HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Birinci dereceden polinom fonksiyonların grafiklerinin doğru belirttiğini öğrenecek, Denklemi verilen doğruların grafiklerini çizebilecek, Doğruların eğimi, paralel olması, dik olması kavramlarını öğrenecek, İkinci dereceden polinom fonksiyonların grafiklerinin parabol belirttiğini öğrenecek, Denklemi verilen parabollerin grafiklerini çizebileceksiniz. ÜNİTE 6
GİRİŞ Çeşitli problemlere matematiksel yöntemlerle çözümler araştırırken, genellikle bir değişkeni diğerlerinin fonksiyonu olarak belirtmemiz gerekir. Bu fonksiyonları daha somut bir şekilde anlamlandırıp yorumlamak için grafiklerinden yararlanırız. Karşımıza sık olarak çıkan fonksiyonlardan ikisi, birinci ve ikinci dereceden polinom fonksiyonlardır. Birinci dereceden bir polinom fonksiyonun grafiği koordinat düzleminde bir doğru belirtir. İkinci dereceden bir polinom fonksiyonun grafiği ise paraboldür. Bu ünitede bu tür fonksiyonları ele alıp grafiklerini nasıl çizeceğimizi öğreneceğiz. BİRİNCİ DERECEDEN POLİNOM FONKSİYONLAR VE DOĞRU olmak üzere ( ) fonksiyonu birinci dereceden bir polinom fonksiyondur. Bu fonksiyonu şeklinde ele alıp inceleyeceğiz. Grafiği koordinat düzleminde bir doğru belirttiği için bu fonksiyona doğrusal fonksiyon da denir. Şimdi olduğunu görelim: denklemi ile verilen fonksiyonun grafiğinin bir doğru Önce için denklemini ele alalım. yerine keyfi iki değer verelim. Örneğin, için ve için elde edilir. Yani grafik ( ) ve ( ) noktalarından geçer. Bu noktalardan geçen bir tek doğruyu çizelim (Şekil 6.1). Bu doğru üzerinde alınan her ( ) noktasının, koordinatları arasında olur ve buradan eşitliğini elde ederiz. ( ve benzer üçgenlerdir. ). Görüyoruz ki, fonksiyonunun (denkleminin) grafiği bir doğrudur. fonksiyonunun grafiğini doğrultusunda kadar paralel kaydırırsak, fonksiyonunun grafiğini çizmiş oluruz (Şekil 6.2). Yani fonksiyonunun grafiği de bir doğrudur. Eğer ise doğrusunun grafiği orijinden geçer. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2
Şekil 6.1 Şekil 6.2 fonksiyonunun grafiğini (belirttiği doğruyu) çizmenin en pratik yolu, grafik üzerinde iki nokta tesbit edip bu iki noktadan geçen doğruyu çizmektir. 6.1. çiziniz. fonksiyonunun grafiğini Çözüm: Doğru üzerinde iki nokta tespit edelim: için ve için buluruz. Buna göre fonksiyonun grafiği (0,1) ve (1,3) noktalarından geçen doğrudur (Şekil 6.3). Şekil 6.3 DOĞRU DENKLEMLERİNİN BULUNMASI Verilen İki Noktadan Geçen Doğrunun Denklemi ve Doğrunun Eğimi Bir ( ) ve ( ) noktalarından geçen doğrusunun denklemini bulalım. Şekil 6.4 deki ve benzer üçgenlerinden benzerlik oranlarına göre, eşitliğini yazarız. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3
Düzenleyip yi yalnız bırakırsak doğrunun denklemini, y y x y x x (y x y )x x y m n veya buradan olarak elde ederiz. Buradaki oranına doğrusunun eğimi denir. Şekil 6.4 Doğrunun eğimi, deki değişimin, deki değişime oranıdır. Bir doğrusu üzerindeki iki farklı nokta ( ) ve ( ) ise bu doğrunun eğimi olarak tanımlanır (Şekil 6.5). Şekil 6.5 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4
