ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ SI IFLA DIRILMASI VE GRAFĐKLER 8.. Grş 8.. Sürekl Verler Sııfladırılması 8.3. Eklemel (Yığmalı) Frekaslar.4. Keskl Verler Sııfladırılması 3.5. Sürekl Verlere At Grafkler 4.6. Keskl Verlere At Grafkler 5.7. Eklemel (Yığmalı) Frekaslara At Grafkler 5 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6 3. YER ÖLÇÜLERĐ 8 3. Grş 8 3.. Artmetk Ortalama 8 3...Artmetk Ortalamaı Özellkler 9 3... Frekas Tablosuda Artmetk Ortalamaı Hesaplaması 0 3.3. Medya (Ortaca Değer) 3.3. Frekas Tablosuda Medya Hesabı 3.4. Mod (Tepe Değer) 4 3.5. Artmetk Ortalama, Medya ve Mod Arasıdak Đlşk 5 3.6. Tartılı Ortalama 6 3.7. Geometrk Ortalama 8 3.7.. Geometrk Ortalamaı Özellkler 9 3.8. Harmok Ortalama 30 3.8.. Frekas Tablosuda Harmok Ortalamaı Hesaplaışı 3 3.8.. Harmok Ortalamaı Özellkler 3 3.9. Artmetk, Geometrk ve Harmok Ortalama Arasıdak Đlşk 3

3.0. Karel Ortalama 3 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 33 4. DAĞILIŞ ÖLÇÜLERĐ 35 4. Grş 35 4.. Değşm Geşlğ (Rage) 35 4.3. Ortalama Mutlak Sapma 36 4.4. Varyas ve Stadart Sapma 37 4.4.. Varyası Özellkler 40 4.5. Stadart Hata 4 4.6.Varyasyo Katsayısı 4 4.7. Eğrlk Katsayısı (Skewess) 45 4.8.Dklk Katsayısı (Kurtoss) 46 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 47 5. KESĐKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI 49 5.. Grş 49 5.. Bom Dağılışı 49 5.3. Posso Dağılışı 53 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 54 6. SÜREKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI 56 6.. Grş 56 6. Normal Dağılış 56 6.3. Stadart Normal Dağılış 57 6.4. Normal Dağılış Đle Đlgl Đşlemler 6 6.5. Bom Dağılışıı Normal Dağılışa Yaklaşımı 65 6.6. Posso Dağılışıı Normal Dağılışa Yaklaşımı 66 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 67 7. GÜVE ARALIKLARI 70 7.. Grş 70 7.. Populasyo Ortalamasıı (µ) Güve Aralığı 70 7.3. Đk Ortalama Arasıdak Farka At Güve Aralığı 73 7.4. Oralara At Güve Aralığı 75 7.5. Oraları Farkıa At Güve Aralığı 77 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 79 8. HĐPOTEZ TESTLERĐ 8 8.. Grş 8 8.. Hpotez Testde Đzleecek Yollar 8 8.3. Hata tpler ve Test Gücü 83 8.4. Populasyo Ortalaması Đle Đlgl Hpotez Test 83

8.5. Ortalamalar Arası Farka At Hpotez Test 86 8.6. Oralara At Hpotez Test 89 8.7. Oraları Farkıa At Hpotez Test 9 8.8. Eşl Karşılaştırma Yötem 93 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 96 9. KHĐ KARE A ALĐZĐ 99 9.. Grş 99 9.. Uyum Đylğ Test 99 9.3. Bağımsızlık Test 0 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 05 0. REGRESYO VE KORELASYO A ALĐZĐ 06 0.. Grş 06 0.. Bast Doğrusal Regresyo Model ve Regresyo Aalz _ 06 0.3. Regresyo Katsayısıı Öem Test ve Güve Aralığı 09 0.4. a ı Öem Test ve Güve Aralığı 0.5. Korelasyo Katsayısı ve Korelasyo Katsayısıı Öem Test 0.6. Korelasyo Katsayısıı Güve Aralığı 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 5 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ Đ ÇÖZÜMLERĐ 6 Z Cetvel 53 t Dağılışı 54 Cetvel 55 Kayaklar 58

. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş Gülük hayatta, ster byolojk sterse sosyal olsu tüm olaylar statstğ lgledrr. Öreğ havaı yağışlı olup olmaması htmal, pazarda yapıla bell br alışverş mktarıı buluması, yıllara göre üfus artışı, yapıla bell br aket araştırmasıı grafklerle gösterm, zraatte kullaıla k farklı lacı etklğ test edlmes brer statstktr. Bugüü blm düyasıda statstk br temele veya yöteme dayadırılmaya br araştırma rağbet görmemektedr. Bu edele; yapıla her araştırmada mutlaka statstk br yötem kullaılmalıdır. Bu bölümde statstkte temel teşkl ede kavramlar üzerde durulacaktır... Đstatstk Đstatstğ çeştl ktaplarda brçok taımı mevcuttur. Bu kısımda bu taımlarda sadece üçü üzerde durulacaktır. Đstatstğ brc taımı, belrl br araştırmada toplaa sayısal değerler le, bu sayısal değerlerde yararlaarak çzle şekl ve grafklerdr. Öreğ; üfus sayımı, seçmlerde öce yapıla aket çalışmaları, şszlk oraı, okur yazar oraı gb. Đstatstğ kc taımı, temel matematkte ala blm dalıa verle addır. Bu edele statstk, matematk le yakıda lşkldr. Yapıla araştırmalarda göstermştr k matematk temel y ola br öğrec statstk dersde de başarılı olmuştur. Đstatstğ üçücü taımı, bell br örekleme yötem kullamak suret le populasyoda seçle öreklerde hesaplaa örek değerlere der. Bzm ç öeml ola üçücü ve so taımdır. Dğer k taım klask taımdır. Üçücü taımda dkkat edlrse k kavram vardır. Populasyo ve Örek. Bu kavramlar bu bölümü dğer kısımlarıda alatılacaktır. Đstatstkler Lat harfler le gösterlrler.

.3. Populasyo Ayı özellğe veya ortak özellğe sahp brmler oluşturduğu topluluğa populasyo der. Öreğ btk populasyou, öğrec populasyou, hayva populasyou, ççek populasyou, memur populasyou gb (Akar ve Şahler, 993). Populasyolarda geel alamda alt populasyolarda oluşablr. Öreğ balık populasyou deldğ zama bu geel br kavramdır. Acak bu populasyou br alt populasyou olarak Alabalık populasyou veya Saza populasyou deldğde alt populasyolar da taımlamış olur..4. Örek Araştırmaya kou ola br populasyoda, bell br örekleme yötem kullaılarak populasyou temsl edeblecek büyüklükte seçle, daha az sayıda brmler oluşturduğu topluluğa örek der. Seçle öreğ mutlak surette populasyou temsl etmes ve bell br örekleme yötem le alıması gerekr..5. Brm Br topluluğu oluştura ve celemeye kou ola obje ya da breye brm der. Üverstede brm; öğretm üyes, öğrec, devlet daresde brm; memur, hayvacılık deemesde brm; hayva, tarla deemesde brm; parsel, aket çalışmasıda brm; kşlerdr..6. Parametre Populasyoda hesaplaa değerlere parametre der. Parametreler Grek harfler le gösterlr. Öreğ β (populasyoa at regresyo katsayısı), σ (populasyou stadart sapması), α, µ, δ, brer parametredr. Populasyo N Örek Parametre Đstatstk Pop. Ortalaması (µ) Örekleme Örek Ortalaması Pop. Varyası Yötem Örek Varyası

.7. Değşke Bell br sembolle gösterle ve sembolü değer sürekl değşe fadelere değşke der. Değşkeler, Y, Z, K, L, M gb alfabe büyük harfler le gösterlr. Buları elemaları se x, y, z, k, l, m gb küçük harfler le gösterlr. { x, x,..., x } gb..8. Ver ve Ver Tpler Đstatstkte toplaa verler güvelrlğ büyük öem arz eder. Çükü statstkç eldek verlerde yararlaarak tahmde buluur. Tahm güvelrlğ başlıca şu hususlara bağlıdır: a) Araştırıcıı dürüstlüğüe, b) Yapıla ölçümü hassasyete, c) Deeme sağlıklı yürütülmese, d) Uygulaa matematk model ve yötem doğruluğua. Eldek kullaıla ver doğruluğuu yaıda seçlecek yötem belrlemesde de ver yapısı öem taşır. Verler, kaltatf ve kattatf olmak üzere kye ayrılır. Kaltatf Verler: Rakamla fade edlmeye verlere kaltatf verler der. Öreğ saç reg, göz reg, mede durum, kş sgara çp çmemes. Bu tp verler daha zyade aket yoluyla elde edle verlerdr. Bu tp verlere daha zyade parametrk olmaya statstk yötemler kullaılır. Öreğ, Kh Kare (χ ) dağılışı bu yötemlerde br taesdr. Kattatf Verler : Rakamla fade edle verlere der. Bular ked aralarıda keskl ve sürekl ver olmak üzere kye ayrılır. a) Keskl Ver : Br sayım soucu elde edle verlere der. Bu tp verler Bom dağılışı, Posso dağılışı, Beroull dağılışı, Negatf bomyal dağılış, Hpergeometrk dağılış, Uform dağılış gb dağılışlarda bre sahptr. Öreğ aledek çocuk sayısı, br sadıktak elma sayısı, br ülke üfusu keskl telkte br verdr. Bu tp verlerde sııflar brbrde kes olarak ayrılmıştır. 3

b) Sürekl Ver: Br tartım veya ölçüm soucu elde edle verlere sürekl ver der. Br kş yaşı, boyu, klosu sürekl verdr. Bu tp verlerde sııflar arasıda dama br geçş söz kousudur. Sürekl verler; Normal dağılış, F dağılışı, Gamma dağılışı, Beta dağılışı, Düzgü dağılış, Cauchy dağılışı, Üstel dağılışlarda brs gösterr..9. Toplama Sembolü Đstatstkte toplama sembolü Σ şaret le gösterlmekte olup, statstk formüller yazılmasıda büyük kolaylık sağlar. Öreğ; x + x +... + x term kısaca; şeklde de fade edleblr. Toplama Sembolüü Özellkler ) ve Y değşkeler toplamı, buları ayrı ayrı toplamlarıa eşttr. Σ( + Y ) Σ + ΣY Örek : {, 3, }, Y {, 7, 6 } se, Σ( + Y ) ( x + y ) + (x + y ) + ( x 3 + y 3 ) ( + ) + ( 3 + 7 ) + ( + 6 ) 0 Σ x + x + x 3 + 3 + 6 ΣY y + y + y 3 + 7 + 6 4 Σ + ΣY 6 + 4 0 4

) ve Y değşkeler farklarıı toplamı, buları ayrı ayrı toplamlarıı farklarıa eşttr. Σ( - Y ) Σ - ΣY Örek : {, 3, }, Y {, 7, 6 } se, Σ( - Y ) ( x - y ) + (x - y ) + ( x 3 - y 3 ) ( - ) + ( 3-7 ) + ( - 6 ) 0-4 - 4-8 Σ x + x + x 3 + 3 + 6 ΣY y + y + y 3 + 7 + 6 4 Σ - ΣY 6 4-8 3) ve Y değşkeler çarpımlar toplamı, bu değşkeler ayrı ayrı toplamlarıı çarpımıa eşt değldr. Σ Y Σ ΣY Örek : {, 3, }, Y {, 7, 6 } se, Σ Y x. y + x. y + x 3. y 3. + 3. 7 +. 6 + + 34 Σ 6 ΣY 4 34 6. 4 5

4) k sabt br sayı se, sabt sayı toplama sembolüü öüde yazılablr. Σk k Σ dr. Örek : k ve {, 7, 6, 4 } se, Σ k k. x + k. x + k. x 3 + k. x 4. +. 7 +. 6 +. 4 + 4 + + 8 36 k Σ k. (x + x + x 3 + x 4 ) ( + 7 + 6 + 4 ) 36 5) k sabt br sayı olmak üzere 5 k.k dır. Örek : k 3 ve 5 se, 5 k 3 3 + 3+ 3+ 3 + 3 5 veya, 5 3 3. 5 5 dr. ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Aşağıdak termler kısaca açıklayıız. a) Đstatstk b) Parametre c) Populasyo d) Sürekl ver e) Keskl ver 6

) Aşağıdak termler taımlayıız. a) Brm b) Karakter c ) { 6, 8, 9 }, Y { 6,, 3, 5 } se, 3 + Y d) k 5 se, 8 k?? 3) {, 8, 6, 0 }, Y { 4, 5, 7, } se, Σ.Y (Σ ). (ΣY ) olduğuu gösterz. 4) Aşağıda verle toplamları termler yazıız. 5 a) b) jy j? 6 j 5) Aşağıdak fadeler toplama şaret kullaarak yazıız. a) ( x + y ) + ( x + y ) +... + ( x 6 + y 6 ) b) a b + a b +... + a b 6) Aşağıda salar ç verle değşkelerde hagler kaltatf veya kattatf, hagler keskl veya sürekl ver olduğuu belrtz (Bek ve ark., 996). a) Yaş b) Doğum yılı c) Csyet d) Boy e) Saç reg f) Hoşladığı sebze 7) Aşağıdak eştlkler gösterz. 4 a) 3 30 b) 3 4 r 36 c) / 3/ r 5 d) 5 e) 0 f) 7

. VERĐLERĐ SI IFLA DIRILMASI VE GRAFĐKLER.. Grş Đstatstkte bell br deemede veya aket çalışmasıda elde edle blerce rakama bakarak o deeme hakkıda yorum yapmak oldukça zordur. Öreğ, üverste sıavıa gre 5000 öğrecye at pualar olsa ve bze delse k Bu öğreclerde kaç taes puaı 40 u üzerdedr? bzm bu soruya aıda cevap vermemz mümkü değldr. 5000 öğrec çde puaı 40 u üzerde olaları seçp, buları sayısıı tespt ettkte sora bu soruya cevap vermemz lazımdır. Verle bu örek dar kapsamlıdır. Buu kapsamıı geşlettğmzde 5000 öğrec pualarıı ortalaması, stadart sapması gb değşk statstkler de ş çe grecektr k bu kouyu daha da karmaşıklaştırır. Tab drek bu tp ham verlerle de belrtle statstkler hesaplaablr. Acak bu hem matematk şlemler zorluğu hem de rakam sayısı fazlalaştıkça hesap hatası yapma htmal yükseklğ edeyle zordur. Bell br araştırma souda elde edle ham verler tablo hale getrlmese frekas tablosu adı verlr. Frekas tablosua bakarak yukarıdak br çok soruya cevap vermek daha kolay olacaktır (Mead ve Curow, 983). Frekas tablosu, sııf lmtler ve frekaslara at sütularda oluşa br tablodur. Frekas tablosuda buu harcde başka sütularda (sııf sıırı, sııf değer, de az, de çok eklemel frekaslar v.b.) yer alır. Acak bu özellkler frekas tablosuu oluşturmazlar. Bular daha zyade çeştl statstkler hesaplamasıda kullaılır. Buları kullaımları ler k bölümlerde ayrıtılı olarak alatılacaktır... Sürekl Verler Sııfladırılması Sürekl verler taımı, brc bölümde ayrıtılı olarak alatılmıştı. Bu tp verlere at frekas tablosuu oluşturulmasıda aşağıdak yol zler. a) Verler küçükte büyüğe doğru sıralaır. Acak bu durum keyfdr, sıralama yapılmasa da olur. 8

b) Sııf sayısıa karar verlr. Sııf sayısı, geel br kural olmamakla brlkte 5 te az 5 te fazla tavsye edlmez. Sııf sayısıa karar verrke herhag br sııfa e az gözlem değer düşmese dkkat etmek gerekr. Eğer sııfları bre hç gözlem düşmemşse sııf sayısıı azaltmak gerekr. Ayrıca sııf sayısıa karar verrke dkkat edlecek dğer br husus ham verler tamamıı frekas tablosuu çerse dahl olması gerekr. Eğer bu şart sağlaamıyorsa, sııf sayısı arttırılır. c). sııfı alt lmt değer öyle seçlmeldr k ham verler çersdek e küçük değer,. sııfı alt ve üst sııf lmtler arasıda yer alsı. d) So sııfı üst lmt değer öyle seçlmeldr k ham verler çersdek e büyük değer, so sııfı alt ve üst sııf lmtler arasıda yer alsı. e) Sııf aralığı aşağıdak formülde hesaplaır: Sııf Aralığı max m Sııf Sayısı f) Sııf aralığı hesapladığıda, vrgülde sorak 5 ve daha yukarı haeler ç br üste tamamlaır, 5 altıdak değerler ç se br alt değer alıır. Öreğ, sııf aralığı.85 se sııf aralığı 3 alıır,.36 se alıır. Böyle yapılmasıı sebeb, hesaplamaları kolay olması açısıdadır. Eğer şlemler daha hassas olması steyorsa sııf aralığıı gerçek değer de alıablr. Örek : Br grup öğrec geel yeteek testde aldığı pualar aşağıdak gbdr: 5, 3, 44, 6, 3, 63, 56, 38, 47, 45, 73, 7, 74, 76, 73, 6, 34, 7, 48, 5, 57, 44, 4, 4 brc sııfı alt lmt 5 olmak üzere 9 sııflı br frekas tablosu düzeleyz. 76 5 Sııf Aralığı 5.67 ~ 6 9 (.) 9

Sııflar f 5-30 3 3-36 3 37-4 3 43-48 5 49-54 55-60 6-66 67-7 73-78 + 4 4 Yukarıda yapıla frekas tablosua bazı eklemeler yapmak mümküdür. Acak yapıla bu eklemeler, frekas tablosu olarak adladırılamaz. Bular daha öcede de zah edldğ gb bazı statstkler hesaplamasıda ve grafkler çzlmesde yardımcı ola blglerdr. Şmd bu ek sütuları oluşturulması ayı örek üzerde zah edlecektr. Sııf Sıırı : Sııf sıırı hesaplaırke öce. sııfı alt sııf lmt le (5),. sııfı üst sııf lmt (36) ortalaması alıır, bu değer. sııfı üst sııf sıırı olarak yazılır. Bu değerde sııf aralığı (6) çıkarılarak. sııfı alt sııf sıırı buluur. E so şlem. sııfı alt ve üst sııf sıırlarıa sııf aralığı ekleerek dğer sııfları sııf sıırları bulumuş olur. Bu söylele fadeler uygulaırsa sııf sıırları, aşağıdak şeklde oluşturulur: Sııf sıırları 4.5-30.5 30.5-36.5 36.5-4.5 4.5-48.5 48.5-54.5 54.5-60.5 60.5-66.5 66.5-7.5 7.5-78.5 0

Sııf değer( ) :. sııfı alt ve üst lmt değerler ortalaması alıarak,. sııfı sııf değer buluur. Bu değere sııf aralığı ekleerek dğer sııfları sııf değer bulumuş olur. 7.5 33.5 39.5 45.5 5.5 57.5 63.5 69.5 75.5 alt + üst 5 + 30 7. 5 sb frekas (N ) : Nsb frekas aşağıdak eştlkte hesaplaır: Eştlkte : k f N :. sııfı sb frekası, f :. sııfı frekası, k f f : toplam frekası gösterr. (.) Yüzde frekas (Y ): hesaplaır : Yüzde frekas aşağıdak formülde Y (%) N. 00 (.3) Bua göre ayı şeklde sb ve yüzde frekaslar aşağıdak tablodak gbdr:

N Y (%) 0.5.5 0.5.5 0.5.5 0.083 0.83 0.047 4.7 0.0833 8.33 0.0833 8.33 0.047 4.7 +0.667 +6.67.0000 00.00 Örekte görüldüğü gb sb frekaslar toplamı dama, yüzde frekaslar toplamı da dama 00 dür..3. Eklemel (Yığmalı) Frekaslar Bu tp frekaslar -de daha az ve -de daha çok şeklde frekaslar olup, bell br sııf sıırıda az veya bell br sııf sıırıda çok frekasları fade etmek ç kullaılır. Öreğ verle örekte geel yeteek puaı 30.5 de az kaç öğrec var deldğde buu cevabı 3 tür. Ayı şeklde geel yeteek puaı 4.5 ta çok kaç öğrec var deldğde se buu cevabı se 4 tür. Bua göre -de az ve -de çok eklemel frekaslar oluşturulurke -de az da üst sııf sıırları krter alıır ve frekaslar toplaarak dğerler buluur, -de çok eklemel frekaslar ç se alt sııf sıırları krter alıır,. sııfı -de çok eklemel frekası toplam frekastır; bu frekasta dğer sııfları frekasları çıkarılarak dğer sııfları -de çok eklemel frekasları buluur. Bu söylee fadeler verle öreğe uyguladığıda eklemel frekaslar aşağıdak gb olur.

Çzelge.. Sürekl Verlere At Frekas Tablosu Sııflar f (sııf değ) Sııf sıırları -de az -de çok N Y (%) 5-30 3 7.5 4.5-30.5 3 4 0.5.5 3-36 3 33.5 30.5-36.5 6 0.5.5 37-4 3 39.5 36.5-4.5 9 8 0.5.5 43-48 5 45.5 4.5-48.5 4 5 0.083 0.83 49-54 5.5 48.5-54.5 5 0 0.047 4.7 55-60 57.5 54.5-60.5 7 9 0.0833 8.33 6-66 63.5 60.5-66.5 9 7 0.0833 8.33 67-7 69.5 66.5-7.5 0 5 0.047 4.7 73-78 4 75.5 7.5-78.5 4 4 0.667 6.67 Σ 4.0000 00.00.4. Keskl Verler Sııfladırılması Keskl verler,. Bölümde taımladığı gb saymak suret le elde edle verlerdr. Bu tp verlerde sııflar arasıda br sürekllk olmadığı ç, bu tp verlere at frekas tablosuda sııflar, sııf sayısı ve sııf değerler otomatk olarak belldr. Bu tp verlere at frekas tablosuu oluşturulması örek üzerde zah edlmştr. Örek : 30 gülük peryot çersde köyde şehre otobüsle seyahat ede saları sayısı aşağıdak gbdr. 6,3,,7,4,0,5,,3,,6,,4,4,3,0,5,,,,4,3,5,,4,6,3,0,7, Bu verlere at frekas tablosu aşağıdak şeklde oluşturulur. Verler çersde e küçük değer 0 ve e büyük değer 7 dr. O halde sııflar 0 le 7 arasıda değşecektr. 3

Sııflar f N Y (%) 0 3 0.0 0 3 0.0 0 6 0.0 0 3 5 0.7 7 4 5 0.7 7 5 3 0.0 0 6 3 0.0 0 7 0.07 7 Σ 30.00 00.5. Sürekl Verlere At Grafkler Sürekl verler ya hstogram grafğde yada frekas polgo grafğde gösterlrler. Hstogram grafğ, eksede sııf sıırlarıı Y eksede se frekasları yer aldığı br grafkte oluşur. Frekas polgou se eksede sııf değerler Y eksede frekasları kesştğ oktalarda oluşur. Verle örekte hstogram grafğ ve frekas polgouu çzm aşağıdak gbdr. Şekl. Hstogram ve Frekas Polgou Grafğ Sııf sıırları 4

Şekl.. de görüldüğü gb hstogram grafğ dkdörtgelerde oluşmaktadır. Bu dkdörtgeler orta oktaları brleştrldğde se frekas polgou elde edlmektedr. Dkdörtgeler orta oktalarıı brleştrlmes ede, k sııf sıırıı orta oktası alıdığıda sııf değer elde edlr. Ayrıca hstogram grafğde dkdörtgeler arası açık kalmaktadır. Bu da sürekl verlerde sııflar arasıda br sürekllk olduğuu göstermektedr..6. Keskl Verlere At Grafkler Keskl verler, çubuk dyagram grafğde gösterlrler..4. kısmıdak öreğe at frekas tablosu le lgl çubuk dyagram grafğ aşağıda verlmştr. Şekl..Çubuk Dyagram Grafğ Şekl.. ye bakıldığı zama çubuklar arasıda br açıklık görülmektedr. Bu da keskl verlerde sıırları brbrde kes br hat le ayrıldığıı göstermektedr..7. Eklemel (Yığmalı) Frekaslara At Grafkler Bu tp grafkler çzlrke eksede sııf sıırları, Y eksede se eklemel frekaslar yer alır. Bu oktaları kesştğ yerler brleştrlerek -de az ve -de çok eklemel frekas grafğ elde edlr. -de az eklemel frekas eğrs arta br foksyodur, dğer se azala br foksyodur. 5

Çzelge.. de yararlaarak eklemel frekas grafğ çzldğde Şekl.3. tek grafk elde edlr. F j Şekl.3. Eklemel (Yığmalı) Frekas Grafğ Sııf sıırları ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Br üverstede rastgele seçle 0 erkek öğrec boyları (cm) aşağıdak gb bulumuştur. 5,56,6,66,70,75,80,86,57,63,67,7,76,8,88, 64,68,73,68,68 Brc sııfı alt sııf lmt 50 olmak üzere 8 sııflı br frekas tablosu düzeleyz. 6 ) Verler sııfladırılmasıı geel amacı edr, kısaca açıklayıız. 3) Aşağıda 40 kş dakkadak kalp atış sayısı verlmştr. 85,70,7,6,80,6,73,74,86,84,63,60,64,66,7,83,86,85,8,80,7, 73,66,69,78,77,84,85,83,8,8,83,7,76,7,77,80,8,80,79 a). Sııfı alt sııf lmt 6 olmak üzere 9 sııfı br frekas tablosu yapıız b) Hstogram grafğ çzz.

