EKONOMİK BİR UYGULAMA İLE KENDİNDEN UYARIMLI EŞİKSEL DEĞİŞEN VARYANSLI OTOREGRESİF MODEL

EKONOMİK BİR UYGULAMA İLE KENDİNDEN UYARIMLI EŞİKSEL DEĞİŞEN VARYANSLI OTOREGRESİF MODEL Ümran M. TEKŞEN KAHRAMAN *, Aşır GENÇ ** ÖZET Bu çalışmada, eşiksel ooregresif (TAR) modeller sınıfından kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) modelin yapısı üzerinde durulmuşur. Model paramerelerini belirlemek için Tsay (989) in önerdiği yönem kullanılmışır. Farklı reimlerde oralamanın yanı sıra varyansa da eşiksellik yapısı düşünülerek varyansın modellenmesine çalışılmışır. Uygulama verisi olarak 3..25-3.2.2 dönemini kapsayan serbes piyasadaki günlük alın fiyaları serisi TL cinsinden alınarak bir model oluşurulmuşur. Anahar Kelimeler: Kendinden Uyarımlı Eşiksel Ooregresif Model, Lineer Olmama Tesi, Eşiksel ARCH Model SELF-EXCITING THRESHOLD AUTOREGRESSIVE MODEL WITH A ECONOMIC PRACTICE ABSTRACT In his sudy, srucure of a self-exciing hreshold auoregressive (SETAR) model which belongs o hreshold auoregressive (TAR) model class and choosing is parameers are emphasized. To deermine parameers of model, mehod which was offered by Tsay (989), was used. Besides mean in differen regime, i was considered variance has hreshold. A model which was based on daily gold prices which were aken as Turkish lira and in period 3..25-3.2.2 were applied for numerical example was creaed. Keywords: Self-Exciing Threshold Auoregressive Model, Nonlineariy Tes, Threshold ARCH Model * Dr., Selçuk Üniversiesi, İsaisik Bölümü. ** Prof.Dr., Selçuk Üniversiesi İsaisik Bölümü. Ekonomik Bir Uygulama İle Kendinden Uyarımlı Eşiksel Değişen Varyanslı Ooregresif Model

. GİRİŞ Bu çalışmada, bir zaman serisi için reim değişimine imkân veren modeller ele alınacakır. Eşiksel model serinin oralamasında veya varyansında (veya her ikisinde) farklı paramerelere izin verebilmekedir. Zaman içinde bilinen bir nokada reimini değişiren süreçler için deerminisik süreç ifadesi kullanılmakadır. Reim değişimi olan faka yeri kesirilemeyen süreçler ise sokasik reim göseren süreçlerdir. Deerminisik süreçler için doğrusal zaman serisi modelleri kullanılmakadır. Sokasik reim göseren süreçler için ise farklı modeller bulunmakadır. Bunlardan her reiminde doğrusal bir AR modeli ile modellenebilen zaman serilerinin dinamik davranışı bu çalışmanın konusunu oluşurmakadır. Yani, ooregresif paramereleri reime bağlı olarak değişen AR modelleri ile modellenebilen zaman serileri ele alınacakır. Modellerden en çok öne çıkanı, eşiksel ooregresif (TAR) modelidir. İlk olarak Tong (978) ve Tong ve Lim (98) arafından ele alınmışır. Daha sonra Tong kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modeli (SETAR) (99) geniş bir biçimde açıklamışır. Tong (978) un gelişirdiği kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modeller oldukça geniş bir uygulama alanına sahip olmuşur. Örneğin, Tong ve Yeung (99) su kirliliği verisi, Yadav, Pope, Paudyal (994) Fuure piyasalar, Waier ve Richardson (995) epidemiyoloik uygulamalar, Lewis ve Ray (997) deniz yüzeyi sıcaklığı, Mongomery ve diğ. (998) US işsizlik oranları, Fuech ve diğ. (998) medikal çalışmalar, Clemens ve Smih (2) borsa oranları, Baragona ve diğ. (23) eşiksel modellerde geneik algorima kullanımı, Feng ve Liu (23) Kanada GDP verisi, Kaiani, Keih ve Mcleod (25) SETAR modelde yapay sinir ağları kullanımı, Khadaroo (25) enflasyon verisi, Huang, Hwang ve Peng (25) perol fiyaları verisi, Huchison ve diğ. (2) Hindisan sermaye konrolleri verisi, Pinson ve diğ. kıyı rüzgarları verisi, Campenhou (26) yiyecek piyasası rendleri, Chen (2) Çin sermaye konrolleri, Yang ve Li (22) DNA opimizasyonu için SETAR modeli kullanmışır. SETAR model, bir zaman serisinin oralamasında farklı reimlere izin vermekedir. Her bir reimdeki süreç doğrusal AR süreci olarak ifade edilmekedir. Bu çalışmada, ayrıca, her reimde değişen varyanslı bir sürece izin veren koşullu değişen varyanslı eşiksel ooregresif (SETARCH) model ele alınacakır. Böylece finansal serilerin asimerik yapısının modellenmesi amaçlanmakadır. Çalışmanın içeriği, ikinci bölümde SETAR model ve yapısal paramerelerinin belirlenmesi, üçüncü bölümde SETAR modelin SETARCH modele genişleilmesi ve modelin özellikleri ile son bölümde de Türkiye deki alın fiyaları serisinin ele alınarak SETARCH modelin oluşurulması şeklinde düzenlenmişir. 2. TEK DEĞİŞKENLİ SETAR MODELİ Kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) modeller, sınırlı döngü ve eşiksellik kavramlarıyla ilgili olduğu için geniş bir uygulama alanına sahipir. SETAR modelin çok kullanılmasının bir diğer nedeni de diğer lineer olmayan zaman serisi modellerine göre daha kolay uygulanmasıdır. 2 Ümran M. TEKŞEN KAHRAMAN, Aşır GENÇ

