ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ SI IFLA DIRILMASI VE GRAFĐKLER 8.. Grş 8.. Sürekl Verler Sııfladırılması 8.3. Eklemel (Yığmalı) Frekaslar.4. Keskl Verler Sııfladırılması 3.5. Sürekl Verlere At Grafkler 4.6. Keskl Verlere At Grafkler 5.7. Eklemel (Yığmalı) Frekaslara At Grafkler 5 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6 3. YER ÖLÇÜLERĐ 8 3. Grş 8 3.. Artmetk Ortalama 8 3...Artmetk Ortalamaı Özellkler 9 3... Frekas Tablosuda Artmetk Ortalamaı Hesaplaması 0 3.3. Medya (Ortaca Değer) 3.3. Frekas Tablosuda Medya Hesabı 3.4. Mod (Tepe Değer) 4 3.5. Artmetk Ortalama, Medya ve Mod Arasıdak Đlşk 5 3.6. Tartılı Ortalama 6 3.7. Geometrk Ortalama 8 3.7.. Geometrk Ortalamaı Özellkler 9 3.8. Harmok Ortalama 30 3.8.. Frekas Tablosuda Harmok Ortalamaı Hesaplaışı 3 3.8.. Harmok Ortalamaı Özellkler 3 3.9. Artmetk, Geometrk ve Harmok Ortalama Arasıdak Đlşk 3
3.0. Karel Ortalama 3 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 33 4. DAĞILIŞ ÖLÇÜLERĐ 35 4. Grş 35 4.. Değşm Geşlğ (Rage) 35 4.3. Ortalama Mutlak Sapma 36 4.4. Varyas ve Stadart Sapma 37 4.4.. Varyası Özellkler 40 4.5. Stadart Hata 4 4.6.Varyasyo Katsayısı 4 4.7. Eğrlk Katsayısı (Skewess) 45 4.8.Dklk Katsayısı (Kurtoss) 46 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 47 5. KESĐKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI 49 5.. Grş 49 5.. Bom Dağılışı 49 5.3. Posso Dağılışı 53 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 54 6. SÜREKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI 56 6.. Grş 56 6. Normal Dağılış 56 6.3. Stadart Normal Dağılış 57 6.4. Normal Dağılış Đle Đlgl Đşlemler 6 6.5. Bom Dağılışıı Normal Dağılışa Yaklaşımı 65 6.6. Posso Dağılışıı Normal Dağılışa Yaklaşımı 66 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 67 7. GÜVE ARALIKLARI 70 7.. Grş 70 7.. Populasyo Ortalamasıı (µ) Güve Aralığı 70 7.3. Đk Ortalama Arasıdak Farka At Güve Aralığı 73 7.4. Oralara At Güve Aralığı 75 7.5. Oraları Farkıa At Güve Aralığı 77 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 79 8. HĐPOTEZ TESTLERĐ 8 8.. Grş 8 8.. Hpotez Testde Đzleecek Yollar 8 8.3. Hata tpler ve Test Gücü 83 8.4. Populasyo Ortalaması Đle Đlgl Hpotez Test 83
8.5. Ortalamalar Arası Farka At Hpotez Test 86 8.6. Oralara At Hpotez Test 89 8.7. Oraları Farkıa At Hpotez Test 9 8.8. Eşl Karşılaştırma Yötem 93 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 96 9. KHĐ KARE A ALĐZĐ 99 9.. Grş 99 9.. Uyum Đylğ Test 99 9.3. Bağımsızlık Test 0 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 05 0. REGRESYO VE KORELASYO A ALĐZĐ 06 0.. Grş 06 0.. Bast Doğrusal Regresyo Model ve Regresyo Aalz _ 06 0.3. Regresyo Katsayısıı Öem Test ve Güve Aralığı 09 0.4. a ı Öem Test ve Güve Aralığı 0.5. Korelasyo Katsayısı ve Korelasyo Katsayısıı Öem Test 0.6. Korelasyo Katsayısıı Güve Aralığı 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 5 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ Đ ÇÖZÜMLERĐ 6 Z Cetvel 53 t Dağılışı 54 Cetvel 55 Kayaklar 58
. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş Gülük hayatta, ster byolojk sterse sosyal olsu tüm olaylar statstğ lgledrr. Öreğ havaı yağışlı olup olmaması htmal, pazarda yapıla bell br alışverş mktarıı buluması, yıllara göre üfus artışı, yapıla bell br aket araştırmasıı grafklerle gösterm, zraatte kullaıla k farklı lacı etklğ test edlmes brer statstktr. Bugüü blm düyasıda statstk br temele veya yöteme dayadırılmaya br araştırma rağbet görmemektedr. Bu edele; yapıla her araştırmada mutlaka statstk br yötem kullaılmalıdır. Bu bölümde statstkte temel teşkl ede kavramlar üzerde durulacaktır... Đstatstk Đstatstğ çeştl ktaplarda brçok taımı mevcuttur. Bu kısımda bu taımlarda sadece üçü üzerde durulacaktır. Đstatstğ brc taımı, belrl br araştırmada toplaa sayısal değerler le, bu sayısal değerlerde yararlaarak çzle şekl ve grafklerdr. Öreğ; üfus sayımı, seçmlerde öce yapıla aket çalışmaları, şszlk oraı, okur yazar oraı gb. Đstatstğ kc taımı, temel matematkte ala blm dalıa verle addır. Bu edele statstk, matematk le yakıda lşkldr. Yapıla araştırmalarda göstermştr k matematk temel y ola br öğrec statstk dersde de başarılı olmuştur. Đstatstğ üçücü taımı, bell br örekleme yötem kullamak suret le populasyoda seçle öreklerde hesaplaa örek değerlere der. Bzm ç öeml ola üçücü ve so taımdır. Dğer k taım klask taımdır. Üçücü taımda dkkat edlrse k kavram vardır. Populasyo ve Örek. Bu kavramlar bu bölümü dğer kısımlarıda alatılacaktır. Đstatstkler Lat harfler le gösterlrler.
.3. Populasyo Ayı özellğe veya ortak özellğe sahp brmler oluşturduğu topluluğa populasyo der. Öreğ btk populasyou, öğrec populasyou, hayva populasyou, ççek populasyou, memur populasyou gb (Akar ve Şahler, 993). Populasyolarda geel alamda alt populasyolarda oluşablr. Öreğ balık populasyou deldğ zama bu geel br kavramdır. Acak bu populasyou br alt populasyou olarak Alabalık populasyou veya Saza populasyou deldğde alt populasyolar da taımlamış olur..4. Örek Araştırmaya kou ola br populasyoda, bell br örekleme yötem kullaılarak populasyou temsl edeblecek büyüklükte seçle, daha az sayıda brmler oluşturduğu topluluğa örek der. Seçle öreğ mutlak surette populasyou temsl etmes ve bell br örekleme yötem le alıması gerekr..5. Brm Br topluluğu oluştura ve celemeye kou ola obje ya da breye brm der. Üverstede brm; öğretm üyes, öğrec, devlet daresde brm; memur, hayvacılık deemesde brm; hayva, tarla deemesde brm; parsel, aket çalışmasıda brm; kşlerdr..6. Parametre Populasyoda hesaplaa değerlere parametre der. Parametreler Grek harfler le gösterlr. Öreğ β (populasyoa at regresyo katsayısı), σ (populasyou stadart sapması), α, µ, δ, brer parametredr. Populasyo N Örek Parametre Đstatstk Pop. Ortalaması (µ) Örekleme Örek Ortalaması Pop. Varyası Yötem Örek Varyası
.7. Değşke Bell br sembolle gösterle ve sembolü değer sürekl değşe fadelere değşke der. Değşkeler, Y, Z, K, L, M gb alfabe büyük harfler le gösterlr. Buları elemaları se x, y, z, k, l, m gb küçük harfler le gösterlr. { x, x,..., x } gb..8. Ver ve Ver Tpler Đstatstkte toplaa verler güvelrlğ büyük öem arz eder. Çükü statstkç eldek verlerde yararlaarak tahmde buluur. Tahm güvelrlğ başlıca şu hususlara bağlıdır: a) Araştırıcıı dürüstlüğüe, b) Yapıla ölçümü hassasyete, c) Deeme sağlıklı yürütülmese, d) Uygulaa matematk model ve yötem doğruluğua. Eldek kullaıla ver doğruluğuu yaıda seçlecek yötem belrlemesde de ver yapısı öem taşır. Verler, kaltatf ve kattatf olmak üzere kye ayrılır. Kaltatf Verler: Rakamla fade edlmeye verlere kaltatf verler der. Öreğ saç reg, göz reg, mede durum, kş sgara çp çmemes. Bu tp verler daha zyade aket yoluyla elde edle verlerdr. Bu tp verlere daha zyade parametrk olmaya statstk yötemler kullaılır. Öreğ, Kh Kare (χ ) dağılışı bu yötemlerde br taesdr. Kattatf Verler : Rakamla fade edle verlere der. Bular ked aralarıda keskl ve sürekl ver olmak üzere kye ayrılır. a) Keskl Ver : Br sayım soucu elde edle verlere der. Bu tp verler Bom dağılışı, Posso dağılışı, Beroull dağılışı, Negatf bomyal dağılış, Hpergeometrk dağılış, Uform dağılış gb dağılışlarda bre sahptr. Öreğ aledek çocuk sayısı, br sadıktak elma sayısı, br ülke üfusu keskl telkte br verdr. Bu tp verlerde sııflar brbrde kes olarak ayrılmıştır. 3