4) Đstatstk ders fal sıavıa at frekas tablosu aşağıda verlmştr. Pua Öğrec sayısı 0-9 0-9 5 0-9 30-39 3 40-49 6 50-59 3 60-69 7 70-79 4 80-89 90-99 a) 69.5 de daha az ot ala, b) 9.5 de daha fazla ot ala öğrecler sayısıı buluuz. 7

3. YER ÖLÇÜLERĐ 3. Grş Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr..bölümdek Şekl.. e bakıldığı zama hstogram grafğde verler e fazla yığıldığı okta 4.5 le 48.5 değerler arasıda olduğu görülecektr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr, tahmdr. Bu yüzde gerçek değerler ç yer ölçüler hesaplamalıdır (Clarke ve Cooke, 983). 3.. Artmetk Ortalama E bast yer ölçüsüdür. sayıdak gözlem değer artmetk ortalaması, bu gözlem değerler toplamıı toplam gözlem sayısıa bölümes le bulua değerdr. değşke artmetk ortalaması le, Y değşke artmetk ortalaması Y le gösterlr. x + x +... + x Örek: { 5,6,,4,3} se artmetk ortalama, 5 + 6 + + 4 + 3 4 tür. 5 (3.) Artmetk ortalamaı brm, gözlem değerler brm le ayıdır. Öreğ gözlem değerler kg le fade edlyor se hesaplaa artmetk ortalamaı brm de kg, cm le fade edlyor se artmetk ortalamaı brm de cm dr. Artmetk ortalama fades ayı zamada ortalama olarak da adladırılır. 8

9 3...Artmetk Ortalamaı Özellkler ) Gözlemler artmetk ortalamada farklarıı toplamı sıfıra eşttr. ( ) 0 Đspat: ( ) x olduğuda olur. Bu değer eştlkte yere yazılırsa; 0 olur. ) Gözlemler artmetk ortalamada sapmalarıı kareler toplamı mmumdur. ( ) mmum veya ( ) ( ) < A dr. Örek: { } 5,6,,4,3 ve A olsu. 4 olarak hesaplamıştı. Bua göre; ( ) 0 5 ( ) 30 5 A Dolayısı le 0<30 olur.

3) Gözlem değerlerde A gb sabt br sayı çıkartılıp ye değşkee at gözlem değerler elde edlse, ye değşke ortalaması esk değşke ortalamasıda çıkartıla sayı kadar azalır. Y A se Y A olur. Örek: {5, 6,, 4, 3} se, değşke tüm gözlem değerlerde gb br değer çıkartıp, Y değşke elde ettğmzde Y değşke ortalaması e olur? Y {3, 4, 0,, }, 4 olarak daha öcede hesaplamıştı. Y 4 olur. 4) Gözlem değerler tamamıa A gb sabt br sayı eklep ye değşkee at gözlem değerler elde edlse, ye değşke ortalaması esk değşke ortalamasıda eklee sayı kadar artar. Y A se + Y + A olur. Örek : { 5, 6,, 4, 3 } se değşke tüm gözlem değerlere gb br değer ekleyp, Y değşkee at gözlem değerler elde ettğmzde Y değşke ortalaması e olur? Y { 7, 8, 4, 6, 5 } Y + A 4 + 6 3... Frekas Tablosuda Artmetk Ortalamaı Hesaplaması Frekas tablosuda artmetk ortalama aşağıdak formülde hesaplaır (Clarke ve Cooke, 983). k j j k f. j f j j (3.) Eştlkte; : değşkee at ortalamayı k: sııf sayısıı, 0

f j : j.sııfı frekasıı, j : j. Sııfı sııf değer gösterr. Örek:. bölümde oluşturula Çzelge.. dek frekas tablosua at artmetk ortalama hesaplaacaktır. Çzelge 3.. Frekas Tablosuda Artmetk Ortalama Hesaplaması j f j f j j 7.5 3 8.5 33.5 3 00.5 39.5 3. 45.5 5. 5.5. 57.5. 63.5. 69.5. 75.5 4. Σ 4 94 k j f. k j j f j j 94 4 49.75 3.3. Medya (Ortaca Değer) Küçükte büyüğe doğru sıralamış verlerde tam ortada yer ala değere medya der. Örek: a), 6,, 4, 5, 7, 9 se, medyaı bulmak ç öcelkle bu sayılar küçükte büyüğe doğru sıralaır.,, 4, 5, 6, 7, 9 Ortadak değer 5 olduğu ç medya 5 tr. b), 7, 9, 3, 6, 8, 8, 3 se, 3, 3, 6, 7, 8, 8, 9 6 + 7 Medya 6.5 tur.

O halde küçükte büyüğe doğru sıralamış verlerde, a) Tek sayıdak gözlem değer ç medya, +. gözlem değer b) Çft sayıdak gözlem değer ç medya, ( ) + (( + ) ). gözlem değerdr. Medyaı artmetk ortalamaya terch sebepler şulardır: ) Gözlem değerler çersde aşırı uç değerler varsa artmetk ortalama buda etkler. Ya aşırı uç değerler, artmetk ortalamayı yukarı veya aşağı çeker. Bu da artmetk ortalamaı matık dışı br değerde çıkmasıa ede olur. Halbuk medya, aşırı uç değerlerde etklemez. Bu yüzde gözlem değerler çersde aşırı uç değer varsa medya artmetk ortalamaya terch edlmeldr. ) Açık uçlu frekas tablolarıda sııf değerler hesaplaamaz. Sııf değer hesaplaamadığı ç f j j değer de hesaplaamaz. Bu edele bu tp tablolarda artmetk ortalama hesaplamak mkasızdır. Ye bu durumda medya hesaplamak gerekr. 3.3. Frekas Tablosuda Medya Hesabı Frekas tablosuda medya hesaplamak ç aşağıdak formülde yararlaılır. ( Fm ) Med b L +. c (3.3) f m b L : Medya sııfıı buluduğu sııfı alt sııf sıırıı, N : Toplam frekası, F (m-) : Medya sııfıda br öcek sııfı de az eklemel frekasıı, f m : Medya sııfıı frekasıı, c : Sııf aralığıı göstermektedr.

Medya sııfı buluurke toplam frekası br fazlası ye bölüür, çıka değer de az eklemel frekas sütuuda ereye düşüyorsa o değer buluduğu sııf, medya sııfıdır. Örek: Çzelge 3.. dek frekas tablosuda medya hesaplaacaktır. Çzelge 3.. Frekas Tablosuda Medya Hesabı Sııf sıırları f j -de az 4.5-30.5 3 3 30.5-36.5 3 6 36.6-4.5 3 9 4.5-48.5 5 4 48.5-54.5 5 54.5-60.5 7 60.5-66.5 9 66.5-7.5 0 7.5-78.5 4 4 Σ 4 4 + Medya Sııfı. 5. le 3. gözlem değer buluduğu sııf medya sııfıdır. Bu gözlem değerlere (. le 3.) de az eklemel sütuuda bakılır. Bu sütuda, 4 ü buluduğu sııf medya sııfıdır. Bua göre; b l 4.5 N 4 F (m-) 9 f m 5 c 6 dır. (4 9) Med 4.5 +.6 46. 5 3

3.4. Mod (Tepe Değer) Br gözlem grubuda e çok tekrarlaa değere mod (tepe değer) der. Örek: a) 3,, 4,, 6,, 4,,, 3,, 7 se, Mod dr. b) 3,, 4,, 6,, 4,, 4, 7, 8 se Mod dr. Mod 4 tür. c) 4, 6,,, 5, 8, 7, 9 se Mod yoktur. Çükü tüm gözlem değerler sadece kez tekrarlamıştır. 3.4..Frekas Tablosuda Modu Hesaplaması Frekas tablosuda mod, aşağıdak formülde hesaplaır. d Mod bl +. c (3.4) ( d + d ) Eştlkte; b L : Modu buluduğu sııfı alt sııf sıırıı, d : Mod sııfıı frekası le br öcek sııfı frekası arasıdak farkı, d : Mod sııfıı frekası le br sorak sııfı frekası arasıdak farkı, c : Sııf aralığıı göstermektedr. Mod sııfı, frekas tablosuda frekası e yüksek ola sııftır. Örek: Çzelge 3.. dek frekas tablosua at mod değer aşağıdak şeklde hesaplaır. Mod sııfı, sııf sıırıı 4.5 le 48.5 değer arasıda yer aldığı sııftır. Çükü frekası e yüksek (5) ola sııf, bu sııftır. Bua göre çözüm; 4

b L 4.5 c 6 d 5-3 d 5-4 d Mod bl +. c 4.5 +. 6 ( d + d ) ( + 4) 44.5 tur. 3.5. Artmetk Ortalama, Medya ve Mod Arasıdak Đlşk ) Eğer Med Mod se dağılışı şekl smetrktr. Medya Mod Şekl 3.. Smetrk Dağılış ) Eğer > Med > Mod se dağılışı şekl, sağa çarpıktır. Mod Medy. Şekl 3.. Sağa Çarpık Dağılış 3) Eğer < Med < Mod se dağılışı şekl, sola çarpıktır. Medy. Mod Şekl 3.3. Sola Çarpık Dağılış 5

Çzelge 3..dek frekas tablosuda yararlaarak 49.75, Med 46., Mod 44. 5 olarak hesaplamıştı. Bua göre dağılış sağa çarpık br dağılıştır. Bu durum, Şekl 3. de de görülmektedr. 3.6. Tartılı Ortalama Kaltatf karakterlerdek verler, kategork olarak sııfladırılablr. Kategork sııfladırmada her sııfı ortalamaya katkısı eşt derecede olmayablr. Eğer burada drekt ortalama hesaplaırsa yaıltıcı olur. Öreğ br öğrec mezu olucaya kadar aldığı dersler düşüelm. Fzk kred, Kmya 3 kred, T.Dl kred, Hayva Islahı 4 kred, ve Đstatstk 3 kred, Tarım Ekooms 3 kred v.s. öğrec mezu olduğuda ot ortalaması (mezuyet ortalaması) hesaplamak stese tartılı ortalama hesaplamalıdır. Çükü bazı dersler haftalık kreds saat, bazı derslerk se saat, 3 saat, 4 saattr. Kreds saat ola ders ortalamaya etks le 4 saat olaık eşt değldr. Tartılı ortalamaı brm gözlem değerler brm olup, aşağıdak formülde hesaplaır. t k j j k t. j t j j (3.5) t : değşke tartılı ortalamasıı, t j : j. sııfı tartısıı, j : j. sııfı sııf değer, k : sııf sayısıı göstermektedr. 6

Örek: Br öğrec br döemde aldığı dersler, dersler kreds ve bu derslerde geçme otları aşağıda verlmştr. t Bua göre öğrec ot ortalamasıı buluuz? Dersler Kreds ( t j ) Notlar ( j ) t j. A 60 0 B 3 75 5 C 90 90 D 4 65 60 E 5 95 475 Σ 5 70 k j t. k j j t j j 70 5 78 Eğer burada artmetk ortalama hesaplamış olsa d 60 +... + 95 77 5 olacaktı k bu ortalama öğrec gerçek ortalaması olmayıp, farklı br souç elde edlmese ede olacaktı. Örek: Pazarda klosu 80.000 TL de kg domates, 70.000 TL de kg patlıca, 00.000 TL de 3 kg şeftal ala br kş ortalama kaç TL ödemştr? j t Alıalar kg ( t j ) Fyatı ( j ) TL t j. Domates 80.000 60.000 Patlıca 70.000 70.000 Şeftal 3 00.000 300.000 Σ 6 530.000 k j t. k j j t j j 530000 6 88333.33 j 7

8 3.7. Geometrk Ortalama Geometrk ortalama, herhag br öreğ meydaa getre gözlem değer çarpımlarıı toplam gözlem sayısıı. derecede kökü le hesaplaır. Bua göre geometrk ortalama; GO x. x... x Eştlkte, (3.6) GO: Geometrk ortalamayı, : Gözlem değerler, : Gözlem sayısıı göstermektedr. Bu formülde az sayıdak gözlemler geometrk ortalaması hesaplaablr. Acak çok fazla sayıda gözlem değer olduğuda bu formülle hesaplama yapmak zor olduğu ç aşağıdak formülde yararlaılır. log GO log x. x... x Bu formül geel olarak; log GO log şeklde de yazılablr. Örek:3, 5, 6,, 7 sayılarıı geometrk ortalamasıı buluuz. log formülüde GO log x. x... x 5 5 loggo log 3.5.6..7 60 4.694 olur, veya log GO log formülüde de aşağıdak şeklde hesaplaablr. log GO (log3 +... + log 7) / 5 log GO 0.60074 Bu değer atlogartması alıdığı zama geometrk ortalama hesaplaır.bua göre, GO 4.694 olarak hesaplaır. Geometrk dzlerde brleşk faz formülüde yararlaarak dzdek artış hızı da aşağıdak formülde hesaplaablr.

P ) P0 ( + r (3.7) Eştlkte; : Yıl sayısıı, P :. yıl soudak ye kaptal, P 0 : Kaptal mktarıı, r : Artış hızıı göstermektedr. Örek: Türkye üfusu 990 yılıda 50 mlyo ke 996 yılıda 60 mlyo olmuştur. Bu yıl çde üfusu ortalama artış hızı e olmuştur? P P ( r) 0 + 6, P 0 50 mlyo, P 6 60 mlyo, r? 60 50( + r) ( + r ) 6 6 60 / 50 ( + r ).0309 r.0309 r 0.0309 veya %3.09 luk br artış olmuştur. 3.7.. Geometrk Ortalamaı Özellkler ) Gözlem değerler çersde 0 veya egatf br değer olduğu zama geometrk ortalama hesaplaamaz. Çükü sıfır ve egatf br değer karekökü ve logartması alıamaz. ) Br öreğ oluştura gözlemler geometrk ortalaması, gözlemler logartmalarıı artmetk ortalamasıı atlogartmasıdır. 3) Gözlemler arasıdak değşmler ayı oralarda veya ayı mktarda olursa buluacak ortalama geometrk ortalamadır. 4) Geometrk ortalamaı. kuvvet alıdığı zama termler çarpımıı verr. 9

5) Artmetk ortalamada ( ) 0 özellğe karşılık geometrk ortalamada, x / GO)( x / GO)...( x / GO) lşks vardır. ( 3.8. Harmok Ortalama d/t şekldek fadelerde d sabt t değşke se harmok ortalama hesaplaır. Yol /Zama fadesde yol sabt, zama değşkedr. Ye para/mal öreğde eğer para sabt, mal değşke se harmok ortalama hesaplaır. Harmok ortalama aşağıdak formül yardımı le hesaplaır. HO + +... + x x HO Eştlkte; (/ ) olur. veya (3.8) x HO : Harmok ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı, : değşkee at. gözlem değer göstermektedr. Örek: Patates br şehrde. yıl fyatı 0.000 TL,.yıl 5.000TL, 3.yıl 3.000TL ve 4.yıl 40.000 TL olmuştur. Bu şehrde patates ortalama fyatı kaç TL dr? Burada mal sabt (patates) fyat değşkedr. Dolayısıyla harmok ortalama hesaplaması gerekr. HO (/ ) 30

4 HO 7. 350TL + + + 0000 5000 3000 40000 O halde bu şehrde patates 4 yıllık ortalama fyatı 7.350 TL dr. 3.8.. Frekas Tablosuda Harmok Ortalamaı Hesaplaışı Sııfladırılmış verlerde harmok ortalama, aşağıdak formülde hesaplaır. HO f x HO k j Eştlkte; ( f f + x / j j ) f +... + x HO : Harmok ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı veya toplam frekası, j : j.sııfı sııf değer, k: Sııf sayısıı, f j : j. Sııfı frekasıı göstermektedr. k k veya (3.9) HO Örek: Çzelge 3. e at harmok ortalamayı hesaplayıız. 3 7.5 4 +... + 4 75.5 4 0.5375 44.65 3.8.. Harmok Ortalamaı Özellkler ) Br öreğe at gözlemlerde br sıfır olduğu zama, harmok ortalama hesaplaamaz. Çükü souç taımsızdır. ) Gözlemlerde br veya brkaçı ters şaretl se harmok ortalama alamsız souç verr. Bu gb durumlarda da harmok ortalama hesaplaamaz. 3

3.9. Artmetk, Geometrk ve Harmok Ortalama Arasıdak Đlşk sayıdak poztf sayıı geometrk ortalaması, artmetk ortalamada küçük veya eşt fakat harmok ortalamada büyük veya eşttr. Bua göre bu üç ortalama arasıda H. O G. O şeklde br bağıtı vardır. Örek: { 3,,6, } 4 GO log 3..6. 36 değerler 4 4 HO +... + 3.449 3 + + 6 + 3 olup, aralarıda 4 <.449 < 3 şeklde br lşk vardır. 3.0. Karel Ortalama Karel ortalamayı, br öreğe at gözlemler kareler artmetk ortalamasıı karekökü şeklde taımlamak mümküdür. Bua göre karel ortalamaı formülü, KO + + +... / şeklde gösterlr. (3.0) Sııfladırılmış verlerde se karel ortalama aşağıdak formülde hesaplaır. KO f +... + f j j f j j / (3.) Eştlkte; KO : Karel ortalamayı, f j : j. sııfı frekasıı, j : j. sııfı sııf değer, 3

: Toplam gözlem sayısıı göstermektedr. Örek: 4,, 6, 7, değerlere at karel ortalamayı hesaplayıız? 4 +... + KO. 4.604 tür. 5 Örek: Çzelge 3. e at karel ortalamayı hesaplayıız. KO (3).(7.5) +... + (4)(75.5) 4 5.9 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Aşağıdak gözlem değerlerde medyaı hesaplayıız. a), 5, 33, 4, b), 6, 6, 47, 9 c) 7, 8, 4,, 9, 3,, 5,,6 d) 34, -, 6, 0,, -, 0,, 7, ) 8 yaşıdak 0 öğrec boyları 78, 73, 75, 8, 79, 7, 69, 75, 73, 78, cm olduğua göre boy ortalamasıı hesaplayıız. 3) Aşağıdak frekas tablosuda artmetk ortalamayı hesaplayıız. Sııflar 6.-6.5 6.6-7.0 7.-7.5 7.6-8.0 8.-8.5 f 3 6 3 0 9 4) 3. sorudak frekas tablosuda yararlaarak medya ve mod değer hesaplayıız. 6) Br ş yerde çalışa şçler 3 kategorde (usta, kalfa, çırak) yer almaktadır. Bu ş yerde bu kategorde yer ala şçler sayısı ve haftalık ücretler aşağıdak gbdr. Bua göre bu ş yerde bu şçlere haftada ortalama e kadar ücret ödemektedr? 33

Đşç Sııfı Çalışa Đşç Sayısı Haftalık Ödee Ücret(x000 TL) Usta 40 500 Kalfa 60 7500 Çırak 50 4000 7) Al dü doğum güü partsdeyd. Partde bulua saları yaşları 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 33, 38, 40 olduğua göre ortalama yaşı bulmak ç, a) Hag tp yer ölçüsü kullaılır. Nç? b) Đlgl yer ölçüsüü kullaarak ortalamayı hesaplayıız. 8) Yer ölçülere ç htyaç duyulur, kısaca açıklayıız? 8) Btkler boyları (mm) le lgl frekas tablosu aşağıdak gb oluşturulmuştur. Sııflar 6-30 3-35 36-40 4-45 46-50 5-55 56-60 6-65 f j 4 5 3 58 6 30 3 3 a) Artmetk ortalamayı, b) Medyaı, c) Modu hesaplayıız. 9) {5,, 4, 6, 9, 3}sers, a) Artmetk ortalamasıı, b) Geometrk ortalamasıı, c) Harmok ortalamasıı buluuz ve souçları karşılaştırıız. 0) 00 adet sayıı 40 ı üç, 30 u k, 0 s br, 0 u 5 tr. Bu sayıları ortalamasıı buluuz. ) Br bölgede 7800 üfus vardır. Çoğalma hızı %.5 olduğua göre; a) 5 yıl öcek üfus e kadardır? b) Nüfus kaç yıl sora 5000 e çıkar? ) Medya hag durumlarda artmetk ortalamaya terch edlr, açıklayıız. 34

4. DAĞILIŞ ÖLÇÜLERĐ 4. Grş Buda öcek bölümde yer ala yer ölçüler verler merkez belrledğ belrtlmşt. Acak, yer ölçüler verler dağılışı ve şekl belrtmede yetersz kalmaktadır. A sııfıda rastgele seçle 5 erkek öğrec ağırlık ortalamasıı 50 kg ve B sııfıda rastgele seçle 30 erkek öğrec ağırlık ortalamasıı da tesadüfe de olsa 50 kg olduğuu varsayalım. Burada A sııfıdak varyasyo mu (farklılık) daha fazladır, B sııfıdak varyasyo mu daha fazladır,şeklde br soru yöeltlse hesaplaa ortalama (yer ölçüsü) bua cevap veremez. Halbuk bu soruu cevabıı acak dağılış ölçüler le alablrz. Dağılış ölçüler, br ver grubudak varyasyou belrlemede veya k ver set gösterdkler varyasyo bakımıda karşılaştırmada kullaıla statstklerdr (Yıldız ve Brca, 99). 4.. Değşm Geşlğ (Rage) Değşm geşlğ, br ver setde e yüksek değerle e küçük değer arasıdak farka der. D. G. (4.) maks m Örek: {, 5,, 6, 7, 3, 9, 4} se değşm geşlğ hesaplayıız. D.G 3- olur. Değşm geşlğ, e bast ve e klask br dağılış ölçüsüdür. Bua karşılık değşm geşlğ bazı dezavatajlı yöler de vardır. Bular: a) Đk grup varyasyo bakımıda karşılaştırılmak stese tesadüfe de olsa ayı değşm geşlğe sahp olablrler. Bu da grupları varyasyo bakımıda karşılaştırılmasıda yaıltıcı souç verr. b) Ye grupları varyasyo bakımıda karşılaştırılmasıda eğer gruplarda eşt sayıda gözlem değer yoksa hesaplaa değşm geşlkler bz yaıltablr. 35

c) Değşm geşlğ hesaplaırke tüm verler göz öüde tutulmamaktadır. Bu da ver kaybıa ede olur. 4.3. Ortalama Mutlak Sapma sayıdak gözlem değer ortalama mutlak sapması, bu gözlem değerler her br ortalama sapmalarıı mutlak değer ortalaması alıarak hesaplaır. O. M. S (4.) Eştlkte; O.M.S : Ortalama mutlak sapmayı, : değşkee at. gözlem değer, : değşkee at artmetk ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı göstermektedr. Örek: {3, 6,, 4,, 8}değerlere at ortalama mutlak sapmayı hesaplayıız. 36 3 +... + 8 4 6 3 4 +... + 8 4 O. M. S 6 6 Ortalama mutlak sapmaı brm, gözlem değerler brmdr. Ya gözlem değerler brm kg se ortalama mutlak sapmaı brm de kg dır, cm se bu statstğ brm de cm dr. Frekas tablosuda ortalama mutlak sapma hesaplamak stese, aşağıdak formül kullaılır. k O. M. S f (4.3) Eştlkte; j O.M.S : Ortalama mutlak sapmayı, j j

k: Sııf sayısıı, f j : j. sııfı frekasıı, j : j. sııfı sııf değer, : değşkee at artmetk ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı veya toplam frekası göstermektedr. Örek: Çzelge 3.. dek frekas tablosua at ortalama mutlak sapmayı hesaplayıız. 49.75olarak hesaplamıştı. Bua göre; 3 7.5 49.75 +... + 4 75.5 49.75 335 O. M. S 3.958 4 4 4.4. Varyas ve Stadart Sapma Gözlemler ortalamada sapmalarıı kareler ortalamasıa varyas der. Varyası brm yoktur. Öreğ gözlemler brm kg se varyası brm olarak kg dedğmzde br alam fade etmez. Populasyo varyası Bua göre; σ, örek varyası se S le gösterlr. ( µ) σ, (4.4) S ( ) dr. Uygulamada çok fazla gözlem değer olduğuda yukarıdak formülü kullamak zor olduğu ç bu formül aşağıdak şeklde kısaltılarak kullaılablr. ( ) ( + ) 37

