not Sınıfı Öğrenc Sayısı Toplam 100 Sernn modu, mod sınıfı olan sınıfı çnde bulunmatadır. Böylece, 0 Mod , Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 101 Ortanca (Medyan) Tanım: Br sernn brmlern üçüten büyüğe doğru ve büyüten üçüğe doğru sıralanmış br sery eşt parçaya bölen değere medyan (ortanca) adı verlmetedr. Medyanın hesaplanış şel bast, freanslı ve sınıflandırılmış serler çn ayrı ayrı olara ele alınmatadır. Br serde, büyülü sırasına göre dzlmş n tane brm varsa, ortanca; n te en en ortada veya [(n+1)/] nc brm değerdr. n çft en en ortada brmn ortalaması veya (n/) nc brm le (n/)+1 ncbrmn artmetortalamasına eşttr. Brml freanslardan yararlanara hesaplanan br ortalamadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 10 yayınlanamaz ve depolanamaz. 51

52 Örne 1: Yurtta alan öğrenclerden rassal olara seçlen 7 öğrencden oluşan br örnete, çıan yemeler 1 den (ötü) 5 e (müemmel) adar br ölçe üzernde değerlendrmeler stenmştr. Elde edlen sonuçlar aşağıda verlmetedr. Medyanı hesaplayınız? X={, 4,, 3, 5, 4, 3}. Önce brmler sıralanmalıdır:,, 3, 3, 4, 4, 5. n te olduğundan (n+1)/ sıra numarasına den gelen brm sernn ortancasıdır: (n+1)/=(7+1)/=4. brm değer olan 3 tür. Medyan =3. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 103 Örne : Yuarıda örnete verlen serye br brm daha lave edere elde edlen sernn ortancasını hesaplayınız: X={, 4,, 3, 5, 4, 3, 5}. İl olara brmler sıralanır:,, 3, 3, 4, 4, 5, 5. Brm sayısı çt olduğundan sernn medyanı, sernn en ortasında yer alan brmn (n/ ve n/+1 sıra numaralı brmlern) artmet ortalamasına eşttr. n/. brm = 8/ = 4.brm olan 3 tür. n/+1. brm = 8/+1 = 5.brm olan 4 tür. Medyan = (3+4)/=3,5 dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 104 yayınlanamaz ve depolanamaz. 5

53 Freans Sersnn Medyanın Hesaplanması Örne: Aşağıda sernn ortancasını hesaplayınız. X f Brml Freanslar Toplam Serde brm sayısı çft olduğundan (n=), n/=/=11. brm değer 5 ve (n/)+1=(/)+1= 1. brm değer 8 olara elde edlr. Buradan medyanındeğer değern ortalaması (5+8)/ = 6,5 olara bulunur. Freans sersn bast ser olara: {, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 10, 10, 10} hesaplanır. Buradan medyan 6,5 olara hesaplanır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları Sınıflandırılmış Serlerde Medyanın Hesaplanması Sınıflandırılmış serlerde de medyan brml freanslar yardımıyla hesaplanmatadır. Anca bu serlerde tam ortaya düşen brm br sınıf çnde yer alır. Medyanın bulunduğu bu sınıfa medyan veya ortanca sınıfı adı verlmetedr. Medyan sınıf belrlendten sonra medyan değer aşağıda formülle yalaşı olara hesaplanmatadır: n F Medyan L c f Formülde L, medyan sınıfın sınıf altdeğern; n, toplam brm sayısını; F, medyan sınıfa adar olan sınıfların freansları toplamını; f, medyan sınıfın freansını ve c, medyan sınıfın değşm aralığını göstermetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 106 yayınlanamaz ve depolanamaz. 53

54 Örne: Çalıştırdıları şç sayısına göre şyer sayıları aşağıda verlmetedr. Medyanı hesaplayınız. İşç Sayısı İşyer Sayısı Toplam 16 İşç Sayısı =X İşyer Sayısı=f Brml Freanslar=B.f Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 107 Çözüm (Devam) n/= 16/=81 olduğundan medyanın bulunduğu sınıf 14 0 sınıfıdır. Medyan sınıfından yararlanara ortanca değer aşağıda gb hesaplanmatadır. n/ F 8137 Medyan (Ortanca) L c şdr. f 60 Medyan brm sayısından etlenren, sapan brmlerden etlenmez. Brmler le medyan arasında farların yarısı poztf yarısı negatftr. Cebrsel şlemlere uygun değldr. Brm değerlernn medyandan farlarının toplamı mnmumdur: X -Medyan = Mnmumdur. Açı uçlu serlerde uygulanablr. Brmlern medyandan sapmalarının mutladeğerler toplamı en üçütür. Bu özellğnden fabra ve satış merezlernn en uygun yerleşm yerlernn belrlenmesnde yararlanılmatadır. Ortanca ra, gelr ve ücret dağılımı gb onularda genellle ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 108 yayınlanamaz ve depolanamaz. 54

55 Bölenler: Medyan, Kartller, Desller ve Persantller Bast sery eşt ısımlara bölen değerlere (ortalamalara) bölen adı verlmetedr. Böylece bölenlerde ye bölünmüş br sernn görecel freansları h/r ve (r h)/r olmatadır. Bölenlerde r= se medyan; r=4 se artl; r=10 desl ve r=100 se persantl değerlern göstermetedr. Br sery eşt parçaya bölen değere medyan (ortanca) adı verlmetedr. Bast br sery 4 eşt parçaya bölen değerlere (ortalamalara) artl adı verlr. Böylece br serde Q 1/4,Q /4 ve Q 3/4 olma üzere üç artl değer hesaplanablmetedr. Bast br sery 10 eşt parçaya bölen değerlere desller adı verlmetedr. Böylece br sery on eşt parçaya bölen 9 desl değer (Q 1/10 Q /10 Q 3/10 Q 4/10 Q 5/10 Q 6/10 Q 7/10 Q 8/10 Q 9/10 ) hesaplanablmetedr. Bast br sery 100 eşt parçaya bölen değerlere persantller adı verlr. Böylece bast br sery 100 eşt parçaya bölen (Q 1/100 Q /100.. Q 99/100 ) 99 persantl değer hesaplanablmetedr. Böylece br serde en fazla 1 medyan, 3 artl, 9 desl ve 99 persantl değer hesaplanablmetedr. Kartller, desller ve persantller dğer merez eğlm ölçüleryle elde edlemeyen lave blgler sağlayara, daha sağlılı (ayrıntılı) arşılaştırmalaraman tanımatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 109 Bölen Formüller Bast Ser : h 1 Qh n r r Freans Sers : h 1 Qh f r 1 r f h F Sınıflandırılmış Ser: 1 r Qh L c r f 1 f n'dr. n: toplam brm sayısını, r: sernn aç eşt parçaya bölündüğünü, h: açıncı bölenn arandığını, c: bölen sınıf aralığını, f: bölen sınıfın freansını, F: bölen sınıfına adar olan sınıfların toplam freansını, L: bölen sınıfının sınıf alt değern göstermetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 110 yayınlanamaz ve depolanamaz. 55

56 Örne: Br şletmede 10 yönetcnn aylı ücretler aşağıda bast ser şelnde verlmetedr. Yönetclern %5, %50 ve %75 nn aldığı en yüse ücret ne adardır? Aylı Ücret={ 850, 890, 90, 950, 1000, 1150, 100, 150, }. Çözüm: Q 1/4 =10(1/4)+(1/)=3. brm, yan 90 dr. Q /4 =10(/4)+(1/)=5,5 brm, yan 5. brm le 6. brmn artmet ortalaması olan 1075 dr [( )/]. Q 3/4 =10(3/4)+(1/)=8. brm, yan 150 dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 111 Örne: Br bölgede yaşayan 300 alenn büyülülerne göre dağılımı aşağıda freans sers olara verlmetedr. Alelern %5 nn, %50 snn ve %75 nn en ço aç şden oluştuğunubulunuz? Ale Büyülüğü Ale Sayısı Brml f Q 1/ Q / Q 3/ ve Toplam 300 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 11 yayınlanamaz ve depolanamaz. 56

57 Çözüm: Q Q Q ,5.brm değer 3 brnc artldr ,5.brmdeğer 4 nc artldr ,5.brm değer 6 üçüncü artldr. 4 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 113 Örne: Aşağıda sınıflandırılmış ser çn brnc artl (Q 1/4 ), altıncı desl (Q 6/10 ) ve dosanıncı persantl (Q 90/100 )değerlern hesaplayınız? Sınıflar f Brml f Toplam 30 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 114 yayınlanamaz ve depolanamaz. 57

58 Çözüm: Önce bölenlern bulunduları sınıflar bulunur. Brnc artln bulunduğu sınıf 30/4=7,5 den 4sınıfıdır. h f F r 7,5 3 1 Qh L c Q1/4 r 3,8 f 7 Altıncı desln bulunduğusınıf 30(6/10)=18 den 4 6sınıfıdır. h f F r ,33 f 1 1 Qh L c Q r 6 10 Dosanıncı persantln bulunduğusınıf 30(90/100)=7 den 6 8sınıfıdır. h f F 1 r 7 Q L c Q 6 7,66. f 6 h r Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 115 Ortalamalar Arasında İlşler 1. Dağılım smetr se; Medyan=Tepe Değer=Artmet Ortalama.. Dağılım Sola Eğ se; Tepe Değer > Ortanca > Artmet Ortalama. 3. Dağılım Sağa Eğ se; Artmet Ortalama > Ortanca > Tepe değer. 4. Br sernn artmet, geometr harmon ve arel ortalamaları brlte hesaplandığında aşağıda eştszl durum geçerldr: H G X K Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 116 yayınlanamaz ve depolanamaz. 58

59 Uygun Ortalama Tpnn Seçm 1. Ortalamanınamacınındüşünülmes geremetedr. Ço sayıda arşılaştırmalar yapılacasa arşılaştırmalara olana sağlayan ortalamaların seçlmes geremetedr. Araştırmada sadece ortalamalar hesaplanmayıp ler statst tenler uygulanacasa bu tenlern uygulanmasına uygun olan ortalamanın seçlmes gerer. Ortalama dışında dağılma, eğl ve basılı ölçüler gb dğer tanımsal ölçüler ler statst tenlere uygulanacasa bu tenlern çoğuna uygun olan artmet ortalama seçlmeldr.. Serlern yapısı ortalama seçmnde araştırmacıları sınırlayan dğer öneml fatördür. Ham verler araştırmacının elnde olması durumunda tüm ortalamalar hesaplanablr. Faat yayınlanmış blgler ullanılıyorsa yayınlanan sernn yapısı ortalama seçmne sınır getrmetedr. Açı sınıflı serler çn rahatlıla medyan ve dğer freanslara oranla öneml sayılablece adar yüse freansı olan sınıf varsamod hesaplanablmetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 117 Uygun Ortalama Tpnn Seçm (Devam) 3. Serlern eğl ve basılı durumu: Serler eğ veya basısa ortalama tpnn seçmnde datl olunmalıdır. 4. Değşenlern özelller de dğer br öneml fatördür. Ortalaması hesaplanaca değşen ortalama veya oran se ağırlılı artmet ortalama; Değşme oranı veya geometr dz şelnde büyüyen br ser (nüfus gb) se geometr ortalama; Serde brm değerler arasında önem farı varsa ağırlılı artmet ortalama; Değşen tanımlarında değşen durumunda olan özell ortalama hesaplanıren sabt hale gelyorsa harmon ortalama ullanılmalıdır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 118 yayınlanamaz ve depolanamaz. 59

60 6. HAFTA Değşenl/Dağılma Ölçüler Değşm Aralığı/Range Bölenlerarası Değşm Aralıları Ortalama Mutla Sapma (OMS) Robust Ortalama Mutla Sapma Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 119 Değşenl Dağılma Ölçüler Değşenl (dağılma) ölçüler sernn brm değerlernn ortalamasından ne adar farlı olduğunu gösteren ölçülerdr. 1. Değşm Aralığı (R). Bölenlerarası Değşm Aralıları 3. Ortalama Mutla Sapma 4. Robust Ortalama Mutla Sapma 5. Varyans ve Standart Sapma 6. Değşm Katsayısı (DK) 7. Bölenlerarası Değşm Katsayıları Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 10 yayınlanamaz ve depolanamaz. 60

61 1. Değşm Aralığı (R) R=X Enb X En şelnde hesaplanmatadır. Özelller; Değşenlğn en aba ölçüsüdür. Sapan brmlerden olumsuz br şelde etlenmetedr. Brm sayısı farlı olan serlern arşılaştırılmasına ullanılamaz. Sernn çnde dağılmanın ölçüsüolamadığı gb, farlı ölçüm brmleryle ölçülmüş serlern arşılaştırılmasında da benmsenemez. Notlar Öğrenc A B C Toplam Ortalama R Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 11. Bölenlerarası Değşm Aralıları R= X Enb X En (Değşm Aralığı) R Q =Q 3/4 Q 1/4 (Kartllerarası Değşm Aralığı) R D =Q 9/10 Q 1/10 (Desllerarası Değşm Aralığı) R P =Q 99/100 Q 1/100 (Persantllerarası Değşm Aralığı) Serde brm sayıları farlı olduğunda arşılaştırmalara olana vermezler. Açısınıflı serlerde hesaplanablmeler öneml üstünlüğüdür. Serde tüm değerlere dayanmadıları ve sadece değer arasında farı yansıttıları çn duyarlı ve standartlaştırılmış br değşenl ölçüsü özellğtaşımazlar. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 1 yayınlanamaz ve depolanamaz. 61

62 3 4. Ortalama Mutla Sapma=OMS (Mean Absolute Devaton=MAD) Brmler le ortalama veya medyan arasında farların mutla değerler toplamının brm sayısına oranı olara tanımlanmatadır. Blndğ gb brmlern artmet ortalamadan farlarının cebrsel toplamı sıfır çıtığı çn bu değerlerle hesaplanan ortalama da sıfır çımatadır. Bu sorunun üstesnden geleblme çn hataların mutla büyülüler göz önüne alınara farlı serler çn OMS aşağıda gb hesaplanmatadır. OMS, medyandan farlarla hesaplandığında en üçü değer verr çünü blndğ gb medyandan farların cebrsel toplamı en üçütür. Smetr serlerde medyan ve artmet ortalama eşt olduğuçnaynı sonucu vermetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 13 Farlı Serler İçn OMS Formüller OMS OMS n X X f X X 1 1 OMS n f 1 n 1 1 Robust OMSRobust X Medyan f X Medyan n Serde tüm brm dayanara hesaplandığı çn duyarlı br değşenl ölçüsüdür. Mutla farlara dayanara hesaplandığından cebrsel şlemlere uygun değldr. Brmler le ortalama veya medyan arasında farların ortalaması olduğundan esn br anlamı vardır. 1 f Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 14 yayınlanamaz ve depolanamaz. 6