Y k reimli bir SETAR d ; p, p,..., p ) modeli, φ φ = ( φ () (2) k ) + + + p = p 2 = p k = φ φ φ () Y (2) ( k ) ( 2 k Y Y + ε + ε () (2) ( + ε k ), Y d, r k r, r < Y d < Y r d 2 () şeklinde kurulur (Chan ve diğ., 24). Burada k, modeldeki reim sayısı, d, gecikme parameresi ve p i de modelin i. reimindeki ooregresif sürecin sırasıdır. Eşik paramereleri, = r < r < r2 <... < r k < rk = (2) (i) sınırlarını sağlar. Her bir i. Reimdeki normal iid rasgele değişkenler ε, sıfır 2 oralamalı ve sabi σ i < ( i =,2,..., k) varyanslıdır. SETAR sürecinde üç önemli durum göze çarpar: a) AR modelin derecesi p, reimler arasında farklılık göserebilir. 2 ( ) b) Reimler arasında sadece gürülü erimlerinin varyansı σ = Var( a ) farklılık göseriyorsa SETAR modeli homoen olmayan doğrusal bir AR modeli haline gelir. ( ) c) Farklı ler için yalnızca sabi erim φ farklılık göseriyorsa bu kez de model, düzeyin rasgele değişiği bir modele indirgenir (Tsay, 989). Modeldeki üssimgeler reimleri gösermekedir. Her bir reimde zaman serisi değişkeninin dinamik davranışı doğrusal bir ooregresif süreçir. Herhangi bir zamanındaki reim { Y } nin geçmiş gözlemlerine bağlıdır. Özellikle de Y değerine bağlıdır. d 2.. Eşiksel Doğrusal Olmama için Tes Eşilik () ile verilen SETAR modeli ele alınsın. p = p2 =... = pk ve () (2) ( k ) φi = φi =... = φ, i i =,,..., p olursa SETAR modeli p sıralı doğrusal bir ooregresif sürece dönüşür. Doğrusal olmayan eşiksel bir durumun varlığını es emek için sıralı ooregresyon sürecine dayalı bir es gelişirilmişir (Tsay, Ekonomik Bir Uygulama İle Kendinden Uyarımlı Eşiksel Değişen Varyanslı Ooregresif Model 3

