MAK669 LINEER ROBUS KONROL s.seli@gyte.ed.tr 7..4
Dr değişeni geri beslee(state feedba) ontrol Dr değişeni geri besleeli ontrolde tü dr değişenlerinin elde edilebilir oldğ varsayılatadır. B ontrolün pratite yglanabilesi için tü dr değişenlerinin ölçülesi gereetedir. A B K state feedba B + + I s C y A BK ( ABK) A K si A Açı çevri öleri si A BK Kapalı çevri öleri
Linear Qadrati Reglator(LQR) Model esaslı ontrol tasarı yönteinin en basit yapısı LQR dır. Lineer sistein aşağıdai şeilde odellendiğini düşüneli A B () b sistele ilişili perforans indesi J ( Q R) dt brada Q Q, R R şelinde tanılıdır. Brada aaç K J perforans indesini iniize eden selinde sistei ararlı hale getiren bir lineer dr değişeni geri besleeli ontrolör olştratır. 3
Linear Qadrati Reglator(LQR) Aşağıdai gibi he zaana he de dr değişenine bağlı bir fonsiyonel denle tanılansın: f t (, ) in (, ) t f (, t ) f ( ()) f (, t ) t h dt Fonsiyonelin tanılanan zaan aralığındai değerleri: Hailton-Jaobi denlei f t f in h(, ) g(, ) (I) 4
Linear Qadrati Reglator(LQR) g(, ) A B h(, ) Q R olara alınırsa ve (I) de yerine yazılırsa J t t t t h(, ) dt ( Q R) dt f t f in Q R ( A B) (II) 5
Linear Qadrati Reglator(LQR) f (, t) P olara seçilirse P P f t f P P t f P (II) de yerine yazılırsa P in Q R P( A B) t (III) 6
Linear Qadrati Reglator(LQR) iniize ete için: P Q R P( A B) t R PB R B P P P, R R opt R B P (IV) opt K K R B P 7
Linear Qadrati Reglator(LQR) (IV) denleinde bldgz denlei (III) denleinde yerine yazılırsa P Q R P( A B) P Q R B P R P A B ( ) ( R B P) ( ( R B P)) P Q PA PB ( R B P) (soldan sagdan çarpanı olara yazılır) Brada PA ( A P PA) olara alınırsa: P ( Q A P PA PBR B P) P PA A P Q PBR B P elde edilir. P PA A P Q PBR B P Riati denlei 8
LQR Problei Örne: Sistei için opti ontrolü hesaplayınız. r= y + A B C - K 9
LQR Problei p p A, B, Q R P p p PA A P Q PBR B P p p p p p PA p p p p p p p p p AP p p p p p p
LQR Problei p p p p PBR B P p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
LQR Problei p p p p.73 =.73 p 4 p p p p 4 p.464.54 4.54 A=[ - -]; B=[ ]; Q=[ ]; R=; p p p p p p.43 [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R) EAl=eig(A-B*K) P.43.73.73.54.43.73 K R B P.73.54.73.54
3 Riati denleinin çözüü Hailton atrisi n n n n n I PA Q PBR B A P PA Q PBR B P A P I A BR B P I P Q A A BR B H Q A I P I H P Özvetör etod: Hailton atrisinin özvetör ve özdeğerlerinden P atrisi hesaplanatadır.
