ELASTİK ZEMİNE OTURAN PLAKLAR İÇİN ETKİLİ ZEMİN DERİNLİĞİ

rr ELASTİK ZEMİNE OTURAN PLAKLAR İÇİN ETKİLİ ZEMİN DERİNLİĞİ Korhan ÖZGAN ve Aye T. DALOĞLU Karadeni Teknik Üniv., İnşaat Müh. Böl., Trabon ÖZET Bu çalışmanın amacı plağın yüküne, boyutlarına ve eminin cinine bağlı olarak belirlenecek olan gerilme dağılımını elde ederek yükten etkilenen emin derinliğinin heaplanmaıdır. Bu amaçla plağın oturduğu eminin etkili derinliğini heaplayan bir iteratif metot geliştirilmiştir. Literatürde mevcut iki örnek bu metot yardımıyla çöülmüş elde edilen yerdeğiştirmeler, momentler ve keme kuvvetleri grafikler ve çielgeler halinde unulmuştur. Sonuçlar, bu metotla elde edilen parametrelerin daha gerçekçi dolayııyla heaplanan yerdeğiştirme ve iç kuvvetlerinde daha güvenilir olduğunu götermektedir. THE EFFECTIVE DEPTH OF SOIL STRATUM FOR PLATES RESTING ON ELASTIC FOUNDATION ABSTRACT The purpoe of thi paper i to determine the uboil depth affected from the load on the plate reting on elatic foundation uing tre ditribution within the uboil that will be occurred depending on the loading and dimenion of the plate. An iterative method i developed in order to determine the effective depth of the uboil under the plate. Numerical example from the technical literature are olved by mean of the method uggeted herein and diplacement, bending moment and hear force are preented in graphical and tabular form to evaluate the effect of the limit depth conidered in the tudy. Reult howed the efficiency and implicity of the preent approach for the plate reting on an elatic foundation. Key Word: Effective depth, plate on elatic foundation, Winkler model, Vlaov model, parameter of oil.