989). Hazırlanan es sıralı ooregresyona ve bu regresyonun arıklarına bağlıdır. n gözlemli Y serisi için, Y (, Y,..., Y p) β a = +, = p+,..., n şeklinde AR( p ) regresyonu elde edilsin. Burada, β, ( p + ) boyulu kasayılar vekörü ve a gürülü sürecidir. Burada ( Y,, Y,..., Y p), AR( p ) modeli için bir durumdur. Sıralı ooregresyon regresörlerin yeniden sıralanmış durumuna bağlı olarak oluşurulursa, p ( ) ( ) ( ) = φ + φi i+, d i= Y Y a r Y r (3) olmak üzere, p = max{ p,..., p k } ve d p değerleri için { Y,..., Y n } zaman serisi gözlenmiş olsun. () i, { Yp+ d,..., Yn d} dizisinin i. en küçük gözleminin zaman indeksini gösersin. Sıralı ooregresyon, Y() + d Y() + d Y() Y() + d p φ a() + d Y(2) + d Y(2) + d Y(2) Y(2) + d p φ a(2) + d = + Y Y Y Y φ a ( ) + d ( ) + d ( ) ( ) + d p p ( ) + d (4) biçiminde yazılabilir. Burada = m, m +,..., n p dir. m, sıralı regresyondaki başlangıç gözlemlerinin sayısıdır. m ( n /) + p olarak önerilmişir (Tsay, 989). Eşilik (4) deki sıralı ooregresyonlar, genellikle, SETAR modelinin reim gösergesi olan Y d değişkeni ile ayrılır. Burada her için, bir adım ileri öngörü haası e ˆ hesaplanabilir. Modelin doğrusal AR(p) sürecine sahip ( + ) + d olduğu varsayımı alında, sandardize öngörü haaları yalnızca bağımsız ve aynı dağılımlı olmakla kalmaz, aynı zamanda { Y ( ) d,..., Y } regresörleri + + ( + ) + d p ile de orogonaldir. Ancak gerçek model doğrusal olmayan SETAR süreci ise, orogonallik bozulur. Bu özellik kullanılarak, e = Y β +η (5) regresyon modeli oluşurulsun. Burada e, ( e ˆ,..., ˆ m+ ) + d e( n p) + d ) vekörü, Y, = m, m +,..., n p olmak üzere { Y( + ) + d,..., Y( + ) + d p} regresörlerinin marisi, β, p boyulu paramere vekörü ve η haa vekörüdür. Eşilik (5) eki regresyon modelinde ( 4 Ümran M. TEKŞEN KAHRAMAN, Aşır GENÇ

H : β = hipoezinin esi için kullanılan F isaisiği orogonalliği ve SETAR ip doğrusal olmamayı es emede de kullanılabilir. F isaisiği, doğrusal regresyon modelinin anlamlılığını es eden varyans analizi ablosu yardımıyla hesaplanır (Tsay, 989). Eşilik (5) e F esinin uygulanması için p ve d değerlerinin verilmesi gerekir. Ancak uygulamada, bunlar genellikle bilinmez. 2.2. Yapısal Paramerelerin Seçimi p nin seçimi için X serisinin kısmi ookorelasyon fonksiyonunun (PACF) kullanılması önerilmişir (Tsay, 989). p değeri belirlendiken sonra en büyük F isaisiği değerini veren d seçilir. Reim sayısı k ve eşik paramerelerinin yerlerini belirlemek için de çeşili saçılım grafiklerinin kullanılması önerilmişir. Eşilik (4) deki sıralı ooregresyon denkleminden l p olmak üzere = m,..., n p değerleri için l. AR kasayısının oranları hesaplanabilir. oranı, regresyon kasayısının sıfırdan farklı olup olmadığını es emek için hesaplanan es isaisiğidir. Kasayı önemli olduğu zaman oranları kademe kademe ve yumuşak bir geçişle belirli bir değer erafında yinelemeli harekeler yapmaya başlar. Bir eşiğe ulaşıldığında ahmin edilen AR kasayısı değişmeye başlar, oranı da değişmeye başlar, bazen de yön değişirir. Böylece, oranlarına karşı çizilen X d reim değişkeninin saçılım grafiği eşik değerlerinin yeri konusunda oldukça faydalı bilgiler sağlayabilir. Son olarak da, AR sırasını ( p k p ) iyileşirmek için her bir reimde Akaike bilgi krieri (AIC) kullanılır (Chan ve diğ., 24). p ve d değerlerini belirlemek için aşağıdaki yol önerilebilir. Adım X serisine ilişkin PACF değerleri yardımıyla p belirlenir. Adım 2 İndislerde gerekli sıralamalar yapılarak Eşilik (5) deki regresyon modeli oluşurulur. Adım 3 Mümkün d =,2,, p değerleri için sırasıyla = m, m +,..., n p gözlemli ooregresyon eşilikleri ile bir sonraki gözlem haası e ˆ bulunur. ( + ) + d Adım 4 Eşilik (5) yardımıyla her bir d değeri için F isaisiği değeri hesaplanır. Adım 5 En büyük F değerini veren d seçilir. Reim sayısı ve eşik paramerelerinin yerlerini belirlemek için ise şu adımlar verilebilir. Adım Eşilik (4) den = m,..., n p gözlem sayıları için l. AR kasayısının önemliliğini es eden isaisikleri hesaplanır. Adım 2 Y d değişkenine karşı değerlerinin grafiği çizilir. Adım 3 değerlerinin ani değişme yapığı bölgelerde eşik parameresi AIC kullanılarak araşırılır. Reim sayısı eşik parameresi sayısından fazla olacakır. Ekonomik Bir Uygulama İle Kendinden Uyarımlı Eşiksel Değişen Varyanslı Ooregresif Model 5