63 Örne: Brm değerler 3, 6, 7, 8 olan bast sernn ortalama mutla sapmasını hesaplayınız. n X X 6 n 4 4 n X X OMS 1, 5 n 4 4 Örne: Aşağıda freans sersnn ortalama mutla sapmasını hesaplayınız. X f f X ,7 0,3,3 17 4,5 11,5 Toplam ,3 33 Ortalama X =140/30=4,7 OMS=33/30=1,1 X X f X X Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 15 Örne: Aşağıda sınıflandırılmış sernn OMS hesaplayınız. Sınıflar f X f X X X f X X Toplam X 140 /10 14 OMS 54 /10 5,4 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 16 yayınlanamaz ve depolanamaz. 63

64 5. Varyans ve Standart Sapma Brm değerlernn artmet ortalamadan farlarının arelernn artmet ortalaması varyans, varyansın areöü se standart sapmadır. Artmet ortalamadan farların areler toplamı enüçü olduğu çndğer ortalamalardan farlara oranla daha üçü değerler vermetedr. Standart sapma anaütle ve örnelem verler le farlı ser tpler çn aşağıda formüller ullanılmatadır: N ( X ) f( X ) 1 1 N 1 f s n ( X X) f( X X) 1 1 s n1 n1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 17 Varyans ve Standart Sapmanın Hesaplanması: II. Yol N N N N X1 X X X X N N N N N N N N N X X X K K N N N X Ayrıca - şelnde yazımından hareetle varyansın; N N 1 X N N 1 X N N X 1 N 1 N 1 X N 1 N 1 X N N N 1 N X N standart sapmanın da; formüller le hesaplanableceğ anlaşılmatadır. Ayrıca örne verler çn standart sapma; n 1 s X nx n 1 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 18 yayınlanamaz ve depolanamaz. 64

65 Örne: Brm değerler 3, 5, 7 ve 9 olan bast br sernn örne standart sapmasını hesaplayınız. X X X X X X n ( X X) / 4 6,58 X s veya n 1 3 n 1 1 ( ), s X nx n Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 19 Örne: Aşağıda freans sersnn örne standart sapmasını hesaplayınız. X f f X f( X X) 37,6 5,6 51, Toplam ,8 647 X fx 94,8 X 91/15 6,067 ve s, ,067,60 s 14 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 130 yayınlanamaz ve depolanamaz. 65

66 Örne: Aşağıda sınıflandırılmış sernn standart sapmasını hesaplayınız Sınıflar f X f X X 860 / 40 1,5 s 14 / 39 7, ,5 7, s 39 f ( X X) , , Toplam X f X Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları HAFTA Değşenl Ölçüler (Devam) Varyans ve Standart Sapma Değşm Katsayısı Bölenlerarası Değşm Katsayıları. Eğl Ölçüler Ortalamaya Dayanan / Pearson Eğl Ölçüler Kartllere Dayanan / Bowley Eğl Ölçüler Momentlere Dayanan Eğl Ölçüler) Basılı/Kurtoss Ölçüler Sıfıra/Orjne Göre Momentler Ortalamaya Dayanan Momentler. Oranlar Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 13 yayınlanamaz ve depolanamaz. 66

67 Standart Sapma vevaryansın Özelller Serde brm değerlernn artmet ortalamadan ortalama olara ne adar farlı olduğunu gösteren standart sapmaço öneml br değşenl ölçüsüdür. Sernn tüm brmlerne dayanara hesaplandığı ve yne tüm değerlere dayanan artmet ortalamadan farlarla hesaplandığından statstteenyaygın ullanılan değşenl ölçüsüdür. Bu özelller nedenyle örneleme uramının veregresyon analznn temeln oluşturmatadır. Açı sınıflı serlerde artmet ortalama hesaplanamadığından varyans ve standart sapma da hesaplanamaz. Artmet ortalama özellle te yönlü sapan brmlernden olumsuz br şelde etlenren, varyans ve standart sapma te yönlü ve yönlü sapan brmlerden olumsuz br şelde etlenr. Ortalama mutla sapmaya (OMS) göre sapan brm değerlernden daha ço etlenmetedr. Brmlern artmet ortalamadan farların ares alınara hesaplandığından ortalama mutla sapmadan daha büyü olara elde edlmetedr. Artmet ortalamadan farların areler toplamı enüçü olduğundan dğer ortalamalardan farlardan daha üçü sonuç vermetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 133 Standart Sapma ve Varyansın Özelller (Devam) Değşen brmlernn değerler artmet ortalama etrafında yoğunlaşması durumunda standart sapma üçü, as halde büyü olur. Aynı ölçü brmyle ölçülmüş ve ortalamaları brbrne eşt değşenden standart sapması üçü olanın daha homojen brmlerden oluştuğu söyleneblr. Br X sersnn tüm brmler a gb sabt br sayı le çarpılması veya bölünmes sonucu elde edlen yen Y sersnn varyansı, l sernn varyansının sabt sayının ares le çarpımına veya bölümüne eşttr. Yen sernn standart sapması se, l sernn standart sapmasının a sabt sayısı le çarpımına eşttr. Br X sersnn tüm brmlerne a gb sabt br sayının toplanması veya çıartılması sonucu elde edlen yen Y sersnn varyansı, lsernnvaryansına eşttr. Varyans ve standart sapmanın enönemlsaıncası, değşenlğ sernn ölçü brmyle fade edlmesdr. Bu nedenle farlı ölçü brmyle ölçülmüş değşenlern arşılaştırmasında ullanılamamatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 134 yayınlanamaz ve depolanamaz. 67

68 6. Değşm Katsayısı=DK (CoeffcentofVaraton=CV) DK değşenlğ, özellğn ölçü brmyle değl oransal (%) olara belrleyen br ölçüdür. Dğer br anlatımla değşenlğ ölçü brmnden arındırara fade eden DK özellle değşenler arasında değşenl arşılaştırmalarında önem taşımatadır. Standart sapma ve artmet ortalamayla hesaplanan değşm atsayısı aşağıda gb hesaplanmatadır: DK Anaütle s 100 DKÖrnelem 100 X Yüzdeolarafadesyledeğşenn ölçü brmnn değşenlğe yansımasına man olmatadır. DK alt sınırı sıfırdır. Anca standart sapmanın artmet ortalamadan büyü olması durumunda 100 ün üzernde değerler aldığından üst sınırı belrl değldr. Bu durumda DK br anlamda anlamını ytrmetedr. Genellle alt sınırı olan sıfıra göre yorumlanmatadır. Standart sapma ve artmet ortalamanın hesaplanamadığı açı sınıflı serlerde bölenlerarası değşm atsayılarından yararlanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 135 Serlern Değşenllerne Göre Karşılaştırılması: Standart Sapmave Değşm Katsayısı Ölçüm, aynı cns brmle yapılmış ve ortalamalar eştse arşılaştırmalarda ullanılaca dağılma (değşenl) ölçüsü standart sapmadır. Ölçüm aynı cns brmle yapılmış faat ortalamalar farlı ya da ölçüm farlı brmle yapılmış se, ullanılaca değşenl ölçüsü değşm atsayısıdır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 136 yayınlanamaz ve depolanamaz. 68

69 Örne: Xşletmesnn geçmş dönemde A malının günlüsatışının ortalaması 80 g ve standart sapması 1 g olduğu blnmetedr. Y şletmesnn aynı mal çn günlü satışının ortalaması 180 g ve standart sapması g olduğu saptanmıştır. Hang şletmenn satışları daha türdeştr. Çözüm: X ve Y şletmeler çn ölçümler aynı cns brmle yapılmış faat ortalamalar farlı olduğundan arşılaştırmada ullanılaca uygun değşenl ölçüsüdeğşm atsayısıdır(dk). 80 g / ay ve 1 g / ay; X DK X X X 180 g / ay ve g / ay, Y DK Y Y Y Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 137 X Y Örne: Farlı bölgelerde bulunan entte (A ve B) metre areye düşen yağmur mtarı g olara altı aylı br örnelem çn aşağıda gbdr: A Kent:[4,5,7,6,6,]veB Kent: [10, 8, 1, 9, 11, 16]. Hang entte metre areye düşen yağış mtarı değşenlğ daha fazladır. Çözüm: 6 6 A A A 1 1 sa A A A na na X A 6 6 B B B 1 1 sb B B B nb nb X B X X X 30 1,79 X 5 g / ay s 1,79 g / ay DK , X X X 66,83 X 11 g / ay s,83 g / ay DK , Not: İ entte ölçümler aynı cns brmle yapılmış faat ortalamalar farlı olduğundan arşılaştırmada ullanılaca uygun değşenl ölçüsü değşm atsayısıdır(dk):dk A >DK B olduğundan nc entte yağışlar daha düzenldr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 138 yayınlanamaz ve depolanamaz. 69

70 7. Bölenlerarası Değşm Katsayıları DK Qh/4 Q Q Q Q 3/4 1/4 1/4 3/4 (Kartllerarası Değşm Katsayısı) DK Qh/10 Q Q Q Q 9/10 1/10 1/10 9/10 (Desllerarası Değşm Katsayısı) DK Qh/100 Q Q Q Q 99/100 1/100 1/100 99/100 (Persantllerarası Değşm Katsayısı) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 139 Eğl (Çarpılı) Ölçüler Serlerde brmlern hang değerlerde toplandığını gösteren ölçülere eğl ölçüler adı verlmetedr. Ortalamalar, değşenl ve eğl arasında lş. Çarpılıölçülerdörtfarlı şelde hesaplanablmetedr: Ortalamaya dayanan (Pearson) eğl ölçüler Kartllere dayanan (Bowley) eğl ölçüsü Persantllere dayanan (Kelly) eğl ölçüsü Momentlere dayanan eğl ölçüler Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 140 yayınlanamaz ve depolanamaz. 70

71 OrtalamalaraDayanan (Pearson) Eğl Ölçüler İ ortalama (artmet ortalama, mod veya medyan) ve standart sapma yardımıyla elde edlmetedr. Eğl ölçüler freans dağılımlarının normallten hang düzeyde ve yönde uzalaştığını saptamaya yarayan tanımsal ölçülerdr. Br dağılımın eğlğ haında blg ednmenn en olay yolu, dağılımın artmet ortalamasını, medyanını ve modunu arşılaştırmatır. Dağılım smetr se, X Medyan Mod Dağılım sağa eğ se, X Medyan Mod Dağılım sola eğ se, Mod Medyan X olur. Br freans dağılımının yönü adar eğl düzeynn de blnmes önemldr. Artmet ortalama le mod arasında farın büyülüğü, eğl düzey çn aba br ölçüt oluşturmatadır. Haff eğ serlerde artmet ortalama le mod arasında far, artmet ortalama le medyan arasında farınyalaşıüçatına eşttr. Bu eştl aşağıda gb gösterlmetedr. X Mod 3 X Medyan veya Mod X 3 X Medyan Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 141 Pearson Eğl Ölçüler (Devam) Yuarıda verlen brnc eştlğn herhang br yanı esas alınara dağılımın çarpılığı haında aba br fr ednleblr. Anca bu ölçüler değşenlern ölçüm brmlernden arındırılmadığından mutla ölçülerdr. Eğl atsayısının hesaplanmasında değşenlern farlı ölçü brmlernn etlern ortadan aldırma amacıyla yuarıda eştlğn her yanı sernn standart sapmasına bölünmetedr. Böylece α 1 ve α olara Pearson eğl ölçüler aşağıda gb yazılmatadır. X Mod 3 X Medyan 1 ve s s Bu ölçütlere göre; Dağılım smetr se, Dağılım sağa eğ se, X Medyan Mod olacağından α1 0 ve α 0, X Medyan Mod olacağından α1 0 ve α 0, Dağılım sola eğ se, Mod Medyan X olacağından α 0 ve α 0 olur. 1 Bu nedenle sernn α 1 veya α atsayıları sıfıra eştse tam smetr, sıfırdan büyü se sağa çarpıvesıfırdan üçü se sola çarpıolduğuanlaşılacatır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 14 yayınlanamaz ve depolanamaz. 71

72 Örne:Aşağıda sernn Pearson eğl atsayısını hesaplayara yorumlayınız. Sınıflar f B. f X f X X fx Toplam Ortalamalar arası lşden sernn sola çarpı, yan eğl atsayısının negatf olduğu anlaşılmatadır. Çözüm: fx n 1 60 F 7 4 X 4,9 Medyan L c 4 4,6 14 f 10 f 1 d 1 7 Mod L 4 4,8 d1d 710 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 143 Örne (Devam) Mod 4,8 Medyan 4,60 X 4, s fx n* X 78 14* 4,9 1,67 n X Mod 4, 9 4,8 1 0,418 s 1,67 3X Medyan 34,9 4,60 0,734 s 1,67 α 1 veya α negatf olduğundan ser sola çarpıtır. Açı sınıflı serlerde artmet ortalama ve standart sapma hesaplanamadığından Pearson eğl ölçüler hesaplanamaz. Hesaplanmasında ullanılan dört statst ölçüden (mod, medyan, artmet ortalama ve standart sapma) mod ve medyanın serde tüm brm değerlerne dayanara hesaplanmaması Pearson eğl ölçüsünün duyarlılığını öneml ölçüde azaltmatadır. Ayrıca Pearson eğl ölçüsünün açı sınıflı serlerde hesaplanamaması ve sapan brmlerden olumsuzbr şeldeetlenmes bustatstğn en öneml esller, arasında yer almatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 144 yayınlanamaz ve depolanamaz. 7

73 Kartllere Dayanan (Bowley) Eğl Ölçüsü Özellle Pearson eğl ölçüsünün uygulanamadığı açı sınıflı serlerdeveçarpılığın sapandeğerlerden etlenmesnn stenmedğ durumlarda ullanılmatadır. Kartller yardımıyla çarpılığın saptanmasına dayanan bu ölçütün mantığında smetr br dağılımda medyan le brnc artl ve üçüncü artl arasında farın eşt olması (Q 3/4 Medyan)=(Medyan Q 1/4 ) yatmatadır. Bu eştlğn bozulması sernn smetr olmadığını göstermetedr. Yan; Dağılım smetr se, Q3/4 - Q1/ Q1/ - Q1/4 Dağılım sağa eğ se, Q3/4 - Q1/ Q1/ - Q1/4 Dağılım sola eğ se, Q - Q Q - Q olacatır. 3/4 1/ 1/ 1/4 Bu ölçünün hesaplanmasında farlı ölçü brmlernn etsn gderme çn artllerarası farlar, üçüncü ve brnc artl arasında fara bölünmetedr. Bu şelde hesaplanan eğl ölçüsüne Bowley eğl ölçüsü olara adlandırılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 145 Kartllere Dayanan (Bowley) Eğl Ölçüsü (Devam) ( Q Medyan) ( Medyan Q ) ( Q Q ) ( Q Q ) Q Q Q E 1 K 3/4 1/4 3/4 /4 /4 1/4 3/4 1/4 /4 Q3/4 Q/4 Q/4 Q1/4 Q3/4 Q1/4 Q3/4 Q1/4 E 0 se smetr,e 0 se sağa çarpı ve E 0 se sola çarpı olmatadır. Serde tüm brmlern değerlerne dayanmadığı çn momentlere dayanan eğl ölçüsüne göre daha az duyarlı br ölçüdür. Dğer br anlatımla Bowley çarpılı ölçüsü serde üç değere (Q 1/4, Q /4 ve Q 3/4 ) dayanılara hesaplanmatadır. Örne: Aşağıda sernn Bowley eğl ölçüsünü hesaplayıp yorumlayınız. Sınıflar f Artan Brml f Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 146 yayınlanamaz ve depolanamaz. 73

