u=0 = + = + = α olur. İntegral alınırsa = ½ α = ½ α ve lardan biri için = / α

Transkript

1 3 İş, toplam potansiel, toplam potansielin minimum olma kuralı, RİTZ metodu Tekil bir kuvvetin işi: Tekil bir kuvvetin aptığı iş, kuvvet ile olun çarpımı olarak tanımlanır Bir taşııcı sistem üzerindeki p kuvvetinin aptığı iş, kuvvet ile kuvvet doğrultusundaki u er değiştirmesinin çarpımıdır Ancak, er değiştirme p kuvveti nedenile vea başka bir kuvvet nedenile oluşmuş olabilir Bu iki farklı durum için hesaplanan iş de farklı olur Şekil 31a da görülen sistemde p kuvveti sıfırdan başlaarak dp kadar avaş avaş artırılarak nihai p değerine ulaştırılmıştır Kuvvet dp kadar artınca er değiştirme de du kadar artar p ve u diagramı şekil 32 deki gibi doğrusal olur Yapılan toplam işi W d ile gösterirsek, kuvvet ve er değiştirme artınca apılan iş de dw d kadar artar Bu artış: = + dp ve du çok küçük, 1/2dpdu değeri çok daha küçüktür, ihmal edilebilir olur Bu ifadenin integralı W d toplam işini verir: = Ancak p kuvveti u dan bağımsız değildir Şekil 32 den α = /=doğrunun eğimi sabittir, = α olur İntegralde erine azarak = α olur İntegral alınırsa = ½ α = ½ α ve lardan biri için = / α azılarak toplam iş = ½ bulunur Demek ki iş u-p doğrusunun altındaki üçgenin alanına eşittir Kuvvetin kendine abancı bir er değiştirme ile aptığı iş, aralarında doğrusal bir ilişki olmadığından, kuvvet ile er değiştirmenin çarpımına eşittir, ani ½ katsaısı oktur Örneğin, Şekil 31 deki sistemde p nihai değerine vardıktan sonra bir p 1 kuvveti eklersek p sabit kalırken er değiştirme u kadar artar, şekil 31b p nin aptığı iş = ½ + olur İkinci terimde ½ katsaısı oktur, çünkü p ve u birbirine abancıdır Cismin dış kuvvetlerinin işi: W d Op üklenebilir üzeinde aılı = [ ] ve hacimde = [ ] aılı ükleri olsun Yaılı ük, tekil üklerin an ana gelmesi ile oluştuğu için, artışına karşılık gelen dw d iş artışı benzetme ile azılabilir nin bir lifinin = [ ] ile aptığı iş + + olacaktır(karşılıklı bileşenlerin aptığı işin toplamı) Matris notasonunda bu ifade olur nin bir lifinin işi için de azılabilir Bunların üze ve hacim üzerinden alınan integrallerinin toplamı dw d iş artışını verir: p V,O,Ou,Op p,g,u,σ,ε u= u = u= = + (31) Burada işareti üklenebilir O p üzei üzerinden iki katlı alan integral, işareti V hacmi üzerinden üç katlı integral anlamındadır ile ve arasında doğrusal bir bağıntı oktur, ani kuvvetler ile birbirine abancıdır Bu nedenle üzerinden integral alınarak dış kuvvetlerin toplam işi p1 g1 u1 du1 p = = = p2, g = g2, u u2, du du2 p g u du = + (32) bulunur, ½ katsaısı oktur W d işi üksüz sistemde sıfırdır Kuvvet ve er değiştirmenin önlerine bağlı olarak pozitif vea negatif olur Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 29

