Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 YENĐ BĐR ADAPĐF FĐLRELEE YÖNEĐ: HĐBRĐD GS-NLS ALGORĐASI Sedat ĐRYAKĐ * eti HAUN ** Osma Hilmi KOÇAL ** Özet: Bu makalede, adaptif filtre katsayılarıı ayarlamak içi GS (Gauss-Seidel) ve NLS (Normalized Least ea Squares) algoritmalarıı birlikte kullaıldığı hibrid bir algoritma öerilmiş ve ayrıca öerile yei algoritmaı yakısama hızı, kararlılığı ve işlem karmaşıklığı icelemiştir. Öerile algoritma yapıla bir bezetim çalışmasıyla yakısama hızı ve işlem yükü açısıda bezer algoritmalarla karşılaştırmalı olarak icelemiştir. Elde edile souçlara göre, öerile hibrid algoritmaı bir ara yötem olarak işlem karmaşıklığı veya yakısama hızı açısıda diğer algoritmalara iyi bir alteratif olduğu görülmüştür. Aahtar Kelimeler: Adaptif filtreler, Gauss-Seidel, NLS, hibrid algoritma. A New Adaptive Filterig ethod: Hybrid GS-NLS Algorithm Abstract: I this paper, a hybrid algorithm based o the use of Gauss-Seidel ad Normalized Least ea Squares algorithms together is itroduced for adjustig of adaptive filter coefficiets ad also covergece rate, stability ad computatioal complexity of the proposed algorithm is studied. he proposed algorithm is compared with similar algorithms by viewpoits of computatioal complexity ad covergece rate by a simulatio study. Accordig to the results obtaied, it is show that the proposed hybrid algorithm is a good alterative to the others as a itermediate method by viewpoits of computatioal complexity or covergece rate. Key Words: Adaptive filters, Gauss-Seidel, NLS, hybrid algorithm.. GĐRĐŞ Adaptif filtre katsayılarıı ayarlamasıda kullaıla algoritmalar eğim tabalı algoritmalar ve e küçük kareler tabalı algoritmalar olmak üzere iki temel grupta ele alıabilirler (Diiz, 987, Farhag-Boroujey, 998, Hayki, 00). Eğim tabalı algoritmalar düşük işlem yükü avatajıa sahip olup yüksek örekleme hızlarıda ve çoğulukla adaptif siyal işleme ve haberleşme uygulamalarıda tercih edilmektedir. Bular LS (Least ea Squares), NLS (Normalized LS), ve AP (Affie Projectio algoritmalarıdır (Hayki, 00, Hayki ve Widrow, 003). Fakat bu algoritmalar giriş siyalie ait korelasyo matrisii özdeğer yayılımıa da bağlı olarak yavaş yakısama hızı dezavatajıa sahiptir. E küçük kareler tabalı algoritmalar ise yüksek işlem yüküe rağme yakısama özelliklerii eğim tabalı algoritmalara göre çok iyi olmasıda dolayı tercih edilmektedir. RLS (Recursive Least Squares) algoritması bu gruba girmektedir. Fakat yüksek örekleme hızı gerektire durumlar yoğu işlem yüküde dolayı bu algoritmaları kullaım alalarıı sıırlamaktadır. Diğer tarafta, bu iki algoritma grubua alteratif olarak yüksek yakısama hızı ve e küçük kareler tabalı algoritmalara orala daha az işlem yükü ola bazı algoritmalar da öerilmiş ve kullaılmıştır (Koçal, 998, Bose, 004). Bu algoritmalar ormal deklemi GS (Gauss-Seidel) iterasyolarıyla çözümü üzerie kurulu olup, yakısama hızı açısıda giriş siyalie ait korelasyo matrisii özdeğer yayılımıa bağımlı olmasıa rağme eğim tabalı algoritmalara orala daha yüksek bir yakısama hızıa sahiptir ve korelasyo matrisii özdeğer yayılımıı küçük olması durumuda RLS algoritmasıa çok yakı souçlar vermektedir (Koçal, 998). Ayrıca işlem yükü RLS algoritmasıa göre daha azdır, fakat LS grubu algoritmalarda fazladır. GS algoritması temelde RLS algorit- * ** Uludağ Üiversitesi, Fe Bilimleri Estitüsü, Elektroik ühedisliği Bölümü, 6059, Görükle, Bursa. Uludağ Üiversitesi, ühedislik-imarlık Fakültesi, Elektroik ühedisliği Bölümü, 6059, Görükle, Bursa. 85