74 1 Qhr / L c 1 1 h f F r formülünden yararlanara, f h 1 37,5 10 f ,5 çn Q1/ ,33 r 4 30 h f çn Q/ , 66 r 60 h 3 11,5 100 f ,5 çn Q3/ ,5 bulunur. 1 r 4 40 Q3/4 Q1/4 Q1/ 6,5 15,33(0, 66) E 0, 0456 Q Q 6,5 15,33 3/4 1/4 E 0 olduğundan ser haff sağa çarpıtır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 147 Persantllere Dayanan (Kelly) Eğl Ölçüsü Bowley eğl ölüsü sernn tam ortasında alan brmlern %50 s date alınara hesaplanmatadır. Çünü her uçta brmlern %5 sapan brm olara varsayılmatadır. Daha az sayıda sapan brmn bulunduğu haff eğ serlern eğl atsayısının Bowley eğl atsayısı yerne, Kelly eğl ölçüsü le hesaplanması daha uygun olmatadır. Kelly daha haff eğ serlerde 10. ve 90. bölen değerlerne dayanara hesaplanan aşağıda eğl ölçüsünün hesaplanmasını önermetedr. E E P P ( Q90/100 Q50/100) ( Q50/100 Q10/100) Q90/100 Q10/100 Q50/100 ( Q90/100 Q50/100) ( Q50/100 Q10/100) Q90/100 Q10/100 0 se smetr, E 0 se sağa çarpı ve E 0 se sola çarpı olacatır. Ortalamalara (Pearson), artllere (Bowley) ve persantllere (Kelly) dayanara hesaplanan eğl atsayıları brbr le arşılaştırılamaz. Faat eğl olmaması durumundaherüçstatst sıfıra eşt olmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 148 yayınlanamaz ve depolanamaz. 74

75 Momentlere Dayanan Eğl Ölçüler Freans dağılımları le lgl statstlern duyarlı br şelde belrlenmesnde moment adı verlen ölçüler ullanılmatadır. İstatstte öneml br yer olan moment avramı, brmlern sıfıra, ortalamaya veya herhang br sabt değere (a gb) göre farlarının çeştl dereceden uvvetlernn artmet ortalaması olara tanımlanmatadır. Momentler genel olara aşağıda gb tanımlanmatadır: m N r X a fx a 1 1 r r N f 1 m Formüllerde verlen a sabt yerne farlı değerler ullanılablrse de, uygulamada genellle a yerne sıfır (a=0) veya artmet ortalama (a=µ) alınmatadır. a=0 olduğunda hesaplanan momentlere sıfıra (orjne) göre momentler (m); a sabt yerne artmet ortalama ullanıldığında hesaplanan momentlere ortalamaya göre momentler (μ) adı verlmetedr. Formüllerde verlen r üst smges momentn derecesn gösterr ve uygulamada brnc, nc, üçüncü ve dördüncü dereceden olanları ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 149 r Orjne (Sıfıra ) Göre Momentler (m ) N X fx 1 1 m1 m1 N f 1 N X fx 1 1 m K m K N f m m 1 N 3 3 X fx m3 N 1 N 4 4 X fx m4 N 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 150 f f yayınlanamaz ve depolanamaz. 75

76 Ortalamaya Göre Momentler ( ) N X fx N f N X fx 1 1 N X fx N X fx N f N N Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları f f Orjne ve Ortalamaya Göre Momentler (Devam) İstatstte momentlern l dört dereces önemldr. Sıfıra göre brnc dereceden moment artmet ortalamaya, nc dereceden moment arel ortalamanınaresneeşttr. Ortalamadan farların cebrsel toplamı sıfır olduğu çn, ortalama etrafında brnc dereceden moment sıfıra, nc dereceden moment se her zaman varyansa eşt olmatadır. Ayrıca üçüncü dereceden moment eğl ve dördüncü dereceden moment se basılığın mutla br ölçüsü olara ullanılmatadır. Artmet ortalamadan farların üçüncü dereceden moment eğlğn mutla br ölçüsü olara ullanılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 15 yayınlanamaz ve depolanamaz. 76

77 Momentlere Dayanan Eğl Ölçüsü (Sewness): α 3 Karşılaştırmalara uygun hale getrme çn, üçüncü dereceden moment değer standart sapmanın üpüne bölünere standartlaştırılara eğl ölçüsü (α 3 ) aşağıda gb hesaplanmatadır: α 3 =µ 3 /σ 3. Eğl ölçüsü sıfıra eşt olduğunda sernn tam smetr olduğu anlaşılmatadır. Büyülüğü eğlğn gücünü, şaret (±) se yönünü (sağaveyasolaeğ) göstermetedr. Serde tüm brmlern değerlerne dayanara hesaplandığı çn en duyarlı eğl ölçüsü olara abul edlmetedr. Açı sınıflı serlerde tüm brmlern değerler blnemedğ çn uygulanamamatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 153 Ölçünün poztf olması brmlern üçü değerlerde, negatf olması se büyü değerlerde toplandığını gösterr. Doğal olara ölçünün sıfıra eşt olması sernn tam smetr olduğunu gösterr. Faat eğl atsayısının değer 3 le +3 aralığında se ser pratte smetr abul edlmetedr. İstatst paet programlarında örnelem verler çn momentlere dayanan eğl ölçüsü olara aşağıda formül ullanılmatadır. Bu formüller arasında en öneml far, her brm değernn artmet ortalamadan farlarının örne standart sapmasına bölünere standartlaştırılmasıdır. 3 n n n X X n 3 E 3 z ( n1)( n) 1 s ( n1)( n) 1 Not: Eğl statstğnn örneleme dağılımı normal dağılıma uymatadır. Eğl ze (6 / n) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 154 yayınlanamaz ve depolanamaz. 77

78 Momentlere Dayanan Basılı (Kurtoss) Ölçüsü= α 4 Basılı atsayısı serde brmlern svr, bası veya normal olup olmadığının saptanmasında ullanılmatadır. Basılı atsayısı serde brmlern ortalama etrafında toplanma yoğunluğunun br göstergesdr. Svr serlerde brmlern ortalama etrafında belrgn br yığılmanın gözlendğ, bası serlerde se ortalama etrafında belrgn br yığılmanıngözlenmedğgörülmetedr. Basılı atsayısı (α 4 ) serde brmlern artmet ortalamadan farların dördüncü dereceden uvvetnn (µ 4 ) standart sapmanın dördüncü dereceden uvvetne (σ 4 ) bölünere hesaplanmatadır: (α 4 )=µ 4 /σ 4. Basılı atsayısı standart br değer olduğundan serlern basılı açısından arşılaştırılmalarında ullanılmatadır. α 4 statstğnden yararlanara serlern basılı durumu aşağıda gb değerlendrlmetedr: Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları se normal, 3 se svr, 3 se bası br ser söz onusu olmatadır. Bu şelde hesaplanan eğl ve basılı atsayılarına Momentlere Dayanan Pearson Eğl ve Basılı Katsayıları adı verlmetedr. α 4 değernden 3 çıartılara (α 4 3) basılı atsayısı normalleştrlr. Böylece normal br ser sıfır basılı veeğl değerlerne sahp olmatadır. Böylece α 4 =0 se normal, α 4 <0 se bası veα 4 >0 se svr br ser söz onusu olmatadır. Faat sıfıra göre yorumlanan basılı atsayısının değer 7 le +7 aralığında se sernn yüselğ pratte abaca normal abul edlmetedr. Bu şelde sıfır göreyorumlananeğl ve basılı değerlerne Fsher Eğl ve Basılı Katsayıları adı verlmetedr. İstatst paet programlarında momentlere dayanan ve sıfıra göre yorumlanan basılı ölçüsü örnelem verlernden hareetle aşağıda formülle hesaplanmatadır. 4 n n nn ( 1) X X 3( n1) nn ( 1) 4 3( n1) B 4 z ( n 1)( n )( n 3) 1 s ( n )( n 3) ( n 1)( n )( n 3) 1 ( n)( n3) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 156 yayınlanamaz ve depolanamaz. 78

79 Örne: Aşağıda bast sernn momentlere dayanan anaütle ve örne eğl ve basılıatsayılarını hesaplayınız. 3 Fyat (TL) ( X ) 3 4 ( X ) z =(X )/s ( X ) z ( X ) 10,5 10,8 11, 11,6 1,4 0,8 0,5 0,1 0,3 1,1 0,64 0,5 0,01 0,09 1,1 1,08 0,67 0,15 0,40 1,48 0,51 0,15 0,001 0,07 1,331 1,6 0,31 0,00 0,07 3,6 0,410 0,063 0,001 0,008 1,464 1,35 0,1 0,00 0,03 4,84 56,5 0,0,0 0,00 0,70 1,765 1,944 6,48 56,5,, 11,3 0,663 s 0, ,70 1, , , , , , , , 9 0,193 N 3, , Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları z 3 n n X X 1 3 ( n 1)( n ) s n n z 1,765 0,735 ( n1)( n) (5 1)(5 ) 1 4 n nn ( 1) X X 3( n1) 4 ( n 1)( n )( n 3) 1 s ( n)( n3) n nn ( 1) 4 3( n1) 4 z ( n 1)( n )( n 3) 1 ( n)( n3) 5(5 1) 3(5 1) 4 6,48 0,035 (5 1)(5 )(5 3) (5 )(5 3) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 158 yayınlanamaz ve depolanamaz. 79

80 Örne: Aşağıda freans sersnn momentlere dayanan eğl ve basılı ölçülern hesaplayıpyorumlayınız. Eğtm (Yıl) X İşç Sayısı f X f X f 3 X f 4 X Toplam (56) (61) (713) (814) (95) ,18 s 1, / 50 0,1 0 / 50 4, / 0,1 /1,18 0, / 4,04 /1,18,08 N 4 4 3,08 3 0,9 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 159 Örne: Aşağıda sınıflandırılmış sernn momentlere dayanan eğl ve basılı ölçülern hesaplayınız? Aylı Ücret İşç X 3 4 (X,Ml. TL) Sayısı (f ) ( X ) f( X ) f( X ) f( X ) Toplam , ,88 3 6,88 3 0, , , ,84 4, , 613 N 3,3830,6 4 4 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 160 yayınlanamaz ve depolanamaz. 80

81 Oranlar Brmlern herhang br ntel veya ncel özellğn şılarına göre dağılımının brm toplamı çnde görecel ağırlılarını 0 1 arasında gösteren değerlere oran adı verlmetedr. Anaütlede Π, örnelemdep le gösterlen oranlar, özellğn herhang br şıında brm sayısının (anaütlede R, örnelemde r) brm toplamına (anaütlede N, örnete n) bölünmesyleelde edlmetedr. Yan; Π=R/N ve p=r/n dr. Doğal olara şılı olan özelllerde ve araştırmanın amacına uygun olara ço şılıdan şılı durumuna getrlmş özelllerde dğer şıa sahp olma oranı se aşağıda gb hesaplanmatadır. 1 Π=(N R)/N ve 1 p=(n r)/n Π ve p her zaman 0 le 1 arasında br değerdr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları HAFTA Olasılı Kuramı ve Temel Kavramlar Olasılı Tanımı, Özelller ve İstatstte Yer Temel Kavramlar ve Tanımlar Olasılığın Temel Tanımları Olasılığın Temel Özelller Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 16 yayınlanamaz ve depolanamaz. 81

82 Olasılı: Bazı Temel Kavramlar Deney: Belrl oşullar altında terarlanablen ve her terarda farlı sonuçlar alınablen şlemlerdr. Örneğn, zar atma, 5 l br deste sambl artından br art çeme, sağlam ve bozu mamullern bulunduğu br anaütleden mamul seçme gb. Örnelem Uzayı: Br denemenn (deneyn) tüm olası sonuçlarını gösteren S ümesne örnelem uzayı adı verlmetedr. Örneğn, maden br paranın brez atılması deneynde tüm olası sonuçları gösteren örnelem uzayı şöyledr: S={Yazı, Tura}. Br zarın atılması deneynde se örnelem uzayı S={1,, 3, 4, 5, 6} şelnde olur. Br deneyn örnelem uzayı lste, Venn Şeması, ağaç grafğ ve uygunsa orta özell yöntemlernden brsyle gösterleblr. Örnelem Notaları (Sonuçlar): Örnelem uzayının elemanları örnelem notalarıdır. Örneğn, paranın yazı veya tura gelmes gb sonuçların her br brer örnelem notasıdır. Olay: Örnelem uzayının her alt ümes br olay olara tanımlanmatadır. Olay, br deneyn br veya daha ço sonucunun br ümesdr. Olaylar bast veya bleş olara ye ayrılmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 163 Örne: Paranın ezatıldığı br denemede, A, B ve C olayları şöyle tanımlansın. A: br yazı gelmes; B: en az br yazı ve C: yazı gelmes. Örnelem uzayı S={YY, YT, TY, TT} olduğuna göre, A olayı A={YT, TY}; B olayı B={YY, YT, TY} ve C={YY} olara belrlenr. A ve B olayları bleş; C olayı se bast br olaydır. Brleşm Olayı: A veya B olayının ortaya çımasıyla tanımlanan olaylardır. AuB şelnde gösterlr. Örne: Paranın üçezatıldığı br denemede A olayı yazı gelmesn,bolayı se en az yazı gelmesngöstersn. Buna göre AuBümesn yazınız. Çözüm: A={TYY, YTY, YYT} YYT, YYY} olara elde edlr. B={YYY, YYT, YTY, TYY} olduğuna göre AuB=B={TYY, YTY, Kesşm Olayı: AveBolaylarının brlte gerçeleşmesyle ortaya çıan olaylardır. AnB şelnde gösterlr. Yuarıda verlen örnete blgler ullanıldığında AnB=A={TYY, YTY, YYT} olara elde edlr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 164 yayınlanamaz ve depolanamaz. 8

83 Fatöryel: 1 den N e adar olan poztf tamsayıların çarpımına N fatöryel (N!) adı verlr ve aşağıda gb gösterlr. N!=N(N 1).(N ) 3..1 dr. Buradan N!= N(N 1)! eştlğyazılablr. 1!=1 dr. Bununla brlte, N!=N(N 1)! İfadesnn, N=1 olması halnde geçerl olablmes çn 0!=1 olması gereldr. Örne: 5!= =10 ve 3!=3..1=6 dır. Permütasyon: N brmn gelş sırası date alınara brbrnden değş düzenlerde sıralandığı zaman elde edlen düzenelere permütasyon adı verlr ve P harf le gösterlr. Dğer br fade le permütasyon brmlern gelş sıralarının öneml olduğu düzenelerdr. Tümü brlte sıralandığında N farlı brmn adel permütasyon sayısı N N ve adesz permütasyon sayısı N! dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 165 N brmn tamamı değl de n tanesn (n<n) sıralarsa, bu durumda elde edeceğmz değş düzene sayısı seçmn nasıl yapılacağına bağlıdır. Seçm adesz se, N! N! PN; n ve P( N, N) N! İadesz Permütasyon!! N n N N Üç brmden oluşan (N=3) ve brm değerler 1,, 3 olan br anaütleden brmden (n=) aç değş örnelem çeleblr. P(3; ) = 3! / (3 )!= 6 dır. Örne brm değerler se şöyledr: (1, ), (1, 3), (, 3), (, 1), (3, 1), (3, ). N adet brmden n sayıda veya N sayıda brm adel olara çelyorsa değş düzene (permütasyon) sayısı aşağıda gb belrlenr. n N P N; n N ve P( N, N) N İadel Permütasyon Çemler adel yapıldığında se her brmn terar seçlme olasılığı olduğu brml 9 değş örnelem seçleblr. P(3; )=3 =9 dur. Örnelem brm değerler se şöyledr: (1, 1), (1, ), (1, 3), (, 1), (, ), (, 3), (3, 1), (3, ), (3, 3). Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 166 yayınlanamaz ve depolanamaz. 83