Opti Kontrol Problei I Çeyre taşıt odeli için LQR ontrol tasarıı. Atif () a t () a t Gövde () p t () p t Pasif Gövde t () Atatör t () eer eer ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) p p a a a p ( ) 4
Opti Kontrol Problei I ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 4 ˆ d ˆ dt ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 ˆ ˆ 4 4 Bradai örnete yol profilinin adı fonsiyon oldğ düşünülüyor. B drda sabit olara alınabilir. ˆ ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ 3 4 5
Opti Kontrol Problei I J [ ˆ Qˆ R] dt ( ) : teerleğin dinai sapası ( ) : as izafi hareeti Perforans indesinde b ii far dr değişeni için alırsa: J [ q ( ) q( ) r ] dt Araç gövdesinin düşey ivelenesi ile orantılı olan atatör vveti t ( ) aynı zaanda sürüş onforszlğnn da bir ölçüsüdür. B nedenle J aaç fonsiyonnn iniize edilesi sürüş onforszlğ veya atatör girişinin iniize edilesi ve teerle dinai sapası ile izafi as hareetinin ağırlılı toplaının iniize edilesi arasında seçi(trade-off) yapa sonn verir. Ağırlı paraetreleri ile siste dr değişenleri arasındai ilişi: q ( ) q ( ) q ˆ q ( ˆ ˆ ) ˆ ( ) q ˆ q ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( q q ) ˆ q ˆ q ˆ ˆ 6
Opti Kontrol Problei I Perforans indesinde J [ ˆ ˆ ] Q R dt Q atirisi Q q q ˆ q q q ˆ ˆ ˆ, ˆ 3 4 olştrlabilir. K ˆ 7
Opti Kontrol Problei I MAK669 qarodel.dl -_a / Kontrol _a dd s Yol Profili 3_hat =d_hat s _hat -_p / Dinai sapa / [ _hat: _hat; 3_hat;4_hat] Gain _a _p / / s 4_hat=d_ s _hat (-) _hat _p _p K* ve 8
Opti Kontrol Problei I %qar. %%% Paraeters %%% =375; =38; =4; =56; =5; =.5; % A=[ ; ; -/ ; ]; B=[;;-/;/]; r=.; q=; q=5; Q=[ q+q -q -q q ]; R=r; K=lqr(A,B,Q,R) 9
Opti ontrol problei II ( ) ( ) ( ) ( ) M K C E MX CX KX E
Opti ontrol problei II A B y C I A M K M C B M E C Case I: Q R t f J 3 3 dt 3 4 Case II: Q C C, R
Opti ontrol problei II s B* s C* []^*r+[]^*r Fn s perforane inde.97 J IC=[ ; ; ; ] ve Ciis - A* []^*q+[]^*q+[3]^*q3+[4]^*q4 ts Matri Gain Fn state feedba -K* Clo Display yaytleodel.dl MAK 669-
lear =; =.; =; =; =.; M=[ ; ]; K=[+ -; - ]; C=[ -; - ]; E=[ ]; inm=inv(m); A=[zeros(,) eye() -inm*k -inm*c]; eig(a) B=[ ; ; inm*e]; C=[ ; ]; D=zeros(,); Q=[ ; ; ; ]; %Case I Q=C'*C; %Case II q=q(,);q=q(,);q3=q(3,3);q4=q(4,4); R=*eye(); r=r(,);r=r(,); K=lqr(A,B,Q,R) A=A-B*K; eig(a) figre() pzap(a,b,c,d) ais([-6 - ]); hold on pzap(a,b,c,d) [ n, den]=sstf(a,b,c,d,); [n, den]=sstf(a,b,c,d,); w=logspae(-,3,); f=w/pi/; ag=bode(n,den,w); ag=*log(ag); ag=bode(n,den,w); ag=*log(ag); set(ga,'fontsize',4) figre() seilog(f,ag(:,),'r--',f,ag(:,),'b-') ais([^(-),^,-,3]); label('freqeny Hz') ylabel('gain db') title('freqeny response of the syste') 3
Opti ontrol problei II Gain db Gain db Freqeny response of the syste Freqeny response of the syste withot ontrol Case I ----> y withot ontrol Case II ----> y - - -4-4 -6 with ontrol -6 with ontrol -8-8 - - - - Freqeny Hz - - Freqeny Hz 4
Opti ontrol problei >> help lqr LQR Linear-qadrati reglator design for state spae systes. [K,S,E] = LQR(SYS,Q,R,N) allates the optial gain atri K sh that: * For a ontinos-tie state-spae odel SYS, the state-feedba law = -K iniizes the ost fntion J = Integral {'Q + 'R + *'N} dt sbjet to the syste dynais d/dt = A + B * For a disrete-tie state-spae odel SYS, [n] = -K[n] iniizes J = S {'Q + 'R + *'N} sbjet to [n+] = A[n] + B[n]. he atri N is set to zero when oitted. Also retrned are the the soltion S of the assoiated algebrai Riati eqation and the losed-loop eigenvales E = EIG(A-B*K). [K,S,E] = LQR(A,B,Q,R,N) is an eqivalent synta for ontinos-tie odels with dynais d/dt = A + B See also lqry, lqgreg, lqg, dlqr, are, dare. 5
Linear Frational ransforation(lf) LF blo yapısı ontrol sisteinin giriş/çıış ilişisini gösterete llanılatadır. B yapı aynı zaanda belirsizlilerin ontrol sisteini nasıl etilediğini göstere için llanılatadır.