2 Cismin iç kuvvetlerinin işi: W i Yükler cismin birim hacminde tanımlı olan gerilmelerinin ve şekil değiştirmelerinin oluşmasına neden olur Malzemenin doğrusal elastik olduğu varsaıldığından HOOKE kanunu geçerlidir Aralarında mukavemetten bilinen 215 doğrusal bağıntısı vardır: = (şekil 33) dσ σ simetrik olduğundan = ( ) = = dir Yerine konarak " = azılabilir sabit saılardan oluşmaktadır Bu integralın sonucu " = (33) dır 1 V hacmindeki iç kuvvetlerin toplam işi ise " ile gösterilsin dv üzerinden integral alınarak " " = " " = # (33a) (34) bulunur " daima pozitiftir 215 ifadesindeki matrisi 33 de erine konarak " = = $ [ (%&) ( + + ) + ' ( (' + + ) ] " = ε Wi Şekil 33 $ [ (%') dwi dε 1/2dσ dε ve birim hacimde iş aparlar Bu iş " ile gösterilsin Gerilme kadar değiştiğinde şekil değiştirme ve iş de ve " kadar değişir: Şekil 33 den " = + İkinci terim çok küçüktür, ihmal edilebilir " = Birim hacimdeki toplam iş, integral alınarak " = olur ( + + ) + ' ( (& + + ) ] (34a) (34b) olur E>, <γ<5 olduğundan ukarıdaki ifadenin incelenmesinden daima " > olduğu anlaşılır etice olarak: iç kuvvetlerin / işi de daima pozitif bir saıdır # Yer değiştirmenin sanal işi 2 :, ükleri altında dengede olan bir sistem olsun Sistem er değiştirmesi apmış ve içte, şekil değiştirmesi ve gerilme oluşmuştur Bunlar arasında 25, 27, 212 ve 215 de verilen 2 + =, =, = 2, = bağıntıları vardır Cisme sınır şartlarını sağlaan 3 ve 3 ile gösterilen sanal bir er değiştirme verdiğimizi düşünelim 3 sanal er değiştirmesinden 3 = 2 3 sanal şekil değiştirmesi oluşacaktır 3 ükleri değiştirmez Yükler değişmeince 2 + =, = bağıntıları hala geçerli olur, ani gerçek üklere ait olan değişmez değişmeince = bağıntısı da hala geçerlidir, da değişmez Fakat; gerçek ükler 3 ile, gerçek gerilmeler 3 ile sanal iş apar Bu sanal işleri 3 ve 3 " ile gösterirsek 3 = 3 " = (35) 3 = Sanal Gerçek Sanal 3 (36) Gerçek olur Cisim dengede olduğundan; cisme verilen 3 sanal işi ile cisimde depolanan 3 " sanal işi birbirine eşittir: 3 " = 3 (37) 1 5 " = integralini şu basit düşünce ile bulabiliriz Önce integraldeki büüklüklerin matris değil, basit değişken ve sabitler olduğunu varsaalım: ε değişken, E 5 sabit " = = = olur Matris karşılığını azabilmek için: matris çarpım kuralına umalıız ve sonuç bir saı etmeli Bu da ancak " = şeklinde düzenlenirse gerçekleşir 2 Sanal iş=virtuel iş 3 Sınır şartlarını sağlaan 3 ne demek? Örnek: Sabit mesnetli noktada 3 = olmalı Buradaki 3 diferansiel anlamında değil, haalı bir büüklük anlamındadır Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 3

3 3 " 3 = olur 3 İş, toplam potansiel, toplam potansielin minimum olma kuralı, RİTZ metodu = (38) Enerji ve potansiel: İş ve enerji anı anlamdadır Dış kuvvetlerin aptığı iş tüketilen enerjidir Bu enerji iç kuvvetlerin işine dönüşür Dolaısıla iç kuvvetlerin işi depolanmış enerjidir Enerjie potansiel de denilmektedir 7 ile gösterilir İç kuvvetlerin potansieli 7 ", 34 deki " işine eşittir: 7 " = (39) Dış kuvvetlerin potansieli 7 32 deki, işinin ters işaretlisine eşittir: 7 = (31) Buradaki eksi işaretinin anlamı tüketilen enerji anlamındadır Sistemin toplam potansieli 8: İç ve dış kuvvetlerin potansiellerinin toplamıdır: 7 = 7 " + 7 = vea, = olduğundan: 7 = 7 " + 7 = (311) (311a) Toplam potansielin minimum olama kuralı: İspatı sonra verilmek üzere, bu kural şöle tanımlanır: Sistemin sınır koşullarını sağlaan sonsuz 9 er değiştirmelerinden sadece ve sadece denge konumuna