84 farlı gruptan oluşan N brmn (N=N 1 +N + +N )tamamı ullanılara aç değş düzene (permütasyon) oluşturulableceğ seaşağıda formülle elde edlmetedr. P N; N, N,, N 1 N! N! N!... N! 1 Örne: tane A mara ve 1 tane B mara blgsayar br vtrne aç değş şelde yerleştrleblr. N= N A +N B =+1=3 tür. P(3;, 1)=3!/!1!=3 AAB ABA BAA Düzenelern elde edlmesnde brmlern sıraları öneml se permütasyon ullanılır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 167 Örne: Üç yönetc br organzasyonun yönetm ademelernde başan (B), veznedar (V) ve sereter(s) olara görev alma stemetedr. Üç yönetc bu pozsyonlara aç değş şelde seçleblrler? Çözüm: N!=3!=6. Yan; BVS BSV VBS VSB SBV SVB. Örne: 10 şnn üye olduğu br organzasyonda yönetm ademelerne üç şnn seçleceğn varsayalım. Üç yönetc bu yönetm ademlerne aç değş şelde seçleblr. Çözüm: P(10; 3)= 10! / (10 3)!=10! / 7!=70. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 168 yayınlanamaz ve depolanamaz. 84

85 Kombnasyon: N sayıda brmn elde edlş sırası date alınmadan brbrnden farlı şelde sıralandığı zaman elde edlen düzenelere ombnasyon adı verlr ve C harfyle gösterlr. Dğer br anlatımla ombnasyonlar, brmlern sıralarının öneml olmadığı düzenelerdr. Örneğn, öğrenclere 3 problemn çözümü ödev olara verldğnde üç problem çözülecetr. Sadece üç çözüm yapılacatır veçözümlern hang sırayla yapıldığı öneml değldr. Bu nedenle borada farlı düzene sayısı 1 dr. Herhang br araştırma çn 30 ş le yapılaca anetle verler toplanacasa, 30 anet doldurulacatır ve formu mn önce doldurduğu önemldeğldr. Her örete elde edleblece farlı düzene sayısı (ombnasyon) 1 dr. Faat N brmden oluşan grubun tüm brmler değl de n tanesn (n<=n) alara ombnasyonlar yapma sterse oluşturulablece farlı düzene sayısı çemn adel veya adesz olmasına göre aşağıdaformülerden bryle hesaplanmatadır. N N! N N! İadesz Kombnasyon: CN; n CN; N 1 n n! N n! N N! N N! N N n1! N N 1! İadel Kombnasyon: CN; n CN; N n n! N 1! N N! N 1! Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 169 Örne: Brm değerler 1, ve 3 olan br anaütleden brml (n=) aç farlı örnelem elde edleblr (brmlern sırası öneml değl). Çözüm: Örnelem brm değerler şöyledr: (1, ); (1, 3); (, 3). 3 3! CN; nc3; 3' tür.!(3 )! Örne: 15 ampullü br utudan adel çemlerle 3 er ampullü aç farlı rassal örnelem çeleblr. Çözüm: Bu örnelemede ampullern sıraları (aynı ampuller olduğu çn) öneml olmadığından ve ampullere terar çelme şansı verlebleceğnden adel ombnasyon ullanılmalıdır. N n1! 1531! 17! CN; n 680. n! N 1! 3! 151! 3!14! 3..1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 170 yayınlanamaz ve depolanamaz. 85

86 Örne: Brm değerler 1, ve 3 olan br evrenden adel ve adesz çemlerle N=3 ve n= brm ullanılara oluşturulablece permütasyon ve ombnasyon düzenelern gösternz? Permütasyon Düzeneler Kombnasyon Düzeneler İadel İadesz İadel İadesz İadel İadesz İadel İadesz P(3, 3)=7 P(3, 3)=6 P(3, )=9 P(3, )=6 C(3, 3)=7 C(3, 3)=1 C(3, )=6 C(3, )=3 {1, 1, 1} {,, } {1,,3} {1, } {1, } {1, 1, 1} {,, } {1,, 3} {1, } {1, } {3, 3, 3} {1, 3, } {1, 3} {1, 3} {3, 3, 3 } {1, 3} {1, 3} {1, 1, } {1,, 1} {, 1, 3} {, 1} {, 1} {1, 1, } {1,, 1} {, 3} {, 3} {, 1, 1} {, 3, 1} {, 3} {, 3} {, 1, 1} {1, 1} {1, 1, 3} {1, 3, 1} {3, 1, } {3, 1} {3, 1} {1, 1, 3} {1, 3, 1} {, } {3 1, 1} {3,, 1} {3, } {3, } {3, 1, 1} {3, 3} {,, 1} {, 1, } {1, 1} {,, 1} {, 1, } {1,, } {, } {1,, } {,, 3} {, 3, } {3, 3} {,, 3} {, 3, } {3,, } {3,, } {3, 3, 1} { 3, 1, 3} {3, 3, 1} {3, 1, 3} {1, 3, 3} {1, 3, 3} {3, 3, } {3,, 3} {3, 3, } {3,, 3} {, 3, 3} {, 3, 3} {1,, 3} {1, 3, } {1,, 3} {1, 3, } {, 1, 3} {, 3, 1} {, 1, 3} {, 3, 1} {3, 1, } {3,, 1} {3, 1, } {3,, 1} Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 171 Örne: Küçü br şletmenn üst düzey yönetmn oluşturan beş yönetcs br tören masasına oturtulacatır. (a) Beş yönetcnnaç değş şelde oturtulableceğnn belrleynz. (b) Törende şletmey beş yönetcden üçünün temsl edeceğ varsayıldığında tören masasında aç değş şelde oturtulablrler. (c) Törende şletmey beş yönetcden üçünün temsl edeceğ varsayıldığında aç farlı grupoluşturulablr. Çözüm: (a) P(N; N)=N!=5!=(5).(4).(3).()=10 (b) P(N; n)= P(5;3)= N!/(N n)!=5!/(5 3)!=[(5)(4)(3)()]/[()]=60 (c) C(N; n)= C(N; n)= N!/n!(N n)!=5!/3!(5 3)!=[5.4.3.]/[3..]=10 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 17 yayınlanamaz ve depolanamaz. 86

87 Örne: Br önce tören problemnde 5 yönetc arasından seçlen üç yönetcden belrl br (a), (b) ve üç (c) yönetcnn seçlmes olasılılarını (P ) bulunuz. P =(belrl yönetcy çeren ombnasyon sayısı)/(üç yönetcnn toplam farlı ombnasyonları sayısı). =1,, 3 tür. a) P 1 =[C(1; 1)*C(4; )]/[C(5; 3)]=(1)(6)/10=6/10=0,6. Bu durumda, stenen olasılı 5 yönetcden 3 yönetcnn seçlmes olasılığına (3/5) eşt olmatadır. b) P ==[C(; )*C(3; 1)]/[C(5; 3)] =(1)(3)/10=3/10=0,30. c) P 3 ==[C(3; 3)*C(; 0)]/[C(5; 3)]=(1)(1)/10=1/10=0,10. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 173 Örne: Br satış temslcs br gez programı apsamında 6 l zyaret etmes geremetedr. (a) Zyaret edeceğ coğraf alanda 10 l varsa, zyaret edebleceğ altı l çn aç farlı gez programı düzenleneblr. (b) Zyaret edeceğ coğraf alanda 10 ln olduğu ve ller zyaret sırası da öneml olması durumdaaltı l aç değş şelde zyaret edeblr. (c) Satış temslcsnn zyaret edeceğaltı ln belrlendğn, faat bu ller hang sıraya göre zyaret edeceğnn belrlenmedğ varsayıldığında belrlenen altı l aç değş şelde zyaret edeblr. Çözüm: (a) C(N; n)=n!/n!(n n)!=c(10; 6)=10!/6!(10 6)!=10. (b) P(N; n)=n!/(n n)!=p(10; 6)=10!/(10 6)!= (c) P(N; N)=N!=P(6; 6)=6!=70. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 174 yayınlanamaz ve depolanamaz. 87

88 Örne: Br önce örnete belrtlen 10 lden 6 sının şletmenn mamuller çn brncl, 4 ünün se ncl pazar olduğunu varsayalım. Satış elemanın zyaret edebleceğaltı l rassal olara seçmes durumunda; (a) Zyaret edeceğ altı lden 4 ünün brncl pazar l, dğer ln se ncl pazar l olması olasılığını bulunuz. (b) Altı ln brncl pazar l olması olasılığını hesaplayınız. Çözüm: (a) P=[C(6; 4)*C(4; )]/C(10; 6)=(15)(6)/10=90/10=3/7=0,49. (b) P==[C(6; 6)*C(4; 0)]/C(10; 6)=(1)(1)/10=1/10=0,005 veya probleme bağımlı olaylar çn çarpım uralı uygulanara da aşağıda gb hesaplanablr: P=(6/10)(5/9)(4/8)(3/7)(/6)(1/5)=(1/10)=0,005. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 175 Olasılığın Temel Tanımları Olasılı değerlernn belrlenmesnde ve olasılığın tanımlanmasında üç farlı avramsal görüş söz onusudur: Öznel (sübjetf), las ve deneysel (ampr, görecel freans) görüş. Öznel (Sübjetf) Görüş: Brolayın olasılığı, şnn şsel görüşüne veya nancına bağlıdır. Dğer br anlatımla, br olayın gerçeleşmes le lgl şsel değerlendrme, olay haında blg düzeyne bağlıdır. Örneğn, gelece yıl veya yıllar çn Türye nn sosyoeonom gelşmşlğ le lgl br tsatçı le br sosyologun değerlendrmes farlı olablr. Hatta bu onuda tsatçılar end aralarında farlı görüşlere sahp olablrler. X frmasının hracatı gelece yıl 1 mlyon TL ye ulaşacağı le lgl yapılaca tahmnler sübjetf görüşe uygun örnelerdr. Klas Görüş: Br olayın olasılığı, gözlem ve deneye dayanmadan, teor br modelden elde edlen sonuçlarla belrlenebleceğn ler süren görüştür. Örneğn, br maden paranın yazı ve tura olma üzere yüzü bulunduğuna göre, br yazı tura atışında sözgelm tura gelme olasılığı ½ dr. P(E )=1/Deneyn Toplam Sonuç Sayısı P(Yazı)=1/; P(Tura)=1/. P(Zarda Çft Sayı)= 3/6=1/ P(A)=A OlayınınFreansı / Toplam Sonuç Sayısı Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 176 yayınlanamaz ve depolanamaz. 88

89 Deneysel (Ampr, Görecel Freans) Görüş: Br olayın olasılığı, br veya daha ço sayıda deneyden elde edlen sonuçlarla belrleneblr. Örneğn, Rze de yen doğan bebelerden rassal seçlen br bebeğn ela gözlü olma olasılığı, gözlem ve deney geretrdğ çn ampr br olasılıtır. Sözgelm yapılan deney ve gözlemler 100 şden 5 şnn ela gözlü olduğunu gösteryorsa, şnn ela gözlü olma olasılığı %5 dr. Faat bu olasılı önceden blnmedğ, asne belrl br gözlemden çıarılmış br örneleme blgs olduğu açıtır. Deneysel görüş, görecel freans (relatve frequency) görüşü olara da blnmetedr: P(A)=f A /f. Öznel görüş le elde edlen olasılılar subjetf, ampr ve las görüşler le elde edlen olasılılarse objetf olasılılardır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 177 Olasılığın Temel Özelller Br olayın çem veya deneyler sonucunda olası sonuçlarının gerçeleşme oranı olan olasılıaşağıdagbhesaplanmatadır: na PA ( ) veya PA ( ) n f A f 1 Br zar atıldığında 6 gelme olasılığı br tane 6 olduğuçn;p(6)=1/6dır. Te sayı (1, 3 ve 5) gelme olasılığı P(Te)=3/6=1/ dr. 5 l sambl destesnden br ağıt çeldğnde bu ağıdın 8,upavesyaholma olasılıları şöyledr: P(8)=4/5=1/13; P(Kupa)=13/5=1/4; P(Syah)=6/5=1/ Çünü 5 l sambl destesnde ağıtlar upa, sne, aro, maça olma üzere 13 lü gruplardan oluşmataveağıtları yarısı syah, dğer yarısı se ırmızıdır. Br A olayın meydana gelmes esnse P(A)=1 dr ve bu tür olaylara esn olaylar adı verlr. Br A olay meydan gelmeyeceğ esnse P(A)=0 dır ve bu tür olaylara mansız olaylaradı verlmetedr. Kesn ve mansız olayların dışında olayların gerçeleşme olasılıları 0 1arasında br orandır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 178 yayınlanamaz ve depolanamaz. 89

90 9. HAFTA Olasılı Kuralları Toplama Kuralı Toplama Kuralı ve Ayrı (Brbrn Engelleyen) Olaylar Toplama Kuralı ve Kesşen (Br Arada Meydana Geleblen) Olaylar Çarpım Kuralı Çarpım Kuralı ve Bağımsız Olaylar Çarpım Kuralı ve Bağımlı Olaylar Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 179 Olasılı Kuralları Toplama Kuralı ve Ayrı Olaylar: A ve B ayrı olay se, yan s aynı anda meydana gelemyorsa, A veya B olayının meydana gelme olasılığı A nınolasılığı le B nn olasılığının toplamına eşttr: P(AuB)=P(A)+P(B). P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C). Örne: Madenbrparanın brezatıldığı br denemede yazı veya tura gelmes olasılığı açtır? Y={Paranın yazı gelmes} ve T={Paranın tura gelmes} se Y ve T olayları brlte gerçeleşmes mümün olamayan olaydır. Para br ez atıldığında yazı geldğnde tura gelmesn veya tura geldğnde yazı gelmesn engelleyecetr. P(Y)=1/ ve P(T)=1/ olduğundan stenen olasılı; P(YuT)=P(Y)+P(T)=(1/)+(1/)=1 dr ve bu esn br olaydır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 180 yayınlanamaz ve depolanamaz. 90