1. GİRİŞ Elatik emine oturan plaklar hakkında yapılan çalışmalar, bu plakların geniş uygulama alanı bulmaları ebebiyle, oldukça faladır. Bu tür problemlerde eminin davranışının yapıya olan etkii önemli olmaktadır. Zira iyi bir projelendirme için etkiyen yüke ilave olarak yapının davranışının yanı ıra eminin davranışını ve aralarındaki ilişkiyi de iyi bilmek gerekmektedir. Öellikle on 5 yıl içeriinde daha gerçekçi ve daha güvenilir emin modelleri üerindeki araştırmalar giderek artmıştır. Araştırmacıların büyük çoğunluğu Winkler modelini kullanarak çöüm yapmışlardır. Bu model eminin birbirine onu yakın, lineer ve elatik yaylardan meydana geldiği ve eminin düşey yerdeğiştirmeinin ( w ) adece o noktaya etki eden taban baıncına ( p ) ve idealleştirilmiş emindeki yay abitine ( k ) bağlı olduğu kabul edilmektedir. Yayların adece doğrudan doğruya yüklendiklerinde şekil değiştirdikleri ve bir karşı tepki oluşturdukları ancak her yayın komşu yayın yüklenme durumundan etkilenmediği kabul edilmektedir. Bunun onucunda emin tamamen üreki bir ortam şeklinde dikkate alınmış olmaktadır[1]. Winkler modelinin eminin gerçek davranışını yanıtmadığını, baı idealleştirmelerin gerektiğini, emin ortamının daha karmaşık matematikel ifadeler içerdiğini avunan bir çok araştırmacı yaylar araındaki etkileşimi de dikkate alan yeni modeller üerinde çalışmışlardır. Bu modellerin ortak yanı emin tabakaındaki kayma şekildeğiştirmelerini ve plakta oluşacak keme kuvvetini dikkate almalarıdır. Bu modellerin tamamı temelde aynıdır, adece eminin ikinci parametreinin belirlenmei konuunda birbirlerinden ayrılırlar. Vlaov ve Leont ev emindeki kayma etkilerini dikkate alan iki parametreli bir model geliştirmişlerdir. Zemin düşey deformayon değişimini göteren ve γ olarak tanımladıkları bir başka parametreyi ortaya atmışlardır []. γ parametreinin belirlenmei ile emin yatak katayıı (k) ve kayma parametrei (t) adı verilen diğer parametrelerin deneyel orunluluk olmakıın heaplanmaının mümkün olduğunu götermişlerdir. Zemindeki gerilme dağılımının kontrolü açıından γ parametreinin öneminin farkına varan Jone ve Xenophonto [3] değişik teknikler kullanarak γ parametreini heaplamak için emin tabakaına oturan yapının yerdeğiştirmeleri ile γ parametrei araında ilişki ortaya kurmuşlar γ parametreinin heaplanmaında kullanılabilecek kein bir yöntem geliştirememişlerdir. Vallabhan ve Da [4] yayılı yükle yüklü elatik emine oturan kirişler için eminin yerdeğiştirme fonkiyonunu karakterie eden γ parametreinin heabı için bir iteratif yöntem geliştirmişlerdir. Değiştirilmiş Vlaov modeli olarak adlandırılan bu modelde emin parametreleri emin derinliği, yükün şiddeti ve tipine bağlı olduğu kadar yapı ve eminin öelliklerine de bağlıdır. Ayva ve diğerleri [5] elatik emine oturan plakların dinamik çöümüne emin derinliğinin, plak boyutlarının ve boyutların birbirine oranının etkiini araştırmışlardır. Daloğlu ve diğerleri [6] aynı araştırmayı yayılı yük ve tekil yük etkiindeki plaklar için yapmıştır. Vallabhan ve Daloğlu [7], tabakalı eminlere oturan plaklar için bir onlu eleman modeli geliştirmişlerdir. Ancak çöümü üç farklı emin derinliği için gerçekleştirmişlerdir. Ayva ve Ögan [8] emin derinliğinin, kiriş uunluğunun ve γ parametreinin elatik emine oturan kirişlerin doğal frekanları üerindeki etkilerini araştırmışlardır.

Görüldüğü gibi günümüe kadar yapılan çalışmalarda araştırmacılar emin parametrelerinin, yerdeğiştirmelerin ve iç kuvvetlerin derinlikle değişimini incelemişlerdir. Yapının yüklenmeine, boyutlarına ve cinine bağlı olarak belirlenecek olan gerilme dağılımını elde ederek emin derinliğini belirleme fikrine literatürde ratlanmamıştır. Zeminde etkilenen bölge belirlenebilire elde edilecek parametreler daha gerçekçi dolayııyla heaplanacak olan yerdeğiştirme ve iç kuvvetlerde daha güvenilir olacaktır.. VLASOV ZEMİNE OTURAN PLAK DENKLEMLERİNİN ELDE EDİLMESİ Zemin-yapı iteminin toplam potaniyel enerjii, şeklindedir. Burada U = U + V (1) = p +, olmak üere p plağın şekildeğiştirme enerjiini, eminin şekildeğiştirme enerjiini ve V dış yüklerin oluşturduğu potaniyel enerjiyi götermektedir. Bu çalışmada eminin onlu bir H derinliğinde rijit bir kaya tabakaı ile on bulduğu varayılmaktadır(şekil 1). Yayılı yük Plak φ(0)=1 φ() Elatik Zemin φ(η)=0 Şekil 1. Elatik emine oturan plak (1) nolu toplam potaniyel enerji ifadei, = + 1 1 Ω [ D] H + + ( xε x + σ yε y + σ ε + τ xyγ xy + τ yγ y + τ xγ x ) 0 Ω w w w,, x y x y qwdxdy w w w,, x y x y dxdy σ dxdyd () T