ait olan toplam potansieli minimum apar Bunu şöle de ifade edebiliriz: Dengede olan sistemin toplam potansieli minimumdur, denge konumuna ait 9 sistemin gerçek er değiştirmesidir u, uk, Şekil 34 Şekil 34 deki ve 7 gerçek denge konumuna ait er değiştirme ve toplam potansiel : ve 7 : da komşu herhangi bir er değiştirme ve buna ait toplam potansiel olsun İSPAT: Komşu herhangi bir konumda : = + 3 ve : = + 3 dır 311 e göre Komşu konumun toplam potansieli 7 : = 1 2 =( + 3) ( + 3) dır Çarpımlar apıldıktan sonra düzenlenirse 7 : = : = 7 +pozitif bir saı = > + 3? = ( + 3) olmaktadır O halde: Tüm komşu konumlara ait toplam potansiel daima daha büüktür, ani denge konumuna ait 8 daima en küçüktür(minimumdur) 311 de verilen 7 toplam potansiel ifadesinde elastik cismin tüm büüklükleri vardır: ükler, er değiştirme, şekil değiştirme, gerilme ve malzeme kanunu Arıca 7 bir saıdır ve koordinat sisteminden bağımsızdır Min 7 i elastik cismin denge koşulu olarak kullanmak büük kolalık sağlar SEM teorisi toplam potansielin minimum olma kuralı ve RİTZ metodu üzerine kurulmuştur Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 31 bu terim, 311 bağıntısına göre, Denge konumuna ait 7 dir bu terim, 35 ve 36 bağıntılarına göre, 3 artımından oluşan potansieldir 38 e göre sıfırdır bu terim daima pozitif bir saıdır Çünkü bir kare formdur Bak: safa 2, dipnot 2

4 RİTZ metodu 1 : RİTZ metodu Toplam potansielin minimum olma kuralına daalı aklaşık bir metottur Sistemin geometrik sınır koşullarını(mesnet koşullarını) 2 sağlaan ve sürekli olan bir er değiştirme fonksionu tahmin edilir Bu fonksionun başlangıçta bilinmeen bazı parametreleri vardır Seçilen fonksion 7 toplam potansielinde erine konur, 7 i minimum apan parametreler hesaplanır Hesaplanan parametreler seçilmiş fonksionunda erine konur toplam potansieli minimum apan er değiştirme olmuş olur = 2 süreklilik koşulundan şekil değiştirmeler, = malzeme kanunundan da gerilmeler hesaplanır Bu olla belirlenen gerilmeler 25 ve 27 denge denklemlerini aklaşık olarak sağlar fonksionu bir polinom vea trigonometrik olabilir, basitliği nedenile genelde polinom tercih edilir nun her bileşeni = D "E B " (C,C,C ) " vea matris notasonunda = B(C) (312) Seçilir Örneğin bir kirişin u 2 düşe er değiştirmesi( nun x 2 önündeki bileşeni) için (C ) = + C + C + C F + F C O p R x1 (C ) = GHHHHIHHHHJ [1 C C C C F ] K(L) M F P 2 3 u2 (x1 )= a + a1x1 + a2x1 + a3x1 + S T Seçilebilir 3 Burada " değerleri henüz bilinmeen sabitler(parametreler)dir 212 e göre 312 den şekil değiştirme: = 2B(C) (313) ve ifadeleri 311 de erine azılarak 7 = B 2 2 B x2 B B (314) Bulunan toplam potansiel, belirli integraller alındıktan sonra, sadece nın fonksionu olur Sistemin denge konumunda 7 minimumdur Minimum olma koşulu 4 a x UT = O UT M UT UT R Π = a = vea açık olarak: Z7 (315) = Z UTDP UTD = türevleri azılarak; bilinmeenleri,,,, D olan doğrusal denklem sistemi elde edilir Bu denklemin çözümünden hesaplanan,,,, D 312 de erine konarak sistemin denge konumuna ait u er değiştirme, = 2 şekil değiştirme ve = gerilme fonksionları bulunur 1 Walter Ritz (199) "Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Phsik" Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, vol RİTZ metodu bir er değiştirme metodu olduğundan sadece er değiştirme ile ilgili koşullar kullanılır, kuvvetler ile ilgili sınır koşulları kullanılamaz Örneğin sabit bir mesnette çökme sıfır koşulu kullanılır fakat moment sıfır koşulu kullanılamaz Çünkü moment= bir er değiştirme koşulu değil, bir kuvvet koşuludur 3 Mukavemet derslerinden elastik eğri denkleminin -X ıy = olduğu bilinmektedir 4 kez integral alınırsa nin 4 derece polinom olduğu anlaşılır 4 Bir fonksionun bir noktada minimum olma koşulu o noktada birinci türevinin sıfır, ikinci türevinin pozitif olmasıdır Denge konumunda 7 nin daima bir minimum olduğu daha önce gösterilmişti, dolaısıla minimum koşulu Z7 = dır, ikinci türeve bakmaa gerek oktur Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 32

5 Teorik ve saısal ugulamalar: Örnek 31: Sağda görülen sabit kesitli çubuğun ekseni bounca p 1(x 1) çizgisel ükü etkimektedir E elastisite modülü, A kesit alanı ve L bilinmektedir =, s = alarak(kendi ükünü ve Poisson etkisini ihmal ederek) çubuğun toplam potansiel ifadesini azınız 7 = 1 2 = 7 = 1 2 = 7 = f 2 = 7 = $^ [ _ (C )] = = C (C ) (C ) fc =[ (C ) ] p q 1 C C = (C ) (C ) C Bak: 311 x2 p 1(x 1) (C ) C (316) L do=1 dx 1 (çizgisel ük) dv=a dx 1 (C ) (C ) = p q, = p q, = = (diğerleri=) = C = _ (C ) x 1 x 3 x 2 Kesit A Örnek 32: Sağda görülen çelik çubuk kendi ağırlığı altındadır alt ucundaki er değiştirmesini RİTZ metodu ile hesaplaınız Eksen önündeki (C ) er değiştirmesinin fonksionunu doğrusal varsaınız Yer değiştirme fonksionu: (C ) = + C (C ) sistemin sınır koşullarını sağlamalıdır: C = da () = olmalı = Sınır şartlarını sağlaan fonksion: (C ) = C 7 = $^ [ _ (C )] _ (C ) =, 7 = f 2 = 7 = f 2 = C [ (C )] = C =g C fc C gf= C C 7 = $^ C - gfj C j (C ) fc Bak: 316 L=2 m E= /m 2 s = (poisson etkisi ihmal) g = 78 :o v w (malzemenin birim kütlesi) g=1 v x (er çekimi ivmesi) = (üzesel kuvvet) E g (Birim hacim kuvveti) dv=a dx 1 7 = $^ k gf k 7 nin minimum olma koşulu: = : fk UT gfk = l = no k $ Yer değiştirme fonksionu: (C ) = g 2 kc Çubuğun alt ucunun er değiştirmesi: C = 2 { (2) = = 74 1(z { = 74 {{ Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 33

6 Örnek 33: Sağda görülen sabit kesitli çubuğun(kirişin) ekseni bounca p 2(x 1) çizgisel ükü etkimektedir E elastisite modülü, A kesit alanı, I 3 atalet momenti ve L bilinmektedir Çubuğun toplam potansiel ifadesini azınız b noktası x 2 doğrultusunda u 2 kadar er değiştirerek b' noktasına, a noktası da a' gider Kesit kadar döner, a' noktası x 1 e ters önde u 1 kadar er değiştirerek a'' noktasına gider x 3 önünde er değiştirme oktur Dönen kesit düzlem kalır, çarpılmaz, elastik eğrie dik kalır varsaılmaktadır (BEROUILLI-AVIER) u 2 er değiştirmesi sadece x 1 in, u 1 er değiştirmesi hem x 1 in hem de x 2 nin fonksionudur b'a'a'' üçgeninden: = ( l L = Küçük açının Tanjantı açıa eşit alınabilir = C Elastik eğrinin türevi= eğim Elastik eğri= Yer değiştirme x2 a u2 u1 Φ b P2(x1) a a(x1,x2) b(x1,) Dönmemiş