Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek için gerekli yöntemler gösterilecek. Dönüşüm denklemleri elde edildikten sonra, maksimum normal ve kesme gerilmeleri bulunabilecek ve ilişkili koordinat eksenlerinin durumu bulunabilecektir.
Gerilme Dönüşümleri Düzlem-Gerilme Dönüşümleri Bir noktaya etkiyen en genel gerilme durumu birbirinden bağımsız altı gerilme ile ifade edilmekteydi (Şekil a). Fakat mühendisler birçok durumda basitleştirme ve kabuller yaparlar ve bir noktada oluşan gerilme durumunun iki boyutlu bir eleman ile tariflenebileceğini kabul ederler. Bu durumda, malzemenin düzlem-gerilme durumuna maruz kaldığı kaldığı kabul edilir (Şekil b). İki boyutlu olarak da Şekil c de gösterilmiştir. Şekil c: İki Boyutlu Görünüm
Gerilme Dönüşümleri Düzlem-Gerilme Dönüşümleri Düzlem gerilme durumunda, birbirinden bağımsız iki normal gerilme ve bir de kesme gerilmesi vardır. Dikkat edilirse kesme gerilmesi dört kenara da etkimektedir. Bir noktadaki gerilme durumu birbirinden bağımsız üç gerilme ile tanımlanabiliyorsa, aynı noktadaki fakat farklı doğrultudaki gerilme durumu yine birbirinden bağımsız üç farklı bileşenle tanımlanabilir. Buradaki amaç, bir koordinat sistemindeki gerilme durumunu, bir başka koordinat sistemindeki eş değer gerileme durumuna dönüştürebilmektir: Bilinen: σ σ τ x x xy Aranan: σ σ τ x y x y
Gerilme Dönüşümleri Analiz Yöntemi Bir koordinat sistemindeki gerilmeler, başka bir koordinat sistemindeki gerilmelere aşağıdaki gibi dönüştürülebilir: σ ve τ x x y Bulmak için, ilk sistemi aşağıdaki gibi kes ve x -y doğrultusunda denge denklemlerini uygula: σ ve τ y x y Bulmak için, ilk sistemi aşağıdaki gibi kes ve x -y doğrultusunda denge denklemlerini uygula:
Örnek - 1 Uçak gövdesindeki bir noktada ölçülen düzlem-gerilme durumu aşağıda gösterilmiştir. Yatayla 30 o lik açı yapan bir eleman üzerindeki bir noktada oluşan düzlem gerilme durumunu bulunuz. 50 MPa
Örnek 1 (devam) Şekilde gösterilen eleman, a-a kesitinden kesilip alt parçanın dengesi incelenecek. Kesit alındıktan sonra ortaya çıkan alanlar aşağıda gösterilmiştir. Yine bu parçanın serbest cisim diyagramı aşağıda gösterilmiştir: Bu parçanın dengesi incelenerek bulunabilir. σ ve τ x x y
Örnek 1 (devam)
Örnek 1 (devam) Şimdi b-b eksenine dik doğrultudaki gerilmeyi bulalım, yani için aşağıdaki gibi bir kesit almak gerekmektedir: σ y değerini. Bunun Kesit alınan parçadaki alanlar yandaki şekilde olur. Bu parçanın dengesinden, gerekli gerilme değerleri bulunur.
Örnek 1 (devam) -5.8 MPa
Örnek 1 (devam) a-a ve b-b doğrultularındaki gerilme durumları aşağıda gösterilmiştir: x y
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Normal ve kesme kuvveti gerilmelerini x-y koordinat sisteminden, x -y koordinat sistemine dönüştürmek için genel bir yöntem burada çıkarılacaktır. Ancak bu formüller çıkarılmadan önce, işaret kabullerini oluşturmak gerekmektedir. Elemanın tüm yüzeylerinden dışarı doğru yönlenen normal gerilme pozitif normal gerilmedir; pozitif kesme gerilmesi ise şu şekildedir: elemanın sağ yüzünde yukarı doğru yönlenmiş kesme gerilmesi pozitif kesme gerilmesidir. Pozitif gerilme yönleri. Dikkat edilirse, dört yüzdeki kesme gerilmesinden sadece birinin yönünü bilmek, diğer üçünün yönünü bilmek için yeterlidir (denge şartından dolayı).