38 + + ( ) ( ) + ( ) olur. O halde örek varyası kısaca aşağıdak gb yazılablr. ( ) S (4.5) Örek: { },4 6, 5, 4, se örek varyasıı hesaplayıız. Σ 4 6 5 5 6 36 4 96 3 77. 5 (3) 77 5 S Frekas tablosuda varyas hesaplamak stedğde aşağıdak formül kullaılır. j j j j j f f S ) ( veya

S Eştlkte; k f k j f j j S : Örek varyasıı, f j : j. sııfı frekasıı, k: sııf sayısıı, j j k j k f j j j : j. sııfı sııf değer göstermektedr. f j j (4.6) Örek: Çzelge 3. dek frekas tablosua at varyası hesaplayıız. S f j f j j f j j 7.5 3 8.5 68.75 33.5 3 00.5 3366.75 39.5 3.. 45.5 5.. 5.5.. 57.5.. 63.5.. 69.5.. 75.5 4.. Σ 4 94 6568 94 6568 4 4 70.77 Stadart sapma, varyası kareköküdür. Varyas, tek başıa br alam fade etmedğ ç ve brm olmadığı ç stadart sapma hesaplaır. Stadart sapmaı brm vardır. Gözlem değerler brm eyse stadart sapmaı brm de odur. Stadart sapma, populasyo ç σ le örek ç S le gösterlr. σ σ S S dr. 39

Örek: { 4, 5, 6,,4} hesaplayıız. değerlere at stadart sapmayı Bu öreğe at varyas ( S ) daha öcede. olarak hesaplamıştı. Bua göre stadart sapma, S. 4.604 olur. 4.4.. Varyası Özellkler ) Tek br gözlem değere at varyas hesaplaamaz. ) Eğer gözlem değerler heps brbr ayı se aralarıda br varyasyo (farklılık) olmadığı ç varyas ye sıfır olur. Örek: { 4, 4, 4, 4} se S 0 dır. 3) Gözlem değerler hepse a gb sabt br sayı eklerse varyası değer değşmez, esks le ayı kalır. Y a se + S olur. y S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerler tamamıa 3 gb sabt br sayı ekledğzde elde edle Y değşkee at varyas e olur? Daha öcede değşkee at varyas. olarak hesaplamıştı. O halde Y değşke varyası da. olur. Y Y 7 49 8 64 9 8 5 5 7 89 Σ 46 508 S 46 508 5 5. 4) Gözlem değerler hepsde a gb sabt br sayı çıkartılırsa, ye elde edle değşke varyası değşmez, esks le ayı kalır. 40

Y a se, S y S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerlerde gb sabt br sayı çıkartıldığıda elde edle Y değşkee at varyas e olur? S y S x S y. 5) Gözlem değerler heps a gb sabt br sayı le çarpılırsa, ye elde edle değşke varyası esksde a değer le çarpımı kadar değşr. Y a. se S a y. S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerler tamamı gb br değerle çarpıldığıda elde edle Y değşke varyası e olur? S a y. S x S y 4x. 84.8 6) Gözlem değerler heps a gb sabt br sayıya bölüdüğü zama, elde edle değşke varyası esksde /a kadar değşr. Y / a. se S olur. y / a. S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerler tamamı gb sabt br sayıya bölüdüğüde elde edle Y değşke varyası e olur? Y / a. d S y / 4.. 5.3 4.5. Stadart Hata Đstatstkte hesaplaa her statstk değer mutlaka hatası da hesaplamalıdır. Çükü hesaplaa statstkler, tahm br değer olduğu ç mutlaka hataları da vardır. 4

Stadart hatalar, lerde 8. ve 9. bölümlerde alatılacak ola gerek güve aralıklarıı oluşturulmasıda gerekse hpotez testler yapılmasıda kullaılacaktır. Stadart hata, populasyo ve örek ç aşağıdak formüllerde hesaplaır. Eştlklerde; σ σ (4.7) x / S x S / dr. σ : Populasyoa at stadart hatayı, σ : Populasyo varyasıı, N: populasyo geşlğ, S : Öreğe at stadart hatayı, S : Öreğe at varyası, : Örek geşlğ göstermektedr. Stadart hataı brm gözlem değerler brm le ayıdır. değerler stadart hatasıı hesaplayıız. S Örek: { 3, 5, 6, 4, } ( ) S S x 0 90 5 5 0.707.5 4 4.6.Varyasyo Katsayısı Şu aa kadar alatıla dağılış ölçüler farklı populasyolara at varyasyou (farklılığı) karşılaştırmada yetersz kalmaktadır. Öreğ sığırlarda ve koyularda calı ağırlık bakımıda varyasyo karşılaştırılmak stese, ayrıca dağılış ölçüsü olarak da stadart sapma kullaılsa, sığırları stadart sapması koyularıkde her zama

büyük çıkacaktır. Çükü sığırlarda elde edle calı ağırlık değerler dama cebrsel olarak koyularıkde büyüktür. Bu yüzde bu durumda varyasyo katsayısı kullaılmalıdır. Varyasyo katsayısı aşağıdak durumlar ç kullaılır. a) Farklı populasyolarda ayı özellkler varyasyo bakımıda karşılaştırılacağı zama kullaılır (yukarıda verle örekte olduğu gb ). b) Ayı populasyoda farklı özellkler varyasyo bakımıda karşılaştırılacağı zama kullaılır. Öreğ, ayı sııfta statstk ve kmya otları varyasyo bakımıda karşılaştırılmak stedğde bu statstk kullaılır. c) Varyasyo katsayısı, br araştırmaı güvelrlğ kotrol etmek stedğde kullaılır. Geellkle varyasyo katsayısı %30 u üzerde ola araştırma etcelere güvelmez. Varyasyo katsayısı % olarak fade edlp, aşağıdak formülde hesaplaır. Eştlkte; S V. K(%).00 (4.8) V.K(%) : % Varyasyo katsayısıı, S: Stadart sapmayı, : Ortalamayı göstermektedr. değerlere at varyasyo katsayısıı hesaplayıız. Örek: {, 4, 6,,3, 5} S S S ( ) S 4 394 6 6 0 S 0 4.47 43

x +... + 5 7 6 S 4.47 V. K(%).00.00 63.89 7 Örek: A sııfıda rastgele seçle 7 öğrec matematk otları 3, 7, 9, 5, 5, 8, ve B sııfıda rastgele seçle 0 öğrec matematk otları 9, 7,, 6,, 5, 8, 8, 3, 4, olarak tespt edlmştr. Bua göre matematk otları bakımıda A sııfıdak varyasyo mu B sııfıdak varyasyo mu daha fazladır, ç? S A 39 57 7 7 6.69 S A 6.69.573 A 3 +... + 5.57 7 S.573 V. K(%).00.00 46.9 5.57 S B 0 53 349 0 7.567 S B 7.567.75 B 9 +... + 4 5.3 0 S.75 V. K(%).00.00 5.9 5.3 B sııfıdak varyasyo A sııfıa göre daha fazladır. Çükü bu sııftak varyasyo katsayısı dğerde daha büyüktür. 44

4.7. Eğrlk Katsayısı (Skewess) Eğrlk katsayısı ormal dağılışı smetrklk ölçüsüdür. δ 3 değer olarak blr. Bu değer aşağıdak formülde hesaplaır (Yıldız ve Brca, 99). γ Eştlkte; 3 3 ( ( µ ) ) / (4.9) 3 σ γ 3: Eğrlk veya çarpıklık katsayısıı, : değşke. gözlem değer, µ : Artmetk ortalamayı, : gözlem sayısıı, σ : Stadart sapmayı göstermektedr. 3 γ 3 0 se dağılış smetrk, 3 γ < 0 se dağılış sola çarpıktır. γ > 0 se dağılış sağa çarpık ve Örek: {5,, 6, 4, 3, 7, } se eğrlk katsayısıı hesaplayarak yorumlayıız? µ 5 +... + 4 7 σ S S S ( ) 8 40 7 7 4.667 S 4.667.60 γ 3 3 ) / 7 3 ( ( ) ) / ((5 4) +... + ( 4) µ 3 3 σ (.60) γ 3 0 olduğuda bu gözlem değerler smetrk br dağılışa sahptr. 0 45

4.8.Dklk Katsayısı (Kurtoss) Normal dağılış eğrs svrlk veya basıklığıı belrlemede kullaıla ölçüdür. Dklk katsayısı, δ 4 olarak blmekte olup, aşağıdak formülde hesaplaır. ( ( ) ) / 4 [ µ γ ] 3 4 σ 4 (4.0) γ 4 : Dklk katsayısıı, : değşke. gözlem değer, µ : Artmetk ortalamayı, : Gözlem sayısıı, σ : Stadart sapmayı göstermektedr. γ 4 > 0 se, gözlemler svr br dağılışa, γ 4 < 0 se, gözlemler basık br dağılışa sahptr. Örek: 0 öğrec statstk dersde almış oldukları otlar 45, 56, 73, 38, 4, 67, 89, 9, 96, 3 olarak tespt edlmştr. Bua göre dklk katsayısıı hesaplayarak yorumlayıız? µ σ S γ 45 +... + 3 59. 0 ( ) 59 4586 0 0 4 4 4 [((45 59.) +... + (3 59.) ) /0]/(8.94) 3 4 00897.035 γ 4 3.57 70445.7805 8.94 4 γ < 0 olduğu ç bu 0 öğrec statstk dersde almış oldukları otlar basık br dağılışa sahptr. 46

ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Br grup öğrec sstolk ka basıçları ölçülmüş ve şu değerler elde edlmştr. 8, 35, 8, 3, 4, 37 Bu değerlere at değşm geşlğ ve stadart sapmayı hesaplayıız. ) A ve B gruplarıdak gözlem değerler aşağıdak gb bulumuştur. A {5, 8, 3,, 7, 4,, 6} B {0, 0, 7, 7,, 6, 7, 9} Bu k grup ç değşm geşlğ ve stadart sapmayı hesaplayıız. Hag grupta varyasyou daha fazla olduğuu bulmak stedğzde, bu k dağılış ölçüsüde hags kullaırsıız, ç? 3) Aşağıdak her br ver set ç stadart sapmayı hesaplayıız. a),, 4 b)3, 6, 9,, 5 c) 3, 0, -3, 6, -6 d),,, 8, 8, 8 e), -, -4 f) /4,/, ¾ 4) Br fabrkada A ve B tp ampuller dayaıklılık süres bakımıda varyasyo aşağıdak gb bulumuştur. A: 7,, 4, 36, 8, 0, 9 B: 3, 5, 7,, 4,, 8, 6, 3 Bua göre hag fabrkada ampuller dayaıklılık süres bakımıda varyasyo daha fazladır, ç? 5) Değşm geşlğ ç y br dağılış ölçüsü değldr? 6) Varyasyo katsayısıı kullaıldığı yerler hagsdr? 7) Değşm geşlğ ortalama mutlak sapma, stadart sapma ve varyasyo katsayısı ked çde karşılaştırılmak stese e y dağılış ölçüsü hagsdr, ç? 8) Aşağıdak frekas tablosuu tamamlayarak eğrlk ve dklk katsayılarıı hesaplayıız, bulduğuuz değerler yorumlayıız Sııflar 3-0...-... 9-36 37-44...-... f 3 5 6 4 47

9) 7, 3,, 5, 6,, değerlere at stadart sapma.36 olarak hesaplamıştır. Bu değerler tamamı 3 gb sabt br sayı le çarpılsa, elde edle gözlem değerler varyası ve stadart sapması e olur? 0) 400 gözlemlk br örekte stadart hata değer 0.50 olarak hesaplamıştır. Bua göre stadart sapma değer kaçtır? 48

5. KESĐKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI 5.. Grş Keskl verler göstermş olduğu dağılışa der. Başlıca keskl olasılık dağılışları şulardır: Beroull dağılışı, bom dağılışı, egatf bomal dağılış, geometrk dağılış, hpergeometrk dağılış, posso dağılışı (Akdez, 984). Bu bölümde bu dağılışlarda sadece bom dağılışı ve posso dağılışı alatılacaktır. Çükü uygulamada daha zyade bu dağılışlar kullaılmaktadır. Keskl olasılık dağılışlarıı foksyolarıa olasılık foksyou delmekte ve bu dağılışlarla lgl olasılıklar hesaplaırke Σ (sgma) şaret kullaılmaktadır. 5.. Bom Dağılışı Keskl özellk göstere br olayı, bom dağılışı göstereblmes ç şu şartları sağlamış olması gerekr. ) Deemeler brbrde bağımsız olmalıdır. ) Deemede stee ve stemeye şeklde k soucu olması gerekr. 3) Đstee olayı olması olasılığı p ve stemeye olayı olması olasılığı q se p + q olmalıdır. 4) Deemeler sayıda tekrarlaablr olmalıdır. Bom dağılışıa at olasılık foksyou (5.) eştlğdek gbdr. P(R r ). p r.q -r r 0,,..., (5.) r Foksyoda ; R : Keskl şas değşke, r : Đstee olayı tekrarlama sayısıı, : Toplam olay sayısıı, p : Đstee olayı olma olasılığıı, 49

q : Đstemeye olayı olma olasılığıı göstermektedr. Eştlkte,! formülüde hesaplaır. r r!( r)! 0!!!. 5!..3.4.5 0 dr. r 0 P( R r) P(R 0) + P(R ) +...+ P(R) dr. Bom dağılışı k parametrel br dağılış olup, parametreler µ ve σ dr. Bom dağılışıı ortalaması ve varyası aşağıdak formülde hesaplaır. µ. p σ. p. q σ σ dr. Örek: 4 çocuklu br alede çocuklarda a) Heps erkek, b) Heps kız, c) 3 çocuğu erkek, d) E fazla 3 çocuğu erkek e) E az 3 çocuğu erkek olma olasılığıı hesaplayıız. f) Dağılışı ortalamasıı ve varyasıı buluuz. 4 P(Erkek) p P(Kız) q 50

a) r 4 4 4 P(R 4).. 4 4! 0!.4!. 6. 0 6 0.065 b) Heps kız olması hç erkek olmaması demektr. Dolayısıyla r0 olur.o halde, 0 4 P(R 0).. 0 4! 0!.4!.. 6 6 0.065 3 4 c) P(R 3).. 3 4! 3!.! 3!.4 3!.!. 8.. 6 6 4 4 0.5 d) P(R 3) P(R 0) + P(R ) + P(R ) + P(R 3) P(R 4) 0.065 0.9375 e) P(R 3) P(R3) +P(R4) 0.5 + 0.065 0.35 4 5

5 f) µ. p 4. σ. p. q σ 4.. σ Örek : Br torbada 8 kırmızı, 4 beyaz blya vardır. Rastgele çekle 3 blyaı; a) Heps kırmızı b) s kırmızı c) E fazla s kırmızı blya gelme olasılığıı hesaplayıız. p P (Kırmızı) 8 3 q P (Beyaz) p - 3 3 3 a) P(R3).. 3 3 3!. 0.30. 0.00005 3!.9! 0.0033 b) P(R)... 3 3!!.0! 0!...0! 0.0005 olur. 9 0. 0,4444. 0,00007. 0,0000076

c) P(R ) P(R 0) + P(R ) + P(R ) P(R3) 0.0033 0.9967 5.3. Posso Dağılışı Bom dağılışıda değer oldukça büyük ( sosuza yaklaşırke), p değer oldukça küçük (p sıfıra yaklaşırke) olasılık foksyouu kullaarak hesaplama yapmak oldukça zordur. Bu edele, bu gb durumlarda posso dağılışıı olasılık foksyouda yararlaarak olasılık hesaplaır. Posso dağılışıı olasılık foksyou, e P(R r) Eştlkte; r. µ, r0,,..., (5.) r! µ R : Posso dağılışıa at şas değşke, r : Đstee olay sayısıı göstermektedr. e : Tab logartma tabaı olup, değer.78 dr. µ : Posso dağılışıı ortalaması olup, µ. p değerde hesaplaır. Posso dağılışı tek parametrel br dağılış olup, parametres µ dür. Ayrıca ortalaması ve varyası brbre eşt br dağılıştır. Örek : 0.000 üfuslu br kasabada trafk kazası olma olasılığı 0.000 dr. Bua göre bu kasabada rastgele seçle sürücülerde; a) Hçbr kaza yapmama olasılığıı, b) Đks kaza yapma olasılığıı, c) E az br kaza yapma olasılığıı hesaplayıız. d) Dağılışı ortalamasıı ve stadart sapmasıı hesaplayıız. 0000 p 0.000 µ. p 0000. 0.000 53

a) P(R 0) e. 0 0! e - 0.3679 b) P(R ) e.! e 0.840 c) P(R ) P( R 0) 0.3679 0.63 d) Posso dağılışıda ortalama ve varyas brbre eşt olduğu ç dağılışı varyasıda olur. Dolayısıyla stadart sapması da olur. ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) 5 çocuklu br alede; a) Ale bütü çocuklarıı erkek olma olasılığıı, b) E fazla 3 çocuğu erkek olma olasılığıı hesaplayıız. ) 0 defa atıla br parada, a) E çok 3 defa yazı gelme olasılığıı, b) 3 le 5 defa arası yazı gelme olasılığıı, c) E az defa yazı gelme olasılığıı hesaplayıız, d) Dağılışı ortalamasıı ve varyasıı buluuz. 3) Bom dağılışı le posso dağılışı arasıda e gb farklar vardır? Kısaca açıklayıız. 4) Br havuzdak kurbağaları %80 syah, %0 s yeşldr. Bu havuzda tesadüfe 3 kurbağa seçlrse, a) Đks syah, br yeşl olma olasılığı edr? b) Đks yeşl, br syah olma olasılığı edr? 5) Ortalaması ola br posso populasyouda çekle 00 brmlk br örekte stee özellğ 0,,,3 ve daha fazla göstereler teork frekaslarıı hesaplayıız. 54

3 3 6) a. se a ı değer edr? r 0 r 7) Br karı koca kaç çocuk sahb olmalıdır k, e az br erkek çocuk olma olasılığı %95 olsu. 8) Br tohumu çmleme olasılığı 0.85 dr. Ekle 4 tohumda, a) Hç br çmlememes, b) E az k taes çmleme olasılıklarıı hesaplayıız. 55

6. SÜREKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI 6.. Grş Sürekl verler göstermş olduğu dağılışa sürekl olasılık dağılışı der. Başlıca sürekl olasılık dağılışları şulardır: Normal dağılış, stadart ormal dağılış, F dağılışı, Beta dağılışı, Gama dağılışı, Couchy dağılışı. Bu bölümde bu dağılışlarda sadece ormal dağılış ve stadart ormal dağılış alatılacaktır. Çükü uygulamada daha zyade bu dağılışlar kullaılmaktadır. Sürekl olasılık dağılışlarıı foksyolarıa yoğuluk foksyou delmekte ve bu dağılışlarla lgl olasılık hesaplaırke " " (tegral) şaret kullaılmaktadır (Akdez, 984). 6. ormal Dağılış Normal dağılışı yoğuluk foksyou, f ( ( µ ) σ ).e (6.) σ π Eştlkte; : Sürekl şas değşke olup, ~ N ( µ,σ² ) dr. σ : Populasyoa at stadart sapmayı, π : Matematkte p sayısı olup, değer 3.46, e : Tab logartma tabaı olup, değer.78, µ : Populasyo ortalamasıı, σ² :Populasyo varyasıı göstermektedr. Normal dağılışı yoğuluk foksyouda yararlaarak bu dağılışı hstogram grafğ çzldğde Şekl 6..' dek gb eğr ortaya çıkar. 56

Şekl 6.. Normal Dağılış Eğrs Şekl 6.. dek ormal dağılış eğrs özellkler şulardır. ) Eğr ortalamaya göre smetrktr. ) Eğr ça bçmdedr. Bu edele gülük hayatta bu eğrye ça eğrs der. 3) Eğr altıda kala toplam ala dr. + f(x) dx Şekl 6. e bakıldığı zama µ (ortalama) eğr ekse üzerdek yer, σ se Y ekse üzerde eğr şekl belrler. Normal dağılış foksyouda yararlaarak sürekl verlerle lgl olasılıklar hesaplaablr. Acak bu olasılıkları hesaplamak ç ormal dağılış foksyouu tegral almak gerekr. Bu şlem se oldukça zordur. Bu edele bu olasılıkları hesaplamak ç stadart ormal dağılış foksyouda yararlaılır. 6.3. Stadart ormal Dağılış Ortalaması sıfır, varyası ola dağılışa stadart ormal dağılış adı verlr. Eğer Z değşke stadart ormal dağılış gösteryorsa bu Z ~ N z (0,) şeklde gösterlr. Eğer değşke ortalaması 0, varyası ola stadart ormal dağılışa (Z) döüştürülecek se (6.) eştlğdek formül kullaılır. ( µ) Z (6.) σ 57

Eştlkte; : Normal dağılışa at sürekl şas değşke olup, ~ N( µ, σ² ) Z : Stadart ormal dağılışa at sürekl şas değşke olup, Z ~N(0,) µ : değşke ortalamasıdır. σ : değşke stadart sapmasıdır. Örek : {3, 5,, 6, 7} değşke N(4.4, 5.8) şeklde ormal dağılışa sahptr. Bu ormal dağılışı ortalaması 0, varyası ola stadart ormal dağılışa döüştürüüz. (3 4.4) Z 0.5838 5.8 Z ( 5 4.4 ) / 5. 8 0.4936 Z 3 ( 4.4 ) / 5. 8 -.4773 Z 4 ( 6 4.4 ) / 5. 8 0.664364 Z 5 ( 7 4.4 ) / 5. 8.07959 Z Σ Z / (- 0,5838 +...+.07959) / 5 0 S. Z Z S z olur. ( Z ) 0. 3.999 5 5 Eğer Z ( - µ ) / σ ve dx σ dz y ormal dağılış foksyouda yere yazarsak stadart ormal dağılış eğrse at yoğuluk foksyou aşağıdak gb elde edlr. f ( Z ) π.e Z (6.3) Stadart ormal dağılışı yoğuluk foksyouda yararlaarak hstogram grafğ çzldğde Şekl 6.. de verle eğr elde edlr. 58