b) Sürekl Ver: Br tartım veya ölçüm soucu elde edle verlere sürekl ver der. Br kş yaşı, boyu, klosu sürekl verdr. Bu tp verlerde sııflar arasıda dama br geçş söz kousudur. Sürekl verler; Normal dağılış, F dağılışı, Gamma dağılışı, Beta dağılışı, Düzgü dağılış, Cauchy dağılışı, Üstel dağılışlarda brs gösterr..9. Toplama Sembolü Đstatstkte toplama sembolü Σ şaret le gösterlmekte olup, statstk formüller yazılmasıda büyük kolaylık sağlar. Öreğ; x + x +... + x term kısaca; şeklde de fade edleblr. Toplama Sembolüü Özellkler ) ve Y değşkeler toplamı, buları ayrı ayrı toplamlarıa eşttr. Σ( + Y ) Σ + ΣY Örek : {, 3, }, Y {, 7, 6 } se, Σ( + Y ) ( x + y ) + (x + y ) + ( x 3 + y 3 ) ( + ) + ( 3 + 7 ) + ( + 6 ) 0 Σ x + x + x 3 + 3 + 6 ΣY y + y + y 3 + 7 + 6 4 Σ + ΣY 6 + 4 0 4
) ve Y değşkeler farklarıı toplamı, buları ayrı ayrı toplamlarıı farklarıa eşttr. Σ( - Y ) Σ - ΣY Örek : {, 3, }, Y {, 7, 6 } se, Σ( - Y ) ( x - y ) + (x - y ) + ( x 3 - y 3 ) ( - ) + ( 3-7 ) + ( - 6 ) 0-4 - 4-8 Σ x + x + x 3 + 3 + 6 ΣY y + y + y 3 + 7 + 6 4 Σ - ΣY 6 4-8 3) ve Y değşkeler çarpımlar toplamı, bu değşkeler ayrı ayrı toplamlarıı çarpımıa eşt değldr. Σ Y Σ ΣY Örek : {, 3, }, Y {, 7, 6 } se, Σ Y x. y + x. y + x 3. y 3. + 3. 7 +. 6 + + 34 Σ 6 ΣY 4 34 6. 4 5
4) k sabt br sayı se, sabt sayı toplama sembolüü öüde yazılablr. Σk k Σ dr. Örek : k ve {, 7, 6, 4 } se, Σ k k. x + k. x + k. x 3 + k. x 4. +. 7 +. 6 +. 4 + 4 + + 8 36 k Σ k. (x + x + x 3 + x 4 ) ( + 7 + 6 + 4 ) 36 5) k sabt br sayı olmak üzere 5 k.k dır. Örek : k 3 ve 5 se, 5 k 3 3 + 3+ 3+ 3 + 3 5 veya, 5 3 3. 5 5 dr. ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Aşağıdak termler kısaca açıklayıız. a) Đstatstk b) Parametre c) Populasyo d) Sürekl ver e) Keskl ver 6
) Aşağıdak termler taımlayıız. a) Brm b) Karakter c ) { 6, 8, 9 }, Y { 6,, 3, 5 } se, 3 + Y d) k 5 se, 8 k?? 3) {, 8, 6, 0 }, Y { 4, 5, 7, } se, Σ.Y (Σ ). (ΣY ) olduğuu gösterz. 4) Aşağıda verle toplamları termler yazıız. 5 a) b) jy j? 6 j 5) Aşağıdak fadeler toplama şaret kullaarak yazıız. a) ( x + y ) + ( x + y ) +... + ( x 6 + y 6 ) b) a b + a b +... + a b 6) Aşağıda salar ç verle değşkelerde hagler kaltatf veya kattatf, hagler keskl veya sürekl ver olduğuu belrtz (Bek ve ark., 996). a) Yaş b) Doğum yılı c) Csyet d) Boy e) Saç reg f) Hoşladığı sebze 7) Aşağıdak eştlkler gösterz. 4 a) 3 30 b) 3 4 r 36 c) / 3/ r 5 d) 5 e) 0 f) 7
. VERĐLERĐ SI IFLA DIRILMASI VE GRAFĐKLER.. Grş Đstatstkte bell br deemede veya aket çalışmasıda elde edle blerce rakama bakarak o deeme hakkıda yorum yapmak oldukça zordur. Öreğ, üverste sıavıa gre 5000 öğrecye at pualar olsa ve bze delse k Bu öğreclerde kaç taes puaı 40 u üzerdedr? bzm bu soruya aıda cevap vermemz mümkü değldr. 5000 öğrec çde puaı 40 u üzerde olaları seçp, buları sayısıı tespt ettkte sora bu soruya cevap vermemz lazımdır. Verle bu örek dar kapsamlıdır. Buu kapsamıı geşlettğmzde 5000 öğrec pualarıı ortalaması, stadart sapması gb değşk statstkler de ş çe grecektr k bu kouyu daha da karmaşıklaştırır. Tab drek bu tp ham verlerle de belrtle statstkler hesaplaablr. Acak bu hem matematk şlemler zorluğu hem de rakam sayısı fazlalaştıkça hesap hatası yapma htmal yükseklğ edeyle zordur. Bell br araştırma souda elde edle ham verler tablo hale getrlmese frekas tablosu adı verlr. Frekas tablosua bakarak yukarıdak br çok soruya cevap vermek daha kolay olacaktır (Mead ve Curow, 983). Frekas tablosu, sııf lmtler ve frekaslara at sütularda oluşa br tablodur. Frekas tablosuda buu harcde başka sütularda (sııf sıırı, sııf değer, de az, de çok eklemel frekaslar v.b.) yer alır. Acak bu özellkler frekas tablosuu oluşturmazlar. Bular daha zyade çeştl statstkler hesaplamasıda kullaılır. Buları kullaımları ler k bölümlerde ayrıtılı olarak alatılacaktır... Sürekl Verler Sııfladırılması Sürekl verler taımı, brc bölümde ayrıtılı olarak alatılmıştı. Bu tp verlere at frekas tablosuu oluşturulmasıda aşağıdak yol zler. a) Verler küçükte büyüğe doğru sıralaır. Acak bu durum keyfdr, sıralama yapılmasa da olur. 8
b) Sııf sayısıa karar verlr. Sııf sayısı, geel br kural olmamakla brlkte 5 te az 5 te fazla tavsye edlmez. Sııf sayısıa karar verrke herhag br sııfa e az gözlem değer düşmese dkkat etmek gerekr. Eğer sııfları bre hç gözlem düşmemşse sııf sayısıı azaltmak gerekr. Ayrıca sııf sayısıa karar verrke dkkat edlecek dğer br husus ham verler tamamıı frekas tablosuu çerse dahl olması gerekr. Eğer bu şart sağlaamıyorsa, sııf sayısı arttırılır. c). sııfı alt lmt değer öyle seçlmeldr k ham verler çersdek e küçük değer,. sııfı alt ve üst sııf lmtler arasıda yer alsı. d) So sııfı üst lmt değer öyle seçlmeldr k ham verler çersdek e büyük değer, so sııfı alt ve üst sııf lmtler arasıda yer alsı. e) Sııf aralığı aşağıdak formülde hesaplaır: Sııf Aralığı max m Sııf Sayısı f) Sııf aralığı hesapladığıda, vrgülde sorak 5 ve daha yukarı haeler ç br üste tamamlaır, 5 altıdak değerler ç se br alt değer alıır. Öreğ, sııf aralığı.85 se sııf aralığı 3 alıır,.36 se alıır. Böyle yapılmasıı sebeb, hesaplamaları kolay olması açısıdadır. Eğer şlemler daha hassas olması steyorsa sııf aralığıı gerçek değer de alıablr. Örek : Br grup öğrec geel yeteek testde aldığı pualar aşağıdak gbdr: 5, 3, 44, 6, 3, 63, 56, 38, 47, 45, 73, 7, 74, 76, 73, 6, 34, 7, 48, 5, 57, 44, 4, 4 brc sııfı alt lmt 5 olmak üzere 9 sııflı br frekas tablosu düzeleyz. 76 5 Sııf Aralığı 5.67 ~ 6 9 (.) 9
Sııflar f 5-30 3 3-36 3 37-4 3 43-48 5 49-54 55-60 6-66 67-7 73-78 + 4 4 Yukarıda yapıla frekas tablosua bazı eklemeler yapmak mümküdür. Acak yapıla bu eklemeler, frekas tablosu olarak adladırılamaz. Bular daha öcede de zah edldğ gb bazı statstkler hesaplamasıda ve grafkler çzlmesde yardımcı ola blglerdr. Şmd bu ek sütuları oluşturulması ayı örek üzerde zah edlecektr. Sııf Sıırı : Sııf sıırı hesaplaırke öce. sııfı alt sııf lmt le (5),. sııfı üst sııf lmt (36) ortalaması alıır, bu değer. sııfı üst sııf sıırı olarak yazılır. Bu değerde sııf aralığı (6) çıkarılarak. sııfı alt sııf sıırı buluur. E so şlem. sııfı alt ve üst sııf sıırlarıa sııf aralığı ekleerek dğer sııfları sııf sıırları bulumuş olur. Bu söylele fadeler uygulaırsa sııf sıırları, aşağıdak şeklde oluşturulur: Sııf sıırları 4.5-30.5 30.5-36.5 36.5-4.5 4.5-48.5 48.5-54.5 54.5-60.5 60.5-66.5 66.5-7.5 7.5-78.5 0
Sııf değer( ) :. sııfı alt ve üst lmt değerler ortalaması alıarak,. sııfı sııf değer buluur. Bu değere sııf aralığı ekleerek dğer sııfları sııf değer bulumuş olur. 7.5 33.5 39.5 45.5 5.5 57.5 63.5 69.5 75.5 alt + üst 5 + 30 7. 5 sb frekas (N ) : Nsb frekas aşağıdak eştlkte hesaplaır: Eştlkte : k f N :. sııfı sb frekası, f :. sııfı frekası, k f f : toplam frekası gösterr. (.) Yüzde frekas (Y ): hesaplaır : Yüzde frekas aşağıdak formülde Y (%) N. 00 (.3) Bua göre ayı şeklde sb ve yüzde frekaslar aşağıdak tablodak gbdr:
N Y (%) 0.5.5 0.5.5 0.5.5 0.083 0.83 0.047 4.7 0.0833 8.33 0.0833 8.33 0.047 4.7 +0.667 +6.67.0000 00.00 Örekte görüldüğü gb sb frekaslar toplamı dama, yüzde frekaslar toplamı da dama 00 dür..3. Eklemel (Yığmalı) Frekaslar Bu tp frekaslar -de daha az ve -de daha çok şeklde frekaslar olup, bell br sııf sıırıda az veya bell br sııf sıırıda çok frekasları fade etmek ç kullaılır. Öreğ verle örekte geel yeteek puaı 30.5 de az kaç öğrec var deldğde buu cevabı 3 tür. Ayı şeklde geel yeteek puaı 4.5 ta çok kaç öğrec var deldğde se buu cevabı se 4 tür. Bua göre -de az ve -de çok eklemel frekaslar oluşturulurke -de az da üst sııf sıırları krter alıır ve frekaslar toplaarak dğerler buluur, -de çok eklemel frekaslar ç se alt sııf sıırları krter alıır,. sııfı -de çok eklemel frekası toplam frekastır; bu frekasta dğer sııfları frekasları çıkarılarak dğer sııfları -de çok eklemel frekasları buluur. Bu söylee fadeler verle öreğe uyguladığıda eklemel frekaslar aşağıdak gb olur.
