ÇERÇEVELERDE GERİLME ANALİZİ. Gürol ÖNAL *, Osman YİĞİT. Selçuk Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü, Kampüs, Konya

Transkript

1 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 ÇERÇEVELERDE GERİLME ANALİZİ Gürol ÖNAL *, Osman YİĞİT Selçuk Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü, Kampüs, 475 Kona Özet Çalışmada statik üklere maruz çerçevelerde bilgisaar ardımı ile er değiştirmeler ve gerilme analizi araştırılmıştır. Düzlemsel çerçeveler ele alınmış, çerçeve elemanlarının arı arı eksenel ve eğilme zorlanmasına maruz kalmaları halinde eleman katılık matrisleri türetilmiştir. bu iki zorlanma tipinin anı anda ortaa çıkması halindeki eleman katılık matrisi ise süperpozison prensibi ile elde edilmiştir. Genel halde elde edilen denklemlerde er değiştirmeler bilinmeen büüklükler olarak ortaa çıkmaktadır. Bu er değiştirme değerleri ardımıla gerilmelerin hesabı için gerekli teorik işlemler apılmış ve algoritmalar oluşturulmuştur. Düzlemsel bir çerçeve elemanı bir düğüm noktasında üç adet serbestlik derecesine sahiptir. Diğer taraftan bir çerçeve sistemi genelde üç elemandan fazla eleman ihtiva eder. Bu durumda bahsedilen işlemlerin hemen bir kaç elemanlı sistemlerdeki gibi elle apılamaacak derecede karmaşıklaştığı görülür. Bu, bir bilgisaar programını gerekli kılar. Bu amaçla Basıc programlama dilinde iki program azılmıştır. Programlar çözümü önceden bilinen bazı tipik örneklere ugulanmış ve elde edilen sonuçlar literatürdeki sonuçlar ile karşılaştırılmıştır. Anahtar Kelimeler: Çerçeve sistemleri, gerilme analizi THE STRESS ANALYSIS OF FRAMES Abstract Computer aided displacement and stress analsis of frames under static loads is investigated. In the first step,sstem equations of staticall determined trusses are obtained and an algorithm is developed to transfer the coefficients matrix into a computer. The sstems of linear equations are solved b Gauss-Elimination method. * Corresponding author. Tel: ; Fax: address: gonal@selcuk.edu.tr

2 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 The second step of the investigation deals with planar frames. The stiffness matrices for elements are derived for frames under axial and bending loads seperatel. The superposition technique is used for the cases where axial and bending loads are applied simultaneousl. For general cases,the displacements are obtained as unknows in the equations. Theoretical calculations are performed and related algorithms are developed in order to compute stress values b these unknown strains. A planar frame has there freedom degree in a nodal point. On the other hand,a frame sstem generall has elements more than three. For these cases the calculations are tedious and much more complex for hand calculation. Therefore the use of a computer is inevitable for such cases. Two computer programs in Basıc were developed for this purpose. Trial runs were performed for accurac test with some tpical cases with known solutions. The results optained are in agreement with the results of other investigation in the literature. Kewords : Frame sstems, stress analsis Giriş Bir mühendislik apısına etki eden çeşitli kuvvetleri, güvenlik sınırı içinde taşıan ve elemanları aracılığı ile bu kuvvetleri zemine aktaran sistemlere taşııcı sistemler denir. Taşııcı sistemler genel olarak kafes sistemleri ve çerçeveler olarak ikie arılabilir [,,3]. Bir kaç çubuktan ibaret taşııcı sistemlerde çözüm elle apılabilir. Ancak eleman saısı arttığında çözümün elle apılması çok zordur. eleman saısının artması işlemleri artırmakta ve hata ihtimalini ükseltmektedir. Bunun için gelişen teknolojide bilgisaardan fadalanmak ve programlar hazırlaarak bu problemlerin çözümünü kolalaştırmak gerekir. Çok karmaşık taşııcı sistemler çok kısa zamanda bu programlarla çözülebilir. Buda büük kolalık sağlar. Çerçevelerde bilgisaar istihdamını gerekli kılacak ilk çalışmalar 94 ılında başladı. Ancak o ıllarda büük bilgisaarlar oktu. Büük bilgisaarların devree girdiği ellili ve altmışlı ıllarda karmaşık apılarda matris metodları kullanılmaa başlandı.[4,5].