Şekl 6.. dek stadart ormal dağılış eğrs özellkler şulardır: ) Eğr, ortalamaya göre smetrktr. ) Eğr, ça bçmdedr. 3) Eğr altıda kala toplam ala dr. + f(z).dz dr. Görüldüğü gb Şekl 6.. dek stadart ormal dağılış eğrs Şekl 6.. dek ormal dağılış eğrs le ayı özellklere sahptr. Bu edele stadart ormal dağılış eğrsde hesaplaacak br olasılık le ayı zamada ormal dağılış le lgl olasılıkta hesaplamış olur. Bu yüzde stadart ormal dağılışa at yoğuluk foksyouda yararlaarak hazır Z cetveller oluşturulmuştur. Bu cetveller ek kısmıda verlmş olup, eğr altıda kala alalar kolaylıkla hesaplamaktadır; ayrıca tegral şlem yapmaya gerek yoktur. Örek : Z ~ N z (0,) se aşağıdak olasılıkları hesaplayıız a) P(Z >.78) b) P(Z < -.78) c) P(.73 < Z <.45) d) P(Z <.6) e) P(Z > -.03) 59

a) P( Z>.78)0.50 P(0<Z<.78) 0.50 0.465 0.0375 Dağılış ortalamaya göre smetrk olduğu ç (a) şıkkıdak çözüme sahptr; ya 0.0375 dr. P(.73 < Z <.45) P(0 < Z <.45) P(0 < Z <.73) 0.499 0.458 0.0347 60

P(Z <.6) 0.50 + P(0 < Z <.6) 0.50 + 0.396 0.896 P(Z < - 03) 0.50 P(0 > Z > -.03) 0.50 P(0 < Z <.03) 0.50 0.4788 0.0 olur. 6.4. ormal Dağılış Đle Đlgl Đşlemler 6.3. kısmıda gerek ormal dağılış gerekse stadart ormal dağılış eğrler ayı özellğe sahp oldukları belrtlmşt. Bu sebeple ormal dağılış eğrs temsl ede değşke ~N( µ, σ² ) stadart ormal dağılış eğrs temsl ede Z değşkee döüştürüldüğüde (Z ~ N Z (0,)) ayı zamada değşke le lgl olasılıklar da hesaplamış olur. Bu kısımda bu döüştürme şlemler alatılacaktır. a herhag br sayı olmak üzere; µ a µ P( > a) P > P(Z > a 0 ) σ σ 0.50 P(0 < Z < a 0 ) 6

µ a P(Z > a 0 ) olasılığı hesaplaabldğ ç ayı zamada P( > a) olasılığıı da hesaplamış oluruz. Örek: Br kümeste rastgele seçle 40 yumurtaı ortalama ağırlığı 50 gr ve varyası 00 olarak hesaplamıştır. Bua göre rastgele seçle br yumurtaı ağırlığıı, a) 50 gr da büyük, b) 40 50 gr arası, c) 45 55 gr arası, d) 40 gr da küçük gelmes olasılıklarıı hesaplayıız. a) değşke yumurta ağırlığıı gösters. Bua göre ~N(50, 00) 6

P( > 50) P µ σ P(Z > 0) 0.50 50 50 > 0 Rastgele seçle br yumurtaı ağırlığıı 50 gr da büyük gelme olasılığı 0.50 dr. 40 50 µ P(40< < 50) P < 0 r P(- < Z < 0) P(0 < Z < ) 0.343 50 50 < 0 63

45 50 µ 55 50 P(45 < < 55) P < < 0 σ 0 P(-0.50 < Z < 0.50) P(0.50 < Z < 0) P(0 < Z < 0.50) P(0 < Z < 0.50). 0.95 0.3830 µ 40 50 P(< 40) P < σ 0 P(Z < -) 0.50 P(- < Z < 0) 0.50 P(0 < Z < ) 0.50 0.343 0.587 64

6.5. Bom Dağılışıı ormal Dağılışa Yaklaşımı Geel olarak değer oldukça büyük ve p değer çok büyük olduğu durumlarda bom dağılışıı ormal dağılışa yaklaşımı le olasılık hesaplamak mümküdür. Bom dağılışıı ormal dağılışa yaklaşablmes ç aşağıdak kurallarda br sağlaması gerekr. ) ve p parametreler çarpımları 5 e eşt veya büyük p 5 ) ve q p parametreler çarpımları 5 e eşt veya büyük q ( - p) 5 olması gerekr. Yukarıdak bu koşullar sağladığı zama bom dağılışıı ormal dağılışa yaklaşımı aşağıdak formül yardımı le hesaplaır. (r 0.50) p (R p) (r + 0.5) p P(r < < R r ) P (6.3) pq pq pq Örek: Br para 00 defa atıldığıda; a) Yalız 00 defa yazı, b) 0 le 0 defa yazı gelme olasılıklarıı hesaplayıız. µ.p 00. 00 σ pq 00.. 50 7.07 (00 0.5) 00 R µ (00 + 0.5) 00 a) P ( R 00) P < < 7.07 σ 7.07 0.50 0.5 P < Z < 7.07 7.07 P(-0.07 < Z < 0.07) P(0 < Z < 0.07).(0.79) 0.0558 65

b) (0 0.50) 00 P(0 R 0) P < 7.07 R µ σ (0 + 0.5) 00 < 7.07 P(.34 < Z <.90) P(0 < Z <.90) - P(0 < Z <.34) 0.498 0.4099 0.088 6.6. Posso Dağılışıı ormal Dağılışa Yaklaşımı Posso dağılışıı parametres ola µ, 5 e eşt veya 5 de büyük olması durumuda bu yaklaşımda yararlaılır. Posso dağılışıa at keskl şas değşke ola R, Z ye aşağıdak eştlk yardımı le döüştürülür. (R + ) µ Z (6.4) σ 66

Eştlkte; R: Posso dağılışıa at keskl şas değşke göstermektedr. µ: Posso dağılışıı ortalaması olup, µ.p dr. σ : Posso dağılışıı stadart sapması olup, σ p dr. Örek: Br ldek trafk kazası olma olasılığı 0.00 dr. Rastgele seçle 0000 arabada e çok 3 üü kaza yapma olasılığı edr? µ. p 0000. 0.00 0 R µ (3 + 0.5) 0 P(R 3) P( < ) σ 0 P(Z < -.056) P(Z<-.056) 0.50 P(-.056 < Z < 0) 0.50 P(0 < Z <.056) 0.50 0.4798 0.00 olur. ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) ~ N(0, 36) se P( > 5) olma olasılığı edr? ) Br fabrkada 0000 şç yaş dağılımıı ortalaması 30 yıl ve stadart sapması da 5 yıl olmak üzere ormal dağılış gösterdğ blmektedr. Bu şletmede 5 yaşı altıda kaç şç vardır? 3) Br sııfta rastgele seçle 5 öğrec statstk otları 55, 60, 63, 76, 8 olup, ormal dağılış göstermektedr. Bu gözlem 67

değerler, ortalaması 0 varyası ola stadart ormal dağılışa döüştürüüz. 4) değşke ~ N(.0, 6) ola ormal dağılışa sahptr. P(>k)0.08 eştlğde k ı değer kaç olur. 5) Br tohumu çmleme oraı 0.80 dr. Rastgele seçle 0 tohumda; 68 a) 5 taes çmleme olasılığı, b) E çok dördüü çmleme olasılığıı hesaplayıız. 6) Br kız öğrec grubuu ağırlıkları ortalaması 58 kg ve varyası 5 olarak hesaplamıştır. Bua göre, rastgele seçle br kız öğrec klosuu, a) 50 kg da az, b) 60 le 65 kg arasıda olma, c) 45 le 60 kg arasıda olma, d) 6 le 70 kg arasıda olma, e) 45 le 55 kg arasıda olma olasılıklarıı hesaplayıız. 7) Br statstk sıavıda otları ortalaması 75 ve varyası 49 ola ormal dağılışa sahp olduğu tespt edlmştr. Rastgele seçle br öğrec lk %5 te yer alablmes ç bu derste e az kaç alması gerekr? 8) Br üverstede matematk derse at otları frekas tablosu aşağıda verlmştr. Not Öğrec Sayısı 0 9 3 0 9 5 0 9 30 39 6 40 49 7 50 59 4 60 69 9 70 79 5 80 89 90-99 Notlar ormal dağılış gösterdğe göre her sııf ç beklee frekasları hesaplayıız?

9) Eğer Z ~ N (0,) se a) P(0 < Z <.3) b) P(-0.67 < Z < 0) c) P(-0.46 < Z <.86) d) P(-.96 < Z <.96) olasılıklarıı hesaplayıız. 0) ~ N(0, 5) se a) P( < ) b) P( < 4) c) P( > ) d) P(9 < < 9) e) P( < < 0) f) P(5 < < 8) g) P(5 < < 5) h) P( < 6) olasılıklarıı hesaplayıız. ) ~N(0, 5) se, aşağıdak eştlklerde a ı değer hesaplayıız. a) P( < a) 0.05 b) P( > a) 0.99 c) P( < a) 0.50 d) P(a < < 0) 0.45 e) P(0 < < a) 0.45 f) P(a < < 5) 0.49 ) Hlesz br para 00 defa atıldığıda 40 le 60 arasıda yazı gelme olasılığı edr? 69

7. GÜVE ARALIKLARI 7.. Grş Đstatstkte k tp tahm vardır. Bularda brcs aralık tahm (terval estmato) dğer okta tahm (pot estmato) dr. Şu aa kadar dğer bölümlerde alatıla S (örek varyası),, medya, mod, harmok ortalama gb tahmler okta tahmdr. Aralık tahm se tahm edle statstğ bell br olasılık le alt ve üst lmtde meydaa gele br güve aralığıa (cofdece terval) verle smdr. Güve aralığı batıı mümkü olduğuca yüksek olasılık le dar batta olması ster. Öreğ populasyo ortalaması (µ) le lgl güve aralığıı %99 olasılık le.6 le.3 arasıda olması,.0 le 3.5 arasıda olmasıa göre daha ydr. Güve aralığı batıı dar olmasıa etk ede e öeml faktör, tahm edle statstğ parametre değere çok yaklaşmasıdır. Buuda e öeml usuru, gözlem sayısıdır. Gözlem sayısı arttıkça statstk değer parametre değere yaklaşır (Yıldız ve Brca,99; Sübüloğlu, 997). 7.. Populasyo Ortalamasıı (µ) Güve Aralığı Populasyo ortalamasıa at güve aralığı oluştururke kullaılacak krterler şulardır: a) Populasyo varyası (σ ) blyorsa, µ σ. Z alt üst x x α / µ + σ. Z (7.) Eştlkte; α / µ alt : Populasyo ortalamasıı alt lmt, µ üst : Populasyo ortalamasıı üst lmt, : Artmetk ortalamayı göstermektedr. 70

hesaplaır. σ : Populasyou stadart hatası olup, x σ değerde α : Öem sevyes veya I. Tp hata yapma olasılığıdır. Bu kavram ayrıtılı olarak 8. Bölümde verlecektr. α değer byolojk ve zraat le lgl araştırmalarda 0.05 veya 0.0 olarak alıır. Z: Cetvel değer olup, Z cetvel Ek kısmıda verlmştr. Örek: Br üverstede öğrecler üversteye grdkler puaları varyası 000 olarak hesaplamıştır. Bu üverstede rastgele seçle 0 öğrec puaı sırası le 375, 440, 350, 360, 443, 378, 385, 380, 340, 395 olarak saptamıştır. Bua göre bu üverstedek öğrecler pualarıı ortalaması %95 olasılık le hag değerler arasıda yer alır? σ 000 0 σ x σ 000 0 0 (375 +... + 395) 384.6 0. Z x α. Z x α µ alt σ / µ üst + σ / 384.6 (0. Z 0.05/ ) 384.6 + (0..96) 384.6 (0..96) 404. 365 Buu alamı bu üverstedek öğrecler üversteye grş pualarıı ortalaması %95 olasılık le 365 le 404. pua arasıdadır. b) Populasyo varyası blmyorsa ve 30 se, µ S Z alt üst x. α / µ + S. Z (7.) formüllerde hesaplaır. Eştlkte; x α / 7

S hesaplaır. : Öreğe at stadart hata olup S formülüde Örek: Br üverstede rastgele seçle 40 erkek öğrec boy ortalaması.68 cm ve varyası 0.4 olarak hesaplamıştır. Bua göre bu üverstedek erkek öğrecler tamamıı boy ortalaması %99 olasılık le hag değerler arasıda yer alır? 40.68 S 0.4 α 0.0 S S 0. 4 0.0 40 µ alt S. α / x Z.68 (0.0. Z 0.0/ ).68 (0.0..57).43 µ üst.68 + (0.0..57).937 Bu üverstedek erkek öğrecler boy ortalaması %99 olasılık le.43 le.937 cm arasıdadır. c) Populasyo varyası blmyorsa ve < 30 se µ alt S. t, α / µ üst + S. t, α / (7.3) t -,α/ : (-) serbestlk derecel, α öem sevyesdek t cetvel değerdr. Örek: Br bölgede rastgele seçle 0 parselde buğday vermler (kg / parsel) aşağıdak gb bulumuştur. 7, 0,, 8, 4, 6, 5, 7, 8, 3 Bua göre bu bölgedek buğday verm %95 olasılık le hag değerler arasıda yer alır? 7

+ + (7... 3) kg/parsel 0 S S 9.56 S S ( ) 9.56.399 0 µ alt S. t, α / (.399. t 9,0.05/ ) (.399..6) 8.835 kg/parsel µ üst + S. t, α / + (.399..6) 0 66 0 0 5.65 kg/parsel Bu bölgede buğday çeşd verm (kg/parsel) %95 olasılık le 8.835 le 5.65 kg/parsel arasıdadır. 7.3. Đk Ortalama Arasıdak Farka At Güve Aralığı a) Populasyo varyasları σ ve / veya σ blyorsa, ( µ µ ) alt +. Zα σ ( ) σ / σ ( ) σ ( µ µ ) üst + +. Zα / (7.4) Örek: A ve B gb k ayççeğ varyetes tablo çaplarıa at varyasları sırası le σ A 64 ve σ B 6 olarak blyor. A varyetesde 8 ve B varyetesde 30 fertlk örekler alıarak ortalamaları sırasıyla 3 ve 6 olarak bulumuştur. Bu değerlere göre k ayççeğ varyetes gerçek tablo çaplarıı ortalamaları arasıdak farkı %95 lk güve aralığıı buluuz. 73

64 6 3 6 + 8 30.Z 0. (µ µ ) alt ( ) 05 6 (3.6). (.96) -.08 64 6 3 6 + + 8 30.Z 0. (µ µ ) üst ( ) 05 6 + (3.6). (.96) 3.08 b) Populasyo varyasları (σ ve σ ) blmyorsa ve ve/veya 30 se; ( µ µ ) alt +. Zα S ( ) S / S ( ) S ( µ µ ) üst + +. Zα / (7.5) Örek: A ve B gb k farklı lsa kursuda yabacı dl eğtm ala öğreclerde A kursuda 30, B kursuda 40 öğrec rastgele seçlyor. A kursudak öğreclerde ortalama 8 gü ve varyas 96 hesaplaıyor. B kursudak öğreclerde ortalama 76 gü ve varyas 44 olarak hesaplaıyor. Bua göre kursa gde öğreclerde ortalama öğreme süreler arasıdak farka at güve aralığıı %95 olasılık le hesaplayıız. 96 44 (µ µ ) alt (8-76) - +..96 30 40-0.39 96 44 (µ µ ) üst (8-76) + +..96 30 40.39 74

c) Populasyo varyasları σ ve σ blmyorsa ve ve <30 se, ( ) S +. t( + ), / ( µ µ ) alt α + S +.t (7.6) (µ µ ) üst ( ) ( + ), α / Eştlkte, S brleştrlmş (ortak) varyas olup, aşağıdak formülde hesaplaır. S ( ) S + ( ) + S (7.7) Örek: 8 ve 0 breylk grupta ortalama reaksyo zamaları sırası le 3.0 ve.7 olarak tespt edlyor. Brleştrlmş varyas 0.05 olarak hesapladığıa göre k grubu ortalama reaksyo zama farkları ç %95 lk güve aralığıı hesaplayıız? 3 (µ µ ) alt (3 -.7) - 0.05 +.t 6,0. 05 8 0.7 0.3 (0.06).(.0) 8 0.3 0.5 0 0.075 S 0.05 (µ µ ) üst (3 -.7) + 0.05 +.t 6,0. 05 8 0 + - 6 0.3 + (0.06).(.0) 0.55 7.4. Oralara At Güve Aralığı Bell br ora yada % şeklde fade edle değerlerle lgl güve aralığı hesaplaırke kullaılır. P üst pˆ + Zα /. pˆ. qˆ 75

P alt Eştlkte; pˆ. qˆ pˆ Zα /. (7.8) p ˆ formülüde hesaplaıp, değer breylk br grupta çekle örek sayısıdır. p ˆ + qˆ dr. Örek: Br ayççeğ tohumuda rastgele seçle 40 tohumda 30 u çmlemştr. Bua göre ayççeğ populasyouda çmleme oraıa at güve aralığıı %99 olasılık le hesaplayıız. 40 x 30 pˆ + qˆ qˆ - pˆ 0.75 0.5 P alt 0.75 (.57) P üst 0.75 + (.57) x 30 pˆ 0.75 40 0.75.0.5. 0.575 40 0.75.0.5. 0.95 40 Örek: Br üverstede rastgele seçle 50 baya öğrecde 0 s sgara çmektedr. Bua göre bu üverstede sgara çe baya öğrecler oraıa at güve aralığıı %95 olasılık le hesaplayıız. x 0 50 pˆ x 0 0. 50 40 pˆ + qˆ qˆ 0.40 0.60 76

0.40.0.60 P alt 0.40 - Z 0.05. 50 0.40.96. 0.0693 0.64 P üst 0.40 + (.96) (0.0693) 0.536 7.5. Oraları Farkıa At Güve Aralığı Đk grubu oralarıı farklarıa at güve aralığı hesaplaırke bu yötem kullaılır. Oraları farkıa at güve aralığıı hesaplamasıda, ( P P ) ( ˆ ˆ alt P P ) Z α /. p. q 0 0. + ( P P ) ˆ ˆ üst ( P P ) + Z α /. p 0. q 0. + (7.9) formüller kullaılır. Eştlklerde; pˆ p 0 hesaplaır. + + pˆ q 0 P 0 formüllerde Örek: Bell br hastalığı aşıladığı 450 fare le yapıla br deemede fareler eşt sayıda k gruba ayrılmıştır.. gruba yleştrmek amacı le laç verlmş, dğer gruba se verlmemştr. Belrl br süre sora. grupta yleşe fare sayısı 00, kc grupta yleşe fare sayısı 80 olduğua göre lacı etklğ le lgl olarak oraları farkıa at güve aralığıı %95 olasılıkla hesaplayıız? 5 00 77

5 80 pˆ 5 p 0 + + 00 0.444 80 pˆ 0.356 5 80 0.40 q0 0.60 450 (P P ) alt (0.444 0.356) Z 0.05. 0.40.0.60. + 5 5 0.088 (.96).(0.046) -0.006 (P P ) üst (0.444 0.356) + Z 0.05. 0.40.0.60. + 5 5 0.79 Örek: Br hastae kayıtlarıa bakarak hastaeye yatırıla 000 erkekte 5 sde, 000 kadıda 3 üde kalp hastalığı bulumuştur. Bua göre %99 olasılık le oraları farkıa at güve aralığıı hesaplayıız? 5 000 3 000 pˆ p 0 0.05 + + 5 + 3 000 + 000 q 0 P 0 0.0375 0.965 pˆ 0.03 75 0.0375 000 (P P ) alt (0.05 0.03) Z 0.05 0.375.0.965. + 000 000 0.09 (.57) (0.07) 0.09 0.06939 0.04 78

(P P ) üs t (0.05 0.03) + Z 0.05 0.375.0.965. + 000 000 0.09 + 0.0 0.098 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Br üverstede okuya kız öğrecler boylarıa at stadart sapması cm ve kız öğreclerde rastgele seçle 5 öğrec boy ortalaması 60 cm olduğua göre üverstede okuya tüm kız öğrecler boy ortalaması ç %95 lk güve aralığıı hesaplayıız. ) Br ağrı kesc laç, 0 hasta üzerde deemş ve lacı ortalama ağrıyı kesme süres 80 dk, stadart sapması 0 dk olarak hesaplamıştır. %99 olasılık le güve aralıklarıı hesaplayıız? 3) Đk farklı üverstede bell br fakülteye gre öğrecler pualarıı varyası sırası le 36 ve 64 olarak hesaplamıştır. Bu üverste ayı fakültesde rastgele seçle 00 er kşlk öğrec grubuda puaları ortalaması sırası le 395 ve 370 pua olarak hesaplamıştır. Bua göre bu üverstelerdek öğrecler ortalama pualarıı farklarıa at güve aralıklarıı %99 olasılık le hesaplayıız? 4) Br şletmede üretle pller dayama süreler (ay) 6,, 4, 7, 3, 5,,, 0, 8 buluduğua göre, pller ortalama dayama süreler, %95 lk güve aralığıı hesaplayıız? 5) Rastgele seçle 50 trafk sürücüsüde yapıla br akette bu sürücüler yıl çersde 6 sıı trafk kazası yaptıkları belrlemştr. Bua göre populasyo oraı ç %95 lk güve aralığıı hesaplayıız? 6) Malya koyularıda 00 tokluda 5, Akkarama ırkıda se 70 tokluda 89 u gebe kalmıştır. Bua göre bu ırkla lgl gebelk oralarıı farklarıa at %99 luk güve aralığıı oluşturuuz? 7) Br hastae kayıtlarıda bakıldığıda o yıl amelyat edle 50 kalp hastasıda 0 taes kes olarak yleşmştr. Bua göre yleşme oraı le lgl %95 lk güve aralığıı hesaplayıız? 8) A şehrde rastgele seçle 00 kşde 90 kş, B şehrde rastgele seçle 50 kşde 60 ıı kede at arabası 79

bulumaktadır. Bua göre oraları farkıa at %95 lk güve aralığıı hesaplayıız? 9) Đk farklı dl kursuu yıl sou başarı oraları karşılaştırılmak steyor. A kursuda 300 öğrecde 0 s B kursuda 400 öğrecde 60 ı başarılı oluyor. Bua göre k kurs arasıdak başarı oraları arasıdak farkı %99 luk güve aralığıı buluuz. 0) Şeker paketleye br make paketler üzerde uzu yıllarda ber yapıla gözlemlerde paket ağırlığıı stadart sapması.5 gram ola ormal dağılış gösterdğ blmektedr. Make üzerde yapıla br ayarlama le 5 brmlk br öreğ ortalama paket ağırlığı 00 gr bulumuştur. Ayarlama soucu gerçek paket ortalama ağırlığı ç %95 lk güve aralığıı buluuz. ) Br şehrde 300 evde yapıla gözlemlerde 3 ev kablolu televzyo aboes olduğu alaşılmıştır. Tüm şehrdek kablolu televzyo terch oraı ç %95 lk güve aralığıı hesaplayıız. ) Br okulda rastgele seçle 0 öğrec geel kültür yarışmasıa alımış ve s sorula geel kültür sorusua doğru cevap vermşlerdr. Tüm okulu gerçek doğru cevaplama oraı le lgl %99 luk güve aralığıı hesaplayıız. 3) tavşa üzerde plazmadak yağ asd bakımıda yapıla gözlemlerde 00 ml de mg csde elde edle değerler 60, 68, 54, 56, 7, 63, 66, 69, 50, 70 ve 67 dr. Bu öreğ alıdığı tavşa populasyouu gerçek ortalaması ç %95 lk güve aralığıı hesaplayıız. 4) Otomobl lastğ mal ede A frmasıda 40 lastk, B frmasıda 60 lastk deemş, ortalama dayama süreler le stadart sapmaları şöyle bulumuştur. A 40000 km, S A 3000 km B 45000 km, S B 3464 km Populasyo ortalaması farkıı %95 lk güve aralığıı buluuz. 80