Şekil 6.6 (a) Şekil 6.6 (b) eksenine paralel bir doğru üzerindeki bütün noktaların ikinci koordinatları eşit olduğundan eğimi olur. Bu doğru eksenini ( ) da kesiyorsa denklemi dır (Şekil 6.6 (a)). eksenine paralel bir doğru üzerindeki bütün noktaların birinci koordinatları eşit olduğundan eğimi tanımsızdır. Bu doğru eksenini ( ) da kesiyorsa denklemi dır (Şekil 6.6 (b)). Buna göre, Eğim, deki bir birimlik artışa karşılık de kaç birimlik artma veya azalma olduğunu belirtir. Yatay doğrunun eğimi sıfırdır. Dikey doğrunun eğimi tanımsızdır. Soldan sağa doğru yükselen doğrunun eğimi pozitiftir. Soldan sağa doğru alçalan doğrunun eğimi negatiftir. 6.2. ( ) ve ( ) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulup grafiğini çiziniz. Çözüm: ( ) ve ( ) noktalarından geçen doğrusunun denklemi olduğundan, A ve B den geçen doğrunun denklemini ( ) ( ) Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5
olarak buluruz. Bu doğrunun eğimi dir. Bir Noktası ve Eğimi Verilen Doğrunun Denklemi ( ) noktasından geçen ve eğimi olan doğru üzerinde herhangi bir nokta ( ) ise ile arasında kuracağımız cebirsel bir bağıntı bu doğrunun denklemi olacaktır. Bu iki nokta için eğim formülünden ( ) elde ederiz. Bu son eşitlik ( ) noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemidir. Şekil 6.7 6.3. ( ) noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemini bulunuz. Çözüm: ( ) ( ( )) Şekil 6.8 doğru denkleminde alırsak, doğrunun eksenini de kestiğini görürüz. Xdvdfb nll Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6
Örneğin, eksenini de kesen ve eğimi olan doğrunun denklemini olarak yazarız. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denklemi Koordinat eksenlerini ( ) ve ( ) noktalarında kesen doğrunun denklemi dir. Paralel ve Dik Doğrular Şekil 6.9 İki doğrunun eğimleri aynı ise bu doğrulara paralel doğrular denir. Ayrıca ve gibi (eğimleri tanımsız) eksenine paralel doğrular da birbirine paraleldir. Örneğin, doğrularının eğimleri ( ) eşit olduğu için paraleldirler. Eğimleri ve olan iki doğru için ise bu iki doğru birbirine diktir. Örneğin, doğrularının eğimleri çarpımı ( ) olduğundan birbirine dik doğrulardır. Şekil 6.10 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7
Bireysel Etkinlik Doğrular ve Paraboller ve noktalarından geçen doğrunun denklemini ve bu doğruya dik olup orijinden geçen doğrunun denklemini bulunuz. İKİNCİ DERECEDEN POLİNOM FONKSİYONLAR VE PARABOL reel sabitler ve olmak üzere eşitliği ile verilen fonksiyon ikinci dereceden bir polinom fonksiyondur. Bu tür fonksiyonlara karesel fonksiyon da denir. Örneğin, ve ( ) birer karesel fonksiyonlardır. İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonun Grafiği (Parabol) ( ) ikinci dereceden polinom fonksiyonun grafiği parabol olarak adlandırılır. Bu fonksiyonun tanım kümesi reel sayılar kümesidir. ise grafik koordinat düzleminde yukarı doğru sınırsız olarak genişlemektedir. Bu durumda parabolün kolları yukarı doğrudur deriz. ise parabolün kolları koordinat düzleminde aşağı doğrudur. Her bir parabol, simetri ekseni denilen dikey bir doğruya göre simetriktir. Bu simetri ekseninin parabolü kestiği noktaya parabolün tepe noktası denir. Bu tepe noktasında, ise en küçük değerini, ise en büyük değerini alır. Şekil 6.11 Parabolün tepe noktasını ve eksenleri kestiği noktaları bilirsek grafiğini rahatlıkla çizebiliriz. Şimdi tepe noktasını tespit edelim: Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8