kesit düzlemi Φ Dönmüş kesit düzlemi x1 M3 x2 x3 = p (C ) q da=dx 2dx 3 dv=dadx 1 do=1 dx 1 (C,C ) = p (C ) q = Hacimsel ükün (C ) üze üküne katıldığı varsaıldı O U U R O U UL R U UL = w U U UL U M~ P U U UL 5 w UL U U M GHHHHIHHHHJ UL w U P ƒ = U ( UL 7 = 7 = 7 = $ C ^GHIHJ f = ~ U U C U O UL l U UL + U M C L ) + U = l UL l [ ] [ L ] l w Atalet momenti=sabit R UL l P C + ƒ = 1 C C C = ile gösterilirse, toplam potansiel 7 = $ w [ ] olur Bak: 212 C U U U UL + U = U C, = = (Bak dipnot 1 ) C (317) Şekil değiştirme: = C (318) Gerilme: = = = C (319) Eğilme momenti: = C f ^ Kesme: = Uˆw UL l u 2 ve p 2 x 1 in fonksionudur, basitleştirmek için azılmamıştır = C f ^ Sıfır olan şekil değiştirmeleri vektöründen çıkardık(işlemleri azaltmak için) Bak: 311 = olduğundan son terim düşer BEROULLI-AVIER varsaımı nedenile = ve şekil değiştirme vektörü şekil değiştirmesine eşit oldu = X (32) (321) 1 Kesme(kama) şekil değiştirmelerini dikkatte almaan kiriş teorisine EULER-BEROULLI kirişi denir Jacob BEROULLI(Belçika asıllı İsviçreli, ), Leonard EULER(Alman, ) ve Daniel BEROULLİ(Belçika asıllı İsviçreli, ) tarafından 175 li ıllarda geliştirilmiştir Şekil değiştirmelerin küçük olduğu üksek olmaan kirşlerde, ince plak ve kabuk problemlerinde kullanılır Kesme şekil değiştirmelerini de dikkate alan kiriş teorisine ise Stephen TIMOSHEKO(Rus, ) kirişi denir Aralarındaki fark: EULER-BEROULLI kirişinde dönmüş kesit elastik eğrie dik kalır, TIMOSHEKO kirişinde dik kalmaz Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 34

7 Örnek 34: Sağda görülen çubukta(kiriş) E=3 1 6 k/m 2 dir Düşe er değiştirme fonksionunu (C ) = Š (Œ C /k) varsaarak açıklık ortasındaki çökmei ve momenti RİTZ metodu ile hesaplaınız, sonucu kesin çözüm ile karşılaştırınız Çözüm için örnek 33 de belirlenen 2 = [ ] C = C toplam potansieli minimum apan a parametresini belirlememiz gerekir Verilen (C ) = Š (Œ C /k) fonksionu sistemin sınır koşullarını sağlamak zorundadır, kontrol edelim: x 1= da (C ) = olmalı(çökmeen mesnet): () = Š Œ Ž = Š () = sağlıor x 1=L de (k) = olmalı(çökmeen mesnet): (k) = Š Œ Ž = Š (Œ) = sağlıor 7 deki [ ] : _ = 4 Œ Ž, = Š Œ Ž, [ ] = Š Œ Ž 7 deki = (x 2 ile ters önde) dir Yerine azalım: 2 = ŒF k F Š Œ C k Ž C =() Š (Œ C /k) C 2 ŒF k F = Š Œ C k Ž C + =Š (Œ C /k) C 2 ŒF k F C 2 k 4Œ Š (2Œ k C ) 2 ŒF k F k 2 k 4Œ Š 2Œ k k + Bak: k Œ 4 (Œ k C ) k (1 4 Œ) Œ 8 = š œ ž Ÿ š + ž œ Ÿ Sistemin toplam potansieli 7 nin minimum olma koşulu V = : T V = : $ w 2 T F + 2 = w = F değeri 7 i minimum apar Yerine azılarak bulunan $ w 9 ž ( ) = Ÿ š (Ÿ / ) Sistemin er değiştirme fonksionu er değiştirme fonksionu sistemin denge konumuna aittir Açıklık ortasında, C = de, er değiştirme=çökme=3: 3 = F $ w Š Ž = F = $ w ª«z$ w Eksi işareti er değiştirmenin C nin ters önünde olduğunu gösterir olur Açıklık ortasında, C = X = tür = = F w = ªªz bulunur Analitik karşılaştırma: de moment M3, 32 bağıntısından(vea mukavemet dersinden bilindiği gibi): Š Œ Ž idi = F $ w ve x 1=L/2 erine konarak 3 = z = (mukavemet), 3 = (RITZ) F$ w ª«$ w ª«z$ w = (Mukavemet), = ªªz (RITZ) Hata: %3 