İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ
Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri merkezileştiği oktaı değeri edir? Dağılımı değişkelik durumu e ölçüdedir? soruları cevaplaabilmesi içi dağılımı karakterize ede bazı değerleri hesaplaması gerekir. Bu amaçla veri grubua ilişki yer ve dağılma ölçüleride yararlaılır. Merkezi Eğilim Ölçüleri Aritmetik Ortalama Ağırlıklı (Tartılı) Ortalama Geometrik Ortalama Harmoik Ortalama Medya (Ortaca) Mod (Tepe Değeri) Dağılım (Değişim) Ölçüleri Değişim Geişliği Varyas Stadart Sapma Varyasyo Katsayısı
Aritmetik Ortalama Dağılımı yerii belirlemeside kullaılır. Tek başıa ortalama terimide aritmetik ortalama alaşılır. Basit aritmetik ortalama herhagi bir kou ile ilgili gözlemleri toplamıı toplam gözlem sayısıa bölümü ile buluur. X 1, X 2, X 3,..., X gözlee örek değerlerii göstermek üzere aritmetik ortalama: X X X X... X X i 1 2 3 1 i
Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalamaı iki öemli özelliği vardır: 1. Verileri, aritmetik ortalamada sapmalarıı toplamı sıfıra eşittir. i1 X i i1 ( Xi X) 0 Xi X 0 Xi 0 i1 i1 i1 2. Verileri, aritmetik ortalamada sapmalarıı kareleri toplamı miimumdur. Herhagi bir değeri a ile gösterirsek ifade aşağıdaki gibi yazılabilir. i1 2 ( X X) ( X a) i i1 i 2
Ağırlıklı Ortalama Bazı durumlarda verileri aritmetik ortalaması souç hakkıda pek fazla açıklayıcı bilgi taşımaz. Öreği farklı krediye sahip dersler almış ola bir öğrecii başarı ortalaması hesaplaırke aritmetik ortalama ile alamsız souçlar buluur. Böylesi durumlarda verileri gözlee frekasları ile çarpılıp toplaması ve elde edile değeri toplam frekasa bölümesi ile bulua değer kullaılır. Bu işleme ağırlıklı ortalama deir. Xi gözlee i. veri, Wi i. verii gözlee ağırlığı (frekası) olmak üzere ağırlıklı ortalama: X i 1 W X i1 i W i i
Ağırlıklı Ortalama Örek 1: Bir öğrecii almış olduğu derslere ilişki krediler ve otlar aşağıda verilmiştir. Ders Matematik Kimya Makia Bilgisi Tekik Resim Ölçme Tekiği Kredi 6 4 2 5 3 Not 54 50 54 51 67 Öğrecii başarı otuu; a) Aritmetik ortalama yötemiyle hesaplayıız. b) Ağırlıklı ortalama yötemiyle hesaplayıız. c) Hagi yötemi soucu kullaılmalıdır? Nede?
Ağırlıklı Ortalama Çözüm 1: a) X 54 50 54 51 67 5 276 5 55. 2 b) X 6* 54 4* 50 2* 54 5* 51 3* 67 6 4 2 5 3 1088 20 54. 4 c) Gözlee değerleri (öğrecii otlarıı) frekasları (kredileri) farklı olduğuda ağırlıklı ortalama kullaılmalıdır.
Geometrik Ortalama Özellikle eşit zama aralığı ile değişe oraları ortalamasıı hesaplamasıda (öreği, üfus artışı, faiz gibi olaylarda ortalama artış hızıı hesaplayabilmek içi) geometrik ortalama kullaılır. Geometrik ortalama: GO X1 * X2 * X3*...* X Örek 2: Akaryakıt fiyatlarıda ardışık 3 yıldaki fiyat artışı %15, %20 ve %24 olarak gerçekleşmiştir. Ortalama artış oraıı hesaplayıız. Çözüm 2: GO 3 15* 20* 24 %19. 309
Harmoik Ortalama Verileri terslerii ortalamasıı tersi harmoik ortalamayı verir. HO 1 1 1 1 1 1... X X X i1 X 1 2 Ora şeklide türetilmiş verilerde, ora elde edilirke, d/t, eğer pay (d) sabit payda (t) değişke ise oraları ortalaması harmoik ortalama ile hesaplaır. Buu tersi durumda ise aritmetik ortalama kullaılır. Öreği, hız=yol/zama veya fiyat=para/mal şeklide ifade edile olaylarda; zamaı değişke gidile yolu sabit, alıa mal miktarıı değişke paraı sabit olması halide harmoik ortalama kullaılır. i
Harmoik Ortalama Örek 3: Bir sürücü 200 km lik yolu 2 saatte gitmiş ve 4 saatte dömüştür. Bu yolculukta sürücüü ortalama hızıı hesaplayıız. Çözüm 3: Hız=yol/zama Gidiş hızı=200/2=100km/s Döüş hızı=200/4=50km/s HO 1 1 1 2 100 1 50 1 100 2 1 50 66. 67km / s Üç ortalama arasıda: AO GO HO ilişkisi vardır. Bütü değerleri ayı olması halide ilişki eşitlik halide gerçekleşir.