Çzelge.. Sürekl Verlere At Frekas Tablosu Sııflar f (sııf değ) Sııf sıırları -de az -de çok N Y (%) 5-30 3 7.5 4.5-30.5 3 4 0.5.5 3-36 3 33.5 30.5-36.5 6 0.5.5 37-4 3 39.5 36.5-4.5 9 8 0.5.5 43-48 5 45.5 4.5-48.5 4 5 0.083 0.83 49-54 5.5 48.5-54.5 5 0 0.047 4.7 55-60 57.5 54.5-60.5 7 9 0.0833 8.33 6-66 63.5 60.5-66.5 9 7 0.0833 8.33 67-7 69.5 66.5-7.5 0 5 0.047 4.7 73-78 4 75.5 7.5-78.5 4 4 0.667 6.67 Σ 4.0000 00.00.4. Keskl Verler Sııfladırılması Keskl verler,. Bölümde taımladığı gb saymak suret le elde edle verlerdr. Bu tp verlerde sııflar arasıda br sürekllk olmadığı ç, bu tp verlere at frekas tablosuda sııflar, sııf sayısı ve sııf değerler otomatk olarak belldr. Bu tp verlere at frekas tablosuu oluşturulması örek üzerde zah edlmştr. Örek : 30 gülük peryot çersde köyde şehre otobüsle seyahat ede saları sayısı aşağıdak gbdr. 6,3,,7,4,0,5,,3,,6,,4,4,3,0,5,,,,4,3,5,,4,6,3,0,7, Bu verlere at frekas tablosu aşağıdak şeklde oluşturulur. Verler çersde e küçük değer 0 ve e büyük değer 7 dr. O halde sııflar 0 le 7 arasıda değşecektr. 3
Sııflar f N Y (%) 0 3 0.0 0 3 0.0 0 6 0.0 0 3 5 0.7 7 4 5 0.7 7 5 3 0.0 0 6 3 0.0 0 7 0.07 7 Σ 30.00 00.5. Sürekl Verlere At Grafkler Sürekl verler ya hstogram grafğde yada frekas polgo grafğde gösterlrler. Hstogram grafğ, eksede sııf sıırlarıı Y eksede se frekasları yer aldığı br grafkte oluşur. Frekas polgou se eksede sııf değerler Y eksede frekasları kesştğ oktalarda oluşur. Verle örekte hstogram grafğ ve frekas polgouu çzm aşağıdak gbdr. Şekl. Hstogram ve Frekas Polgou Grafğ Sııf sıırları 4
Şekl.. de görüldüğü gb hstogram grafğ dkdörtgelerde oluşmaktadır. Bu dkdörtgeler orta oktaları brleştrldğde se frekas polgou elde edlmektedr. Dkdörtgeler orta oktalarıı brleştrlmes ede, k sııf sıırıı orta oktası alıdığıda sııf değer elde edlr. Ayrıca hstogram grafğde dkdörtgeler arası açık kalmaktadır. Bu da sürekl verlerde sııflar arasıda br sürekllk olduğuu göstermektedr..6. Keskl Verlere At Grafkler Keskl verler, çubuk dyagram grafğde gösterlrler..4. kısmıdak öreğe at frekas tablosu le lgl çubuk dyagram grafğ aşağıda verlmştr. Şekl..Çubuk Dyagram Grafğ Şekl.. ye bakıldığı zama çubuklar arasıda br açıklık görülmektedr. Bu da keskl verlerde sıırları brbrde kes br hat le ayrıldığıı göstermektedr..7. Eklemel (Yığmalı) Frekaslara At Grafkler Bu tp grafkler çzlrke eksede sııf sıırları, Y eksede se eklemel frekaslar yer alır. Bu oktaları kesştğ yerler brleştrlerek -de az ve -de çok eklemel frekas grafğ elde edlr. -de az eklemel frekas eğrs arta br foksyodur, dğer se azala br foksyodur. 5
Çzelge.. de yararlaarak eklemel frekas grafğ çzldğde Şekl.3. tek grafk elde edlr. F j Şekl.3. Eklemel (Yığmalı) Frekas Grafğ Sııf sıırları ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Br üverstede rastgele seçle 0 erkek öğrec boyları (cm) aşağıdak gb bulumuştur. 5,56,6,66,70,75,80,86,57,63,67,7,76,8,88, 64,68,73,68,68 Brc sııfı alt sııf lmt 50 olmak üzere 8 sııflı br frekas tablosu düzeleyz. 6 ) Verler sııfladırılmasıı geel amacı edr, kısaca açıklayıız. 3) Aşağıda 40 kş dakkadak kalp atış sayısı verlmştr. 85,70,7,6,80,6,73,74,86,84,63,60,64,66,7,83,86,85,8,80,7, 73,66,69,78,77,84,85,83,8,8,83,7,76,7,77,80,8,80,79 a). Sııfı alt sııf lmt 6 olmak üzere 9 sııfı br frekas tablosu yapıız b) Hstogram grafğ çzz.
4) Đstatstk ders fal sıavıa at frekas tablosu aşağıda verlmştr. Pua Öğrec sayısı 0-9 0-9 5 0-9 30-39 3 40-49 6 50-59 3 60-69 7 70-79 4 80-89 90-99 a) 69.5 de daha az ot ala, b) 9.5 de daha fazla ot ala öğrecler sayısıı buluuz. 7
3. YER ÖLÇÜLERĐ 3. Grş Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr..bölümdek Şekl.. e bakıldığı zama hstogram grafğde verler e fazla yığıldığı okta 4.5 le 48.5 değerler arasıda olduğu görülecektr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr, tahmdr. Bu yüzde gerçek değerler ç yer ölçüler hesaplamalıdır (Clarke ve Cooke, 983). 3.. Artmetk Ortalama E bast yer ölçüsüdür. sayıdak gözlem değer artmetk ortalaması, bu gözlem değerler toplamıı toplam gözlem sayısıa bölümes le bulua değerdr. değşke artmetk ortalaması le, Y değşke artmetk ortalaması Y le gösterlr. x + x +... + x Örek: { 5,6,,4,3} se artmetk ortalama, 5 + 6 + + 4 + 3 4 tür. 5 (3.) Artmetk ortalamaı brm, gözlem değerler brm le ayıdır. Öreğ gözlem değerler kg le fade edlyor se hesaplaa artmetk ortalamaı brm de kg, cm le fade edlyor se artmetk ortalamaı brm de cm dr. Artmetk ortalama fades ayı zamada ortalama olarak da adladırılır. 8
9 3...Artmetk Ortalamaı Özellkler ) Gözlemler artmetk ortalamada farklarıı toplamı sıfıra eşttr. ( ) 0 Đspat: ( ) x olduğuda olur. Bu değer eştlkte yere yazılırsa; 0 olur. ) Gözlemler artmetk ortalamada sapmalarıı kareler toplamı mmumdur. ( ) mmum veya ( ) ( ) < A dr. Örek: { } 5,6,,4,3 ve A olsu. 4 olarak hesaplamıştı. Bua göre; ( ) 0 5 ( ) 30 5 A Dolayısı le 0<30 olur.