Hata: %4 3 er değiştirmesinde hemen hiç hata ok momenti, kabul edilebilir düzede, hatalıdır Yer değiştirme hatasız iken moment neden hatalıdır? Bir büüklük türev alınarak hesaplandığında sonuç, az da olsa, hatalı olur Yüksek dereceden türev aldıkça hata artar SEM de önce er değiştirme hesaplanır Şekil değiştirme er değiştirmenin türevi alınarak bulunur Şekil değiştirme bir miktar hatalı olur HOOKE kullanılarak şekil değiştirmeden bulunan gerilme de biraz hatalı olur Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 35

8 Saısal karşılaştırma: 3 İş, toplam potansiel, toplam potansielin minimum olma kuralı, RİTZ metodu X = 3 = z F «= 26 1 ( { F = 87 { = 87 {{ (mukavemet) Hata: % 3 = ª«z «= 87 { = 87 {{ (RITZ) = F «= F «ªªz = 18 ±²{ (mukavemet) = 1858 ±²{ (RITZ) Hata: %3 Örnek 35: Sağda görülen çubukta(kiriş) E=3 1 6 k/m 2 dir Düşe er değiştirme fonksionunu (C ) = + C + C + C varsaarak açıklık ortasındaki çökmei ve momenti RITZ metodu ile hesaplaınız, sonucu kesin çözüm ile karşılaştırınız Kirişin toplam potansieli: 2 = [ ] C = C Sistemin sınır koşullarını sağlaan ve toplam potansieli minimum apan a i parametrelerini belirlememiz gerekir Sınır koşulları: x 1 = da (C ) = olmalı: () = = x 1 =L de (C ) = olmalı: (k) = k + k + k = = k k Yer değiştirme fonksionu: 9 ž ( ) = (œ ž œ š ž ) + œ ž ž + œ š š olur 7 deki [ ] : _ = k k + 2 C + 3 C, = C, [ ] = C + 36 C 7 deki = (x 2 ile ters önde) dir Yerine azalım: 2 = ( C + 36 C ) C =[( k k )C + C + C ] C Bak: ³4 C + 12 C + 12 C ³ ( k k )C + 3 C + 4 C F ) Sistemin sınır koşullarını sağlaan fonksion 8 = š ž ( œ ž ž + žœ ž œ š ž + žœ š ž š ) œž š œ š Sistemin toplam potansieli UT = $ w (8 k + 12 k ) «k = Z7 Z = X 2 (12 k + 24 k ) 1 4 kf = Toplam potansielin minimum olma koşulları= İki bilinmeenli 2 denklem İki bilinmeenli iki denklemi matris notasonunda azalım: 8k 12k 12k 24k ƒ = w $ w $ w Çözüm = F$ w, = (C ) = ( k k )C + C + C fonksionunda erine azalım: 9 ž ( ) = ž ž š (kc C ) Açıklık ortasında, C = Sistemin er değiştirme fonksionu de, er değiştirme=çökme=3: 3 = (k/2) = k 24X k k 2 k /4 = kf 96X Eksi işareti er değiştirmenin C nin ters önünde olduğunu gösterir Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 36

9 olur Açıklık ortasında, C = de moment M 3: X = tür = = bulunur $ w Analitik karşılaştırma: 3 = z = (mukavemet), 3 = F$ w ª«$ w = (mukavemet), = Saısal karşılaştırma: X = 3 = z 3 = = F «= F «F «= 26 1 ( { F º««(RITZ) º«$ w (RITZ) = 87 { = 87 {{ (mukavemet) = 69 { = 69 {{ (RITZ) = 18 ±²{ (mukavemet) = 12 ±²{ (RITZ) Hata: %33 Hata: %33 Hata: %2 Hata: %21 Hem 3 er değiştirmesinde hem de eğilme momentinde ağır hata vardır eden? 1)Bir büüklük türev alınarak hesaplandığında sonuç, az da olsa, hatalı olur Yüksek dereceden türev aldıkça hata artar 2) Yer değiştirme fonksionu olarak seçilen polinomun derecesi etersiz ise hata büük olur SEMde önce er değiştirme hesaplanır Şekil değiştirme er değiştirmenin türevi alınarak bulunur, dolaısıla şekil değiştirme de, HOOKE kullanılarak şekil değiştirmeden bulunan gerilme de hatalı olur Hatanın azalması için er değiştirmenin daha üksek