3 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 Mekanik problemlerdeki ilk bilgisaar kullanımı lineer elastik apı mekaniği safhasında olmuştur. Bu tip problemleri çözen programlar paket haline getirilmiştir. Ancak bu paketlerin program listeleri gizlidir. Günümüzde bu tip programlar çentik ve çatlak problemlerinin araştırılmasında, döner simetrik elemanların analizinde, plak ve kabukların analizinde kullanılmaktadır. Son zamanlarda elastik olmaan şekil değiştirme problemlerinin çözümüle de uğraşılmaktadır [5]. Konstrüksion mühendisliğinde bilgisaarın gerilme analizine ugulanması, katı cisimler mekaniği ve bilgisaar programcılığı konularında temel bilgileri gerektirir. Katı cisimler mekaniğindeki temel kavramları inceleen aın saısı oldukça fazladır. Sonlu elemanlar metodunun ihtiacına cevap verecek temel matris bilgileri de çeşitli kanaklarda mevcuttur. Matris metodları arıca mekanik problemlerin anında ısı transferi, akışkanlar mekaniği, taban suu problemlerinin çözümünde de kullanılmaktadır [6]. Bu kullanım sahalarının hepsinde ortak noktalar vardır. Bu çalışmada temel esasları kavramak için apılmıştır. Çerçevelerde Gerilme Analizi İçin Algoritma Oluşturulması. Genel Halde Kuvvet Yerdeğiştirme Bağıntısının Çıkarılması Elastisite teorisindeki problemlerin sonucu a verilen sınır şartları içinde belirleici diferansiel denklemleri çözmekle vea gerilme bileşenlerini ve ugulanan ükler tarafından apılan iç ve dış işe bağlı bir integral büüklüğün minimize edilmesi ile bulunur. Eğer sınır şartlarını sağlaan er değiştirme eşitlikleri seçilerek işe başlanırsa sistemin potansiel enerjisi minimize edilmelidir. Yok eğer gerilme sınır şartlarını sağlaan gerilme bağıntıları seçilerek işe başlanırsa sistemin komplelamanter enrjisinin minimize edilmesi gerekir. En agın sonlu elemanlar formülasonu bir er değiştirme alanı kabulü ile işe başlaıp, düğüm noktası er değiştirme değerlerini bulmak için potansiel enerjii minimize etmektir. Yer değiştirmeler bilinirse birim uzama ve gerilmeler bulunabilir [6]. Sonlu elemanlar formülasonu potansiel enerjinin minimizasonuna daandığına göre, potansiel enerji teoreminin tam ifadesi burada Verilen sınır şartlarını sağlaan deplasmanlardan, potansiel enerji değerini minimum apanları denge denklemlerini sağlarlar" şeklinde verilebilir.

4 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 Bu teoremin gerekli şartı şöledir: Seçilen er değiştirme eşitlikleri,er değiştirme şartlarını sağlamalıdır. Elastik bir sistemin toplam potansiel enerjisi iki bileşene arılabilir; cisimdeki şekil değiştirme enerjisinden oluşan bir bileşen ve iç ve dıştan ugulanan kuvvetlerin potansiel enerjisine bağlı bir bileşen Toplam potansiel enerji : W p (. ) şeklinde azılabilir [6]. Burada W p, ugulanan üklerin potansiel enerjisi ve şekil değiştirme enerjisidir. Yükler tarafından apılan iş potansiel enerjilerinin negatif işaretlisidir. Yani W W p (. ) dir. Bu durumda (. ) eşitliği W (. 3) şeklini alır. Verilen bölgenin sonlu saıda elemana bölündüğü düşünülerek potansiel enerji ifadesi E e E ( e) W (e) (e) (. 4) e şeklinde ifade edilir. enerjisi Genel halde dv hacmindeki diferansiel eleman için birim şekil değiştirme d T dv (. 5) dir. Burada, toplam birim şekil değiştirmei, dv birim şekil değiştirme enerjisi oğunluğunu göstermektedir. Toplam birim şekil değiştirme enerjisi bütün hacimde bu 3