( ) fonksiyonunu (parabol denklemini) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) şeklinde ele alalım. ( ) olduğundan, veya için olduğunda ( ) en küçük, olduğunda ( ) en büyük değerini alır. Yani tepe noktasının birinci koordinatı dır. in bu değerine karşılık koordinatı ( ) olur. Böylece tepe noktasını ( ) olarak buluruz. Şimdi de ( ) fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları araştıralım: için elde ederiz. Yani grafik eksenini ( ) noktasında keser. ise denklemini çözmeliyiz. ise çözüm yoktur. Grafik eksenini kesmez. Bu halde grafik ise ekseninin üstünde, ise ekseninin altında kalır. ise grafik eksenini bir tek ( ) noktasında keser. Bu nokta tepe noktası olur ve grafik ya da üstünde kalır. ekseninin ya altında ise denklemin ve gibi iki çözümü vardır. Buna göre grafik eksenini ( ) ve ( ) noktalarında keser. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9
6.4. parabolünün grafiğini çiziniz. Çözüm: dir. olduğundan parabolün kolları yukarı doğru açılır. Eksenleri kestiği noktaların ve tepe noktasının koordinatlarını bulup grafiği çizelim. ise olur. Yani eksenini ( ) de keser. ise denkleminin çözümü olarak ( ) ( ) ( ) ve ( ) ( ) ( ) elde ederiz. Buna göre parabolün eksenini kestiği noktalar ( ) ve ( ) olur. Tepe noktası ( ) ( ) noktasıdır. Şekil 6.12 1) 2) 6.5. 3) fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. Çözüm: 1) fonksiyonu eksenleri ( ) noktasında, yani orijinde keser. Kollar yukarı doğru açılır. ( ) noktası aynı zamanda parabolün tepe noktasıdır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10
Grafiği çizmek için parabolün geçtiği birkaç nokta daha tesbit edip bu noktalardan yararlanalım. Şekil 6.13 2) fonksiyonunun grafiği ( parabolü) ( ) noktasında eksenleri keser ve kollar aşağı doğru açılır. Grafiği şekil 6.14 deki gibidir. Şekil 6.14 Şekil 6.15 3) parabolünün grafiği, parabolünün grafiğinin ise kadar yukarı, ise aşağı kaydırılmasıyla oluşur (Sekil 6.15). 6.6. 1) 2) 3) fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11
Çözüm: 1) parabolünün çizimini bir önceki örneğin 1) şıkkından biliyoruz. Bu grafiğin 3 birim yukarı kaydırılmasıyla parabolü çizilmiş olur. Veya aşağıdaki durumları göz önüne alarak da çizebiliriz: ise olur. Yani eksenini de keser. Şekil 6.16 için denkleminin çözümü olmaz. Yani eksenini kesmez. nin katsayısı pozitif olduğundan kolları yukarı doğrudur. Geçtiği birkaç noktayı da tespit ederiz. 2) parabolünü çizelim: ise olur. Yani eksenini ( ) de keser. Bu aynı zamanda tepe noktasıdır. ise denkleminin çözümü dir. Yani eksenini ve de keser. nin katsayısı pozitif olduğundan kolları yukarı doğrudur. Bu bilgiler parabolünün çizilmesi için yeterlidir (Şekil 6.17). Veya kısaca parabolünün 4 birim aşağı kaydırılmasıyla da çizilir. Şekil 6.17 Şekil 6.18 3) parabolünü (Şekil 6.14), 9 birim yukarı kaydırırsak parabolünü çizmiş oluruz (Şekil 6.18). Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12