iryaki, S. ve diğ.: Yei Bir Adaptif Filtreleme Yötemi:Hibrid Gs-Nlms Algoritması ması gibi korelasyo matrisii birikimli değerlerii kullaa tekrarlamalı bir algoritma olup, korelasyo matrisii pozitif taımlılığı sağladığı sürece kararlılığı garatilemiş olmaktadır (Hatu ve Koçal, 005). Bu makalei amacı, düşük işlem yüküe sahip eğim tabalı algoritmalar ile bu algoritmalara orala daha hızlı yakısama ve kararlılık özelliklerie sahip ola GS algoritmasıı birlikte kullaarak adaptif filtrelerde istee özellikleri ö plaa çıkara yei bir algoritma elde etmektir. Bu makalede, düşük işlem yüküe sahip ola eğim tabalı NLS algoritması ile bu algoritmaya göre yakısama hızı kararlılık özellikleri daha iyi ola GS algoritması birlikte kullaılarak yukarıda bahsedile iki algoritma grubuu istee özelliklerie sahip ola hibrid bir algoritma elde edilmiştir. Yapıla bir adaptif kaal degeleyici uygulamasıyla öerile algoritmaı yakısama özellikleri ve işlem yükü bezer algoritmalarla karşılaştırmalı olarak icelemiştir.. ADAPĐF FĐLRELEE ALGORĐALARI Adaptif filtreleme algoritmaları aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi filtre parametrelerii iteratif olarak ayarlamak içi kullaılır. d ( x ( y ( Adaptif Filtre - e ( Adaptif Algoritma Şekil : Adaptif filtreleme işlemi Burada x ( adaptif filtrei ayrık-zamalı giriş siyali, y ( adaptif filtrei tahmi edile parametreler kullaılarak hesaplaa çıkış siyali, d ( ise adaptif filtrei takip etmesi istee siyaldir. Parametre ayarlama algoritmalarıyla, tahmi edile parametreleri kullaarak hesaplaa y ( siyali ile adaptif filtrei izlemesi istee d ( siyali arasıda e( = d( y( olarak taımlaa hata siyalii karesii beklee değerii miimum yapa parametre tahmileri iteratif olarak hesaplaır (Widrow ve Stears, 985, reichler ve diğ., 987, Diiz, 997, Farhag-Boroujey, 998, Hayki, 00)... Eğim abalı Algoritmalar Bilidiği gibi LS algoritması, azala adım optimizasyo yötemii tahmii bir versiyoudur. Azala adım yötemide optimum parametreleri bulmak içi, öcelikle başlagıç değeride başlaarak bir soraki parametre değerii hesaplamasıda bir soraki adımı yöü ve büyüklüğü belirleir. Bir soraki adımı yöü ortalama karesel hata foksiyouu türeviyle belirleir. Ortalama karesel hata foksiyouu miimum yapa azala adım optimizasyo yötemi 86 w( ) = w( µ [ p Rw( ] () olarak verilmektedir (Diiz, 997, Hayki, 00, Bose, 004). Burada µ seçile yöde gidilecek adım boyutuu, R adaptif filtrei giriş siyalii otokorelasyo matrisii ve p ise adaptif filtrei takip etmesi gereke siyal ile giriş siyali arasıdaki karşı-korelasyo vektörüü göstermektedir ve sırasıyla
Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 R = E[ x ( ], p = E[ d( ] () olarak taımlamaktadır, Burada E beklee değer operatörüdür. Adaptif filtrei uzuluğu olmak üzere adaptif FIR (Fiite Impulse Respose) filtrei giriş işareti vektörü x ( ve katsayı vektörü w ( x ( = [ ) L )] (3) w = [ w ( w ( L w ( )] (4) ( olarak taımlamaktadır. Pratik uygulamalarda, R korelasyo matrisi ve p korelasyo vektörüü tam değeri biliemediği içi tahmi edilmiş değeri kullaılır. Azala adım optimizasyo algoritmasıda R ve p matrislerii alık tahmileri R( x (, p( d( (5) şeklide kullaılarak elde edile aşağıdaki algoritma LS algoritması olarak bilimektedir (Widrow ve Stears, 985, Diiz, 997, Farhag-Boroujey, 998, Hayki, 00, Bose, 004). w ( ) = w( µ e( (6) LS algoritmasıı e öemli avatajı algoritmaı gerçeklemeside ( ) çarpma işlemi yapılmasıdır. LS algoritması tahmilerii kararlı bir şekilde optimum parametre değerlerie yakısayabilmesi içi µ adım parametresi 0 < µ < / λ (7) max aralığıda seçilmelidir. Burada λ max korelasyo matrisii e büyük özdeğeridir. LS algoritmasıdaki e öemli eksiklikleride biri algoritmaı kararlı kalmasıı sağlayacak kadar küçük ve ayı zamada parametre tahmilerii kısa zamada optimum değerie yakısamasıı sağlayacak kadar da büyük bir µ adım parametresi seçimii zorluğudur. LS algoritmasıı, giriş işaretii filtre uzuluğu kadar kısmıı gücü ile ormalize edilmesiyle NLS algoritması elde edilir. NLS algoritması µ e( w( ) = w( α x ( (8) olarak yazılabilir, burada paydada olası bir sıfıra bölme işlemie egel olması içi küçük bir α > 0 katsayısı kullaılır. NLS algoritması tahmilerii kararlı bir şekilde optimum parametre değerlerie yakısayabilmesi içi µ adım parametresi 0 < µ < (9) 87