dereceli polinom olması gerekir Örnek 36: Sağda görülen çubukta(kiriş) E=3 1 6 k/m 2 dir Düşe er değiştirme fonksionunu (C ) = + C + C + C + F C F varsaarak açıklık ortasındaki çökmei ve momenti RITZ metodu ile hesaplaınız, sonucu kesin çözüm ile karşılaştırınız Kirişin toplam potansieli: 2 = [ ] C = C Bak: 317 Sistemin sınır koşullarını sağlaan ve toplam potansieli minimum apan a i parametrelerini belirlememiz gerekir Sınır koşulları: x 1 = da (C ) = olmalı: () = = x 1 =L de (C ) = olmalı: (k) = k + k + k + F k F = = k k F k Yer değiştirme fonksionu: 9 ž ( ) = >œ ž œ š ž œ š? + œ ž ž + œ š š + œ Sistemin sınır koşullarını sağlaan fonksion 7 deki [ ] : = C + 12 F C, [ ] = C + 36 C + 48 F C F C F C F 7 deki = (x 2 ile ters önde) dir Yerine azalım: 2 = ( C + 36 C + 48 F C F C F C F ) C + =[( k k F k )C + C + C + F C F ] C Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 37

10 8 = š ž œ ž ž + žœ ž œ š ž + žœ š ž š + žœ ž œ š + š œ š œ + œ ž œž š œ š š œ 7 nin minimum olma koşulları UT» = : UT = : $ w (8 k + 12 k + 16 F k ) w «= Sistemin toplam potansieli UT w = : $ w (12 k + 24 k + 36 F k F ) F = Toplam potansielin minimum olma koşulları= Üç bilinmeenli 3 denklem Z7 Z F = : X 2 (16 k + 36 k F Fk z ) 3kz 1 = Üç bilinmeenli üç denklemi matris notasonunda azalım: O k R 8k 12k 16k 3X 12k ¼ 24k 36k F 16k 36k F 288 ½p k q = F Çö¾ü{ =, 5 kz F 2X 3k z M 5 P = k 12X, F = 24X (C ) = ( k k F k )C + C + C + F C F fonksionunda erine azalım: (C ) = $ w ( wl kc + L ) Sistemin er değiştirme fonksionu Açıklık ortasında, C = de, er değiştirme=çökme=3: 3 = (k/2) = k k 12X 2 2 kk k F 2 16 À = 5kF 384X Eksi işareti er değiştirmenin C nin ters önünde olduğunu gösterir olur Açıklık ortasında, C = de moment M 3: X = tür = $ w (kc + C ) = bulunur Analitik karşılaştırma: 3 = z F$ w (Mukavemet), 3 = z F$ w (RITZ) = (Mukavemet), = (RITZ) Hata: % Hata: % Saısal karşılaştırma: X = 3 = z 3 = z F «= 26 1 ( { F F «= 87 { = 87 {{ (Mukavemet) = 87 { = 87 {{ (RITZ) Hata: % = F «= 18 ±²{ (Mukavemet) Hata: % = F «= 18 ±²{ (RITZ) Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 38

11 Grafiksel karşılaştırma: 3 İş, toplam potansiel, toplam potansielin minimum olma kuralı, RİTZ metodu 34, 35 ve 36 örneklerinde bulunan sonuçların grafikleri karşılaştırmak amacıla verilmiştir -2 u 2 HmL x 1 HmL = 87 { = 87 mm çökme (C ) = + C + C + C fonksionu(ritz) (C ) = Š (Œ C /k) fonksionu(ritz) (C ) = + C + C + C + F C F fonksionu (Teorik ve RITZ) M 3 HkmL = 1858 ±²{ (C ) = Š Œ C k Ž Ò(ÕXÖ) 15 1 = 18 ±²{ (C ) = + C + C + C + F C F den (ÑÒ4Ó ± ÔÒ ÕXÖ) = 12 ±²{ (C ) = + C + C + C den (ÕXÖ) x 1 HmL Yer değiştirme fonksionu 4 derece polinom seçildiğinde RITZ sonuçları teorik sonuçlar ile anı olmuştur Çünkü BEROULLI kirişinin diferansiel denklemi -X ÁY = dir, 4 kez integral alınırsa 4 derece bir polinom olur Tek parametreli (C ) = Š Ž fonksionu da teorik sonuçlara çok akın sonuç vermiştir Bunun anlamı şudur: Seçilen fonksionun tipi vea polinomun derecesi eterlise RITZ teorik çözüme çok akın sonuç vermektedir Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 215, Safa 39