2.3. Paramere Tahmini ve Model Yeerliliği Eşilik (4) deki sıralı ooregresyon marisi, d, k, p,..., p, r,..., ) ( k r k değerleri belirlendiğinde k reime bölünmüş olur. π, l nin en büyük değeri olsun. Bu durumda l =,..., k için { rl < Y } r olur. π = ( π l ) l ve π = n p olarak anımlansın. Verinin. reimi için k l ( ) Y = A φ + a (6) doğrusal modeli elde edilir. Burada Y ve A, sırasıyla, gözlemlerin vekörü ve sıralı ooregresyonun. reimindeki veri marisidir. ve ( ) ( ) ( ) ( ) φ = ( φ, φ,..., φ ) (7) p a ( ) ( ) ( ) ( a ), ( 2),..., ( ) ) d a d a (8) π π π d = ( + + + + + şeklindedir. ( ) En küçük kareler ahminleri φ, =,2,..., k için klasik en küçük kareler yönemi ile elde edilebilir. Dolayısıyla, ( ) ˆ ' ' φ = ( A A ) ( A Y ) (9) şeklindedir. Model ahmin edildiken sonra arıklara ilişkin hisogram ve ookorelasyonlar incelenerek modelin yeerliliğine karar verilebilir (Chan ve diğ. 24). Haa erimlerinin normal dağılıma sahip olup olmadığına çeşili isaisiksel esler aracılığıyla veya grafik yönemleriyle karar verilebilir. 3. SETARCH MODELİNİN TANITIMI VE VARSAYIMLARI Engle (982) in gelişirdiği ARCH ipi modellerin en büyük dezavanaı, model kasayılarının gözlem dönemi boyunca aynı olduğunu varsayması ve asimerik reim değişimi olasılığını hesaba kamamasıdır. Finansal zaman serilerinde koşullu varyansın davranışı, çoğunlukla bir önceki geiriye göre asimerik yapıdadır (Franses ve Dik, 2). Durgunluk dönemlerinde, finansal varlıkların oynaklığı yüksek seviyelerdedir. Bir Wall Sree deyimine göre, yükselen piyasada işlem hacmi görece daha çok, düşen piyasada ise daha azdır. Böyle bir asimeri yapısı fiya-işlem hacmi için de geçerlidir. Böylece denilebilir ki, asimerik oynaklık finansal zaman serilerinin karakerisik özelliğidir (Li ve 6 Ümran M. TEKŞEN KAHRAMAN, Aşır GENÇ

Li, 996). Bu yapıdaki serileri modellemek için kendinden uyarımlı eşiksel koşullu değişen varyanslı ooregresif (SETARCH) model hazırlanmışır., rasgele değişkenleri ile üreilmiş bir -alanı olsun. verildiğinde, her için, sıfır oralamalı ve koşullu varyanslı normal dağılıma sahip rasgele değişkendir. Burada,, verilen için koşullu beklenen değerdir. Bir zaman serisi,, () koşullarını sağlıyorsa eşiksel koşullu değişen varyanslı ooregresif süreçir denilir. Model, oralama ve varyans için farklı gecikme ve eşik paramerelerine olanak sağlar. Ayrıca, eşiksellik ekisi oralama ve varyansa aynı anda oraya çıkmayabilir. SETARCH model, Tong (978) un eşiksel modelinin bir genişleilmesidir. SETARCH model de eşiksel modele özgü koşullu oralama yapısına sahip olduğundan aynı lineer olmama karakerisikleri geçerlidir. () modeli SETARCH ( ) ile göserilir. Burada paramereleri her bir reimdeki AR sırasını gösermekedir. ise aynı reimdeki ARCH sırasını gösermekedir. Eğer bir reimdeki ARCH sırası sıfır ise, bu reimin koşullu varyansı sabiir. Eşilik () da yerine veya ifadesi de gelebilir. ARCH modelin varsayımları Weiss(986) arafından alı koşul halinde özelenmekedir. () zaman serisi durağan ve ergodikir. (2) (3) Koşullu varyansın üm paramereleri sıfır veya sıfırdan büyükür. ve, ve (4) doğrusal olarak bağımsızdır. (5), her reimde sabise () modeli durağandır. (6) olsun. ise dir. Aynı durum için de geçerlidir. Koşullardan (), (2), (3) ve (5) durağan bir koşullu değişen varyanslı ve eşiksel lineer olmayan zaman serisi süreci için verilen varsayımlardır (Tong, 99). (4) koşulu paramerelerinin anımlı olmasını sağlar (Weiss, 986). (6) koşulu ise am bir SETARCH modelin anımlı olması için gereklidir (Li ve Li, 996). SETARCH modelin oluşurulmasında ilk olarak modelin koşullu oralama yapısındaki gecikme, eşik paramereleri ve AR sırası belirlenir. Eğer bir eşiksellik yapısı sapanırsa ikinci kısımda () eşiliği ile verilen koşullu varyans ARCH yapısı belirlenir. Eşiksellik sapanamazsa, en uygun AR modelden elde edilen arık karelere Tsay in yönemi uygulanarak eşiksellik yapısı ve ARCH sırası belirlenir. Bir eşiksellik yapısı belirlenirse am bir SETARCH modeli düşünülür. İkinci adım Tsay in yönemini koşullu varyansa genişleir. Modelleme süreci şöyle özelenebilir: Ekonomik Bir Uygulama İle Kendinden Uyarımlı Eşiksel Değişen Varyanslı Ooregresif Model 7