iryaki, S. ve diğ.: Yei Bir Adaptif Filtreleme Yötemi:Hibrid Gs-Nlms Algoritması aralığıda seçilmelidir (reichler ve diğ., 987, Diiz, 997, Farhag-Boroujey, 998, Hayki, 00, Hayki ve Widrow, 003). Her adımda yapıla ormalizasyo işlemi µ adım parametresii λ özdeğerie ola bağımlılığıı ortada kaldırır. Böylece µ adım parametresii sayısal değeri algoritmaı daha hızlı yakısayabilmesi içi rahatlıkla büyük seçilebilir. NLS algoritmasıı gerçeklemeside yapıla ormalizasyo işlemide dolayı çarpma sayısı ilk bakışta ( 3 ) gibi görüse de, x ( ifadesii değerii hesaplaması içi gereke işlem sayısı de e düşürülebilir. Burada NLS algoritmasıdaki x ( çarpımı 88 x ( = x ( x ( ) L x ( ) (0) şeklide yazılabilir. Burada x ( ) ) çarpımı x ( ) ) = x ( x ( ) x ( ) () şeklide, daha öce hafızada saklaa toplama bir soraki adımda sadece x ( ) çarpımı ilave edilip öcede hesaplamış ola so terim x ( ) çıkarılarak elde edilebilir. Yai sadece x ( ) çarpımıda dolayı çarpma sayısı olur (reichler ve diğ., 987). Bu durumda NLS algoritmasıı gerçeklemesi içi yapıla çarpma sayısı LS algoritmasıa göre artarak ( 3) olmaktadır. Đzdüşüm (projectio algoritması olarak da adladırıla NLS algoritması ayı zamada w( ) w( parametre değişimii Euclidea ormuu karesii d( = w ( ) sıırlamasıa göre miimum yapa w ( ) parametrelerii hesaplamasıyla da elde edilebilmektedir (Goodwi ve Si, 984, Hayki, 00). AP algoritmasıda sıırlama sayısı k =,,..., P içi d( k) = w ( ) k) olmak üzere birde fazla olup, P < olmak şartıyla algoritmaı izdüşüm sayısıı belirlemektedir ve kullaıla izdüşüm sayısıa bağlı olarak işlem yükü artmaktadır (Hayki, 00, Hayki ve Widrow, 003)... GS (Gauss-Seidel) Algoritması GS algoritmasıdaki orijial fikir, e küçük kareler tahmilerii elde edilmeside, lieer deklem takımlarıı çözümüde kullaıla iteratif yötemlerde yararlamaktır. GS algoritması, adaptif filtre katsayılarıı ayarlamak içi Rw opt = p ile verile ormal deklemi çözümüde kullaılmaktadır. Burada opt w adet filtre katsayısıı içere boyutlu optimum katsayı vektörüdür. R matrisi ve p vektörü () ile verilmiştir. Bilidiği gibi R korelasyo matrisi simetrik ve pozitif taımlı ola bir matristir (Hayki, 00). Nümerik olarak, doğrusal deklem takımıı oluştura kare matrisi simetrik ve pozitif taımlı olması durumuda, GS algoritmasıı herhagi bir başlagıç değeri içi deklem takımıı sağlaya çözüm değerie iteratif olarak yakısadığı matematiksel olarak Golub ve Va Loa (996) tarafıda gösterilmiştir. GS algoritmasıyla tekrarlamalı parametre tahmi işlemii başlagıç oktası, zama ortalamalı ormal deklemi GS algoritmasıyla çözümü üzerie kuruludur. Çükü pratik uygulamalarda R matrisii ve p vektörüü değerii bilimemesi durumuda tahmi edilmiş değerleri kullaılarak bir yaklaşıklık yapılır. GS algoritması R korelasyo matrisii ve p korelasyo vektörüü birikimli tahmii değerii kullaır. Bu yaklaşık tahmii değerler adet veri grubu kullaıldığıda aşağıdaki gibi yazılabilir, R ( k) x ( k), k = p ( k) d( k) () k = max
Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 veya / çarpaı göz öüe alımada veri örekleri alıdıkça iteratif olarak R ( = R( ) x (, p ( = p( ) d( (3) şeklide gücelleebilir. Daha sora bir adımlık GS iterasyou R ( w( = p( olarak yazıla zama ortalamalı ormal deklemi çözümüde ( R ( R ( ) R ( w( ( R ( R ( ) p( w( ) = (4) L D U şeklide kullaılır, yai iterasyo idisi ayrık zama idisi olarak alımıştır. Burada R L(, R D( ve R ( U ) sırasıyla korelasyo matrisii (3) ile verile tahmii değerii alt üçge, köşege ve üst üçge kısımlarıı içere kare matrisleri gösterir. Burada (4) ile verile eşitlikte iki işlem birleştirilmiştir. Bular, korelasyo matrisi ile korelasyo vektörüü tahmi edilmesi ve GS algoritması ile zama ortalamalı ormal deklemi çözümüdür (Koçal,998). Pratik uygulamada filtre katsayıları L D i wi ( ) = pi ( Rij ( wj ( ) R j = j = i ( i =,, K, ) ij ( wj ( R (, ii (5) şeklide sırayla gücelleir. Burada R ij ( korelasyo matrisii i. satırıa ve j. sütuua dek düşe elemaıı gösterir, p i ( korelasyo vektörüü i. elemaıı gösterir ve w i ( katsayı vektörüü i. elemaıı gösterir. Ayrıca, adaptif FIR filtre kullaıldığıda ve korelasyo matrisii simetrik olduğu göz öüe alıdığıda ayı iterasyou giriş işaretii korelasyo katsayılarıa bağlı olarak i wi ( ) = pi ( ri j ( wj ( ) rj i ( wj ( r0 ( j = j = i ( i =,, K, ), (6) şeklide de yazılabilir. Burada R (k) korelasyo matrisii elemalarıı oluştura oto-korelasyo katsayılarıı ve p (k) korelasyo vektörüü elemalarıı oluştura çapraz-korelasyo katsayıları sırasıyla aşağıdaki gibi taımlaabilir. r i p i = E[ i)], ( i = 0,, K, ) (7) = E[ d( i)], ( i =,, K, ) (8) Pratik uygulamalarda bu katsayıları tahmii değerleri veri örekleri alıdıkça iteratif olarak / çarpaı göz öüe alımada aşağıdaki gibi gücelleebilir. r ( = r ( i), ( i = 0,, K, ) (9) i i p ( = p ( d( i), ( i =,, K, ) (0) i i Burada sırasıyla (9) ve (0) ile verile korelasyo katsayıları tahmilerii (6) ile birlikte kullaıldığıda elde edile algoritma stokastik GS algoritması olarak adladırılmıştır (Koçal, 008). 89
iryaki, S. ve diğ.: Yei Bir Adaptif Filtreleme Yötemi:Hibrid Gs-Nlms Algoritması Bu algoritmaı gerçeklemeside ( ) adet çarpma işlemi yapılmaktadır. Korelasyo matrisii (3) ile verile tahmi edilmiş değerii pozitif taımlı olması durumuda stokastik GS algoritması tahmileri optimum değerie yakısamaktadır (Hatu ve Koçal, 005). GS algoritması farklı bir bakış açısıyla bir optimizasyo algoritması şeklide EDS (Euclidea Directio Search) adı ile de öerilmiş ve bazı adaptif siyal işleme uygulamalarıda kullaılmıştır (Xu ve diğ. 998, 999a, 999b, Bose ve Xu, 00, abey ve diğ. 004, Bose, 004). Bu çalışmalarda Gauss-Seidel algoritması adaptif FIR filtre katsayılarıı ayarlamasıda kullaılmıştır. Öerile bu GS tabalı algoritmaları işlem yükü RLS algoritmasıda daha az olup, yakısama hızı RLS algoritmasıa yakıdır ve korelasyo matrisii özdeğer yayılımıı küçük olması durumuda RLS algoritmasıa çok yakı souçlar vermektedir (Koçal, 998, Bose, 004). 3. HĐBRĐD GS-NLS ALGORĐASI GS algoritmasıı yakısama hızı RLS algoritmasıa yakı olmakla birlikte, gerçekleme esasıda ( ) adet çarpma işlemi yapılması, algoritmaı yüksek örekleme hızlarıda kullaıl- dığı bazı uygulamalarda dezavataj oluşturabilmektedir. Bu çalışmada, yakısama hızı iyi ola GS algoritmasıyla işlem yükü az ola NLS algoritmaları birlikte kullaılarak işlem yükü GS algoritmasıda daha az ola ve NLS algoritmasıda daha hızlı yakısaya hibrid bir algoritma elde edilmiştir. Öerile hibrid GS-NLS algoritmasıı adaptif filtreleme işlemide kullaımı Şekil deki blok diyagramda görülmektedir. Öerile hibrid GS-NLS algoritmasıda, Şekil de de gördüğü gibi, uzuluklu bir adaptif filtrei katsayılarıı G < olmak üzere ilk G taesi GS algoritması ile gücellemekte ve geriye kala ( G) taesi de NLS algoritması ile gücellemektedir. Hibrid GS- NLS algoritmasıda bir öceki adımda gücellemiş katsayı vektörüü ilk G elemaı GS algoritması kullaılarak gücelleir. NLS algoritmasıda ise öcelikle ilk G elemaı gücellemiş katsayı vektörü kullaılarak alık hata bilgisii hesaplaır, sora hesaplaa alık hata bilgisi kullaılarak katsayı vektörüü geriye kala ( G) tae elemaı gücelleir. Elde edile yei hibrid algoritmaı gerçeklemeside G ( ) 3 adet çarpma işlemi yapılmaktadır, yai öerile hibrid algoritma işlem yükü açısıda GS ile NLS arasıda kalmaktadır. Ayrıca, öerile hibrid GS- NLS algoritmasıı işlem yükü, GS ve NLS algoritmaları arasıda paylaşıla parametre sayısıa bağlı olarak değişmektedir. Öerile hibrid GS-NLS algoritmasıı gerçeklemesi ve işlem yükü aşağıda detaylı olarak açıklamaktadır. x ( w ( y ( d ( Adaptif Filtre w ( e ( GS w ( NLS w ( G [ w...w G ] w ( G w ( Şekil : Hibrid GS-NLS algoritması 90
Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 Öerile hibrid algoritma iki kısımda oluşmaktadır. Bu durumda ilk kısımda kullaıla GS algoritmasıı kararlı olması içi (3) eşitliğideki gibi hesaplaa korelasyo matrisi tahmilerii pozitif taımlı olması durumuda ve ayı zamada ikici kısımda kullaıla NLS algoritmasıı kararlı olması içi kullaıla adım parametresii 0 < µ < aralığıda algoritma kararlı olacak şekilde seçilmesi durumuda hibrid GS-NLS algoritması da kararlı olacaktır. 3.. Hibrid GS-NLS Algoritmasıı Gerçeklemesi ve Đşlem Yükü Bu kısımda, GS ve NLS algoritmalarıda hesaplaa bezer ifadeler arasıdaki bağlatılar belirleerek hibrid GS-NLS algoritmasıı işlem yüküü azaltılması içi gerekli çalışmalar yapılmıştır. Öce GS algoritmasıda kullaıla korelasyo katsayılarıyla NLS algoritmasıda hesaplaa x ( vektör çarpımı arasıda bir ilişki buluarak hibrid algoritmaı işlem yüküde bir azalma sağlaabilir. NLS algoritmasıdaki x ( çarpımı i= 0 x ( = x ( i) () şeklide yazılabilir. oplam sembolüdeki idisler değiştirilerek ayı çarpım x ( = x ( i) () i= ( ) olarak da yazılabilir. Diğer tarafta, korelasyo katsayılarıı birikimli tahmii değerleri ise / çarpaı göz öüe alımada aşağıdaki gibi yazılabilir. r ( = i) i k), k = 0,, K,( ) (3) k i= Burada k = 0 içi sıfırıcı korelasyo katsayısı 0 = x ( i) i= r ( (4) olarak yazıldığıda iki parçaı toplamı halide 0 = x ( i) x ( i) i= i= ( ) r ( (5) olarak yazılabilir. Bu eşitlikte () ve (4) eşitlikleri kullaıldığıda r = r ( ) x ( ) (6) 0( 0 soucua ulaşılır. Bu souca göre x ( çarpımı sıfırıcı korelasyo katsayısıa bağlı olarak x = r ( r ( ) (7) ( 0 0 9
iryaki, S. ve diğ.: Yei Bir Adaptif Filtreleme Yötemi:Hibrid Gs-Nlms Algoritması şeklide hesaplaabilir. Görüldüğü gibi NLS algoritmasıda bulua ve (0) ile verile x ( çarpımı hibrid algoritmaı gerçeklemeside çarpma işlemi yapmada tek bir çıkarma işlemi kullaılarak hesaplaabilir. GS algoritmasıda r 0( ) korelasyo katsayısı zate hesaplamaktadır. Bu durumda hibrid GS-NLS algoritmasıı gerçeklemeside ikici aşamada, ( G) tae filtre katsayısıı gücellemek içi kullaıla NLS algoritmasıda (7) eşitliğide yararlaıldığıda, işlem yükü yapıla adet bölme işlemi ile birlikte ( G) olmaktadır. Hibrid GS-NLS algoritmasıı gerçeklemeside ilk aşamada, G adet filtre katsayısıı gücellemeside GS algoritmasıı kullaılması durumuda, her bir parametrei gücellemesi içi adet olmak üzere G adet katsayıı gücellemesi içi G adet çarpma işlemi yapılmaktadır. Ayrıca, adet oto-korelasyo katsayısıı gücellemeside adet çarpma işlemi yapılmaktadır ve G adet çapraz-korelasyo katsayısıı gücellemeside G adet çarpma işlemi yapılmaktadır. Souç olarak hibrid algoritmada ilk aşamada filtre katsayılarıı ilk G taesii GS algoritmasıyla gücellemesi durumuda ( G G ) adet çarpma işlemi yapılmaktadır. Hibrid algoritmaı ikici aşamasıda geriye kala ( G) tae filtre katsayısıı NLS algoritmasıyla gücellemesi durumuda ise ( G) adet çarpma işlemi yapılmaktadır. Souç olarak hibrid algoritmaı gerçeklemeside toplam G ( ) 3 adet çarpma işlemi yapılmaktadır. Hibrid algoritmaı gerçeklemeside, ilk aşamada G tae filtre katsayısıı gücellemek içi kullaıla GS algoritmasıdaki parametreleri yeri de işlem yüküü bir miktar etkilemektedir. Burada uzuluklu bir adaptif filtrei katsayılarıı gücellemek içi kullaılabilecek ola GS algoritması daha detaylı olarak aşağıdaki gibi verilebilir. w ( w ( w ( ) = p( 0 w ( w 3 [ r ( r ( L r ( ] r ( ) w ( ) w ( ) ( ) = p ( 0 w ( ) [ r ( r ( L r ( ] r ( ) (8) Burada w ( ) ile w ( arasıda kala filtre katsayıları, tek olduğuda 3 3 j =, L,,0,, L, w w ( ) w ( ) j ( ) p j ( r j ( r ( r ( r j ( = L L r0 ( w ( içi (9) şeklide hesaplaabilir, çift olduğuda ise 9
Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 j =, L,,0,, L, içi w ( ) = p ( r ( L r ( r ( w ( ) w ( ) ( w ( j j j j L r (30) r ( 0 şeklide hesaplaabilir. Hibrid GS-NLS algoritmasıı ilk aşamasıdaki GS algoritmasıyla gücellee sıırlı sayıdaki G adet filtre katsayısı, w ( katsayı vektörüü ortasıda seçilirse, daha az oto-korelasyo katsayısıı gücellemesiyle birlikte hibrid algoritmadaki toplam çarpma işlemi yüküü bir miktar daha azalacağı görülebilir. Öreği filtre uzuluğu i tek olması durumuda ortadaki tek sayıda G tae filtre katsayısıı, ve çift olması durumuda ortadaki çift sayıda G tae filtre katsayısıı GS algoritmasıyla gücellemesi durumuda N = ( G) / adet oto-korelasyo katsayısı kullaılmaktadır. Bu durumda hibrid algoritmaı ilk aşamasıda kullaıla GS algoritmasıdaki çarpma işlemi sayısı azalarak ( G G N) olmaktadır. Bu durumda hibrid algoritmaı gerçeklemeside toplam çarpma işlemi sayısı da bir miktar azalarak G ( ) N olmaktadır. 4. SĐÜLASYON SONUÇLARI Öerile hibrid GS-NLS algoritmasıı yakısama özellikleri yapıla bir simülasyo çalışmasıyla örek bir adaptif kaal dekleştirme problemi üzeride test edilmiştir ve bezer algoritmalarla birlikte karşılaştırmalı olarak icelemiştir. Örek olarak Hayki (00) ve Bose (004) tarafıda da kullaıla ve darbe cevabı π cos h( = W 0 ( ),, =,,3 diğer (3) ola doğrusal kaal modeli kullaılmıştır. Simülasyo çalışmasıda kullaıla sistemi blok diyagramı Şekil 3 te görülmektedir. Gecikme Rastgele Siyal Üreteci () u ( Kaal x ( v ( Adaptif Kaal Dekleştirici? y ( d ( e ( Rastgele Siyal Üreteci () Şekil 3: Adaptif kaal dekleştiricii blok diyagramı 93
iryaki, S. ve diğ.: Yei Bir Adaptif Filtreleme Yötemi:Hibrid Gs-Nlms Algoritması Blok diyagramda görüle rastgele sayı üreteci () kaalı uyarmak içi kullaıla u ( test siyalii üretmektedir. Burada u ( siyali m seviyeli ve sıfır ortalamalı rastgele siyaldir. Rastgele siyal üreteci () ise kaal çıkışıı boza rastgele gürültü kayağıdır. Simülasyo çalışmasıda sıfır ortalamalı ve varyası σ v = 0. 00 ola ormal dağılıma sahip rastgele gürültü dizisi kullaılmıştır. Bu durumda kaal dekleştiricii giriş işareti 3 = k = h( k) u( k) v( (3) eşitliği kullaılarak hesaplamıştır. Kaal dekleştirici olarak uzuluğu = ola adaptif FIR filtre kullaılmıştır. Ayrıca, kaal dekleştiricii takip etmesi gereke d ( siyali olarak 7 adım geciktirilmiş giriş siyali kullaılmıştır (Hayki, 00). Kaalı darbe cevabıdaki W parametresi giriş işaretie ait korelasyo matrisii özdeğer yayılımıı kotrol etmek içi kullaılmaktadır. Burada W değeri arttığıda korelasyo matrisii özdeğer yayılımı da artmaktadır (Hayki, 00). Bu parametre, yapıla simülasyo çalışmasıda özdeğer yayılımıı büyük olması içi ve algoritmaları yakısama özellikleri arasıdaki farkı belirgi olması içi W = 3. 7 olarak seçilmiştir. Burada öcelikle GS-NLS algoritması GS ve NLS algoritmalarıyla birlikte karşılaştırmalı olarak icelemiştir. Yapıla simülasyo çalışmasıda, NLS ve öerile hibrid GS-NLS algoritmalarıda kullaıla adım parametresi µ = olarak seçilmiştir. Birbiride farklı giriş siyallerii ve ölçme gürültüsüü kullaıldığı 500 adet simülasyou ortalaması alıarak elde edile ortalama karesel hata grafikleri Şekil 4 te görülmektedir. Burada hibrid GS-NLS algoritmasıdaki GS algoritmasıyla adaptif FIR filtrei katsayı vektörüü ilk G parametresi gücellemiştir ve GS algoritmasıyla gücellee G adet parametre