3) Gözlem değerlerde A gb sabt br sayı çıkartılıp ye değşkee at gözlem değerler elde edlse, ye değşke ortalaması esk değşke ortalamasıda çıkartıla sayı kadar azalır. Y A se Y A olur. Örek: {5, 6,, 4, 3} se, değşke tüm gözlem değerlerde gb br değer çıkartıp, Y değşke elde ettğmzde Y değşke ortalaması e olur? Y {3, 4, 0,, }, 4 olarak daha öcede hesaplamıştı. Y 4 olur. 4) Gözlem değerler tamamıa A gb sabt br sayı eklep ye değşkee at gözlem değerler elde edlse, ye değşke ortalaması esk değşke ortalamasıda eklee sayı kadar artar. Y A se + Y + A olur. Örek : { 5, 6,, 4, 3 } se değşke tüm gözlem değerlere gb br değer ekleyp, Y değşkee at gözlem değerler elde ettğmzde Y değşke ortalaması e olur? Y { 7, 8, 4, 6, 5 } Y + A 4 + 6 3... Frekas Tablosuda Artmetk Ortalamaı Hesaplaması Frekas tablosuda artmetk ortalama aşağıdak formülde hesaplaır (Clarke ve Cooke, 983). k j j k f. j f j j (3.) Eştlkte; : değşkee at ortalamayı k: sııf sayısıı, 0
f j : j.sııfı frekasıı, j : j. Sııfı sııf değer gösterr. Örek:. bölümde oluşturula Çzelge.. dek frekas tablosua at artmetk ortalama hesaplaacaktır. Çzelge 3.. Frekas Tablosuda Artmetk Ortalama Hesaplaması j f j f j j 7.5 3 8.5 33.5 3 00.5 39.5 3. 45.5 5. 5.5. 57.5. 63.5. 69.5. 75.5 4. Σ 4 94 k j f. k j j f j j 94 4 49.75 3.3. Medya (Ortaca Değer) Küçükte büyüğe doğru sıralamış verlerde tam ortada yer ala değere medya der. Örek: a), 6,, 4, 5, 7, 9 se, medyaı bulmak ç öcelkle bu sayılar küçükte büyüğe doğru sıralaır.,, 4, 5, 6, 7, 9 Ortadak değer 5 olduğu ç medya 5 tr. b), 7, 9, 3, 6, 8, 8, 3 se, 3, 3, 6, 7, 8, 8, 9 6 + 7 Medya 6.5 tur.
O halde küçükte büyüğe doğru sıralamış verlerde, a) Tek sayıdak gözlem değer ç medya, +. gözlem değer b) Çft sayıdak gözlem değer ç medya, ( ) + (( + ) ). gözlem değerdr. Medyaı artmetk ortalamaya terch sebepler şulardır: ) Gözlem değerler çersde aşırı uç değerler varsa artmetk ortalama buda etkler. Ya aşırı uç değerler, artmetk ortalamayı yukarı veya aşağı çeker. Bu da artmetk ortalamaı matık dışı br değerde çıkmasıa ede olur. Halbuk medya, aşırı uç değerlerde etklemez. Bu yüzde gözlem değerler çersde aşırı uç değer varsa medya artmetk ortalamaya terch edlmeldr. ) Açık uçlu frekas tablolarıda sııf değerler hesaplaamaz. Sııf değer hesaplaamadığı ç f j j değer de hesaplaamaz. Bu edele bu tp tablolarda artmetk ortalama hesaplamak mkasızdır. Ye bu durumda medya hesaplamak gerekr. 3.3. Frekas Tablosuda Medya Hesabı Frekas tablosuda medya hesaplamak ç aşağıdak formülde yararlaılır. ( Fm ) Med b L +. c (3.3) f m b L : Medya sııfıı buluduğu sııfı alt sııf sıırıı, N : Toplam frekası, F (m-) : Medya sııfıda br öcek sııfı de az eklemel frekasıı, f m : Medya sııfıı frekasıı, c : Sııf aralığıı göstermektedr.
Medya sııfı buluurke toplam frekası br fazlası ye bölüür, çıka değer de az eklemel frekas sütuuda ereye düşüyorsa o değer buluduğu sııf, medya sııfıdır. Örek: Çzelge 3.. dek frekas tablosuda medya hesaplaacaktır. Çzelge 3.. Frekas Tablosuda Medya Hesabı Sııf sıırları f j -de az 4.5-30.5 3 3 30.5-36.5 3 6 36.6-4.5 3 9 4.5-48.5 5 4 48.5-54.5 5 54.5-60.5 7 60.5-66.5 9 66.5-7.5 0 7.5-78.5 4 4 Σ 4 4 + Medya Sııfı. 5. le 3. gözlem değer buluduğu sııf medya sııfıdır. Bu gözlem değerlere (. le 3.) de az eklemel sütuuda bakılır. Bu sütuda, 4 ü buluduğu sııf medya sııfıdır. Bua göre; b l 4.5 N 4 F (m-) 9 f m 5 c 6 dır. (4 9) Med 4.5 +.6 46. 5 3
3.4. Mod (Tepe Değer) Br gözlem grubuda e çok tekrarlaa değere mod (tepe değer) der. Örek: a) 3,, 4,, 6,, 4,,, 3,, 7 se, Mod dr. b) 3,, 4,, 6,, 4,, 4, 7, 8 se Mod dr. Mod 4 tür. c) 4, 6,,, 5, 8, 7, 9 se Mod yoktur. Çükü tüm gözlem değerler sadece kez tekrarlamıştır. 3.4..Frekas Tablosuda Modu Hesaplaması Frekas tablosuda mod, aşağıdak formülde hesaplaır. d Mod bl +. c (3.4) ( d + d ) Eştlkte; b L : Modu buluduğu sııfı alt sııf sıırıı, d : Mod sııfıı frekası le br öcek sııfı frekası arasıdak farkı, d : Mod sııfıı frekası le br sorak sııfı frekası arasıdak farkı, c : Sııf aralığıı göstermektedr. Mod sııfı, frekas tablosuda frekası e yüksek ola sııftır. Örek: Çzelge 3.. dek frekas tablosua at mod değer aşağıdak şeklde hesaplaır. Mod sııfı, sııf sıırıı 4.5 le 48.5 değer arasıda yer aldığı sııftır. Çükü frekası e yüksek (5) ola sııf, bu sııftır. Bua göre çözüm; 4
b L 4.5 c 6 d 5-3 d 5-4 d Mod bl +. c 4.5 +. 6 ( d + d ) ( + 4) 44.5 tur. 3.5. Artmetk Ortalama, Medya ve Mod Arasıdak Đlşk ) Eğer Med Mod se dağılışı şekl smetrktr. Medya Mod Şekl 3.. Smetrk Dağılış ) Eğer > Med > Mod se dağılışı şekl, sağa çarpıktır. Mod Medy. Şekl 3.. Sağa Çarpık Dağılış 3) Eğer < Med < Mod se dağılışı şekl, sola çarpıktır. Medy. Mod Şekl 3.3. Sola Çarpık Dağılış 5
Çzelge 3..dek frekas tablosuda yararlaarak 49.75, Med 46., Mod 44. 5 olarak hesaplamıştı. Bua göre dağılış sağa çarpık br dağılıştır. Bu durum, Şekl 3. de de görülmektedr. 3.6. Tartılı Ortalama Kaltatf karakterlerdek verler, kategork olarak sııfladırılablr. Kategork sııfladırmada her sııfı ortalamaya katkısı eşt derecede olmayablr. Eğer burada drekt ortalama hesaplaırsa yaıltıcı olur. Öreğ br öğrec mezu olucaya kadar aldığı dersler düşüelm. Fzk kred, Kmya 3 kred, T.Dl kred, Hayva Islahı 4 kred, ve Đstatstk 3 kred, Tarım Ekooms 3 kred v.s. öğrec mezu olduğuda ot ortalaması (mezuyet ortalaması) hesaplamak stese tartılı ortalama hesaplamalıdır. Çükü bazı dersler haftalık kreds saat, bazı derslerk se saat, 3 saat, 4 saattr. Kreds saat ola ders ortalamaya etks le 4 saat olaık eşt değldr. Tartılı ortalamaı brm gözlem değerler brm olup, aşağıdak formülde hesaplaır. t k j j k t. j t j j (3.5) t : değşke tartılı ortalamasıı, t j : j. sııfı tartısıı, j : j. sııfı sııf değer, k : sııf sayısıı göstermektedr. 6
Örek: Br öğrec br döemde aldığı dersler, dersler kreds ve bu derslerde geçme otları aşağıda verlmştr. t Bua göre öğrec ot ortalamasıı buluuz? Dersler Kreds ( t j ) Notlar ( j ) t j. A 60 0 B 3 75 5 C 90 90 D 4 65 60 E 5 95 475 Σ 5 70 k j t. k j j t j j 70 5 78 Eğer burada artmetk ortalama hesaplamış olsa d 60 +... + 95 77 5 olacaktı k bu ortalama öğrec gerçek ortalaması olmayıp, farklı br souç elde edlmese ede olacaktı. Örek: Pazarda klosu 80.000 TL de kg domates, 70.000 TL de kg patlıca, 00.000 TL de 3 kg şeftal ala br kş ortalama kaç TL ödemştr? j t Alıalar kg ( t j ) Fyatı ( j ) TL t j. Domates 80.000 60.000 Patlıca 70.000 70.000 Şeftal 3 00.000 300.000 Σ 6 530.000 k j t. k j j t j j 530000 6 88333.33 j 7
8 3.7. Geometrk Ortalama Geometrk ortalama, herhag br öreğ meydaa getre gözlem değer çarpımlarıı toplam gözlem sayısıı. derecede kökü le hesaplaır. Bua göre geometrk ortalama; GO x. x... x Eştlkte, (3.6) GO: Geometrk ortalamayı, : Gözlem değerler, : Gözlem sayısıı göstermektedr. Bu formülde az sayıdak gözlemler geometrk ortalaması hesaplaablr. Acak çok fazla sayıda gözlem değer olduğuda bu formülle hesaplama yapmak zor olduğu ç aşağıdak formülde yararlaılır. log GO log x. x... x Bu formül geel olarak; log GO log şeklde de yazılablr. Örek:3, 5, 6,, 7 sayılarıı geometrk ortalamasıı buluuz. log formülüde GO log x. x... x 5 5 loggo log 3.5.6..7 60 4.694 olur, veya log GO log formülüde de aşağıdak şeklde hesaplaablr. log GO (log3 +... + log 7) / 5 log GO 0.60074 Bu değer atlogartması alıdığı zama geometrk ortalama hesaplaır.bua göre, GO 4.694 olarak hesaplaır. Geometrk dzlerde brleşk faz formülüde yararlaarak dzdek artış hızı da aşağıdak formülde hesaplaablr.