5 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 değerin integrasonula bulunur. ve vektörleri çözülecek probleme bağlıdır. Mesala iki boutlu düzlemsel gerilme hali için; T = ] ve T = ] (. 6) [ xx x [ xx x dir. Elastisite teorisi iki önemli sonuç verir: -Hook Kanunu = [D] (. 7) -Yer değiştirme birim şekil değiştirme bağıntıları; xx u, x u, zz u, z u v v w u w x, z, xz (. 8) x z z x Burada u,v,w sırasıla x,,z önündeki er değiştirmeleri göstermektedir. Bunlar şekil fonksionları ardımı ile aşağıdaki gibi ifade edilir. u = [ N ] U (3. 9) Burada [N]:Şekil fonksionu matrisi olarak adlandırılır. [N] 'nin elemanlarının ifadesi apı elemanlarına göre değişir. Bu çalışmada kullanılan elemanlara ait N i ifadeleri.. ve.. de verilmiştir. (. 8) eşitlikleri birim uzama vektörünün,{u} vektörü ardımı ile = [B] U (. ) 4

6 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 şeklinde azılmasını mümkün kılar. Burada [B], [N]' nin türevidir. [B]' nin gerçek değeri çözülecek problemin tipine ve kullanılan elemana bağlıdır. (. 7) ve (. ) eşitlikleri kullanılarak tek bir eleman için birim şekil değiştirme enerjisi (e) V (e) ( U T [B (e) ] T [D (e) ] [B (e) ] U (. ) şeklinde azılabilir. Düğüm noktasında ugulanan dış ükler {P} ve düğüm noktası er değiştirmeleri {U} olduğuna göre dış ükler tarafından apılan iş W={U} T {P}= {P} T {U} (. ) matris çarpımı ile verilir. Bu tanımlama kuvvetlerin,er değiştirme bileşenlerine parelel bileşenlerine arılarak işlem apıldığını gösterir. Bu durumda bütün sistem için toplam potansiel enerji ifadesi (. 4) ardımıla (e) E [ U T [B (e) ] T [D (e) ] [B (e) ] U dv ] U T P (. 3) e V (e ) olarak bulunur i minimize etmek için {U} a göre türev alınıp sıfıra eşitlenmesi gerekir. Bu işlem apılırsa u E [ e V(e ) [B (e) ] T [D (e) ] [B (e) ] dv U ] P= (. 4) eşitliği bulunur. Bu eşitlikteki [ k e) ] ( V(e) [B (e) ] T [D (e) ] [B (e) ] dv (. 5) ifadesi eleman katılık matrisi olarak adlandırılır. [P] de sisteme ugulanan dış ük vektörünü göstermektedir. Bu durumda sistem eşitliği basitçe 5

7 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 [K]{u}={P} (. 6) şeklinde ifade edilebilir. Burada [K] matrisi sistem katılık matrisi olup E [K]= [k ] e (e) şeklinde verilir [7,8]. (3. 7). Düzlemsel Çerçeve Elemanı Düzlemsel çerçeve elemanı düzlemsel bir çubuk olup eksenel kuvvete,eğilme momentine ve kesme kuvvetlerine direnç gösterir. Kuvvetler neticesinde düğüm noktaların hareket edebileceği doğrultular (serbestlik dereceleri) Şekil de gösterilmiştir [9]. u u 5 u u 3 u 6 u 4 x Şekil Düzlemsel çubuk elemanının serbestlik derecesi Düzlemsel çerçeve elemanının rijitlik matrisi 6X6 lık bir matristir. Bu 6X6 lık matris elemanın sadece eksenel zorlanma durumundaki X lik ve sadece eğilme zorlanması durumunda 4X4 lük iki alt matristen oluşurbu zorlanma halleri mukavemette birbirinden bağımsız olarak verilir. Bu durumda düzlemsel çerçeve elemanı arı arı iki zorlanma tipine maruz bırakılır. Sonra ortaa çıkan eşitlikler süperpoze edilir... Düzlemsel Çerçeve Elemanının Sadece Eksenel Zorlanması Hali Şekil de görüldüğü gibi elemanın u ve u 4 olmak üzere iki düğüm noktası deplasmanı mevcuttur. [9]. Elemanın herhangi bir düğüm noktasındaki er değiştirme miktarı için,er değiştirme fonksionunun lineer olduğu kabulü ile 6