91 Örne: Br gym mağazasına gren br müşter %30 olasılıla beyaz, %0 olasılıla açı mav ve %8 olasılıla pembe ren br gömle satın alacatır. Bu müşternn üç ren gömleten brn satın alma olasılığı açtır? Çözüm: A={Beyaz gömle satın alması} B={Açı mavgömlesatın alması} C={Pembegömlesatın alması}. (A)=%30, P(B)=%0, P(C)=%8 olduğundan stenen olasılı P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)=%30+%0+%8= %58 dr. Toplama Kuralı ve Kesşen Olaylar AveBolayları brbrn engellemeyen (esşen) olay se, A veya B nn meydana gelme olasılığı P(AuB)=P(A)+P(B) P(AnB) şelnde hesaplanmatadır. Kesşen olayların ayrı olaylardan farı son termde görülmetedr. Ayrıolaylarınorta notaları olmadığı çn P(AnB)=0dır. P(AuBuC)=P(A)+P(B) +P(C) P(AnB) P(AnC) P(BnC) + P(AnBnC) şelde hesaplanmatadır. Örne: 5 l br deste oyun ağıdından br art çeldğnde bu artınsne(a)veyaas(b)olmaolasılığı açtır? P(AuB)=P(A)+P(B) P(AnB)=(13/5)+(4/5) (13/5*4/5)=16/5. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 181 Örne: 400 şletme bölümü öğrencsnden 00 öğrencnn statst dersn, 100 öğrencnn muhasebe dersn ve 50 öğrencnn se her ders seçtğ blnmetedr. Rassal olara seçlen br öğrencnn muhasebe veya statst dersn seçme olasılığını bulunuz. Çözüm: A={Seçlen öğrencnn statst dersn seçtğn} ve B={Seçlen öğrencnn muhasebe dersn seçtğn} göstersn. Rassal olara seçlen öğrencnn hem statst hem de muhasebe dersn seçmş olableceğndenbuolayesşen olaylardır. Buna göre stenen olasılı, P(AuB)=P(A)+P(B) P(AnB)=(00/400)+(100 /400) (50/400)=0,65. Örne: Br şletmede çalışan 00 şçden 80 deneyml ve 10 s se deneymszdr. Ayrıca deneyml şçlerden 0 s ve deneymsz şçlerden 60 ı adındır. Rassal olara seçlen br şçnn deneyml veya adın olma olasılığı açtır? Çözüm: D={Seçlen şçnn deneyml olmasını}, K={Seçlen şçnn adın olmasını} göstersn. Rassal olara seçlen br şç hem deneyml hem de adın olableceğnden bu olaylar esşen olaylardır. P(D)=80/00, P(K)=80/00 ve P(DnK)=0/00 olduğuna göre, stenen olasılı P(DuK)=P(D)+P(K) P(DnK) sep(dnk)=(8/0+8/0) (/0)=0,70 tr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 18 yayınlanamaz ve depolanamaz. 91

92 BağımsızOlaylarveÇarpım Kuralı İ veya daha fazla olay meydana geldğnde br olayın meydana gelmes dğerlernn meydana gelmes olasılılarını etlemyorsa bu tür olaylara bağımsız olaylar adı verlmetedr. A ve B brbrnden bağımsız olay se, bu olayın brlte meydana gelme olasılığı çarpım uralıyla P(AnB)=P(A).P(B) şelnde hesaplanmatadır. Ayrı olaylar (brbrn engelleyen veya bağdaşmaz olaylar) le bağımsız olayları brbrnden ayırt eme gerer. İ olay aynı anda gerçeleşemyorsa, yan esşm ümelernn olasılığı sıfır se, bu olaylar ayrı olaylardır. Bağımsız olayların özellğ se, esşm ümelernn olasılığının olaylarınortayaçıış olasılılarının çarpımına eşt olmasıdır. Örneğn, İMKB endes bugün yüselece ve Rze de bugün hava güneşl olaca gb olayı ele alalım. Bu olayların brbrnden bağımsız olduğu esndr, faat bu olaylar ayrı (engelleyen) olaylar değldr: Çünü her s aynı anda gerçeleşeblr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 183 Örne: İ zarın brlte atıldığı br denemede her zarda altı (6, 6) gelmes olasılığı açtır? Çözüm: A={brnc zarın 6gelmes}veB={nczarın 6 gelmes}. P(A)=1/6 ve P(B)=1/6 dır. P(AnB)=P(A).P(B)=(1/6).(1/6)=1/36 dır. Örne: Br bası atölyesnde otomat olara çalışan A, B ve C maneler br tensyen tarafından ontrol edlmete ve sadece arıza olduğunda müdahale geremetedr. 8 saat boyunca bası manelern bozulma olasılıları sırasıyla %5, %8 ve %10 dur. Bu üç bası manesnn 8 saat boyunca arıza yapmadan çalışma olasılığı açtır? Çözüm: P(AnBnC)=P(A).P(B).P(C)=%95.%9.%90=%78,66. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 184 yayınlanamaz ve depolanamaz. 9

93 10. HAFTA Olasılı Kuralları (Devam) Koşullu Olasılı Orta ve Marjnal Olasılı. Bayes Teorem Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 185 Bağımlı Olaylar ve Çarpım Kuralı AveBbağımlı olay se, A ve B nn brlte gerçeleşmes olasılığı, A nın olasılığı le A nın geçeleştğ blnren B nn gerçeleşmes olasılığının çarpımına eşttr. Olayların bağımlı olması deme, brnn gerçeleşmesnn, ötenn gerçeleşp gerçeleşmemesne bağlı olması demetr. Böylece olaylar bağımlı oldularından brbrnn ortaya çıma olasılılarını etlemetedr. Bu tür olayın brlte gerçeleşmes olasılığı, bağımlı olaylarda Çarpım Kuralı yardımıyla hesaplanmatadır: P(AnB)=P(A).P(B A). P(B A) term, B nn oşullu olasılığıdır. Dğer br anlatımla A nın gerçeleştğ blnren B nn gerçeleşmes olasılığıdır. Örne: 100 mamulden 0 tanesnn usurlu olduğu br utudan adesz olara mamul çeldğnde snn de usurlu olması olasılığı açtır. Çözüm: P(AnB)=P(A).P(B A)=(0/100).(19/99)=19/495=%3,8 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 186 yayınlanamaz ve depolanamaz. 93

94 Örne: Br fabrada üretlen sağlam mamullerden 60 tanes le hatalı üretlen mamullerden 0 tanes br depoya onulmatadır. İadesz olara seçlen üç ürünün de usurlu olması olasılığı açtır. Çözüm: A={çelen brnc mamulün usurlu olması}, B={çelen nc mamulün usurlu olması} ve C={çelen üçüncü mamulün usurlu olması} olara tanımlanırsa stenen olasılı şöyle hesaplanablr: Çelen brnc parçanın usurlu olması olasılığı P(A)=0/80, brnc parçanın usurlu olması oşuluna bağlı olara nc parçanın usurlu olması olasılığı P(B A)=19/79, brnc ve nc parçanın usurlu olması oşuluna bağlı olara üçüncüparçanın usurlu olması olasılığı P(C A,B)=18/78 dr. Çözüm: P(AnBnC)=(0/80).(19/79).(18/78)=%1,4 tür. Olaylar bağımlı olduğundan brbrlernn gerçeleşme olasılığını etlemetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 187 Koşullu Olasılı Koşullu olasılıların hesaplanmasında bağımlı olayların çarpım uralından yararlanılmatadır. B olayı gerçeleştğnde A olayının gerçeleşme olasılığı, bu uraldan yararlanara aşağıda gb hesaplanır. Koşullu olasılı uralında olaylar brbrne bağımlı olmatadır. P A B, P A B P A B P C A B C PB P A P B A P Papaz Sne Örne: 5 l br desteden çelen br art sne se, bunun papaz olması olasılığını bulunuz. Çözüm: P Papaz Sne 1/13 13 / 5 1/ 5 1/13 P Sne 13 / 5 13 / 5 Örne: Br maden para le zar brlte atıldığında parada tura olduğunda, zarda te sayı olma olasılığını bulunuz. Çözüm: PTeSayı Tura PTeSayıTura 3/6 1/ 3/1 1/ PTura 1/ 1/ Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 188 yayınlanamaz ve depolanamaz. 94

95 Koşullu Olasılı(Devam) Örne: 5 l br oyun ağıdı destesnden rassal olara br art çelyor. Çelen artın asolduğu blndğne göre upa olması olasılığı açtır. Çözüm: A={çelen artın asolması} ve B={çelen artın upaolması}. P(A)=4/5 ve P(AnB)=1/5 olduğuna göre stenen olasılı; P(B A)=P(AnB)/P(A)=(1/5)/(4/5)=1/4 olara hesaplanır. Örne: Yılbaşı hedyes alma çn br mağazaya gren 5 bayan müşterden s gömle, 3 ü ayaabı satın almıştır. Bunlar arasından br bayan hçbr şey satın almadan mağazadan çımıştır. Ayaabı satın aldığı blnen br müşternn gömle satın alması olasılığı açtır. Çözüm: G={gömle satın alma} ve A={ayaabı satın alma}. P(G)=/5 ve P(A)=3/5 olur. Br ş hçbrşey satın almadığına göre, bayanlardan brs hem gömle hem de ayaabı satın almıştır. Buna göre P(GnA)=1/5 olur. Buradanstenen oşullu olasılı P(G A)=P(GnA)/P(A)=(1/5)/(3/5)=1/3 tür. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 189 Örne: Faültemzde yapılan br araştırmaya göre, öğrenclern %40 ı end alanları le lgl br televzyon programı zlemete, %0 s alanlarında br maale oumata ve %8 se her sn yapmatadır. Kend alanında br televzyon programı zlemş alanında br maale ouma olasılığı açtır? br öğrencnn Kend alanında br maale ouyan br öğrencnn, end alanında br televzyon programı zlemş olması olasılığı açtır? Çözüm: A={end alanında televzyon programı zleme} ve B={end alanında br maale oumuş olma} olaylarını göstersn. Buna göre P(A)=%40, P(B)=%0 ve P(AnB)=%8 olduğuna göre stenen oşullu olasılılarsırasıylaaşağıda gbdr: P(B A)=P(AnB)/P(A)=%8/%40=%0 dr. P(A B)=P(AnB)/P(B)=%8/%0=%40 olara hesaplanır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 190 yayınlanamaz ve depolanamaz. 95

96 Orta Olasılı ve Marjnal Olasılı Br değşenn tüm olası olayları br tabloda sütunlarda ve dğer br değşenn tüm olası olayları se satırlarda gösterldğ ve tabloların her hücresnde her değşene at orta sonuçlar (freanslar) le ayrı ayrı her br değşene at sonuçların (marjnal freansların) yer verldğ tablolara yönlü sınıflandırma tabloları adı verlmetedr. Bu tablolarda orta freanslar toplam brm sayısına oranlanara hesaplanan olasılılara orta olasılı; marjnal freansların toplam brm sayısına oranlanara hesaplanan olasılılara se marjnal olasılılar adı verlmetedr. Ayrıca bu tablolardan brleşm ve esşm olaylarına lşn olasılılar le oşullu olasılılarhesaplanablmetedr. Bu tablolarda olasılılar önceden blnen olasılılar olmasından ço genelde orta olayların gerçeleşme freanslarından yararlanara hesaplanmatadır. Bu tür freans tablolarından yararlanara düzenlenen olasılı tablolarına statstte ontenjans tabloları (contngency table) adı verlmetedr. Örne: Müz ürünlernn satıldığı br br marete gren 50 müşternn yaş ve cnsyetlerne göre dağılımını gösteren aşağıda yönlü sınıflandırma tablosundan yararlanara ontenjans tablosunu oluşturunuz. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 191 Cnsyet Marjnal Yaş E=Ere K=Kadın Toplam G=30 Altı Y=30 ve Marjnal Toplam Cnsyet Marjnal Yaş E=Ere K=Kadın Olasılı G=30 Altı Y=30 ve + 0,3 0,36 0,4 0,08 0,56 0,44 Marjnal Olasılı 0,68 0,3 1,00 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 19 yayınlanamaz ve depolanamaz. 96

97 Soru: 50 şl gruptan rassal olara seçlen brnn adın (K), ere (E), genç (G) ve yaşlı (Y) olması olasılıları açtır? Cevap: P(K)=%3, P(E)=%68, P(G)=%56 ve P(Y)=%44. Soru: 50 şl gruptan rassal olara seçlen brnn adın ve 30 yaş altı (genç) olması olasılığı açtır? Cevap: P(KnG)=%4 Soru: 50 şl gruptan rassal olara seçlen br müşternn ere olduğu blndğne göre bu müşternn yaşlı olması (30 ve +) olasılığı açtır? Cevap: P(Y E)=P(YnE)/P(E)=%36/%68=%5,9 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 193 Örne Olasılı Problemler Örne: Br coğraf bölgede yaşayan bn şnn gelr dağılımı aşağıda tabloda verlmetedr. Bu verlerden yararlanara aşağıda olasılıları hesaplayınız. Gelr Sınıfı Yıllı Gelr Aralığı (TL) Ale Sayısı den az ve Toplam Bölgeden rassal olara seçlen br alenn nc gelr sınıfından olması olasılığını bulunuz TL'den az olması olasılığını bulunuz den daha az veya den daha ço olması olasılığını bulunuz. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 194 yayınlanamaz ve depolanamaz. 97

98 Çözüm: (a) P()=00/1000=%0. (b) P(1 veya )=(105/1000)+(00/1000)=%30,5. (c) P(1 veya 5)=(105/1000)+(195/1000)=( )/1000=%30. Örne: 015 yılında büyü br frmanın blgsayar programlama şne başvuran 100 adaydan 40 nın ş deneymne (D), 30 unun profesyonel br sertfaya (S) ve 0 snn se hem ş deneymne hem de profesyonel br sertfaya sahp olduğu blnmetedr. (a) Bu olayları gösteren br Venn dyagramı çznz. (b) Rassal seçlen br adayınşdeneymne veya br sertfaya sahp olması olasılığını bulunuz. (c) Rassal seçlen br adayın deneymsz olduğu blndğnde bu şnn br sertfaya sahp olması olasılığını bulunuz. (d) Rassal seçlen br adayınhemşdeneymne hem de br sertfaya sahp olması olasılığını bulunuz. Çözüm: (a) D 0 S 10 D Sertfa Durumu Deneym Durumu D Toplam S S 50 S (b) P(DUS)=P(D)+P(S) P(DnS)=%40+%30 %0=%50. (c) P(S/Deneymsz)=10/60 dır. Toplam (d) P(DnS)=0/100=0,0 dr veya P(DnS)=P(D)*P(S/D)=0,40*0,50=0,0 dr veya P(DnS)=P(S)*P(D/S)=0,3*(0/30)=0,0 dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 195 D Soru: Aşağıda tablo 300 şletmenn endüstr gruplarına ve sermaye arlılı oranlarının ortalamanın altında veya üstünde olup olmamasına göre dağılımını göstermetedr. Bu tabloda verlerden yararlanara aşağıda stenen olasılıları hesaplayınız. Sermaye Karlılı Oranı Endüstr Grubu Ortalama Altı (A) Ortalama Üstü (Ü) Toplam I II III IV Toplam Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 196 yayınlanamaz ve depolanamaz. 98