8. HĐPOTEZ TESTLERĐ 8.. Grş Đstatstkte hpotez testler, karar teors (Decso Theory) olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış ddalara hpotez der. Öreğ para hleszdr deldğde bu br hpotezdr. Ortaya atıla ddaya H 0 hpotez veya sıfır hpotez der. H 0 hpotez alteratf ola hpoteze se karşıt hpotez veya H hpotez adı verlr (Clarke ve Cooke, 983; Đkz ve ark., 969). Br hpotez kabulüe veya redde karar verlrke doğru ola br H 0 hpotez reddetme olasılığı bırakılır, bua α (öem sevyes) der. Öem sevyes (α), byolojk çalışmalarda, zraat le lgl çalışmalarda, tıbb çalışmalarda geellkle 0.05 veya 0.0 alıır. Ekoom le lgl çalışmalarda se baze 0.0 alıablr. Hpotez test yapılırke hpotezler bell br parametre üzere kurulur ve test k (çft) yölü veya tek yölü yapılır. Hpotez çft yölü veya tek yölü oluşuu, ortaya atıla dda belrler. Eğer hpotez çft yölü se α/, tek yölü se α değer alıır. Aşağıda tek yölü ve çft yölü hpotezlere at örekler ve ormal dağılış eğrler verlmştr. a) α/ H 0 Kabul α/ H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 H 0 RED -Z C Z C H 0 RED 8

b) H 0 Kabul H 0 : µ µ 0 α H : µ > µ 0 O Z C H 0 RED c) α H 0 Kabul H 0 : µ µ 0 H : µ < µ 0 H 0 RED 8 8.. Hpotez Testde Đzleecek Yollar Tüm hpotez testlerde geel olarak aşağıdak yollar zler: ) Ortaya atıla ddaya göre H 0 ve H hpotezler kurulur. ) α öem sevyes belrler. Bu değer geellkle 0.05 veya 0.0 olarak tespt edlr. 3) Đlgl test statstğ tespt edlr. 4) Seçle test statstğde blmeye statstkler hesaplaır. 5) (3). Maddedek belrlee test statstğ değer hesaplaır. 6) Seçle test statstğ le lgl cetvel değere bakılır. 7) (5). Maddede hesaplaa test statstğ le cetvel değer karşılaştırılarak H 0 hpotez kabulüe veya redde karar verlr. Karar verlrke aşağıdak hususa dkkat edlr.

a) Eğer hpotez çft yölü se; HESAP > CETVEL se H 0 hpotez reddedlr. HESAP < CETVEL se H 0 hpotez kabul edlr. 8) H 0 hpotez kabul veya red edlme durumua göre yorum yapılır. 8.3. Hata tpler ve Test Gücü Hpotez test souda verle kararda hata yapılablr veya yapılamaz. Bu durum Çzelge 8.. de ayrıtılı olarak görülmektedr. Çzelge 8.. Hata Tpler H 0 HĐPOTEZĐ GERÇEKTE VERĐLEN KARAR DOĞRU YANLIŞ H 0 KABUL H 0 RED P(I. Tp Hata) α P(II. Tp Hata) β Çzelge 8.. e bakıldığı zama I. tp hata yapma olasılığı α(öem sevyes), II. Tp hata yapma olasılığı se β dır. (-β) değer se test gücüü verr. α ve β değerler brbr le ters oratılıdır. α değer azaldıkça β değer artar. α değer arttıkça β değer azalır. 8.4. Populasyo Ortalaması Đle Đlgl Hpotez Test Çekle br öreğ populasyou temsl edp etmedğ test etmek stedğmzde kullaılır. Hpotezler aşağıdak gb kurulur. a) H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 b) H 0 : µ µ 0 H : µ < µ 0 c) H 0 : µ µ 0 H : µ > µ 0 83

(a) dak hpotez çft yölü hpotez testdr. (b) ve (c) dek hpotez se tek yölü hpotez testdr. Hpotezlere bakıldığıda H 0 hpotez tümüde ayıdır, H hpotezler farklıdır. O halde br hpotez çft yölü veya tek yölü oluşuu H hpotez belrler. Populasyo ortalaması le lgl hpotez testlerde aşağıdak verle test statstkler kullaılır. 84 ) Populasyo varyasları (σ ) blyorsa, µ Z ~N Z (0,) (8.) σ x Eştlkte; σ formülüde hesaplaır. σ x ) Populasyo varyasları (σ ) blmyorsa, a) 30 se Eştlkte; µ Z ~ N Z (0,) (8.) S S formülüde hesaplaır. S b) < 30 se µ t ~ t -, α/ veya α (8.3) S Örek : Br üverstede erkek öğreclere at boy ortalamasıı 68 cm olduğu blmektedr. Bu üverstede rastgele seçle 40 öğrec boy ortalaması 75 cm ve varyası 6 bulumuştur. Bua göre 0.05 öem sevyesde seçle öğrecler daha uzu olup olmadığıı test edz. H 0 : µ 68 H : µ > 68 S 6, 40, α0.05, 75 se,

S S 6 40 0.63 Z µ 75 68.076 0.63 S Cetvelde; Z 0.05.65.076 >.65 olduğuda H 0 hpotez red edlr. Bua göre seçle 40 öğrec boyları ortalamaya göre daha uzudur. Örek : Daktlo yazma kursua gde öğrecler dakkada 45 kelme yazabldğ ve stadart sapmaı 5 kelme olduğu blmektedr. Kursu souda 0 öğrec dakkada yazdığı kelme sayıları 45, 63, 5, 54, 6, 4, 46, 60, 57, 40 olarak tespt edlmştr. Bua göre kursu yararlı olup olmadığıı 0.0 öem sevyesde test edz. σ x H 0 : µ 45 σ 5 kelme α 0.0 H : µ 45 σ 5 0 σ 5 0.58 45 +... + 40 5.9 kelme/dak. 0 µ 5.9 45 Z 4.364.58 σ x Cetvel değer Z 0.005.58 4.364 >.58 olduğuda H 0 hpotez red edlr. Dolayısıyla kursu yararı olmuştur. Örek : Bell br ş btrmek ç gereke ortalama süre 0 dakka olarak blmektedr. Ayı ş yapmak üzere 0 tae ye şç alıarak belrtle ş aşağıda verle sürelerde (dakka) btrmşlerdr. 8,, 9, 6, 3, 0, 7, 5, 3, 4 85

Bua göre şçler ş, ortalamada daha düşük sürelerde m btrmşlerdr? H 0 : µ 0 H : µ < 0 0 α 0.05 8 +... + 4 / 8.6 dakka 0 S t [ ( ) / ] [ 3570 86 /0]. 7 µ 8.6 0.64.08 S x Cetvelde - 9 serbestlk derecel, t 9,0.05.833 9 H 0 Kabul -.833 -.64 > -.833 olduğuda H 0 hpotez kabul edlr. Ya ye alıa şçler ş daha kısa sürede btrememektedrler. 86 8.5. Ortalamalar Arası Farka At Hpotez Test Brbrde bağımsız k grup ortalamasıı karşılaştırırke bu hpotez testde yararlaılır. Öreğ Tıp ta A ve B gb k lacı etklğ karşılaştırmak stedğmzde, Zraat te A ve B gb k buğday çeşd verm karşılaştırmak stedğde bu hpotez testde yararlaılır. Bu hpotez testlerde hpotezler aşağıdak şeklde kurulur ve kullaılacak statstklerle lgl krterler aşağıdak gbdr.

a) H 0 : µ - µ 0 H : µ - µ 0 b) H 0 : µ - µ 0 H : µ > µ c) H 0 : µ - µ 0 H : µ < µ ) Eğer populasyo varyasları ( σ ( ) ( µ µ ) ( 0,) ve/veya σ blyorsa) Z ~ Z (8.4) σ σ + ) Eğer populasyo varyasları ( σ a) ve / veya 30 se Z ( ) ( µ µ ) S S + ~ Z veσ ( 0,) ) blmyorsa (8.5) Eştlkte, b) ve < 30 se ( ) ( µ µ ) t ~ t α t +, / veya +, α (8.6) S + S ortak varyas (pooled varace) olup, aşağıdak formülde hesaplaır. ( ) S + ( ) S S (8.7) + Örek : A ve B gb k çeşt kmyasal madde astlk dereceler karşılaştırılmak steyor. Bu amaçla A maddesde rastgele 5 örek seçlyor, astlk ortalaması 7.5 ve stadart sapması 0.05 olarak buluuyor. B maddesde 8 örek seçlyor, astlk 87

ortalaması 7. ve stadart sapması 0.040 olarak buluuyor. Đlgl hpotez 0.05 öem sevyesde test edz. t 5 7.5 S 0.05 8 7. S 0.040 α 0.05 H 0 : µ - µ 0 H : µ - µ 0 ( ) ( µ µ ) ~ t +, 0.05 S + ( ) S + ( ) S S ( ) 5 0.05 + ( 8 ) S 0.00 t + ( 7.5 7.) 0 0.00 + 5 8 Cetvel değer t, 0.05.0 0.55 0.040 5 + 8 0.55 >.0 olduğuda H 0 hpotez red edlr. Ya kmyasal maddeler astlk dereceler arasıda fark vardır. Örek : Đk ayrı asker brlkte rastgele seçle toplam 000 asker eşt k gruba ayrılıyor. Ortalama ka basıçları ve varyasları,. grup ç sırası le 3.7 ve 40.07 kc grup ç se 3.06 ve 30.9 olarak buluuyor. Asker ka basıçları ortalamasıı farklı olup olmadığıı 0.0 öem sevyesde test edz. H 0 : µ - µ 0 500 3. 7 S 40. 07 H : µ - µ 0 500 3. 06 S 30. 09 88

Z Z Cetvel değer Z 0.005.57 ( ) ( µ µ ) S S + ( 3.7 3.06) 40.07 / 500 ~ Z ( 0,) 0.7 + 30.09 / 500.7 <.57 olduğuda H 0 hpotez kabul edlr. Bua göre, askerler ka basıçları arasıda fark yoktur. 8.6. Oralara At Hpotez Test Bell br yüzde veya ora şeklde fade edle olaylarla lgl hpotez testler yapılacağı zama bu testte yararlaılır. Testle lgl hpotezler aşağıdak şeklde kurulur. a) H 0 : p P 0 H : p P 0 b) H 0 : p P 0 H : p > P 0 c) H 0 : p P 0 H : p < P 0 (b) ve (c) tek yölü hpotez testler olup, (a) çft yölü hpotez testdr. Đlgl test statstğ aşağıdak şekldedr. Eştlkte; Z P P P P 0 + q 0 dr. 0 P0 q 0 ~ Z ( 0,) (8.8) olup;, breylk gözlemde çekle örek sayısıdır. 89

Örek : Br vda fabrkasıda üretm %8 bozuk olduğu dda edlmektedr. Bu ddayı test etmek amacıyla 0 vda öreğ celedğde 4 üü bozuk olduğu tespt edlmştr. Ortaya atıla ddayı 0.05 öem sevyesde test edz. P H 0 : p 0.08 0 P 0 + q 0 H : p 0.08 α 0.05 4 4 0. 40 0 q 0-0.08 0.9 Z ^ P P0 P q / 0 0 Cetvel değer Z 0.05.96 0.40 0.08 3.73 0.08.0.9 /0 3.73 >.96 olduğuda H 0 hpotez reddedlr. Ya fabrkada 0.08 oraıda farklı br orada bozuk vda vardır. Örek : Br şehrdek aleler e fazla %5 özel arabaya sahp oldukları dda edlmektedr. Bu yörede seçle 300 alede 80 özel arabası buluduğua göre lgl ddayı 0.0 öem sevyesde test edz. P H 0 : p 0.5 300 α 0.0 H : p < 0.5 80 80 0. 7 300 P 0 0.5 q 0 - P 0-0.5 0.75 Z P P0 P q / 0 0 0.7 0.5 0.80 0.5.0.75/ 300 0.80 > -.33 olduğuda H 0 hpotez kabul edlr. Bua göre, bu şehrde özel arabası ola aleler oraı %5 te daha az değldr. 90

8.7. Oraları Farkıa At Hpotez Test Eğer k grup karşılaştırılması yapılacak se ve grupları her br % şeklde orasal br değer le fade edlyor se bu taktrde oraları farkıa at hpotez test kullaılır. Bu test le lgl hpotezler aşağıdak gb kurulur. a) H 0 : P P 0 H : P P 0 b) H 0 : P P 0 H : P > P c) H 0 : P P 0 H : P < P Oraları farkıa at hpotez testde kullaıla test statstğ Z test statstğ olup, aşağıdak formülde hesaplaır. P P Z P0 q0 + ( P P ) ~ Z ( 0; ) Eştlktek statstkler aşağıdak formülde hesaplaır. P P (8.9) P 0 q 0 -P 0. + + Eştlklerde, : örek geşlğe sahp. grupta çekle örek sayısıı, : örek geşlğe sahp. grupta çekle örek sayısıı, göstermektedr. Örek : A ve B şehrlerde seçle 300 ve 00 seçmelk breyler br party destekleme oraları sırası le %70 ve %30 olarak bulumuştur. 0.0 öem sevyesde A ve B şehrlerde party 9

destekleme oraları arasıdak farkı öeml olup olmadığıı test edz. 300 00 P P P H 0 : P P 0 H : P P 0 + 0.70 300 0.30 00 0 + 60 300 + 00 0 + q 0 P0 0.54 0.46 P P Z P0 q0 + ( P P ) 0 60 0.54 ( 0.70 0.30) 0.54.0.46 ( + ) 300 0 00 0.40 0.045 8.89 Cetvel değer Z 0.005.58 8.89 >.58 olduğuda H 0 hpotez red edlr. Dolayısıyla A ve B şehrlerde party destekleme oraları arasıda fark vardır. Örek : Malya koyularıda 70 tokluda 40 ı Karama ırkıda se 50 tokluda 95 gebe kalmıştır. Malya ırkıdak gebelk oraı Akkarama ırkıda daha yüksek mdr, 0.05 öem sevyesde test edz. H 0 : P P 0 H : P > P 70 40 50 95 9

P P P + 40 70 P 95 50 P 40 + 95 70 + 50 0.8 0.63 0 + q 0 P0 0.73 0.7 0.73 P P Z P0 q0 + ( P P ) ( 0.8 0.63) 0.73.0.7 ( + ) 70 0 50 3.8 Cetvel değer Z 0.05.65 3.8 >.65 olduğuda H 0 hpotez red edlr; dolayısıyla Malya ırkıdak gebelk oraı Karama ırkıa göre daha yüksektr. 8.8. Eşl Karşılaştırma Yötem Đk grup ortalaması karşılaştırılırke grupları brbrde bağımsız olduğu varsayılmıştı. Eğer gruplar arasıda br bağımlılık varsa veya statstk alamda br kovaryas söz kousu se bu taktrde eşl karşılaştırma yötem uygulaır. Öreğ tek yumurta kzler geetk yapı olarak brbr ayıdır. Bu yüzde kzler bell br özellk bakımıda karşılaştırılacağı zama eşl karşılaştırma yötem uygulaır. Ye br başka örek vermek gerekrse; br elma parçaya ayrılsa br yarısıa bell br muamele dğer yarısıa başka br muamele uygulasa muamele etklğ test etmek stedğmzde eşl karşılaştırma yötemde yararlaılır. 93

Çzelge 8.. Eşl Karşılaştırma Đle Ver Aalz Y d Y Y d Y Y d Y......... Y d - Y Eşl karşılaştırma yötemde Çzelge 8. de görüldüğü gb ve Y grupları brbrler le bağımlı olup, bu gruptak farkı (d ) alımaktadır. Bu test le lgl hpotezler aşağıdak gb kurulur. a) H 0 : δ 0 H : δ 0 b) H 0 : δ 0 H : δ > 0 c) H 0 : δ 0 H : δ < 0 Bu yötem le lgl kullaılacak test statstğ, t test statstğ olup, aşağıdak formülde hesaplaır. d δ t ~ t, α / veya t, α (8.0) S d Eştlkte, d d / S S formüllerde hesaplaır d d / 94

S d d ( d ) formülüde hesaplaır. Örek : Ka basıcıı düşürdüğü öe sürüle br laç 0 hastaya verlmede öce ve verldkte sorak ka basıçları ölçülmüş ve ölçümler arasıdak farklar (. ölçüm-. ölçüm) aşağıdak gb bulumuştur. d -.5,.0,.0, 0.0,., -.4,.8,.,.0, -.3 Bua göre lacı ka basıcı üzere etks test edz. H 0 : δ 0 H : δ < 0 α 0.05 alısı [(.5) +... + (.3) ]/0 0. 58 d / S d d ( d ) ( 5.8) 30.56 0 0 3.0 S d S / d 3.0 /0 0.550 t d δ 0.58 0 0.550 S d.055 Cetvel değer, t 0-, 0.05 -.833.055 > -.833 olduğuda H 0 hpotez kabul edlr. O halde, lacı ka basıcıı düşürücü etks yoktur. Örek : 4 yaşlı 9 tae koyu başlagıçta samala besleyor ve ay sora ağırlıkları tartılıyor. Ayı koyular kesf yemle besleyor. ay sora so ağırlıkları tartılıyor. Kesf yem etks olmuş mudur? Başlagıç 54 5 50 56 49 53 55 46 48 So Ağırlık 50 49 46 57 45 53 50 44 43 d 4 3 4-4 0 5 5 H 0 : δ 0 H : δ 0 95

α 0.0 alısı d [( 4 +... + 5) ]/ 9. 89 d / S d d ( d ) ( 6) 8 9 4.6 S d S / d 4.6/ 9 0.7 t d δ S d.89 0 4.0 0.7 Cetvel değer, t 9-, 0.005 3.355 4.0 > 3.55 olduğuda H 0 hpotez red edlr. Dolayısı le, kesf yem ağırlık artışı üzere etks olmamıştır. ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Br fabrkaya getrle k part şeker pacarıda seçle 0 ar pacarlık öreklerde.. Part %6.3,. Part %7.4 şeker htva etmektedr. Đkc part şekerce daha zeg olduğuu 0.05 öem sevyesde söyleyeblr msz? ) Doğum ağırlığı bakımıda Meros ve Akkarama koyularıı karşılaştırmak üzere ayı yerde ayı güde doğmuş 9 ar dş kuzuda aşağıdak değerler elde edlmştr. Meros : ± S 4.44 ± 0. 65kg Akkarama : ± S 3.60 ± 0. 4kg Grupları populasyolarıa at ortalamalar arasıdak farkı sıfır olduğua dar hpotez kotrol edz (α 0.05). 3) Đk madala çeşdde rastgele seçle meyvelerde çap (mm) şöyle bulumuştur. 96 I. ırk : 50 5 5 II ırk : 5 5 54 53 Đk çeşde at ortalama meyve çapları arasıda fark olup olmadığıı 0.0 öem sevyesde test edz.

4) Br tür kaser ejekte edlmş fareler belrl br tedav göreler de ortalama yaşama süreler 60 ay ve stadart sapmasıı da 5 olduğu blmektedr. Ye br tedav yötem 00 hasta fareye uygulamış olsa ortalama yaşama süres de 64 ay olarak tespt edlse; ye tedav yötem yaşama süres uzattığıı söyleyeblr msz? (α 0.05). 5) Daha öcek yıllarda herhag br derste öğrecler ot ortalamasıı 65, stadart sapmasıı da 6 olduğu blmektedr. Ye br öğretm metodu uygulamış ve öğretm yılı souda rastgele seçle 64 öğreclk br örekte ot ortalaması 68 olarak bulumuştur. Ye öğretm metodu başarıyı artırmış mıdır, 0.05 öem sevyesde test edz. 6) Brc kaltedek yumurta populasyouda ortalama yumurta ağırlığıı 6 gr, stadart sapmasıı da5 gr olduğu blmektedr. Br satıcıı getrdğ 5 yumurtaı ortalama ağırlığı 56 gr olarak saptamıştır. Bu yumurtaları brc kalte olarak teleyeblr msz? (α 0.05). 7) Büyük br şehrdek aleler %8 belrl br gazetey okudukları blmektedr. Uzu sürel reklam kampayasıda sora rastgele seçle 500 alede 60 ı adı geçe gazetey okudukları tespt edlmştr. Reklam kampayası gazete satışıı artırmış mıdır? (α 0.05). 8) Her brde 0 brey bulua A ve B öreklerde belrl br özellk bakımıda ortalama ve varyas şöyle bulumuştur. Ortalama Varyas A grubu 70 40 B grubu 80 50 Đlglele özellk bakımıda A ve B grupları brbrde farklı mıdır? (α 0.0). 9) A ve B gb k farklı muameleye tab tutula 9 ar breylk gruplara at ortalamalar ve stadart hataları aşağıdak gbdr. A ± S A B ± S B 0 ± 4 90 ± 3 A ve B ortalamaları arasıdak farkı tesadüfte ler geldğe dar hpotez kotrol edz(α 0.0). 97

0) Akara ve Đstabul da yakalaa kara seklerde kaat uzulukları (mm) aşağıdak gb bulumuştur. Bu llerdek sekler ortalama kaat uzulukları brbrde farklımıdır? (α 0.05). Akara 4.55 4.60 4.58 4.56 Đstabul 4.75 4.75 4.80 4.80 4.80 ) Ayı yaş ve csyettek bebeklerde rastgele seçle 3 bebeğe A maması, 4 bebeğe B maması verlmştr. Bebekler altıcı ayı soudak ağırlıkları aşağıdak gb bulumuştur. Mamalar arasıda fark var mıdır? (α 0.0). A maması 8.5 9.0 8.0 B maması 7.5 9.0 8.5 8.5 ) A ve B gb k ayrı şletmede tesadüfe alıa tavşalarda femur kemğ uzuluğu (mm) aşağıdak gb bulumuştur. Bu şletmedek tavşaları femur kemğ uzuluğu brbrde farklı mıdır? (α 0.05). A 80 85 85 85 98 B 85 90 95 90 90 3) Ayı laktasyo döemdek ayı ırkta rastgele seçle eklerde 0 se belrl br yem karması 30 ua başka br yem karması verlmştr. Laktasyo souda lk grubu süt verm ortalaması 350 kg stadart sapması 350 kg, kc grubu süt verm ortalaması 3700 kg stadart sapması 370 kg bulumuştur. Yem karmaları arasıda fark var mıdır? (α 0.05). 4) Br ampül üretcs, üretm e çok %7 s kusurlu olduğuu dda etmektedr. Rastgele 0 ampül seçldğde 6 taes kusurlu olduğu görülmüştür. 0.05 öem sevyesde lgl ddayı test edz. 5) Tıbb br deemede fareler özel br gıda rejm le besleerek aylık br zama souda 40 gramlık ortalama ağırlık artışı olduğu görülmüştür. Ye br det 0 farelk br örek üzerde deemş ve ortalama ağırlık artışıı 43 gr ve varyasıı 7 olduğu saptamıştır. 0.0 öem sevyesde ye det ağırlığı artırdığı hpotez test edz.