şeklinde yaılabilmektedir. Burada σ x, σ y, σ, τ x, τ xy, τ y, ε x, ε y, ε, γ xy, γ y ve γ x emindeki gerilme ve şekildeğiştirmeleri, w, D, q, H ie ıraıyla düşey doğrultudaki yerdeğitirmeyi, plağın eğilme rijitliğini, yayılı yükü ve elatik eminin derinliğini götermektedir. Pratik açıdan emindeki yatay yerdeğiştirmeler düşey yerdeğiştirmeler ile kıyalandığında ihmal edilebilecek düeyde olduğundan, ( x, y, ) = 0 ( x, y, ) = 0 u (3) v (4) olmaktadır. Ayrıca emindeki düşey yerdeğiştirmeler ( 0 ) = 1 veφ( H ) = 0 şeklinde ifade edilebilmektedir[9]. w ( x y, ) w( x, y) φ( ) φ olmak üere,, = (5) Elatiite teoriindeki şekildeğiştirme-yerdeğiştirme bağıntıları kullanılarak plakemin iteminin toplam potaniyel enerjii, = + 1 1 Ω ( w) [ D] { kw + t } dxdy Ω w w w,, x y x y w w w,, x y x y Ω qwdxdy T dxdy (6) şeklini almaktadır. Yukarıdaki ifadedeki k ve t terimleri emin parametreleri olarak adlandırılmakta olup, k = H 0 φ E d H (7) t = Gφ d (8) 0 ifadeleri ile heaplanmaktadır. Burada E, ν eminin elatiite modülünü ve poion oranını E götermek üere (1 + ν ) E E = ve G = şeklindedir. (1 + ν )(1 ν ) (1 ν ) (6) nolu ifadenin minimum potaniyel enerji ilkeine göre w ve φ ye göre varyayonunun alınmaı ile, δ = + Ω H 0 4 ( D w t w + kw q) δwdxdy φ m + nφ + boundary condition = 0 δφδ (9)

+ + ifadei elde edilmektedir[9]. Burada m = Ew dxdy + + ve n G( w) = dxdy şeklindedir. Bu ifadedeki δ w ve δφ varyayonları ıfır olmayacağından, parante içeriindeki terimler ıfıra eşit olmak orundadır. Buradan elatik emine oturan plak denklemi 4 D w t w + kw = q (10) şeklinde elde edilmektedir. Parante içeriindeki ikinci ifadenin ( 0 ) = 1 veφ( H ) = 0 φ ınır şartlarında çöülmei ile, ifadei elde edilmektedir. Burada olarak adlandırılmaktadır. φ m + nφ = 0 (11) φ ( ) n γ = m inhγ (1 ) = H (1) inhγ H, olup eminin düşey deformayon parametrei (7) ve (8) nolu ifadelerden görülebileceği gibi eminin birinci ve ikinci parametreleri olarak adlandırılan k ve t parametreleri eminin düşey deformayon fonkiyonuna(φ ) ve emin derinliğine(h) bağlı olarak değişmektedir. Bunun yanında γ parametrei de plağın yerdeğiştirmelerine ve emin derinliğine bağlı olarak değişmektedir. Buradan w, q, k, t, H ve γ değişkenleri araında on derece komplek bir ilişki olduğu görülmektedir. 3. PROBLEMİN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİNE GÖRE FORMÜLASYONU Bu çalışmada MZC dikdörtgen onlu elaman kullanılmıştır. Her noktadaki deplamanlar, şeklinde olup bu elaman için eçilen deplaman fonkiyonu wi wi wi,, (i=1,,3,4) (13) y x [ N ]{ } w = (14) şeklinde verilmektedir. Burada { w e } (13) nolu ifadede verilen 1 elemanlı deplaman vektörünü götermektedir. [ ] N matrii şekil fonkiyonlarını içermektedir [10]. (14) nolu ifadeyi (1) nolu ifadede yerine koyacak olurak itemin rijitlik matrii w e