sayısı sırasıyla G = 3,5,7, 9 olarak alımıştır. Elde edile souçlara göre, hibrid GS- NLS algoritmasıı yakısama hızı GS ve NLS algoritmalarıı arasıda kalmaktadır ve GS algoritmasıyla gücellee G adet parametre sayısı arttıkça, öerile hibrid GS-NLS algoritması yakısama hızıı ve hesaplaa ortalama karesel hataı miimum değerii GS algoritmasıa yaklaştığı görülmektedir. Karesel Ortalama Hata [db] 0 0 0 - NLS Alg. G = 3 (Hibrid Alg.) G = 5 (Hibrid Alg.) G = 7 (Hibrid Alg.) G = 9 (Hibrid Alg.) G = (G-S Alg.) 0-00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 örek Şekil 4: Hibrid GS-NLS algoritmasıı performasıı farklı G değerlerie bağlı değişimi (Katsayı vektörüdeki ilk G tae katsayı GS algoritmasıyla gücellemiştir) 94
Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 Daha sora, adaptif FIR filtrei katsayı vektörüü ortasıdaki G tae parametrei GS algoritmasıyla gücellediği ikici simülasyo çalışması yapılmıştır ve GS algoritmasıyla gücellee G adet parametre sayısı sırasıyla G = 3,5,7, 9 olarak alımıştır. Birbiride farklı giriş siyallerii ve ölçme gürültüsüü kullaıldığı 500 adet simülasyou ortalaması alıarak elde edile ortalama karesel hata grafikleri Şekil 5 te görülmektedir. Elde edile souçlara göre, yie hibrid GS-NLS algoritmasıı yakısama hızı açısıda GS ve NLS algoritmalarıı arasıda kaldığı görülmüştür ve GS algoritmasıyla gücellee G adet parametre sayısı arttıkça, öerile hibrid GS-NLS algoritması yakısama hızıı ve hesaplaa ortalama karesel hataı miimum değerii GS algoritmasıa yaklaştığı görülmüştür. Yapıla 500 adet simülasyo çalışmasıı ortalaması alıarak elde edile parametre tahmileri, yai adaptif kaal dekleştiricii darbe cevabı ise Şekil 6 da görülmektedir. Yapıla ikici simülasyo çalışması soucuda elde edile Şekil 5 e bakıldığıda, katsayı vektörüü ortasıdaki büyük değerli katsayıları GS algoritmasıyla gücellemesi durumuda, hibrid algoritmaı yakısama hızıı daha belirgi bir şekilde arttığı gözlemiştir. Karesel Ortalama Hata [db] 0 0 0 - NLS Alg. G = 3 (Hibrid Alg.) G = 5 (Hibrid Alg.) G = 7 (Hibrid Alg.) G = 9 (Hibrid Alg.) G = (G-S Alg.) 0-00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 örek Şekil 5: Hibrid GS-NLS algoritmasıı performasıı farklı G değerlerie bağlı değişimi (Katsayı vektörüü ortasıdaki G tae katsayı GS algoritmasıyla gücellemiştir) kaal dekleştiricii darbe cevabı.5 0.5 0-0.5-3 4 5 6 7 8 9 0 örek ( ) Şekil 6: Yapıla simülasyo çalışmasıda elde edile parametre tahmileri (Adaptif kaal dekleştiricii darbe cevabı) 95
iryaki, S. ve diğ.: Yei Bir Adaptif Filtreleme Yötemi:Hibrid Gs-Nlms Algoritması Hibrid GS-NLS algoritmasıı işlem yükü açısıda diğer algoritmalarla karşılaştırılması durumuda, = içi aşağıdaki ablo de görüle souçlar elde edilir. Bu souçlara göre, GS- NLS algoritmasıı işlem yükü, kullaıla G değerie de bağlı olarak GS ve NLS algoritmaları arasıda kalmaktadır. G değeri küçük olduğuda işlem yükü NLS algoritmasıa yakı olmakta, G < olmak üzere büyük değerler aldığıda ise işlem yükü GS algoritmasıa yakı olmaktadır. ablo. = içi hibrid GS-NLS algoritmasıı işlem yükü Algoritma: = içi işlem yükü: NLS Algoritması 5 GS Algoritması 43 Hibrid GS-NLS ( G = ) 45 Hibrid GS-NLS ( G = ) 55 Hibrid GS-NLS ( G = 3 ) 65 Hibrid GS-NLS ( G = 5 ) 85 Hibrid GS-NLS ( G = 7 ) 05 Hibrid GS-NLS ( G = 8 ) 5 Hibrid GS-NLS ( G = 0 ) 35 Hibrid algoritmaı gerçeklemeside, ilk aşamada GS algoritmasıyla gücellee sıırlı sayıdaki G adet filtre katsayısıı w ( filtre katsayı vektörüü ortasıda seçilmesi durumuda, daha az oto-korelasyo katsayısıı kullaılmasıda dolayı işlem yüküü bir miktar daha azaldığı ablo de görülmektedir. ablo. = içi hibrid GS-NLS algoritmasıı işlem yüküü azaltılması Algoritma: Đlk G adet katsayı içi: Ortadaki G adet katsayı içi: Hibrid