8 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 u (x) x (. 8) L u u(x) u 4 x Şekil Düzlemsel çerçeve elemanı sadece eksenel zorlanması hali eşitliği geçerlidir. Bu eşitlik x= da u(x)=u (. 9) x=l de u(x)=u 4 (. ) sınır şartlarının kullanılmasıla u(x) [N] u a (. ) şeklinde azılabilir. Burada x x u [N] =[( ) ( )], u a = L L u4 dir. (. ) u xx olduğundan x u xx [( ) ( )] L L u4 u u xx 4 bulunur. Buda matris formunda L L (. 3) olarak azılabilir. Buradan gerilme = [D] olarak ortaa çıkar. Bu tip zorlanmada [D] matrisi bir tek elemandan oluşmuştur. Yani [D]=[E] dir. Diger taraftan birim şekil değiştirme ve gerilme büüklükleri de { } = { xx } (. 4) 7

9 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 şeklindedir. (. ) daki [B] matrisi bu zorlanma hali için [B] = [( ) ( )] (. 5) L L şeklindedir. Bu durumda (. 5) de ifade edilen [K (e) ] matrisi [ k ( ] e) x V(e) [B] T [D] [B] dv = AE L (. 6) şeklinde ortaa çıkar. Burada A; elemanın kesit alanı, [K(e)]; eleman katılık matrisidir. Bu durumda elemanın ucundaki kuvvetlerle, er değiştirmeler arasında u u 4 AE L u u 4 (. 7) bağıntısı vardır... Düzlemsel Çerçeve Elemanının Sadece Eğilme Zorlanması Hali [4],[9],[] Sadece eğilme zorlanmasına maruz çubuk deplasmanları Şekil 3 deki gibidir. u u 5 V(x) x u 3 u 6 L Şekil 3 Düzlemsel çubuk elemanının sadece eğilme zorlanması hali 8

10 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 Bu zorlanma halinde elemanın düğüm noktalarının er değiştirmeleri u, u 3, u 5, u 6 dır. Çubuk bounca doğrultusundaki v er değiştirmeleri için V(x) x 5 x 6 x (. 8) şeklinde bir polinom seçilirse 3, 4, 5, 6 sabitleri dv(x) x = da V(x) = u ve u 3 dx (. 9) dv(x) x = da V(x) = u 5 ve u 6 dx (. 3) sınır şartları ardımı ile bulunabilir. Bu şekilde elde edilen dört adet denklem göre çözülür bulunan i ler (. 8) de erine konur ve bu ifade u i ' e göre düzenlenirse i e N (X)=(X 3-3LX +L 3 )/L 3, N (X)=(X 3 -LX +L X)/L 3, N 3 (X)=(-(X 3-3LX ))/L 3, N 4 (X)=(X 3 -LX )/L, olmak üzere (. 8) denklemi V(x)=[N N N 3 N 4 ] [U] (. 3) şeklini alır. Çubuk teorisinden kirişlerin düzlemsel kesitlerinin eğilmeden sonra da düzlemsel kaldıkları bilinmektedir. Bu sebeple kirişin eksenel deplasmanı u,enine deplasmanı v ardımıla ifade edilebilir. (Şekil 4) [9]. 9

11 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 v x A B v x A B u v x Şekil 4 x, düzlemindeki eğilmee zorlanan çubuk v Burada u dir. ilgilenilen noktanın asal eksenden uzaklığını göstermektedir. x Eksenel birim uzama ise u v xx (. 3) x x eşitliği ile verilir. Bu durumda v xx [B]{U eğ} (. 33) x dir. Burada [B]=-/L 3 {(x-6l) L(6x-4L) -(x-6l) L(6x-L)} (. 34) şeklindedir. Eksenel doğrultudaki gerilmede xx E xx (. 35) olarak ifade edilir. [D] = [E] olduğu dikkate alınarak bu zorlanmada (. 5) eşitliğinin integrale alma işlemi apılırsa bu elemana ait katılık matrisi 3

