ORTA ANADOLU KAPALI HAVZASININ YILLIK ORTALAMA AKIMLARININ STOKASTİK MODELLEMESİ

Transkript

1 S.Ü. Müh.-Mim. Fak. Derg., c.9, s., 004 J. Fac.Eng.Arch. Selcuk Univ., v.9, n., 004 ORTA ANADOLU KAPALI HAVZASININ YILLIK ORTALAMA AKIMLARININ STOKASTİK MODELLEMESİ Meral BÜYÜKYILDIZ S. Ü. Müh. Mim. Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, KONYA Makalenin Geliş Tarihi: ÖZET: Bu çalışmada, Ora Anadolu Kapalı Havzası nda EİE arafından işleilen 6, 6 ve 6 numaralı akım gözlem isasyonlarında ölçülen yıllık oralama akımların sokasik modelleri kurulmuşur. İsasyonlara ai yıllık oralama akımların ooregressif (AR) ve ooregressif harekeli oralama (ARMA) modellerinin meodolojisi verilerek maemaiksel ifadeleri elde edilmişir. Korelogram ve kısmi korelogramların incelenmesi neicesinde muhemel ooregressif (AR) ve ooregressif harekeli oralama (ARMA) model ipi hakkında bir ön değerlendirme yapılmışır. Yapılan analizler sonucunda incelenen akım gözlem isasyonlarına ai yıllık oralama akım serileri için her üç isasyonda da en uygun ooregressif modelin AR(), 6 ve 6 numaralı isasyonlarda en uygun ooregressif harekeli oralama modelin ARMA(,), 6 numaralı isasyonda ise ARMA(,) olduğu espi edilmişir. Daha sonra kurulan modeller kullanılarak her bir isasyonun gözlem periyodu ile aynı N uzunluğuna sahip 50 şer ade seneik seri üreilmişir. Bu seneik serilerin isaisiksel karakerisikleri (oralama, sandar sapma, çarpıklık kasayısı, korelogram gibi) hesaplanmış ve bunlar arihi (orijinal) serinin isaisiksel karakerisikleri ile kıyaslanmışır. Sonuç olarak; her üç isasyonda da kurulan sokasik modellerin arihi serilere ai isaisiksel karakerisikleri muhafaza eiği gözlenmişir. Anahar kelimeler: Akım, ooregressif model, korelogram, kısmi korelogram, sokasik Sochasic Modeling of Annual Mean Sreamflows in Cenral Anaolia Closed Basin ABSTRACT: In his sudy, sochasic models were deermined for annual mean sreamflows of gauging saions operaed by EIE and numbered as 6, 6 and 6 in Cenral Anaolia Closed Basin.For hese saions, mahemaical expressions were obained by using he mehods of analyses of auoregressive (AR) models and auoregressive moving average (ARMA) models for annual sreamflow daa. A preliminary sudy abou possible AR and ARMA model ypes was made afer examining he correlograms and parial correlograms. In conclusion, he AR() model was found o be suiable for annual mean sreamflow series of he seleced gauging saions. The bes ARMA(p,q) model was also found as ARMA(,) model for saions 6, 6 and ARMA(,) model for saion 6. Then 50 synheic series having he same N lengh period were generaed for each gauging saion by using he developed models. Saisical characerisics (mean, sandard deviaion, skewness coefficien, correlogram) of hese synheic series were calculaed and compared wih he saisical charaserisics of he hisorical (original) series. Consequenly, i was observed ha sochasic models esablished for he gauging saions of 6, 6 and 6, preserved he saisical characerisics of he hisorical series. Key words: Sreamflow, auoregressive model, correlogram, parial correlogram, sochasic GİRİŞ ve LİTERATÜR ARAŞTIRMASI Sürekli olarak aran dünya nüfusuna paralel olarak suya olan ihiyaç da önemli bir arış gösermekedir. Bu durum su ve su kaynaklarının önemini gün geçikçe daha çok arırmakadır. Nehirler de en önemli doğal su kaynaklarıdır. Bu yüzden nehirlerin rasyonel

2 4 M. BÜYÜKYILDIZ kullanımı bilimsel araşırmaların emel konuları arasındadır. Belirli bir zamanda, bir nehirdeki akımın am olarak büyüklüğünü ahmin emek hemen hemen imkansız ya da çok zordur. Ülkenin su kaynaklarının mikar ve kalie olarak poansiyelinin belirlenmesinde, su kaynakları yöneimi sraejilerinin oraya konulmasında, su kaynakları projelerinin planlama, asarım, inşaa ve işleilmesinde büyük önem aşıyan hidrolojik çalışmalar günümüzde su kaynakları mühendisliğinin emelini oluşurmakadır. Su kaynaklarını gelişirme çalışmalarının hızla sürdürüldüğü ülkemizde hidrolojik model çalışmaları büyük önem aşımakadır (Bayazı, 998). Su kaynakları sisemlerinin boyulandırılmasında ve işleilmesinde karşılaşılan karar vermeye yönelik problemlerde, senez ve simülasyon gibi maemaiksel yaklaşımlara ihiyaç duyulur. Simülasyon, bir su kaynağı siseminin belli bir periyo boyunca davranışının maemaiksel arzda ifadesi olarak anımlanabilir. Hidrolojik simülasyon modelleri çeşili şekillerde sınıflandırılmalarına rağmen akım modelleri başlıca iki grup alında oplanır: (i) Hidrolojik sisemin deerminisik veya fiziksel simülasyonu, (ii) Hidrolojik sisemin isaisiksel veya sokasik simülasyonu (Salas ve diğ., 980). Sokasik yaklaşım eldeki arihi serinin isaisiksel karakerisikleriyle ilgilidir. Bu ür modeller arasında en kolay ve en yaygın kullanılanları ooregressif modellerdir. Pek çok ipeki su projelerinin analizinde ve asarımında, ilgilenilen akarsudaki akım mikarıyla ilgili bilgilere ihiyaç duyulur. Çoğu akarsularda, sürekli olarak ölçüm yapılmasına rağmen, araşırmacılar zaman zaman eldeki kayıların az ya da kullanılamaz olması durumuyla karşılaşmakadır. Bu durumda, senez ve simülasyon meoları ile, analizlerde kullanılmak üzere seneik akım serileri üreilmekedir. Sokasik modeller genellikle seneik serilerin üreilmesi ve geleceğe yönelik ahmin amacıyla kullanılırlar. Seneik akım serileri, hidrolojislere gelecekeki muhemel varyasyonları izleme ve pek çok alernaifi değerlendirerek üslenilen riski azalma imkanı vermekedir. Üreilen serinin arihi seriye ai isaisiksel karakerisikleri muhafaza emesi gerekmekedir (Salas e al., 980). Zaman serisi modellemesi mevcu serinin karakerisiklerine bağlı olarak basi ya da kompleks olabilir ve işlem basamakları genel olarak şu basamaklardan oluşur: Model ipinin seçimi, model derecesinin anımlanması, model paramerelerinin ahmini ve modelin güvenilirliğinin konrolü (Box ve Jenkins, 970). Sokasik modellerle ilgili olarak dünyada ve ülkemizde birçok çalışma yapılmışır. Nguyen ve Rousselle (98), saalik yağışı rasgele bir değişken olarak kabul emek sureiyle bu daaların olasılık dağılımlarını elde emek için sokasik bir model eklif emiş ve bu meodu 3 yıllık saalik yağış kayıları üzerinde deneyerek kullanılabilir olduğu sonucuna varmışlardır. Salas ve Obeysekera (98), genelleşirilmiş kısmi ookorelasyon fonksiyonunu ele alarak bu fonksiyon yardımıyla ARMA modellerinin derecesinin belirlenebileceğini gösermişlerdir. Te ve Singh (994), ooregressif modellerin paramerelerinin hesabında kullanılmak üzere yeni bir ookorelasyon fonksiyonu meodu eklif emiş ve bazı durumlarda Yule-Walker denklemlerinden daha iyi sonuç verdiğini gösermişlerdir. Ayrıca eklif edilen modelin kullanımının AR(p) modelleri için daha kolay olduğunu savunmuşlardır. Merzi ve diğ. (995), Çoruh Havzası nda Olu Nehri ne ai aylık akımların sokasik modellemesini yapmışlardır. Modelleme sırasında AR(), AR(), AR(3) ve ARMA(,) modelleri denenmek sureiyle en uygun modelin ARMA(,) modeli olduğuna karar verilmişir. Karabörk ve Kahya (998) arafından yapılan çalışmada, Seyhan Havzasında Göksu Nehri üzerindeki 80 nolu Himmeli Akım Gözlem İsasyonunda ölçülen yıllık ve aylık akımların ooregressif (AR) modelleri ve ooregressif harekeli oralama (ARMA) modelleri kurulmuşur. Yapılan analizler sonucunda yıllık akımlar için AR() ve ARMA(,); aylık akımlar için PAR() ve PARMA(,) modellerinin en uygun modeller olduğu görülmüşür. Ayrıca ARMA modellerinin söz konusu akım kayıları için AR modellerinden hem yıllık bazda hem de aylık bazdaki simülasyonlarda daha iyi sonuç verdikleri de vurgulanmışır.