Linear Frational ransforation(lf) Mateatisel anlada LF yapısının çıartılası: as b s d (d ) denleini düşüneli. B denle aynı zaanda aşağıdai şeilde de yazılabilir: b ( a ) s b d d ( sd ) d b ( s) b ( a ) s d d as b ( sd ) s d d bd ( a bd ) s( d s) d (I)
Linear Frational ransforation(lf) ( I ) denle yapısı ontrol sistelerinin blo diyagraları gösteriinde giriş /çıış ilişisine arşılı geletedir. Bn göre için şeildei geribeslee yapısını aşağıdai şeilde düşüneli: z w p p w P y p p sy ve y ortadan aldırılırsa z p p s( ps) p w elde edilir. (I) ifadesi ile arşılaştırılırsa: = z w P p p bd a bd p p d d
Linear Frational ransforation(lf) Üst LF Yapısı w M y z y M M M z w M M w F (, ) : ( ) M M M I M M
Linear Frational ransforation(lf) Alt LF Yapısı Sistee ait yapısal belirsizliler LF yapısında ifade edilebilir. w M z y M M M M M z w M M w M y M M y z M w M y M w M y M w M y ( I M ) y M w y ( I M ) M w z M w M y z M w M ( I M ) M w z w F ( M, ) : M M ( I M ) M l
Linear Frational ransforation(lf) opla belirsizliği için LF: w M y z M I I G o y I M z w I G o w F ( M, ) : M M ( I M ) M F ( M, ) : G o Çıış çarpı belirsizliği iin LF: M I Go G o F ( M, ) : G G ( I ) G o o o
Linear Frational ransforation(lf) LF yalaşıı transfer atrisi ve dr zayı arasında ilişi rada llanılabilir. Bir sistein dr zayı denlei A B y C D transfer atrisi A B G s F I C D s I alı nırsa s A B G( ) G( s) F (, ) C D ( ) D C( si A) B (, )
Paraetri Belirsizli Paraetri Belirsizliler: Bir ço endüstriyel ontrol sisteinde sistei olştran eleanların areteristileri doğr tanılanayabilir, esie veya yıprana etileri veya çalışa şartlarının değişesinden dolayı dinai sistede belirsizliler olşatadır. B şeildei belirsizlilere paraetri veya yapısal belirsizliler olara isilendiriyorz. Paretri belirsizliler düşü freans perforansınını etiler. B tip paraetri belirsizlilere örneler eani sistelerde atılı veya sönü atsayıları, eletrisel sistelerde direnç, apasitans veya indütans değerleri, çalarda aerodinai sabitler vb. dir.
Paraetri Belirsizli Bir yay ütle sönü sisteini düşüneli: f f,, nin ta değerlerinin bilinediğini faat belirli bilinen aralılarda oldğn düşüneli. Özel olara gerçe ütle in noinal ütle nin %, gerçe sönü değeri nin noinal sönü değeri nin % si ve gerçe atılı değeri nin noinal atılı değeri nin %3 adar değiştiğini düşüneli. ( ) (.3,.3 ) (.,. ) [ ] tanılansın (.3 ) [ ] (. )
Paraetri Belirsizli Bilinediği düşünülen faat [,] aralığında blnan, ve bozntları(pertrbations) tanılayara siste yapısını b bozntları içeree şeilde ele alabiliriz. (. ) (. ) (.3 )
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası.. (. ) F ( M, ) : M M ( I M ) M l Bozntlar he üst LF he de alt LF yapısında elde edilebilir.. ( ). F ( M, ) : M M ( I M ) M. ( )..