Adım Önceki bölümde ele alınan SETAR modelleme süreci uygulanarak bir koşullu oralama eşiliği oluşurulur. Adım 2 Adım de oluşurulan geçici modelden arık kareleri hesaplanır. Adım 3 Arık kareleri kullanılarak her bir reimdeki ARCH sırası belirlenir. Adım 4 () daki koşullu oralama ve koşullu varyans eşilikleri belirlendiken sonra SETARCH modelin paramereleri en çok olabilirlik yönemiyle hesaplanır. Adım 5 Her reimdeki AR ve ARCH sırası AIC ile düzenlenir. Adım 6 Adım 5 ile elde edilen en son modele model yeerliliği krierleri uygulanır ve gerekiyorsa ()-(5) adımları yeniden uygulanır. Koşullu oralama modelinin yeerliliğini es emek için arık ookorelasyonları hesaplanır. Ardışık bağımlılık esleri, arık varyansının sabiliğine ilişkin esler ve arıkların normallik incelemesi yapılarak model yeerliliği ile ilgili karar verilir. 4. UYGULAMA Bu bölümde, alın fiyaları verisi kullanılarak SETAR modelleme yönemi göserilecekir. Uygulama verisi olarak, 3..25-3.2.2 dönemini kapsayan 3 gözlemli serbes piyasadaki günlük alın fiyaları TL cinsinden alınmış ve ( ) işlemi uygulanmışır. Veri ( ), web üzerinden hp://www.iab.gov.r/ay_veri.asp adresinden derlenmişir. Sayısal hesaplamalar ve grafikler MATLAB 7.7.(R28b) oramında hazırlanmışır. Bir zaman serisinde Tsay (989) in yönemiyle eşiksel doğrusal olmama esi yapmak için ilk olarak serinin durağan zaman serilerindeki gibi AR sırası belirlenir (Yue ve Xiaonan, 2). serisi için birim kök araşırması yapılmış ve genişleilmiş Dickey-Fuller (ADF) es isaisiği sonuçları üç model için, Tablo deki gibi elde edilmişir. Modele dahil edilen gecikme sayısı SIC ile seçilmişir. Tablo. Alın fiyaları serisi için ADF esi sonuçları Kesmeli ve rendli.587 Kesmeli ve rendsiz.355 Kesmesiz ve rendsiz.9978 Alın fiyaları verisi birim kök içerdiğinden geiri serisi hesaplanarak işlem yapılacakır. 8 Ümran M. TEKŞEN KAHRAMAN, Aşır GENÇ

Bu dönüşüm finans ve ekonomi lieraüründe sandar bir dönüşümdür. Alın fiyaları serisi ve geiri serisinin zamana göre değişimini göseren grafik Şekil ile verilmişir. serisi için de ADF esi ile birim kök incelemesi yapılmış ve serinin birim kök içermediği görülmüşür (Tablo 2). Tablo 2. serisi için ADF esi sonuçları Kesmeli ve rendli. Kesmeli ve rendsiz. Kesmesiz ve rendsiz. Serinin kısmi ookorelasyon fonksiyonları Tablo 3 deki gibi hesaplanarak AR sırası olarak belirlenmişir. Kısmi ookorelasyon grafiği Şekil 2 de yer almakadır. Tablo 3. serisinin kısmi ookorelasyonları* Sıra PACF Sıra PACF Sıra PACF Sıra PACF Sıra PACF -.65 -.6 2 -.28 3 -.5 4. 2 -.9 2.37 22.5 32 -. 42 -.7 3 -.26 3 -.3 23 -.49 33. 43.5 4 -.25 4 -.4 24 -.28 34.24 44.4 5.84 5 -.8 25 -.3 35 -.28 45 -.9 6.46 6.25 26 -.3 36.33 46 -.48 7 -.65 7.2 27.46 37 -. 47 -.2 8.6 8.33 28. 38.28 48 -.46 9.48 9 -.33 29 -.26 39.2 49.5.45 2.4 3 -. 4.24 5 -.52 *Sınırlar -.553 ve.553 ür. Şekil. Alın fiyaları serisi ve geiri serisinin zamana göre değişim grafiği Ekonomik Bir Uygulama İle Kendinden Uyarımlı Eşiksel Değişen Varyanslı Ooregresif Model 9