3 Ora Anadolu Kapalı Havzasının Yıllık Oralama Akımlarının Sokasik Modellemesi 5 Kahya ve diğ. (998), Yeşilırmak Havzasında EİE 40, 40, 43 ve 44 numaralı akım gözlem isasyonlarında ölçülen yıllık oralama akımların çok değişkenli sokasik modeli kurmuşlardır. İncelenen isasyonlarda seçilen modeller ile bunların bir al ve bir üs ooregressif modelleri arasında AIC (Akaike Bilgi Krieri) değerleri kullanılarak kıyaslama yapılmış ve minimum AIC değerini veren (opimum) modeller sırasıyla ARMA(,), ARMA(0,), ARMA(3,) ve ARMA(,) olarak belirlenmişir. Ayrıca aynı isasyonlardaki yıllık oralama akımların ARIMA(p,d,q) modelleri kurulmuşur. İsasyon verileri normal dağıldığı için herhangi bir dönüşüm yapılmamış ve serideki düşük frekanslı bileşenlerin yok edilmesi/azalılması için bir kez fark alınmışır. Farkı alınan seriler için ARIMA(,,), ARIMA(0,,), ARIMA(3,,) ve ARIMA(,,) modellerinin uygun olduğu sonucuna varılmışır. Yiği (998), Sakarya Havzası Ankara Çayı üzerindeki 6 numaralı Meşecik isasyonunun 8 yıllık aylık ve yıllık akımlarının sokasik modellemesini yapmışır. Yıllık akımlar için φ =0.43 paramereli AR() modelinin en uygun model olduğu espi edilmişir. Aylık akımlar için ise en uygun model φ =0.868 ve φ =-0.39 ooregressif paramereli AR() modeli seçilmişir. Karabörk ve Kahya (999) arafından yapılan çalışmada, Sakarya havzasında bulunan akım gözlem isasyonunda ölçülen aylık akımların çok değişkenli periyodik ooregressif (PAR) ve periyodik ooregressif harekeli oralama (PARMA) modellerinin maemaiksel ifadeleri elde edilmişir. Bu modellerin meodolojisi ayrınılı olarak beş aşamada (ön analiz, paramerelerin ahmini, uygunluk esi, ilave esler ve paramerelerin güvenirliliğinin konrolü) verilmişir. Açıklamaların kolay anlaşılabilir olması için yıllık çok değişkenli AR ve ARMA modellerinin meodolojileri öncelikle ele alınmışır. Analizlere daha praik olduğu için PAR() modeli ile başlanmış, faka bu modelin arihi seriye ai çapraz korelasyon yapısını muhafaza emediği görülmüşür. Ön analiz aşamasında arihi seri korelogramlarında uzun dönemli zaman bağımsızlık yapısı gözlendiğinden modelleme işlemlerine çok değişkenli ARMA(,) modeli ile devam edilmişir. Bu modelin arihi serilerin hem ayrı ayrı isaisiksel momenlerini hem de çapraz korelasyon yapısını muhafaza emesi sebebiyle Sakarya Havzası için geçerli bir model olduğu göserilmişir. Yücel ve Topaloğlu (999), Adana Meeoroloji İsasyonuna ilişkin uzun yıllık (99-990) günlük minimum, oralama ve maksimum sıcaklık değerlerinin zaman serisi analizi içinde gidiş, periyodik ve sokasik bileşenlerini incelemişir. Zaman serisi analizi sonucunda gidiş bileşeninin bulunmadığı, periyodik analiz sonucunda sıcaklık serilerini ilk harmoniklerin açıkladığı görülmüş ve sokasik analizde ise sokasik bileşenin ikinci merebe ooregressif model ile açıklanabileceği görülmüşür. Yürekli ve Özürk (003), Kelki Deresi günlük eksrem akımlarının sokasik modellemesini yapığı çalışmasında öncelikle Mann Kendall esini kullanarak günlük eksrem akımlarda herhangi bir rend olup olmadığını incelemiş ve sonuça hiçbir rend bulamamışır. Bu nedenle ARIMA modeli yerine ARMA modelini kullanmışır. Ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonlarını kullanarak, korelogram ve kısmi korelogramlar çizilmiş ve alernaif ARMA modelleri belirlenmişir. Korelogramların incelenmesi neicesinde günlük maksimum akımların birbirine bağımlı olmadığı, günlük minimum akımların ise lineer bağımlı olduğu gözlenmişir. Bu nedenle günlük maksimum kayıların modellemesi yapılmamışır. Günlük minimum akım kayıları için korelogram ve kısmi korelogramlardan üm diagnosik konroller yapılarak dör ARMA modeli belirlenmişir. Schwarz Bayesian Krieri (SBC) dikkae alınarak ARMA(,0) modeli en uygun model olarak belirlenmişir. Yapılan haa ahminleri neicesinde de Kelki Deresi günlük minimum akımlarını emsil eden en uygun modelin ARMA(,0) modeli olduğu espi edilmişir. Şarlak ve Şorman (004), normal dağılım dışında genel lojisik ve gamma dağılımı için düzenlenmiş maksimum olabilirlik (MML) meou ile AR() zaman serilerinin model paramerelerinin bulunması üzerinde durmuş ve maksimum olabilirlik meodu ile karşılaşırmışır. Ayrıca bu meolar EIE 50