Medya (Ortaca) Verileri küçükte büyüğe veya büyükte küçüğe sıralaması halide ortaya düşe değer (veri sayısı tek ise) veya ortaya düşe iki değer çiftii ortalaması (veri sayısı çift ise) medya olarak adladırılır. veri sayısıı göstermek üzere; Grupladırılmış verilerde (frekas tablosuda) medya hesabı: Medya L N F b 2 * c F med L: Medya sııfıı alt sıırı N: Toplam gözlem sayısı c: Sııf aralığı (geişliği) F med : Medya sııfıı frekası F b : Medya sııfıda öceki sııfları frekas toplamı Medya ortalamaya azara uç değerlerde etkilemez veya çok az etkileir ve daha az işlem yükü getirir. Sayıla bu yararlarıa karşı ortalama gibi aalitik bir değere sahip değildir. Medyaı stadart sapması ortalamaıkide büyüktür
Mod (Tepe Değeri) Verileri içide e çok tekrarlaa (frekası e büyük ola) değer mod olarak adladırılır. Grupladırılmış verilerde (frekas tablosuda) mod hesabı aşağıdaki formül yardımıyla yapılmaktadır. L: Mod sııfıı alt sıırı d1: Mod sııfı frekası ile bir öceki sııf frekası arasıdaki fark d2: Mod sııfı frekası ile bir soraki sııfı frekası arasıdaki fark c: Sııf aralığı (geişliği) Mod L d d1 d 1 2 * c Frekası e yüksek olduğu sııf mod sııfı olarak adladırılır. Mod değerii alamlı olabilmesi içi gözlem sayısıı çok fazla olması gerekir. Baze veri gurubuu birde fazla modu olabilir. Bu durum, ilgili aakütlei birkaç alt grupta meyda geldiğii gösterir. mod veri grubudaki uç değerlerde etkilemez.
Mod (Tepe Değeri) Örek 4: Aşağıdaki verileri moduu ve medyaıı belirleyiiz. 120 100 130 100 160 130 86 100 94 90 Çözüm 3: Verileri küçükte büyüğe sıralayalım. 1.değer 2.değer 3.değer 4.değer 5.değer 6.değer 7.değer 8.değer 9.değer 10.değer 86 90 94 100 100 100 120 130 130 160 Veri grubuda e çok tekrarlaa değer 100 olduğu içi Mod=100 Veri sayısı =10 çift
Örek Malzeme testide elde edile veriler aşağıdaki gibi sııfladırılmıştır. Sııf Sıırları Sııf Değeri Frekas 1 200-220 210 7 2 220-240 230 9 3 240-260 250 7 4 260-280 270 4 5 280-300 290 3 Mod ve Medyaı hesaplayıız.
Dağılım Ölçüleri Yer (merkezi eğilim) ölçüleri tek başıa dağılımı karakterize etmez. Verileri yer ölçüleride uzaklık durumlarıı, yai değişkeliklerii belirtmek içi diğer bazı ölçüleri kullaılması gerekir. Verileri değişkelik durumuu ve dağılım şeklii belirlemek içi kullaıla ölçülere dağılım ölçüleri deir. İki veri grubu ortalamasıı eşit olması dağılımlarıı ayı olmasıı gerektirmez. Dağılım şeklii ve değişkeliğii karşılaştırılması dağılım ölçüleri ile belirleir. Dağılım (Değişim) Ölçüleri Değişim Geişliği Varyas Stadart Sapma Varyasyo Katsayısı
Değişim Geişliği Değişkeliği e basit ölçüsüdür.