AR sırası belirlendiken sonra kümesi için isaisikleri Tablo 4 deki gibi hesaplanmışır. ablo değeri olduğundan bir lineer olmama durumunun varlığından söz edilir. için en yüksek isaisiğini veren değeri eşik değeri belirlemede kullanılacakır. Öncelikle için yinelemeli regresyon arıklarının ve anlamlı çıkan kasayılar için oranlarının reim değişkenine karşı grafikleri elde edilmişir (Şekil 3 ve 4). Şekil 2. serisinin PACF grafiği Ümran M. TEKŞEN KAHRAMAN, Aşır GENÇ

Sample Parial Auocorrelaions.8.6.4.2 -.2 2 3 4 5 Lag Tablo 4. isaisiği değerleri 7 4.4 7 2 4.328 7 3 3.67 7 4 2.798 7 5 3.293 7 6 2.449 7 7 3.249 Şekil 3. reim değişkenine karşı ê saçılım grafiği Şekil 4. Yinelemeli regresyon AR kasayıları oranlarının değişkenine karşı saçılım grafiği reim Ekonomik Bir Uygulama İle Kendinden Uyarımlı Eşiksel Değişen Varyanslı Ooregresif Model

Reim değişkeni ye karşı ê arıklarının saçılım grafiği reim değişkeni konusunda açık bir bilgi vermemekedir. Anlamlı çıkan, 5 ve 7. gecikmelerin AR kasayılarının ye karşı grafikleri incelenecek olursa. ve 7. gecikme kasayılarının dan önce ve sonra olmak üzere açık bir şekilde yön değişirdiği görülmekedir. Bu nedenle, iki eşikli ve üç reimli bir model 2 Ümran M. TEKŞEN KAHRAMAN, Aşır GENÇ

oluşurulmaya çalışılacakır. İlk eşik değeri için [-.5,] aralığından ve ikinci eşik değeri için [,.6] aralığından modelin AIC değerini en küçük hale geirecek şekilde seçim yapılmışır. Birinci ve ikinci eşik değerinin AIC değerini göseren grafikler Şekil 5 ile verilmişir. Buna göre, ve olarak belirlenmişir. Şekil 5. Eşik değerine göre modelin AIC değerleri Eşik değerleri belirlendiken sonra olmak üzere SETAR(3,7,7,7) modelinin arıklarının değerlendirilmesine geçilmişir. Arıklara ve arık karelerine ilişkin ookorelasyon fonksiyonu değerleri Tablo 5 de verilmişir. Arıkların ookorelasyon değerleri sınır değerlerin alında kalırken arık kareleri için 4. sıra ookorelasyonunun anlamlı olduğu görülmekedir. Tablo 5. Arıkların ve arık karelerinin ookorelasyon fonksiyonu değerleri* Sıra ACF( ) ACF( ) Sıra ACF( ) ACF( ) -.92.279.42.94 2.8.62 2.323.234 3 -.9.44 3.23.26 4 -.7.676 4 -.49.46 5 -.77.27 5.268.48 6.43.55 6.8.3 7 -.233.425 7.22 -.33 8 -.422.32 8.2.536 9 -.464.66 9 -.8.72 -.95.9 2 -.8.69 * Sınırlar -.554 ve.554 dür. ( ) = (2, 3, -.399,.544) paramerelerine göre AIC değerini en küçük hale geirecek şekilde reimlerde AR sıraları güncellenmiş ve ARCH-LM Ekonomik Bir Uygulama İle Kendinden Uyarımlı Eşiksel Değişen Varyanslı Ooregresif Model 3