4 6 M. BÜYÜKYILDIZ yıllık akım gözlem isasyonu verilerine uygulanmışır. Her üç dağılım (genel lojisik, gamma ve normal) için elde edilen model paramereleri ile kurulan AR() model yapıları kullanılarak yazılan bilgisayar programı ile elde edilen yapay seriler gözlemlenmiş verilerle karşılaşırılmışır. Özçelik ve Benzeden (004), arafından yapılan çalışmanın ilk bölümünde, Türkiye deki 45 doğal gölün aylık seviye kayıları uyumsuzluk ve homojenlik açısından görsel olarak incelenmişir. Sadece gölün kayıları uyumlu hale geirilebilmiş ve birkaç eksik gözlem amamlanmışır. Daha sonra, bu göldeki aylık seviye kayılarının yaklaşık maemaik yapıları nispi periyodogram ve ookorelasyon eknikleri kullanılarak sapanmışır. Çalışmanın ön sonuçları, aylık göl seviyelerinin, oralamalarda ve kısmen de sandar sapmalardaki bir kaç harmonikle oldukça iyi anımlanabilen periyodik bileşenler ile AR(), AR(), AR(3), ARMA (,) gibi doğrusal durağan modellerle yeerli ölçüde anımlanabilen sokasik bileşenlerden oluşuğunu gösermişir. Bu çalışmada nehir akımlarının modellenmesinde yaygın olarak kullanılan yıllık ooregressif (AR) ve (ARMA) modelleri ele alınarak modelin kurulma aşamaları adım adım verilmişir. MATERYAL VE METOT Bu çalışmada, Ora Anadolu Kapalı Havzasında (Şekil ) bulunan isasyonlar arasından akınıya karşı herhangi bir düzenleme veya çevirmenin olmadığı ve uzun süreli gözlem periyoduna sahip olan 3 ade isasyona ai yıllık oralama akım verileri kullanılmışır. Bu isasyonlar, Çarşamba Çayı üzerindeki 6 numaralı Bozkır, İbrala Çayı üzerindeki 6 numaralı Denircik ve Peçeneközü Deresi üzerindeki 6 numaralı Şereflikoçhisar akım gözlem isasyonlarıdır. Bu isasyonlara ai yıllık oralama akımların sokasik modelleri (ooregressif model (AR) ve Ooregressif harekeli-oralama modeli (ARMA)) kurulmuşur. Çalışmada kullanılan veriler EİE akım gözlem yıllıklarından alınmışır ve yıllık oralama akım değerleri 6 ile 6 numaralı isasyonlar için , 6 numaralı isasyon için ise yıllarını kapsamakadır. Modelin meodolojisi için Salas ve diğ. (980) nin önerdikleri yol izlenerek gerekli formülasyonlar verilmiş ve modellemeye ai işlem basamakları ayrınılı bir şekilde açıklanmışır. Şekil. Ora Anadolu Kapalı Havzası. Figure. Cenral Anaolia Closed Basin.

5 Ora Anadolu Kapalı Havzasının Yıllık Oralama Akımlarının Sokasik Modellemesi 7 Yıllık Ooregressif Modeller (AR) Ooregressif modeller 960 lı yılların başlarından iibaren yıllık ve periyodik zaman serilerinin modellenmesi amacıyla hidrolojide ve su kaynaklarının planlanmasında, zaman bağımlılığı gerekiren bir yapıya sahip olmaları ve basi bir modelleme şekli olması açısından yaygın olarak kullanılmışır. Bu ipeki modeller sabi paramereli ya da zamanla değişen paramerelere sahip olabileceği gibi, bunların kombinasyonları şeklinde de olabilir. Sabi paramereli modeller yıllık serilerin modellenmesinde kullanılırken diğer ipeki modeller periyodik seriler için kullanılırlar. Zaman bağımlılığı göseren normal dağılmış, oralaması µ ve varyansı σ olan kararlı (sasyoner) bir y zaman serisi ele alalım. Normal dağılmış değişkenler bu çalışmada y noasyonu ile göserilmişir. AR(p) ile göserilen p derecesindeki bir ooregressif model aşağıdaki gibi ifade edilir (Salas e al.,980). y = µ + φ(y µ ) + φp (y p µ ) + ε () Yukarıdaki () denklemindeki y zaman bağımlılığı olan bir değişkeni, ε: oralaması sıfır, varyansı σ ε olan normal dağılıma uyan zamandan bağımsız rasgele değişkeni, φ,. φ p, ooregressif kasayıları ifade emekedir. Yıllık serilerin modelleme aşamaları aşağıda verilmişir; Ön analiz aşamasında; ilk olarak arihi (orijinal) zaman serisinin normal dağılıp dağılmadığı konrol edilmelidir. Bu es çarpıklık kasayısı esi kullanılarak yapılabilir. Bu es sonucunda serinin normal dağılmadığı espi edilirse, uygun bir ransformasyon ile seri normal dağılmış hale dönüşürülür. Daha sonra model derecesi hakkında bir ön değerlendirme yapmak amacıyla kapalı, seri varsayımına dayalı () denklemi yardımıyla seriye ai rk ookorelasyon kasayıları hesaplanır. N k (x x)(x k x) r () = k = N = (x x) %95 olasılık seviyesi için Anderson limileri ile birlike hesaplanan ookorelasyon değerlerinin k öelemesine göre değişimini göseren korelogram çizilir. Herhangi bir rk değerinin isaisiksel olarak önemli çıkması durumunda, seride birbirleri arasında k kadar gecikme olan erimlerin birbiriyle bağımlı oldukları sonucuna varılır. Modelin ooregressif derecesinin belirlenmesinde kullanılan diğer bir meo da, verilen bir modelin ya da serinin zamansal bağımlılığını emsil eden kısmi ookorelasyon fonksiyonu ve bunun kısmi korelogram ile ifade edilmesidir. Seride N ade eleman varsa L=0.3N olacak şekilde φ,.., φ L erimlerinin hesaplanması kısmi korelogramın çizilmesi için yeerli olur. k ıncı dereceden bir AR(k) sürecindeki kısmi ookorelasyon kasayısı φ k (k), ρj ve ρj-k (popülasyon ookorelasyon kasayıları) erimleri arasındaki lineer ilişkinin bir ölçüsüdür. Bir AR(k) modeli için aşağıdaki farklar denklemini yazmak mümkündür. ρ j = φ( k j k = k) ρ j + φ (k) ρ j + (k) ρ, j,..., k (3) Yukarıdaki farklar denkleminden faydalanmak sureiyle, bir zaman serisinin kısmi ookorelasyon fonksiyonuna ai k. gecikme derecesindeki φk(k) erimini elde emek için, bir lineer denklem akımı oluşurulabilir ve buradan φ vekörü elde edilerek sonuca gidilebilir. k φ k (k) değerleri, alernaif olarak bu çalışmada da kullanılan Durbin formülleri ile de hesaplanabilir. Sürecin AR(p) modeli olduğu hipoezi ile k>p için ahmin edilen (örneken hesaplanan) φk(k); sıfır oralaması ve /N olan varyansı ile asimpoik olarak normal dağılıma uyar. Böylece sıfır kısmi ookorelasyon için (-α) güven limileri (4) denklemi ile hesaplanır. { / N ; u N} (4) u α / α / Burada, N örnekeki eleman sayısı, α ise seçilen önem seviyesidir. u-α / ise -α/ olasılığındaki sandar normal değişkendir. φk(k) değerlerinin k gecikme derecesine göre değişimini veren korelogramın çizilmesinden sonra (4) ifadesi ile hesaplanan güven limileri de aynı grafik üzerinde işarelenir. Güven