9. KHĐ KARE A ALĐZĐ 9.. Grş Đstatstkte kaltatf telktek aket yolu le elde edle verler aalzde kh-kare aalz yötemde yararlaılır. Buu yaıda kh-kare aalzde uyum ylğ test, bell br dağılışa uyum test, bağımsızlık test gb koularda da yararlaılır. Bu bölümde bu başlıklar örekler le alatılacaktır. Kh-kare aalzde temel matık, gözlee değer le beklee değer arasıdak farkı statstk olarak kotrol edlmesdr. Đstatstkte beklee değer, br olayı olma olasılığıda yararlaarak elde edle değerdr. Öreğ br para 00 defa atıldığıda 50 defa yazı, 50 defa tura gelmes bekler. Çükü paraı yazı gelme ve tura gelme olasılıkları brbre eşt olup, ½ dr. Ye zar olayıda br zar 0 defa atıldığıda her yüzüü gelme olasılığı /6 olduğu ç her yüzde (,...,6) 0 defa gelmes bekler. Beklee değer B le gösterlr. Gözlee değer, deeme souda elde edle değerdr. Para olayıda 00 defa atıla br parada eğer 35 defa yazı, 65 defa tura gelmş se gözlee değerler G 35, G 65 tr. Gözlee değerler G le gösterlr (Başka, 993; Dxo ve Massey, 969). 9.. Uyum Đylğ Test Gözlee değer le beklee değer arasıdak farkı statstk olarak öeml olup olmadığıı test etmek amacı le kullaılır. Bu test daha zyade eldek verler ormal, bom, posso gb dağılışlara ve sıfır hpoteze göre hesaplaa beklee değerlere uyumuu test etmek amacı le kullaılır. Uyum ylğ test yaparke aşağıdak formül kullaılır. χ Eştlkte; k : Sııf sayısıı, ( G B ) ~ χ (9.) ( k ), α B G :. sııfı gözlee değer 99

B :. sııfı beklee değer göstermektedr. Örek : Br zar 50 defa atılmış ve aşağıdak souçlar elde edlmştr. Bua göre zarı hlel olup olmadığıı test edz. (α0.05) 3 4 5 6 Σ G 0 4 3 7 36 50 B 5 5 5 5 5 5 50 (G - B ) -5-7 -8-4 0 H 0 : Zar hleszdr. (P 6...P6 6 ) H : Zar hleldr. Soruda B değerler verlmemektedr. Bu değerler aşağıdak şeklde hesaplaır. B :. P B : 50. (/6) 5... B 6 : 50. (/6) 5 χ ( G B ) B ( 5) + ( ) + (7) + ( 8) 5 + (4) + ().04 Cetvelde ( 6 ),0.05 χ.07.04 <.07 olduğuda H 0 hpotez reddedlmez. Dolayısıyla zar hleszdr. Örek: Medel bezelye deemesde 300 yuvarlak-sarı, 0 yuvarlak-yeşl, 05 kırışık-sarı ve 85 adet kırışık-yeşl bezelye gözlemştr. Bua göre bu açılımı Medel 9 : 3 : 3 : oraıa uyup uymadığıı 0.0 öem sevyesde kotrol edz. H 0 : Açılım belrtle oralara uymaktadır. H : Açılım belrtle oralara uymamaktadır. 00

Yuvarlak Sarı Yuvarlak Yeşl Kırışık Sarı Kırışık Yeşl Σ G 300 0 05 85 600 B 337.5.5.5 37.5 600 (G - B ) -37.5 -.5-7.5 47.5 0 ( 37.5) χ 337.5 Cetvelde 47.5 +... + 37.5 ( 4 ),0.0 χ.34 64.89 64.89 >.34 olduğu ç H 0 hpotez red edlr. Dolayısıyla bu açılım, Medel 9 : 3 : 3 : oraıa uymamaktadır. Örek: Br ülkede bell br hastalıkta öleler sayısı aşağıdak gb bulumuştur. Ölümler sayısı 0 3 4 5 6 Şehr sayısı 80 60 30 5 5 0 0 Bua göre bu verler Posso dağılışıa uyumuu test edz (α 0.0). H 0 : Verler Posso dağılışıa uymaktadır. H : Verler Posso dağılışıa uymamaktadır. 0 3 4 5 6 Σ G 80 60 30 5 5 0 0 00 B 53. 70.4 46.6 0.6 6.8.8 0.4 00 e P( R r) µ f µ e P ( R 0) e P ( R ) e P ( R ) r. µ r! f.35.35.35 0x80 +... + 6x0.35 00..35 0!..35!..35! 0 0.66 0.35 0.33 0

e P ( R 3) e P ( R 4) e P ( R 5) e P ( R 6).35.35.35.35..35 3! 3..35 4!..35 5! 4 5..35 6! 6 0.03 0.034 0.009 0.00 Bua göre beklee değerler sırası le aşağıdak gb hesaplaır: B 00 x 0.66 53. ; B 00 x 0.35 70.4 ; B 3 00 x 0.03 0.6 ; B 4 00 x 0.034 6.8 ; B 5 00 x 0.009.8 ; B 6 00 x 0.00 0.4; (80 53.) (0 0.4) χ +... + 300.996 olur. 53. 0.4 χ dağılışıda verler herhag br dağılışa uyup uymadığıı test etmek ç k- serbestlk derecese bakılır. Bua göre cetvel değer χ 5.09 dur. ( 7 ),0.0 300.996 > 5.09 olduğuda H 0 hpotez red edlr. Dolayısı le bu verler Posso dağılışıa uymamaktadır. 9.3. Bağımsızlık Test Kaltatf özellk göstere k değşke brbrde bağımsız olup olmadığıı test etmek amacı le bu test kullaılır. Aalz ç aşağıdak k yölü tabloda yararlaılır. j... c Σ G G... G c G. G G... G c G. 0 r G r G r... G rc G r. Σ G. G.... G.c G..

Bağımsızlık testde kullaıla test statstğ aşağıdak formülde hesaplaır. χ olup, Eştlkte; r c ( Gj Bj ) χ ~ χ ( r )( c ), α (9.) B j G j :. sıra j. sütudak gözlee değer, B j :. sıra j. sütudak beklee değer, r : Sıra sayısıı c : Sütu sayısıı göstermektedr. j Bağımsızlık testde eğer k yölü tablo (x) şeklde se aşağıdak formül yardımı le Yates düzeltmes yapılır. Çükü x tabloda serbestlk dereces dr. r c j ( G B 0.5) j j χ ~ χ ( r )( c ), α (9.3) B j Beklee değer se k yölü tabloda yararlaarak aşağıdak şeklde hesaplaır. B Eştlkte; j Gr.. G G G r. : r. Sıra toplamı... c G.c : c. Sütu toplamı G.. : Geel toplamı göstermektedr. Eğer yapıla test soucuda H 0 hpotez reddedlerek H hpotez kabul edlmşse, ya bağımlılık vardır şeklde br yorum yapılmışsa bu taktrde aşağıdak formülde olağalık katsayısı hesaplaır. Bu katsayı k faktör arasıda % olarak e kadarlık br bağımlılık olduğuu da ortaya koymaktadır. C χ χ + (9.4) 03

Örek : Br alada k ağaç çeşdde karıca stlasıa uğrama bakımıda dağılım aşağıdak şeklde bulumuştur. Đstla Uğramış Uğramamış Σ Çeşt A 6 8 B 7 5 3 Σ 9 40 Bua göre karıcaları terch ağaç çeşde bağımlı mıdır? (α0.05) 04 H 0 : Terch ağaç çeşde bağımlı değldr. H : Terch ağaç çeşde bağımlıdır. 8.9 9.3 B 3.8 B 5. 40 40.8.3 B 4. B 6. 8 40 40 r c j ( G B 0.5) j 3.8 0.5 j B j 5 6.8 0.5 ( ) ( ) +... +. 059 3.8 3.84 (Cetvel değer),0.05 6.8.059 < 3.84 olduğu ç H 0 hpotez reddedlemez. O halde karıcaları stlası ağaç çeşde bağımlı değldr. Örek : Br alada br güde yakalaa 376 adet kemrc tarla zararlısıı tür ve yakalama zamaları aşağıdak gb bulumuştur. Yakalama zamaıı türe bağımlı olup olmadığıı kotrol edz (α0.05). Zama 9- -5 5-8 Σ Türler A 0 (.39) 3 (3.58) 7 (4.03) 30 B 30 (7.6) 5 (4.4) (4.97) 37 Σ 50 8 9 67 H 0 : Yakalama zamaları türe bağımlı değldr. H : Yakalama zamaları türe bağımlıdır.

B χ 30.50 67.39 ( 0.39) ( 4.97).39 +... + Cetvel değer χ 5. 99,0.05 4.97 4.60 4.60 < 5.99 olduğuda H 0 hpotez reddedlemez. Öyleyse fareler yakalama zamaları ağaç türüe bağımlı değldr. ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) A orjde 300 bezelye btksde beyaz, dğerler rekl ççekl, B orjde 300 bezelye btksde se 9 beyaz, dğerler rekl bulumuştur. Ççek reg orje bağımlımıdır? (α0.05). ) Herhag br derste 98 ve 98 yılları yaz sıavı döemde başarılı ve başarısızları sayıları tablodak gbdr. Başarılı olup olmamaı bu k yılda bağımsız olduğua dar hpotez kotrol edz (α0.05). Başarılı 98 95 55 98 05 45 Başarısız 3) +8 o C de muhafaza edle 70 elmada 50 s çürük, + o C de muhafaza edle 80 elmada se 0 u çürük bulumuştur. Elmaları çürük veya sağlam olması depolama sıcaklığıda bağımsız mıdır? (α0.05). 4) A, B, C gb üç farklı depolama metoduda belrl süre saklaa 00 er elmada bu süre çde çürüyeler sayısı sırası le 40, 0 ve 50 olarak bulumuştur. Elmaları çürüyüp çürümemes bu depolama metotlarıa bağımlı mıdır? (α0.0). 5) Yed tavuk üç haftalık br sürede aşağıdak mktarlarda yumurta yapmışlardır. Bular arasıdak farklılığı tesadüfte gelmş olma olasılığı edr, bua göre kararıızı belrtz (α0.05). 0,, 3, 5, 6, 9, 4 05

0. REGRESYO VE KORELASYO A ALĐZĐ 0.. Grş Đstatstkte sebep souç şekldek fadeler regresyo ve korelasyo aalz le fade edlr. Öreğ hayvaı yaşı (sebep) süt verm (souç), kş aylık maaşı (sebep) harcaması (souç), gübre (sebep) verm (souç) şeklde lşk vardır. Regresyo ve korelasyo aalzde sebep bağımsız değşke (), souç se bağımlı değşke (Y) fade eder. 0.. Bast Doğrusal Regresyo Model ve Regresyo Aalz Bast doğrusal regresyo model aşağıdak şeklde fade edlr. Y α + β + e (0.) şekldedr. Bu modeldek α ve β parametreler e küçük kareler yötem le tahm edleblr. Modeldek e hata term olup, Σe Y - α - β şeklde yazılablr. E küçük kareler tahm yötem esası, yukarıdak eştlğ her k tarafıı kares alııp toplamasıdır. Bu fadey e küçük yapa a ve b değerler α ve β parametreler tahmler olur. Eğer α ve β ya göre kısm türev alııp sıfıra eştlerse a ve b değerler aşağıdak şeklde tahm edlr (Alpar, 997; Draper ve Smth, 969). S b S S Y S Y Y ( )( Y ) ( ) a Y b olur. 06

Y Y dr. Bua göre regresyo (tahm) deklem; Eştlkte; Y a + b olur. (0.) a: Regresyo doğrusuu Y ekse kestğ oktaı orje ola uzaklığıı gösterr. Dğer br fade le değer 0 olduğuda Y alacağı değerdr. b: Regresyo katsayısı olup, dek brm değşmeye karşılık Y ked brm csde değşeceğ mktardır. Y : Y değşke tahm değerdr. Đstatstkte ^ (şapka) şaret tahm alamıa gelr. a ve b değerler grafk üzerde Şekl 0. dek gb gösterlr. Y Regresyo doğrusu a ) α Y 0 Şekl 0.. Doğrusal Regresyo Grafğ Y b ta α şeklde de hesaplaablr. 07

Örek: 0 öğrec matematk ve statstk dersde aldığı otlar aşağıdak gbdr. Matematk Notu () Đstatstk Notu (Y) 30 35 50 65 70 65 80 93 0 45 5 0 90 00 85 80 40 53 0 a) Regresyo deklem tahm ederek tahm edle parametreler (a ve b) e alama geldğ yorumlayıız. b) Matematk otu 65 ola br öğrec statstk dersde kaç alması bekler? a) S b S S Y Y Y ( )( Y ) (35500 (500) (558) / 0) 7600 08 S ( ) / 3650 (500) / 0 7650 7600 b 0. 993 7650 a Y b Y Y / 558 / 0 55.8 / 500 / 0 50.0

a 55.8 (0.993) (50) 6.7 Bua göre tahm deklem; 6.7 + 0. Đ Y 993 olur. Burada a ve b alamı şu şekldedr; a: Matematkte 0 (sıfır) ala br öğrec statstkte 6.7 alması bekler. b: Matematk otu brm arttığı zama o öğrec statstk otuu 0.993 brm artması bekler. b) Y 6.7 + (0.993)(65) 70. 67 Matematk otu 65 ola br öğrec statstk dersde yaklaşık olarak 7 alması bekler. 0.3. Regresyo Katsayısıı Öem Test ve Güve Aralığı Regresyo katsayısıı statstk olarak öeml olup olmadığıı test etmek amacı le t test kullaılır. Bu test aşağıdak gbdr. Hpotezler; H 0 : β 0 H : β 0 b β t ~ t -, α/ (0.3) S b S b : Regresyo katsayısıı stadart sapmasıdır. Bu değer aşağıdak formülde hesaplaır. S b S S S S YY ( S S Y ) 09

Bua göre regresyo katsayısıı güve aralığı, b alt b t -, α/. S b b üst b + t -, α/. S b (0.4) şekldedr. Örek : 0.. dek öreğ, a) Regresyo katsayısıı güve aralığıı %99 olasılık le hesaplayıız. b) 0.0 öem sevyesde regresyo katsayısıı öem test yaparak yorumlayıız. a) S YY Y (Y) / 3980 (558) / 0 8665.6 S Y 7600 S 7650 olarak hesaplamıştı. S S YY ( S S Y ) 0 7600 8665.6 7650 S 39.4 S b S S 39.4 0.35 7650 Cetvel değer, t 0-, 0.05 3.355 olduğua göre, b alt 0.993 (3.355)(0.35) 0.540 b üst 0.993 + (3.355)(0.35).446 olur. b) H 0 : β 0 H : β 0 0.993 0 t 7.356 0.35 7.356 > 3.355 olduğuda H 0 hpotez red edlr. Bua göre, regresyo katsayısı statstk olarak öemldr (p < 0.0). 0

0.4. a ı Öem Test ve Güve Aralığı a ı öem testde hpotezler aşağıdak şeklde kurulur. H 0 : α 0 H : α 0 a ı öem testde kullaıla statstk t statstğ olup, aşağıdak formülde hesaplaır. a α t ~ t, α / (0.5) S S a a S. S formülüde hesaplaır. a ı güve aralığı se aşağıdak şeklde oluşturulur. a alt a t -,α/.s a a üst a + t -,α/.s a Örek : 0.. dek öreğ, a) a değer %99 luk güve aralığıı oluşturuuz. b) 0.0 öem sevyesde a ı öem test yapıız. (39.4)(3650) a) S a. 7. 74 0 7650 a alt 6.7 (3.355)(7.74) -9.753 a üst 6.7 + (3.355)(7.74) 3.007 olur. b) H 0 : α 0 H : α 0 6.7 0 t 0.794 7.74 0.794 < 3.355 olduğuda H 0 hpotez kabul edlr. Bua göre hesaplaa a değer statstk olarak öemszdr. (p>0.0)

0.5. Korelasyo Katsayısı ve Korelasyo Katsayısıı Öem Test Bağımlı ve bağımsız değşke arası lşk dereces ve yöüü bulmak stedğmzde korelasyo katsayısı (Coeffcet of correlato) hesaplaır. Bu katsayı r le gösterlr ve r + arasıda değşr. Korelasyo katsayısı le lgl özellkler aşağıdak gb sıralaır ve verler serplme dyagramı Şekl 0. dek gbdr. ) Eğer r 0 se, le Y arasıda hç lşk yok demektr. ) Eğer r se, le Y arasıda poztf tam br lşk var demektr. Bu duruma; hep ayı brmde artarke Y de ayı brmde arttığıda, veya hep ayı brmde azalırke Y de ayı brmde azaldığıda karşılaşılır. 3) Eğer r - se, le Y arasıda egatf tam br lşk var demektr. Bu duruma; hep ayı brmde artarke Y değşke hep ayı brmde azalıyorke veya buu ters olduğu durumda karşılaşılır. r 0 r r - Şekl 0.. Korelasyo Katsayısı Đle Đlgl Serplme Dyagramı

Korelasyo katsayısı, (0.6) o lu eştlkte hesaplaablr. r Y (0.6) S Y S S YY S S. S YY Y ( ) ( Y ) Y Y Örek 0. de verle örek ç korelasyo katsayısı hesaplaırsa aşağıdak değerler buluur. S 7650 S Y 7600 S YY 8665.6 r 7600 0.933 7650x8665.6 O halde öğrec matematk otu le statstk otu arasıda %93 lük br lşk vardır. Bulua korelasyo katsayısıı statstk olarak öeml olup olmadığıı ya bulua lşk br alam fade edp etmedğ test edlmes gerekr. Buu ç korelasyo katsayısıı öem test yapılır. Eğer hpotezler, H 0 : δ 0 H : δ 0 şeklde kurulmuş se; r δ t (0.7) ~ t, α / Sr statstğ kullaılır. Test statstğdek S r değer korelasyo katsayısıı stadart sapması olup, aşağıdak formülde hesaplaır. 3

S r r Eğer hpotezler, H 0 : δ δ * H : δ δ * şeklde kurulmuş se; + r + δ l l r Z δ ~ /( 3) Z (0,) (0.8) test statstğ kullaılır. 0.. dek örek ç öem test yapılırsa H 0 : δ 0 H : δ 0 S r 0.933 0 0.7 0.933 0 t 7.346 > t 0.7 8,0.005 3.355 7.346 > 3.355 olduğuda H 0 hpotez reddedlr. Bua göre öğrec matematk otu le statstk otu arasıda bulua %93 lük lşk statstk olarak öemldr (p < 0.0). 0.6. Korelasyo Katsayısıı Güve Aralığı Korelasyo katsayısıı güve aralığı aşağıdak formülde hesaplaır. r alt r t -, α/.s r r üst r + t -, α/.s r (0.9) Bua göre 0.. dek örek ç %99 luk güve aralığı aşağıdak şeklde hesaplaır. 4 r alt 0.933 3.355 x 0.7 0.507 r üst 0.933 + 3.355 x 0.7.359

ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) 0 farklı traktörü yaşları le altı ay çdek bakım harcamaları (TL) aşağıdak şeklde tespt edlmştr. Yaş Harcama.0 50 4.5 90 4.5 495 5.0 790 5.5 050 0.5 95 6.0 800.0 03.0 370.0 680 Bua göre; a) Serplme dyagramıı çzz. b) Traktörü yaşı le bakım harcamaları arasıdak lşk dereces bularak, öem test yapıız (α0.05). c) Traktörü yaşı le bakım harcamaları arasıdak lşk deklem bularak, katsayıları yorumlayıız. d) Regresyo katsayısıı öem test yapıız (α0.05). ) Düşük gelrl kşler arasıda seçle 0 kş aylık gelrler le yyecek ve gym harcamaları arasıdak lşk araştırıldığı br aalzde regresyo deklem Yˆ 7. + 0. 85 olarak hesaplamıştır ΣY 40, ΣY 3700 ve S xy 4.50 olduğua göre a) b öem test yapıız. b) Br şahsı aylık gelr 000 TL olması halde aylık masrafıı e olması bekler. 5

ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ Đ ÇÖZÜMLERĐ. BÖLÜM. a) Đstatstk: Bell br örekleme yötem kullamak suret le populasyoda seçle öreklerde hesaplaa örek değerlere der. b) Parametre: Populasyoda hesaplaa değerlere der. c) Populasyo: Ayı özellğe veya ortak özellğe sahp brmler oluşturduğu topluluğa der. d) Sürekl ver: Br tartım veya ölçüm soucu elde edle verlere der. e) Keskl ver: Br sayım soucu elde edle verlere der.. a) Brm: Br topluluğu oluştura ve celemeye kou ola obje ya da breye der. b) Karakter: Br topluluğu oluştura ve celemeye kou ola obje ya da brey özellklere der. Öreğ, alkol kullama alışkalığı ola kşler csyet, yaşı, eğtm durumu, vb. 3 c) + Y ( x d) k 5 se, 8 + x + x 3 ) + ( y (6 + 8 + 9) + (6 + ) 3 + 8 4 k k( ) 5.(8 ) 35 3. Y ( )( Y ) + y ) [( x4) + ( 8x5) + ( 6x7) + ( 0x) ] ( + 8 + 6 + 0) + ( 4 + 5 + 7 + ) 8 + 40 + 4 + 0 6 + 8 0 78 4. a) x + x + x + x + ) ( 3 4 x5 6 b) x. y + x. y + x y + x. y + x y + x ) ( 3 3 4 4 5 5 6 y6

6 5. a) ( + Y ) b) A B 6. a) Yaş: Kattatf Sürekl Ver b) Doğum Yılı : Kattatf Keskl Ver c) Csyet : Kaltatf d) Boy : Kattatf Sürekl Ver e) Saç reg : Kaltatf f) Hoşladığı sebze : Kaltatf 3 3 3 7. a) + + 3 + 4 30 b) + + 3 36 3 c) + + 3 4 e) [( ) + ( ) + 0 + + ] 0 5 d) 5. 5 f) 7

. BÖLÜM. Öğrec boylarıa at frekas tablosu, Sııf lmtler 50 54 55 59 60 64 65 69 70 74 75 79 80 84 85 89 f j 3 5 3 88 5 Sııf Aralığı 4.65 5 8. Verler Sııfladırılmasıı amacı: a) Çok fazla sayıdak verler özetlemes veya grafk ve şekller çzlmese mkâ sağlaması b) Sııfladırılmış verlerde brtakım statstkler hesaplayarak üzerde durula karakter gösterdğ dağılış hakkıda daha y br fkr vermes ede le kouu daha y alaşılmasıı sağlamaktır. 3. Kşler dakkadak kalp atış sayısıa at frekas tablosu, Sııf lmtler 60 6 63 65 66 68 69 7 7 74 75 77 78 80 8 83 84 86 f j 3 5 5 3 6 7 7 86 60 Sııf Aralığı.89 3 9 4. a) 69.5 de az ot ala öğrec sayısı : 68 b) 9.5 de daha fazla ala öğrec sayısı : 68 8

3. BÖLÜM. a) Med b) Med + c) Med + d) Medya,5 0 78 + 75 +... + 78. 75. 0 0 3. j 6.3 6.8 7.3 7.8 8.3 f j 3 6 3 0 9 80 f j j 8.9 08.8 3.36 56 74.7 59 7.4 4. Med b 40 9 Med 7.05 + x 0.5 3 Med 7.05 + 0.375 Med 7.378 l + N F f m m x c 6 Mod 7.05 + x0.5 6 + Mod 7.336 9

5. t 3 j 3 t j j t j j t ( 5x40 ) + ( 75x60 ) + ( 40x50 ) 50 t 500 50 t 76.67 6. a) Medya kullaılır. Verler çersde aşırı uç değerler var. b) Med 5 7. Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrlemekte, grafkler se verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermektedr. Bu edele gerçek değerler belrleeblmes ç yer ölçüler hesaplamalıdır. 8. Mod ve Medya sııfı Sııflar 6-30 3-35 36-40 4-45 46-50 5-55 56-60 6-65 f j 4 5 3 58 6 30 3 3 j 8 33 38 43 48 53 58 63 -de az(f j ) 4 9 3 90 5 8 84 87 a) 0 f j f j j [( 8x4) + ( 33x5) +... + ( 6x65) ] 87

856 87 45.59 87 + b) Medya Sııfı 94. gözlem olduğu sııf medya sııfıdır. b l 45.5 N 87 F m- 90 f m 6 c 5 87 90 Med 45.5 + x 5 6 Med 45.78 c) b l 45.5 d 3 d 3 c5 Mod 45.5 + Mod 45.94 3 x 5 3 9. a) ( 5 +... + 3) 39 6.5 6 6 b) GO GO 6 6 GO 5.5 5xx... x3 8080

c) 6 HO +... + 5 HO 4.60 3 HO GO 0. l 3 5 f j 0 30 40 0 00 f j j 0 60 0 50 50 f j f j j 50 00.5. Bölge üfusu 7800 ve çoğalma hızı %.5 se, a) P P 0 (+r) 7800P 0 (+0.05) 5 P 0 7800 (.05) 5 P 0 6894 kş b) Nüfus kaç yıl sora 5000 e çıkar. P P 0 (+r) 50007800(+0.05) 5000 7800 (.05).93.05 log.93log.05 log.93 / log.05 6.48 6 yıl.