GS-NLS ( = Hibrid GS-NLS ( = Hibrid GS-NLS ( = 3 Hibrid GS-NLS ( = 5 Hibrid GS-NLS ( = 7 Hibrid GS-NLS ( = 9 w 40 G ) [ w ] 45 [ 6] G ) [ w w ] 55 [ 5 w 6 ] G ) [ w w w3 ] 65 [ 5 w6 w7 ] G ) [ w L w 5 ] 85 [ 4 w 8 ] G ) [ w L w 7 ] 05 [ 3 w 9 ] G ) [ w L ] 5 [ ] w 9 w 5 w 6 w L 8 w L 03 w L w 0 Burada = filtre uzuluğu ve farklı G değerleri içi GS algoritmasıyla w ( katsayı vektörüü ortasıdaki G adet filtre katsayıı gücellemesi durumuda, hibrid algoritmaı toplam işlem yüküde bir miktar daha azalma olduğu görülmektedir. Bu azalma miktarı işlem yükü açısıda küçük G değerleri içi daha fazla olmaktadır. Özellikle hibrid GS-NLS algoritmasıda w ( katsayı vektörüü tam ortasıdaki katsayıı GS algoritması tarafıda gücellemesi durumuda G = içi 5 adet, tam ortadaki katsayıı GS algoritması tarafıda gücellemesi durumuda G = içi 40 adet çarpma işlemi yapılmaktadır. 96
Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 5. SONUÇLAR Bu çalışmada, adaptif filtre katsayılarıı ayarlamak içi GS ve NLS algoritmalarıı birlikte kullaılmasıyla hibrid bir algoritma oluşturulmuş ve elde edile yei algoritmaı yakısama hızı ve işlem karmaşıklığı bezer algoritmalarla birlikte karşılaştırmalı olarak icelemiştir. Elde edile souçlara göre, öerile hibrid algoritmaı işlem karmaşıklığı veya yakısama hızı açısıda bilie diğer algoritmaları arasıda kaldığı ve bir ara yötem olarak diğer algoritmalara iyi bir alteratif olduğu görülmüştür. 6. KAYNAKLAR. Bose,. ad Xu, G. F. (00) he Euclidea directio search algorithm for adaptive filterig, IEICE rasactios o Fudametals of Electroics, Commuicatios ad Computer Scieces, E85-A(3), 53-539.. Bose,. (004) Digital Sigal ad Image Processig, Joh Wiley, New Jersey. 3. Diiz, P. S. R. (997) Adaptive Filterig: Algorithms ad Practical Implemetatio, Kluwer Academic Publishers, Bosto. 4. Farhag-Boroujey, B. (998) Adaptive Filters: heory ad Applicatios, Joh Wiley & Sos, Chicester. 5. Golub, G. H. ad Va Loa, C. F. (996) atrix Computatios, 3rd Ed., Joh Hopkis Uiversity Press, Baltimore ad Lodo. 6. Goodwi, G. C. ad Si, K. S. (984) Adaptive Filterig, Predictio ad Cotrol, Pretice-Hall, Eglewood Cliffs, New Jersey. 7. Hatu,. ve Koçal, O. H. (005) Adaptif filtrelerde Gauss-Seidel algoritmasıı stokastik yakısama aalizi, Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, 0(), 87-9. 8. Hayki, S. (00) Adaptive Filter heory, 4 th Ed., Pretice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey. 9. Hayki, S., Widrow, B. (editors). (003) Least-ea-Square Adaptive Filters, Wiley-Itersciece, New Jersey. 0. Koçal, O. H. (998) A ew approach to least squares adaptive filterig, IEEE Iteratioal Symposium o Circuits ad Systems, oterey, Califoria, 6-64.. abey, G.W., Guther, J., Bose,. (004) A Euclidea directio based algorithm for blid source separatio usig a atural gradiet, IEEE Iteratioal Coferece o Acoustics, Speech ad Sigal Processig, 5, 56-564.. reichler, J. R., Johso, C. R., Larimore,. G. (987) heory ad Desig of Adaptive Filters, Wiley- Itersciece, New York. 3. Widrow, B., Stears, S. D. (985) Adaptive Sigal Processig, Pretice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey. 4. Xu, G. F., Bose,., Schroeder, J. (998) Chael equalizatio usig a Euclidea directio search based adaptive algorithm, IEEE Global elecommuicatio Coferece, 6, 3063-3068. 5. Xu, G. F., Bose,., Schroeder, J. (999a) he Euclidea directio search algorithm for adaptive filterig, IEEE Iteratioal Symposium o Circuits ad Systems, 3, 46-49. 6. Xu, G. F., Bose,., Kober, W., homas, J. (999b) A fast adaptive algorithm for image restoratio, IEEE rasactio o Circuits ad Systems-I, 46(), 6-0. akale.05.008 tarihide alımış, 3.08.008 tarihide kabul edilmiştir. İletişim Yazarı: O. H. Koçal (kocal@uludag.edu.tr). 97