12 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 6L 6L e EL zz 6L 4L 6L L [ K eğ ] 4x4 (. 36) 3 L 6L 6L 6L L 6L 4L şeklinde bulunur. Burada I da z eksenine göre kesitin atalet momentidir. zz A (e) Bu elemanda da çubuk uç kuvvetleri ile uc deplasmanları arasındaki bağıntı eleman katılık matrisi ardımıla f M f5 M 3 6 6L 6L 6L 4L 6L L 6L 6L 6L u L u 6Lu 4L u (. 37) olarak ortaa çıkar. [4],[9].. 3 Genel Halde Zorlanmaa Maruz Çerçeve Elemanı.. ve.. de bahsedilen zorlanma tipleri birbirirnden bağımsız olarak incelenmişti. Çubuğun genel olarak zorlanması halinde daha önce arı arı bulunan katılık matrisleri süperpozison prensibi ile birleştirilir. Bu işlem şöle apılır. (. 7), (. 37) eşitlikleri genel er değiştirme vektörü [U] = [u u u 3 u 4 u 5 u 6 ] T (. 38) olmak üzere, genel kuvvet vektörü de [f]=[f f M 3 f 4 f 5 M 6 ] (. 39) olmak üzere 3

13 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 [f] = [k] [u] (. 4) eşitliği sağlanacak şekilde arı arı genişletilir. Bu genişletme esnasında [k] katılık matrisinde ortaa çıkan er değiştirmelerle ilgili satır ve sütunlar sıfır değerine eşit olacaktır. Daha sonra arı arı genişletilmiş bu matris eşitlikleri taraf tarafa toplanarak [f] = [k çe ] [u] (. 4) genel düzlemsel halde eksenel ve eğilme zorlanmasına maruz çubuk eleman eşitliği bulunur. Burada [kçe] genel düzlemsel eğilme ve eksenel zorlanmaa maruz elemana ait katılık matrisi olup T = E I zz / L 3 (. 4) olmak üzere AE / L T 6LT T 6LT 6LT 4L T 6LT L T k çe (. 43) AE / L AE / L T 6LT T 6LT 6LT L 6LT 4L T şeklindedir [4],[5],[9].. 3 Koordinat Dönüşümü Eleman eşitliği [f] = [k] [u] düğüm kuvvetleri ile er değiştirmeleri arasındaki bağıntıı,eleman koordinat sisteminde vermektedir. Halbuki büüklüklerin düzlemde X,Y referans koordinat sisteminde ifade edilmiş olması gerekir. [u]: Eleman düğüm noktalarının eleman koordinat sistemindeki er değiştirme vektörü, [U]: Elemanın düğüm noktalarının referans koordinat sistemindeki er değiştirme vektörü olmak üzere bu iki vektör arasında 3

14 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 [u] = [ ] [U] (. 44) bağıntısı azılabilir. Burada [ ] transformason matrisi olup,bu matrisin elemanları,eleman koordinat sistemi eksenlerinin referans koordinat sistemindeki doğrultman kosinüslerinden oluşmaktadır. [ ] nin oluşturulması Bölüm.4 de verilmiştir. (. 4) eşitliğine benzer bir bağıntı, düğüm kuvvetlerinin eleman koordinat sistemindeki ve referans koordinat sistemindeki ifadeleri arasında da [f] = [ ] [F] (. 45) olarak azılabilir. Referans koordinat sisteminde [F] = [K] [U] (. 46) bağıntısını verecek eleman katılık matrisi [K] aranmaktadır. (. 4) daki [f] erine (. 45) deki eşdeğeri, ine (. 4) da ki [u] erine (. 44) deki eşdeğeri erine konursa [ ] [F] = [k] [ ] [U] (. 47) eşitliği ve buradan da her iki tarafın [ ] ile çarpılmasıla [F] = [ ] - [K] [ ] [U] (. 48) eşitliği bulunur. Transformason matrisi ortagonal bir matris olup [ ] - = [ ] (. 49) özelliğini taşıdığı dikkate alınırsa (. 48) eşitliğinden eleman katılık matrisi referans koordinat sistemindeki ifadesi ortaa çıkar [9, ]. [K] = [ ] [k] [ ] (. 5) 33