P ) P0 ( + r (3.7) Eştlkte; : Yıl sayısıı, P :. yıl soudak ye kaptal, P 0 : Kaptal mktarıı, r : Artış hızıı göstermektedr. Örek: Türkye üfusu 990 yılıda 50 mlyo ke 996 yılıda 60 mlyo olmuştur. Bu yıl çde üfusu ortalama artış hızı e olmuştur? P P ( r) 0 + 6, P 0 50 mlyo, P 6 60 mlyo, r? 60 50( + r) ( + r ) 6 6 60 / 50 ( + r ).0309 r.0309 r 0.0309 veya %3.09 luk br artış olmuştur. 3.7.. Geometrk Ortalamaı Özellkler ) Gözlem değerler çersde 0 veya egatf br değer olduğu zama geometrk ortalama hesaplaamaz. Çükü sıfır ve egatf br değer karekökü ve logartması alıamaz. ) Br öreğ oluştura gözlemler geometrk ortalaması, gözlemler logartmalarıı artmetk ortalamasıı atlogartmasıdır. 3) Gözlemler arasıdak değşmler ayı oralarda veya ayı mktarda olursa buluacak ortalama geometrk ortalamadır. 4) Geometrk ortalamaı. kuvvet alıdığı zama termler çarpımıı verr. 9
5) Artmetk ortalamada ( ) 0 özellğe karşılık geometrk ortalamada, x / GO)( x / GO)...( x / GO) lşks vardır. ( 3.8. Harmok Ortalama d/t şekldek fadelerde d sabt t değşke se harmok ortalama hesaplaır. Yol /Zama fadesde yol sabt, zama değşkedr. Ye para/mal öreğde eğer para sabt, mal değşke se harmok ortalama hesaplaır. Harmok ortalama aşağıdak formül yardımı le hesaplaır. HO + +... + x x HO Eştlkte; (/ ) olur. veya (3.8) x HO : Harmok ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı, : değşkee at. gözlem değer göstermektedr. Örek: Patates br şehrde. yıl fyatı 0.000 TL,.yıl 5.000TL, 3.yıl 3.000TL ve 4.yıl 40.000 TL olmuştur. Bu şehrde patates ortalama fyatı kaç TL dr? Burada mal sabt (patates) fyat değşkedr. Dolayısıyla harmok ortalama hesaplaması gerekr. HO (/ ) 30
4 HO 7. 350TL + + + 0000 5000 3000 40000 O halde bu şehrde patates 4 yıllık ortalama fyatı 7.350 TL dr. 3.8.. Frekas Tablosuda Harmok Ortalamaı Hesaplaışı Sııfladırılmış verlerde harmok ortalama, aşağıdak formülde hesaplaır. HO f x HO k j Eştlkte; ( f f + x / j j ) f +... + x HO : Harmok ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı veya toplam frekası, j : j.sııfı sııf değer, k: Sııf sayısıı, f j : j. Sııfı frekasıı göstermektedr. k k veya (3.9) HO Örek: Çzelge 3. e at harmok ortalamayı hesaplayıız. 3 7.5 4 +... + 4 75.5 4 0.5375 44.65 3.8.. Harmok Ortalamaı Özellkler ) Br öreğe at gözlemlerde br sıfır olduğu zama, harmok ortalama hesaplaamaz. Çükü souç taımsızdır. ) Gözlemlerde br veya brkaçı ters şaretl se harmok ortalama alamsız souç verr. Bu gb durumlarda da harmok ortalama hesaplaamaz. 3
3.9. Artmetk, Geometrk ve Harmok Ortalama Arasıdak Đlşk sayıdak poztf sayıı geometrk ortalaması, artmetk ortalamada küçük veya eşt fakat harmok ortalamada büyük veya eşttr. Bua göre bu üç ortalama arasıda H. O G. O şeklde br bağıtı vardır. Örek: { 3,,6, } 4 GO log 3..6. 36 değerler 4 4 HO +... + 3.449 3 + + 6 + 3 olup, aralarıda 4 <.449 < 3 şeklde br lşk vardır. 3.0. Karel Ortalama Karel ortalamayı, br öreğe at gözlemler kareler artmetk ortalamasıı karekökü şeklde taımlamak mümküdür. Bua göre karel ortalamaı formülü, KO + + +... / şeklde gösterlr. (3.0) Sııfladırılmış verlerde se karel ortalama aşağıdak formülde hesaplaır. KO f +... + f j j f j j / (3.) Eştlkte; KO : Karel ortalamayı, f j : j. sııfı frekasıı, j : j. sııfı sııf değer, 3
: Toplam gözlem sayısıı göstermektedr. Örek: 4,, 6, 7, değerlere at karel ortalamayı hesaplayıız? 4 +... + KO. 4.604 tür. 5 Örek: Çzelge 3. e at karel ortalamayı hesaplayıız. KO (3).(7.5) +... + (4)(75.5) 4 5.9 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Aşağıdak gözlem değerlerde medyaı hesaplayıız. a), 5, 33, 4, b), 6, 6, 47, 9 c) 7, 8, 4,, 9, 3,, 5,,6 d) 34, -, 6, 0,, -, 0,, 7, ) 8 yaşıdak 0 öğrec boyları 78, 73, 75, 8, 79, 7, 69, 75, 73, 78, cm olduğua göre boy ortalamasıı hesaplayıız. 3) Aşağıdak frekas tablosuda artmetk ortalamayı hesaplayıız. Sııflar 6.-6.5 6.6-7.0 7.-7.5 7.6-8.0 8.-8.5 f 3 6 3 0 9 4) 3. sorudak frekas tablosuda yararlaarak medya ve mod değer hesaplayıız. 6) Br ş yerde çalışa şçler 3 kategorde (usta, kalfa, çırak) yer almaktadır. Bu ş yerde bu kategorde yer ala şçler sayısı ve haftalık ücretler aşağıdak gbdr. Bua göre bu ş yerde bu şçlere haftada ortalama e kadar ücret ödemektedr? 33
Đşç Sııfı Çalışa Đşç Sayısı Haftalık Ödee Ücret(x000 TL) Usta 40 500 Kalfa 60 7500 Çırak 50 4000 7) Al dü doğum güü partsdeyd. Partde bulua saları yaşları 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 33, 38, 40 olduğua göre ortalama yaşı bulmak ç, a) Hag tp yer ölçüsü kullaılır. Nç? b) Đlgl yer ölçüsüü kullaarak ortalamayı hesaplayıız. 8) Yer ölçülere ç htyaç duyulur, kısaca açıklayıız? 8) Btkler boyları (mm) le lgl frekas tablosu aşağıdak gb oluşturulmuştur. Sııflar 6-30 3-35 36-40 4-45 46-50 5-55 56-60 6-65 f j 4 5 3 58 6 30 3 3 a) Artmetk ortalamayı, b) Medyaı, c) Modu hesaplayıız. 9) {5,, 4, 6, 9, 3}sers, a) Artmetk ortalamasıı, b) Geometrk ortalamasıı, c) Harmok ortalamasıı buluuz ve souçları karşılaştırıız. 0) 00 adet sayıı 40 ı üç, 30 u k, 0 s br, 0 u 5 tr. Bu sayıları ortalamasıı buluuz. ) Br bölgede 7800 üfus vardır. Çoğalma hızı %.5 olduğua göre; a) 5 yıl öcek üfus e kadardır? b) Nüfus kaç yıl sora 5000 e çıkar? ) Medya hag durumlarda artmetk ortalamaya terch edlr, açıklayıız. 34
4. DAĞILIŞ ÖLÇÜLERĐ 4. Grş Buda öcek bölümde yer ala yer ölçüler verler merkez belrledğ belrtlmşt. Acak, yer ölçüler verler dağılışı ve şekl belrtmede yetersz kalmaktadır. A sııfıda rastgele seçle 5 erkek öğrec ağırlık ortalamasıı 50 kg ve B sııfıda rastgele seçle 30 erkek öğrec ağırlık ortalamasıı da tesadüfe de olsa 50 kg olduğuu varsayalım. Burada A sııfıdak varyasyo mu (farklılık) daha fazladır, B sııfıdak varyasyo mu daha fazladır,şeklde br soru yöeltlse hesaplaa ortalama (yer ölçüsü) bua cevap veremez. Halbuk bu soruu cevabıı acak dağılış ölçüler le alablrz. Dağılış ölçüler, br ver grubudak varyasyou belrlemede veya k ver set gösterdkler varyasyo bakımıda karşılaştırmada kullaıla statstklerdr (Yıldız ve Brca, 99). 4.. Değşm Geşlğ (Rage) Değşm geşlğ, br ver setde e yüksek değerle e küçük değer arasıdak farka der. D. G. (4.) maks m Örek: {, 5,, 6, 7, 3, 9, 4} se değşm geşlğ hesaplayıız. D.G 3- olur. Değşm geşlğ, e bast ve e klask br dağılış ölçüsüdür. Bua karşılık değşm geşlğ bazı dezavatajlı yöler de vardır. Bular: a) Đk grup varyasyo bakımıda karşılaştırılmak stese tesadüfe de olsa ayı değşm geşlğe sahp olablrler. Bu da grupları varyasyo bakımıda karşılaştırılmasıda yaıltıcı souç verr. b) Ye grupları varyasyo bakımıda karşılaştırılmasıda eğer gruplarda eşt sayıda gözlem değer yoksa hesaplaa değşm geşlkler bz yaıltablr. 35