6.7. fonksiyonu ile verilen parabolün grafiğini çiziniz. Çözüm: Bu fonksiyon Polinom fonksiyondur. ile ikinci dereceden bir olduğundan grafik yukarı doğru açılan bir paraboldür. alırsak olur. Yani eksenini ( ) de keser. için denklemini çözerek eksenini kestiği noktaları buluruz. ( ) ( ) olduğundan denklemin iki kökü vardır. Bunlar ve dir. Yani eksenini ( ) ve ( ) noktalarında keser. Parabolün tepe noktası ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) noktasıdır. Şekil 6.19 6.8. fonksiyonu ile verilen parabolün grafiğini çiziniz. Çözüm: olduğundan grafik aşağı doğru açılır. için eksenini de keser Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13
( ) ( ) olduğundan grafik eksenini ( ) ( ) ve ( ) ( ) noktalarında keser. Tepe noktası ( ) ( ) noktasıdır. Bulduğumuz bu değerlere göre grafiği Şekil 6.20 deki gibi çizeriz. Şekil 6.20 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14
Özet Doğrular ve Paraboller Birinci dereceden bir polinom fonksiyonun grafiği koordinat düzleminde bir doğrudur. Doğrunun denklemi veya m n şeklindedir. Burada n ye doğrunun eğimi denir. Eğim doğru boyunca deki değişimin deki değişime oranıdır. Bir doğrunun grafiğini çizmenin pratik bir yolu, doğru üzerinde iki nokta bulup bu noktalardan geçen doğruyu çizmektir. Paralel doğruların eğimleri eşittir. Dik doğruların eğimleri çarpımı dir. Tersine, eğimleri eşit olan doğrular paralel, eğimleri çarpımı olan doğrular diktir. olmak üzere ikinci dereceden Polinom fonksiyonun grafiği koordinat düzleminde bir paraboldür. Her bir parabol, simetri ekseni denilen dikey bir doğruya göre simetriktir. Bu simetri ekseninin parabolü kestiği noktaya parabolün tepe noktası denir. fonksiyonunun grafiği olan parabolü çizmek için, parabolün tepe noktasını ve eksenleri kestiği noktaları bulup bu noktalardan yararlanırız. ise grafik koordinat düzleminde yukarı doğru sınırsız olarak genişlemektedir. Bu durumda parabolün kolları yukarı doğrudur deriz. ise parabolün kolları koordinat düzleminde aşağı doğrudur. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15
DEĞERLENDİRME SORULARI Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz. 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği doğru belirtmez? a) b) c) d) e) 2. Aşağıdaki denklemlerden hangisi doğru denklemi değildir? a) b) c) d) e) 3. ( ) ve ( ) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 4. ( ) noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 5. Aşağıdaki doğru çiftlerinden hangileri diktir? a), b), c), d), e) Cevap Anahtarı 1.B, 2.D, 3.A, 4.C, 5.C Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16
YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Haeussler E.F., Paul R.S., Wood R., Temel Matematiksel Analiz. Çev. Demir S., Uzun Ö., Balce A.O., Çağlar A., Ankara: Akademi Yayıncılık, ISBN:987-975-6885-21- 5. Balcı, M., (1999). Matematik Analiz (1. Cilt). Ankara: Balcı Yayınları. ISBN: 975-6683-02-03. George B. Thomas, Jr., (2010). Thomas Calculus 1. Çev. Korkmaz R., İstanbul: Beta Basım Yayım Dağıtım A.Ş., ISBN: 978-605-377-213-2. Halilov, H. ve Hacısalihoğlu, H. H., (2006). Meslek Yüksek Okulları ve Mühendislik Fakülteleri İçin Matematik. Ankara: Ertem Matbaa. ISBN: 975-8744-07-0. Kadıoğlu, E. ve Kamali, M, (2009). Genel Matematik. Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayınevi. ISBN: 978-975-8151-57-8. Sağel, M. K. ve Aktaş M., (2010). Genel Matematik 1. Ankara: Pegem Akademi. ISBN: 978-605-364-062-2. Balcı, M., (2007). Analitik Geometri. Ankara: Balcı Yayınları. ISBN: 978-975-668-317-0. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17