MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ DİNMİK MDDESEL NOKTLRIN DİNMİĞİ
DİNMİK MDDESEL NOKTLRIN DİNMİĞİ İÇİNDEKİLER. GİRİŞ - Konu, Hız ve İve - Newton Kanunları. MDDESEL NOKTLRIN KİNEMTİĞİ - Doğrusal Hareket - Düzlede Eğrisel Hareket - ağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde) - irbirine ağlı Maddesel Noktaların Hareketi 3. MDDESEL NOKTLRIN KİNETİĞİ - Kuvvet, Kütle ve İve - İş ve Enerji - İpuls ve Moentu
DİNMİK MDDESEL NOKTLRIN DİNMİĞİ 3 KİNETİK
DİNMİK MDDESEL NOKTLRIN KİNETİĞİ 3. İş ve Enerji
Dinaik İş s ds d r α ' s r Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji ' s + ds r + d r Maddesel noktanın bu yörüngeyi izleesini sağlayan başka kuvvetler de var. Eleanter iş du = d r du = ds cosα = (ds cosα) du = ( cosα) ds = t ds du = t ds skaler çarpı s r n t t = cosα O d r = ds d r ds α n r + d r t ds cosα s v t t d r U - > 0 d r U - < 0 t s U - = t ds s t = f(s) U - s s kuvvetinin s konuundan s konuuna kadar yaptığı iş t - s grafiğinin altında kalan alan s v İş, skaler bir büyüklüktür ve birii Joule'dür. J = N
Dinaik ehcet Kuvvet sabit DĞHN ise: n α t s α Δs s Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji Sabit bir kuvvetin yaptığı iş yörüngenin nasıl bir eğri olduğuna bağlı değildir. İki konu arasındaki kuvvete paralel olarak ölçülen uzaklığa bağlıdır. Kuvvetin yönü de şiddeti de değişiyor. du = cosα ds U - = cosα Δs n t α ds cosα ds s s sabit fakat α ve t değişken Δs cosα s konuu ile s konuu arasındaki kuvvete paralel uzaklık Doğrusal harekette sabit ise α sabittir, t de sabittir. U - = (Δs cosα) U - = t Δs cosα ds s s s konuu ile s konuu arasındaki kuvvete paralel uzaklık du = cosα ds s U - = cosα ds s Kuvvetin teğetsel bileşeninin şiddeti sabit ise: t t = sb. du = cosα ds du = t ds n du = t ds t U - U - = t Δs Δs s s s Δs s t = sb. iken geçerlidir. s
Dinaik ehcet Kinetik enerji DĞHN Kinetik enerji Durakta olan bir cisi v hızına ulaştırak için gerekli olan enerjiye kinetik enerji denir. Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji 3 T = v T 0 Yer çekii potansiyel enerjisi Yer çekii kuvvetine karşı yapılan işe "yer çekii potansiyel enerjisi" denir. h daia yukarı doğru pozitiftir. V g = g h h > 0 V g = g h V g = 0 düşey h h = 0 keyfi olarak seçilen bir seviye düşey h < 0 ğırlık kuvveti, yönü de şiddeti de değişeyen sabit bir kuvvettir. V g = g h ğırlığın yaptığı iş konuundan konuuna kadar hangi yörünge üzerinden gidildiğine bağlı değildir. Yaptığı iş yörüngeden bağısız olan böyle kuvvetlere korunulu kuvvetler denir. ğırlığın yaptığı iş, ağırlık kuvveti ile, konuu ile konuu arasındaki düşey uzaklığın çarpıına eşittir. şağıdan yukarıya çıkan bir cise ağırlığın yaptığı iş negatif iştir. V g = g h ğırlığın yaptığı iş yer çekii potansiyel enerjisindeki değişiin negatifine eşittir. (V g V g )
Dinaik Elastik potansiyel enerji Yay kuvvetine ( = k x) karşı yapılan işe "elastik potansiyel enerji" denir. x V e = k x dx 0 V e = k x Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji 4 x > 0 V e = k x L + x x < 0 V e 0 V e = k x L + x L x = 0 x = 0 V e = 0 yayın boyundaki değişe x V e = k x V e = k x Yay kuvveti de korunulu bir kuvvettir. Yaptığı iş yörüngeye bağlı değildir. Yay kuvvetinin yaptığı iş elastik potansiyel enerjideki değişiin negatifine eşittir. (V e V e )