c) Değşm geşlğ hesaplaırke tüm verler göz öüde tutulmamaktadır. Bu da ver kaybıa ede olur. 4.3. Ortalama Mutlak Sapma sayıdak gözlem değer ortalama mutlak sapması, bu gözlem değerler her br ortalama sapmalarıı mutlak değer ortalaması alıarak hesaplaır. O. M. S (4.) Eştlkte; O.M.S : Ortalama mutlak sapmayı, : değşkee at. gözlem değer, : değşkee at artmetk ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı göstermektedr. Örek: {3, 6,, 4,, 8}değerlere at ortalama mutlak sapmayı hesaplayıız. 36 3 +... + 8 4 6 3 4 +... + 8 4 O. M. S 6 6 Ortalama mutlak sapmaı brm, gözlem değerler brmdr. Ya gözlem değerler brm kg se ortalama mutlak sapmaı brm de kg dır, cm se bu statstğ brm de cm dr. Frekas tablosuda ortalama mutlak sapma hesaplamak stese, aşağıdak formül kullaılır. k O. M. S f (4.3) Eştlkte; j O.M.S : Ortalama mutlak sapmayı, j j
k: Sııf sayısıı, f j : j. sııfı frekasıı, j : j. sııfı sııf değer, : değşkee at artmetk ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı veya toplam frekası göstermektedr. Örek: Çzelge 3.. dek frekas tablosua at ortalama mutlak sapmayı hesaplayıız. 49.75olarak hesaplamıştı. Bua göre; 3 7.5 49.75 +... + 4 75.5 49.75 335 O. M. S 3.958 4 4 4.4. Varyas ve Stadart Sapma Gözlemler ortalamada sapmalarıı kareler ortalamasıa varyas der. Varyası brm yoktur. Öreğ gözlemler brm kg se varyası brm olarak kg dedğmzde br alam fade etmez. Populasyo varyası Bua göre; σ, örek varyası se S le gösterlr. ( µ) σ, (4.4) S ( ) dr. Uygulamada çok fazla gözlem değer olduğuda yukarıdak formülü kullamak zor olduğu ç bu formül aşağıdak şeklde kısaltılarak kullaılablr. ( ) ( + ) 37
38 + + ( ) ( ) + ( ) olur. O halde örek varyası kısaca aşağıdak gb yazılablr. ( ) S (4.5) Örek: { },4 6, 5, 4, se örek varyasıı hesaplayıız. Σ 4 6 5 5 6 36 4 96 3 77. 5 (3) 77 5 S Frekas tablosuda varyas hesaplamak stedğde aşağıdak formül kullaılır. j j j j j f f S ) ( veya
S Eştlkte; k f k j f j j S : Örek varyasıı, f j : j. sııfı frekasıı, k: sııf sayısıı, j j k j k f j j j : j. sııfı sııf değer göstermektedr. f j j (4.6) Örek: Çzelge 3. dek frekas tablosua at varyası hesaplayıız. S f j f j j f j j 7.5 3 8.5 68.75 33.5 3 00.5 3366.75 39.5 3.. 45.5 5.. 5.5.. 57.5.. 63.5.. 69.5.. 75.5 4.. Σ 4 94 6568 94 6568 4 4 70.77 Stadart sapma, varyası kareköküdür. Varyas, tek başıa br alam fade etmedğ ç ve brm olmadığı ç stadart sapma hesaplaır. Stadart sapmaı brm vardır. Gözlem değerler brm eyse stadart sapmaı brm de odur. Stadart sapma, populasyo ç σ le örek ç S le gösterlr. σ σ S S dr. 39
Örek: { 4, 5, 6,,4} hesaplayıız. değerlere at stadart sapmayı Bu öreğe at varyas ( S ) daha öcede. olarak hesaplamıştı. Bua göre stadart sapma, S. 4.604 olur. 4.4.. Varyası Özellkler ) Tek br gözlem değere at varyas hesaplaamaz. ) Eğer gözlem değerler heps brbr ayı se aralarıda br varyasyo (farklılık) olmadığı ç varyas ye sıfır olur. Örek: { 4, 4, 4, 4} se S 0 dır. 3) Gözlem değerler hepse a gb sabt br sayı eklerse varyası değer değşmez, esks le ayı kalır. Y a se + S olur. y S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerler tamamıa 3 gb sabt br sayı ekledğzde elde edle Y değşkee at varyas e olur? Daha öcede değşkee at varyas. olarak hesaplamıştı. O halde Y değşke varyası da. olur. Y Y 7 49 8 64 9 8 5 5 7 89 Σ 46 508 S 46 508 5 5. 4) Gözlem değerler hepsde a gb sabt br sayı çıkartılırsa, ye elde edle değşke varyası değşmez, esks le ayı kalır. 40
Y a se, S y S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerlerde gb sabt br sayı çıkartıldığıda elde edle Y değşkee at varyas e olur? S y S x S y. 5) Gözlem değerler heps a gb sabt br sayı le çarpılırsa, ye elde edle değşke varyası esksde a değer le çarpımı kadar değşr. Y a. se S a y. S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerler tamamı gb br değerle çarpıldığıda elde edle Y değşke varyası e olur? S a y. S x S y 4x. 84.8 6) Gözlem değerler heps a gb sabt br sayıya bölüdüğü zama, elde edle değşke varyası esksde /a kadar değşr. Y / a. se S olur. y / a. S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerler tamamı gb sabt br sayıya bölüdüğüde elde edle Y değşke varyası e olur? Y / a. d S y / 4.. 5.3 4.5. Stadart Hata Đstatstkte hesaplaa her statstk değer mutlaka hatası da hesaplamalıdır. Çükü hesaplaa statstkler, tahm br değer olduğu ç mutlaka hataları da vardır. 4
Stadart hatalar, lerde 8. ve 9. bölümlerde alatılacak ola gerek güve aralıklarıı oluşturulmasıda gerekse hpotez testler yapılmasıda kullaılacaktır. Stadart hata, populasyo ve örek ç aşağıdak formüllerde hesaplaır. Eştlklerde; σ σ (4.7) x / S x S / dr. σ : Populasyoa at stadart hatayı, σ : Populasyo varyasıı, N: populasyo geşlğ, S : Öreğe at stadart hatayı, S : Öreğe at varyası, : Örek geşlğ göstermektedr. Stadart hataı brm gözlem değerler brm le ayıdır. değerler stadart hatasıı hesaplayıız. S Örek: { 3, 5, 6, 4, } ( ) S S x 0 90 5 5 0.707.5 4 4.6.Varyasyo Katsayısı Şu aa kadar alatıla dağılış ölçüler farklı populasyolara at varyasyou (farklılığı) karşılaştırmada yetersz kalmaktadır. Öreğ sığırlarda ve koyularda calı ağırlık bakımıda varyasyo karşılaştırılmak stese, ayrıca dağılış ölçüsü olarak da stadart sapma kullaılsa, sığırları stadart sapması koyularıkde her zama