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Gerilme durumunu bildiğimiz bir elemanın gerilme durumunu farklı bir doğrultuya dönüştürme içi pozitif θ açısını bilmek gerekmektedir, pozitif bu açı ve pozitif x - y eksenleri aşağıda gösterilmiştir: Dikkat edilirse, pozitif z ekseninin yönü sağ el kuralına göre belirlenir. Pozitif θ açısı pozitif x ekseninden pozitif x eksenine doğru ölçülür.
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Normal ve Kesme Gerilmeleri Dönüşümleri Pozitif yön kabulleri dikkate alınarak, aşağıda gösterilen eleman şekildeki gibi kesilmiştir ve pozitif eksenler gösterilmiştir: Dikkate edilirse, kesilen alan A ise diğer yüzlerin en kesit alanları şekildeki gibi olmaktadır.
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Normal ve Kesme Gerilmeleri Dönüşümleri Ortaya çıkan serbest cisim diyagramından, kesilen elemanın dengesi incelenerek bilinmeyen σ ve τ değerleri bulunur: x x y + Fx = x A ( xy A ) ( y A ) ( xy A ) ( x A ) 0; σ τ sin θ cos θ σ sin θ sin θ - τ cosθ sinθ σ cosθ cosθ = 0 ( ) x = x cos + y sin + xy sin cos σ σ θ σ θ τ θ θ + ( ) ( ) ( τxy A θ) θ + ( σx A θ) θ = = ( ) sin cos + ( cos sin ) F = 0; τ A+ τ Asinθ sinθ σ Asinθ cosθ y xy xy y - cos cos cos sin 0 τ σ σ θ θ τ θ θ xy y x xy
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Normal ve Kesme Gerilmeleri Dönüşümleri Bu iki denklem aşağıdaki trigonometrik eşdeğerlikler kullanılarak basitleştirilebilir: sin θ = sinθ cosθ ( θ) ( θ) sin θ = 1 cos / cos θ 1 cos / = + Bu durumda, şu ifadeleri yazmak mümkündür (bu ifadeler ezberlenecek): σx + σy σx σy σx = + cosθ + τxy sin θ σx σy τxy = sin θ + τxy cosθ (1) ()
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Normal ve Kesme Gerilmeleri Dönüşümleri σ y denklemi ise, (1) nolu denklemde θ= θ+90 konarak bulunur: σx + σy σx σy σy = cos θ τxy sin θ (3)
Örnek - Örnek 1 de denge denklemleri kullanılarak çözülmüş gerilme durumunun, aşağıdaki şekilde döndürülmüş duruma denk gelen gerilme değerlerini genel formülleri kullanarak hesaplayınız..
Örnek (devam) Denklemler (1) ve () kullanılarak soru çözülecek. Yaptığımız işaret kabullerine göre, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkün: x den x üne ölçülen θ açısı -30 o derecedir. Denklemlerde bu değerleri yerine koyarsak: Burada işareti, gerilmenin -x yönünde olduğunu göstermektedir.
Örnek (devam) BC düzlemine dik doğrultudaki gerilmeyi bulmak için aşağıdaki şekle referansla denklem (1) ve () kullanılabilir θ = 60 o : Aynı denklem (1) değil de denklem (3) kullanılarak da elde edilebilirdi, bu durumda θ = -30 o olacaktır. Burada işareti, gerilmenin -x yönünde olduğunu göstermektedir. Gerilme durumu aşağıda gösterilmiştir:
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi (1) ve () denklemlerinden, gerilmelerin θ açısına bağlı olduğu görülmektedir. Mühendislikte, genellikle maksimum ve minimum normal gerilmelerin oluştuğu ve yine maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemlerin bilinmesi önemlidir. Maksimum ve minimum normal gerilmeleri bulmak için denklem (1) θ ya göre bir kez türevi alınıp sıfıra eşitlenirse: dσ σx σ x y ( sin θ ) τxy cos θ 0 dθ = + = Bu denklem çözülürse, θ = θ p nin, yani maksimum ve minimum normal gerilmelerin olduğu düzlemlerin açısı bulunacaktır: tan ( θp) = τ xy ( σx σy) (4)
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi Bu denklemin iki kökü vardır, θ p1 ve θ p. θ p1 ve θ p aralarındaki açı 180 derecedir, bu durumda θ p1 ve θ p aralarındaki açı ise 90 derecedir. Bu açılar, normal gerilme formülü (1) de yerine konursa gerekli ifadeler elde edilir. Aşağıdaki grafiğe referansla, θ p1 için: tan ( θp) = τ xy ( σx σy) ( p1) sin θ = cos ( θp 1) = τ xy σx σy + τ σ σ x σx σy + τ y xy xy (5)
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi Aşağıdaki grafiğe referansla, θ p için ise: sin cos ( θp) ( θp) = = τ xy σx σy + σx σy τ σx σy + τ xy xy (6)
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi (5) ve (6) nolu denklem setinden herhangi biri, denklem (1) de yerine konursa, asal normal gerilmeleri bulmak için kullanılan basitleştirilmiş ifadeler elde edilir (ezberlemeniz gerekecek): σ 1, σx + σy σx σy = ± + τ xy ( σ σ ) > (7) 1 Asal normal gerilmelerin bulunduğu düzleme asal düzlemler denir.