6 8 M. BÜYÜKYILDIZ limilerinden daha büyük değerler alan φk(k) erimlerinin isaisiksel açıdan önemli olduğu sonucuna varılır ve hangi gecikme derecelerinde kesikleri dikkae alınarak model derecesi için karar verilir. Paramere ahmini aşamasında modele ai paramereler ahmin edilir ve bu paramerelerin kararlılık şarları konrol edilir. Paramere ahmininde momenler, maksimum olabilirlik, en küçük kareler (Salas ve diğ., 980) ve ookorelasyon fonksiyonu (Te ve Sing, 994) meolarından biri kullanılır. Bu çalışmada paramere ahmininde yaygın ve basi bir kullanım alanı olduğu için momenler meodu kullanılmışır. İlk olarak örnek oralaması ( y ) ve varyansı ( σ ) bulunarak oralamadan sapmaları ifade eden z = y y serisi elde edilir. Seçilen AR(p) modeline ai φ j ooregressif paramereleri aşağıda verilen denklemin ardışık kullanımı ile hesaplanır. r k = > φrk + φrk φprk p, k 0 (5) Daha sonra arık seri varyansı olan σ ε değeri hesaplanır. Sabi paramereli bir AR(p) modelinin kararlı olması için verilen karakerisik denklemin köklerinin birim daire içinde kalması gerekir (Salas ve diğ., 980). Seçilen modelin uygunluk esi için aşağıda verilen denklem yardımıyla ε arık serileri bulunur. ε = z φ z φ z... φ z (6) p p Eğer seçilen modelin derecesi p=0 ise ε=z olduğuna dikka edilmelidir. Daha sonra hesaplanan ε arık serilerinin bağımsızlık konrolü yapılır. Bu Por Moneau meodu ile yapılabilir. Bunun için aşağıdaki denklem kullanılarak Q isaisiği hesaplanır: L Q = N rk ( ε) (7) k= Bu denklemde N örneğin eleman sayısı, rk(ε) ise arık serilerin () denklemi ile hesaplanan ookorelasyon kasayılarıdır. L ise göz önüne alınan en büyük gecikme değeridir. Hesaplanan Q değeri (L-p) serbeslik derecesindeki ve isenilen olasılıkaki χ (ki-kare) değeri ile kıyaslanır. Olasılık seviyesi olarak -α=0.95 almak yeerli olur. Q değerinin χ değerinden küçük olması durumunda arık serilerin bağımsız olduğu sonucuna varılır ve işlemlere devam edilir. Aksi halde modelin derecesi p=p+ alınarak geriye dönülür. ε arık serilerinin çarpıklığı da konrol edilmelidir, faka bu nokada inisiyaif kullanmak mümkündür (Salas ve diğ., 980). Seçilen modelin derecesinin uygunluğunu araşırmak için Akaike Bilgi Krieri (Akaike Informaion Crierion; AIC) kullanılır. Bunun için eğer seçilen model AR(p) ise AR(p-), AR(p) ve AR(p+) modelleri arasında AIC değerleri arasında bir kıyaslama yapılır ve aşağıdaki denklem kullanılır: AIC(p) = N * ln( σε ) + p (8) Daha sonra bu üç model için hesaplanan AIC değerleri kıyaslanır ve minimum AIC değerini veren model, en uygun model kabul edilir. Modele ai ilave esler aşamasında, seneik seriler üreilerek, bu seneik serilerle arihi serinin isaisiksel karakerisikleri (oralama, sandar sapma, çarpıklık kasayısı ve korelogram gibi) karşılaşırılır. Bunun için kurulan AR(p) modeli ile () ifadesi kullanılarak, arihi seri ile aynı uzunluğa sahip sözgelimi 00 ade seri üreilir. Daha sonra her bir serinin isaisiksel karakerisikleri olan oralama µ(i), sandar sapma σ(i), çarpıklık kasayısı γ(i) ve korelogram rk(i) hesaplanır (i=,...,00). Hesaplanan seneik serilere ai bu isaisiksel karakerisikler ile arihi seriye ai önceden hesaplanan isaisiki karakerisikler kıyaslanır. Burada örnek olarak korelogramların kıyaslanması verilecekir. Her bir öeleme değeri (k) için önce rk ların örnek oralaması, sonra rk değerlerinin örnek sandar sapması hesaplanır. Böylece rk için güven aralığı [ r k c s r ), r k + c s( r )] ifadesi ile ( k k bulunur. Burada c kasayısı esin önem derecesine bağlı olup bu çalışmada %5 önem seviyesine karşılık gelen.96 değeri seçilmişir. Bu meo diğer isaisiksel karakerisiklerin mukayesesi için de kullanılabilir. Bu konrollerin sonucunda eğer bir ya da daha fazla arihi karakerisiğin model