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası Blo diagraında blnasından dolayı b değerin LF ifadesini blaız yerinde olaatır. F ( M, ) : M M ( I M ) M l. (. ). (. ).. (. ) (. ).... F ( M, ) : M M ( I M ) M. (. ) (. )
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası. (. ). F ( M, ) : M M ( I M ) M l. F ( M, ) : M M ( I M ) M. ( )..
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası.3 (.3 ).3 F M l (, ) :.3 ( ).3 F ( M, ) :.3 ( ).3.3
G Şeildei dış giriş ve çıış değişenlerini esas alara G olştrnz. Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası y y y z
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası Paraetri belirsizli içeren siste: (. ) (.3 ) (. ) (. ) (. ) (. ) (. ) (.3 )
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası w.. y z z y y z..3 z. w. ( z z ) y. w. ( z z ) y y z. z.3 z y y y
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası...3 ( z z ). y...3 ( z z ). y y z. z.3 z y y y
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası..3. y..3. y y z y y y
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası..3. y..3. y y z G z y y y A, B..3, B...3. C, D, D A B B G C D D C D D Genişletiliş siste yapısı(agented syste) C, D, D
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası A, B..3, B...3. C, D, D C, D, D %lft_sys. = 3; = ; = ; d =.; d =.; d =.3; % A = [ -/ -/]; B = [ -d -d/ -d/]; B = [ /]; C = [-/ -/ ]; C = [ ]; D = [-d -d/ -d/ ]; D = [/ ]; D = [ ]; D = ; G = p(a,[b,b],[c;c],[d D;D D]);
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası _no = 3; _no = ; _no = ; d_ =.; d_ =.; d_ =.3; M = [-d_ /_no; -d_ /_no]; M = [ _no; d no]; M = [ _no; d no]; int = ndsys([],[ ]); int = ndsys([],[ ]); systenaes = ' M M M int int' ; inptvar = ' [;;;]' ; inpt_to_m = ' [; -M()-M()]' ; inpt_to_m = ' [ ; int]' ; inpt_to_m = ' [ ; int]' ; inpt_to_int = ' [ M() ]' ; inpt_to_int = ' [ int ]' ; otptvar = ' [M(); M(); M();int]' ; G=sysi; M M Int Int M M M M M M z z z y y y M Aynı işle Matlab ot sysi ile de yapılabiletedir.
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası. -.6667 -.3333 -. -.667 -..3333 -.6667 -.3333 -. -.667 -..3333... -.3333 -.6667 -. -.667 -..3333. -.3333 -.6667 -. -.667 -..3333...
Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası G z Orijinal sistein belirsiz yapısı üst LF gösterii ile aşağıdai şeilde ifade edilebilir. z F (, ) G
% % Freqeny responses of the pertrbed plants % lft_sys oega = logspae(-,,); [delta,delta,delta3] = ndgrid([- ],[- ],[- ]); for j = :7 delta = diag([delta(j),delta(j),delta3(j)]); olp = starp(delta,g); olp_i = sel(olp,,); olp_g = frsp(olp_i,oega); figre() vplot('bode',olp_g,'-') sbplot(,,) hold on sbplot(,,) hold on end sbplot(,,) olp_i = sel(g,4,4); olp_g = frsp(olp_i,oega); vplot('bode',olp_g,'r--') sbplot(,,) title('bode PLOS OF PERURBED PLANS') hold off sbplot(,,) hold off
Phase (degrees) Log Magnitde BODE PLOS OF PERURBED PLANS - -4 - Freqeny (radians/se) -5 - -5 - - Freqeny (radians/se)
Ödev Bir ütle-yay sisteinin denlei f z f şelinde veriletedir. Gerçe atılı değeri noinal atılı değeri 'dan % adar değişetedir: (. ) Brada [,] aralığında değişen bozntları gösteretedir. LF yalaşıını llanara aşağıdai yapıyı veren M atrisini olştrnz. = g ve freans evabını blnz. no = N/ için