. Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış. Daha sora Stirlig, lim! e olduğuu göstermiştir. DeMoivre-Stirlig formülü, olma üzere, ifadesie birici Stirlig yaılaştırması ve! e! e lim 0 içi,! e ifadesie iici Stirlig yaılaştırması demetedir. Stirlig formülüde faydalaara, DeMoivre p / içi ve daha sora Laplace 0 p içi, olduğuu göstermiştir. lim p p e p p p p p X i, bir deeyi bağımsız olara ez terarlamasıda, p olasılılı bir olayı gerçeleşme sayısı olma üzere, lim X i p p p x öermesi DeMoivre-Laplace teoremi olara bilimetedir. x e t dt Boş zama bulduça cebie oyduğu ii farlı retei toplarda iadeli olara çeilişler yapa Jacop Beroulli, çeile toplarda belli bir rege sahip olaları sayısıı
çeiliş sayısıa böldüğüde elde edile sayıları o retei topları oraı etrafıda çıtığıı ve çeiliş sayısı arttıça bu oraa yalaştığıı görmüştür. Muhtemele, Beroulli bir ço işi gibi sezgisel olara buu hissetmiş olabilir. Ayrıca, deeysel olara destelemei yaıda matematisel olara yerli yerie oturtma istemiş olabilir. Aca, DeMoivre-Laplace tarafıda ispatlaa, lim X i p p p x x e t dt teoremide sora, X i p olduğuu ispatlama mümü olmuştur. Gerçete, seçile 0 içi, X i p X i p p p p p p p olma üzere, yeterice büyü ler içi yuarıdai DeMorive-Laplace teoremide lim p p X i p p p p p yai, X i p p elde edilir. Bu souç Beroulli Büyü Sayılar Kauu olara bilimetedir. Đçide beyaz ve siyah top bulua bir torbada gelişigüzel.bir top çetiğimizi düşüelim. Bu çeiliştei rasgeleliği alatma (modelleme) içi alımızda, b, s, U, b s gibi bir olasılı uzayı calamata Torbada tae beyaz ve m tae siyah top buluduğuda model olara, b, s, U, b m, s m m ve torbadai topları sayısıı bilmediğimizde model olara, b, s, U, b p, s p, p 0, olasılı uzayıı düşümeteyiz. Torbaı içi bize gösterilmediği müddet-çe "p" sayısıı (parametresii) bilemeyiz. Aca torbada iadeli olara toplar çeilmesie izi verildiğide "p" ile ilgili bir şeyler söyleyebiliriz (tahmi, estirim yapabiliriz). Eğer, çeile
beyaz top sayısıı çeiliş sayısıa oraıı, çeiliş sayısı sosuza gittiğide "p" ye yaısadığıda da emise, o zama belli sayıda çeiliş sorasıda gözlee oraı, "p" içi bir tahmi olara ullaabiliriz. Aca yaısamaı olup olmadığıda emi olma içi gerçe düyada deey mi yapmalıyız, yosa alımızı düyasıda teorem mi ispatlamalıyız, yada her iisii de mi yapmalıyız? Büyü Sayılar Kauu, rasgele değişeleri (X ) gibi bir diziside, ısmi toplamlarıa dayalı, S X X...X,,, 3,... X ortamalarıı, X dizisi ile ilgili yaısama X S,,, 3,... EX 0 oluyorsa, X dizisie Zayıf Büyü Sayılar Kauu (ZBSK) a uyar deir. Teorem: (Chebyshev Teoremi) X dizisi varyasları sıırlı, yai VarX c, c 0,,,,... ola bağımsız rasgele değişeleri bir dizisi ise, Đspat: (Ödev) X EX j 0 j Bu teoremi bir soucu olara, X dizisi varyasları mevcut, bağımsız ve ayı dağılımlı rasgele değişeleri bir dizisi ise, X EX olduğu söyleebilir. Özel olara, ayı şartlarda bağımsız olara ardarda terarlaa bir olasılı deeyi içi, belli bir olayı ortaya çıma sayısıı deeme sayısıa () oraı, bu olayı olasılığı ola p sayısıa olasılıta yaısar, yai deemedei başarı sayısı p Bu durum Beroulli Büyü Sayılar Kauu (BBSK) olara biliir. Bir parayı,,..., ez atıp X i rasgele değişei gözlee değerleri düşey esede e arşılı işaretleirse, işaretlee otaları y p doğrusu etrafıda olduları ve gittiçe bu doğruya yalaştıları görülür. Bu Beroulli Büyü Sayılar Kauuu gerçe düyada geçerli olduğuu deeysel olara gözlemesidir.
Teorem: (Khichi Teoremi) X, bağımsız ve ayı dağılımlı (dağılımı belee değeri solu) ola rasgele değişeleri bir dizisi ise, ve Đspat. X,, 3,... içi X i arateristi fosiyou, X t X t it! i EX t!... lim X t e it olma üzere, X dizisi, dağılımda otasıda yoğulaşmış dağılıma yaısar. X dir. X yaısamasıa Zayıf Büyü Sayılar Kauu deir. Đspatsız olara ii teoremi daha ifadesii verelim Teorem: X dizisi, varyasları sıırlı, yai bir c sayısı içi VarX c,,,... ve ayı ortalamalı, ola rasgele değişeleri bir dizisi ise CovX i, X j ij 0 X Teorem: X dizisi ayı ortalamalı ve varyaslı düzgü sıırlı, yai c 0, içi ola rasgele değişeleri bir dizisi ise, X c,,,...
lim sup X log log roblemler. a) 0 p içi, 0 p p s s p t s t s dt 0 b) Büyü ler içi! e olduğuu gösteriiz.. r N olma üzere aşağıdai fx; r r r r x r, x fosiyouu bir olasılı yoğulu fosiyou ve olduğuu gösteriiz. lim fx; r / r ex 3. X bağımsız ve ayı f X x p x p x, x 0, olasılı fosiyoua sahip rasgele değişeleri bir dizisi olsu. Chebyshev eşitsizliğii ullaara Beroulli Büyü Sayılar Kauu yai, X X i olduğuu ispatlayıız. 4. X dizisi bağımsız, ayı dağılımlı ve VarX,,,... ola rasgele değişeleri bir dizisi olsu. EX i X olduğuu gösteriiz. p