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi Dikkat edilirse, θ p1 ve θ p ifadeleri denklem () de yerine konursa, kesme gerilmelerinin bu düzlemlerde sıfır olduğu görülür. Yani bir başka deyişle, asal düzlemlerde kesme gerilmesi oluşmamaktadır.
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi Maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemse, denklem () nin θ ya türevi alınıp bu ifade 0 a eşitlenerek aşağıdaki gibi bulunur: tan ( θ ) s ( σx σy) τ xy = (8) Bu denklemin iki kökü, aşağıdaki şekle referansla bulunabilir:
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi Dikkat edilirse, asal normal gerilmelerin olduğu düzlem ve maksimum kesme gerilmesinin olduğu düzlem birbirinden 90 derece açıyla ayrılmıştır, bu durumda θ s ve θ p birbirinden 45 derece ile ayrılır: Yani, maksimum kesme gerilmelerinin olduğu düzlem, asal düzlemleri tanımlayan düzlemleri 45 derece döndürerek bulunabilir.
Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri Asal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi θ s lerden herhangi birini denklem () de yerine koyarak, maksimum kesme gerilmesi değerini aşağıdaki gibi buluruz (bu ifade de ezberlenecek): τ max σx σy = + τ xy (9) θ s lerden herhangi birini denklem (1) de yerine konulursa da bu düzlemde oluşan normal gerilmeler bulunur (bu ifade de ezberlenecek): σ avg σx + σy = (10) Dikkat edilirse, maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemde, ortalama normal gerilme de oluşmaktadır.
Örnek - 3 Şekilde gösterilen çubuğa, P eksenel kuvveti uygulanmaktadır. (a) asal gerilmeleri bulunuz, (b) maksimum kesme gerilmesini ve buna karşılık gelen ortalama normal gerilmeyi bulunuz.
Örnek 3 (devam) Pozitif yön kabulleri dikkate alınarak, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür: Yukarıdaki değerleri, asal gerilme denklemlerinde yerine koyarsak: τxy tan = = 0 ( θp) ( σx σy) σx + σy σx σy σ1, = ± + τxy = σ Olduğunu görürüz, yani kesme gerilmeleri olmadığı için asal gerilmeler şekildeki gibi oluşmaktadır.
Maksimum kesme gerilmeleri için ise, Örnek 3 (devam) Bu gerilmelerin doğru yönlerini bulmak için () nolu denklem kullanılabilir: (-) işareti, pozitif kesme gerilmesi yönünün tersi yönünde gerilmenin oluştuğunu gösterir.
Örnek 3 (devam) Maksimum kesme gerilmesinin ve bununla ilişkili normal gerilmenin yönleri aşağıda gösterilmiştir:
Örnek - 4 Şekildeki şaftın kırılma düzleminde ölçülmüş düzlem gerilme durumu aşağıda gösterilmiştir. Bu gerilme durumunu asal gerilmelere dönüştürünüz (asal gerilmeler cinsinden ifade ediniz)
Örnek 4 (devam) İşaret kabulleri altında, gerilmeler aşağıdaki gibi ifade edilir: Denklem (4) uygulanırsa: Bu denklem çözülürse: θ p1 ve θ p arasındaki açı farkı 180 derece olduğuna göre (bakınız yukarıdaki çizimler):
Örnek 4 (devam) Asal eksenlerdeki gerilme durumu aşağıda gösterilmiştir: Pozitif açı yönü dikkate alınarak çizilmiştir. Şimdi, bu eksenler doğrultusundaki gerilmeleri bulabiliriz, denklem (7) kullanılırsa: Aynı değerler denklem (1) de θ p = -3.7 derece konularak da bulunabilirdi:
Örnek 4 (devam) σ1 ve σ nin hangi düzlemlere etkidiği θ p = θ p = -3.7 dereceyi denklem (1) de yerine koyarak bulabiliriz, bunu yaparsak σ = -46.4 Mpa olarak bulunur. Bu durumda -3.7 derecelik düzleme bu asal gerilme etkimektedir. θ p1 = 66.3 dereceye de σ1 = 116 Mpa etkimektedir. Dikkat edilirse, asal gerilmelerin olduğu düzlemde kesme gerilmeleri oluşmamaktadır.