esi uygulanarak ARCH sırası belirlenmişir. ARCH-LM esi yalnızca ilk reim için anlamlı çıkmışır. İsaisik değeri.864 ( ) olarak elde edilmiş ve ARCH sırası da 4 olarak belirlenmişir. Buna göre SETARCH modeli, olarak elde edilmişir. Paranez içindeki sayılar paramerelerin sandar sapmalarını gösermekedir. Her reim için gözlem sayıları, ve dir. Haa kareler oralaması ise sırasıyla 2.97,.96 ve 2.67 dir. SETARCH modelin arıklarını incelerken ilk olarak arıkların anımlayıcı isaisikleri ele alınabilir. Tablo 4 den görüleceği gibi arıklarda hafif sağa çarpık ve sivri bir dağılım gözlenmişir. Ookorelasyon fonksiyonu ve hisogram grafikleri Şekil 7 ile verilmişir. Tablo 4. Arıkların anımlayıcı isaisikleri Sd. n En küçük En büyük Oralama Çarpıklık Basıklık Sapma 33-8.7258 8.358.273.565.633 3.637 Arıkların ardışık bağımlılığını incelemek için ookorelasyon fonksiyonları ve Lung-Box Q es isaisiği kullanılmışır. Q(3)=23.56 ve Q(6)=44.26 olarak hesaplanmışır. İsaisikleri kıyaslamak için ablo değerleri =33.92 ve =67.5 olduğundan arıkların ardışık bağımlılık gösermedidiği söylenebilir. Arıkların varyansının sabiliğini es emek için ise McLeod esi kullanılmışır. McLeod esi de Lung-Box Q isaisiği ile aynı ablo değerleri ile karşılaşırılır. Q(3)=39.78 ve Q(6)=2.6 olarak hesaplandığından arıkların varyansının sabi olmadığı söylenir. Arıkların normalliğini sınamak için de Kolmogorov-Smirnov ve Jarque-Bera es isaisikleri kullanılmış ve K-S es isaisiği değeri 2.962 ( ) ve JB es isaisiği de 57.5 olarak elde edilmişir. Jarque-Bera esi için kriik değer =5.99 dur. Her iki isaisiğe göre de arıklar normal dağılıma uymamakadır. 4 Ümran M. TEKŞEN KAHRAMAN, Aşır GENÇ

Şekil 7. SETARCH modelinin arıklara ai ookorelasyon fonksiyonu grafiği ve hisogram.2 ACF of Residuals Sample Auocorrelaion. -. -.2 5 5 2 25 3 35 Lag 7 6 5 4 3 2 - -5 5 Tahmin edilen doğrusal zaman serisi modelinin geçerli olabilmesi için modelin arıklarının korelasyonsuz olması ve beyaz gürülü sürecine sahip olması gerekmekedir (Kınacı, 25). Ancak elde edilen modelin arıkları beyaz gürülü sürecine uymamakadır. Bu nedenle varyansı modellemek için genelleşirilmiş ARCH (GARCH) model veya diğer ARCH ve GARCH model ürevleri kullanılabilir. Bu çalışmada ARCH dışındaki modeller konu dışı olduğundan burada değinilmeyecekir. 5. SONUÇ Zaman serilerinin nasıl bir davranış sergilediğini öngörmek oldukça zordur. Özellikle ekonomik ve finansal zaman serilerini her zaman doğrusal olarak modellemek yeersiz kalabilmekedir. Bu nedenle gelişirilen doğrusal olmayan zaman serisi modellerinden eşiksel modeller, farklı reimlere izin vermesi açısından faydalıdır. Eşiksel ooregresif modeller ekonomik verilerde geiri serilerinin modellenmesinde oldukça kullanışlı olmakadır. Oralama ve varyans için farklı reimlerde farklı kasayıların oluşurulması ooregresif kalıba daha esnek bir yapı vermekedir. Türkiye de 3..25-3.2.2 dönemindeki günlük alın fiyaları verisinin doğrusal olmayan bir yapıda olduğu görülmüşür. SETAR ipi doğrusal olmamayı es eden Tsay (989) in F esine göre eşiksel model uygulanabilir. Alın geirisinin -.399 dan küçük olması ve.544 den büyük olması ile bu iki değer arasında kaldığında farklı modeller ile modellenebileceği görülmüşür. Ekonomik Bir Uygulama İle Kendinden Uyarımlı Eşiksel Değişen Varyanslı Ooregresif Model 5

Ancak arık varyanslarının sabi olmaması ve arıkların beyaz gürülü sürecine uyum gösermemesi açısından varyansın modellenmesi ile ilgili bu çalışmada değinilmeyen diğer modellerin de incelenmesinin fayda geireceği söylenebilir. Alını Bu çalışma, Ümran M. Tekşen Kahraman arafından Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Bölümüne sunulan Çok Değişkenli Eşiksel Ooregresif Modeller Üzerine Bir Çalışma isimli Dokora ez çalışmasının (Konya, Türkiye, 22) bir parçasıdır. Çalışma, Selçuk Üniversiesi Bilimsel Araşırma Proeleri (BAP) Koordinaörlüğü arafından 2/25 proe numarasıyla desek almışır. 6 Ümran M. TEKŞEN KAHRAMAN, Aşır GENÇ