( ){ w } t { w } [ k ] + [ k ] [ k ] 1 U = + e p w v e (15) şeklinde elde edilir. Burada [ k ] [ k ] ve [ k ] p, ıraıyla plağın rijitlik matriini, eminin w v birinci parametreine ait rijitlik matriini ve eminin ikinci parametreine ait rijitlik matriini götermektedir. [11]. Bu ifadelerden elde edilen eleman rijitlik matrileri her eleman için heaplanarak toplanmaıyla itemin rijitlik matrii elde edilmektedir. n [ K ] = e ([ k p ] + [ k w ] + [ kv ]) i= 1 (16) Burada n e onlu eleman ayıını götermektedir. Sonuç olarak çöülmei gereken ifade, [ ]{ W} { F} K = (17) şeklini almaktadır. Burada [ K ] itemin rijitlik matriini, { } vektörünü ve { F } yük vektörünü götermektedir. W itemin yerdeğiştirme Bu modelde emin parametreleri iteratif bir yöntemle heaplanmaktadır. Başlangıçta γ parametrei bir alınarak k ve t parametreleri (7) ve (8) ifadelerinden heaplanmaktadır. Heaplanan bu değerler (17) nolu denklemde kullanılarak yerdeğiştirmeler heaplanmaktadır. Heaplanan yerdeğiştirmelerin kullanılmaıyla yeni γ parametrei tekrar heaplanmaktadır. Bu işlem on iki γ parametreinin belirli bir kabul ınırı çerçeveinde eşit oluncaya kadar devam etmektedir. Daha detaylı bilgi Vallabhan, Da [1] çalışmaında yer almaktadır. 4. ZEMİN ETKİLİ DERİNLİĞİNİN BELİRLENMESİ Daha öncede bahedildiği gibi eminin etkili derinliğinin belirlenmeinde yine bir iteratif yaklaşım kullanılmıştır. Bu amaçla eminin farklı derinliklerinde oluşacak gerilmeleri heaplayan bir bilgiayar programı kodlanmıştır. Bu yaklaşıma göre dügün yayılı yüke maru plağın köşe noktaında eminin herhangi bir derinliğindeki düşey gerilmeyi veren ifade, σ = q AB A + B + A + B + 1 AB A + B + + Sin 4π B ( ) ( ) + + + + + A B A B A B A + B + A (18) şeklindedir. Burada A ve B plağın y ve x doğrultuundaki boyutlarını, gerilmenin heaplandığı emin derinliğini götermektedir.

Plağın orta noktaının altındaki gerilmelerin heaplanabilmei için üperpoiyon tekniği kullanılmaktadır (Şekil ). A E B F Yayılı yük O G C H D Şekil. Yayılı yüke maru bir alanın orta noktaındaki gerilme ABCD alanının O noktaının altındaki gerilmeler aşağıdaki ifadeyle heaplanmaktadır[13][14]. σ = σ + σ + σ + σ ( O) AEFO FCHO EBGO HDGO Daha onra heaplanan gerilmeler bu çalışmada geliştirilen boyutu parametreye dönüştürülmektedir. R 1000σ = (19) Eν Bu ifade derinliğinin 0.5m lik artımlarıyla heaplanmaktadır. Son iki R ifadei araındaki fark 0.0001 den küçük oluncaya kadar iterayon devam etmektedir. İterayon durduğu andaki emin derinliği etkili emin derinliği olarak adlandırılmakta ve heaplarda artık bu derinlik kullanılmaktadır. 5. SAYISAL ÖRNEKLER 5.1. Sayıal Örnek-1 Bu çalışmada önerilen yöntemin doğruluğunu götermek amacıyla daha önce bir çok araştırmacı tarafından çöülen elatik emine oturan ortaından tekil yüke maru bir dikdörtgen plak örneği dikkate alınmıştır. Elde edilen onuçlar grafikler ve çielgeler halinde unulmuştur. Bu örnekte plağın boyutları 9.144x1.19 m, eminin elatiite modülü 68950 kn/m, poion oranı 0.5, plağın elatiite modülü 0685000 kn/m, poion oranı 0.0, plağın kalınlığı 0.154 m, ve tekil yükün şiddeti 133.34 kn dur. Bu örnek için etkili emin derinliği 14.5 m olarak heaplanmıştır. Problem öncelikle değiştirilmiş vlaov modeli ile çöülmüş plağın orta noktaında elde edilen yerdeğiştirmeler ve eğilme momentleri Çielge 1 de ve plağın orta düleminde x ekeni boyunca oluşan