Varyas Verileri ortalamasıda sapmalarıı büyüklüğü dağılımı değişkeliğii göstere iyi bir ölçüdür. Yaygı olarak kullaıla bu değişkelik ölçüsü varyastır. Varyası büyüklüğü veri grubudaki değişkeliği fazlalığıı ve veri grubuu dağılımıı yayvalığıı gösterir. Varyas, değişim geişliğide daha hassas bir ölçüdür. Öte yada, varyası birimi olmadığıda bazı durumlarda verileri elde edildiği birime sahip bir ölçü kullaılması daha uygu olmaktadır. Böyle bir ölçü varyası karekökü ola stadart sapmadır.
Stadart Sapma Dağılım ölçüsüü fiziksel alamı ola bir büyüklük şeklide ifade etmek içi varyası karekökü alıır ve bua stadart sapma deir. Örek stadart sapmasıı ve varyasıı paydasıda bulua -1 ifadesi serbestlik derecesi olarak adladırılır.
Varyasyo Katsayısı Verileri değişkeliğii kedi ortalamalarıa orala ifade etmek içi kullaıla bir ölçüdür. Değişim Katsayısı olarak da adladırılır. Ortalamaları birbiride farklı ola aakütleleri değişkeliklerii karşılaştırılmasıda değişim katsayısı ölçüsü kullaılmalıdır. Değişim katsayısıı büyüklüğü arttıkça isteile değerde uzaklaşıldığı söyleebilir
Örek Örek 5: Bir üretim hattıda kg olarak alıa ağırlık ölçümleri 35 40 45 30 40 50 35 38 42 44 olarak belirlediğie göre verileri değişim geişliğii, varyasıı, stadart sapmasıı ve değişim katsayısıı hesaplayıız. Çözüm 5: DG=50-30=20 X 35 40 45 30 40 50 35 38 42 44 10 _ 39. 9 ( 35 39. 9) ( 40 39. 9)... ( 42 39. 9) 10 1 S 2 2 2 2 S DK 33. 21 5. 76 5. 76 * 100 %14. 44 39. 9 33. 21
Çarpıklık ve Basıklık Çarpıklık Normal dağılımda simetrikliği bozulma derecesi çarpıklık olarak ifade edilir. Dağılım sağa doğru uzu kuyruklu ise sağa çarpık, sola doğru uzu kuyruklu ise sola çarpık olarak adladırılır. Çarpıklık katsayısı : 3 ( X ) i1 i 3 3 m 3 3 Hesap souda bulua katsayıya göre dağılımı yorumu aşağıdaki gibi yapılır:
Çarpıklık ve Basıklık Basıklık Normal dağılım eğrisii sivrilik ya da basıklık derecesi 4 ( X ) i1 i 4 4 m 4 4 Hesap souda bulua katsayıya göre dağılımı yorumu aşağıdaki gibi yapılır:
Kartiller Bir seriyi küçükte büyüğe sıraladığıda 4 eşit parçaya böle değere kartil deir. Dataları 25% i Q 1 de az Dataları 50% si Q 2 de az: Medya Dataları 75% i Q 3 de az
Kartiller SINIFLANDIRILMIŞ VERİLER İÇİN: Q 1 = L Q1 + f 4 f i f Q1 c Q 2 = L Q2 + Q 3 = L Q3 + 3 f 4 f i f Q3 c f 2 f i f Q2 c
Kartiller:Örek Alumiyum-Lityum alaşımıı bası dayaımı ile ilgili yapıla 80 deeyi souçları aşağıda verilmiştir. 105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193 194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146 218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163 145 171 148 158 160 175 149 87 160 237 150 135 196 201 200 176 150 170 118 149 Verileri sııfladırıp kartilleri hesaplayıız.
Box ve Whisker Grafiği Kutu Grafiği verileri merkezi, yayılımı şeklii ve üç değerlerii gösterir. Bu grafikte; Miimum değeri First kartili, Medyaı 3.Kartili Maksimum değeri gösterir.
Box ve Whisker Grafiği
Comparative Box Plots Descriptive Statistics Comparative box plots of a quality idex at three maufacturig plats. Commet: Plat 2 has too much variability. Plats 2 & 3 eed to raise their quality idex performace. Atatürk Uiversity
Gelecek dersi kousu Olasılık..