7 Ora Anadolu Kapalı Havzasının Yıllık Oralama Akımlarının Sokasik Modellemesi 9 arafından muhafaza edilmediği oraya çıkarsa, modeli kabul ya da reddemek araşırıcının sonuçları ne derece önemli bulduğuna bağlıdır. Yıllık Ooregressif Harekeli Oralama Modelleri (ARMA) Yıllık serilerin ARMA modelleri için yıllık AR modellerinde verilen prosedür akip edilerek, önce orijinal arihi serinin normal dağılıp dağılmadığı konrol edilir. Normal dağılmamış seriler uygun bir ransformasyon ile normal dağılmış hale dönüşürülür. Daha sonra ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonları elde edilerek çizilen korelogram ve kısmi korelogramlar yardımı ile modelin derecesi için bir ön seçim yapılır. ARMA modeline ai ookorelasyon fonksiyonu AR modeline nazaran sıfıra daha yavaş yakınsamakadır. Bu nedenle çizilen korelogramın sıfıra hemen birkaç değerden sonra yakınsamaması bir harekeli oralama bileşenine, dolayısıyla ARMA modeline işare eder. Eğer herhangi bir q gecikme derecesinden sonra gelen büün ookorelasyon değerleri seçilen güven sınırları içerisinde ise, bu durum q derecesinden bir MA süreci anlamına gelir. Harekeli oralama bileşeninin derecesi genellikle q= alınmakadır. Kısmi korelogramda kısmi ookorelasyon fonksiyonlarının güven seviyesine ai sınırları kesiği nokalar ooregressif bileşenin derecesini seçmek için önemli bir ipucu verir. Bu şekilde bir ARMA(p,q) modeline ai p ve q değerleri belirlenmiş olur. Serinin y oralaması ve σ varyansı belirlendiken sonra, z = y y serisi elde edilir. Seçilen muhemel modele ai φ ve θ paramerelerinin bulunması gerekmekedir. Bunun için Salas ve diğ. (980) ilk olarak bu paramerelere ai bir ön sapama yapılmasını ve daha sonra bu değerlerin komşuluğundaki çeşili kombinasyonlar için arık serilerin kareleri oplamının hesaplanarak minimum değeri veren kombinasyonun kesin paramereler olarak seçilmesini önermekedir. Box ve Jenkins (970), ARMA(,) modeli için ρ ve ρ değerlerinden harekele φ ve θ paramerelerini praik olarak bulmaya yarayan bir abak vermişir. Arık serilerin karelerinin oplamı S = N = ε formülü ile ifade edilirse, minimum S değerini veren [φ,θ ] değerleri model paramereleri olarak kullanılabilir. Bu çalışmada [φ,θ ] değerleri bilgisayar yardımıyla opimizasyon işlemi yapılarak elde edilmişir. Bu işlem için, bilgisayar φ ve θ paramerelerini [-,] aralığında değişirecek şekilde programlanır ve bu aralıka minimum S değerini veren kombinasyona yakınsaması sağlanır. Bu, daha hızlı ve güvenilir bir şekilde sonuca gimeyi sağlamakadır. S ifadesindeki ε arık serileri ARMA(p,q) modelleri için aşağıdaki (9) ifadesi ile hesaplanır. ε p q = z φ z + θ ε (9) i i i= i= i i (9) denklemi ile ε değerleri hesaplanırken başlangıç ε değerleri p ya da q değerlerinden hangisi büyük ise o değere kadar sıfır alınır. Opimizasyon sonucu bulunan φ i değerlerinin kararlılık şarlarını, θ i değerlerinin ise inveribilie şarlarını sağlaması gerekmekedir (Salas ve diğ., 980). Modelin uygunluk esi için, minimum S değerini veren φ ve θ paramereleri kullanılarak elde edilen ε arık serilerinin önemli bir içsel bağımlılığı olup olmadığı araşırılır. Seçilen muhemel modelin, bir al ve bir üs dereceli modeli ile kıyaslanması gerekir. Bu kıyaslama işlemi için AIC(p, q) = N ln( σε ) + (p + q) denkleminden faydalanılır. Bu ifadede σ = ε S / N dir. Seçilen muhemel modele ai AIC değeri, bir al ve bir üs modele ai AIC değerlerinden önemli derecede büyük ise modelin derecesi değişirilir, küçük ise seçilen model ile işlemlere devam edilir. Modelin derecesi ve paramereleri bu şekilde belirlendiken sonra aşağıda verile (0) denklemi ile seneik z serisi elde edilerek y serilerine geçilir. p q z = φ z + ε θ ε (0) j j j= j= j j

8 0 M. BÜYÜKYILDIZ Daha sonra modelin arihi seriye ai karakerisikleri muhafaza edip emediği konrol edilir. ARMA(p,q) modellerine ai φ ve θ paramerelerinin güven aralıklarının hesaplanması da mümkündür (Salas ve diğ., 980). ARAŞTIRMA SONUÇLARI Yıllık Akımların AR Modellemesi İlk olarak her bir isasyona ai yıllık oralama akım serilerinin normal dağılıp dağılmadığını espi emek için akım serileri çarpıklık esine abi uulmuş ve elde edilen çarpıklık kasayısı (γ) değerleri Snedecor ve Cohran arafından önerilen (Salas ve diğ., 980) α=0.0 önem seviyesindeki limi değerleri [γα(n)] ile karşılaşırılmışır ve sonuçlar Tablo de verilmişir. Tablo. Akım gözlem isasyonlarına ai çarpıklık kasayısıları Table. Skewness coefficiens of gauging saions. İsasyon no Gözlem süresi (N, yıl) Çarpıklık kasayısı (γ) γα(n) Tablo de görüldüğü gibi çarpıklık kasayısı(γ) değerleri γα(n) değerlerinden küçük olduğu için üç isasyonda da yıllık oralama akım serilerinin normal dağılıma uygun olduğu kabul edilmişir. Uygulanacak modelin derecesi hakkında fikir sahibi olabilmek için akım serilerine ai k= ye kadar ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayıları hesaplanmışır. Söz konusu isasyonlara ai korelogram ve kısmi korelogramlar 6 numaralı isasyon için Şekil ve 3 de, 6 numaralı isasyon için Şekil 4 ve 5 de, 6 numaralı isasyon için de Şekil 6 ve Şekil 7 de verilmişir. 6 nolu isasyonun korelogramı (Şekil ) incelendiğinde akım serilerine ai erimler arasında önemli bir zaman bağımlılığı olmadığı görülmekedir. Kısmi korelograma (Şekil 3) göre de kısmi ookorelasyon kasayıları isaisiksel açıdan önemsizdir. Korelogram ve kısmi korelogramın incelenmesi sonucunda 6 nolu isasyona ai yıllık oralama akımlar için AR(0) modeli uygun görülmüşür. ookorelasyon 0,0-0, Ookorelasyon %95 Üs Sınır %95 Al Sınır Şekil. 6 nolu AGİ ye ai yıllık oralama akımların korelogramı ve %95 güven limileri. Figure. Correlogram and %95 confidence inervals of annual mean sreamflows of gauging saion wih he number of 6. kısmi ookorelasyon 0,0-0, Kısmi Ookorelasyon %95 Üs Sınır %95 Al Sınır Şekil 3. 6 nolu AGİ ye ai yıllık oralama akımların kısmi korelogramı ve %95 güven limileri. Figure 3. Parial correlogram and %95 confidence inervals of annual mean sreamflows of gauging saion wih he number of 6. ookorelasyon 0,0-0, Ookorelasyon %95 Üs Sınır %95 Al Sınır Şekil 4. 6 nolu AGİ ye ai yıllık oralama akımların korelogramı ve %95 güven limileri. Figure 4. Correlogram and %95 confidence inervals of annual mean sreamflows of gauging saion wih he number of 6.