yerdeğiştirme, moment ve keme kuvvetinin derinlikle değişimleri de Şekil 3 te verilmektedir. Burada 3.048, 6,096, 9.144, 14.500, 15.40 ve 30.480 olmak üere 6 değişik emin derinliği dikkate alınmıştır. Elde edilen onuçlar literatürde mevcut olanlar ile kıyalanmıştır. Çielge 1 den görüldüğü gibi emin derinliğinin 14.5 den fala olmaı durumunda deplamanlar ve eğilme momentleri hemen hemen değişmemektedir. Çielge 1. Valov tipi elatik emine oturan tekil yüke maru plağa ait emin parametreleri, makimum yerdeğiştirmeler ve eğilme momentleri H(m) Ref k(kn/m 3 ) t(kn/m) Gama w(cm) Mx(kNm/m) 3.048 V.S.D[1] 31610 9565 1.9018 0.0480 1.544 Çelik, Saygun[15] 31898 9456 1.9478 0.0818 15.047 Eşdeğer Winkler 63839 - - 0.086 19.18 Bu çalışmada 3119 9367 1.9778 0.087 16.318 6.096 V.S.D[1] 3918 11959 3.4737 0.0975 1.544 Çelik, Saygun[15] 456 11798 3.549 0.0845 14.563 Eşdeğer Winkler 58585 - - 0.0864 19.51 Bu çalışmada 4664 11559 3.5896 0.0853 15.816 9.144 V.S.D[1] 3376 1193 5.1669 0.0975 1.544 Çelik, Saygun[15] 3737 1017 5.434 0.0846 14.510 Eşdeğer Winkler 59554 - - 0.0856 19.456 Bu çalışmada 4191 1179 5.3441 0.0854 15.767 14.500 Bu çalışmada 4170 11801 8.4715 0.0854 15.765 15.40 V.S.D[1] 3350 105 8.6079 0.0975 1.544 Çelik, Saygun[15] 3710 1030 8.7369 0.0846 14.510 Bu çalışmada 4170 11801 8.9038 0.0854 15.765 30.480 Bu çalışmada 4170 11801 17.8073 0.0854 15.765 Aynı örnek daha onra winkler modeli dikkate alınarak çöülmüştür. Bu çöümde Tablo-1 den alınan yatak katayıları kullanılmıştır. Elde edilen onuçlar Çielge de unulmaktadır. Görüldüğü gibi adece etkili emin derinliğinde çöüm yapmak yeterli olmaktadır. Çielge. Winkler tipi elatik emine oturan tekil yüke maru plağa ait emin parametreleri, makimum yerdeğiştirmeler ve eğilme momentleri H(m) Ref k(kn/m 3 ) w(cm) Mx(kNm/m) 3.048 Bu çalışmada 3119 0.1178 1.85 6.096 Bu çalışmada 4664 0.1348.855 9.144 Bu çalışmada 4191 0.136.98 14.500 Bu çalışmada 4170 0.136.931 15.40 Bu çalışmada 4170 0.136.931 30.480 Bu çalışmada 4170 0.136.931