99 (a) P(I)=95/300=%31,6; P(II)=45/300=%15; P(III)=80/300 =%6,7; P(IV)=80/300=%6,7 dr. (b) P(I ve A)=35/300=%11,67 (c) P(II veya Ü)= (45/300)+(180/300) (30/300)=%15+%60 %10=%65. (d) P(I veya II)=(95/300)+(45/300)=%31,67+%%15=%46,67. (e) P(I ve II)=%0. (f) P(A veya Ü)=%100. (g) P(A I)=35/95=%36,84. (h) P(III A)=30/100=%30. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 197 Bayes Teorem Bayes uralı deney önces olasılıları, deneysonrası elde edlen sonuçlarla düzeltere, son olasılılara dönüştürmetedr. A 1, A,,A n ayrı olaylar ve brleşmler örnelem uzayında K durumunu gösteryorsa herhang br A olayının gerçeleşme olasılığı Bayes uralıyla aşağıda gb hesaplanmatadır. P A K P A K... P A K P A K P A K 1 n P A PK A n PAPK A Örne: Üç fabrada üretlen mamullerden rassal olara seçlen br mamul usurlu olduğunda, bu mamulün brnc, nc veya üçüncü fabradan seçlmş olması olasılıları Bayes uralı le aşağıda aşamalarla belrlenmetedr. Brnc fabrada günde ortalama 600, nc fabrada 900, üçüncü fabrada 1000 brm üretlmetedr. Fabralarda usurlu üretm oranları sırasıyla %5, %8ve %10 dur. 1 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 198 yayınlanamaz ve depolanamaz. 99

100 Fabralar Üretlen Brm İl Olasılılar Koşullu Olasılılar I II III P(A 1 )= 600 / 500=0,4 P(A )= 900 / 500=0,36 P(A 3 )=1000/500=0,40 Toplam 500 1,00 P(K A 1 )=0,05 P(K A )=0,08 P(K A 3 )=0,10 Kusurlu ürünün I., II. ve III. fabradan olması olasılıları: P A K P A P K A 0, 4*(0,05) 0,01 P A K P A P K A 0,36*(0,08) 0,09 P A K P A P K A 0,40*(0,10) 0,040 3 Toplam P K P A * P K A 0,081 1 Son olasılılar; 1 3 K K K P A 0,01 PA1 K 0,1485 P K 0,081 P A 0,09 PA K 0,3564 P K 0,081 P A 0,040 PA3 K 0,4951 P K 0,081 Toplam 1,0000 Çelenmamulusurluolduğunda Bayes uralıyla bunun üçüncü fabradan olma olasılığının %49,51; nc fabradan olma olasılığının %35,64; brnc fabradan olma olasılığının %14,85 olduğu belrlenmetedr. Böylece %40, %36 ve %4 olan l olasılılar, çelen brmn usurlu olması blgsyle düzeltlere son olasılılar elde edlmetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 199 Örne: Br büfe sahb, büfesne gelen müşterler memur, şç ve emel olara sınıflandırıptümmüşterlern sırasıyla %40, %35 ve %5 nn bu sınıflara grdğn saptamıştır. Büfe sahb aynı zamanda memurların %30 unun, şçlern %5 nn ve emellern %55 nn gazete satınaldığını gözlemlemştr. (a) Büfeye gelen müşterlerden rassal olara seçlen brnn gazete satınalması olasılığını, (b) Rassal olara seçlen br müşter gazete satın almışsa, bu müşternn memur olması olasılığını, (c) Rassal olara seçlen br müşter gazete satın almışsa, bu müşternn memur olmama olasılığını hesaplayınız? Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 00 yayınlanamaz ve depolanamaz. 100

101 Çözüm: M={müşternn memur olmasını}, E={müşternn emel olmasını}, İ={müşternn şç olmasını} veg={müşternn gazete satın almasını} gösteryor olsun. Problemde verlenlerden P(M)=%40, P(E)=%5 ve P(İ)=%35 ön olasılıları le P(G M)=%30, P(G E)=%55 ve P(G İ)=%5 oşullu olasılılarını yazablrz. a) P(G)=P(M)*P(G M) + P(İ)*P(G İ) + P(E)*P(G E) = %40*% *%5 + %5*%55 = %34,5 (ayrı olaylar çn toplama ve bağımlı olaylar çn çarpım uralı) b) P(M G)=[P(M)*P(G M)] / [P(M)*P(G M) + P(İ)*P(G İ) + P(E)*P(G E)] =(%40*%30) / [(%40*%30) + (%35*%5) + (%5*%55)] = %34,78 (son olasılı). c) Son olasılıların toplamı 1 e eşt olması geretğnden, gazete satın alan br müşternn memur olmama olasılığı P(M* G)=1 P(M G)=1 %34,78=%65, dr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 01 Örne: Br fabrada üretlen mamullern %0 s M1, %30 u M ve %50 s M3 manelernde üretlmetedr. Bu manelerde usurlu üretm olasılıları sırasıyla %, %3 ve %4 tür. Br günlü üretm sonunda rassal olara br mamul çelmş ve bozu (B) olduğugörülmüştür. Bu mamulün M3 manesnde üretlmş olması olasılığı açtır. Çözüm: Verlenlerden yararlanara l ve oşullu olasılılar aşağıda gbyazılablr: İl Olasılılar: P(M1)=%0, P(M)=%30 ve P(M3)=%50. Koşullu Olasılılar: P(B M1)=%, P(B M)=%3 ve P(B M3)=%4. P(M3 B)=[P(M3)*P(B M3)] / [P(M1)*P(B M1) + P(M)*P(B M) + P(M3)*P(B M3)] = (%50*%4)/[(%0*%) + (%30*%3) + (%50*%4)] = %60,6 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 0 yayınlanamaz ve depolanamaz. 101

102 11. HAFTA Rassal Değşen Kavramı Kesl Rassal Değşen ve Olasılı Fonsyonu Sürel Rassal Değşen ve Olasılı Yoğunlu Fonsyonu Rassal Değşenn Belenen Değer ve Varyansı Standart Rassal Değşen Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 03 RassalDeğşen (Kesl ve Sürel) Hang değerler alacağı önceden blnmeyen ve belrl olasılılarla farlı değerler alablen özelllere rassal değşen adı verlmetedr. Br rassal değşenn belrleneblmes çn lgl değşenn (X) alableceğ tüm olası değerlern ve bu değerler alma olasılılarının blnmes geremetedr. X 1, X,, X gb değerler alablen X rassal değşennnbudeğerlernn gerçeleşme olasılıları P(X=X 1 ), P(X=X ), P(X=X ) set, X n olasılı fonsyonunu oluşturmatadır. Örne: Üç paranın brlte atıldığı br denemede X rassal değşen tura sayısını gösterdğne göre, X n aldığı değerler ve bu değerler alması olasılılarını bulunuz. S={YYY, TYY, YTY, YYT, TTY, TYT, YTT, TTT}. X rassal değşen,yyysonucuçn0; TYY, YTY ve YYT sonuçları çn 1; TTY, TYT ve YTT sonuçları çn ; TTT sonucu çn se 3 değerlern alır. Böylece P(X=0)= 1/8, P(X=1)=3/8, P(X=)=3/8 ve P(X=3)=1/8 olara hesaplanır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 04 yayınlanamaz ve depolanamaz. 10

103 Kesl Olasılı Fonsyonu Br rassal değşenn alableceğ değerlerle bu değerler alablmes olasılıları arasında lşy gösteren fonsyona olasılı fonsyonu adı verlmetedr. X rassal değşen X 1, X,, X değerlern alablen esl br rassal değşen ve bu değerlere arşılı gelen olasılılar P(X ), =1,,, olsun. Aşağıda oşulları sağlayan P(X ) fonsyonuna X n olasılı fonsyonu adı verlr. PX ( ) 0 ve PX ( ) 1 1 Örne: Aşağıda verlen fonsyonların brolasılı fonsyonu olup olmadılarını belrtnz. X P(X ) 0,3 0,1 0,4 0, X P(X ) 0,1 0,1 0,4 0, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 05 Çözüm: Bu fonsyonlardan brncs İ olasılı oşulunu brlte sağladığı çn bu fonsyon br olasılı fonsyonudur. İnc fonsyon gerel oşulları brlte sağlamadığı çn (olasılılar toplamı 1 den üçü) br olasılı fonsyonu değldr. Örne: Aşağıda fonsyonun brolasılı fonsyonu olduğunu gösternz. x 3x 31 1 x 0,1,,3. PX ( x) x 0 dğer x'ler çn. Çözüm: P(X ), X n olasılı fonsyonu olablmes çn daha önce belrtlen oşulu brlte sağlaması geremetedr. Yan; (1) X=0,1,,3çnP(X )>=0 ve bu değerler alması olasılıları toplamı 1olmalıdır PX ( 0) ( 1) 0 PX PX ( ) PX ( 3) Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 06 yayınlanamaz ve depolanamaz. 103

104 Örne: Br torbada 6 sarı ve 4 ırmızı blye vardır. İadesz olara 3 blye çelyor. X sarı blye sayısını gösterdğne göre X rassal değşennn alableceğ değerler ve bu değerler alması olasılılarını hesaplayınız? Çözüm: Bu deney çn örnelem uzayı şöyle yazılablr: S={SSS, SSK, SKS, SKK, KSS, KSK, KKS, KKK}. X n alableceğdeğerler se X(SSS)=3, X(SSK)=, X(SKS)=, X(SKK)=1, X(KSS)=, X(KSK)=1, X(KKS)=1, X(KKK)=0 şelndedr. Böylece X n alableceğ değerler X=0, 1,, 3 tür. Bu değerler alması olasılıları se aşağıda gb hesaplanmatadır PX 0 PKKK PX 1 PSKK PKSK PKKS P X PSSK PSKS PKSS P X 3 P SSS PX 0PX 1PX PX 3 1'dr Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 07 Sürel OlasılıYoğunluFonsyonu (Sürel Değşen) X, (,+ ) aralığında tanımlanan br sürel rassal değşen olsun. Aşağıda oşulları sağlayan f(x) fonsyonuna X n sürel olasılı yoğunlu fonsyonu adı verlmetedr. f ( x) 0 ve f( x) dx1 Burada genel olara, X n tanım aralığı (,+ ) arasındadır. Dğer durumlar çn (,+ ) aralığı yerne X n tanımlandığı alt ve üst sınırları alınmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 08 yayınlanamaz ve depolanamaz. 104

105 Örne: Br şletmenn paetleme bölümünde paetleme şlem çn maneler belrl br aralığa göre ayarlanmıştır. Anca bu manelern doldurduğu paetlern ağırlıları 0 3 grarasında sapmatadır. Sürel olasılı yoğunlu fonsyonu f(x)=ax olara belrlenmştr. f(x) n olasılı yoğunlu fonsyonu olablmes çn a sabt ne olmalıdır? Çözüm : Fonsyonunun tanımlandığı 0 x 3 aralığında 3 belrl ntegral f( x) dx1 olmalıdır. 0 3 x axdx a a 0a 1a Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 09 Örne: X çn aşağıda fonsyon verlmetedr. x 0 x1 çn f( x) 0 dğer x değerler çn f( x) sürel olasılı yoğunlu fonsyonu mudur? Çözüm: Fonsyonun tanımlandığı 0 x1 aralığında x değerler çn f( x) 0 olduğundan brnc oşul sağlanmatadır. Ayrıca fonsyonun 0-1 aralığında belrl ntegral, 1 x 1 1 xdx olduğuna göre, nc oşul da sağlanıyor demetr. Öyleyse, f( x)'n sürel olasılı yoğunlu fonsyonu olduğu söyleneblr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 10 yayınlanamaz ve depolanamaz. 105

106 Rassal Değşenn Belenen Değer ve Varyansı Br rassal değşenn belenen değer değşenn alableceğ tüm olası değerlerle olasılılarının çarpımlarının toplamıdır. Artmet ortalama le aynı anlama gelen bu değer, rassal değşenn tüm olası değerler le bu değerlere at freansların çarpımlarının toplamı freanslar toplamına bölünere de elde edleblmetedr. Kesl ve sürel değşenler çn rassal değşenn belenen değer ve varyansı aşağıda formüllerle hesaplanmatadır. fx Kesl E X X x p x V X x p x E X : ( ) n n 1 ( ) ( ) X ( ). 1 1 f 1 : ( ) ( ) ( ) X ( ). Sürel E X xf x dx V X x f x dx E X Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 11 Örne: Br şadamı yaptığı br yatırımdan %40 olasılıla 150 TL, %30 olasılıla 300 TL ar ve %30 olasılıla 450 TL zarar edecetr. Bu yatırımın belenen azancını hesaplayınız? Çözüm: X rassal değşen şadamının azancını göstersn. X n olasılı fonsyonu aşağıdagbtanımlanablr. E(X)=0,30( 450)+ 0,40(150)+ 0,30(300)=15. X P(X ) 0,30 0,40 0,30 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 1 yayınlanamaz ve depolanamaz. 106

107 Örne: Br statst tabının sayfalarında yanlış sayısını gösteren X n olasılı fonsyonu aşağıda verlmetedr. Sayfa başına ortalama yanlış sayısını (belenen değern) ve varyansını hesaplayınız. X 0 1 P(X ) 0,80 0,18 0,0 Çözüm : EX ( ) X xpx ( ) 0(0,80) 1(0,18) (0,0) 0, 1 Öyleyse, sayfa başına ortalama 0, yanlış bulmayı beleyeceğmz sonucuna varırız. ( n ) ( ) [ ( )] 0 (0,80) 1 (0,18) (0,0) (0,) 1 V X x p x E X 0,1. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 13 Örne: X rassal değşennn olasılı yoğunlu fonsyonu aşağıda gb verlmetedr. Fonsyonun belenen değern ve varyansını bulunuz. 3x 0 x1 f( x) 0 dğer x'ler çn Çözüm : x 1 3 EX ( ) xf( xdx ) xxdx 3 3xdx V( X) x f( xdx ) EX ( ) x3xdx x 9 3xdx Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 14 yayınlanamaz ve depolanamaz. 107

108 Standart Rassal Değşen Standart değşen, herhang br rassal değşenn brm değerler belenen değernden farları alınıp standart sapmasına bölünmes yoluyla elde edlen değerlern meydana getrdğ değşendr. Böylece rassal değşen ölçüm brmnden (değşenlten) arındırılmış değşen olmatadır. Standart rassal değşenlern (Z ) herzamanortalaması sıfırvestandartsapması le varyansı bre eşttr. X Z şlemyle standart hale dönüştürülen değşenn belenen değer; X - E( X) E( X) EZ ( ) E 0 X X Standart sapma ve varyansı da; Z X E( X) E X X X X X X Z E 1 1 olacatır. Z Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları HAFTA Olasılı Dağılımları Kesl/Süresz Olasılı Dağılımlar Bnom Dağılımı Hpergeometr Dağılım Posson Dağılımı Kesl Ünform Dağılımı Mültnomal Dağılım. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 16 yayınlanamaz ve depolanamaz. 108