9 Ora Anadolu Kapalı Havzasının Yıllık Oralama Akımlarının Sokasik Modellemesi kısmi ookorelasyon 0,0-0, Kısmi Ookorelasyon %95 Üs Sınır %95 Al Sınır Şekil 5. 6 nolu AGİ ye ai yıllık oralama akımların kısmi korelogramı ve %95 güven limileri. Figure 5. Parial correlogram and %95 confidence inervals of annual mean sreamflows of gauging saion wih he number of 6. ookorelasyon 0,0-0, Ookorelasyon %95 Üs Sınır %95 Al Sınır Şekil 6. 6 nolu AGİ ye ai yıllık oralama akımların korelogramı ve %95 güven limileri. Figure 6. Correlogram and %95 confidence inervals of annual mean sreamflows of gauging saion wih he number of 6. kısmi ookorelasyon 0,0-0, Kısmi Ookorelasyon %95 Üs Sınır %95 Al Sınır Şekil 7. 6 nolu AGİ ye ai yıllık oralama akımların kısmi korelogramı ve %95 güven limileri. Figure 7. Parial correlogram and %95 confidence inervals of annual mean sreamflows of gauging saion wih he number of 6.. Bu isasyona ai kısmi korelogramın da yaklaşık birinci öelemede önemli çıkması 6 numaralı akım gözlem isasyonuna ai yıllık oralama akımlar için AR() modelinin muhemel model olduğunu gösermekedir. 6 numaralı akım gözlem isasyonu için de hem korelogram (Şekil 6) hem de kısmi korelogram (Şekil 7) incelendiğinde akım serilerinin birbirine bağımlı olduğu görülmekedir. Her iki şekilde de korelogramların birinci öelemede önemli çıkması akım serilerini emsil eden muhemel modelin AR() modeli olduğunu işare emekedir. 6 numaralı akım gözlem isasyonuna ai yıllık oralama akımları emsil eden Şekil 4 deki korelogram incelendiğinde r değerinin isaisiksel açıdan önemli olduğu gözlenmişir. Akım serisindeki ardışık değerlerin birbirine bağımlı olması ve r değerinin isaisiksel açıdan önemli çıkması sebebi ile AR() modelinin geçerli olabileceği düşünülmüşür. Öngörülen modellere ai paramereleri ahmin emek ve bu paramerelerin kararlılık şarlarını konrol emek amacıyla, her bir isasyonun akım serilerine ai oralamalar ( y ) ve varyanslar ( σ ) hesaplanmış, z = y y denklemi ile z serisi elde edilmişir. Akım serilerine ai oralamalar, varyanslar ve ooregressif paramereler Tablo de verilmişir. Tablo deki değerler dikkae alındığında her üç isasyon için bulunan ooregressif paramerenin < φ < şarına uyduğu ve sonuç olarak paramerelerin kararlılık şarlarını sağladığı görülmekedir. Seçilen modelin uygunluk eslerinin yapılması amacıyla öncelikle her üç akım serisi için arık seriler (ε) elde edilmiş ve bu serilerin bağımsızlık esleri yapılmışır. Bunun için önce arık serilerin korelogramı hesaplanmış ve L=0.3N alınarak Pore Moneau meodu kullanılarak Q isaisikleri bulunmuş ve bu değer (L-p) serbeslik derecesindeki ve %95 olasılıkaki χ değeri ile kıyaslanmışır. Ayrıca ε arık serilerinin normal dağılıp dağılmadığı da bu serilere ai çarpıklık kasayısı değerleri dikkae alınarak konrol edilmişir. Bu işlemlerin sonuçları Tablo 3 de verilmişir.

10 M. BÜYÜKYILDIZ Tablo. Akım serilerine ai oralamalar, varyanslar ve ooregressif paramereler. Table. Means, variances and auoregressive parameers of sreamflow series. İsasyon no Oralama ( y ) Varyans ( σ ) φ =r Tablo 3. Pore Moneau ve normalie esi sonuçları. Table 3. Resuls of Pore Moneau and normaliy ess. İsasyon no Q L-p χ 0.95 γε γ Tablo 3 deki sonuçlar dikkae alındığında her üç isasyon için bulunan Q değerlerinin söz konusu L-p değerlerine göre bulunan χ 0.95 değerlerinden küçük olduğu dolayısı ile ε arık serilerinin bağımsız olduğuna karar verilmişir. Tablo 3 deki γε değerleri de γ değerlerinden küçük olduğu için arık serilerin normal dağıldığı kabul edilmişir. 6 ve 6 numaralı isasyonlar için seçilen modelin bir üs, 6 numaralı isasyon için seçilen modelin ise bir al ve bir üs modelleri arasında AIC (Akaike Bilgi Krieri- Akaike Informaion Crierion) kullanılarak bir kıyaslama yapılmışır. Bunun için 6 numaralı ve 6 numaralı isasyonlarda AR() modeli için, 6 numaralı isasyonda ise AR(0) ve AR() modeli için arık seri varyansları (σε ) bulunmuşur (Tablo 4). Tablo 4. AR(p) modellerine ai arık seri varyansları. Table 4. Whie noise variances of AR(p) models. İsasyon σε no AR(0) AR() AR() Daha sonra her model için AIC değerleri elde edilerek en küçük AIC değerini veren model o isasyonun yıllık oralama akımlarını emsil eden en uygun model olarak seçilmişir (Tablo 5). Tablo 5 e göre en küçük AIC değerini veren model 6 numaralı isasyonda AR(0), 6 numaralı isasyonda AR() ve 6 numaralı isasyonda ise AR() modelidir. Tablo 5. AR(p) modellerine ai AIC değerleri Table 5. AIC values of AR(p) models İsasyon AIC no AR(0) AR() AR() Kurulan modeller kullanılarak her bir isasyonun gözlem periyodu ile aynı N uzunluğuna sahip 50 şer ade seneik seri üreilmişir ve bu serilerin arihi seriye ai karakerisikleri (oralama, sandar sapma, çarpıklık ve korelogram) muhafaza edip emediklerini konrol emek için üreilen seneik serilerin korelogramı, oralaması, sandar sapması ve çarpıklık kasayısı ile %95 güven aralıkları hesaplanmışır. Her bir isasyona ai olan arihi serilere ai isaisiksel karakerisikler ve güven aralıkları Tablo 6 da verilmişir. Tablo 6 incelendiğinde 6 numaralı isasyonda arihi seriye ai sandar sapma değerinin güven aralığında olmadığı görülmekedir. Diğer karakerisikler her üç isasyonda da güven aralıkları içine düşmekedir. Bu nedenle 6 numaralı isasyonun model derecesi bir derece arırılmış ve AR() modeli yeni model olarak seçilmişir. 6 ve 6 numaralı isasyon için seçilen modeller ise en başa seçilen AR() modelidir.