büyük çıkacaktır. Çükü sığırlarda elde edle calı ağırlık değerler dama cebrsel olarak koyularıkde büyüktür. Bu yüzde bu durumda varyasyo katsayısı kullaılmalıdır. Varyasyo katsayısı aşağıdak durumlar ç kullaılır. a) Farklı populasyolarda ayı özellkler varyasyo bakımıda karşılaştırılacağı zama kullaılır (yukarıda verle örekte olduğu gb ). b) Ayı populasyoda farklı özellkler varyasyo bakımıda karşılaştırılacağı zama kullaılır. Öreğ, ayı sııfta statstk ve kmya otları varyasyo bakımıda karşılaştırılmak stedğde bu statstk kullaılır. c) Varyasyo katsayısı, br araştırmaı güvelrlğ kotrol etmek stedğde kullaılır. Geellkle varyasyo katsayısı %30 u üzerde ola araştırma etcelere güvelmez. Varyasyo katsayısı % olarak fade edlp, aşağıdak formülde hesaplaır. Eştlkte; S V. K(%).00 (4.8) V.K(%) : % Varyasyo katsayısıı, S: Stadart sapmayı, : Ortalamayı göstermektedr. değerlere at varyasyo katsayısıı hesaplayıız. Örek: {, 4, 6,,3, 5} S S S ( ) S 4 394 6 6 0 S 0 4.47 43
x +... + 5 7 6 S 4.47 V. K(%).00.00 63.89 7 Örek: A sııfıda rastgele seçle 7 öğrec matematk otları 3, 7, 9, 5, 5, 8, ve B sııfıda rastgele seçle 0 öğrec matematk otları 9, 7,, 6,, 5, 8, 8, 3, 4, olarak tespt edlmştr. Bua göre matematk otları bakımıda A sııfıdak varyasyo mu B sııfıdak varyasyo mu daha fazladır, ç? S A 39 57 7 7 6.69 S A 6.69.573 A 3 +... + 5.57 7 S.573 V. K(%).00.00 46.9 5.57 S B 0 53 349 0 7.567 S B 7.567.75 B 9 +... + 4 5.3 0 S.75 V. K(%).00.00 5.9 5.3 B sııfıdak varyasyo A sııfıa göre daha fazladır. Çükü bu sııftak varyasyo katsayısı dğerde daha büyüktür. 44
4.7. Eğrlk Katsayısı (Skewess) Eğrlk katsayısı ormal dağılışı smetrklk ölçüsüdür. δ 3 değer olarak blr. Bu değer aşağıdak formülde hesaplaır (Yıldız ve Brca, 99). γ Eştlkte; 3 3 ( ( µ ) ) / (4.9) 3 σ γ 3: Eğrlk veya çarpıklık katsayısıı, : değşke. gözlem değer, µ : Artmetk ortalamayı, : gözlem sayısıı, σ : Stadart sapmayı göstermektedr. 3 γ 3 0 se dağılış smetrk, 3 γ < 0 se dağılış sola çarpıktır. γ > 0 se dağılış sağa çarpık ve Örek: {5,, 6, 4, 3, 7, } se eğrlk katsayısıı hesaplayarak yorumlayıız? µ 5 +... + 4 7 σ S S S ( ) 8 40 7 7 4.667 S 4.667.60 γ 3 3 ) / 7 3 ( ( ) ) / ((5 4) +... + ( 4) µ 3 3 σ (.60) γ 3 0 olduğuda bu gözlem değerler smetrk br dağılışa sahptr. 0 45
4.8.Dklk Katsayısı (Kurtoss) Normal dağılış eğrs svrlk veya basıklığıı belrlemede kullaıla ölçüdür. Dklk katsayısı, δ 4 olarak blmekte olup, aşağıdak formülde hesaplaır. ( ( ) ) / 4 [ µ γ ] 3 4 σ 4 (4.0) γ 4 : Dklk katsayısıı, : değşke. gözlem değer, µ : Artmetk ortalamayı, : Gözlem sayısıı, σ : Stadart sapmayı göstermektedr. γ 4 > 0 se, gözlemler svr br dağılışa, γ 4 < 0 se, gözlemler basık br dağılışa sahptr. Örek: 0 öğrec statstk dersde almış oldukları otlar 45, 56, 73, 38, 4, 67, 89, 9, 96, 3 olarak tespt edlmştr. Bua göre dklk katsayısıı hesaplayarak yorumlayıız? µ σ S γ 45 +... + 3 59. 0 ( ) 59 4586 0 0 4 4 4 [((45 59.) +... + (3 59.) ) /0]/(8.94) 3 4 00897.035 γ 4 3.57 70445.7805 8.94 4 γ < 0 olduğu ç bu 0 öğrec statstk dersde almış oldukları otlar basık br dağılışa sahptr. 46
ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Br grup öğrec sstolk ka basıçları ölçülmüş ve şu değerler elde edlmştr. 8, 35, 8, 3, 4, 37 Bu değerlere at değşm geşlğ ve stadart sapmayı hesaplayıız. ) A ve B gruplarıdak gözlem değerler aşağıdak gb bulumuştur. A {5, 8, 3,, 7, 4,, 6} B {0, 0, 7, 7,, 6, 7, 9} Bu k grup ç değşm geşlğ ve stadart sapmayı hesaplayıız. Hag grupta varyasyou daha fazla olduğuu bulmak stedğzde, bu k dağılış ölçüsüde hags kullaırsıız, ç? 3) Aşağıdak her br ver set ç stadart sapmayı hesaplayıız. a),, 4 b)3, 6, 9,, 5 c) 3, 0, -3, 6, -6 d),,, 8, 8, 8 e), -, -4 f) /4,/, ¾ 4) Br fabrkada A ve B tp ampuller dayaıklılık süres bakımıda varyasyo aşağıdak gb bulumuştur. A: 7,, 4, 36, 8, 0, 9 B: 3, 5, 7,, 4,, 8, 6, 3 Bua göre hag fabrkada ampuller dayaıklılık süres bakımıda varyasyo daha fazladır, ç? 5) Değşm geşlğ ç y br dağılış ölçüsü değldr? 6) Varyasyo katsayısıı kullaıldığı yerler hagsdr? 7) Değşm geşlğ ortalama mutlak sapma, stadart sapma ve varyasyo katsayısı ked çde karşılaştırılmak stese e y dağılış ölçüsü hagsdr, ç? 8) Aşağıdak frekas tablosuu tamamlayarak eğrlk ve dklk katsayılarıı hesaplayıız, bulduğuuz değerler yorumlayıız Sııflar 3-0...-... 9-36 37-44...-... f 3 5 6 4 47
9) 7, 3,, 5, 6,, değerlere at stadart sapma.36 olarak hesaplamıştır. Bu değerler tamamı 3 gb sabt br sayı le çarpılsa, elde edle gözlem değerler varyası ve stadart sapması e olur? 0) 400 gözlemlk br örekte stadart hata değer 0.50 olarak hesaplamıştır. Bua göre stadart sapma değer kaçtır? 48
5. KESĐKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI 5.. Grş Keskl verler göstermş olduğu dağılışa der. Başlıca keskl olasılık dağılışları şulardır: Beroull dağılışı, bom dağılışı, egatf bomal dağılış, geometrk dağılış, hpergeometrk dağılış, posso dağılışı (Akdez, 984). Bu bölümde bu dağılışlarda sadece bom dağılışı ve posso dağılışı alatılacaktır. Çükü uygulamada daha zyade bu dağılışlar kullaılmaktadır. Keskl olasılık dağılışlarıı foksyolarıa olasılık foksyou delmekte ve bu dağılışlarla lgl olasılıklar hesaplaırke Σ (sgma) şaret kullaılmaktadır. 5.. Bom Dağılışı Keskl özellk göstere br olayı, bom dağılışı göstereblmes ç şu şartları sağlamış olması gerekr. ) Deemeler brbrde bağımsız olmalıdır. ) Deemede stee ve stemeye şeklde k soucu olması gerekr. 3) Đstee olayı olması olasılığı p ve stemeye olayı olması olasılığı q se p + q olmalıdır. 4) Deemeler sayıda tekrarlaablr olmalıdır. Bom dağılışıa at olasılık foksyou (5.) eştlğdek gbdr. P(R r ). p r.q -r r 0,,..., (5.) r Foksyoda ; R : Keskl şas değşke, r : Đstee olayı tekrarlama sayısıı, : Toplam olay sayısıı, p : Đstee olayı olma olasılığıı, 49
q : Đstemeye olayı olma olasılığıı göstermektedr. Eştlkte,! formülüde hesaplaır. r r!( r)! 0!!!. 5!..3.4.5 0 dr. r 0 P( R r) P(R 0) + P(R ) +...+ P(R) dr. Bom dağılışı k parametrel br dağılış olup, parametreler µ ve σ dr. Bom dağılışıı ortalaması ve varyası aşağıdak formülde hesaplaır. µ. p σ. p. q σ σ dr. Örek: 4 çocuklu br alede çocuklarda a) Heps erkek, b) Heps kız, c) 3 çocuğu erkek, d) E fazla 3 çocuğu erkek e) E az 3 çocuğu erkek olma olasılığıı hesaplayıız. f) Dağılışı ortalamasıı ve varyasıı buluuz. 4 P(Erkek) p P(Kız) q 50
a) r 4 4 4 P(R 4).. 4 4! 0!.4!. 6. 0 6 0.065 b) Heps kız olması hç erkek olmaması demektr. Dolayısıyla r0 olur.o halde, 0 4 P(R 0).. 0 4! 0!.4!.. 6 6 0.065 3 4 c) P(R 3).. 3 4! 3!.! 3!.4 3!.!. 8.. 6 6 4 4 0.5 d) P(R 3) P(R 0) + P(R ) + P(R ) + P(R 3) P(R 4) 0.065 0.9375 e) P(R 3) P(R3) +P(R4) 0.5 + 0.065 0.35 4 5