0,00E+00-1,00E-04 -,00E-04-3,00E-04 w(m) -4,00E-04-5,00E-04-6,00E-04-7,00E-04-8,00E-04-9,00E-04 0,0000 0,9144 1,888,743 3,6576 4,570 5,4864 6,4008 7,315 8,96 9,1440 a) Yerdeğiştirmeler 0,00 15,00 10,00 Mx(kNm) 5,00 0,00-5,00-10,00 0,0000 0,9144 1,888,743 3,6576 4,570 5,4864 6,4008 7,315 8,96 9,1440 b) Eğilme momentleri Vx(kN) 5,00 0,00 15,00 10,00 5,00 0,00-5,00-10,00-15,00-0,00-5,00 0,0000 0,9144 1,888,743 3,6576 4,570 5,4864 6,4008 7,315 8,96 9,1440 c) Keme kuvvetleri H=3,048m H=6,096m H=9,144m H=14,500m H=15,40m H=30,400m Şekil 3. Vlaov tipi elatik emine oturan tekil yüke maru plağın orta dülemi boyunca yerdeğiştirme, moment ve keme kuvvetlerinin derinlikle değişimi

Bu örnek ayrıca Daloğlu ve Vallabhan[16] tarafından geliştirilen ve eşdeğer winkler modeli diye adlandırdıkları yöntemle yatak katayıları belirlenerek çöülmüş ve elde edilen onuçlar vlaov modeli ile aynı çielgede karşılaştırılmıştır. Bu yöntemle elde edilen onuçlar klaik winkler yöntemi ile kıyalanamayacak düeyde vlaov modeline yakın çıkmaktadır. 5..Sayıal Örnek- İkinci örnek olarak daha önce Kolar ve Nemec [17] ile Vallabhan ve Daloğlu tarafından[18] çöülen elatik emine oturan yayılı yüke maru bir plak problemi dikkate alınmıştır. Plağın boyutları 0m x 1m x 1m, elatiite modülü 1000000 kn/m, poion oranı 0.15 ve üerine etkiyen yük 50 kn/m dir. Zeminin elatiite modülü 9000 kn/m, poion oranı 0.30 dur. Bu örnek literatürde 6.10, 1.94 ve 61.00m olmak üere üç farklı derinlik için çöülmüştür. Bu çalışmada elde edilen yükten etkilenen emin derinliği 75.00 m dir. Elde edilen onuçlar Çielge 3 ve Şekil 4 te verilmektedir. Çielge 3. Valov tipi elatik emine oturan yayılı yüke maru plağa ait emin parametreleri, makimum yerdeğiştirmeler ve eğilme momentleri H(m) k(kn/m 3 ) t(kn/m) gama w(cm) Mx(kNm/m) 6.10 00 344 0.7994 1.8908 194.07 1.94 600 96 1.5608 3.5148 400.17 61.00 318 16599 3.1144 3.9314 44.90 75.00 305 171.7435 3.9348 4.80 150.00 98 17543 7.3993 3.9345 41.47 Ayrıca Çielge 3 ten alınan yatak katayıları kullanılarak winkler modeli ile de çöüm yapılmış ve onuçlar Çielge-4 te unulmuştur. Çielge 4. Winkler tipi elatik emine oturan yayılı yüke maru plağa ait emin parametreleri, makimum yerdeğiştirmeler ve eğilme momentleri H(m) k(kn/m 3 ) W(cm) Mx(kNm/m) 6.100 00.4975 0.000 1.940 600 8.3333 0.000 61.000 318 15.730 0.000 75.000 300 16.3930 0.000 150.000 98 16.7790 0.000 Sonuçlardan da görüldüğü gibi onu derinlikteki yada rijit kaya tabakaının derinliği tam olarak bilinmeyen elatik eminlere oturan plak problemlerinde eminin etkili derinliğine göre çöüm yapmak yeterince gerçekçi ve güvenilir olacaktır.