Dinaik İş - Enerji Denklei Maddesel noktaya etki eden bütün kuvvetlerin yaptığı iş s U - = Σ t ds s Σ t = a t v dv = a t ds U- Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji 5 s = at ds = v dv s v v U - = (v v ) İş yapan bileşenlerin toplaı s v Σ t Σ Σ n İş yapayan bileşenlerin toplaı s v E ğırlık kuvvetlerinin yaptığı iş U - = U - ' s U - ' = Σ t ' ds s Yay kuvvetlerinin yaptığı iş ğırlık kuvvetlerinden ve yay kuvvetlerinden başka iş yapan kuvvetlerin yaptığı topla iş U - = T T T + U - = T (V g V g ) (V e V e ) U - = U - ' (V g V g ) (V e V e ) E T + V g + V e + U - ' = T + V g + V e Topla E = T + V g + V e ekanik enerji E + U - ' = E Enerjinin Korunuu Eğer bir addesel noktaya etki eden kuvvetlerin içinde ağırlık kuvvetlerinden ve yay kuvvetlerinden başka iş yapan kuvvet yoksa topla ekanik enerji korunur. U - ' = 0 E = E E = sb. T + V g + V e = T + V g + V e
Dinaik ehcet Örnek Proble DĞHN 3/ 0.60 kg lık şekildeki kızak, düşey düzlede yer alan eğrisel bir çubuk üzerinde, D deki küçük akaralardan geçen ipteki sabit çeke kuvvetinin tesiri altında ihal edilebilir bir sürtüne ile kayaktadır. Eğer kızak dan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa, kızağın noktasındaki durdurucuya 4 /s lik bir hızla çarpası için kuvvetinin ne olası gerekir? Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji 6 Verilenler: ktif kuvvet diyagraı Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir. = 0.6 kg v = 0 v = 4 /s t α Eğer hareketi bu şekilde inceleek istersek, D kuvvetinin yaptığı işi bulak için verilenler yeterli olayacaktır. kuvvetinin şiddeti sabittir aa yönü değişektedir. Dolayısı ile nin teğetsel bileşeni değişektedir. İstenenler: yrıca nin teğetsel bileşenini bulak için yörüngenin bilinesi gerekir. nin nasıl bir eğri olduğu da bilineektedir. =? (sabit) Siste sınırı D kuvvetinin yaptığı işi kolayca bulabilek için siste sınırı yandaki gibi seçilebilir.
Dinaik ehcet Örnek Proble DĞHN 3/ 0.60 kg lık şekildeki kızak, düşey düzlede yer alan eğrisel bir çubuk üzerinde, D deki küçük akaralardan geçen ipteki sabit çeke kuvvetinin tesiri altında ihal edilebilir bir sürtüne ile kayaktadır. Eğer kızak dan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa, kızağın noktasındaki durdurucuya 4 /s lik bir hızla çarpası için kuvvetinin ne olası gerekir? Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji 7 Verilenler: = 0.6 kg v = 0 v = 4 /s İstenenler: =? (sabit) ktif kuvvet diyagraı Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir. s v s U - = Σ t ds s Her iki kuvvet de sabittir. s U - = Δs cosα ds = g s Siste sınırı Δs = D D s v D Δs u noktanın yer değiştiresi, ipin akaralardan geçen boyu Δs = 54. Çözü s U - = Δs cosα ds s ğırlık kuvveti, aşağıdan yukarıya çıkan bir cise negatif iş yapar. E s konuu ile s konuu arasındaki kuvvete paralel uzaklık = 400 İpteki kuvvetin yaptığı işi kolayca bulabilek için siste sınırı bu şekilde seçiliştir. E nin yörüngesi ğırlık kuvveti sabittir ve daia düşeydir. O halde ağırlık kuvvetinin yaptığı işi bulak için konular arasındaki düşey uzaklık alınacaktır. 85 800 0 v + 00 83 = 3 N D T + U - = T 00 00 U - = v