15 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number: Transformason Matrisinin Oluşturulması (x,) eksen takımında ifade edilmiş bir vektörel büüklüğün, (X,Y) eksen takımında ifade edilmesi esnasında transformason matrisinden fadalanılır. Şöle ki Şekil 5 de (x,) eksen takımında verilen bir r vektörü Y x Y r x Cos x Sin X Sin x Cos X Şekil 5 Bir [ r ] nün referans koordinat sisteminde görünümü r = x i + j (. 5) olarak ifade edilmiş olsun. Bu durumda anı vektörü referans eksen takımında ifade eden X,Y büüklükleri ile x, büüklükleri arasında Şekil 5 ardımı ile X = x Cos Sin (. 5) Y = x Sin. + Cos (. 53) bağıntısı azılabilir. Bu bağıntı x Cos Sin Sin X Cos Y (. 54) şeklinde ifade edilebilir. Diğer taraftan referans eksen takımında bilinen değerler,eleman eksen takımında hangi değerleri alır? Sorusuna cevap verebilmek için ise (. 54) eşitliğindeki x, çözülür. 34

16 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number: x Cos Sin Sin Cos Y X (. 55) bulunur. İncelenen konuda elemanın bir ucunun x ve doğrultusundaki deplasmanının anında z ekseni etrafında dönmeside söz konusudur. x ve nin eksen takımlarının değişmesine göre değer alması söz konusu iken,dönme miktarının saısal ifadesi koordinat sistemine bağlı değildir. Bu durumda x,, er değiştirmeleri X, Y, er değiştirmeleri arasında Y X Cos Sin Sin Cos x (. 56) bağıntısı vardır. Burada eşitliğin sağındaki 3X3 lük matris transformason matrisi adını alır. Çubuğun her iki ucundaki er değiştirme dikkate alınırsa ve Cos c, Sin c ile gösterilirse bir elemana ait düğüm noktaları er değiştirmelerinin eleman ve referans eksen takımındaki ifadesi arasında Y X Y X c c c c c c c c x x (. 57) bağıntısı elde edilir. Burada sağdaki 6X6 lık matris çubuğun iki ucundaki büüklükler arasında dönüşümü sağlaacak şekilde ifade edilmiş transformason matrisidir ve ile gösterilir.. 5 Sistem Denklemlerinin Teşkili Referans koordinat sisteminde her bir elemana ait eleman eşitlikleri bulunduktan sonraki adım sistem denklemlerinin teşkilidir. Bir düğüm noktasında birleşen elemanların o düğüm noktasındaki uçlarının er değiştirme miktarı birbirine eşittir.

17 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 Düzlemde bir düğüm noktasındaki serbestlik derecesinin kesme ve eksenel kuvvet, eğilme momenti olduğu daha önceden belirtilmişti. Bir düzlemdeki düğüm saısı N ise bu durumda toplam serbestlik derecesi N t = 3*N (. 58) olur. Bu durumda katılık matrisimizde N t *N t boutunda bir matris olur. Sistem er değiştirme vektörü [U] ve dış ük vektörü de [P] de N t boutunda bir vektör olacaktır. Bir elemana ait [F]=[k][U] (. 59) eşitliğindeki [F] ve [U] vektörleri düzlemsel çubuk elemanlarda [F]=[f f M 3 f 4 f 5 M 6 ] [U]=[u u u 3 u 4 u 5 u 6 ] (. 6) olur. (.6) sistem denklemlerini elde etmek için eleman eşitliklerinin sistem boutunda genişletilmesi gerekir. Bütün elemanlar için genişletilmiş matrisler elde edildikten sonra taraf tarafa toplanırsa [K][U ]= {P} (. 6) denklemi elde edilir.. 6 Gerilmelerin Hesabı Düzlemsel çerçevelerde elemanlar eksenel zorlanmala birlikte eğilme zorlanmasına da maruz kaldıklarına göre ortaa çıkan gerilmelerin hesabı bu iki zorlanmada oluşan gerilmelerin toplamı şeklinde olması gerekir. Zira mukavemette iki zorlanma hali birbirinden bağımsız olarak irdelenir. Bu durumda eksenel zorlanmada oluşan gerilmelerin (. 3) ve (. 4) ardımıla u E ( / L) (/ L) (. 6) u 4 36