11 Ora Anadolu Kapalı Havzasının Yıllık Oralama Akımlarının Sokasik Modellemesi 3 İsasyon no Tablo 6. Tarihi serinin isaisiksel karakerisikleri ve güven limileri. Table 6. %95 confidence inervals and saisical characerisics of hisorical series. Sandar Çarpıklığın sapmanın güven güven aralığı aralığı Oralamanın güven aralığı Al limi Üs limi Tarihi seriye ai oralama Al limi Üs limi Tarihi seriye ai sandar sapma Al limi Üs limi Tarihi seriye ai çarpıklık numaralı isasyonda belirlenen yeni model olan AR() e göre model karakerisikleri ekrar hesaplandığında oralama için güven aralığı [3.73;3.988] olarak bulunmuşur. Tarihi seriye ai oralama ise 3.66 m 3 /s olup güven aralığı içine düşmekedir. Sandar sapmanın güven aralığı ise [0.49;.4] olup arihi seriye ai olan.36 sandar sapma değeri de güven aralığı içine düşmekedir. Çarpıklık kasayısına ai olan güven aralığı da [-0.766;0.74] dir ve arihi seriye ai çarpıklık kasayısı değeri olan değeri de bu güven aralığı içinde kalmakadır. Bu sonuçlar 6 numaralı isasyon için belirlenen AR() modelinin uygun model olduğu sonucunu gösermekedir. Her bir isasyon için korelogramların konrolü de yapılmış ve üç isasyona ai arihi korelogramların %95 güven aralıkları içinde olduğu belirlenmişir (Şekil 8, Şekil 9 ve Şekil 0). ookorelasyon 0,0-0,0-6 al limi üs limi arihi korelogram Şekil 8. AR() modeli için 6 numaralı isasyona ai arihi korelogram ve %95 güven aralığı. Figure 8. Hisorical correlogram and %95 confidence inerval of gauging saion wih he number of 6 for AR() model. Şekil 8, 9 ve 0 incelendiğinde her üç isasyona ai arihi korelogramların %95 güven limleri içinde kaldığı görülmekedir. 6 numaralı isasyon için k= gecikme değerinde arihi korelogram güven limilerinin dışına çıkmışır. Ancak bu durum kabul edilebilir sınırlar içinde kalmakadır ( α= 0.05 ). ookorelasyon 0,0-0,0-6 al limi üs limi arihi korelogram Şekil 9. AR() modeli için 6 numaralı isasyona ai arihi korelogram ve %95 güven aralığı. Figure 9. Hisorical correlogram and %95 confidence inerval of gauging saion wih he number of 6 for AR() model. ookorelasyon 0,0-0,0-6 al limi üs limi arihi korelogram Şekil 0. 6 numaralı isasyon için arihi korelogram ve %95 güven aralığı Figure 0. Hisorical correlogram and %95 confidence inerval of gauging saion wih he number of 6.

12 4 M. BÜYÜKYILDIZ Sonuç olarak; AR() modelinin y = x = µ + φ z + σε ξ şeklindeki ifadesine göre incelenen üç isasyona ai kurulan AR() modellerinin maemaiksel ifadesi aşağıdaki gibi elde edilmişir. 6 numaralı isasyon için AR() modeli y x = z = ξ () 6 numaralı isasyon için AR() modeli y x = z = ξ () 6 numaralı isasyon için AR() modeli y x = z = ξ (3) Bu ifadelerdeki z sandardize seriyi, sandar normal rasgele sayıları, σ ε ise rasgele değişkenin sandar sapmasını ifade emekedir. Yıllık Akımların ARMA modelleri ξ Çalışmada kullanılan isasyonlara ai yıllık akımların AR modellemesinde çizilen korelagram ve kısmi korelogramlar neicesinde, 6 numaralı isasyon için ARMA(0,), 6 ve 6 numaralı isasyonlarda da kısmi korelogramların k= gecikme değerinde önemli çıkması sebebiyle ARMA(,) modelleri muhemel model olarak seçilmişir. Her 3 isasyona ai yıllık akım serilerinin oralaması, varyansı ve z serileri daha önce belirlenmişi. Öngörülen ARMA modellerine ai φ ve θ paramereleri, arık serilerin kareleri oplamı (S) minimum olacak şekilde bilgisayar yardımıyla hesaplanmış ve bu minimum S değeri kullanılarak arık seri varyansları ( σ ) belirlenmişir. Daha sonra 6 numaralı isasyon için seçilen modelin bir üs, 6 ve 6 numaralı isasyonlar için ise seçilen modelin bir al ve bir üs modelleri arasında AIC (Akaike Bilgi Krieri-Akaike Informaion Crierion) kullanılarak bir kıyaslama yapılmışır. Bunun için öncelikle 6 numaralı isasyon için seçilen ARMA(0,) modelinin bir üs modeli olan ε ARMA(,) modeli için, 6 ve 6 numaralı isasyonlarda ise seçilen ARMA(,) modelinin bir al ve bir üs modeli olan ARMA(0,) ve ARMA(,) modelleri için minimum S değerini veren model paramereleri ve arık seri varyansları (σε ) bulunarak sonuçlar Tablo 7 de verilmişir. Daha sonra her model için AIC değerleri elde edilerek en küçük AIC değerini veren model o isasyonun yıllık oralama akımlarını emsil eden en uygun ARMA(p,q) modeli olarak seçilmişir (Tablo 8). Tablo 5 e göre en küçük AIC değerini veren model 6 numaralı isasyonda AR(0), 6 numaralı isasyonda AR() ve 6 numaralı isasyonda ise AR() modelidir. Seçilen modellere ai arık serilerin önemli bir içsel bağımlılığının olup olmadığı da Pore Moneau esi ile incelenmişir. Bunun için arık serilerin korelogramı hesaplanmış, Pore Moneau meodu kullanılarak Q isaisikleri bulunmuş ve bu değer (L-p-q) serbeslik derecesindeki, %95 olasılıkaki χ değeri ile kıyaslanmışır. ε arık serilerinin normal dağılıp dağılmadığı da bu serilere ai çarpıklık kasayısı hesaplanarak konrol edilmişir (Tablo 9). Tablo 9 daki sonuçlara göre her üç isasyon için bulunan Q değerlerinin söz konusu L-p-q değerlerine göre bulunan χ değerlerinden küçük olduğu dolayısı ile ε arık serilerinin önemli bir içsel bağımlılığının olmadığı, dolayısıyla bağımsız olduğu, ayrıca hesaplanan çarpıklık kasayılarına göre de arık serilerin normal dağıldığı sonucuna varılmışır. Bu konrollerden sonra yıllık oralama akımlar için belirlenen ARMA(p,q) modellerine ai ifadeler kullanılarak 50 ade seneik seri üreilmiş ve isaisiksel karakerisiklere ai güven aralıkları bulunmuşur (Tablo 0). 6 ve 6 numaralı isasyon için ARMA(,) ve 6 numaralı isasyon için ARMA(,) şeklinde belirlenen modellere ai korelogramların konrolü yapılmış ve arihi korelogramların %95 güven aralıkları içinde olduğu belirlenmişir (Şekil -3).

13 Ora Anadolu Kapalı Havzasının Yıllık Oralama Akımlarının Sokasik Modellemesi 5 Tablo 7. Seçilen muhemel ARMA(p,q) modelleri ile bir al ve bir üs dereceli modellere ai φ ve θ paramereleri ve arık seri varyansları. Table 7. φ and θ parameers, whie noise variances for seleced possible ARMA(p,q) models and one up and one down degree models. İsasyon no φ ARMA(0,) ARMA(,) ARMA(,) θ S σε φ θ S σε φ φ θ S σε Tablo 8. ARMA(p,q) modellerine ai AIC değerleri. Table 8. AIC values of ARMA(p,q)) models. İsasyon AIC no ARMA(0,) ARMA(,) ARMA(,) Tablo 9. ARMA(p,q) modelleri için Pore Moneau ve normalie esi sonuçları. Table 9. Resuls of Pore Moneau and normaliy ess for ARMA(p,q) models. İsasyon no Q L-p γε χ γ = = = Tablo 0. ARMA(p,q) modelleri için arihi serinin isaisiksel karakerisikleri ve güven limileri. Table 0. %95 confidence inervals and saisical characerisics of hisorical series for ARMA(p,q). İsasyon no Oralamanın güven aralığı Al limi Üs limi Tarihi seriye ai oralama Sandar sapmanın güven aralığı Al limi Üs limi Tarihi seriye ai sandar sapma Çarpıklığın güven aralığı Al limi Üs limi Tarihi seriye ai çarpıklık Ookorelasyon 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00-0,0-0,40 6 al limi üs limi arihi korelogram Şekil. ARMA(,) modeli için 6 numaralı isasyona ai arihi korelogram ve %95 güven aralığı. Figure. Hisorical correlogram and %95 confidence inerval of gauging saion wih he number of 6 for ARMA(,) model. Ookorelasyon 0,60 0,40 0,0 0,00-0,0-0,40 6 al limi üs limi arihi korelogram Şekil. ARMA(,) modeli için 6 numaralı isasyona ai arihi korelogram ve %95 güven aralığı. Figure. Hisorical correlogram and %95 confidence inerval of gauging saion wih he number of 6 for ARMA(,).