Dinaik ehcet Örnek Proble DĞHN 3/ 0.60 kg lık şekildeki kızak, düşey düzlede yer alan eğrisel bir çubuk üzerinde, D deki küçük akaralardan geçen ipteki sabit çeke kuvvetinin tesiri altında ihal edilebilir bir sürtüne ile kayaktadır. Eğer kızak dan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa, kızağın noktasındaki durdurucuya 4 /s lik bir hızla çarpası için kuvvetinin ne olası gerekir? Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji 8 Verilenler: = 0.6 kg v = 0 v = 4 /s ktif kuvvet diyagraı Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir. s h v Siste sınırı s h v D u noktanın yer değiştiresi, ipin akaralardan geçen boyu. Çözü İpteki kuvvetin yaptığı işi kolayca bulabilek için siste sınırı bu şekilde h = h = 400 seçiliştir. h 85 00 83 D 00 00 İstenenler: =? (sabit) ğırlık kuvvetlerinden ve yay kuvvetlerinden başka iş yapan kuvvetlerin yaptığı topla iş Δs = D D Δs = 54 h = h = 0 E + U - ' = E 0 0 0 0 T + V g + V e + U - ' = T + V g + V e 800 s U - ' = Σ t ' ds s U -' = Δs Δs = v + g h = 3 N
Dinaik ehcet Örnek Proble DĞHN 3/ Düşey olan sürtünesiz çubuk üzerinde kayakta olan 0 kg lık kızak, yayların boyunun 0. uzaış olduğu konuundan v = /s lik bir hızla geçektedir. Kızağın, noktasını geçerkenki hızı v yi hesaplayınız. Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji 9 Verilenler: Yayların boyu, L : Çözü = 0 kg L + x = 0.4 v = /s h = 0.3 k = 800 N/ x = 0. h = 0 İstenenler: v =? L + 0. = 0.4 L = 0.3 0.4 0.5 0.3 s h x v s h x v h h = 0 E + U - ' = E ğırlık kuvvetinden ve yay kuvvetlerinden başka iş yapan kuvvet oladığı için enerji korunur. E + U - ' = E T + V g + V e = T + V g + V e 0 v + g h + ( k x ) = v + ( k x ) 0 L + x = 0.5 x = 0. v =.6 /s
Dinaik ehcet Örnek Proble DĞHN 3/3 Her birinin kütlesi olan küçük ve cisileri, kütlesi ihal edilebilen çubuklarla birbirlerine şekildeki gibi bağlanış ve ilk hızsız olarak serbest bırakılışlardır. O ile aynı düşey hizaya geldiği anda cisinin hızı ne olur? Sürtüneleri ihal ediniz. Verilenler: v = 0 v = 0 μ = 0 İstenenler: v =? O 60 o α 00 50 sinα sin60 o = 00 50 α = 43.9 o v = 0 O O = = cisi bu konuda durup geri döner. Ulaşabileceği en alt konudadır. Çözü 00 50 Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji 0 h = 0 h = 0 h = 450 (00cos60 o + 50cosα) h = 70 h h h = 00 00 cos60 o = 00 E + U - ' = E ğırlık kuvvetlerinden başka iş yapan kuvvet oladığı için enerji korunur. E + U - ' = E 0 0 0 0 T + V g + V e = T + V g + V e 0 g h + g h = v 0 + v (9.8) (0. + 0.7) = v v =.3 /s
Dinaik ehcet Örnek Proble DĞHN 3/4 Maddesel Noktaların Kinetiği 3.. İş ve Enerji Rijitliği k olan şekildeki yay, sıkıştırılış ve aniden serbest bırakılıştır. öylece kütleli addesel nokta, şekildeki yolu izleiştir. Yolun düşey düzlede yer alan yuvarlak kısında addesel nokta ile yolun teasının kesileesi için yayın sıkıştırılası gereken iniu esafe δ yı hesaplayınız. Kinetik sürtüne katsayısı μ k olan s = R uzunluğundaki sürtüneli kısı dışında yolun yüzeyi sürtünesizdir. Verilenler: R k v = 0 v = v in μ k Δs = s = R x = δ x = 0 h = 0 h = R İstenenler: x in = δ =? Maddesel noktanın yol ile teasının kesilesi açısından en kritik nokta noktasıdır. h h = 0 t v a N Σ n = a n n R v N + = R v a n = ρ v = v in iken N = 0 ve a = g olur. v 0 + = in R = g Çözü v in = g R = v a Σ y = a y μ k N (sabit) U - ' = Δs Δs = R y N sürtüneli kısı μ k N N = 0 N = g U - ' = μ k N R = μ k g R sürtüneli kısı E + U - ' = E 0 0 0 T + V g + V e + U - ' = T + V g + V e k x μ k g R = v + g h k δ μ k g R = (g R) + g ( R) δ = 5 + μ k g R k