-0,010-0,015 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0-0,00 w(m) -0,05-0,030-0,035-0,040-0,045 450 400 350 300 Mx(kNm) 50 00 150 100 50 0 a)yerdeğiştirmeler 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 b)eğilme momentleri Vx(kN) 150 100 50 0-50 -100-150 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 c)keme kuvvetleri H=6,10m H=1,94m H=61m H=75m H=150m Şekil 4. Vlaov tipi elatik emine oturan yayılı yüke maru plağın orta dülemi boyunca yerdeğiştirme, moment ve keme kuvvetlerinin derinlikle değişimi

6. BULGULAR Bu çalışmada elatik emine oturan plaklar için etkili emin derinliğinin heaplanmaı amaçlanmıştır. Bu amaçla plağın boyutlarına, yüküne ve eminin cinine bağlı olarak eminde oluşacak gerilme dağılımından faydalanılarak etkili emin derinliğinin belirlenmeine çalışılmıştır. Elde edilen onuçlar bu çalışmada belirlenen etkili emin derinliğinden daha büyük derinliklerin çöümü çok fala etkilemediğini ancak daha küçük derinliklerde gerçek olmayan onuçlara gidilebileceğini götermiştir. KAYNAKÇA [1] Hetenyi, M., 1950, A General Solution for The Bending of Beam on an Elatic Foundation of Arbitrary Continuity, Journal of Applied Phyic, 1, 55-58. [] Selvaduari, A. P. S., 1979, Elatic Analyi of Soil-Foundation Interaction, Elevier Scientific Publihing Company, Amterdam. [3] Jone, R., Xenophonto, 1977, The Vlaov Foundation Model, International Journal of Mechanical Science, 19, 317-33. [4] Vallabhan, C. V. G., Da, Y. C., 1988, A Parametric Study of Beam on elatic Foundation, Journal of Engineering Mechanic Diviion, 114, 1, 07-08. [5] Ayva, Y., Daloğlu A., Doğangün, A., 1998, Application of a Modified Vlaov Model to Eartquake Analyi of Plate Reting on Elatic Foundation, Journal Sound and Vibration, 1, 3, 499-509. [6] Daloğlu, A., Doğangün, A., Ayva, Y., 1999, Dynamic Analyi of Foundation Plate Uing a Conitent Vlaov Model, Journal of Sound and Vibration, Journal Sound and Vibration, 4, 5, 941-951. [7] Vallabhan, C. V. G., Daloğlu, A. T., 1999, Conitent FEM-Vlaov Model for Plate on Layered Soil, Journal of Structural Engineering, 15, 1, 108-113. [8] Ayva, Y., Ögan. K., 00, Application of Modified Vlaov Model to Free Vibration Analyi of Beam Reting on Elatic Foundation, Journal of Sound and Vibration, 55, 1, 111-17. [9] Turhan, A., 199, A Conitent Vlaov Model for Analyi of Plate on Elatic Foundation Uing The Finite Element Method, Ph. D. Thei, The Graduate School of Texa Tech. Univerity, Lubbock, Texa. [10] Weawer, W., Johnton, P. R., 1984, Finite Element for Structural Analyi, Prentice- Hall, Inc., Englewood Cliff, NJ.

[11] Vallabhan, C. V. G., Da, Y. C., 1991, Modified Vlaov Model for Beam on Elatic Foundation, Journal of Geotechnical Engineering, 117, 6, 956-966. [1] Vallabhan, C. V. G., Straughan, W. T., Da, Y. C., 1991, Refined Model for Analyi of Plate on Elatic Foundation, Journal of Geotechnical Engineering, 117, 6, 956-966. [13] Spangler, M. G., 1963, Soil Engineering, İnternational Textbook Company, Scranton, Pennylvania. [14] Uuner, B. A., 199, Çöümlü Problemlerle Temel Zemin Mekaniği, Teknik Yayınevi, Ankara. [15] Çelik, M., Saygun., 1999, A Method for The Analyi of Plate on a Two Parameter Foundation, International Journal of Solid and Structure, 36, 891-915. [16] Daloğlu, A. T., Vallabhan, C. V. G., 000, Value of k for Slab on Winkler Foundation, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 16, 5, 463-471. [17] Kolar, V., Nemec, I., 1989, Modelling of oil-tructure interaction, Elevier, Amterdam. [18] Vallabhan, C. V. G., Daloğlu, A. T., 1999, Conitent FEM-Vlaov Model for Plate on Layered Soil, Journal of Structural Engineering, 15, 1, 108-113