18 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 şeklinde bir eşitlikle, eğilme zorlanmasından oluşan gerilmeler ise (.33) ve (.35) ardımıla u u3 E { (X 6L) L(6X 4L) (X 6L) L(6X L) } (. 63) 3 L u5 u 6 şeklinde bir eşitlikten bulunur. (.6) ve (.63) ün sağındaki u er değiştirme vektörleri eleman eksen takımında ifade edilen büüklüklerdir. Hazırlanan bilgisaar programında bu u büüklükleri,referans eksen takımında ifade edilen {U} büüklüklerinden transformason matrisi ardımı ile hesaplanmıştır. (3.63) ün hesabında fazla bir problemle karşılaşılmaz. Ancak (.63) de gerilmelerin x ve ile değiştiği görülmektedir. Pratik mühendislik açısından,bu değişmenin nasıl olduğundan ziade, maksimum gerilmenin nerede olduğu daha önemlidir. Bu durumda (.63) ün maksimum değeri ' nin en büük olduğu erde ortaa çıkar. Diğer taraftan bu eşitlik açılırsa E (X 6L)u L(6X 4L)u3 (X 6L)u5 L(6X L)u 6 (. 64) 3 L ifadesinin x'e göre lineer olduğu görülür. Buradan da çubuk elemanlarındaki maksimum gerilmenin çubuk uçlarında olduğu anlaşılır. Bu durumda x = ve x = L konumlarındaki eğilme gerilmesi (.64) eşitliğinden = c olduğu da dikkate alınarak x= için, E c ( 6L)u 3 (4L )u 3 (6L)u 5 (L )u 6 (. 65) L x=l için, E c (6L)u 3 (L )u 3 (6L)u5 (4L )u 6 (. 66) L 37

19 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 elde edilir. Eğilme gerilmelerinin tarafsız eksene göre,basma ve çekme şeklinde olduğu dikkate alınırsa maksimum gerilme için bunlardan hangisinin alınacağını eksenel gerilmenin cinsi tain eder. 3 Örnek Ugulama 3. Çerçevelerde Gerilme Analizine ait Bir Örnek Çerçevelerle ilgili olarak gerilme analizi problemin doğruluğunu kontrol için bir örnek seçilmiştir. Bu örneğin alındığı kanak da sonuç olarak çerçevei oluşturan elemanların uç noktalarına gelen kuvvet ve moment değerleri verilmiştir. Gerilme değerleri mevcut değildir. Kanakta bulunan kuvvet ve moment değerlerinden fadalanarak gerilmeler elle ve azılan programla hesaplatılmış, sonuçlar karşılaştırılmıştır []. Örnek Şekil 6 daki çerçevenin gerilme analizi istenmektedir N 4,5 m 5845,7 N A a B a 6,5 Nm Y X b b c C c D 3 m aa ve bb kesiti 38,9 349,6 cc kesiti 85, 35,5 4 m Şekil 6 Örnek 'e ait düzlemsel çerçeve sistemi [4] Çözüm Bu problemlerde gerilme analizi için azılan program kullanılmıştır. Bu çerçeve sistemi için giriş dataları aşağıdaki gibidir. Mesnet tepkisi saısı = 6, Eleman saısı = 3, Düğüm saısı = 4, Elastiklik modülü =. N / m, Yük saısı = 3 38

20 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 Eleman uçlarının koordinatları; x()=,()= x()=,5,()=3,897 x(3)=6,5, (3)=3,897 x(4)=6,5, (4)=,897 Hareketin engellendiği serbestlik dereceleri;,,3,,, Dış ükler; 4 Nolu serbestlik derecesinde +x önünde 5845,7 N'luk kuvvet, 5 Nolu serbestlik derecesinde - önünde 3375,6 N'luk kuvvet, 6 Nolu serbestlik derecesinde pozitif önde 6,5 Nm'lik moment. Alanlar, A()=,8 m ; A()=,8 m, A(3)=,9 m. Alan atalet momentleri; Izz()=, m 4, Izz()=, m 4, Izz(3)=,6 m 4 Maksimum gerilmenin oluştuğu erin asal eksenden uzaklığının girilmesi; H()=.,748 H()=,748 H(3)=,5775 Tablo Örnek'e ait gerilme değerleri Gerilmeler ( N/m ) Nolu çubuğun.ucundaki gerilme = -998 Nolu çubuğun.ucundaki gerilme = -449 Nolu çubuğun.ucundaki gerilme = -6687,7 Nolu çubuğun.ucundaki gerilme = Nolu çubuğun.ucundaki gerilme = Nolu çubuğun.ucundaki gerilme =