14 6 M. BÜYÜKYILDIZ Ookorelasyon,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00-0,0-0,40-0,60 6 al limi üs limi arihi korelogram Şekil 3. ARMA(,) modeli için 6 numaralı isasyona ai arihi korelogram ve %95 güven aralığı. Figure 3. Hisorical correlogram and %95 confidence inerval of gauging saion wih he number of 6 for ARMA(,) model. Korelogramlar incelendiğinde, her üç isasyona ai arihi korelogramların %95 güven limileri içinde kaldığı görülmekedir. 6 numaralı isasyon için k=, 6 numaralı isasyon için ise k=4 gecikme değerinde arihi korelogram güven limilerinin dışına çıkmışır. Ancak bu durum kabul edilebilir sınırlar içinde kalmakadır ( α= 0.05 ). Yapılan büün konroller sonucunda üç akım gözlem isasyonu için belirlenen ARMA(p,q) modellerine ai maemaiksel ifadeler aşağıda verilmişir: 6 numaralı isasyon için ARMA(,) modeli y 3 = x = z 0.76ε +. ξ (4) 6 numaralı isasyon için ARMA(,) modeli y 979 = x = z 0.848ε + 0. ξ (5) 6 numaralı isasyon için ARMA(,) modeli y 0 = x = z z ε + 0. ξ 6) SONUÇLAR Bu çalışmada nehir akımlarının sokasik modellemesinde yaygın olarak kullanılan modellerden biri olan AR(p) ve ARMA(p,q) modellerinin meodolojisine ve Ora Anadolu Kapalı Havzasında yer alan üç isasyona ai yıllık oralama akım serilerine uygulanmasına yer verilmişir. Gerekli üm konroller yapılarak akım serilerini emsil eden modellere karar verildiken sonra seneik seriler üreilmiş ve kurulan modellerin, arihi seriye ai isaisiksel karakerisikleri muhafaza eiği göserilmişir. Büün bu yapılan analizler sonucunda 6, 6 ve 6 numaralı akım gözlem isasyonlarına ai yıllık oralama akımlarını emsil eden en uygun ooregressif modelin her üç isasyonda da AR() modeli olduğu, en uygun ooregressif harekeli oralama modelinin ise 6 ve 6 numaralı isasyon için ARMA(,), 6 numaralı isasyon için ise ARMA(,) olduğuna karar verilmişir. Elde edilen bu model Ora Anadolu Kapalı Havzası ndaki üç nehrin yıllık oralama akım ahminlerinde kullanılabilir. KAYNAKLAR Bayazı, M., 998, Hidrolojik Modeller, İTÜ İnşaa Fakülesi Mabaası, İsanbul Box, G. E. P. and Jenkins; G. M., 970, Time Series Analysis, Forecasing and Conrol, Holden-Day, San Francisco Kahya, E., Karabörk, Ç. ve Kalaycı, S., 998, Yeşilırmak Havzasında ARIMA ve Çok Değişkenli Sokasik Modelleme Uygulamaları, II Uluslar Hidromeeoroloji Sempozyumu, 95-03, 8-0 Kasım, Ankara Karabörk, Ç., 997, Yıllık ve Aylık Akımların Sokasik Modellemesi, Yüksek Lisans Tezi, Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü, Konya, Türkiye Karabörk, Ç. ve Kahya, E., 998, Göksu Nehrinin Yıllık ve Aylık Akımlarının Sokasik Modellemesi, S. Ü. Müh.-Mim. Fak.Derg., c. 3, s., Konya Karabörk, Ç, ve Kahya, E., 999, Mulivariae Sochasic Modeling of Monhly Sreamflow of Rivers in he Sakarya Basin, Turk. J. Engin. Environ. Sci., 3, Merzi, N., Usul, N. ve Usul, G., 995, Çoruh Havzası nda Olu Nehrinin (33 Numaralı İsasyonun) Aylık Akımlarının Sokasik Modellemesi, Cil 6, Sayı 4

15 Ora Anadolu Kapalı Havzasının Yıllık Oralama Akımlarının Sokasik Modellemesi 7 Nguyen, V.T.V. and Rouselle, J., 98, A Sochasic Model For he Time Disibuion of Hourly Rainfall Deph, Waer Resources Research 7: Özçelik, C. ve Benzeden, E., 004, Göl Seviyelerinin Maemaik Modelleri, IV Ulusal Hidroloji Kongresi, 47-59, İsanbul Salas, J. D. Delleur, J. W., Yevjevich, V., Lane, W. L., 980, Applied Modelling of Hydrologic Time Series, Waer Resources Publicaions, Colerado Salas, J.D. and Obeysekera, J.T.B., 98, ARMA Model Idenificaion of Hydrologic Time Series, Waer Resources Research 8:0-0 Şarlak, N. ve Şorman, Ü., 004, Ooregresif Zaman Serileri Modelleri Paramerelerinin Yeni Bir Meola (MML) Elde Edilmesi ve Maksimum Olabilirlik Meodu İle Karşılaşırılması Uygulama: Kızılırmak Havzası, IV Ulusal Hidroloji Kongresi, 35-45, İsanbul Te, W. G. and Singh, V.P., 994, An Auocorrelaion Funcion Mehod for Esimaion Parameers of Auoregressive Models, Waer Resources Managemen 3:33-56 Yiği, U., 998, Sochasic Modeling of Monhly Flows of Ankara Creek in Sakarya Basin, Yüksek Lisans Tezi, ODTÜ Fen Bilimleri Ensiüsü, Ankara, Türkiye Yücel, A. ve Topaloğlu, F., 999, Adana İli Uzun Yıllık (99-990) Günlük Minimum, Oralama ve Maksimum Sıcaklık Verilerinin Zaman Serisi Analizi İle İncelenmesi, Turkish Journal of Agriculure And Foresry 3, Ek Sayı 4, , Tübiak Yürekli, K. and Özürk, F., 003, Sochasic Modeling of Annual Maximum and MinimumSreamflow of Kelki Sream, Waer Inernaional, Volume 8, Number 4, Pages

16 8 M. BÜYÜKYILDIZ