KAYNAKLAR Baragona, R., Baaglia, F., (24), Esimaing hreshold subse auoregressive movingaverage models by generic algorihms, METRON- Inernaional Journal of Saisics, vol. LXII, No:, 39-46. Campenhou B.V., (26), Modelling rends in food marke inegraion: Mehod and an applicaion o Tanzanian maize markes, Food Policy, Volume 32, Issue. Chen, J., (22), Crisis, Capial Conrols and Covered Ineres Pariy: Evidence from China in Transformaion, Paris-Jourdan Sciences Economiques, CNRS : UMR8545. Clemens, M., Smih, J., (2), Evaluaing Forecass from SETAR Models of Exchange Raes, Journal of Inernaional Money and Finance, vol.2, 33-48. Dufreno, G., Guegan, D., Peguin-Feissolle, A., (28), Changing-regime volailiy: a fracionally inegraed SETAR model Applied Financial Economics, Taylor and Francis Journals, vol. 8(7), 59-526. Engle, R.F., (982), Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion, Economerica, Vol. 5, No. 4, 987-8. Feng, H., Liu, J., (23), A SETAR model for Canadian GDP: non-lineariies and forecas comparisons, Applied Economics, Volume 35, Issue 8. Franses, P.H., Dik, D., (2), Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance, Cambridge Universiy Press, Cambridge. Galeano, P., Pena, D., (27), Improved model selecion crieria for SETAR ime series models, Journal of Saisical Planning and Inference, Volume: 37, Issue: 9, 282-284. Gonzalo, J., Wolf, M., (25), Subsampling inference in hreshold auoregressive models, Journal of Economerics, 27, 2 224. Huang, B.N., Hwang, M.J., Peng, H.P., (25), The asymmery of he impac of oil price shocks on economic aciviies: An applicaion of he mulivariae hreshold model, Energy Economics, Volume 27, Issue 3. Huchison, M., Kendall, J., Pasricha, G., Singh, N., (2), Indian Capial Conrol Liberalizaion: Evidence from NDF markes, Munich Personal RePEc Archive. Kaiani, Y., Keih, W.H., Mcleod, A.I., (25), Forecasing nonlinear ime series wih feedforward meural neworks: a case sudy of Canadian lynx daa, Journal of Forecasing, Volume 24, Issue 2. Kapeanios, G., Shin, Y., (26), Uni roo ess in hree-regime SETAR models, The Economerics Journal, Vol. 9, Issue 2, 252-278. Khadaroo, A.J., (25), A hreshold in inflaion dynamics: evidence from emerging counries, Applied Economics, Volume 37, Issue 6. Kınacı, İ., (25), Lineer Olmayan Zaman Serisi Modelleri, Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Dokora Tezi, Konya. Li, C.W., Li, W.K., (996), On a Double Threshold Auoregressive Heeroscedasic Time Series Model, Journal of applied Economerics, vol., 253-274. Mongomery, A., Zarnowiz, V., Tsay, R.S., Tiao, G., (998), Forecasing he US unemploymen Rae, Journal of he American Saisical Assosicaion, vol:93, 478-493. Pinson, P., Chrisensen, L.E.A., Madsen, H., Sørensen, P.E., Donovan, M.H., Jensen, L.E., (28), Regime-swiching modeling of he flucuaions of offshore wind generaion, Journal of Wind Engineering and Indusrial Aerodynamics, Volume 96, Issue 2. Seo, M.H., (28), Uni roo es in a hreshold auoregression: asympoic heory and residual-based block boosrap, Economeric Theory, 24, 699-76. Srikholm, B., Teräsvira, T., (26), A sequenial procedure for deermining he number of regimes in a hreshold auoregressive model, Economerics Journal, 9, 472-49. Tekşen Kahraman, Ü.M., (22), Çok Değişkenli Eşiksel Ooregresif Modeller Üzerine Bir Çalışma, Yayımlanmamış Dokora Tezi, Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü, Konya. Tong, H. and Lim, K.S., (98), Threshold Auoregression, Limi Cycles and Cyclial Daa, Journal of he Royal Saisical Sociey, Ser. B, 42, 245-292. Tong, H., (978), On a hreshold model, In Paern Recogniion and Signal Processing (C. H. Chen, ed.) --4. Sihoff and Noordhoff, Amserdam. Ekonomik Bir Uygulama İle Kendinden Uyarımlı Eşiksel Değişen Varyanslı Ooregresif Model 7

Tong, H., (99), Non-linear Time Series: A Dynamical Sysem Approach, Oxford Universiy Press, New York. Tsay, R., (989), Tesing and Modelling Threshold Auogressive Processes, Journal of he American Saisical Associaion, 84: 23-24. Weiss, A.A., (986), Asympoic Theory for ARCH Models: Esimaion and Tesing, Economeric Theory, Vol. 2, No., pp. 7-3. Yang, X.H., Li, Y.Q., (22), DNA Opimizaion Threshold Auoregressive Predicion Model and Is Applicaion in Ice Condiion Time Series, Hindawi Publishing Corporaion Mahemaical Problems in Engineering, Volume 22, Aricle ID 992, pages, doi:.55/22/992. 8 Ümran M. TEKŞEN KAHRAMAN, Aşır GENÇ