21 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 Tablo Örnek'e ait kuvvet ve moment değerleri.çubukta global eksen takımındaki kuvvetler ve momentler.çubukta lokal eksen takımındaki kuvvetler ve momentler F() -35,686 N F() -9,868 N F() 598,7 N F() 56,9 N M(3) 64,49 Nm M(3) 64,49 Nm F(4) 35,686 N F(4) -9,868 N F(5) -598,7 N F(5) -56,9 N M(6) 3597,9 Nm M(6) 3597,9 Nm.çubukta global eksen takımındaki kuvvetler ve momentler..çubukta lokal eksen takımındaki kuvvetler ve momentler F() 5495 N F() 5495 N F() -777,43 N F() -777,43 N M(3) -3535,44 Nm M(3) -3535,44 Nm F(4) N F(4) N F(5) 777,43 N F(5) 777,43 N M(6) -7574,3 Nm M(6) -7574,3 Nm 3.Çubukta global eksen takımındaki kuvvetler ve momentler 3.Çubukta lokal eksen takımındaki kuvvetler ve momentler F() 5495 N F() 777,43 N F() -777,43 N F() 5495,64 N M(3) 7574,3 Nm M(3) -7574,3 Nm F(4) -5495,64 N F(4) -777,43 N F(5) 777,43 N F(5) -5495,64 N M(6) 89,87 Nm M(6) 89,87 Nm Kuvvet, gerilme değerleri değerleri elle hesaplanmış kanakta verilen değerler ile anı olduğu görülmüştür []. 4. Sonuç Bu çalışmada eleman eşitliklerinin, dolaısı ile katılık matrislerinin düzlemsel çubuk elemanlarda nasıl oluşturulacağı gösterilmiş, bunlardan fadalanarak kuvvetgerilme analizinin ne şekilde apılacağına dair temel bilgiler araştırılmış ve algoritmalar oluşturulmuştur. Program azılarak bilgisaara aktarılmıştır. Sınır şartları dikkate 4

22 Selçuk-Teknik Dergisi ISSN Journal of Selcuk-Technic Cilt 6, Saı:3-7 Volume 6, Number:3-7 alınarak lineer denklem sistemlerinin nasıl çözülebileceği araştırılmış ve bilgisaar programı azılmıştır. Bu çalışmada verilen örnekteki sistemlerin eleman saıları azdır. Böle sistemler seçilmiş olmasının sebebi kontrolün apılabilmesi içindir. Çok miktarda eleman ihtiva eden sistemlerde de anı program rahatlıkla kullanılabilir. Eleman saısının artması problem çözümü için ilave bir güçlük getirmez. İleriki çalışmalarda çerçeve elemanlarının birbirile sadece rijit değil de diğer bağ tipleri ile de bağlı olduğu düşünülerek katılık matrisleri türetilip, algoritmaları ona göre oluşturulacaktır. Referanslar [] Karataş, H., İşler, Ö., 983, Statik Problemleri, Çağlaan Kitapevi,Beoğlu-İstanbul [] Beer, P., F.,985, Mühendisler İçin Mekanik,Static, Mcgraw-Hill Book, İstanbul [3] Shames, I.,H.,98, Engineering Mechanıcs,Statics,Prentice-Hall, New Jerse [4] Nath, B.,974, Fundamentals Of Finite Elements For Engineers, The Athlone Press Of The Universit, London [5] Hahn, H.,G.,98, Methode Der Finiten Elemente In Der Festigkeitslehre,. Auflage, Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden [6] Segerlind, J., L.,976,Applied Finite Element Analsis, Michigan State Universit, New York [7] Keskinel, F., Karadoğan, F.,H.,983, Fortran 4 Algoritma Kurma Ve Program Geliştirme, Birsen Yaınevi, İstanbul [8] Weawer, W., Jr., 97,Basic Programs For Applied Mechanics, Statics,Mcgraw- Hill,U. S. A. [9] Rao,S.,S.,98, The Finite Element Method İn Engineering,Pergamon Press, Usa. [] Laursen, I., H., Matrix Analsis Of Stuructures,Mcgraw-Hill Book,New York [] Önal, G.,993, Çerçevelerde Bilgisaar Yardımı İle Gerilme Analizi, Yüksek Lisans Tezi, Ercies Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 4