Örnek - 5 Şekildeki gösterilen gerilme durumuna ait maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemi bulunuz ve maksimum kesme ve ortalama normal gerilmeleri hesaplayınız. Yukarıdaki gerilme durumu ile aynı!
Örnek 5 (devam) Maksimum kesme gerilmesini oluştuğu düzlemi bulmamız gerekmekte, yine işaret kabulleri altında, aşağıdaki ifadeleri yazmamız mümkün: Denklem (8) kullanılarak: Dikkat edilirse, burada gösterilen düzlemlerle asal düzlemler arasında 45 derecelik bir fark vardır.
Örnek 5 (devam) Denklem (9) kullanılarak, maksimum kesme gerilmeleri bulunur: = = Bu değerin yönü açısını denklem () de yerine koyarak bulunabilir: Pozitif işareti, kesme gerilmesinin pozitif y doğrultusunda etkidiğini gösterir.
Örnek 5 (devam) Ortalama gerilmeler ise denklem (10) kullanılarak hesaplanabilir: = =
Örnek - 6 T burulma momenti şafta saf kesme gerilmeleri oluşturmaktadır. Bu durumda, (a) oluşan maksimum düzlem kesme gerilmesi ve ortalama normal gerilme değerlerini, (b) asal gerilmeleri bulunuz.
Örnek 6 (devam) İşaret kabulleri altında, aşağıdaki ifadeleri yazmamız mümkün: = = = Denklemler (9) ve (10) uygulanarak, maksimum kesme gerilmesi ve ortalama normal gerilme hesaplanır: Demek ki, maksimum kesme gerilmesi, ilk şekilde gösterildiği gibi oluşmaktaymış.
Örnek 6 (devam) Asal gerilmeler ise önce denklem (4) sonra denklem (7) uygulanarak, aşağıdaki gibi hesaplanır: Denklem (1) de konarak gerilmelerin doğru yönleri bulunabilir: - -
Örnek 6 (devam) Deneyler göstermektedir ki, düktil (sünek) malzemeler kesme gerilmelerinden, gevrek malzemeler ise kesme gerilmelerinden kopmaktadır: Sünek Malzeme Gevrek Malzeme
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme Bu bölümde, düzlem gerilme dönüşüm denklemlerinin grafiksel bir yöntem ile nasıl uygulanabildiğini göstereceğiz. Böylece dönüşüm denklemlerinin ezberlenmesi de daha kolay hale gelecektir. σ ve τ Ayrıca bu yöntem x nün etkidikleri düzlemin oryantasyonu (açısı) değiştikçe nasıl değiştiklerini izlememiz açısından da kolaylık sağlayacaktır. xy
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) Denklem (1) ve () aşağıdaki gibi yazılabilir: σx + σy σx σy σx = cosθ + τxy sin θ σx σy τxy = sin θ + τxy cos θ (10) (11) Her iki denklemin karesini alıp birbirine eklersek θ değerinden kurtuluruz, sonuç aşağıdaki gibi olur: σ + σ σ -σ σ τ τ x y x y x - + xy = + xy (1)
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) σ, σ ve Spesifik bir problem için x y xy bilinen sabitler ise, bu durumda yukarıdaki denklem daha kompakt formda yazılabilir: τ σx -σave + τxy = R ( ) (13) burada σ ave σx + σy = σx -σy R= + τ xy
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) σ ve τ Eğer için pozitif eksenler aşağıdaki gibi olacak şekilde düşünürsek denklem (13) ün R yarıçaplı, merkezi C( σ ave, 0) da olan bir daire denklemi olduğunu görürüz: ( ) σ -σ + τ = x ave xy R σ ave σx + σy = σx -σy R= + τ xy Alman mühendis Otto Mohr tarafından geliştirilen Mohr Dairesi!