5 f) µ. p 4. σ. p. q σ 4.. σ Örek : Br torbada 8 kırmızı, 4 beyaz blya vardır. Rastgele çekle 3 blyaı; a) Heps kırmızı b) s kırmızı c) E fazla s kırmızı blya gelme olasılığıı hesaplayıız. p P (Kırmızı) 8 3 q P (Beyaz) p - 3 3 3 a) P(R3).. 3 3 3!. 0.30. 0.00005 3!.9! 0.0033 b) P(R)... 3 3!!.0! 0!...0! 0.0005 olur. 9 0. 0,4444. 0,00007. 0,0000076
c) P(R ) P(R 0) + P(R ) + P(R ) P(R3) 0.0033 0.9967 5.3. Posso Dağılışı Bom dağılışıda değer oldukça büyük ( sosuza yaklaşırke), p değer oldukça küçük (p sıfıra yaklaşırke) olasılık foksyouu kullaarak hesaplama yapmak oldukça zordur. Bu edele, bu gb durumlarda posso dağılışıı olasılık foksyouda yararlaarak olasılık hesaplaır. Posso dağılışıı olasılık foksyou, e P(R r) Eştlkte; r. µ, r0,,..., (5.) r! µ R : Posso dağılışıa at şas değşke, r : Đstee olay sayısıı göstermektedr. e : Tab logartma tabaı olup, değer.78 dr. µ : Posso dağılışıı ortalaması olup, µ. p değerde hesaplaır. Posso dağılışı tek parametrel br dağılış olup, parametres µ dür. Ayrıca ortalaması ve varyası brbre eşt br dağılıştır. Örek : 0.000 üfuslu br kasabada trafk kazası olma olasılığı 0.000 dr. Bua göre bu kasabada rastgele seçle sürücülerde; a) Hçbr kaza yapmama olasılığıı, b) Đks kaza yapma olasılığıı, c) E az br kaza yapma olasılığıı hesaplayıız. d) Dağılışı ortalamasıı ve stadart sapmasıı hesaplayıız. 0000 p 0.000 µ. p 0000. 0.000 53
a) P(R 0) e. 0 0! e - 0.3679 b) P(R ) e.! e 0.840 c) P(R ) P( R 0) 0.3679 0.63 d) Posso dağılışıda ortalama ve varyas brbre eşt olduğu ç dağılışı varyasıda olur. Dolayısıyla stadart sapması da olur. ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) 5 çocuklu br alede; a) Ale bütü çocuklarıı erkek olma olasılığıı, b) E fazla 3 çocuğu erkek olma olasılığıı hesaplayıız. ) 0 defa atıla br parada, a) E çok 3 defa yazı gelme olasılığıı, b) 3 le 5 defa arası yazı gelme olasılığıı, c) E az defa yazı gelme olasılığıı hesaplayıız, d) Dağılışı ortalamasıı ve varyasıı buluuz. 3) Bom dağılışı le posso dağılışı arasıda e gb farklar vardır? Kısaca açıklayıız. 4) Br havuzdak kurbağaları %80 syah, %0 s yeşldr. Bu havuzda tesadüfe 3 kurbağa seçlrse, a) Đks syah, br yeşl olma olasılığı edr? b) Đks yeşl, br syah olma olasılığı edr? 5) Ortalaması ola br posso populasyouda çekle 00 brmlk br örekte stee özellğ 0,,,3 ve daha fazla göstereler teork frekaslarıı hesaplayıız. 54
3 3 6) a. se a ı değer edr? r 0 r 7) Br karı koca kaç çocuk sahb olmalıdır k, e az br erkek çocuk olma olasılığı %95 olsu. 8) Br tohumu çmleme olasılığı 0.85 dr. Ekle 4 tohumda, a) Hç br çmlememes, b) E az k taes çmleme olasılıklarıı hesaplayıız. 55
6. SÜREKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI 6.. Grş Sürekl verler göstermş olduğu dağılışa sürekl olasılık dağılışı der. Başlıca sürekl olasılık dağılışları şulardır: Normal dağılış, stadart ormal dağılış, F dağılışı, Beta dağılışı, Gama dağılışı, Couchy dağılışı. Bu bölümde bu dağılışlarda sadece ormal dağılış ve stadart ormal dağılış alatılacaktır. Çükü uygulamada daha zyade bu dağılışlar kullaılmaktadır. Sürekl olasılık dağılışlarıı foksyolarıa yoğuluk foksyou delmekte ve bu dağılışlarla lgl olasılık hesaplaırke " " (tegral) şaret kullaılmaktadır (Akdez, 984). 6. ormal Dağılış Normal dağılışı yoğuluk foksyou, f ( ( µ ) σ ).e (6.) σ π Eştlkte; : Sürekl şas değşke olup, ~ N ( µ,σ² ) dr. σ : Populasyoa at stadart sapmayı, π : Matematkte p sayısı olup, değer 3.46, e : Tab logartma tabaı olup, değer.78, µ : Populasyo ortalamasıı, σ² :Populasyo varyasıı göstermektedr. Normal dağılışı yoğuluk foksyouda yararlaarak bu dağılışı hstogram grafğ çzldğde Şekl 6..' dek gb eğr ortaya çıkar. 56
Şekl 6.. Normal Dağılış Eğrs Şekl 6.. dek ormal dağılış eğrs özellkler şulardır. ) Eğr ortalamaya göre smetrktr. ) Eğr ça bçmdedr. Bu edele gülük hayatta bu eğrye ça eğrs der. 3) Eğr altıda kala toplam ala dr. + f(x) dx Şekl 6. e bakıldığı zama µ (ortalama) eğr ekse üzerdek yer, σ se Y ekse üzerde eğr şekl belrler. Normal dağılış foksyouda yararlaarak sürekl verlerle lgl olasılıklar hesaplaablr. Acak bu olasılıkları hesaplamak ç ormal dağılış foksyouu tegral almak gerekr. Bu şlem se oldukça zordur. Bu edele bu olasılıkları hesaplamak ç stadart ormal dağılış foksyouda yararlaılır. 6.3. Stadart ormal Dağılış Ortalaması sıfır, varyası ola dağılışa stadart ormal dağılış adı verlr. Eğer Z değşke stadart ormal dağılış gösteryorsa bu Z ~ N z (0,) şeklde gösterlr. Eğer değşke ortalaması 0, varyası ola stadart ormal dağılışa (Z) döüştürülecek se (6.) eştlğdek formül kullaılır. ( µ) Z (6.) σ 57
Eştlkte; : Normal dağılışa at sürekl şas değşke olup, ~ N( µ, σ² ) Z : Stadart ormal dağılışa at sürekl şas değşke olup, Z ~N(0,) µ : değşke ortalamasıdır. σ : değşke stadart sapmasıdır. Örek : {3, 5,, 6, 7} değşke N(4.4, 5.8) şeklde ormal dağılışa sahptr. Bu ormal dağılışı ortalaması 0, varyası ola stadart ormal dağılışa döüştürüüz. (3 4.4) Z 0.5838 5.8 Z ( 5 4.4 ) / 5. 8 0.4936 Z 3 ( 4.4 ) / 5. 8 -.4773 Z 4 ( 6 4.4 ) / 5. 8 0.664364 Z 5 ( 7 4.4 ) / 5. 8.07959 Z Σ Z / (- 0,5838 +...+.07959) / 5 0 S. Z Z S z olur. ( Z ) 0. 3.999 5 5 Eğer Z ( - µ ) / σ ve dx σ dz y ormal dağılış foksyouda yere yazarsak stadart ormal dağılış eğrse at yoğuluk foksyou aşağıdak gb elde edlr. f ( Z ) π.e Z (6.3) Stadart ormal dağılışı yoğuluk foksyouda yararlaarak hstogram grafğ çzldğde Şekl 6.. de verle eğr elde edlr. 58
Şekl 6.. dek stadart ormal dağılış eğrs özellkler şulardır: ) Eğr, ortalamaya göre smetrktr. ) Eğr, ça bçmdedr. 3) Eğr altıda kala toplam ala dr. + f(z).dz dr. Görüldüğü gb Şekl 6.. dek stadart ormal dağılış eğrs Şekl 6.. dek ormal dağılış eğrs le ayı özellklere sahptr. Bu edele stadart ormal dağılış eğrsde hesaplaacak br olasılık le ayı zamada ormal dağılış le lgl olasılıkta hesaplamış olur. Bu yüzde stadart ormal dağılışa at yoğuluk foksyouda yararlaarak hazır Z cetveller oluşturulmuştur. Bu cetveller ek kısmıda verlmş olup, eğr altıda kala alalar kolaylıkla hesaplamaktadır; ayrıca tegral şlem yapmaya gerek yoktur. Örek : Z ~ N z (0,) se aşağıdak olasılıkları hesaplayıız a) P(Z >.78) b) P(Z < -.78) c) P(.73 < Z <.45) d) P(Z <.6) e) P(Z > -.03) 59