. Medyaı artmetk ortalamaya terch sebepler şulardır: a) Gözlem değerler çersde aşırı uç değerler varsa artmetk ortalama buda etkler. Ya aşırı uç değerler, artmetk ortalamayı yukarı veya aşağı çeker. Bu da artmetk ortalamaı matık dışı br değerde çıkmasıa ede olur. Halbuk medya, aşırı uç değerlerde etklemez. Bu yüzde gözlem değerler çersde aşırı uç değer varsa medya artmetk ortalamaya terch edlmeldr. b) Açık uçlu frekas tablolarıda sııf değerler hesaplaamaz. Sııf değer hesaplaamadığı ç f j j değer de hesaplaamaz. Bu edele bu tp tablolarda artmetk ortalama hesaplamak mkasızdır. Ye bu durumda medya hesaplamak gerekr. 3

4. BÖLÜM S. D.G. maks m 37 8 9 (8 +... + 37) (8 +... + 37 ) 6 6 5. S S 5. 7.55. D.G. A maks m 8 7 D.G. A maks m 9 0 9 S A (5 +... + 6) (5 +... + 6 ) 8 8.45 S B (0 +... + 9) (0 +... + 9 ) 8 8 3.66 Hag grupta varyasyou daha fazla olduğuu tesptde, bu k dağılış stadart sapma değer terch edlmeldr. Çükü, değşm geşlğ hesaplaırke tüm verler göz öüde tutulmadığıda ver kaybı söz kousudur. Dolayısı le yaıltıcı souç vermes htmal ortaya çıkmaktadır. Burada S > olduğuda B grubuda varyasyo daha fazladır. B SA 3. a) s.08 b) s 4.74 c) s 4.74 d) s 3.9 e) s.73 f) s 0.5 4. S A 0.0> SB 6. 36 olduğuda A fabrkasıda üretle ampuller dayaıklılık süreler 5. Bu soruu cevabı 4. bölüm çersde yer almaktadır. 6. Bu soruu cevabı 4. bölüm çersde yer almaktadır. 7. Varyasyo katsayısı e y dağılış ölçüsüdür. Çükü hem tüm verler dkkate alımakta hem de e göre br düzeltme yapılmaktadır. 4

8. Sııflar f j j f j j f j j 3 ( ) 3-0 3 6.5 49.5 86.75 (6.5-6.45) 3 j ( ) 4 j -977.67 (6.5-6.45) 4 9703.36-8 5 4.5.5 300.5-7.3 3.73 9 36 3.5 65.5 4.0 36.03 37 44 6 40.5 43 984.5 788.34 3945.84 45-5 4 48.5 94 9409 0757.7 37466.77 0 58.5 58 785.0 8779.73 58.5 0 6.45 (58.5) S (3x6.5 +... + 4x48.5 ) 9 0 590.8 4.30 ( γ / 785.0/ 0 3 4.30 3 ) 3 3 σ 0.045 γ 3 > 0 olduğuda gözlem değerler sağa çarpık br dağılışa sahptr. 4 ( ) / 8779.73 / 0 γ 4 3 3.96 4 4 σ 4.30 γ 4 > 0 olduğuda gözlem değerler basık br dağılışa sahptr 9. Gözlem değerler tamamı a gb sabt br sayı le çarpıldığıda ye gözlem değerler varyası, esk gözlem değerler varyasıı a katı kadardır. ye eskl S 5.6 ; a 3 S S xa 5.6x3 50. 4 S ye 50.4 7. olur. 0. 400 ; S 0.50 S S x 0.50x 400 0 5

5. BÖLÜM 5 5 0. a) P ( R 5) 0.5 0.5 0. 035 5 x x Bütü çocukları erkek olma olasılığı %3.5 dr. b) P ( R 3) [ P( R 4) + P( R 5)] 5 4 P ( R 4) 0.5 0.5 0.565 4 x x P ( R 3) [0.565 + 0.035] P ( R 3) 0.875 P ( R 3) 0.85 E fazla üç çocuğu erkek olma olasılığı %8.5 dr.. a) P ( R 3) P( R 0) +... + P( R 3) 0 0 0 P ( R 0) 0.5 0.5 0.00 0 x x 0 9 P ( R ) 0.5 0.5 0.0 x x 0 8 P ( R ) 0.5 0.5 0.045 x x 0 3 7 P ( R 3) 0.5 0.5 0. 3 x x P ( R 3) 0.00+... + 0. 0.76 b) P ( 3 < R < 5) P( R 4) 0 4 6 P ( R 4) 0.5 0.5 0. 4 x x c) P ( R ) [ P( R 0) + P( R )] [0.00+ 0.0] 0.989 d) µ. p 0x0.5 5 σ. p. q 0x0.5x0.5.5 6

3. Bom dağılışı k parametrel br dağılış olup, parametreler µ ve σ dr. Posso dağılışı se, tek parametrel br dağılış olup parametres µ dr. Ayrıca, dağılışı ortalaması ve varyası brbre eşttr. 3 4. a ) P ( R ) x0.80 x0.0 0. 384 3 b) P ( R ) 0.80 0.0 0. 096 x x 5. µ, 00, r 0,,,3 ve daha fazla 0 e x P ( R 0) 0! 0.35 e x P ( R ) 0.7! e x P ( R )! 3 e x P ( R 3) 3! 0.7 0.80 P ( R > 3) [ P( R 0) +... + P( R 3)] P ( R > 3) [0.35 +... + 0.80] P ( R > 3) 0.43 j ( R r) P BF p 0 0.35 4 0.7 7 0.7 7 3 0.80 8 >3 0.43 4 Toplam 00 7

8 6. 3 0 se, 3 r r a 3 3 3 3 0 3 + + + a [ ] 3 3 + + + a 8 a olur. 7. 95 0. 0) ( ) ( R P R P olumalı ~ 4 çocuk sahb 4.3 se, 0.05 0.5 0.95 0.5 0.5 0 x x 8. a ) Hçbr çmlememe olasılığı; 0.0005 0.5 0.85 0 4 0) ( 4 0 x x R P b) ) ( 0) ( [ ) ( + R P R P R P 3 0.5 0.85 4 0.0005 x [ ] 0.048 0.0005 0.988

6. BÖLÜM. ~ (0, 36) se, P ( µ 5 0 > 5) P > σ 6 P ( Z > 0.83) 0.50 + P ( 0.83 < Z < 0) 0.50 + 0.7967 0.967 µ 5 30. P ( < 5) P > σ 5 P ( Z < ) 0.50 P ( < Z < 0) 0.50 0.343 0.587 5 yaş altı kş sayısı 0000*0.587 587 kşdr. 3. { 55, 60, 63, 76, 8} µ Z ; 67 σ ; S. 0 55 67 Z.09 ; Z 0. 64 ; Z 3 0. 36 ; Z 4 0. 8 ;.0 Z 5.7 Z {.09, 0.64, 0.36, 0.8,.7} 4. P ( > k) 0. 08 ; k? ; ~ (.0,6) se, k µ P ( 0 < Z < ) 0.50 0.08 σ 9

k.0 P ( 0 < Z < ) 0.477 4 P ( 0 < Z < k0 ) 0.477 k.0 k 4 0 se, k ( x4) +.0 9.0 5. p 0 x 0.8 8 olduğuda bom dağılışıı ormal dağılışa yaklaşımı yardımı le olasılıklar hesaplaablr. a) (5 0.5) 8 R µ (5 + 0.5) 8 P( R 5) P < < 0x0.8x0. σ 0x0.8x0. P (.77 < Z <.98) P (.77 < Z < 0) P (.98 < Z < 0) 0.497 0.476 0.0 b) (4 + 0.5) 8 P ( R 4) P Z < 0x0.8x0. P ( Z <.78) 0.50 P (.78 < Z < 0) 0.50 0.4973 0.007 6. µ 58; σ 5 a) (50 58) P ( < 50) P Z < 5 P ( Z <.6) 0.50 P (.60 < Z < 0) 30

0.50 0.445 0.0548 b) (60 58) (65 58) P ( 60 < < 65) P < Z < 5 5 P ( 0.40 < Z <.40) P ( 0 < Z <.40) P(0 < Z < 0.40) 0.49 0.554 0.638 c) (45 58) (60 58) P ( 45 < < 60) P < Z < 5 5 P (.60 < Z < 0.40) P (.60 < Z < 0) + P(0 < Z < 0.40) 0.4953 + 0.6507 0.554 d) (6 58) (70 58) P ( 6 < < 70) P zz < 5 5 P ( 0.80 < Z <.40) P ( 0 < Z <.40) P(0 < Z < 0.80) 0.498 0.88 0.037 e) (45 58) (50 58) P ( 45 < < 50) P zz < 5 5 P (.60 < Z <.60) P (.60 < Z < 0) P(.60 < Z < 0) 0.4953 0.445 0.050 3

7. P ( > k) 0.05; µ 75; σ 49 se, µ k 75 P( < ) 0.05 σ 7 P ( Z < a0 ) 0.05 P(0 < Z < a0 ) 0.45 olur. ( k 75) a 0.645 k : (7x.645) + 75 86.5 87 7 Br öğrec lk % 5 te yer alablmes ç e az 87 alması gerekmektedr. 8. Frekas tablosu, Not Öğre c Sayısı Sııf Sıırları j f j j f j j p BFN p 0 3-0.5 4.5 3.5 60.75 0.03 9 09.5 5 0 5 9.5 9.5 4. 7.5 05.5 0.053 3 9 5 4 0 9.5 9.5 4. 49.0 00.5 0.098 5 9 5 30 6 9.5 39.5 34. 07. 74.5 0.46 8 39 5 0 9 40 7 39.5 49.5 44. 3. 386.7 0.78 0 49 5 5 5 4 50 4 49.5 59.5 54. 763. 4783.5 0.79 0 59 5 0 5 60 9 59.5 69.5 64. 580. 3744. 0.40 7 69 5 5 5 0 70 5 69.5 79.5 74. 37. 775. 0.090 5 79 5 5 5 7 80 79.5 89.5 84. 69. 480.5 0.046 3 89 5 0 4 90-89.5 99.5 94. 94.5 8930.5 0.0 99 5 8 Topla 54 63 53303. ~.00 53* m 3 5 *: küsüratlı rakamlarda dolayı 53 bulumuştur. 633 48.76, 54 3

633 S 53303.5 470.0 53 54 se, S. 68 olur. Bua göre, P ( 0.5 < 0.5 48.76 9.5 48.76 < 9.5) P( < Z < ).68.68 P (.7 < Z <.8) P (.7 < Z < 0) P(.8 < Z < 0) 0.4884 0.4649 0.035 BF 54x0.035 9.5 48.76 9.5 48.76 P (9.5 < < 9.5) P( < Z < ).68.68 P (.8 < Z <.35) P (.8 < Z < 0) P(.35 < Z < 0) 0.4649 0.45 0.0534 BF 54x0.0534 3... 89.5 48.76 99.5 48.76 P (89.5 < < 99.5) P( < Z < ).68.68 P (.86 < Z <.34) P ( 0 < Z <.34) P(0 < Z <.86) 0.4904 0.4686 0.08 BF 54x0.08 9. a) P(0 < Z <.3) 0.403 b) P(-0.67 < Z < 0) 0.486 c) P(-0.46 < Z <.86) P(-0.46 < Z < 0) + P(0 < Z <.86) 0.77 + 0.4686 0.6458 d) P(-.96 < Z <.96) P(-.96 < Z < 0) + P(0 < Z <.96) 0.477 + 0.477 0.9544 33

0. ~ (0, 5) se, 34 µ 0 a) P ( > ) P > σ 5 P ( Z > 0.) 0.50 P (0 < Z < 0.) 0.50 0.0793 0.407 µ 4 0 b) P ( < 4) P < σ 5 P ( Z < 0.8) 0.50 + P (0 < Z < 0.8) 0.50 + 0.788 0.88 µ 0 c) P ( > ) P > σ 5 P ( Z > 0.4) 0.50 P (0 < Z < 0.4) 0.50 0.554 0.3446 9 0 µ 9 0 d) P (9 < < 9) P < < 5 σ 5 P ( 0. < Z <.8) 0.0793 + 0.5434 0.464 0 µ 0 0 e) P ( < < 0) P < < 5 σ 5 P ( 0.4 < Z <.0)

0.477 0.554 0.38 5 0 µ 8 0 f) P (5 < < 8) P < < 5 σ 5 P (.0 < Z < 0.4) 0.343 0.554 0.859 5 0 µ 5 0 g) P (5 < < 5) P < < 5 σ 5 P (.0 < Z <.0) 0.343 + 0.343 0.686 µ 6 0 h) P ( < 6) P < σ 5 P ( Z <.) 0.50 + 0.8849 0.3849. ~ (0, 5) se, a) P ( < a) 0. 05 a 0 a 0 P ( Z < ) 0.05 P(0 < Z < ) 0.45' 5 5 dr. a 0 a 0.645 a 8.5' 5 dr. b) P ( > a) 0. 99 0 P ( Z > a ) 0.99 5 35

a 0 a 0 -.33 a.65' 5 dr. c) P ( < a) 0. 50 0 P ( Z < a ) 0.50 5. a 0 a 0 0 a 0' 5 dur. d) P ( a < < 0) 0. 45 a 0 0 0 P ( < Z < ) 0.45 P( a0 < Z < 0) 0.45' 5 5 dr. a 0 a 0.645 a.775' 5 dr. e) P ( 0 < < a) 0. 45 0 0 a 0 a 0 P( < Z < ) 0.45 P(0 < Z < ) 0.45' 5 5 5 a 0 a 0.645 a 8.5' dr. 5 dr. f) P ( a < < 5) 0. 49 a 0 5 0 P ( < Z < ) 0.49 P( a0 < Z < ) 0.49' 5 5 dr. P ( a 0 < Z < 0) + P(0 < Z < ) 0.49 se, P ( a 0 < Z < 0) + 0.343 0.49, P ( a 0 < Z < 0) 0.487 a 0 a 0-0.38 a 8.' 5 dr.. µ p 00 x0.5 50, σ 00x0.5x0.5 5 se, (40 0.5) 50 (60 + 0.5) 50 P (40 < R < 60) P( < Z < ) 5 5 36

P (. < Z <.) xp (0 < Z <.) x0.48 0.964 7. BÖLÜM. σ cm, 5, 60 cm se, µ alt 60 x.96 60 0.784 59.6 5 µ üst 60 + x.96 60 + 0.784 60.784 5 Belrtle üverstedek kız öğrecler boylarıı ortalaması %95 olasılık le 59.6 le 60.784 cm arasıdadır.. s 0 dk, 0, 80 dk se, µ alt 80 0 x.86 80 6.397 73.603 0 µ üst 80 + 0 x.86 80 + 6.397 86.397 0 Đlacı ağrıyı kesme süres ortalama olarak %95 olasılık le 73.603 le 86.397 dk arasıdadır. 3. σ 36, σ 64, 00, 397, 370 se, µ alt 36 + 64 ( 397 370) x.58 7.58 4.4 00 36 + 64 µ üst ( 397 370) + x.58 7 +.58 9.58 00 Üverstelerdek öğrecler ortalama pualarıı farklarıa at güve aralığı %99 olasılık le 4.4 le 9.58 arasıdadır. 37

6 +... + 8 4. 4.8, 0 S (6 +... + 8) (6 +... + 8 ) 9 0 8.6 S 8.6 0 0.93 µ alt µ üst 4.8 (0.93) x.6 4.8.04.696 ~ 3 4.8 + (0.93) x.6 4.8 +.04 6.904 ~ 7 ay ay Üretle pller dayama süres ortalama alarak % 95 olasılık le 3 le 7 ay arasıda değşmektedr. 5. P ˆ 6 0.3, qˆ - 0.3 0.68 se, 50 P alt 0.3x0.68 0.3 x(.96) 0.3 0.9 0.9 50 P üst 0.3x0.68 0.3 + x(.96) 0.3 + 0.9 0.449 50 Trafk sürücüler br yıl çersde kaza yapma oraları % 95 olasılık le %9. le %44.9 arasıda değşmektedr. 6. ˆ 5 ˆ 89 5 + 89 P 0.575, P 0.54, P 0.55, 0.45 00 70 0 q0 00 + 70 se, ( P P ) alt (0.575 0.54) 0.55x0.45x( + ) 00 70 x ( P P ) üst + P üst 0.7 ( P ) 0.05 0.05x.58 0.05 0.34 0.083 0.05 0.34 (.58) Belrtle ırklar le lgl gebelk oralarıı farkıa at % 99 luk güve aralığı %-8.3 le %.7 arasıda değşmektedr. 7. P ˆ 0 0.73, 50 qˆ - 0.73 0.7 se, 38

P alt 0.73x0.7 0.73 x(.96) 0.73 0.07 0.66 50 P üst 0.73x0.7 0.73 x(.96) 0.73 + 0.07 0.80 50 Đyleşme oraı % 95 olasılık le %66 le %80 arasıda değşmektedr. 8. ˆ 90 ˆ 60 90 + 60 P 0.45, P 0.40, P 0.43, 0.57 00 50 0 q0 00 + 50 ( P P ) alt (0.45 0.40) 0.43x0.57x( + ) 00 50 x ( P P ) üst + P üst 0.5 ( P ) 0.05 0.05x.96 0.05 0.0 0.05 0.05 0.0 (.96) se, A ve B şehrlerde kşler araba sahb olma oralarıı farkıa at % 95 lk güve aralığı %-5 le % 5 arasıda değşmektedr. 9. ˆ 0 ˆ 60 0 + 60 P 0.73, P 0.65, P 0.69, 300 400 0 q0 300 + 400 0.3 se, ( P P ) alt (0.73 0.65) 0.69x0.3x( + ) 300 400 x 0.08 0.035x.58 0.05 0.09 0.0 ( P P ) 0.08 + 0.09 ( P P ) üst üst 0.7 (.58) Đk kurs arasıdak olma oralarıı başarı oraları arasıdak farka at % 99 luk güve aralığı %- le % 7 arasıda değşmektedr. 39

0. σ.5 gr, 5, 00 gr se, µ alt 00.5 x.96 00 0.98 00.0 5 µ üst 00 +.5 x.96 00 + 0.98 00.98 5 Paketler ortalama ağırlığı %95 olasılık le 00.0 le 00.98 gr arasıdadır.. P ˆ 3 0.4, qˆ - 0.4 0.59 se, 300 P alt 0.4x0.59 0.4 x(.96) 0.4 0.05 0.36 300 P üst 0.4x0.59 0.4 + x(.96) 0.4 + 0.05 0.46 300 Şehrdek kablolu TV terch oraı % 95 olasılık le %36 le %46 arasıda değşmektedr.. P ˆ 0.6, qˆ - 0.6 0.4 se, 0 P alt 0.6x0.4 0.6 x(.58) 0.6 0.8 0.3 0 P üst 0.6x0.4 0.6 + x(.58) 0.6 + 0.8 0.88 0 Tüm okulu soruya doğru cevap verme oraı % 95 olasılık le %3 le %88 arasıda değşmektedr. 60 +... + 67 3. 63.8, S (60+... + 67) (60 +... + 67 ) 0 5.36 S 53.36.8 40

µ alt µ üst 63.8 (.8) x.8 63.8 4.86 58.3 63.8 + (.8) x.8 63.8 + 4.86 68.04 Plazmadak yağ asd mktarı (mg/00 ml) ortalama alarak % 95 olasılık le 58.3 le 68.04 aralığıdadır. 4. µ alt (40000 45000) (.96) x 5000 77.7 677.7 µ üst (40000 45000) + (.96) x 5000 + 77.7 37.3 3000 40 3000 40 3464 + 60 3464 + 60 Lastkler ortalama dayama süreler farklarıı % 95 lk güve aralığı -677.7 le -37.3 arasıdadır. 4

8. BÖLÜM. H 0 : P P 0 H : P < P 0 P P +.63 0 0.74 0 0.63 +.74 0 + 0 0 + P 0.685 q 0 P0 0.685 0.835 Z H 0 kabul. ( 0.63 0.74) 0.685x0.835 ( + ) 0 0 0.63.74 0.0 0.0657 0.674 < Z 0.05.645 Karar:.part şeker pacarıı şeker çerğ. part şeker pacarıda daha zeg değldr.. H 0 : µ - µ 0 9 4. 44 H : µ - µ 0 3. 60 0 S S.65 S.95 9 0 S S.4 S. 9 S.95 +..6 4

t ( 4.44 3.60) 0.6 + 9 9 0.84 0.763.0 < t 6,0.05. H 0 kabul. Karar: Belrtle koyu ırkıa at dş kuzuları doğum ağırlıkları arasıdak fark statstk olarak öeml değldr. 3. 3 5 S 4 5. 5 S. 67 H 0 : µ - µ 0 H : µ - µ 0 S t x + 3x.67.4 3 + 4 ( 5 5.5) H 0 kabul. 0.5.66 0.904.4 + 3 4 < t 5,0.05 4.03 Karar: Đk çeşde at madalaları ortalama meyve çapları arasıdak fark statstk olarak öeml değldr. 4. µ 60 ay, σ 5ay, 00, 64 ay, α 0.05 H 0 : µ 60 ay H : µ > 60 ay Z 64 60 5 00 4.5.6 < Z 0.05.645 H 0 kabul. Karar: Tedav yötem yaşama süres uzatmamıştır. 5. µ 65, σ 6, 64, 68, α 0.05 H 0 : µ 65 H : µ > 65 43

Z 68 65 6 64 3.5 < Z 0.05.645 H 0 kabul. Karar: Ye öğretm metodu öğrecler başarısıı arttırmamıştır. 6. µ 6 gr, σ 5gr, 5, 56 gr, α 0.05 H 0 : µ 6 gr H : µ 6 gr Z 56 6 6 * < Z 5 3 5 0.05.96 H 0 Red. Karar: Satıcıı getrdğ yumurtalar. kalte olarak teledrlemez. 7. p 0.8, 60, 500, α 0.05 H 0 : P 0.8 H : P 0.8 P 60 500 0.3 q0 0.3 0.7 Z ^ P P0 0.3 0.8 * > Z P0 q0 / 0.8x0.7 500 0.05.645 H 0 Red. Karar: Reklam kampayası gazete satışıı arttırmıştır. 8. 0 70 S 40 0 80 S 50 H 0 : µ - µ 0 H : µ - µ 0 44

S 40 + 50 45 ( 70 80) 0 0 * t 3.33 < t 3 45 + 0 0 8,0.005.0 H 0 Red. Karar: Đlglele özellkler bakımıda A ve B grupları arasıda fark vardır. S A 9. A 9 A 0 S A 4 S A 44 3 S B B 9 B 90 S B 3 S B 8 3 H 0 : µ A - µ B 0 H : µ A - µ B 0 S 44 + 8.5 ( 0 90) 0 30 * t 6 > t 5.5 + 9 9 H 0 Red. 6,0.005. Karar: A ve B muameleler uyguladığı gruplara at ortalamalar arasıda fark vardır. 0. A 4 A 4. 57 S 0. 0005 B 5 B 4. 78 S 0. 0008 H 0 : µ A - µ B 0 H : µ A - µ B 0 S 3x0.0005 + 4x0.0008 0.0007 7 A B 45