109 OlasılıDağılımları Rassal değşenlern alableceğ tümolası değerlern olasılılarının fadesne olasılıdağılımları adı verlmetedr. Bu sunum cebrsel, tablo ve graf yoluyla üç farlı şelde yapılablr. X rassal değşennn tüm olası değerlernn arşısında bu değerlere at olasılılaryazılara sütundan oluşanolasılıdağılımı elde edlr. X değerlernn yatay esende, olasılıların da dey esende gösterldğ graflerde, notaların brleştrlmesyle elde edlen esl veya essz eğrye olasılı fonsyonu adı verlmetedr. Rassal değşen sürel se sürel olasılı dağılımı, esl se esl (süresz) olasılı dağılımı adını almatadır. Böylece olasılı dağılımları ana grup altında nceleneblr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 17 Kesl Olasılı Dağılımları Tablo: Öneml Kesl ve Sürel Olasılı Dağılımları (1) Bnom İadel çem, sonuçlu, p ve q olasılıları sabt olan olaylarındağılımı () Hpergeometr İadesz çem, sonuçlu, p ve q olasılıları sabt olmayan olaylarındağılımı (3) Posson Nadr olaylar dağılımı, br ülede doğal afetler veya br şyernde aza sayısının dağılımı vs. örne olara verleblr. (4) Kesl Ünform Belrl aralıta belrl değerler eşt olasılılarla alablen olayların dağılımı (zar örneğ). (5) Mültnomal Bnom dağılımının özel şel. İadel çem, den ço sonuçlu ve lgl olasılıları sabt olan esl rassal değşenlern dağılımı. Sürel Olasılı Dağılımları (1) Normal (z) n 30, dağılım smetr ve sürel. () Student t Dağılımı n<30, dağılım smetr ve sürel. (3) Üstel Dağılım Kesl posson dağılımının alternatf. Br hava alanına nen uçaların ortalama varış süreler vs. (4) Sürel Ünform Belrl aralıta tüm değerler eşt olasılılarla alablen rassal değşenlern uyduğudağılımı. (5) K Kare Dağılımı Sıfır ortalamalı ve brm varyanslı normal dağılımlı br areler toplamı dağılımıdır. Örne varyansının örneleme dağılımı örne olara verleblr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 18 yayınlanamaz ve depolanamaz. 109

110 Bnom Dağılımı Brbrnden bağımsız ve sonuçlu olaylar bnom dağılımına uymatadır. Bnom dağılımında stenen olayın gerçeleşme olasılığı p, stenmeyen olayın olasılığı se q=1 p le gösterlmetedr. Brbrnden bağımsız n deneme yapılırsa, stenlen olayın gerçeleşme olasılığı aşağıda eştlle hesaplanmatadır. n pq x nx x 0,1,,..., n Pxnp ( ;, ) x 0 dğer x'ler çn Her deneme çn p ve dolayısıyla q olasılıları sabttr. Denemeler brbrnden bağımsızdır. Her deneme çn sonuç söz onusudur. Deneme sayısını gösteren n sonlu br değere varır. Bnom dağılımının ortalaması; E(X)=µ=n.p Varyansı; V(X)=σ =n.p.q. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 19 Örne: Br üretm yönetcs, belrl br üretm sürecnde üretlen mamullern % snn usurlu olduğunu blmetedr. Brbrnden bağımsız olduğu varsayılan bu mamullerden 10 tanes ncelenmştr. (a) Bu parçalardan hçbrsnn usurlu çımaması olasılığını, (b) Bu parçalardan brnn usurlu çıması olasılığını, (c) Bu mamullerden en az snn usurlu çıması olasılığını, (d) Bu değşenn ortalamasını ve varyansını hesaplayınız. Çözüm: (a) Üretlen mamullern usurlu ve usursuz olması gb sonucu vardır. Bu nedenle şlemler bnom dağılımına göre yürütülecetr. Üretlen parçaların % snn usurlu olduğu blndğne göre, p=% olacatır. X usurlu mamul sayısını göstersn. O zaman X n dağılımı n=10, p=% ve q=%98 olan br bnom dağılımına uyar. Böylece X n esl olasılı fonsyonu aşağıda gb yazılablr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 0 yayınlanamaz ve depolanamaz. 110

111 10 0,0 x 0,98 10x x 0, 1,,...,10 Px (, 10, %) x 0 dğer x'ler çn Kusurlu mamul sayısına gösteren X'n olasılı fonsyonu ullanılara stenlen olasılılar, ( a) P( x0) (%) (%98) %81, ( b) P( x 1) (%) (%98) %16,7 ( c) P( x) P( x) P( x3)... P( x10) %1,6 veya Px ( ) 1 [ Px ( 0) Px ( 1)] 1 (%81,7 %16,7) %1,6 ( d) E( x) np10 %0, V ( x) 10 % %98 0,196 npq Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 1 Örne: Br üretm hattında hatalı ürün üretlmes olasılığı %10 olduğu blnmetedr. Her gün üretm hattında üretlen parçalardan beş rassal olara seçlp ncelenmetedr. (a) Seçlen beş parçadan br tanesnn hatalı olması olasılığını, (b) Seçlen örneğn %60 ya da daha azının bozu olma olasılığını, (c) Günlü belenen hatalı ürün sayısını ve varyansını bulunuz. Çözüm: Bozu parça sayısını gösteren X'n olasılı fonsyonu aşağıda gb yazılablr. 5 x 0,10 0,90 5 x x 0,1,,3,4,5. Px ( ; 5, %10) x 0 dğer x'ler çn. Olasılı fonsyonundan yararlanara, stenen olasılılar aşağıda gb hesaplanmatadır ( a) P( x1) 0,10 0,90 0,38 1 ( b) P( x3) P( x0) P( x1) P( x) P( x3) Px ( 3) 0,5905 0,380 0,079 0,0080 0,9995. ( c) E( X) np5 %10 0,5 V X ( ) npq5 %10 %90 0,45. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları yayınlanamaz ve depolanamaz. 111

112 Örne: Büyü br şrete br part mal gelmştr. Bu partden rassal olara seçlen 5 parça ncelenp, hatalı parça sayısı den az çıarsa part abul edlmetedr. %5 ve %15 olasılılarında usurlu parça çeren br part malın abul edlme olasılılarını bulunuz. Çözüm: Kusurlu parça sayısı den az, yan sıfır veya br se part abul edlr ( a) P( Kabul%5) 0, 05 0,95 0, 05 0,95 0, ( b) P( Kabul%15) 0,15 0,85 0,15 0,85 0, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 3 Hpergeometr Dağılım İ sonucu olan br denemede brmler ncelendten sonra ger ade edlmesn. Böylece br ez seçlen brm terar seçlme olasılığını aybetmetedr. Bu durumda her deney sonucunda p ve q olasılıları değşecetr. N brmden oluşan br anaütlede, belrl özellğe sahp brmlern sayısı A se, bu özellğe sahpolmayan brmlern sayısı N A olur. Bu anaütleden rassal olara ve adesz n büyülüğünde br örnelem çeldğnde, örnelemde belrl özellğe sahpbrmsayısını gösteren X rassal değşenn alacağı değerler X=0,1,,,n olduğuna göre, X n olasılı fonsyonu aşağıda gb tanımlanan hpergeometr dağılımdır. AN A x n x x 0,1,,..., n Px ( ) N n 0 dğer x'ler çn. Hpergeometr dağılımın; N n E X np npq N 1 Ortalaması: ( ), Varyansı:. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 4 yayınlanamaz ve depolanamaz. 11

113 Örne: Br torbada 5 beyaz ve 10 mav top vardır. İadesz 3 top çelyor. X çelen beyaz top sayısını gösterdğne göre, X n alableceğ değerler ve bu değerler alması olasılılarını bulunuz. Çözüm : N 15, n3, A5 ve N - A10'dur. X çelen beyaz top sayısının gösterdğne göre, X'n alacağı değerlere lşn esl olasılı fonsyonu aşağıda gb yazılablr: 5 10 x 3-x x 0,1,,3. Px ( ) dğer x'ler çn. Bu olasılı fonsyonu ullanılara stenen olasılılar aşağıda gb hesaplanır: Px ( 0) %6,3 Px ( 1) %49, Px ( ) %,0 Px ( 3) %, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 5 Örne: Br banada çalışma çn başvuran 100 adaydan 5 tanes br statst paet programını ullanablmetedr. Adaylar arasından rassal olara seçlen 10 şden brsnn statst paet programını ullanablmes olasılığını bulunuz? Çözüm : N 100, n10, A5 ve N- A olduğuna göre stenen olasılı. AN A 595 x n x Px ( 1) %33,9 dur. N n Px ( 1) 0,05 0,95 %31,5 1 Not: Örnelem hacm (n) anaütle hacmne (N) göre üçüse hpergeometr olasılılar bnom olasılılarına ço yaındır ve hpergeometr olasılılar yerne bnom olasılıları ullanılablr. Uygulamada n/n değer %10 dan üçüse hpergeometr dağılım yerne bnom dağılımı terch edlmetedr. Bu durumda (N n)/(n 1) düzeltme fatörü 1 e ço yaındır. Böylece hpergeometr dağılımın varyansı, bnom dağılımın varyansı olan n.p.q değerne yaın olur. Kısaca, sonsuz veya ço büyü br anaütleden adel ve adesz çem yapma arasında br far bulunmamatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 6 yayınlanamaz ve depolanamaz. 113

114 Posson Dağılımı X rassal değşennn belrl br zaman aralığında veya belrl br meanda ço az terar eden olayların dağılımıdır. Örneğn br ülede doğal afetlern veya br şletmede aza sayısınındağılımı gb. Posson dağılımı nadr olayların dağılımı olara da blnr. Posson dağılımı deney sayısının ço fazla, faat meydana gelme olasılığının ço düşü olan olaylarla lgl problemlerde ço uygun sonuçlar vermetedr. Uygulamada bu ntelğ azanablmes çn p %1 ve lamda=np 5 olması oşulu aranmatadır. Posson dağılımı X rassal değşenn 0,1,,3 vs. gb değerler alablen esl br dağılımdır. X rassal değşenn olasılı fonsyonu, ortalaması ve standart sapması aşağıda gb tanımlanmatadır. x e Px (, ) x0, 1,,... x! ( ) E X np np Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 7 Örne: Rze de ayda ortalama olara 3 ez eletr eslmes olmata ve bu esntlern br posson dağılımına uyduğu varsayılmatadır. Rze de br ay çnde, (a) Hç eletr eslmemes, (b) den fazla eletr eslmes, (c) En az 1 en fazla 4 defa eletr eslmes olasılılarını hesaplayınız. Çözüm: Eletr esnts sayısı X le gösterlsn. Böylece X, ortalaması 3 olan br posson dağılımına uyar. Olasılı fonsyonu se aşağıda gbdr. 3 x e 3 Px ( ) x 0, 1,,... x! 3 0 e 3 ( a) P( x0) 0,0498 0! e 3 e 3 e 3 ( b) P( x) 1 [ P( x0) P( x1) P( x)] 1 0! 1!! 1 [(0,0498) (0,1494) (0,40)] 10,43 0, e 3 e 3 e 3 ( c) P(1 x4) P( x1) P( x) P( x3) P( x4) 1!! 3! 3 0, ! 3 4 e Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 8 yayınlanamaz ve depolanamaz. 114

115 13. HAFTA Kesl/Süresz Olasılı Dağılımlar (Devam) Kesl Ünform Dağılımı Mültnomal Dağılım. Sürel Olasılı Dağılımları Normal Dağılım Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 9 Kesl Ünform Dağılımı Belrl aralıta belrl değerler (tam sayıları) eşt olasılılarla alablen esl rassal değşenler esl ünform dağılımına uymatadır. Br zarın atılması şlemnde her sayının (1,, 3, 4, 5 ve 6) gelme olasılığı sabt (1/6) olduğundan esl ünform dağılımı söz onusu olmatadır. Genel olara esl ünform dağılım, esl değşenlerde n sayıda brm değernn gerçeleşmesn engelleyen ve eşt gerçeleşme olasılığı olan sonuçlara sahp deneylern dağılımıdır: P(x, n)=1/n ve x=1,,,n. Ünform dağılımının en öneml özellğ sonlu br anaütleden rassal örnelem çemne prat br anlam atmasıdır. 50 brml br anaütleden 5 brml br örnelem çelme stendğnde çem adesz se bütün seçmler ünform dağılımlıdır. Beş brmden herhang brnn seçlmes olasılığı 5/50, dğer dört brmn seçlme olasılıları se sarsıyla 4/49, 3/48, /47 ve 1/46 dır. Bağımlı olaylarınçarpımuralıyla bu örneğn seçlmes olasılığı, (5/50)(4/49)(3/48)(/47)(1/46)= (5!45!)/50!=1/( 50 C 5 ) Deme, n brml br örneğn seçlme olasılığı adesz ombnasyon sayısının tersne eşttr. P(n)=n!(N n)!/n!. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 30 yayınlanamaz ve depolanamaz. 115

116 Mültnomal Dağılım İden ço olası sonucun olduğu durumlarda söz onusu olan mültnomal dağılımına bnom dağılımının br uzantısı olara baılablr. Rassal çem veya deneylerde sabt olasılılarla den fazla mümün sonucun n brml örnete gerçeleşme olasılılarına mültnomal dağılımı adı verlmetedr. Örneğn nüfusun %50 s löğretm, %35 lse ve %15 yüse öğretm mezunu olan br bölgeden rassal olara seçlen n brml br örnete belrl sayıda löğretm, lse ve yüse öğretm mezunu bulunması olasılıları mültnomal dağılımı yardımıyla hesaplanablmetedr. n brml br örnete D 1 durumunun n 1, D durumunun n D durumunun n ez gerçeleşmes olasılıları aşağıda mültnomal dağılım formülüyle hesaplanmatadır. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 31 n! n1! n!... n! n1 n n P P P P 1... Örne: Nüfusunun %50 s löğretm, %35 lse ve %15 yüse öğretm mezunu olan br bölgeden rassal olara seçlen 8 şden 4 ünün löğretm, 3 ünün lse ve 1 nn se yüse öğretm mezunu olması olasılığını bulunuz. Çözüm P 8! 4!*3!*1! ,50 *0,35 *0,15 0,113 %11,3 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 3 yayınlanamaz ve depolanamaz. 116

117 Normal Dağılım Normal dağılım taşıdığı özelllerle ço yaygın br uygulama alanı bulmasından ötürü en öneml olasılı dağılımıdır. Br değşenn normal dağılım göstermesçn ± arasında değerler alablen sürel br değşen olması geremetedr. X rassal değşen ± aralığında veya belrl aralıta tüm gerçe değerler alablyor ve olasılı yoğunlu fonsyonu aşağıda gb fade edleblen X rassal değşen normal dağılıma uyduğu söyleneblr. 1 X 1 z 1 1 f( x) e e X 1 1 z f( z) e z normal dağılıma sahp anaütle ortalamasını, normal dağılıma sahp anaütle varyansını, e,718, 3,14 sabt değern göstermetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 33 NormalDağılımın Özelller 1. Eğr le yatay esen arasında alan alanın toplamı 1'dr. f( x) dx1. Normal dağılım ortalamaya göre smetrtr. Buna göre aşağıda eştller yazılablr. 1 1 f( x) dx f( x) dx 3. X Medyan Mod 4. X (böylece mod ve medyan) eğrnn masmum notasıdır. 5. Normal dağılım uçta süreldr. Ortalamadan uzalaştıça eğr yatay esene yalaşır. Faat hçbr zaman yatay esene değmez (asmtottr). 6. Normal dağılımda, 1 aralığında toplam alanın ya da brmlern %68,3'ünü, aralığında toplam alanın ya da brmlern %95,4'ünü, 3 aralığında toplam alanın ya da brmlern %99,7'sn çerr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 34 yayınlanamaz ve depolanamaz. 117