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) Mohr dairesi üzerindeki her bir nokta bir gerilme durumunu ifade etmektedir. Örnek olarak aşağıdaki elemanı ele alalım: Negatif A 90 o derece döndür G Eleman üzerinde θ kadar dönme, Mohr dairesi üzerinde θ kadar dönmeye karşılık gelmektedir.
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asal gerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir: A A noktası, θ = 0, C ve A birleştirilerek R hesaplanır ve daire çizilir. B Asal eksenler θ p1 (CA dan CB ye) ve θ p (CA dan CD ye) açıları ile gösterilmektedir. B ve D noktaları.
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asal gerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir: E Asal kesme gerilmesi θ s1 (CA dan CE ye) ve θ s (CA dan CF ye) açıları ile gösterilmektedir. E ve F noktaları. P Herhangi bir θ açısındaki gerilme değeri (P noktası). CA çizgisinden saat akrebinin tersi yönünde θ kadar dönerek bulunur.
Mohr Dairesi Örnek 1 Üzerine etkiyen yüklemeden dolayı, şaft üzerindeki A noktası şekilde gösterilen düzlem gerilme durumuna maruz kalmıştır. Bu noktada oluşan asal gerilmeleri bulunuz. MPa MPa
Mohr Dairesi Örnek 1 (devam) Pozitif yön kabullerini dikkate alarak, aşağıdaki ifadeler yazılabilir: MPa MPa Ortalama gerilme: MPa Bu durumda, referans noktası A(-1,-6) ve dairenin merkezi ise C(-6,0) noktaları olmaktadır. Dairenin yarı çapı ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir: MPa (+) MPa (+) MPa
Mohr Dairesi Örnek 1 (devam) Asal eksenler, daireye referansla, B ve D noktalarıdır: σ1> σ için: (+) MPa MPa MPa (+) MPa
Mohr Dairesi Örnek 1 (devam) Asal eksenin olduğu düzlem, referans noktası A dan saat akrebinin tersi yönünde θ P kadar dönülerek bulunur: (+) MPa MPa (+) MPa MPa
Mohr Dairesi Örnek Şekilde gösterilen düzlem gerilme durumu için maksimum düzlemsel kesme gerilmesini ve bulunduğu düzlemi hesaplayınız.
Mohr Dairesi Örnek (devam) Problem verisinden, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür: Ortalama gerilme: Bu durumda, referans noktası A(-0, 60) ve dairenin merkezi ise C(35,0) noktaları olmaktadır. Dairenin yarı çapı ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
Mohr Dairesi Örnek (devam) Maksimum kesme gerilmeleri Mohr dairesi üzerinde E ve F noktaları ile gösterilmektedir. Dikkat edilirse, bu noktalarda, normal gerilme ortalama değerdedir: Maksimum kesme gerilmesi düzlemi: Dikkat edilirse, E noktasında hem kesme hem de normal gerilmeler pozitiftir!
Mohr Dairesi Örnek 3 Şekilde gösterilen düzlem gerilme durumundaki eleman, saat akrebinin tersi yönünde 30 derece döndürüldüğünde oluşan gerilme durumunu hesaplayınız. MPa MPa MPa
Mohr Dairesi Örnek 3 Problem verisinden, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür: MPa MPa MPa Ortalama gerilme: MPa θ = 0 noktası referans noktası olup koordinatları A(-8, -6) ve dairenin merkezi C ise (, 0) noktasındadır. Yarıçap ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir: MPa
Mohr Dairesi Örnek 3 Elemanın referans noktası olan A noktasından 30 derece dönmesi, Mohr dairesinde (30) = 60 derece dönmeye karşılık gelmektedir (P noktası): P( σ, τ ) x xy Değerler, trigonometriden kolaylıkla bulunur: MPa MPa MPa MPa
Mohr Dairesi Örnek 3 Elemanın DE yüzüne etkiyen gerilmeler ise Mohr dairesinde Q noktasına denk gelmektedir. Q noktasının koordinatları ise aşağıdaki gibi bulunabilir: Q( σ, τ ) x xy Değerler, trigonometriden kolaylıkla bulunur: MPa MPa MPa MPa