( 4.57 4.78) 0 0. * t.676 < t 0.08 0.0007 + 4 5 7,0.05.365 H 0 Red. Karar: Belrtle llerdek sekler ortalama kaat uzulukları arasıda fark vardır.. A 3 A 8. 5 S 0. 5 B 4 B 8. 375 S 0. 40 H 0 : µ A - µ B 0 H : µ A - µ B 0 S t x0.5 + 3x0.40 0.34 5 ( 8.5 8.375) H 0 Kabul. 0 0.34 + 3 4 0.5 0.445 A B 0.8 < t 5,0.005.57 Karar: Belrtle mamaları bebekler beslemes üzere etkler arasıda fark yoktur. A 4 A 83. 75 S 6. 5 B 5 B 90 S. 5 H 0 : µ A - µ B 0 H : µ A - µ B 0 S 3x6.5 + 4x.5 9.8 7 ( 83.75 90) 0 6.5 * t.97 < t.0 9.8 + 4 5 A B 7,0.05.365 H 0 Red. 46

Karar: Belrtle şletmelerdek tavşaları femur kemk uzulukları arasıda fark vardır. 3. A 0 A 350 S 350 B 30 B 3700 S 370 H 0 : µ A - µ B 0 H : µ A - µ B 0 A B Z ( 350 3700) 0 450 * 4.35 < Z 350 370 03.38 + 0 30 0.05.96 H 0 Red. Karar: Belrtle yem karmalarıı süt verm üzere etkler arasıda fark vardır. 4. p 0.07, 6, 0, α 0.05 H 0 : P 0.07 H : P > 0.07 P 6 0 0.3 q0 0.3 0.7 Z ^ P P0 0.3 0.07 * 4.035 > Z P0 q0 / 0.07x0.93 0 0.05.645 H 0 Red. Karar: Üretle ürüü % 7 de fazlası arızalıdır. 5. µ 60, 0, 43, S 7, α 0.0 H 0 : µ 40 H : µ > 40 47

43 40 3 * t 5.07 > t 7 0.59 0 9,0.0.86 H 0 Red. Karar: Det calı ağırlık üzere olumlu etk yapmıştır.. 9. Bölüm. H 0 : Ççek reg orje bağımlı değldr. H : Ççek reg orje bağımlıdır. 340x300 B 70, B 70, B 30, B 30, 600 olarak hesapladığıa göre, ( 70) χ 70 (9 70) + 70 (79 30) + 30 (8 30) + 30 65.9* > 3.84 H 0 Red. Karar: Ççek reg orje bağımlıdır.. H 0 : Öğrecler başarısı yıllara bağımlı değldr. H : Öğrecler başarısı yıllara bağımlıdır. 50x00 B 00, B 50, B 00, B 50, 500 olarak hesapladığıa göre, (95 00) χ 00 (45 50) +... + 50 0.83 < 3.84 48

H 0 Kabul. Karar: Öğrecler başarılı olup olmaması yıllara bağımlı değldr. 3. H 0 : Elmaları çürümes depolama sıcaklığıa bağımlı değldr. H : Elmaları çürümes depolama sıcaklığıa bağımlıdır. 60x70 B 8, B 3, B 4, B 48, 50 olarak hesapladığıa göre, (50 8) χ 8 (70 48) +... + 48 54.0* > 3.84 H 0 Red. Karar: Elmaları çürümes depolama sıcaklığıa bağımlıdır. 4. H 0 : Elmaları çürümes depolama metotlarıa bağımlı değldr. H : Elmaları çürümes depolama metotlarıa bağımlıdır. B 0x00 600 36.7, B 36.7, B 3 36.7, B 63.3, B 63.3, B 3 63.3 olarak hesapladığıa göre, (40 36.7) χ 36.7 (50 63.3) +... + 63.3 5.57* > 5.99 H 0 Red. Karar: Elmaları çürümes depolama metotlarıa bağımlıdır. 5. H 0 : Tavukları yumurtlama mktarları arasıdak fark tesadüfdr. H :Tavukları yumurtlama mktarları arasıdak fark tesadüf değldr. 49

Tavuklar 3 4 5 6 7 G 0 3 5 6 9 4 98 B 4 4 4 4 4 4 4 4 P ler eşt (/7) olduğuda dolayı, B lerde brbre eşt olacaktır. B x98 4 7 olarak hesaplaır. Bua göre, (0 4) χ 4 (4 4) +... + 4 4* > 5.99 H 0 Kabul. Karar: Tavukları yumurtlama mktarları arasıdak fark tesadüfdr. 50

0. BÖLÜM. a) Serplme dyagramı Yaş le Masraf Arasıdak Serplme Dyagramı Bakım Masrafı (TL) 00 000 800 600 400 00 0 0 3 4 5 6 7 Traktörü Yaşı (Yıl) b) Bakım masrafı le traktörü yaşı arasıdak lşk katsayısı; (3)(5753) 33 r 0 0.79 3 5753 4 499059 0 0 H : ρ 0 0 H : ρ 0 0.79 0 t 3.59* > t 0.79 0 H 0 Red. 8,0.05.306 5

Karar: Traktörü yaşı le bakım harcamaları arasıda tahm edle %79 luk lşk statstk olarak öeml bulumuştur (p<0.05). c) Bakım masrafı le traktörü yaşı arasıdak lşk deklem; (3 )(5753 ) 33 0 5753 3 b 8.77 a 8.77 95. 3 3 0 0 4 0 Yˆ 95.3+ 8. 77 Burada a ve b alamı, a: Arabaı yaşı 0 olduğuda br traktörüü bakım masrafı 93.3 TL dr. b: Arabaı yaşı brm arttığıda traktörüü bakım masrafıı 8.77 TL artması bekler. d) H : β 0 0 H : β 0 S se, Y 3703.4, S 39.6, SYY 889358. S 4703.4 889358. 8 39.6 8.77 0 t 3.68* > t 4340.3 39.6 H 0 Red. 4340.3 8,0.05.306 Karar: Tahm edle regresyo katsayısı statstk olarak öeml bulumuştur (p<0.05).. a) H : β 0 0 H : β 0 4.5 b 0.85 S S 40 4.5 S YY 3700 80 S 80 45. 34 0 8 5.9 5.9 5

0.85 0 t 0.9 45.34 5.9 H 0 Kabul. < t 8,0.05.0 Karar:Tahm edle regresyo katsayısı öeml değldr (p<0.05). b) Br şahsı aylık gelr 000 TL olması halde aylık masrafı, ˆ 7. + (0.85) x(000) 707. TL olması bekler. Y Z Cetvel CETVEL Z.00.0.0.03.04.05.06.07.08.09 0.0.0000.0040.0080.00.060.099.039.079.039.0359 0..0398.0438.0478.057.0557.0596.0636.0675.074.0753 0..0793.083.087.090.0948.0987.064.03.03.4 0.3.79.7.93.93.33.368.406.443.480.57 0.4.554.59.68.664.700.736.77.808.844.879 0.5.95.950.985.09.054.088.3.57.90.4 0.6.57.9.34.357.389.4.454.486.57.549 0.7.580.6.64.673.703.734.764.794.83.85 0.8.88.90.939.967.995.303.305.3078.306.333 0.9.359.386.3.338.364.389.335.3340.3365.3389.0.343.3438.346.3485.3508.353.3554.3577.3599.36..3643.3665.3686.3708.379.3749.3770.3790.380.3830..3849.3869.3888.3907.395.3944.396.3980.3997.405.3.403.4049.4066.408.4099.45.43.447.46.477.4.49.407.4.436.45.465.479.49.4306.439.5.433.4345.4357.4370.438.4394.4406.448.449.444.6.445.4463.4474.4488.4495.4505.455.455.4535.4545.7.4554.4564.4573.458.459.4599.4608.468.465.4633.8.464.4649.4656.4664.467.4678.4686.4693.4699.4706.9.473.479.476.473.4738.4744.4750.4756.476.4767.0.477.4778.4783.4788.4793.4798.4803.4808.48.487..48.486.4830.4834.4838.484.4846.4850.4854.4857..486.4864.4868 487.4875.4878.488.4884.4887.4890.3.4893.4896.4898.490.4904.4906.4909.49.493.496.4.498.490.49.495.497.499.493.493.493.4936.5.4938.4940.494.4943.4945.4946.4948.4949.495.495.6.4953.4955.4956.4957.4954.4960.496.496.4963.4964.7.4965.4966.4967.4968.4969.4970.497.497.4973.4974.8.4974.4975.4976.4977.4977.4978.4979.4980.498.498 53

.9.498.498.498.4983.4984.4984.4985.4985.4986.4986 3.0.4987.4987.4987.4988.4988.4989.4989.4989.4990.4990 3..4990.499.499.499.499.499.499.499.4993.4993 3..4993.4993.4994.4994.4994.4994.4994.4995.4995.4995 3.3.4995.4995.4995.4996.4996.4996.4996.4996.4996.4997 CETVEL t Dağılışı α / (Çft Yölü) S.D. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0.05 0.0 0.0 0.58 0.35 0.50 0.77.000.376.963 3.078 6.34.7 3.8 63.66 0.4 0.89 0.445 0.67 0.86.06.386.886.90 4.303 6.965 9.95 3 0.37 0.77 0.44 0.584 0.765 0.978.50.638.353 3.8 4.54 5.84 4 0.34 0.7 0.44 0.569 0.74 0.94.90.533.3.776 3.747 4.604 5 0.3 0.67 0.408 0.559 0.77 0.90.56.476.05.57 3.365 4.03 6 0.3 0.65 0.404 0.553 0.78 0.906.34.440.943.447 3.43 3.707 7 0.30 0.63 0.40 0.549 0.7 0.896.9.45.895.365.998 3.499 8 0.30 0.6 0.399 0.546 0.706 0.889.08.397.860.306.896 3.355 9 0.9 0.6 0.398 0.543 0.703 0.883.00.383.833.6.8 3.50 0 0.9 0.60 0.397 0.54 0.700 0.879.093.37.8.8.764 3.69 0.9 0.60 0.396 0.540 0.697 0.876.088.363.796.0.78 3.06 0.8 0.59 0.395 0.539 0.695 0.873.083.356.78.79.68 3.055 3 0.8 0.59 0.394 0.538 0.694 0.870.079.350.77.60.650 3.0 4 0.8 0.58 0.393 0.537 0.69 0.868.076.345.76.45.64.977 5 0.8 0.58 0.393 0.536 0.69 0.866.074.34.753.3.60.947 6 0.8 0.58 0.39 0.535 0.690 0.865.07.337.746.0.583.9 7 0.8 0.57 0.39 0.534 0.689 0.863.069.333.740.0.567.898 8 0.7 0.57 0.39 0.534 0.688 0.86.067.330.734.0.55.878 9 0.7 0.57 0.39 0.533 0.688 0.86.066.38.79.093.539.86 0 0.7 0.57 0.39 0.533 0.687 0.860.064.35.75.086.58.845 0.7 0.57 0.39 0.53 0.686 0.859.063.33.7.080.58.83 0.7 0.56 0.390 0.53 0.686 0.858.06.3.77.074.508.89 3 0.7 0.56 0.390 0.53 0.685 0.858.060.39.74.069.500.807 4 0.7 0.56 0.390 0.53 0.685 0.857.059.38.7.064.49.797 5 0.7 0.56 0.390 0.53 0.684 0.856.058.36.708.060.485.787 6 0.7 0.56 0.390 0.53 0.684 0.856.058.35.706.056.479.779 7 0.7 0.56 0.389 0.53 0.684 0.855.057.34.703.05.473.77 8 0.7 0.56 0.389 0.530 0.683 0.855.056.33.70.048.467.763 9 0.7 0.56 0.389 0.530 0.683 0.854.055.3.699.045.46.756 30 0.7 0.56 0.389 0.530 0.683 0.854.055.30.697.04.457.750 54

40 0.6 0.55 0.388 0.59 0.68 0.85.050.303.684.0.43.704 60 0.6 0.54 0.387 0.57 0.679 0.848.045.96.67.000.390.660 0 0.6 0.54 0.386 0.56 0.677 0.845.04.89.658.980.358.67 0.6 0.53 0.385 0.54 0.674 0.84.036.8.645.960.36.576 Cetvel CETVEL 3 α S.D. 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.00 0.050 0.05 0.00 0.005 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0.7 3.84 5.0 6.63 7.88 0.0 0.0 0.05 0.0 0. 4.6 5.99 7.38 9. 0.60 3 0.07 0. 0. 0.35 0.58 6.5 7.8 9.35.34.84 4 0. 0.30 0.48 0.7.06 7.78 9.49.4 3.8 4.86 5 0.4 0.55 0.83.5.6 9.4.07.83 5.09 6.75 6 0.68 0.87.4.64.0 0.64.59 4.45 6.8 8.55 7 0.99.4.69.7.83.0 4.07 6.0 8.48 0.8 8.34.65.8.73 3.49 3.36 5.5 7.53 0.09.95 9.73.09.70 3.33 4.7 4.68 6.9 9.0.67 3.59 0.6.56 3.5 3.94 4.87 5.99 8.3 0.48 3. 5.9.60 3.05 3.8 4.57 5.58 7.8 9.68.9 4.73 6.76 3.07 3.57 4.40 5.3 6.30 8.55.03 3.34 6. 8.30 3 3.57 4. 5.0 5.89 7.04 9.8.36 4.74 7.69 9.8 4 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79.06 3.68 6. 9.4 3.3 5 4.60 5.3 6.6 7.6 8.55.3 5.00 7.49 30.58 3.80 6 5.4 5.8 6.9 7.96 9.3 3.54 6.30 8.85 3.00 34.7 7 5.70 6.4 7.56 8.67 0.09 4.77 7.59 30.9 33.4 35.7 8 6.6 7.0 8.3 9.39 0.86 5.99 8.87 3.53 34.8 37.6 9 6.84 7.63 8.9 0..65 7.0 30.4 3.85 36.9 38.58 0 7.43 8.6 9.59 0.85.44 8.4 3.4 34.7 37.57 40.00 8.03 8.90 0.8.59 3.4 9.6 3.67 35.48 38.93 4.40 8.64 9.54 0.98.34 4.04 30.8 33.9 36.78 40.9 4.80 3 9.6 0.0.69 3.09 4.85 3.0 35.7 38.08 4.64 44.8 4 9.89 0.86.40 3.85 5.66 33.0 36.4 39.36 4.98 45.56 5 0.5.5 3. 4.6 6.47 34.38 37.65 40.65 44.3 46.93 6.6.0 3.84 5.38 7.9 35.56 38.89 4.9 45.64 48.9 7.8.88 4.57 6.5 8. 36.74 40. 43.9 46.96 49.65 8.46 3.56 5.3 6.93 8.94 37.9 4.34 44.46 48.8 50.99 9 3. 4.6 6.05 7.7 9.77 39.09 4.56 45.7 49.59 5.34 30 3.79 4.95 6.79 8.49 0.60 40.6 43.77 46.98 50.89 53.67 55

3 4.46 5.66 7.54 9.8.43 4.4 44.99 48.3 5.9 55.00 3 5.3 6.36 8.9 0.07.7 4.58 46.9 49.48 53.49 56.33 33 5.8 7.07 9.05 0.87 3. 43.75 47.40 50.73 54.78 57.65 34 6.50 7.79 9.8.66 3.95 44.90 48.60 5.97 56.06 58.96 35 7.9 8.5 0.57.47 4.80 46.06 49.80 53.0 57.34 60.7 36 7.89 9.3.34 3.7 5.64 47. 5.00 54.44 58.6 6.58 37 8.59 9.96. 4.07 6.49 48.36 5.9 55.67 59.89 6.88 38 9.9 0.69.88 4.88 7.34 49.5 53.38 56.90 6.6 64.8 Cetvel α S.D. 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.00 0.050 0.05 0.00 0.005 39 0.00.43 3.65 5.70 8.0 50.66 54.57 58. 6.43 65.48 40 0.7.6 4.43 6.5 9.05 5.8 55.76 59.34 63.69 66.77 4.4.9 5. 7.33 9.9 5.95 56.94 60.56 64.95 68.05 4.4 3.65 6.00 8.4 30.77 54.09 58. 6.78 66. 69.34 43.86 4.40 6.79 8.96 3.63 55.3 59.30 6.99 67.46 70.6 44 3.58 5.5 7.57 9.79 3.49 56.37 60.48 64.0 68.7 7.89 45 4.3 5.90 8.37 30.6 33.35 57.5 6.66 65.4 69.96 73.7 46 5.04 6.66 9.6 3.44 34. 58.64 6.83 66.6 7.0 74.44 47 5.77 7.4 9.96 3.7 35.08 59.77 64.00 67.8 7.44 75.70 48 6.5 8.8 30.75 33.0 35.95 60.9 65.7 69.0 73.68 76.97 49 7.5 8.94 3.55 33.93 36.8 6.04 66.34 70. 74.9 78.3 50 7.99 9.7 3.36 34.76 37.69 63.7 67.50 7.4 76.5 79.49 5 8.73 30.48 33.6 35.60 38.56 64.30 68.67 7.6 77.39 80.75 5 9.48 3.5 33.97 36.44 39.43 65.4 69.83 73.8 78.6 8.00 53 30.3 3.0 34.78 37.8 40.3 66.55 70.99 75.00 79.84 83.5 54 30.98 3.79 35.59 38. 4.8 67.67 7.5 76.9 8.07 84.50 55 3.73 33.57 36.40 38.96 4.06 68.80 73.3 77.38 8.9 85.75 56 3.49 34.35 37. 39.80 4.94 69.9 74.47 78.57 83.5 86.99 57 33.5 35.3 38.03 40.65 43.8 7.04 75.6 79.75 84.73 88.4 58 34.0 35.9 38.84 4.49 44.70 7.6 76.78 80.94 85.95 89.48 59 34.77 36.70 39.66 4.34 45.58 73.8 77.93 8. 87.7 90.7 60 35.53 37.48 40.48 43.9 46.46 74.40 79.08 83.30 88.38 9.95 6 36.30 38.7 4.30 44.04 47.34 75.5 80.3 84.48 89.59 93.9 6 37.07 39.06 4.3 44.89 48.3 76.63 8.38 85.65 90.80 94.4 63 37.84 39.86 4.95 45.74 49. 77.75 8.53 86.83 9.0 95.65 64 38.6 40.65 43.78 46.59 50.00 78.86 83.68 88.00 93. 96.88 65 39.38 4.44 44.60 47.45 50.88 79.97 84.8 89.8 94.4 98.0 66 40.6 4.4 45.43 48.3 5.77 8.09 85.96 90.35 95.63 99.33 67 40.93 43.04 46.6 49.6 5.66 8.0 87. 9.5 96.83 00.55 68 4.7 43.84 47.09 50.0 53.55 83.3 88.5 9.69 98.03 0.78 69 4.49 44.64 47.9 50.88 54.44 84.4 89.39 93.86 99.3 03.00 70 43.8 45.44 48.76 5.74 55.33 85.53 90.53 95.0 00.43 04. 56

7 44.06 46.5 49.59 5.60 56. 86.64 9.67 96.9 0.6 05.43 7 44.84 47.05 50.43 53.46 57. 87.74 9.8 97.35 0.8 06.65 73 45.63 47.86 5.6 54.33 58.0 88.85 93.95 98.5 04.0 07.86 74 46.4 48.67 5.0 55.9 58.90 89.96 95.08 99.68 05.0 09.07 75 47. 49.48 5.94 56.05 59.79 9.06 96. 00.84 06.39 0.9 76 48.00 50.9 53.78 56.9 60.69 9.7 97.35 0.00 07.58.50 77 48.79 5.0 54.6 57.79 6.59 93.7 98.48 03.6 08.77.70 Cetvel α S.D. 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.00 0.050 0.05 0.00 0.005 78 49.58 5.9 55.47 58.65 6.48 94.37 99.6 04.3 09.96 3.9 79 50.38 5.7 56.3 59.5 63.38 95.48 00.75 05.47.4 5. 80 5.7 53.54 57.5 60.39 64.8 96.58 0.88 06.63.33 6.3 8 5.97 54.36 58.00 6.6 65.8 97.68 03.0 07.78 3.5 7.5 8 5.77 55.7 58.84 6.3 66.08 98.78 04.4 08.94 4.69 8.73 83 53.57 55.99 59.69 63.00 66.98 99.88 05.7 0.09 5.88 9.93 84 54.37 56.8 60.54 63.88 67.88 00.98 06.39.4 7.06.3 85 55.7 57.63 6.39 64.75 68.78 0.08 07.5.39 8.4.3 86 55.97 58.46 6.4 65.6 69.68 03.8 08.65 3.54 9.4 3.5 87 56.78 59.8 63.09 66.50 70.58 04.8 09.77 4.69 0.59 4.7 88 57.58 60.0 63.94 67.37 7.48 05.37 0.90 5.84.77 5.9 89 58.39 60.93 64.79 68.5 7.39 06.47.0 6.99.94 7. 90 59.0 6.75 65.65 69.3 73.9 07.57 3.5 8.4 4. 8.30 9 60.00 6.58 66.50 70.00 74.0 08.66 4.7 9.8 5.9 9.49 9 60.8 63.4 67.36 70.88 75.0 09.76 5.39 0.43 6.46 30.68 93 6.63 64.4 68. 7.76 76.0 0.85 6.5.57 7.63 3.87 94 6.44 65.07 69.07 7.64 76.9.94 7.63.7 8.80 33.06 95 63.5 65.90 69.9 73.5 77.8 3.04 8.75 3.86 9.97 34.5 96 64.06 66.73 70.78 74.40 78.73 4.3 9.87 5.00 3.4 35.43 97 64.88 67.56 7.64 75.8 79.63 5. 0.99 6.4 3.3 36.6 98 65.69 68.40 7.50 76.6 80.54 6.3. 7.8 33.48 37.80 99 66.5 69.3 73.36 77.05 8.45 7.4 3.3 8.4 34.64 38.99 00 67.33 70.06 74. 77.93 8.36 8.50 4.34 9.56 35.8 40.7 0 68.5 70.90 75.08 78.8 83.7 9.59 5.46 30.70 36.97 4.35 0 68.97 7.74 75.95 79.70 84.8 0.68 6.57 3.84 38.3 4.53 57

Kayaklar Akar, M. ve Şahler, S., 993. Đstatstk. Ç.Ü. Zraat Fakültes Geel Yayıları, No: 74. Adaa. Akdez, F., 984. Olasılık ve Đstatstk. Akara Üverstes, Fe Fakültes Yayıları, No: 38. Akara. Alpar, R., 997. Uygulamalı Çok Değşkel Đstatstksel Yötemlere Grş. Akara. Baska, Ş., 993. Uygulamalı Đstatstk. Ege Üverstes, Fe Fakültes Yayıları, No: 50. Đzmr. Bek, Y., Akar, M. ve Kayaalp, G.T., 996. Đstatstk Uygulama Ktabı (Soru Bakası). Gazosmapaşa Üverstes, Zraat Fakültes Ders Notları Sers. Tokat. Clarke, G.M. ad Cooke, D., 983. A Basc Course Statstc Secod Edto. Dxo, W.J. ad Massey, F.J., 969. Itroducto to Statstcal Aalyss. Mc. Graw-Hll. New York. Droper, N.R. ad Smth, N., 969. Appled Regresso Aalyss. J. Wley ad Sos Ic. New York. Đkz, F., Püskülcü, H.V. ve Ere, Ş., 969. Đstatstğe Grş. Ege Üverstes Basımev, Đzmr. Mead, R. ad Curow, R.N., 983. Statstcal Method Agrculture ad Expermetal Bology. Chapma Hall. Lodo. Soysal, M.Đ., 983. Bometr Prespler. Trakya Üverstes, Tekrdağ Zraat Fakültes Yayıları, No: 95. Tekrdağ. Sübüloğlu, K. ve Sübüloğlu, V., 997. Bostatstk. Akara. Yıldız, N. ve Brca, H., 99. Uygulamalı Đstatstk. Atatürk Üverstes, Zraat Fakültes Yayıları, No: 704. Erzurum. 58

59