118 68,3 95,4 99,7 Br normal dağılım eğrsnn şel, her şeyden önce standart sapmanın büyülüğüne bağlı olara değşmetedr. Standart sapma değştçe eğrnn yüselğ de değşmetedr. Dğer br anlatımla eğrnn svrlğ standart sapmanın büyülüğüne bağlıdır. Standart sapma ne adar büyürse eğr o adar düzleşr. Standart sapma üçüldüçe svrl artar. Aşağıda ortalamaları ve standart sapmaları eşt X 1, X 4 ve X 5 dağılımları le ortalamaları eşt, faat standart sapmaları farlı X 1, X ve X 3 dağılımları görülmetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 35 X1 X X3 X4 X5 µ ve σ parametrelernn tanımaralığı date alınırsa, sonsuz sayıda normal dağılımdan söz edleblr. Bunlardan br tanes ortalaması sıfır vevaryansı 1olandağılıma standart normal dağılım adı verlr ve zn(0, 1) şelnde gösterlr. Standart normal olasılı yoğunlu fonsyonu se yuarıda gösterlmşt. Daha önce açılanan normal dağılım özelller standart normal dağılım çn de geçerldr. Uygulamada hem standartlaştırılmamış normal dağılım, hem de standart normal dağılım le lgl olasılı hesaplamalarına sılıla htyaç duyulmatadır. Böylece normal dağılıma sahpbrdeğşen çn, Belrl br değere eşt veya daha büyü değerler alması, Belrlbrdeğere eştveyadahaüçüdeğerler alması, Belrlenmş değer arasında değerler alması olasılılarının hesaplanması sı arşılaşılan problemlerdendr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 36 yayınlanamaz ve depolanamaz. 118

119 Bu tür problemler önce standart normal dağılım üzernde, daha sonra se herhang br normal dağılım üzernde nceleyelm. Standart normal dağılımın ortalaması sıfır, standartsapmavevaryansı 1 e eşttr. Standart normal dağılımın tebrşel olduğu çn, standart normal dağılıma lşn olasılılar tablolar halnde yayınlanmatadır. Bu tablolar amacına göre değş şellerde düzenleneblmetedr. Aşağıda olasılı hesaplamaları lgl rt değerle artmet ortalama arasında alan alanı veren normal dağılım tabloları ullanılara yapılmatadır. Örne: P(z<1)=? Çözüm: P(z<1)= 0,5+0,3413=0,8413. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 37 Örne: Standart normal dağılıma sahp aşağıda olasılıları bulunuz. P(z>,10)=0,5 0,481=0,0179. P(z< 0,75)=0,5 0,734=0,66. P(z> 1,5)=0,5+0,3944=0,8944. P(1,15<z<,5)=0,4878 0,3749=0,119. P( <z<1,5)=0,4773+0,3944=0,8717. P( 1<z< 0,75)=0,3413 0,734=0,0679. Standart normal dağılım dışında alan normal dağılımlarda alan hesabı çn gelştrlmş hazır tablolar yotur. Faat, normal dağılıma sahp br X değşen standart normal dağılıma sahp z değşenne dönüştürülmetedr. X:N(µ, σ )olan sürel br rassal değşen olsun. z=(x µ)/σ dönüşümü le z~n(0,1) olan standart normal dağılıma geçlr. Deme, standart olmayan normal dağılımlarda alan hesabı yapılması geretğnde, önce standart normal dağılıma geçş şlem yapılır, sonra standart tablolar ullanılara stenen olasılılar bulunur. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 38 yayınlanamaz ve depolanamaz. 119

120 Örne: XN(10, 9) se X n 15 den büyü olma olasılığını bulunuz. P(X>15)=P[z>(15 10)/3]=P[z>1,67]=0,5 0,455=0,0475 Örne: X, ortalaması 60, standart sapması 15 olara normal dağılım gösteryorsa P(75<X<85) olasılığını hesaplayınız. P(75<x<85) =P[(75 60)/15<z<(85 60)/15]=P[1<z<1,67]= 0,455 0,3413=0,111. Örne: Br mala gelece ay olması belenen talep, ortalaması 100, standart sapması 100 brm olan br normal dağılımla gösterlmetedr. Talebn 1000 brm aşması olasılığını bulunuz. Talebn 1100 le 1300 brm arasında alması olasılığını bulunuz. Çözüm: X talep edlen brm sayısını göstersn. Bu durumda, P(x>1000) =P[( )/100]=P[z> ]= 0,50+0,477=0,977. P(1100<x<1300) =P[( )/100<z<( )/100]= P[ 1<z<1]= 0,3413+0,3413=0,686. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 39 Örne: Özel br oulun grş sınavına 000 ş atılmıştır. Bu oula toplam 00 öğrenc alınmatadır. 100 üzernden yapılan değerlendrmeler sonucu notların ortalaması 60 ve standart sapması 15 olara hesaplanmıştır. Notların normal olduğu varsayımı altında, oula grmeye ha azanablme çn aç puan alma geremetedr. Çözüm: 00/000= 0,10 oranı sınava atılanlardan en yüse puan alan %10 unun oula grmeye ha azanacağını gösterr. Üst %10 lu dlme greblme çn gerel en düşü not b olsun. O zaman rassal olara seçlen br öğrencnn b den yüse not alması olasılığı %10 olur. Bu olasılıaşağıda gb gösterlmetedr. Sınav notları X le gösterlrse, X n b den büyü olması olasılığı %10 olur. Öyleyse şunu yazılablr: P(z>b)=0,10. (b 60)/15=1,8 dr. Buradan b=1,8*15+60=79, dr. %10 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 40 yayınlanamaz ve depolanamaz. 10

121 Örne: Br sınavda öğrenclern aldıları notların ortalaması 70 ve standart sapması 5 le normal dağılıma uymatadır. 75 le 85 arasında not alan öğrenc sayısı 9 olduğuna göre sınavagrenöğrenc sayısı açtır? Çözüm z 1 =(75 70)/5=1 ve z =(85 70)/5=3 se; P(75<x<85)=P(x<85) P(x<75)=0, ,341345=%15,7. n=9/0,157=57 Örne: Br X rassal değşen ortalaması µ ve varyansı σ le normal dağılıma sahp olup, P(X>5)=0,7580 ve P(X>10)=0,0446 olasılıları hesaplanmış bulunmatadır. Bu verlerden yararlanara dağılımın ortalamasını (µ) ve standart sapmasını (σ) bulunuz. Çözüm: µ artmet ortalamayı ve σ standart sapmayı gösterme üzere; 1,7=(10 µ )/σ ve 0,7= (5 µ )/σ blnmeyenl denlem sstem çözülürse; µ =6,464 ve σ=,08 olara bulunur. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 41 68,3 95,4 99,7 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 4 yayınlanamaz ve depolanamaz. 11

122 14. HAFTA Sürel Olasılı Dağılımları (Devam) t dağılımı Üstel Dağılım Sürel Ünform Dağılımı. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 43 Student t Dağılımı Normal dağılan anaütlelerden çelen sürel değşenlere lşn üçü örnelemlern uyduğu br uramsal dağılımdır. Normal dağılımabenzeyen özelllernn yanındafarlı özelllere de sahptr. Student t dağılımı normal dağılım gb smetr ve es sonsuz le artı sonsuz aralığında değerler alablen sürel değşenlern uyduğubrdağılımdır. Standart normal dağılım çntebreğr ve dağılım söz onusu en, standartlaştırılmış t dağılımda se serbestl derecesne göre farlı eğrler söz onusudur. Örnelem hacm artaren t dağılımı normal (z) dağılıma yalaşmatadır. Örnelem hacm 30 dan büyü olması durumunda se normal dağılıma dönüşmetedr. Örnelem statstğ, normal dağılımda olduğu gb, (statst parametre)/standart hata dönüşüm formülüyle standartlaştırılmatadır(t değer hesaplanmatadır). Student t dağılımı normal dağılıma göre değşenlğ daha büyü ve daha bası olan br dağılımdır. Dğer br fadeyle t dağılımının serbestl dereces büyüren dağılımın değşenlğ azalmatave yüselğ normaleyalaşmatadır. Dağılımın serbestl dereces azalıren se, değşenl artmata ve yüsel durumuna göre t dağılımeğrs daha bası br hale dönüşmetedr. Standartlaştırılmış t dağılım tabloları, standartz dağılım tabloları gb ayrıntılı tablolar olmayıp özet tablolardır. Standart t dağılım tablolarında belrl br serbestl dereces ve öneml anlamlılı düzeyler çn rt t değerler gösterlmetedr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 44 yayınlanamaz ve depolanamaz. 1

123 Üstel Dağılım Sürel br olasılı dağılımı olan üstel dağılım, değşenn sürel olması harç, esl olasılı dağılımlardanpossondağılımına benzemetedr. Dğer br fadeyle üstel dağılım esl Posson dağılımının essz (sürel) alternatfdr. Posson dağılımında zaman veya mean aralığında olayların gerçeleşme sayısı önem azanıren, üstel dağılımda bu olaylardan herhang s arasında zaman veya alan aralığı önem azanmatadır. Örneğn, br gaz stasyonuna br araç geldten sonra nc br aracın gelmes çn br sürenn geçmes geremetedr (Orhunblge, ). Yne br sgorta şretne ortaya çıan azalar nedenyle yapılan başvurularda geçen süre örne olara verleblr. Üstel dağılım br tür beleme sürelernn dağılımlarını nceler. Üstel dağılım yöneylem araştırması onularından olan beleme hattı (uyru) modellernde ullanılmatadır. Bu dağılımın ortalaması ve standart sapması brbrne eşt olduğu çn, dağılımın şel te br parametreye bağlıdır. Üstel dağılımınolasılıyoğunlu fonsyonu, belenen değer, standart sapması aşağıda gb hesaplanmatadır. x f( x) e x 0, 0 ve e, 718'dr. 1/ ve 1/ ' dr. Px ( x) e Px ( x) 1e x 0 0 Px ( 1 x x) 1e 1 e e e x x x 1 x 1 x Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 45 Örne: Beyaz eşya satışı yapılan br merezde br satış personelnn buzdolabı satışları arasında geçen süre 1 gün le üstel dağılıma uymatadır. Buna göre bu personeln; (a) veya daha fazla gün süre le satış yapması olasılığı, (b) 3 gün veya daha az sürede satış yapması olasılığı ve (c) 1,5 gün le,5 gün arasındabr sürede satış yapması olasılığı açtır? Çözüm: x 1* Px ( x0 ) e Px ( ) e 0,135 x 1*3 Px ( x0 ) 1 e Px ( 3) 11e 0,95 x x x x Px ( 1 x x) 1e 1 e e e P x e e 1*1,5 1*,5 P(1,5 x,5) e e 0, *,5 1*1,5 (1,5,5) 1 1 0,141 veya Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 46 yayınlanamaz ve depolanamaz. 13

124 Sürel Ünform Dağılımı Tedüze (düzgün) olasılı dağılımı olara da blnmetedr. Sürel değşenlerden belrl aralıta tüm değerler eşt olasılılarla alablen değşenlern uyduğu uramsaldağılımdır. Daha önce belrtldğ gb esl ünform dağılımı belrl aralıta belrl değerler eşt olasılılarla alablen değşenlern veya deneylern uyduğu uramsal dağılımdır. Kesl ünform dağılımına zar atma deney örne olara verleblr. Sürel ünform dağılımına belrl br zaman aralığında (gün vs.) düzenl olara geçeleştrlen tren, uça veya otomobl seferlernde ulaşım araçlarının varış veya ayrılış süreler örne olara verleblr. Bu olasılıdağılımının günlü hayatta ullanıldığı alanlar dğer dağılımlar adar yaygındeğldr. Daha ço uramsal çalışmalarda ve özellle örneleme uramında sılıla ullanılmatadır. Dağılımınolasılı yoğunlu fonsyonunun şel ddörtgensel br dağılıma benzemetedr. a<=x<=b gb br aralıta tanımlanan br rassal değşenn olasılı yoğunlu fonsyonu, belenen değer, varyans, standartsapması vealanı aşağıdagbdr: f( x) 1/( ba); ab / ba /1 1 ba /1 A ba1 b a x a a xb P( x x0). As halde Px x0veya x x00 b a Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 47 Örne: Anara dan İstanbul a 17:30 da gelmes gereen uçağın 17:15 le 17:50 arasında herhang br saatte gelmes olasılığı söz onusu olduğuna göre bu aralıta herhang br saatte gelmes olasılığı 1/(b a)=1[0 ( 15)]=1/35=0,086 dır (Orhunblge, 000:8 9). Buna göre; (a) Uçağın saatnde veya daha eren gelmes olasılığı, (b) 17:40 dan geç gelmes olasılığı açtır? Çözüm: xa 0 ( 15) 15 (a) Px ( 0) 0, 486 ba 0 ( 15) 35 xa 10 ( 15) 5 (b) Px101Px , 857. ba 0 ( 15) 35 Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 48 yayınlanamaz ve depolanamaz. 14

125 Örne: Uzmanlara göre Türye nn 01 yılı büyüme hızının %5 le %10 arasında olacağı öngörülmetedr. Buna göre 01 yılında büyüme hızının; (a) %7veyadahadüşü olması olasılığı, (b) %8 den fazla olması olasılığı ve (c) %7 le %8 arasında alması olasılılarını hesaplayınız? (d) Büyüme hızının ortalamasını ve standart sapmasını hesaplayınız? Çözüm: xa 75 (a) Px ( 7) 0, 40 ba xa 85 3 (b) Px81Px , 40 ba (c) P7 x8 Px8Px7 0, ba 10 5 ab 510 (d) 7,5 1, Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 49 Kaynaça Orhunblge, Neyran (000). Tanımsal İstatst Olasılı ve Olasılı Dağılımları, Avcıol BasımYayın, İstanbul. Yama, Rahm ve Mustafa Köseoğlu (006). Uygulamalı İstatst ve Eonometr, Çelepler Matbaacılı, Trabzon. Yüzer, Al Fuat, Enbya Ağaoğlu, Hüseyn Tatlıdl, Ahmet Özmen, Emel Şılar (006). İstatst (Edtör: Al Fuat Yüzer), Anadolu Ünverstes Yayınları, Esşehr. Prof. Dr. Al Sat ALBAYRAK, T.C. Recep Tayyp Erdoğan Ünverstes, İİBF, ISL3 İstatst I Ders Notları 50 yayınlanamaz ve depolanamaz. 15